diff --git a/doa_doppler_est.tex b/doa_doppler_est.tex index b08ca32..6940e40 100644 --- a/doa_doppler_est.tex +++ b/doa_doppler_est.tex @@ -135,7 +135,6 @@ \end{abstract} \input{parts/00-roadmap.tex} -\input{parts/01-assumptions.tex} \input{parts/02-modeling.tex} \input{parts/detDoaEst.tex} \input{parts/stoDoaEst.tex} @@ -155,21 +154,17 @@ \renewcommand{\theequation}{\Alph{section}.\arabic{equation}} \newpage -\input{parts/A1-background.tex} +\input{parts/A-symbolIndex.tex} \newpage -\input{parts/A2-doaEstMethod.tex} +\input{parts/B-mathBackground.tex} \newpage -\input{parts/A3-detDoaCrb.tex} +\input{parts/C-classicalDoa.tex} \newpage -\input{parts/A4-stoDoaCrb.tex} +\input{parts/D-singleArrayCrb.tex} \newpage -\input{parts/A5-detDoaDopplerCrb.tex} +\input{parts/E-multiSatStaticCrb.tex} \newpage -\input{parts/A6-crbStatPilotDoaDopper.tex} -\newpage -\input{parts/A7-crbDynPilotDoaDopperCont.tex} -\newpage -\input{parts/A8-crbDynPilotDoaDopperInd.tex} +\input{parts/G-multiFrameCrb.tex} % \newpage % \renewcommand*{\bibfont}{\footnotesize} diff --git a/parts/01-assumptions.tex b/parts/A-symbolIndex.tex similarity index 100% rename from parts/01-assumptions.tex rename to parts/A-symbolIndex.tex diff --git a/parts/A3-detDoaCrb.tex b/parts/A3-detDoaCrb.tex deleted file mode 100644 index 2b3a9b6..0000000 --- a/parts/A3-detDoaCrb.tex +++ /dev/null @@ -1,412 +0,0 @@ -\section{确定信号 DoA 估计的 CRB 推导} -\label{sec:det_doa_crb} - -本附录对应第~\ref{sec:det_doa_est} 节的单阵列确定信号 DoA 模型。根据 \gls{fim} 的定义 $\eqref{eq:fisher_element}$，需要先求出对数似然函数 $\eqref{eq:det_ml_log_likelihood}$ 对各类未知量的一阶偏导，再构造 Fisher 信息矩阵并通过 Schur 补消去确定信号快拍等干扰参数。 - -\subsection{一阶偏导求取} - -\subsubsection{对噪声方差的一阶偏导} - -\begin{equation} -\frac{\partial \ln \mathcal{L}}{\partial \sigma} = -\frac{MT}{\sigma}+\frac{1}{\sigma^2} \sum_{t=1}^T \mathbf{n}^\Herm _t\mathbf{n}_t. -\end{equation} - -\subsubsection{对信源的一阶偏导} - -\begin{mdquote} -复向量的偏导数（Wirtinger 微分）：令复数 $z=x+jy$，则其 Wirtinger 微分定义为 -% -\begin{equation} - \label{eq:wirtinger_derivative} - \begin{cases} - \dfrac{\partial}{\partial z} = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\partial}{\partial x} - j\dfrac{\partial}{\partial y} \right) - \\ - \dfrac{\partial}{\partial z^*} = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\partial}{\partial x} + j\dfrac{\partial}{\partial y} \right) - \end{cases} - \quad\Rightarrow\quad - \begin{cases} - \dfrac{\partial}{\partial x} = \dfrac{\partial}{\partial z} + \dfrac{\partial}{\partial z^*} - \\ - \dfrac{\partial}{\partial y} = j\left(\dfrac{\partial}{\partial z} - \dfrac{\partial}{\partial z^*} \right) - \end{cases}, -\end{equation} -% -且有 -\begin{subequations} - \begin{equation} - \frac{\partial z^*}{\partial z} - = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\partial}{\partial x} - j\dfrac{\partial}{\partial y} \right) (x - jy) - = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial x}{\partial x} - j\frac{\partial (-jy)}{\partial y} \right) = 0, - \end{equation} - % - \begin{equation} - \frac{\partial z}{\partial z^*} - = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\partial}{\partial x} + j\dfrac{\partial}{\partial y} \right) (x + jy) - = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial x}{\partial x} + j\frac{\partial (jy)}{\partial y} \right) = 0, - \end{equation} -\end{subequations} -% -也即在 Wirtinger 微分定义下，复变量 $z$ 及其复共轭 $z^*$ 可以看做看作两个不相关的变量，对其中一个求导时，将另一项看作常量即可。 -\end{mdquote} - -首先按 Wirtinger 微分求取信源 $\mathbf{x}_t$ 的偏导 -% -\begin{align*} -\frac{\partial \ln \mathcal{L}}{\partial \mathbf{x}_t} &= - \frac{\partial }{\partial \mathbf{x}_t} \left[\frac{1}{\sigma} \left( \mathbf{y}_t-\mathbf{A}\mathbf{x}_t \right)^\Herm \left( \mathbf{y}_t-\mathbf{A}\mathbf{x}_t \right) \right] \nonumber -= - \frac{\partial }{\partial \mathbf{x}_t} \left[\frac{1}{\sigma} \left( \mathbf{y}_t^\Herm - \mathbf{x}_t^\Herm \mathbf{A}^\Herm \right)\left( \mathbf{y}_t-\mathbf{A}\mathbf{x}_t \right) \right] \nonumber -\\ -&= \frac{1}{\sigma} \left( \mathbf{y}_t^\Herm \mathbf{A} - \mathbf{x}_t^\Herm \mathbf{A}^\Herm \mathbf{A} \right) -= \frac{1}{\sigma} \left( \mathbf{y}_t-\mathbf{A}\mathbf{x}_t \right)^\Herm \mathbf{A} = \frac{1}{\sigma} \mathbf{n}_t^\Herm \mathbf{A}. -\end{align*} -% -对其进行维度修正（取转置）\footnote{% -由于按 Jacobian 定义对列向量 $\mathbf{x}_t$ 求导得到的是 $1\times K$ 的行向量，而后续推导采用列向量形式的梯度表示，因此对结果取转置以统一维度。该转置仅源于导数布局的不同约定，不影响最终结果。}，得到列向量 -% -\begin{equation} -\label{eq:first_order_derivative_source} -\frac{\partial \ln \mathcal{L}}{\partial \mathbf{x}_t} = \frac{1}{\sigma} \left(\mathbf{n}_t^\Herm \mathbf{A} \right)^\Tran = \frac{1}{\sigma} \mathbf{A}^\Tran\mathbf{n}_t^*. -\end{equation} -% -然后类似求取信源的共轭转置 $\mathbf{x}_t^\Herm $ 的偏导，得 -% -\begin{equation} -\label{eq:first_order_derivative_source_hermit} -\frac{\partial \ln \mathcal{L}}{\partial \mathbf{x}_t^\Herm } = \frac{1}{\sigma} \mathbf{A}^\Herm \mathbf{n}_t. -\end{equation} -% -然后将式 $\eqref{eq:first_order_derivative_source}$ 和 $\eqref{eq:first_order_derivative_source_hermit}$ 代入 Writinger 微分 $\eqref{eq:wirtinger_derivative}$，可得信源实部 $\mathbf{x}_t^{(r)}$ 和虚部 $\mathbf{x}_t^{(i)}$ 的一阶偏导 -% -\begin{equation} -\frac{\partial \ln \mathcal{L}}{\partial \mathbf{x}_t^{(r)}} -= \frac{1}{\sigma} \left( \mathbf{A}^\Tran\mathbf{n}_t^* + \mathbf{A}^\Herm \mathbf{n}_t \right) -= \frac{2}{\sigma} \Re\{\mathbf{A}^\Herm \mathbf{n}_t\}, -\end{equation}% -% -\begin{equation} -\frac{\partial \ln \mathcal{L}}{\partial \mathbf{x}_t^{(i)}} -= \frac{1}{\sigma} j\left( \mathbf{A}^\Tran\mathbf{n}_t^* - \mathbf{A}^\Herm \mathbf{n}_t \right) -= \frac{2}{\sigma} \Im\{\mathbf{A}^\Herm \mathbf{n}_t\}. -\end{equation} - -\subsubsection{对角度的一阶偏导} - -\begin{align} -\frac{\partial\ln \mathcal{L}}{\partial \theta_k} &= -\frac{1}{\sigma} \sum_{t=1}^T \left[ - \mathbf{x}_t^\Herm \frac{\mathrm{d}\mathbf{A}^\Herm }{\mathrm{d}\theta_k } (\mathbf{y}_t - \mathbf{A} \mathbf{x}_t) - (\mathbf{y}_t - \mathbf{A} \mathbf{x}_t)^\Herm \frac{\mathrm{d}\mathbf{A}}{\mathrm{d}\theta_k } \mathbf{x}_t \right] \nonumber -\\ -&= \frac{1}{\sigma} \sum_{t=1}^T \left[ \mathbf{x}_t^\Herm \frac{\mathrm{d}\mathbf{A}^\Herm }{\mathrm{d}\theta_k } \mathbf{n}_t + \mathbf{n}_t^\Herm \frac{\mathrm{d}\mathbf{A}}{\mathrm{d}\theta_k } \mathbf{x}_t \right] \nonumber -\\ -&= \frac{2}{\sigma} \sum_{t=1}^T \Re\left[ \mathbf{x}^\Herm _t \frac{\mathrm{d}\mathbf{A}^\Herm }{\mathrm{d}\theta_k } \mathbf{n}_t \right]. -\end{align} -% -令 $\mathbf{d}(\theta_k) \triangleq \dfrac{\diff}{\diff\theta_k} \mathbf{a} (\theta_k) \in \mathbb{C}^{M\times 1}$，$\mathbf{d}^\Herm(\theta_k) \triangleq \dfrac{\diff}{\diff\theta_k} \mathbf{a}^\Herm (\theta_k)$，$\mathbf{D} = [\mathbf{d}(\theta_1), \ldots, \mathbf{d}(\theta_K)] \in \mathbb{C}^{M\times K}$，$\mathbf{X}_t \triangleq \diag ( x_1(t), \allowbreak \ldots, \allowbreak x_K (t) ) \in \mathbb{C}^{K\times K}$，则~\footnote{对于多维 DoA 参数，需要将 $\mathbf{D}$ 扩展为关于所有角度分量的 Jacobian。此时仍可通过相同的 Schur 补思想得到等效 Fisher 信息矩阵，但最终矩阵维度和 Hadamard 表达需要按角度分量重新展开。} -% -\begin{equation} -\frac{\partial\ln \mathcal{L}}{\partial \bm{\theta}} -= \begin{bmatrix} - \dfrac{\partial}{\partial \theta_1} - \\ - \vdots - \\ - \dfrac{\partial}{\partial \theta_K} -\end{bmatrix} \ln \mathcal{L} -= \frac{2}{\sigma} \sum_{t=1}^T \Re\left[ \mathbf{X}^\Herm _t \mathbf{D}^\Herm \mathbf{n}_t \right]. -\end{equation} - - -\subsection{二阶偏导及其均值} - -\subsubsection{噪声方差的二阶偏导及均值} - -\begin{mdquote} -\vspace{-1em} -\begin{equation*} - \mathbb{E} \left[ \mathbf{n}^\Herm_t \mathbf{n}_t \right] = M \sigma_n^2 = M \sigma. -\end{equation*} -% -\begin{equation*} - \mathbb{E} \left[ \mathbf{n}^\Herm_t \mathbf{n}_t \mathbf{n}^\Herm_s \mathbf{n}_s \right] = \begin{cases} - M^2 \sigma^2, & \text{for}\ t\ne s \\ - M(M+1)\sigma^2, & \text{for}\ t = s - \end{cases}. -\end{equation*} -\end{mdquote} -% -\begin{align} -\mathbb{E}\left\{\left[\frac{\partial \ln \mathcal{L}}{\partial \sigma}\right]^2\right\} -=& \mathbb{E}\left[\left(-\frac{MT}{\sigma}+\frac{1}{\sigma^2} \sum_{t=1}^T \mathbf{n}^\Herm _t\mathbf{n}_t\right)^2 \right] -\nonumber \\ -=& \frac{M^2T^2}{\sigma^2} - \frac{2MT}{\sigma^3} \sum_{t=1}^T \mathbb{E}\left[\mathbf{n}^\Herm _t\mathbf{n}_t\right] + \frac{1}{\sigma^4} \sum_{t=1}^T \sum_{s=1}^T \mathbb{E}\left[ \mathbf{n}^\Herm _t\mathbf{n}_t\mathbf{n}^\Herm _s\mathbf{n}_s \right] -\nonumber \\ -=& \frac{M^2T^2}{\sigma^2} - \frac{2M^2T^2}{\sigma^2} + \frac{1}{\sigma^4}[(T^2-T)M^2\sigma^2 + TM(M+1)\sigma^2] -\nonumber \\ -=& \frac{MT}{\sigma^2}. -\end{align} - -\subsubsection{噪声方差和其他参量的二阶混合偏导及均值} - -由于不同时刻（$t\ne s$）的噪声不相关，相同时刻（$t=s$）高斯变量的三阶矩为零，因此有 -% -\begin{equation} -\mathbb{E}\left[ \mathbf{n}_t^\Herm \mathbf{n}_t \mathbf{n}_s^\Tran \right] = \mathbf{0}, -\end{equation} -% -因此，噪声方差和其他参量的混合二阶偏导均为零。 - -\subsubsection{信源实虚部的二阶偏导、二阶混合偏导及均值} - -\begin{mdquote} -\begin{enumerate} - \item 关于噪声的结论：噪声是时间平稳的圆对称复高斯随机过程，也即 - % - \begin{equation*} - \mathbb{E}\left[\mathbf{n}_t\mathbf{n}_s^\Herm \right] - = \sigma \mathbf I_M \delta_{ts}, - \end{equation*} - % - \begin{equation*} - \mathbb{E}[\mathbf{n}_t\mathbf{n}_s^\Tran] = 0,\quad \forall t,s. - \end{equation*} - - \item 关于实虚部乘法运算的结论（将复数按实虚部展开后可得） - \begin{align*} - &\Re\{\mathbf{x}\} \Re\{\mathbf{y}^\Tran\} = \frac{1}{2}[\Re\{\mathbf{x} \mathbf{y}^\Tran\} + \Re\{\mathbf{x} \mathbf{y}^\Herm \}], - \\ - &\Im\{\mathbf{x}\} \Im\{\mathbf{y}^\Tran\} = -\frac{1}{2}[\Re\{\mathbf{x} \mathbf{y}^\Tran\} - \Re\{\mathbf{x} \mathbf{y}^\Herm \}], - \\ - &\Re\{\mathbf{x}\} \Im\{\mathbf{y}^\Tran\} = \frac{1}{2}[\Im\{\mathbf{x} \mathbf{y}^\Tran\} - \Im\{\mathbf{x} \mathbf{y}^\Herm \}]. - \end{align*} -\end{enumerate} -\end{mdquote} -% -\begin{subequations} - \begin{align} - %信源实部的二阶偏导 - \mathbb{E}\left\{\left[\frac{\partial \ln \mathcal{L}}{\partial \mathbf{x}_t^{(r)}}\right]\left[\frac{\partial \ln \mathcal{L}}{\partial \mathbf{x}_s^{(r)}}\right]^\Tran\right\} - &= \frac{1}{\sigma^2} \mathbb{E} \left[ \left( \mathbf{A}^\Tran \mathbf{n}_t^* + \mathbf{A}^\Herm \mathbf{n}_t \right)\left( \mathbf{A}^\Tran\mathbf{n}_s^* + \mathbf{A}^\Herm \mathbf{n}_s \right)^\Tran \right] \nonumber - \\ - =& \frac{1}{\sigma^2} \mathbb{E}\left[\left( \mathbf{A}^\Tran \mathbf{n}_t^* \mathbf{n}_s^\Herm \mathbf{A} + \mathbf{A}^\Tran \mathbf{n}_t^* \mathbf{n}_s^\Tran \mathbf{A}^\ast + \mathbf{A}^\Herm \mathbf{n}_t \mathbf{n}_s^\Herm \mathbf{A} + \mathbf{A}^\Herm \mathbf{n}_t \mathbf{n}_s^\Tran \mathbf{A}^\ast \right)\right] \nonumber - \\ - =& \frac{1}{\sigma^2} \mathbb{E} \left[ \left( \mathbf{A}^\Tran \mathbf{n}_t^* \mathbf{n}_s^\Tran \mathbf{A}^\ast + \mathbf{A}^\Herm \mathbf{n}_t \mathbf{n}_s^\Herm \mathbf{A} \right) \right] - = \frac{2}{\sigma^2}\Re\left\{\mathbf{A}^\Herm \mathbb{E}\left[ \mathbf{n}_t \mathbf{n}_s^\Herm \right] \mathbf{A}\right\} \nonumber - \\ - =& \frac{2}{\sigma} \Re\left[\mathbf{A}^\Herm \mathbf{A}\right]\delta(t-s). - \end{align} - %信源实虚部的混合二阶偏导 - \begin{equation} - \mathbb{E}\left\{\left[\frac{\partial \ln \mathcal{L}}{\partial \mathbf{x}_t^{(r)}}\right]\left[\frac{\partial \ln \mathcal{L}}{\partial \mathbf{x}_s^{(i)}}\right]^\Tran\right\} - = \frac{4}{\sigma^2} \left(-\frac{1}{2}\right)\Im\left\{\mathbb{E}\left[\mathbf{A}^\Herm \mathbf{n}_t \mathbf{n}_s^\Herm \mathbf{A} \right]\right\} - = -\frac{2}{\sigma} \Im\left[\mathbf{A}^\Herm \mathbf{A}\right]\delta(t-s). - \end{equation} - %信源虚部的二阶偏导 - \begin{equation} - \mathbb{E}\left\{\left[\frac{\partial \ln \mathcal{L}}{\partial \mathbf{x}_t^{(i)}}\right]\left[\frac{\partial \ln \mathcal{L}}{\partial \mathbf{x}_s^{(i)}}\right]^\Tran\right\} - = \frac{4}{\sigma^2} \frac{1}{2}\Re\left\{\mathbb{E}\left[\mathbf{A}^\Herm \mathbf{n}_t \mathbf{n}_s^\Herm \mathbf{A} \right]\right\} - = \frac{2}{\sigma} \Re\left[\mathbf{A}^\Herm \mathbf{A}\right]\delta(t-s). - \end{equation} -\end{subequations} - - -\subsubsection{信源实虚部与角度的混合二阶偏导及均值} - -\begin{subequations} - \begin{equation} - \mathbb{E}\left\{\left[\frac{\partial \ln \mathcal{L}}{\partial \mathbf{x}_t^{(r)}}\right]\left[\frac{\partial\ln \mathcal{L}}{\partial \bm{\theta}}\right]^\Tran\right\} - = \frac{4}{\sigma^2} \sum_{t=1}^T\frac{1}{2}\Re\{\mathbf{A}^\Herm \mathbb{E}\left[ \mathbf{n}_t\mathbf{n}_t^\Herm \right] \mathbf{D} \mathbf{X}_t\} - = \frac{2}{\sigma}\Re\left[ \mathbf{A}^\Herm \mathbf{D} \mathbf{X}_t \right]. - \end{equation} - % - \begin{equation} - \mathbb{E}\left\{\left[\frac{\partial \ln \mathcal{L}}{\partial \mathbf{x}_t^{(i)}}\right]\left[\frac{\partial\ln \mathcal{L}}{\partial \bm{\theta}}\right]^\Tran\right\} - = \frac{4}{\sigma^2} \sum_{t=1}^T\left(-\frac{1}{2}\right)\Im\{\mathbf{A}^\Herm \mathbb{E}\left[ \mathbf{n}_t\mathbf{n}_s^\Herm \right] \mathbf{D} \mathbf{X}_t\} - = \frac{2}{\sigma}\Im\left[ \mathbf{A}^\Herm \mathbf{D} \mathbf{X}_t \right]. - \end{equation} -\end{subequations} - - -\subsubsection{角度的二阶偏导及均值} - -\begin{equation} -\mathbb{E}\left\{\left[\frac{\partial\ln \mathcal{L}}{\partial \bm{\theta}}\right]\left[\frac{\partial\ln \mathcal{L}}{\partial \bm{\theta}}\right]^\Tran\right\} -= \frac{4}{\sigma^2} \sum_{t=1}^T \sum_{s=1}^T \frac{1}{2} \Re\{\mathbf{X}_t^\Herm \mathbf{D}^\Herm \mathbb{E}\left[ \mathbf{n}_t\mathbf{n}_s^\Herm \right] \mathbf{D} \mathbf{X}_s\} -= \frac{2}{\sigma} \sum_{t=1}^T \Re\left[ \mathbf{X}_t^\Herm \mathbf{D}^\Herm \mathbf{D} \mathbf{X}_t \right]. -\end{equation} - -\subsection{Fisher 信息矩阵/CRB 协方差矩阵构造} - -\begin{mdquote} - \begin{enumerate} - \item 复矩阵求逆法则：令 $\mathbf{H}$ 是非奇异矩阵，且有 $\mathbf{G}\triangleq\mathbf{H}^{-1}$，则 - \begin{equation} - \left[ \begin{matrix} - \Re\{\mathbf{H}\} & -\Im\{\mathbf{H}\} \\ - \Im\{\mathbf{H}\} & \Re\{\mathbf{H}\} \\ - \end{matrix}\right] ^{-1} = \left[ \begin{matrix} - \Re\{\mathbf{G}\} & -\Im\{\mathbf{G}\} \\ - \Im\{\mathbf{G}\} & \Re\{\mathbf{G}\} \\ - \end{matrix}\right]. - \end{equation} - - \item Schur 补在 \gls{fim} 中的应用：当 \gls{fim} 被分块为 - % - \begin{equation} - \mathcal{I} = \left[ \begin{matrix} - \mathcal{I}_{\theta\theta} & \mathcal{I}_{\theta\psi} \\ - \mathcal{I}_{\psi\theta} & \mathcal{I}_{\psi\psi} - \end{matrix} \right], - \end{equation} - % - 其中 $\bm{\theta}$ 为目标参数，$\bm{\psi}$ 为扰动（nuisance）参数，可以通过 Schur 补获得 CRB - % - \begin{equation} - \label{eq:schur_complement} - \mathrm{CRB}^{-1}(\bm{\theta}) - = \mathcal{I}_{\mathrm e} - = \mathcal{I}_{\theta\theta} - \mathcal{I}_{\theta\psi} \mathcal{I}_{\psi\psi}^{-1} \mathcal{I}_{\psi\theta}. - \end{equation} - \end{enumerate} -\end{mdquote} - -\Gls{fim} 可以写为 -% -\begin{align} - &\mathcal{I} \left( \sigma, \mathbf{x}_{1}^{{(r)}}, \mathbf{x}_{1}^{{(i)}}, \ldots, \mathbf{x}_{T}^{{(r)}}, \mathbf{x}_{T}^{{(i)}},\bm{\theta } \right) \nonumber - \\ - =& \left[ \begin{array}{c:c:c} - \text{CRB}^{-1}(\sigma) & 0 & 0 \\ \hdashline - 0 & \begin{array}{c:c:c} - \begin{matrix} - \Re\{\mathbf{H}\}\quad & -\Im\{\mathbf{H}\}\quad \\ - \Im\{\mathbf{H}\}\quad & \Re\{\mathbf{H}\}\quad \\ - \end{matrix} & & 0 \\ - \hdashline - & \ddots & \\ - \hdashline - 0 & & \begin{matrix} - \Re\{\mathbf{H}\}\quad & -\Im\{\mathbf{H}\}\quad\,\, \\ - \Im\{\mathbf{H}\}\quad & \Re\{\mathbf{H}\}\quad \\ - \end{matrix} \\ - \end{array} & \begin{matrix} - \Re\{\bm{\Delta}_1\} \\ \Im\{\bm{\Delta}_1\} \\ \hdashline \vdots \\ \hdashline \Re\{\bm{\Delta}_T\} \\ \Im\{\bm{\Delta}_T\} - \end{matrix} \\ - \hdashline - 0 & \begin{array}{cc:c:cc} - \Re\{\bm{\Delta}_1\}^\Tran & - \Im\{\bm{\Delta}_1\}^\Tran & - \cdots & - \Re\{\bm{\Delta}_T\}^\Tran & - \Im\{\bm{\Delta}_T\}^\Tran - \end{array} &\bm{\Gamma} - \end{array} - \right], -\end{align} -% -其中 $\text{CRB}(\sigma) = \dfrac{\sigma^2}{MT}$，$\mathbf{H} = \dfrac{2}{\sigma}\mathbf{A}^\Herm \mathbf{A}$，$\bm{\Delta}_t = \dfrac{2}{\sigma} \mathbf{A}^\Herm \mathbf{D} \mathbf{X}_t$，$\bm{\Gamma} = \dfrac{2}{\sigma}\displaystyle\sum_{t=1}^T \Re\left[ \mathbf{X}_t^\Herm \mathbf{D}^\Herm \mathbf{D} \mathbf{X}_t \right]$。注意到，由于噪声方差和其他各参量的联合二阶偏导数为零，因此噪声方差这个参量不会通过 Schur 补影响 $\bm{\theta}$，也即可以只考虑除噪声方差之外的参量构成的 \gls{fim}。 - -我们的目标是通过 Schur 补消去确定信号快拍 $\{\mathbf x_t\}_{t=1}^T$，得到关于 $\bm\theta$ 的等效 Fisher 信息矩阵；随后对该等效 Fisher 信息矩阵求逆，得到 $\bm\theta$ 的 CRB 协方差矩阵。首先定义几个辅助变量，令 -% -\begin{equation*} - \mathbf{F}_{\psi\psi}=\left[ \begin{array}{c:c:c} - \begin{matrix} - \Re\{\mathbf{H}\} & -\Im\{\mathbf{H}\} \\ - \Im\{\mathbf{H}\} & \Re\{\mathbf{H}\} \\ - \end{matrix} - & & 0 \\ - \hdashline - & \ddots & \\ - \hdashline - 0 & & \begin{matrix} - \Re\{\mathbf{H}\} & -\Im\{\mathbf{H}\} \\ - \Im\{\mathbf{H}\} & \Re\{\mathbf{H}\} \\ - \end{matrix} \\ - \end{array} \right],\quad - % - \mathbf{F}_{\psi\theta} = \left[ \begin{array}{c} - \Re\{\bm{\Delta}_1\} \\ - \Im\{\bm{\Delta}_1\} \\ - \hdashline - \vdots \\ - \hdashline - \Re\{\bm{\Delta}_T\} \\ - \Im\{\bm{\Delta}_T\} - \end{array}\right], -\end{equation*} -% -\begin{equation*} - \mathbf{F}_{\theta\psi} = \left[ - \begin{array}{c:c:c} - \begin{matrix} - \Re\{\bm{\Delta}_1\}^\Tran & \Im\{\bm{\Delta}_1\}^\Tran - \end{matrix} - & - \cdots - & - \begin{matrix} - \Re\{\bm{\Delta}_T\}^\Tran & \Im\{\bm{\Delta}_T\}^\Tran - \end{matrix} - \end{array} \right]. -\end{equation*} -% -因此，我们有 -% -\begin{align} - \mathrm{CRB}^{-1}(\bm{\theta}) = \bm{\Gamma}-\mathbf{F}_{\theta\psi}\mathbf{F}_{\psi\psi}^{-1}\mathbf{F}_{\psi\theta} -\end{align} -% -观察矩阵结构，通过分块矩阵乘法，令 $\mathbf{G} = \mathbf{H}^{-1}$，可以有~\footnote{将右侧按照复数乘法展开即可得到。} -% -\begin{equation*} - \left[ \begin{matrix} - \Re\{\mathbf{G}\} & -\Im\{\mathbf{G}\} \\ - \Im\{\mathbf{G}\} & \Re\{\mathbf{G}\} \\ - \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} - \Re\{\bm{\Delta}_t\} \\ - \Im\{\bm{\Delta}_t\} \\ - \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} - \Re\{\mathbf{G}\}\Re\{\bm{\Delta}_t\} - \Im\{\mathbf{G}\}\Im\{\bm{\Delta}_t\} \\ - \Im\{\mathbf{G}\}\Re\{\bm{\Delta}_t\} + \Re\{\mathbf{G}\}\Im\{\bm{\Delta}_t\} \\ - \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} - \Re\{\mathbf{G}\bm{\Delta}_t\} \\ - \Im\{\mathbf{G}\bm{\Delta}_t\} \\ - \end{matrix} \right], -\end{equation*} -% -以及~\footnote{将右侧展开，$\Re\{\bm{\Delta}_t^\Herm \mathbf{G}\bm{\Delta}_t\} = (\Re\{\bm{\Delta}_t\} - j \Im\{\bm{\Delta}_t\})^\Tran (\Re\{\mathbf{G}\bm{\Delta}_t\} + j \Im\{\mathbf{G}\bm{\Delta}_t\}) $，即可得到。} -% -\begin{equation*} -\left[ \begin{matrix} - \Re\{\bm{\Delta}_t\}^\Tran & \Im\{\bm{\Delta}_t\}^\Tran \\ - \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} - \Re\{\mathbf{G}\bm{\Delta}_t\} \\ - \Im\{\mathbf{G}\bm{\Delta}_t\} \\ - \end{matrix} \right] = \Re\{\bm{\Delta}_t^\Herm \mathbf{G}\bm{\Delta}_t\}, -\end{equation*} -% -因此，角度的 \gls{crb} 可以表示为 -% -\begin{align} - \mathrm{CRB}^{-1}(\bm{\theta}) &= \bm{\Gamma} - \sum_{t=1}^T \Re\{\bm{\Delta}_t^\Herm \mathbf{G}\bm{\Delta}_t\} \nonumber - = \dfrac{2}{\sigma} \sum_{t=1}^T \Re\left\{ \mathbf{X}_t^\Herm \mathbf{D}^\Herm \mathbf{D} \mathbf{X}_t - \mathbf{X}_t^\Herm \mathbf{D}^\Herm \mathbf{A}(\mathbf{A}^\Herm \mathbf{A})^{-1}\mathbf{A}^\Herm \mathbf{D} \mathbf{X}_t \right\} \nonumber - \\ - &= \dfrac{2}{\sigma} \sum_{t=1}^T \Re\left\{ \mathbf{X}_t^\Herm \mathbf{D}^\Herm \left[ \mathbf{I} - \mathbf{A}(\mathbf{A}^\Herm \mathbf{A})^{-1}\mathbf{A}^\Herm \right] \mathbf{D} \mathbf{X}_t \right\}. -\end{align} - -参考 \cite{stoicaMusicMaximumLikelihood1989} 进一步定义阵列导向矩阵的列空间的投影矩阵 $\mathcal{P}_{\mathbf{A}} = \mathbf{A}(\mathbf{A}^\Herm \mathbf{A})^{-1}\mathbf{A}^\Herm$，及其正交补空间的投影矩阵 $\mathcal{P}_{\mathbf{A}}^\perp = \mathbf{I} -\mathcal{P}_{\mathbf{A}}$，投影矩阵下的等效信息矩阵 $\mathcal{H} = \mathbf{D}^\Herm \mathcal{P}_{\mathbf{A}}^\perp \mathbf{D}$，确定信号的经验协方差 $\mathbf R_{x,\mathrm{det}} = \dfrac{1}{T} \displaystyle\sum_{t=1}^T \mathbf{x}_t \mathbf{x}_t^\Herm$，则关于角度的等效 Fisher 信息矩阵可以表示为 -% -\begin{align} - \mathcal I_{\mathrm e}(\bm\theta) - = \mathrm{CRB}^{-1}(\bm{\theta}) - = \frac{2T}{\sigma} \Re\left\{ \mathcal{H} \odot \mathbf R_{x,\mathrm{det}}^\Tran \right\}. -\end{align} -% -因此，条件（conditional）\gls{crb} 或确定（deterministic）\gls{crb} 为 -% -\begin{align} - \mathcal{B}_c - := \mathrm{CRB}(\bm{\theta}) - = \frac{\sigma}{2T} - \left[\Re\left\{ \mathcal{H} \odot \mathbf R_{x,\mathrm{det}}^\Tran \right\}\right]^{-1}, -\end{align} -% -其中 $\odot$ 表示 Hadamard 积。 - -该结果是单阵列确定信号 DoA 的条件 CRB 基线。后续单阵列 DoA--Doppler 和多星 DoA--Doppler 的 CRB 推导会沿用“先构造完整 Fisher 信息，再对干扰参数做 Schur 补”的处理方式。 diff --git a/parts/A4-stoDoaCrb.tex b/parts/A4-stoDoaCrb.tex deleted file mode 100644 index 5a33a54..0000000 --- a/parts/A4-stoDoaCrb.tex +++ /dev/null @@ -1,307 +0,0 @@ -\section{随机信号 DoA 估计的 CRB 推导} -\label{sec:sto_doa_crb} - -本附录对应第~\ref{sec:sto_doa_est} 节的单阵列随机信号 DoA 模型。由 \ref{subsubsec:general_gauss_crb} 可知，零均值圆对称复高斯随机过程的 \gls{crb} 可以表示为 -% -\begin{equation} - [\mathcal I(\boldsymbol\kappa)]_{ij} - = T\Re\left\{\tr \left[ - \mathbf{R}^{-1} (\boldsymbol\kappa) \frac{\partial \mathbf{R} (\boldsymbol\kappa)}{\partial \kappa_i} \mathbf{R}^{-1} (\boldsymbol\kappa) \frac{\partial \mathbf{R} (\boldsymbol\kappa)}{\partial \kappa_j} - \right]\right\}. -\end{equation} -% -因此可以通过类似\ref{sec:det_doa_crb} 的方式，按照第 \ref{sec:sto_doa_est} 节的建模方式，求出接收信号协方差矩阵 $\mathbf{R} = \mathbf{A} \mathbf{R}_x \mathbf{A}^\Herm + \sigma \mathbf{I}_M$ 对各个参量的一阶导数，构建 \gls{fim}。 -随机信号 \gls{doa} 估计问题的参数向量可以写为 -% -\begin{equation*} - \boldsymbol\kappa = \begin{bmatrix} - \boldsymbol\theta \\ \boldsymbol\psi - \end{bmatrix}, - \quad - \boldsymbol\psi = \begin{bmatrix} - \operatorname{vech}_{\mathbb R}(\mathbf{R}_x) \\ \sigma - \end{bmatrix}, -\end{equation*} -% -其中 $\boldsymbol\theta$ 为待估 \gls{doa} 参数向量。严格地说，$\mathbf R_x=\mathbf R_x^\Herm$ 应采用非冗余实参数化；为避免引入额外记号，下文仅用 $\boldsymbol\psi$ 表示信源协方差与噪声方差组成的干扰参数集合，$\sigma \triangleq \sigma_n^2$ 为噪声方差。 -由 $\eqref{eq:schur_complement}$ 的 Schur 补可得 \gls{doa} 的等效 \gls{fim} 为 -% -\begin{equation*} - \mathcal{I}_{\mathrm e} - = \mathcal{I}_{\theta\theta} - \mathcal{I}_{\theta\psi} \mathcal{I}_{\psi\psi}^{-1} \mathcal{I}_{\psi\theta}. -\end{equation*} -% -但是在随机信号模型中，直接计算 Fisher 块需要显式处理 $\mathbf{R}^{-1}$ 与各导数的耦合项，代数推导代价很高，因此参考 \cite{stoicaPerformanceStudyConditional1990}，通过协方差扰动子空间的结构，将干扰参数 $\boldsymbol\psi$ 所能引起的协方差扰动张成一个线性子空间，并将 $\mathbf{R}_i \triangleq \dfrac{\partial \mathbf{R} (\boldsymbol\kappa)}{\partial \kappa_i}$ 中落在该子空间内的分量投影消去，从而得到与 Schur 补等价的投影消元形式。 - -\subsection{干扰参数扰动子空间} - -在随机信号模型下，接收信号协方差矩阵为 -% -\begin{equation*} - \mathbf{R} = \mathbf{A} \mathbf{R}_x \mathbf{A}^\Herm + \sigma \mathbf{I}_M. -\end{equation*} -% -目标参数为 \gls{doa} 参数 $\bm{\theta}$，但协方差矩阵不仅依赖 $\bm{\theta}$，还依赖信源协方差 $\mathbf{R}_x$ 和噪声功率 $\sigma$。 -因此，当接收信号协方差发生微小变化时，这种变化可能来自 \gls{doa} 的变化、信源功率或源相关性的变化、噪声功率的变化。 -\emph{为了区分这些不同来源的变化，有必要分析对于不同参数的微小扰动，会使协方差矩阵沿哪些方向发生变化。} - -设参数发生一个小扰动，即 -% -\begin{equation*} - \mathbf{R}_x \to \mathbf{R}_x + \Delta \mathbf{R}_x, - \quad - \sigma \to \sigma + \Delta \sigma, -\end{equation*} -% -则协方差的变化为 -% -\begin{equation*} - \Delta \mathbf{R} = \mathbf{A} (\Delta\mathbf{R}_x) \mathbf{A}^\Herm + (\Delta\sigma) \mathbf{I}_M. -\end{equation*} -% -可以看出，协方差的扰动具有固定的结构，包括第一类扰动 $\mathbf{A}(\ \cdot \ )\mathbf{A}^\Herm$ 和第二类扰动 $\mathbf{I}_M$。 -也即干扰参数 $(\mathbf{R}_x, \sigma)$ 只能使协方差沿某些\emph{特定方向}变化，而不可能产生任意形式的矩阵变化。 - -将所有由干扰参数产生的协方差扰动集合定义为 -% -\begin{equation} - \mathcal{S}_{\boldsymbol\psi} - = \left\{ \mathbf{A} \mathbf{X} \mathbf{A}^\Herm + \mu \mathbf{I}_M \mid \mathbf{X} = \mathbf{X}^\Herm, \mu \in \mathbb{R} \right\} - \subseteq \mathrm{span}_{\mathbb R} \left\{ \mathbf{a}_i \mathbf{a}_j^\Herm,\; j\le i,\; \mathbf I_M \right\}, -\end{equation} -% -这个集合包含了所有可能由信源协方差和噪声功率变化引起的接收信号协方差变化。由于 $\Delta\mathbf R_x$ 必须保持 Hermitian，上式中的张成应理解为 Hermitian 矩阵集合上的实线性张成，本文称该集合为\emph{干扰参数扰动子空间}。 -它描述了协方差矩阵由于干扰参数变化所能移动的所有方向。 - -Schur 补 $\mathcal{I}_{\mathrm e} -= \mathcal{I}_{\theta\theta} - \mathcal{I}_{\theta\psi} \mathcal{I}_{\psi\psi}^{-1} \mathcal{I}_{\psi\theta}$ 的本质是从 $\mathcal{I}_{\theta\theta}$ 中剔除可以被干扰参数“解释”的变化部分，从而获得关于 \gls{doa} 的独立信息。 -因此 Schur 补在几何上等价于将 $\mathbf{R}_{\theta_i}$ 在扰动子空间 $\mathcal{S}_{\boldsymbol\psi}$ 上的分量消除，只保留与该子空间正交的部分。 - -\subsection{Fisher 块构建} - -考虑等式 -% -\begin{equation*} - \tr (\mathbf{X}^\Herm \mathbf{Y}) = \vect (\mathbf{X})^\Herm \vect (\mathbf{Y}), -\end{equation*} -% -\begin{equation*} - \tr (\mathbf{R}^{-1} \mathbf{X} \mathbf{R}^{-1} \mathbf{Y}) - = \vect (\mathbf{X})^\Herm (\mathbf{R}^{-\Tran} \otimes \mathbf{R}^{-1}) \vect (\mathbf{Y}) - = \vect (\mathbf{X})^\Herm \mathbf{W} \vect (\mathbf{Y}), -\end{equation*} -% -其中 $\otimes$ 表示 Kronecker 积，$\mathbf{W} \triangleq \mathbf{R}^{-\Tran} \otimes \mathbf{R}^{-1}$。由于这里所有参数均为实参数，且各协方差导数为 Hermitian，迹项理论上为实数；下文显式保留 $\Re\{\cdot\}$ 以避免复数数值舍入误差。则考虑 $T$ 个快拍时，Fisher 信息 -% -\begin{align} - [\mathcal{I}]_{ij} - &= T\Re\left\{\tr (\mathbf{R}^{-1} \mathbf{R}_i \mathbf{R}^{-1} \mathbf{R}_j)\right\} - \nonumber \\ - &= T\Re\left\{\vect (\mathbf{R}_i)^\Herm (\mathbf{R}^{-\Tran} \otimes \mathbf{R}^{-1}) \vect (\mathbf{R}_j)\right\} - = T\Re\left\{\vect (\mathbf{R}_i)^\Herm \mathbf{W} \vect (\mathbf{R}_j)\right\}. -\end{align} - -定义 $\mathbf{G}_{\bm{\theta}} \triangleq [\vect (\mathbf{R}_{\theta_1}), \ldots, \vect (\mathbf{R}_{\theta_K})]$，$\mathbf{G}_{\boldsymbol\psi} \triangleq [\vect (\mathbf{R}_{\psi_1}), \ldots, \vect (\mathbf{R}_{\psi_q})]$，则 \gls{fim} 的各项可以写为 -% -\begin{subequations} -\begin{equation} - [\mathcal{I}_{\theta\theta}]_{ij} - = T\Re\left\{\tr (\mathbf{R}^{-1} \mathbf{R}_{\theta_i} \mathbf{R}^{-1} \mathbf{R}_{\theta_j})\right\} - = T\Re\left\{\vect (\mathbf{R}_{\theta_i})^\Herm \mathbf{W} \vect (\mathbf{R}_{\theta_j})\right\}, -\end{equation} -% -\begin{equation} - [\mathcal{I}_{\theta\psi}]_{ij} - = T\Re\left\{\tr (\mathbf{R}^{-1} \mathbf{R}_{\theta_i} \mathbf{R}^{-1} \mathbf{R}_{\psi_j})\right\} - = T\Re\left\{\vect (\mathbf{R}_{\theta_i})^\Herm \mathbf{W} \vect (\mathbf{R}_{\psi_j})\right\}, -\end{equation} -% -\begin{equation} - [\mathcal{I}_{\psi\psi}]_{ij} - = T\Re\left\{\tr (\mathbf{R}^{-1} \mathbf{R}_{\psi_i} \mathbf{R}^{-1} \mathbf{R}_{\psi_j})\right\} - = T\Re\left\{\vect (\mathbf{R}_{\psi_i})^\Herm \mathbf{W} \vect (\mathbf{R}_{\psi_j})\right\}, -\end{equation} -\end{subequations} -% -写成矩阵形式，有 -% -\begin{subequations} -\begin{equation} - \mathcal{I}_{\theta\theta} = T\Re\left\{\mathbf{G}_{\bm{\theta}}^\Herm \mathbf{W} \mathbf{G}_{\bm{\theta}}\right\}, -\end{equation} -% -\begin{equation} - \mathcal{I}_{\theta\psi} = T\Re\left\{\mathbf{G}_{\bm{\theta}}^\Herm \mathbf{W} \mathbf{G}_{\boldsymbol\psi}\right\}, -\end{equation} -% -\begin{equation} - \mathcal{I}_{\psi\psi} = T\Re\left\{\mathbf{G}_{\boldsymbol\psi}^\Herm \mathbf{W} \mathbf{G}_{\boldsymbol\psi}\right\}, -\end{equation} -\end{subequations} -% -代入 Schur 补，有 -% -\begin{equation} - \mathcal{I}_{\mathrm e} - = \mathcal{I}_{\theta\theta} - \mathcal{I}_{\theta\psi} \mathcal{I}_{\psi\psi}^{-1} \mathcal{I}_{\psi\theta} - = T \mathbf{G}_{\bm{\theta}}^\Herm \mathbf{W} \left( \mathbf{I} - \mathcal{P}^{(\mathbf{W})}_{\boldsymbol\psi} \right) \mathbf{G}_{\bm{\theta}}, -\end{equation} -% -其中 $\mathcal{P}^{(\mathbf{W})}_{\boldsymbol\psi} \triangleq \mathbf{G}_{\boldsymbol\psi} (\mathbf{G}_{\boldsymbol\psi}^\Herm \mathbf{W} \mathbf{G}_{\boldsymbol\psi})^{-1} \mathbf{G}_{\boldsymbol\psi}^\Herm \mathbf{W}$ 是干扰空间的 $\mathbf{W}$ 加权投影矩阵。 - -\subsection{有效 Fisher 信息求取} - -下面先给出每个信源对应一个标量角参数 $\theta_k$ 的标准 stochastic CRB 形式。若某个信源使用二维或更高维方向参数，只需将下文的单索引 $k$ 扩展为参数索引 $(k,r)$，并把 $\mathbf d_k$ 替换为 $\partial\mathbf a(\bm\theta_k)/\partial[\bm\theta_k]_r$；Fisher 信息矩阵的元素级表达保持相同。 - -接收信号协方差矩阵对角度的一阶偏导为 -% -\begin{equation*} - \mathbf{R}_{\theta_k} - \triangleq \frac{\partial\mathbf{R}}{\partial\theta_k} - = \frac{\diff \mathbf{A}}{\diff \theta_k} \mathbf{R}_x \mathbf{A}^\Herm + \mathbf{A} \mathbf{R}_x \left( \frac{\diff \mathbf{A}}{\diff \theta_k} \right)^\Herm. -\end{equation*} -% -令 $\mathbf{d}_k := \mathbf{d}(\theta_k) \triangleq \dfrac{\diff}{\diff\theta_k} \mathbf{a} (\theta_k) \in \mathbb{C}^{M\times 1}$，$\mathbf{d}_k^\Herm \triangleq \dfrac{\diff}{\diff\theta_k} \mathbf{a}^\Herm (\theta_k)$，$\mathbf{R}_x = [\mathbf r_{x,1}, \ldots, \mathbf r_{x,K}]$，则 -% -\begin{equation} - \label{eq:par_recv_cov_angle} - \mathbf{R}_{\theta_k} - = \mathbf{d}_k \mathbf r_{x,k}^\Herm \mathbf{A}^\Herm + \mathbf{A} \mathbf r_{x,k} \mathbf{d}_k^\Herm. -\end{equation} - -令阵列流形矩阵的列向量（也即导向矢量）张成的信号子空间为 $\mathrm{span}(\mathbf{A})$，则其投影矩阵和其正交补空间的投影矩阵分别为 -% -\begin{equation*} - \mathcal{P}_\mathbf{A} = \mathbf{A} \left( \mathbf{A}^\Herm \mathbf{A} \right)^{-1} \mathbf{A}^\Herm, - \quad - \mathcal{P}_\mathbf{A}^\perp = \mathbf{I} - \mathbf{A} \left( \mathbf{A}^\Herm \mathbf{A} \right)^{-1} \mathbf{A}^\Herm, -\end{equation*} -% -则 $\mathbf{d}_k$ 可以正交投影分解为 -% -\begin{equation} - \label{eq:steering_vec_diff_orth_decompose} - \mathbf{d}_k - = \mathcal{P}_\mathbf{A} \mathbf{d}_k + \mathcal{P}_\mathbf{A}^\perp \mathbf{d}_k - = \mathbf{A} \beta_k + \mathbf{d}_k^\perp, -\end{equation} -% -其中 $\beta_k \triangleq \left( \mathbf{A}^\Herm \mathbf{A} \right)^{-1} \mathbf{A}^\Herm \mathbf{d}_k$，$\mathbf{d}_k^\perp = \mathcal{P}_\mathbf{A}^\perp \mathbf{d}_k$。 - -将 $\eqref{eq:steering_vec_diff_orth_decompose}$ 代入 $\eqref{eq:par_recv_cov_angle}$，有 -% -\begin{equation} - \mathbf{R}_{\theta_k} - = \underset{\in \mathrm{span}\{ \mathbf{A}(\ \cdot \ )\mathbf{A}^\Herm \} \subset \mathcal{S}_{\boldsymbol\psi}}{\underbrace{\mathbf{A} \left( \beta_k \mathbf r_{x,k}^\Herm + \mathbf r_{x,k} \beta_k^\Herm \right) \mathbf{A}^\Herm}} - + - \underset{\triangleq \mathbf{R}_{\theta_k}^{\mathrm{eff}}}{\underbrace{\mathbf{d}_k^\perp \mathbf r_{x,k}^\Herm \mathbf{A}^\Herm + \mathbf{A} \mathbf r_{x,k} \left( \mathbf{d}_k^\perp \right)^\Herm}}, -\end{equation} -% -第一项位于干扰参数扰动子空间 $\mathcal{S}_{\boldsymbol\psi}$ 中，会被加权投影意义下的 $\mathcal P_{\boldsymbol\psi}^{(\mathbf W),\perp}$ 消去，也即 -% -\begin{equation} - \mathcal P_{\boldsymbol\psi}^{(\mathbf W),\perp} \vect (\mathbf{R}_{\theta_k}) - = \vect \left( \mathbf{R}_{\theta_k}^{\mathrm{eff}} \right), -\end{equation} -% -因此，有效 Fisher 信息可以写作 -% -\begin{equation} - \label{eq:sto_doa_eff_fisher_info} - [\mathcal{I}_{\mathrm e}]_{ij} - = T\Re\left\{\left[\vect \left( \mathbf{R}_{\theta_i}^{\mathrm{eff}} \right) \right]^\Herm \mathbf{W} \vect \left( \mathbf{R}_{\theta_j}^{\mathrm{eff}} \right)\right\} - = T\Re\left\{\tr \left( \mathbf{R}^{-1} \mathbf{R}_{\theta_i}^{\mathrm{eff}} \mathbf{R}^{-1} \mathbf{R}_{\theta_j}^{\mathrm{eff}} \right)\right\}. -\end{equation} -% -令 $\mathbf{R}_k^{(1)} = \mathbf{d}_k^\perp \mathbf r_{x,k}^\Herm \mathbf{A}^\Herm$，$\mathbf{R}_k^{(2)} = \mathbf{A} \mathbf r_{x,k} \left( \mathbf{d}_k^\perp \right)^\Herm$，则 -% -\begin{equation} - \mathbf{R}_{\theta_k}^{\mathrm{eff}} = \mathbf{R}_k^{(1)} + \mathbf{R}_k^{(2)}. -\end{equation} -% -按此形式对 $\eqref{eq:sto_doa_eff_fisher_info}$ 进行展开，有 -% -\begin{align} - [\mathcal{I}_{\mathrm e}]_{ij} - =& T \tr \left( \mathbf{R}^{-1} \mathbf{R}_{\theta_i}^{\mathrm{eff}} \mathbf{R}^{-1} \mathbf{R}_{\theta_j}^{\mathrm{eff}} \right) - = T \tr \left( \mathbf{R}^{-1} \left( \mathbf{R}_i^{(1)} + \mathbf{R}_i^{(2)} \right) \mathbf{R}^{-1} \left( \mathbf{R}_j^{(1)} + \mathbf{R}_j^{(2)} \right) \right) - \nonumber \\ - =& \underset{\triangleq T_{11}}{\underbrace{T \tr \left( \mathbf{R}^{-1} \mathbf{R}_i^{(1)} \mathbf{R}^{-1} \mathbf{R}_j^{(1)} \right)}} - + \underset{\triangleq T_{12}}{\underbrace{T \tr \left( \mathbf{R}^{-1} \mathbf{R}_i^{(1)} \mathbf{R}^{-1} \mathbf{R}_j^{(2)} \right)}} - + \underset{\triangleq T_{21}}{\underbrace{T \tr \left( \mathbf{R}^{-1} \mathbf{R}_i^{(2)} \mathbf{R}^{-1} \mathbf{R}_j^{(1)} \right)}} - \nonumber \\ - &+ \underset{\triangleq T_{22}}{\underbrace{T \tr \left( \mathbf{R}^{-1} \mathbf{R}_i^{(2)} \mathbf{R}^{-1} \mathbf{R}_j^{(2)} \right)}} -\end{align} - -由 Woodbury 公式 $(\mathbf{A} + \mathbf{UBV})^{-1} = \mathbf{A}^{-1} - \mathbf{A}^{-1} \mathbf{U} \left( \mathbf{B}^{-1} + \mathbf{VA}^{-1} \mathbf{U} \right)^{-1} \mathbf{VA}^{-1}$，接收信号协方差矩阵 $\mathbf{R} = \mathbf{A} \mathbf{R}_x \mathbf{A}^\Herm + \sigma \mathbf{I}_M$ 的逆可以写为 -% -\begin{equation} - \mathbf{R}^{-1} = \frac{1}{\sigma} \mathbf{I}_M - \frac{1}{\sigma^2} \mathbf{A} \left( \mathbf{R}_x^{-1} + \frac{1}{\sigma} \mathbf{A}^\Herm \mathbf{A} \right)^{-1} \mathbf{A}^\Herm. -\end{equation} -% -由于 $\mathbf{A}^\Herm \mathcal{P}_\mathbf{A}^\perp = 0$，$\mathcal{P}_\mathbf{A}^\perp \mathbf{A} = 0$，因此 -% -\begin{equation} - \mathbf{A}^\Herm \mathbf{R}^{-1} \mathcal{P}_\mathbf{A}^\perp = 0, - \quad - \mathcal{P}_\mathbf{A}^\perp \mathbf{R}^{-1} \mathbf{A} = 0. -\end{equation} -% -接下来计算 $[\mathcal{I}_{\mathrm e}]_{ij}$ 的各分量。令 $\mathbf{U} = \mathbf{R}_x \mathbf{A}^\Herm \mathbf{R}^{-1} \mathbf{A}\mathbf{R}_x$，则 -% -\begin{subequations} -\begin{align} - T_{11} - &= T \tr \left( \mathbf{R}^{-1} \mathbf{R}_i^{(1)} \mathbf{R}^{-1} \mathbf{R}_j^{(1)} \right) - = T \tr \left( \mathbf{R}^{-1} \left( \mathbf{d}_i^\perp \mathbf r_{x,i}^\Herm \mathbf{A}^\Herm \right) \mathbf{R}^{-1} \left( \mathbf{d}_j^\perp \mathbf r_{x,j}^\Herm \mathbf{A}^\Herm \right) \right) - \nonumber \\ - &= T \tr \left( \mathbf r_{x,j}^\Herm \mathbf{A}^\Herm \mathbf{R}^{-1} \mathbf{d}_i^\perp \mathbf r_{x,i}^\Herm \mathbf{A}^\Herm \mathbf{R}^{-1} \mathbf{d}_j^\perp \right) - = T \tr \left( \mathbf r_{x,j}^\Herm \mathbf{A}^\Herm \mathbf{R}^{-1} \mathcal{P}_\mathbf{A}^\perp \mathbf{d}_i \mathbf r_{x,i}^\Herm \mathbf{A}^\Herm \mathbf{R}^{-1} \mathcal{P}_\mathbf{A}^\perp \mathbf{d}_j \right) = 0, - \\ - T_{12} - &= T \tr \left( \mathbf{R}^{-1} \mathbf{R}_i^{(1)} \mathbf{R}^{-1} \mathbf{R}_j^{(2)} \right) - = T \tr \left( \mathbf{R}^{-1} \left( \mathbf{d}_i^\perp \mathbf r_{x,i}^\Herm \mathbf{A}^\Herm \right) \mathbf{R}^{-1} \left( \mathbf{A} \mathbf r_{x,j} \left( \mathbf{d}_j^\perp \right)^\Herm \right) \right) - \nonumber \\ - &= T \left( \left( \mathbf{d}_j^\perp \right)^\Herm \mathbf{R}^{-1} \mathbf{d}_i^\perp \mathbf r_{x,i}^\Herm \mathbf{A}^\Herm \mathbf{R}^{-1} \mathbf{A} \mathbf r_{x,j} \right) - = T \left( \mathbf{d}_j^\perp \right)^\Herm \mathbf{R}^{-1} \mathbf{d}_i^\perp [\mathbf{U}]_{ij}, - \\ - T_{21} - &= T \tr \left( \mathbf{R}^{-1} \mathbf{R}_i^{(2)} \mathbf{R}^{-1} \mathbf{R}_j^{(1)} \right) - = T \left( \mathbf{d}_i^\perp \right)^\Herm \mathbf{R}^{-1} \mathbf{d}_j^\perp [\mathbf{U}]_{ji}, - \\ - T_{22} - &= T \tr \left( \mathbf{R}^{-1} \mathbf{R}_i^{(2)} \mathbf{R}^{-1} \mathbf{R}_j^{(2)} \right) - = 0, -\end{align} -\end{subequations} -% -因此，有效 Fisher 信息可以进一步写作 -% -\begin{align} - [\mathcal{I}_{\mathrm e}]_{ij} - &= T_{11} + T_{12} + T_{21} + T_{22} - = 2 T \Re \left\{ \left( \mathbf{d}_i^\perp \right)^\Herm \mathbf{R}^{-1} \mathbf{d}_j^\perp [\mathbf{U}]_{ji} \right\} - \nonumber \\ - &= 2 T \Re \left\{ \left( \mathcal{P}_\mathbf{A}^\perp \mathbf{d}_i \right)^\Herm \mathbf{R}^{-1} \mathcal{P}_\mathbf{A}^\perp \mathbf{d}_j [\mathbf{U}]_{ji} \right\} - = \frac{2 T}{\sigma} \Re \left\{ \mathbf{d}_i^\Herm \mathcal{P}_\mathbf{A}^\perp \mathbf{d}_j [\mathbf{U}]_{ji} \right\}. -\end{align} -% -令 $\mathcal{H} = \mathbf{D}^\Herm \mathcal{P}_\mathbf{A}^\perp \mathbf{D}$，$\mathbf{D} = [\mathbf{d}_1, \ldots, \mathbf{d}_K]$，则 -% -\begin{equation} - [\mathcal{I}_{\mathrm e}]_{ij} = \frac{2T}{\sigma} \Re \left\{ [\mathcal{H}]_{ij} [\mathbf{U}]_{ji} \right\}, -\end{equation} -% -用矩阵形式表示为 -\begin{equation} - \mathcal{I}_{\mathrm e} = \frac{2T}{\sigma} \Re \left\{ \mathcal{H} \odot \mathbf{U}^\Tran \right\}. -\end{equation} -% -其中 $\odot$ 表示 Hadamard 积。因此，无条件（unconditional）\gls{crb} 或随机（stochastic）\gls{crb} 可以表示为 -% -\begin{align} - \mathcal{B}_u := \mathcal{I}_{\mathrm e}^{-1} = \frac{\sigma}{2T} \left(\Re \left\{ \mathcal{H} \odot \mathbf{U}^\Tran \right\}\right)^{-1}. -\end{align} -% - -该随机信号 CRB 与\ref{sec:det_doa_crb} 的确定信号 CRB 共同给出单阵列 DoA 的两类性能基线。多星主线后续采用确定信号/导频化模型，因此其 CRB 推导更接近\ref{sec:det_doa_crb} 和\ref{sec:det_doa_doppler_crb} 的处理方式。 diff --git a/parts/A5-detDoaDopplerCrb.tex b/parts/A5-detDoaDopplerCrb.tex deleted file mode 100644 index dafa86b..0000000 --- a/parts/A5-detDoaDopplerCrb.tex +++ /dev/null @@ -1,238 +0,0 @@ -\section{单阵列确定信号 DoA--Doppler 估计的 CRB 推导} -\label{sec:det_doa_doppler_crb} - -本附录对应第~\ref{sec:det_doa_doppler_est} 节的单阵列确定信号 DoA--Doppler 模型，是从纯空间 CRB 过渡到空时 CRB 的中间层。由式~\eqref{eq:vec_det_doa_doppler_recv_sig}，向量化观测满足 -\begin{equation} - \tilde{\mathbf y} - = - \mathbf B_{\mathrm{st}}(\bm\Theta,\boldsymbol\nu)\boldsymbol\zeta - + - \tilde{\mathbf n}, - \qquad - \tilde{\mathbf n}\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma\mathbf I_{MT}), -\end{equation} -其中 $\sigma\triangleq\sigma_n^2$。因此 -\begin{equation} - \tilde{\mathbf y}\sim\mathcal{CN}\big(\boldsymbol\mu(\boldsymbol\kappa),\sigma\mathbf I_{MT}\big), - \qquad - \boldsymbol\mu(\boldsymbol\kappa) - = - \mathbf B_{\mathrm{st}}\boldsymbol\zeta. -\end{equation} -本附录使用完整参数向量 -\begin{equation} - \boldsymbol\kappa - = - \begin{bmatrix} - \sigma, - (\boldsymbol\zeta^{(r)})^\Tran, - (\boldsymbol\zeta^{(i)})^\Tran, - \boldsymbol\nu^\Tran, - \bm\theta^\Tran - \end{bmatrix}^\Tran, -\end{equation} -其中 $\boldsymbol\zeta^{(r)}=\Re\{\boldsymbol\zeta\}$、$\boldsymbol\zeta^{(i)}=\Im\{\boldsymbol\zeta\}$。这里的 $\bm\theta$ 表示单阵列一维 DoA 情形下的角度向量；若使用二维 DoA 参数，可将相应导数矩阵按同样方式扩展。 - - -\subsection{FIM 元素的通式} - -由于协方差 $\sigma\mathbf I_{MT}$ 只依赖噪声方差，而其他参数只通过均值向量进入，因此均值参数之间的 Fisher 信息为 -\begin{equation} - [\mathcal I(\boldsymbol\kappa)]_{ij} - = - \frac{2}{\sigma} - \Re\left\{ - \left(\frac{\partial\boldsymbol\mu}{\partial\kappa_i}\right)^\Herm - \left(\frac{\partial\boldsymbol\mu}{\partial\kappa_j}\right) - \right\}, -\end{equation} -噪声方差自身的信息为 -\begin{equation} - [\mathcal I(\boldsymbol\kappa)]_{\sigma\sigma} - = - \frac{MT}{\sigma^2}, -\end{equation} -且噪声方差与均值参数的 Fisher 交叉项为零。因此后续只需构造均值参数部分的 FIM。 - -\subsection{偏导数求取} - -定义时间索引向量和对角矩阵 -\begin{equation} - \mathbf t - \triangleq - [0,1,\ldots,T-1]^\Tran, - \qquad - \mathbf T_d - \triangleq - \diag(0,1,\ldots,T-1). -\end{equation} -由 $[\mathbf q_k(\nu_k)]_t=s_k(t)e^{j\nu_k t}$ 可得 -\begin{equation} - \dot{\mathbf q}_k - \triangleq - \frac{\partial\mathbf q_k(\nu_k)}{\partial\nu_k} - = - j\mathbf T_d\mathbf q_k(\nu_k). -\end{equation} -再定义空间导向矢量和空时导向列向量的一阶导数为 -\begin{equation} - \dot{\mathbf a}_k - \triangleq - \frac{\partial\mathbf a(\theta_k)}{\partial\theta_k}, -\end{equation} -\begin{equation} - \dot{\mathbf b}_{\mathrm{st},\theta_k} - \triangleq - \frac{\partial\mathbf b_{\mathrm{st},k}}{\partial\theta_k} - = - \mathbf q_k(\nu_k)\otimes\dot{\mathbf a}_k, - \qquad - \dot{\mathbf b}_{\mathrm{st},\nu_k} - \triangleq - \frac{\partial\mathbf b_{\mathrm{st},k}}{\partial\nu_k} - = - \dot{\mathbf q}_k\otimes\mathbf a(\theta_k). -\end{equation} -进一步写成矩阵形式 -\begin{equation} - \mathbf B_{\mathrm{st},\theta} - \triangleq - \left[ - \dot{\mathbf b}_{\mathrm{st},\theta_1},\ldots, - \dot{\mathbf b}_{\mathrm{st},\theta_K} - \right] - \in\mathbb C^{MT\times K}, -\end{equation} -\begin{equation} - \mathbf B_{\mathrm{st},\nu} - \triangleq - \left[ - \dot{\mathbf b}_{\mathrm{st},\nu_1},\ldots, - \dot{\mathbf b}_{\mathrm{st},\nu_K} - \right] - \in\mathbb C^{MT\times K}. -\end{equation} -由此，对复增益、Doppler 和角度的一阶偏导为 -\begin{equation} - \mathbf J_{\boldsymbol\zeta^{(r)}} - = - \mathbf B_{\mathrm{st}}, - \qquad - \mathbf J_{\boldsymbol\zeta^{(i)}} - = - j\mathbf B_{\mathrm{st}}, -\end{equation} -\begin{equation} - \mathbf J_{\boldsymbol\nu} - = - \mathbf B_{\mathrm{st},\nu}\mathbf D_{\zeta}, - \qquad - \mathbf J_{\bm\theta} - = - \mathbf B_{\mathrm{st},\theta}\mathbf D_{\zeta}, -\end{equation} -其中 $\mathbf D_\zeta=\diag(\zeta_1,\ldots,\zeta_K)$。 - -\subsection{消去复增益后的 DoA--Doppler EFIM} - -令 -\begin{equation} - \boldsymbol\eta_{\theta\nu} - \triangleq - \left[\bm\theta^\Tran,\boldsymbol\nu^\Tran\right]^\Tran, - \qquad - \mathbf J_{\boldsymbol\eta} - \triangleq - \left[ - \mathbf J_{\bm\theta}, - \mathbf J_{\boldsymbol\nu} - \right]. -\end{equation} -完整均值参数 Jacobian 可写为 -\begin{equation} - \mathbf J_{\mathrm{mean}} - = - \left[ - \mathbf B_{\mathrm{st}}, - j\mathbf B_{\mathrm{st}}, - \mathbf J_{\boldsymbol\eta} - \right], - \qquad - \mathcal I_{\mathrm{mean}} - = - \frac{2}{\sigma}\Re\{\mathbf J_{\mathrm{mean}}^\Herm\mathbf J_{\mathrm{mean}}\}. -\end{equation} -由于 $\mathbf B_{\mathrm{st}}$ 与 $j\mathbf B_{\mathrm{st}}$ 对应未知复增益的实部和虚部，消去复增益后，$\boldsymbol\eta_{\theta\nu}$ 的 EFIM 为 -\begin{equation} - \label{eq:single_det_doa_doppler_efim_theta_nu} - \mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\theta\nu}) - = - \frac{2}{\sigma}\Re\left\{ - \begin{bmatrix} - \mathbf D_\zeta^\Herm\mathbf B_{\mathrm{st},\theta}^\Herm \\ - \mathbf D_\zeta^\Herm\mathbf B_{\mathrm{st},\nu}^\Herm - \end{bmatrix} - \mathcal P_{\mathbf B_{\mathrm{st}}}^\perp - \begin{bmatrix} - \mathbf B_{\mathrm{st},\theta}\mathbf D_\zeta & - \mathbf B_{\mathrm{st},\nu}\mathbf D_\zeta - \end{bmatrix} - \right\}, -\end{equation} -其中 -\begin{equation} - \mathcal P_{\mathbf B_{\mathrm{st}}}^\perp - = - \mathbf I_{MT} - - - \mathbf B_{\mathrm{st}} - (\mathbf B_{\mathrm{st}}^\Herm\mathbf B_{\mathrm{st}})^{-1} - \mathbf B_{\mathrm{st}}^\Herm. -\end{equation} -将式~\eqref{eq:single_det_doa_doppler_efim_theta_nu} 分块写为 -\begin{equation} - \mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\theta\nu}) - = - \begin{bmatrix} - \mathcal I_{\theta\theta} & \mathcal I_{\theta\nu} \\ - \mathcal I_{\nu\theta} & \mathcal I_{\nu\nu} - \end{bmatrix}. -\end{equation} - -\subsection{仅关心 DoA 或 Doppler 时的 CRB} - -若同时估计 DoA 和 Doppler，则 -\begin{equation} - \operatorname{CRB}(\boldsymbol\eta_{\theta\nu}) - = - \mathcal I_{\mathrm e}^{-1}(\boldsymbol\eta_{\theta\nu}). -\end{equation} -若只关心 DoA，并把 Doppler 视为实值干扰参数，则应在式~\eqref{eq:single_det_doa_doppler_efim_theta_nu} 的实值 EFIM 上对 $\boldsymbol\nu$ 做 Schur 补： -\begin{equation} - \operatorname{CRB}(\bm\theta) - = - \left( - \mathcal I_{\theta\theta} - - - \mathcal I_{\theta\nu}\mathcal I_{\nu\nu}^{-1}\mathcal I_{\nu\theta} - \right)^{-1}. -\end{equation} -类似地，若只关心 Doppler，并把 DoA 视为实值干扰参数，则 -\begin{equation} - \operatorname{CRB}(\boldsymbol\nu) - = - \left( - \mathcal I_{\nu\nu} - - - \mathcal I_{\nu\theta}\mathcal I_{\theta\theta}^{-1}\mathcal I_{\theta\nu} - \right)^{-1}. -\end{equation} -需要注意，$\boldsymbol\nu$ 是实值干扰参数，因此不能把 -$\mathbf B_{\mathrm{st},\nu}\mathbf D_\zeta$ 当作具有任意复系数的未知子空间并直接写成复投影 -$\mathcal P_{[\mathbf B_{\mathrm{st}},\mathbf B_{\mathrm{st},\nu}\mathbf D_\zeta]}^\perp$。 -正确做法是先消去复增益，再在实值参数 EFIM 中对 Doppler 做 Schur 补。 -若 Doppler 已知，则 DoA 的 CRB 为 $\mathcal I_{\theta\theta}^{-1}$；若 Doppler 未知，则上式中的 Schur 补体现了 DoA--Doppler 耦合带来的信息损失。 - -当 $\boldsymbol\nu$ 已知且固定为 $\mathbf0$ 时，本模型退化为带已知时间导频权重的确定信号 DoA 模型；若 $\boldsymbol\nu$ 未知，即使在真实值 $\boldsymbol\nu=\mathbf0$ 处，Doppler 仍会通过导数 $\dot{\mathbf q}_k=j\mathbf T_d\mathbf q_k$ 作为干扰参数影响 DoA 的 CRB。 - -该单阵列空时 CRB 说明 DoA 与 Doppler 的耦合会通过 Schur 补造成信息损失。多星静态和动态 CRB 在结构上延续这一思想，但将独立的 $\nu_k$ 替换为参考星参数化下的 $\nu_{\mathrm{ref}}$，并进一步处理多星复增益、连续相位和 Doppler rate 等干扰参数。 diff --git a/parts/A8-crbDynPilotDoaDopperInd.tex b/parts/A8-crbDynPilotDoaDopperInd.tex deleted file mode 100644 index bac9622..0000000 --- a/parts/A8-crbDynPilotDoaDopperInd.tex +++ /dev/null @@ -1,395 +0,0 @@ -\section{动态 DoA--Doppler 估计在独立相位模型下的 CRB 推导} -\label{sec:A8_dynIndependentPhaseCrb} - -本附录仅对应第~\ref{subsec:independentPhaseModel} 小节中的独立相位基线模型。这里的``独立相位''是指：每个观测块 $(\ell,p)$ 具有各自的\emph{独立未知初始相位} $\vartheta_{\ell,p}$，这些相位不再受同一颗卫星公共相位的结构约束；但它们仍是\emph{确定性未知参数}，而不是按某个先验分布生成的随机变量。因此，本附录与正文及 \ref{sec:A7_dynDoaDopplerCrb} 一样，采用\emph{确定性参数 CRB}，而不再引入 hybrid CRB。 - -主参数统一定义为 -\begin{equation} - \boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}} - = - \begin{bmatrix} - \alpha \\ - \beta \\ - \nu_{\mathrm{ref}} - \end{bmatrix}, - \qquad - \boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}\in\mathbb R^3, -\end{equation} -并继续将 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 作为干扰参数处理。为避免与正文和 \ref{sec:A7_dynDoaDopplerCrb} 重复，这里只保留独立相位模型对应的最小定义、导数记号与 EFIM 结构。 - -\subsection{沿用正文独立相位模型的最小定义与导数记号} - -沿用第~\ref{subsec:independentPhaseModel} 小节中的块级独立相位建模。对任意卫星 $\ell=0,\ldots,L-1$ 与帧 $p=0,\ldots,P-1$，定义局部归一化 Doppler 为 -\begin{equation} - \bar\nu_{\ell,p} - \triangleq - \nu_\ell + \dot\nu_\ell\tau_p, - \label{eq:A8_IP_baromega} -\end{equation} -其中 -\begin{equation} - \nu_\ell = f_{\nu,\ell}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}}), - \qquad - \dot\nu_\ell = f_{\dot\nu,\ell}(\boldsymbol\xi,\dot\nu_{\mathrm{ref}}). - \label{eq:A8_IP_omegagamma_map} -\end{equation} -于是独立相位模板写为 -\begin{equation} - \phi^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}(t) - = - \bar\nu_{\ell,p} t + \frac{1}{2}\dot\nu_\ell t^2, - \qquad - t=0,\ldots,T-1. - \label{eq:A8_IP_phase_template} -\end{equation} -对应的时间模板与空时模板分别定义为 -\begin{equation} - \mathbf q^{\mathrm{ip}}_{\ell,p} - \triangleq - \begin{bmatrix} - s_p(0)e^{j\phi^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}(0)} \\ - s_p(1)e^{j\phi^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}(1)} \\ - \vdots \\ - s_p(T-1)e^{j\phi^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}(T-1)} - \end{bmatrix} - \in\mathbb C^{T\times 1}, - \label{eq:A8_IP_qdef} -\end{equation} -\begin{equation} - \mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p} - \triangleq - \mathbf q^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}\otimes \mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi) - \in\mathbb C^{M_\ell T\times 1}. - \label{eq:A8_IP_gdef} -\end{equation} -于是向量化观测模型为 -\begin{equation} - \tilde{\mathbf y}^{\mathrm{ip}}_{\ell,p} - = - \zeta_{\ell,p}^{\mathrm{ip}} - \mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}},\dot\nu_{\mathrm{ref}}) - + \tilde{\mathbf n}_{\ell,p}, - \label{eq:A8_IP_model} -\end{equation} -其中 -\begin{equation} - \tilde{\mathbf n}_{\ell,p}\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma_{n,\ell}^2\mathbf I_{M_\ell T}), - \qquad - \ell=0,\ldots,L-1,\qquad - p=0,\ldots,P-1. -\end{equation} -正文 MLE 中可直接把 $\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}$ 作为自由复增益消元；本附录为了构造实参数 Fisher 信息矩阵，将其写作极坐标形式 -\begin{equation} - \zeta_{\ell,p}^{\mathrm{ip}} - = - \rho_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}e^{j\vartheta_{\ell,p}}, - \qquad - \rho_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}\in\mathbb R_{\ge0}. -\end{equation} -这里的 $\vartheta_{\ell,p}$ 是第 $(\ell,p)$ 个观测块的独立未知初始相位；与连续相位模型相比，跨帧绝对相位连续性已经被这些块级相位参数吸收。 - -对角度参数 $x\in\{\alpha,\beta\}$，记 -\begin{equation} - \mathbf a_{\ell,x} - \triangleq - \frac{\partial \mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi)}{\partial x}. -\end{equation} -由链式法则可得 -\begin{equation} - \frac{\partial \mathbf q^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}}{\partial x} - = - j\left[ - \left( - \frac{\partial \nu_\ell}{\partial x} - + - \tau_p\frac{\partial \dot\nu_\ell}{\partial x} - \right) - \operatorname{diag}(0,1,\ldots,T-1) - + - \frac{1}{2} - \frac{\partial \dot\nu_\ell}{\partial x} - \operatorname{diag}(0^2,1^2,\ldots,(T-1)^2) - \right] - \mathbf q^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}. - \label{eq:A8_IP_qx} -\end{equation} -又由于 -\begin{equation} - \frac{\partial \nu_\ell}{\partial \nu_{\mathrm{ref}}}=1, - \qquad - \frac{\partial \dot\nu_\ell}{\partial \dot\nu_{\mathrm{ref}}}=1, -\end{equation} -这里同样采用正文中的加性参考星参数化；若改用一般映射，则 $\partial\nu_\ell/\partial\nu_{\mathrm{ref}}$ 与 $\partial\dot\nu_\ell/\partial\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 应替换为对应的链式法则结果。 -因此 -\begin{equation} - \frac{\partial \mathbf q^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}}{\partial \nu_{\mathrm{ref}}} - = - j\operatorname{diag}(0,1,\ldots,T-1)\mathbf q^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}, - \label{eq:A8_IP_qomega} -\end{equation} -\begin{equation} - \frac{\partial \mathbf q^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}}{\partial \dot\nu_{\mathrm{ref}}} - = - j\left[ - \tau_p\operatorname{diag}(0,1,\ldots,T-1) - + - \frac{1}{2}\operatorname{diag}(0^2,1^2,\ldots,(T-1)^2) - \right] - \mathbf q^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}. - \label{eq:A8_IP_qgamma} -\end{equation} - -于是模板导数可统一写为 -\begin{equation} - \mathbf d^{\mathrm{ip}}_{\ell,p,\alpha} - \triangleq - \frac{\partial \mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}}{\partial \alpha} - = - \mathbf q^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}\otimes \mathbf a_{\ell,\alpha} - + - \frac{\partial \mathbf q^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}}{\partial \alpha}\otimes \mathbf a_\ell, -\end{equation} -\begin{equation} - \mathbf d^{\mathrm{ip}}_{\ell,p,\beta} - \triangleq - \frac{\partial \mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}}{\partial \beta} - = - \mathbf q^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}\otimes \mathbf a_{\ell,\beta} - + - \frac{\partial \mathbf q^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}}{\partial \beta}\otimes \mathbf a_\ell, -\end{equation} -\begin{equation} - \mathbf d^{\mathrm{ip}}_{\ell,p,\nu} - \triangleq - \frac{\partial \mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}}{\partial \nu_{\mathrm{ref}}} - = - \frac{\partial \mathbf q^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}}{\partial \nu_{\mathrm{ref}}}\otimes \mathbf a_\ell, -\end{equation} -\begin{equation} - \mathbf d^{\mathrm{ip}}_{\ell,p,\dot\nu} - \triangleq - \frac{\partial \mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}}{\partial \dot\nu_{\mathrm{ref}}} - = - \frac{\partial \mathbf q^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}}{\partial \dot\nu_{\mathrm{ref}}}\otimes \mathbf a_\ell. -\end{equation} -为后续紧凑书写，定义 -\begin{equation} - \mathbf D^{\mathrm{ip}}_{\eta\dot\nu,\ell,p} - \triangleq - \begin{bmatrix} - \mathbf d^{\mathrm{ip}}_{\ell,p,\alpha} & - \mathbf d^{\mathrm{ip}}_{\ell,p,\beta} & - \mathbf d^{\mathrm{ip}}_{\ell,p,\nu} & - \mathbf d^{\mathrm{ip}}_{\ell,p,\dot\nu} - \end{bmatrix} - \in\mathbb C^{M_\ell T\times 4}. - \label{eq:A8_IP_Detadotnu} -\end{equation} - -\subsection{完整参数的 Fisher 信息矩阵} - -定义独立相位模型的干扰参数向量为 -\begin{equation} - \boldsymbol\psi_{\mathrm{ip},\mu} - = - \Big[ - \dot\nu_{\mathrm{ref}}, - \{\vartheta_{\ell,p}:\ell=0,\ldots,L-1,\ p=0,\ldots,P-1\}, - \{\rho_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}:\ell=0,\ldots,L-1,\ p=0,\ldots,P-1\} - \Big]^{\Tran}, -\end{equation} -并令总参数向量为 -\begin{equation} - \boldsymbol\kappa_{\mathrm{ip}} - = - \begin{bmatrix} - \boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}^{\Tran} & \boldsymbol\psi_{\mathrm{ip},\mu}^{\Tran} - \end{bmatrix}^{\Tran}. -\end{equation} -为简化书写，这里先假定 $\{\sigma_{n,\ell}^2\}$ 已知；关于未知噪声方差的情形将在附录末尾补充说明。 - -对任意实参数 $\kappa_i$ 与 $\kappa_j$，Fisher 信息矩阵元素统一写为 -\begin{equation} - [\mathcal I(\boldsymbol\kappa_{\mathrm{ip}})]_{ij} - = - 2\Re\left\{ - \frac{\partial \boldsymbol\mu^{\Herm}(\boldsymbol\kappa_{\mathrm{ip}})}{\partial \kappa_i} - \mathbf R_n^{-1} - \frac{\partial \boldsymbol\mu(\boldsymbol\kappa_{\mathrm{ip}})}{\partial \kappa_j} - \right\}, - \label{eq:A8_IP_FIM_general} -\end{equation} -其中 $\boldsymbol\mu(\boldsymbol\kappa_{\mathrm{ip}})$ 为联合均值向量，$\mathbf R_n$ 为联合噪声协方差矩阵。 - -对单个观测块 $(\ell,p)$，其均值为 -\begin{equation} - \boldsymbol\mu^{\mathrm{ip}}_{\ell,p} - = - \rho_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}e^{j\vartheta_{\ell,p}}\mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}. -\end{equation} -于是有 -\begin{equation} - \frac{\partial \boldsymbol\mu^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}}{\partial - \begin{bmatrix} - \alpha & \beta & \nu_{\mathrm{ref}} & \dot\nu_{\mathrm{ref}} - \end{bmatrix}^{\Tran}} - = - \rho_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}e^{j\vartheta_{\ell,p}} - \mathbf D^{\mathrm{ip}}_{\eta\dot\nu,\ell,p}, - \label{eq:A8_IP_Jetadotnu_block} -\end{equation} -\begin{equation} - \frac{\partial \boldsymbol\mu^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}}{\partial \vartheta_{\ell,p}} - = - j\rho_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}e^{j\vartheta_{\ell,p}}\mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}, - \label{eq:A8_IP_Jphase_block} -\end{equation} -\begin{equation} - \frac{\partial \boldsymbol\mu^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}}{\partial \rho_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}} - = - e^{j\vartheta_{\ell,p}}\mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}. - \label{eq:A8_IP_Jamp_block} -\end{equation} - -注意到式~\eqref{eq:A8_IP_Jphase_block} 与式~\eqref{eq:A8_IP_Jamp_block} 在实参数意义下所张成的干扰子空间，等价于复向量 $\mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}$ 所张成的一维复子空间。因此，对每个观测块的 $(\vartheta_{\ell,p},\rho_{\ell,p}^{\mathrm{ip}})$ 执行 Schur 补后，可直接得到关于联合参数 -\begin{equation} - \begin{bmatrix} - \boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}^{\Tran} & \dot\nu_{\mathrm{ref}} - \end{bmatrix}^{\Tran} -\end{equation} -的块级等效 Fisher 信息矩阵： -\begin{equation} - \mathcal I^{\mathrm{ip}}_{\mathrm{ext},\ell,p} - = - 2\frac{(\rho_{\ell,p}^{\mathrm{ip}})^2}{\sigma_{n,\ell}^2} - \Re\left\{ - \big(\mathbf D^{\mathrm{ip}}_{\eta\dot\nu,\ell,p}\big)^{\Herm} - \mathcal P^{\perp}_{\mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}} - \mathbf D^{\mathrm{ip}}_{\eta\dot\nu,\ell,p} - \right\}, - \label{eq:A8_IP_FIM_block_eff} -\end{equation} -其中 -\begin{equation} - \mathcal P_{\mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}} - \triangleq - \mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p} - \big((\mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p})^{\Herm}\mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}\big)^{-1} - (\mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p})^{\Herm}, -\end{equation} -\begin{equation} - \mathcal P^{\perp}_{\mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}} - \triangleq - \mathbf I_{M_\ell T}-\mathcal P_{\mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}}. -\end{equation} - -对全部卫星与全部帧求和，可得 -\begin{equation} - \mathcal I^{\mathrm{ip}}_{\mathrm{ext}} - = - \sum_{\ell=0}^{L-1}\sum_{p=0}^{P-1} - \mathcal I^{\mathrm{ip}}_{\mathrm{ext},\ell,p} - = - 2\sum_{\ell=0}^{L-1}\sum_{p=0}^{P-1} - \frac{(\rho_{\ell,p}^{\mathrm{ip}})^2}{\sigma_{n,\ell}^2} - \Re\left\{ - \big(\mathbf D^{\mathrm{ip}}_{\eta\dot\nu,\ell,p}\big)^{\Herm} - \mathcal P^{\perp}_{\mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}} - \mathbf D^{\mathrm{ip}}_{\eta\dot\nu,\ell,p} - \right\}. - \label{eq:A8_IP_FIM_etadotnu} -\end{equation} - -\subsection{\texorpdfstring{主参数 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}$ 的等效 Fisher 信息与 CRB}{主参数 eta_dyn 的等效 Fisher 信息与 CRB}} - -若把 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 也视为感兴趣参数，则 -\begin{equation} - \operatorname{CRB}_{\mathrm{ip}}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}},\dot\nu_{\mathrm{ref}}) - = - \big(\mathcal I^{\mathrm{ip}}_{\mathrm{ext}}\big)^{-1}. - \label{eq:A8_IP_CRB_etadotnu} -\end{equation} - -若仍只把 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}$ 作为主参数，而把 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 作为干扰参数，则将 -\eqref{eq:A8_IP_FIM_etadotnu} 按如下方式分块： -\begin{equation} - \mathcal I^{\mathrm{ip}}_{\mathrm{ext}} - = - \begin{bmatrix} - \mathcal I^{\mathrm{ip}}_{\eta\eta} & \mathcal I^{\mathrm{ip}}_{\eta\dot\nu} \\ - \mathcal I^{\mathrm{ip}}_{\dot\nu\eta} & \mathcal I^{\mathrm{ip}}_{\dot\nu\dot\nu} - \end{bmatrix}, - \label{eq:A8_IP_FIM_partition} -\end{equation} -于是主参数 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}$ 的等效 Fisher 信息矩阵为 -\begin{equation} - \mathcal I^{\mathrm{ip}}_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}) - = - \mathcal I^{\mathrm{ip}}_{\eta\eta} - - - \mathcal I^{\mathrm{ip}}_{\eta\dot\nu} - \big(\mathcal I^{\mathrm{ip}}_{\dot\nu\dot\nu}\big)^{-1} - \mathcal I^{\mathrm{ip}}_{\dot\nu\eta}, - \label{eq:A8_IP_EFIM_eta} -\end{equation} -从而 -\begin{equation} - \operatorname{CRB}_{\mathrm{ip}}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}) - = - \big(\mathcal I^{\mathrm{ip}}_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}})\big)^{-1}. - \label{eq:A8_IP_CRB_eta} -\end{equation} - -式~\eqref{eq:A8_IP_EFIM_eta} 给出的正是独立相位模型下，未知 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 对主参数 $(\alpha,\beta,\nu_{\mathrm{ref}})$ 的信息损失形式。与正文研究主线一致，这里的关键不在于再引入更高维动态状态，而在于比较：在相同短窗条件下，连续相位模型和独立相位模型分别能为主参数保留多少有效信息。 - -\subsection{与 A7 中 relaxed 连续相位结果的关系} - -式~\eqref{eq:A8_IP_FIM_etadotnu} 给出的扩展 Fisher 信息矩阵的投影型结构与 \ref{sec:A7_dynDoaDopplerCrb} 中 relaxed 连续相位模型的结果形式一致，但两者对应的\emph{时间模板不同}： -\begin{itemize} - \item \ref{sec:A7_dynDoaDopplerCrb} 使用的是连续相位模板 $\mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}$，其中通过 $t_{p,t}=\tau_p+t$ 保留了跨帧绝对相位连续性； - \item 本附录使用的是独立相位模板 $\mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}$，其中帧间常相位项已被 $\vartheta_{\ell,p}$ 吸收，只保留帧内局部相位演化。 -\end{itemize} -因此，两类模型的差异不在 Schur 补的代数形式本身，而在模板里是否保留跨帧连续相位结构。这也正是正文中``连续相位 vs.~独立相位''对比的统计本质。 - -从 EFIM 病态的角度看，独立相位模型与 relaxed 连续相位模型共享同一类投影解释。若定义白化 Jacobian -\begin{equation} - \bar{\mathbf J}^{\mathrm{ip}}_{\eta} - \triangleq - \mathbf R_n^{-1/2} - \frac{\partial\boldsymbol\mu^{\mathrm{ip}}}{\partial\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}}, - \qquad - \bar{\mathbf J}^{\mathrm{ip}}_{\psi} - \triangleq - \mathbf R_n^{-1/2} - \frac{\partial\boldsymbol\mu^{\mathrm{ip}}}{\partial\boldsymbol\psi_{\mathrm{ip},\mu}}, -\end{equation} -则式~\eqref{eq:A8_IP_EFIM_eta} 等价于 -\begin{equation} - \mathcal I^{\mathrm{ip}}_{\mathrm{e}} - = - 2\Re\left\{ - (\bar{\mathbf J}^{\mathrm{ip}}_{\eta})^{\Herm} - \mathcal P^{\perp}_{\bar{\mathbf J}^{\mathrm{ip}}_{\psi}} - \bar{\mathbf J}^{\mathrm{ip}}_{\eta} - \right\}. - \label{eq:A8_IP_EFIM_projection} -\end{equation} -因此，独立相位模型下的弱可辨识方向仍由 -$\mathcal P^{\perp}_{\bar{\mathbf J}^{\mathrm{ip}}_{\psi}}\bar{\mathbf J}^{\mathrm{ip}}_{\eta}$ -的秩和最小奇异方向决定。与 A7 中的 relaxed 连续相位模型相比，二者的主要区别不在 -Schur 补代数形式，而在 $\mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}$ 使用局部时间索引并允许每个 -$(\ell,p)$ 块具有独立相位 $\vartheta_{\ell,p}$。这些自由相位会吸收跨帧绝对相位所携带的公共 -Doppler 截距信息，因此通常不会缓解 DoA--Doppler--rate 耦合，而是构成一个更保守的相干性基线。 - - -\subsection{关于噪声方差参数的说明} - -若进一步将 $\{\sigma_{n,\ell}^2\}$ 也并入待估参数，由于它们只进入协方差矩阵而不进入均值函数，因此与前述均值参数在 Fisher 信息矩阵中仍然解耦。对第 $\ell$ 颗卫星，有 -\begin{equation} - \big[\mathcal I(\cdot)\big]_{\sigma_{n,\ell}^2,\sigma_{n,\ell}^2} - = - \frac{M_\ell P T}{\sigma_{n,\ell}^4}. -\end{equation} -因此，将 $\sigma_{n,\ell}^2$ 视为未知量不会改变式~\eqref{eq:A8_IP_FIM_etadotnu} 与式~\eqref{eq:A8_IP_EFIM_eta} 的形式，只是在完整 Fisher 信息矩阵中附加一个与其他参数解耦的对角块。 - -至此，动态多帧主线的两类性能界已经形成闭环： \ref{sec:A7_dynDoaDopplerCrb} 对应连续相位/relaxed 连续相位模型，本附录对应独立相位基线模型。二者共享同一主参数 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}$，因而可以直接比较相位连续性对 DoA--Doppler 信息保留能力的影响。 diff --git a/parts/A1-background.tex b/parts/B-mathBackground.tex similarity index 100% rename from parts/A1-background.tex rename to parts/B-mathBackground.tex diff --git a/parts/A2-doaEstMethod.tex b/parts/C-classicalDoa.tex similarity index 100% rename from parts/A2-doaEstMethod.tex rename to parts/C-classicalDoa.tex diff --git a/parts/D-singleArrayCrb.tex b/parts/D-singleArrayCrb.tex new file mode 100644 index 0000000..793bd28 --- /dev/null +++ b/parts/D-singleArrayCrb.tex @@ -0,0 +1,963 @@ +\section{单阵列 CRB 汇总} +\label{sec:singleArrayCrb} + +本附录汇总单阵列模型下的三种 \gls{crb} 推导：确定信号 DoA、确定信号 DoA--Doppler、随机信号 DoA。 +三者共享 \gls{fim} 构造 + Schur 补的统一推导框架，集中放置便于交叉对照。 +其中确定信号 DoA 与确定信号 DoA--Doppler 是后续多星模型的直接基础；随机信号 DoA 作为对照支线保留，多星主线不再使用。 + +\subsection{确定信号 DoA CRB} +\label{sec:det_doa_crb} +本附录对应第~\ref{sec:det_doa_est} 节的单阵列确定信号 DoA 模型。根据 \gls{fim} 的定义 $\eqref{eq:fisher_element}$，需要先求出对数似然函数 $\eqref{eq:det_ml_log_likelihood}$ 对各类未知量的一阶偏导，再构造 Fisher 信息矩阵并通过 Schur 补消去确定信号快拍等干扰参数。 + +\subsubsection{一阶偏导求取} + +\paragraph*{对噪声方差的一阶偏导} + +\begin{equation} +\frac{\partial \ln \mathcal{L}}{\partial \sigma} = -\frac{MT}{\sigma}+\frac{1}{\sigma^2} \sum_{t=1}^T \mathbf{n}^\Herm _t\mathbf{n}_t. +\end{equation} + +\paragraph*{对信源的一阶偏导} + +\begin{mdquote} +复向量的偏导数（Wirtinger 微分）：令复数 $z=x+jy$，则其 Wirtinger 微分定义为 +% +\begin{equation} + \label{eq:wirtinger_derivative} + \begin{cases} + \dfrac{\partial}{\partial z} = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\partial}{\partial x} - j\dfrac{\partial}{\partial y} \right) + \\ + \dfrac{\partial}{\partial z^*} = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\partial}{\partial x} + j\dfrac{\partial}{\partial y} \right) + \end{cases} + \quad\Rightarrow\quad + \begin{cases} + \dfrac{\partial}{\partial x} = \dfrac{\partial}{\partial z} + \dfrac{\partial}{\partial z^*} + \\ + \dfrac{\partial}{\partial y} = j\left(\dfrac{\partial}{\partial z} - \dfrac{\partial}{\partial z^*} \right) + \end{cases}, +\end{equation} +% +且有 +\begin{subequations} + \begin{equation} + \frac{\partial z^*}{\partial z} + = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\partial}{\partial x} - j\dfrac{\partial}{\partial y} \right) (x - jy) + = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial x}{\partial x} - j\frac{\partial (-jy)}{\partial y} \right) = 0, + \end{equation} + % + \begin{equation} + \frac{\partial z}{\partial z^*} + = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\partial}{\partial x} + j\dfrac{\partial}{\partial y} \right) (x + jy) + = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial x}{\partial x} + j\frac{\partial (jy)}{\partial y} \right) = 0, + \end{equation} +\end{subequations} +% +也即在 Wirtinger 微分定义下，复变量 $z$ 及其复共轭 $z^*$ 可以看做看作两个不相关的变量，对其中一个求导时，将另一项看作常量即可。 +\end{mdquote} + +首先按 Wirtinger 微分求取信源 $\mathbf{x}_t$ 的偏导 +% +\begin{align*} +\frac{\partial \ln \mathcal{L}}{\partial \mathbf{x}_t} &= - \frac{\partial }{\partial \mathbf{x}_t} \left[\frac{1}{\sigma} \left( \mathbf{y}_t-\mathbf{A}\mathbf{x}_t \right)^\Herm \left( \mathbf{y}_t-\mathbf{A}\mathbf{x}_t \right) \right] \nonumber += - \frac{\partial }{\partial \mathbf{x}_t} \left[\frac{1}{\sigma} \left( \mathbf{y}_t^\Herm - \mathbf{x}_t^\Herm \mathbf{A}^\Herm \right)\left( \mathbf{y}_t-\mathbf{A}\mathbf{x}_t \right) \right] \nonumber +\\ +&= \frac{1}{\sigma} \left( \mathbf{y}_t^\Herm \mathbf{A} - \mathbf{x}_t^\Herm \mathbf{A}^\Herm \mathbf{A} \right) += \frac{1}{\sigma} \left( \mathbf{y}_t-\mathbf{A}\mathbf{x}_t \right)^\Herm \mathbf{A} = \frac{1}{\sigma} \mathbf{n}_t^\Herm \mathbf{A}. +\end{align*} +% +对其进行维度修正（取转置）\footnote{% +由于按 Jacobian 定义对列向量 $\mathbf{x}_t$ 求导得到的是 $1\times K$ 的行向量，而后续推导采用列向量形式的梯度表示，因此对结果取转置以统一维度。该转置仅源于导数布局的不同约定，不影响最终结果。}，得到列向量 +% +\begin{equation} +\label{eq:first_order_derivative_source} +\frac{\partial \ln \mathcal{L}}{\partial \mathbf{x}_t} = \frac{1}{\sigma} \left(\mathbf{n}_t^\Herm \mathbf{A} \right)^\Tran = \frac{1}{\sigma} \mathbf{A}^\Tran\mathbf{n}_t^*. +\end{equation} +% +然后类似求取信源的共轭转置 $\mathbf{x}_t^\Herm $ 的偏导，得 +% +\begin{equation} +\label{eq:first_order_derivative_source_hermit} +\frac{\partial \ln \mathcal{L}}{\partial \mathbf{x}_t^\Herm } = \frac{1}{\sigma} \mathbf{A}^\Herm \mathbf{n}_t. +\end{equation} +% +然后将式 $\eqref{eq:first_order_derivative_source}$ 和 $\eqref{eq:first_order_derivative_source_hermit}$ 代入 Writinger 微分 $\eqref{eq:wirtinger_derivative}$，可得信源实部 $\mathbf{x}_t^{(r)}$ 和虚部 $\mathbf{x}_t^{(i)}$ 的一阶偏导 +% +\begin{equation} +\frac{\partial \ln \mathcal{L}}{\partial \mathbf{x}_t^{(r)}} += \frac{1}{\sigma} \left( \mathbf{A}^\Tran\mathbf{n}_t^* + \mathbf{A}^\Herm \mathbf{n}_t \right) += \frac{2}{\sigma} \Re\{\mathbf{A}^\Herm \mathbf{n}_t\}, +\end{equation}% +% +\begin{equation} +\frac{\partial \ln \mathcal{L}}{\partial \mathbf{x}_t^{(i)}} += \frac{1}{\sigma} j\left( \mathbf{A}^\Tran\mathbf{n}_t^* - \mathbf{A}^\Herm \mathbf{n}_t \right) += \frac{2}{\sigma} \Im\{\mathbf{A}^\Herm \mathbf{n}_t\}. +\end{equation} + +\paragraph*{对角度的一阶偏导} + +\begin{align} +\frac{\partial\ln \mathcal{L}}{\partial \theta_k} &= -\frac{1}{\sigma} \sum_{t=1}^T \left[ - \mathbf{x}_t^\Herm \frac{\mathrm{d}\mathbf{A}^\Herm }{\mathrm{d}\theta_k } (\mathbf{y}_t - \mathbf{A} \mathbf{x}_t) - (\mathbf{y}_t - \mathbf{A} \mathbf{x}_t)^\Herm \frac{\mathrm{d}\mathbf{A}}{\mathrm{d}\theta_k } \mathbf{x}_t \right] \nonumber +\\ +&= \frac{1}{\sigma} \sum_{t=1}^T \left[ \mathbf{x}_t^\Herm \frac{\mathrm{d}\mathbf{A}^\Herm }{\mathrm{d}\theta_k } \mathbf{n}_t + \mathbf{n}_t^\Herm \frac{\mathrm{d}\mathbf{A}}{\mathrm{d}\theta_k } \mathbf{x}_t \right] \nonumber +\\ +&= \frac{2}{\sigma} \sum_{t=1}^T \Re\left[ \mathbf{x}^\Herm _t \frac{\mathrm{d}\mathbf{A}^\Herm }{\mathrm{d}\theta_k } \mathbf{n}_t \right]. +\end{align} +% +令 $\mathbf{d}(\theta_k) \triangleq \dfrac{\diff}{\diff\theta_k} \mathbf{a} (\theta_k) \in \mathbb{C}^{M\times 1}$，$\mathbf{d}^\Herm(\theta_k) \triangleq \dfrac{\diff}{\diff\theta_k} \mathbf{a}^\Herm (\theta_k)$，$\mathbf{D} = [\mathbf{d}(\theta_1), \ldots, \mathbf{d}(\theta_K)] \in \mathbb{C}^{M\times K}$，$\mathbf{X}_t \triangleq \diag ( x_1(t), \allowbreak \ldots, \allowbreak x_K (t) ) \in \mathbb{C}^{K\times K}$，则~\footnote{对于多维 DoA 参数，需要将 $\mathbf{D}$ 扩展为关于所有角度分量的 Jacobian。此时仍可通过相同的 Schur 补思想得到等效 Fisher 信息矩阵，但最终矩阵维度和 Hadamard 表达需要按角度分量重新展开。} +% +\begin{equation} +\frac{\partial\ln \mathcal{L}}{\partial \bm{\theta}} += \begin{bmatrix} + \dfrac{\partial}{\partial \theta_1} + \\ + \vdots + \\ + \dfrac{\partial}{\partial \theta_K} +\end{bmatrix} \ln \mathcal{L} += \frac{2}{\sigma} \sum_{t=1}^T \Re\left[ \mathbf{X}^\Herm _t \mathbf{D}^\Herm \mathbf{n}_t \right]. +\end{equation} + + +\subsubsection{二阶偏导及其均值} + +\paragraph*{噪声方差的二阶偏导及均值} + +\begin{mdquote} +\vspace{-1em} +\begin{equation*} + \mathbb{E} \left[ \mathbf{n}^\Herm_t \mathbf{n}_t \right] = M \sigma_n^2 = M \sigma. +\end{equation*} +% +\begin{equation*} + \mathbb{E} \left[ \mathbf{n}^\Herm_t \mathbf{n}_t \mathbf{n}^\Herm_s \mathbf{n}_s \right] = \begin{cases} + M^2 \sigma^2, & \text{for}\ t\ne s \\ + M(M+1)\sigma^2, & \text{for}\ t = s + \end{cases}. +\end{equation*} +\end{mdquote} +% +\begin{align} +\mathbb{E}\left\{\left[\frac{\partial \ln \mathcal{L}}{\partial \sigma}\right]^2\right\} +=& \mathbb{E}\left[\left(-\frac{MT}{\sigma}+\frac{1}{\sigma^2} \sum_{t=1}^T \mathbf{n}^\Herm _t\mathbf{n}_t\right)^2 \right] +\nonumber \\ +=& \frac{M^2T^2}{\sigma^2} - \frac{2MT}{\sigma^3} \sum_{t=1}^T \mathbb{E}\left[\mathbf{n}^\Herm _t\mathbf{n}_t\right] + \frac{1}{\sigma^4} \sum_{t=1}^T \sum_{s=1}^T \mathbb{E}\left[ \mathbf{n}^\Herm _t\mathbf{n}_t\mathbf{n}^\Herm _s\mathbf{n}_s \right] +\nonumber \\ +=& \frac{M^2T^2}{\sigma^2} - \frac{2M^2T^2}{\sigma^2} + \frac{1}{\sigma^4}[(T^2-T)M^2\sigma^2 + TM(M+1)\sigma^2] +\nonumber \\ +=& \frac{MT}{\sigma^2}. +\end{align} + +\paragraph*{噪声方差和其他参量的二阶混合偏导及均值} + +由于不同时刻（$t\ne s$）的噪声不相关，相同时刻（$t=s$）高斯变量的三阶矩为零，因此有 +% +\begin{equation} +\mathbb{E}\left[ \mathbf{n}_t^\Herm \mathbf{n}_t \mathbf{n}_s^\Tran \right] = \mathbf{0}, +\end{equation} +% +因此，噪声方差和其他参量的混合二阶偏导均为零。 + +\paragraph*{信源实虚部的二阶偏导、二阶混合偏导及均值} + +\begin{mdquote} +\begin{enumerate} + \item 关于噪声的结论：噪声是时间平稳的圆对称复高斯随机过程，也即 + % + \begin{equation*} + \mathbb{E}\left[\mathbf{n}_t\mathbf{n}_s^\Herm \right] + = \sigma \mathbf I_M \delta_{ts}, + \end{equation*} + % + \begin{equation*} + \mathbb{E}[\mathbf{n}_t\mathbf{n}_s^\Tran] = 0,\quad \forall t,s. + \end{equation*} + + \item 关于实虚部乘法运算的结论（将复数按实虚部展开后可得） + \begin{align*} + &\Re\{\mathbf{x}\} \Re\{\mathbf{y}^\Tran\} = \frac{1}{2}[\Re\{\mathbf{x} \mathbf{y}^\Tran\} + \Re\{\mathbf{x} \mathbf{y}^\Herm \}], + \\ + &\Im\{\mathbf{x}\} \Im\{\mathbf{y}^\Tran\} = -\frac{1}{2}[\Re\{\mathbf{x} \mathbf{y}^\Tran\} - \Re\{\mathbf{x} \mathbf{y}^\Herm \}], + \\ + &\Re\{\mathbf{x}\} \Im\{\mathbf{y}^\Tran\} = \frac{1}{2}[\Im\{\mathbf{x} \mathbf{y}^\Tran\} - \Im\{\mathbf{x} \mathbf{y}^\Herm \}]. + \end{align*} +\end{enumerate} +\end{mdquote} +% +\begin{subequations} + \begin{align} + %信源实部的二阶偏导 + \mathbb{E}\left\{\left[\frac{\partial \ln \mathcal{L}}{\partial \mathbf{x}_t^{(r)}}\right]\left[\frac{\partial \ln \mathcal{L}}{\partial \mathbf{x}_s^{(r)}}\right]^\Tran\right\} + &= \frac{1}{\sigma^2} \mathbb{E} \left[ \left( \mathbf{A}^\Tran \mathbf{n}_t^* + \mathbf{A}^\Herm \mathbf{n}_t \right)\left( \mathbf{A}^\Tran\mathbf{n}_s^* + \mathbf{A}^\Herm \mathbf{n}_s \right)^\Tran \right] \nonumber + \\ + =& \frac{1}{\sigma^2} \mathbb{E}\left[\left( \mathbf{A}^\Tran \mathbf{n}_t^* \mathbf{n}_s^\Herm \mathbf{A} + \mathbf{A}^\Tran \mathbf{n}_t^* \mathbf{n}_s^\Tran \mathbf{A}^\ast + \mathbf{A}^\Herm \mathbf{n}_t \mathbf{n}_s^\Herm \mathbf{A} + \mathbf{A}^\Herm \mathbf{n}_t \mathbf{n}_s^\Tran \mathbf{A}^\ast \right)\right] \nonumber + \\ + =& \frac{1}{\sigma^2} \mathbb{E} \left[ \left( \mathbf{A}^\Tran \mathbf{n}_t^* \mathbf{n}_s^\Tran \mathbf{A}^\ast + \mathbf{A}^\Herm \mathbf{n}_t \mathbf{n}_s^\Herm \mathbf{A} \right) \right] + = \frac{2}{\sigma^2}\Re\left\{\mathbf{A}^\Herm \mathbb{E}\left[ \mathbf{n}_t \mathbf{n}_s^\Herm \right] \mathbf{A}\right\} \nonumber + \\ + =& \frac{2}{\sigma} \Re\left[\mathbf{A}^\Herm \mathbf{A}\right]\delta(t-s). + \end{align} + %信源实虚部的混合二阶偏导 + \begin{equation} + \mathbb{E}\left\{\left[\frac{\partial \ln \mathcal{L}}{\partial \mathbf{x}_t^{(r)}}\right]\left[\frac{\partial \ln \mathcal{L}}{\partial \mathbf{x}_s^{(i)}}\right]^\Tran\right\} + = \frac{4}{\sigma^2} \left(-\frac{1}{2}\right)\Im\left\{\mathbb{E}\left[\mathbf{A}^\Herm \mathbf{n}_t \mathbf{n}_s^\Herm \mathbf{A} \right]\right\} + = -\frac{2}{\sigma} \Im\left[\mathbf{A}^\Herm \mathbf{A}\right]\delta(t-s). + \end{equation} + %信源虚部的二阶偏导 + \begin{equation} + \mathbb{E}\left\{\left[\frac{\partial \ln \mathcal{L}}{\partial \mathbf{x}_t^{(i)}}\right]\left[\frac{\partial \ln \mathcal{L}}{\partial \mathbf{x}_s^{(i)}}\right]^\Tran\right\} + = \frac{4}{\sigma^2} \frac{1}{2}\Re\left\{\mathbb{E}\left[\mathbf{A}^\Herm \mathbf{n}_t \mathbf{n}_s^\Herm \mathbf{A} \right]\right\} + = \frac{2}{\sigma} \Re\left[\mathbf{A}^\Herm \mathbf{A}\right]\delta(t-s). + \end{equation} +\end{subequations} + + +\paragraph*{信源实虚部与角度的混合二阶偏导及均值} + +\begin{subequations} + \begin{equation} + \mathbb{E}\left\{\left[\frac{\partial \ln \mathcal{L}}{\partial \mathbf{x}_t^{(r)}}\right]\left[\frac{\partial\ln \mathcal{L}}{\partial \bm{\theta}}\right]^\Tran\right\} + = \frac{4}{\sigma^2} \sum_{t=1}^T\frac{1}{2}\Re\{\mathbf{A}^\Herm \mathbb{E}\left[ \mathbf{n}_t\mathbf{n}_t^\Herm \right] \mathbf{D} \mathbf{X}_t\} + = \frac{2}{\sigma}\Re\left[ \mathbf{A}^\Herm \mathbf{D} \mathbf{X}_t \right]. + \end{equation} + % + \begin{equation} + \mathbb{E}\left\{\left[\frac{\partial \ln \mathcal{L}}{\partial \mathbf{x}_t^{(i)}}\right]\left[\frac{\partial\ln \mathcal{L}}{\partial \bm{\theta}}\right]^\Tran\right\} + = \frac{4}{\sigma^2} \sum_{t=1}^T\left(-\frac{1}{2}\right)\Im\{\mathbf{A}^\Herm \mathbb{E}\left[ \mathbf{n}_t\mathbf{n}_s^\Herm \right] \mathbf{D} \mathbf{X}_t\} + = \frac{2}{\sigma}\Im\left[ \mathbf{A}^\Herm \mathbf{D} \mathbf{X}_t \right]. + \end{equation} +\end{subequations} + + +\paragraph*{角度的二阶偏导及均值} + +\begin{equation} +\mathbb{E}\left\{\left[\frac{\partial\ln \mathcal{L}}{\partial \bm{\theta}}\right]\left[\frac{\partial\ln \mathcal{L}}{\partial \bm{\theta}}\right]^\Tran\right\} += \frac{4}{\sigma^2} \sum_{t=1}^T \sum_{s=1}^T \frac{1}{2} \Re\{\mathbf{X}_t^\Herm \mathbf{D}^\Herm \mathbb{E}\left[ \mathbf{n}_t\mathbf{n}_s^\Herm \right] \mathbf{D} \mathbf{X}_s\} += \frac{2}{\sigma} \sum_{t=1}^T \Re\left[ \mathbf{X}_t^\Herm \mathbf{D}^\Herm \mathbf{D} \mathbf{X}_t \right]. +\end{equation} + +\subsubsection{Fisher 信息矩阵/CRB 协方差矩阵构造} + +\begin{mdquote} + \begin{enumerate} + \item 复矩阵求逆法则：令 $\mathbf{H}$ 是非奇异矩阵，且有 $\mathbf{G}\triangleq\mathbf{H}^{-1}$，则 + \begin{equation} + \left[ \begin{matrix} + \Re\{\mathbf{H}\} & -\Im\{\mathbf{H}\} \\ + \Im\{\mathbf{H}\} & \Re\{\mathbf{H}\} \\ + \end{matrix}\right] ^{-1} = \left[ \begin{matrix} + \Re\{\mathbf{G}\} & -\Im\{\mathbf{G}\} \\ + \Im\{\mathbf{G}\} & \Re\{\mathbf{G}\} \\ + \end{matrix}\right]. + \end{equation} + + \item Schur 补在 \gls{fim} 中的应用：当 \gls{fim} 被分块为 + % + \begin{equation} + \mathcal{I} = \left[ \begin{matrix} + \mathcal{I}_{\theta\theta} & \mathcal{I}_{\theta\psi} \\ + \mathcal{I}_{\psi\theta} & \mathcal{I}_{\psi\psi} + \end{matrix} \right], + \end{equation} + % + 其中 $\bm{\theta}$ 为目标参数，$\bm{\psi}$ 为扰动（nuisance）参数，可以通过 Schur 补获得 CRB + % + \begin{equation} + \label{eq:schur_complement} + \mathrm{CRB}^{-1}(\bm{\theta}) + = \mathcal{I}_{\mathrm e} + = \mathcal{I}_{\theta\theta} - \mathcal{I}_{\theta\psi} \mathcal{I}_{\psi\psi}^{-1} \mathcal{I}_{\psi\theta}. + \end{equation} + \end{enumerate} +\end{mdquote} + +\Gls{fim} 可以写为 +% +\begin{align} + &\mathcal{I} \left( \sigma, \mathbf{x}_{1}^{{(r)}}, \mathbf{x}_{1}^{{(i)}}, \ldots, \mathbf{x}_{T}^{{(r)}}, \mathbf{x}_{T}^{{(i)}},\bm{\theta } \right) \nonumber + \\ + =& \left[ \begin{array}{c:c:c} + \text{CRB}^{-1}(\sigma) & 0 & 0 \\ \hdashline + 0 & \begin{array}{c:c:c} + \begin{matrix} + \Re\{\mathbf{H}\}\quad & -\Im\{\mathbf{H}\}\quad \\ + \Im\{\mathbf{H}\}\quad & \Re\{\mathbf{H}\}\quad \\ + \end{matrix} & & 0 \\ + \hdashline + & \ddots & \\ + \hdashline + 0 & & \begin{matrix} + \Re\{\mathbf{H}\}\quad & -\Im\{\mathbf{H}\}\quad\,\, \\ + \Im\{\mathbf{H}\}\quad & \Re\{\mathbf{H}\}\quad \\ + \end{matrix} \\ + \end{array} & \begin{matrix} + \Re\{\bm{\Delta}_1\} \\ \Im\{\bm{\Delta}_1\} \\ \hdashline \vdots \\ \hdashline \Re\{\bm{\Delta}_T\} \\ \Im\{\bm{\Delta}_T\} + \end{matrix} \\ + \hdashline + 0 & \begin{array}{cc:c:cc} + \Re\{\bm{\Delta}_1\}^\Tran & + \Im\{\bm{\Delta}_1\}^\Tran & + \cdots & + \Re\{\bm{\Delta}_T\}^\Tran & + \Im\{\bm{\Delta}_T\}^\Tran + \end{array} &\bm{\Gamma} + \end{array} + \right], +\end{align} +% +其中 $\text{CRB}(\sigma) = \dfrac{\sigma^2}{MT}$，$\mathbf{H} = \dfrac{2}{\sigma}\mathbf{A}^\Herm \mathbf{A}$，$\bm{\Delta}_t = \dfrac{2}{\sigma} \mathbf{A}^\Herm \mathbf{D} \mathbf{X}_t$，$\bm{\Gamma} = \dfrac{2}{\sigma}\displaystyle\sum_{t=1}^T \Re\left[ \mathbf{X}_t^\Herm \mathbf{D}^\Herm \mathbf{D} \mathbf{X}_t \right]$。注意到，由于噪声方差和其他各参量的联合二阶偏导数为零，因此噪声方差这个参量不会通过 Schur 补影响 $\bm{\theta}$，也即可以只考虑除噪声方差之外的参量构成的 \gls{fim}。 + +我们的目标是通过 Schur 补消去确定信号快拍 $\{\mathbf x_t\}_{t=1}^T$，得到关于 $\bm\theta$ 的等效 Fisher 信息矩阵；随后对该等效 Fisher 信息矩阵求逆，得到 $\bm\theta$ 的 CRB 协方差矩阵。首先定义几个辅助变量，令 +% +\begin{equation*} + \mathbf{F}_{\psi\psi}=\left[ \begin{array}{c:c:c} + \begin{matrix} + \Re\{\mathbf{H}\} & -\Im\{\mathbf{H}\} \\ + \Im\{\mathbf{H}\} & \Re\{\mathbf{H}\} \\ + \end{matrix} + & & 0 \\ + \hdashline + & \ddots & \\ + \hdashline + 0 & & \begin{matrix} + \Re\{\mathbf{H}\} & -\Im\{\mathbf{H}\} \\ + \Im\{\mathbf{H}\} & \Re\{\mathbf{H}\} \\ + \end{matrix} \\ + \end{array} \right],\quad + % + \mathbf{F}_{\psi\theta} = \left[ \begin{array}{c} + \Re\{\bm{\Delta}_1\} \\ + \Im\{\bm{\Delta}_1\} \\ + \hdashline + \vdots \\ + \hdashline + \Re\{\bm{\Delta}_T\} \\ + \Im\{\bm{\Delta}_T\} + \end{array}\right], +\end{equation*} +% +\begin{equation*} + \mathbf{F}_{\theta\psi} = \left[ + \begin{array}{c:c:c} + \begin{matrix} + \Re\{\bm{\Delta}_1\}^\Tran & \Im\{\bm{\Delta}_1\}^\Tran + \end{matrix} + & + \cdots + & + \begin{matrix} + \Re\{\bm{\Delta}_T\}^\Tran & \Im\{\bm{\Delta}_T\}^\Tran + \end{matrix} + \end{array} \right]. +\end{equation*} +% +因此，我们有 +% +\begin{align} + \mathrm{CRB}^{-1}(\bm{\theta}) = \bm{\Gamma}-\mathbf{F}_{\theta\psi}\mathbf{F}_{\psi\psi}^{-1}\mathbf{F}_{\psi\theta} +\end{align} +% +观察矩阵结构，通过分块矩阵乘法，令 $\mathbf{G} = \mathbf{H}^{-1}$，可以有~\footnote{将右侧按照复数乘法展开即可得到。} +% +\begin{equation*} + \left[ \begin{matrix} + \Re\{\mathbf{G}\} & -\Im\{\mathbf{G}\} \\ + \Im\{\mathbf{G}\} & \Re\{\mathbf{G}\} \\ + \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} + \Re\{\bm{\Delta}_t\} \\ + \Im\{\bm{\Delta}_t\} \\ + \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} + \Re\{\mathbf{G}\}\Re\{\bm{\Delta}_t\} - \Im\{\mathbf{G}\}\Im\{\bm{\Delta}_t\} \\ + \Im\{\mathbf{G}\}\Re\{\bm{\Delta}_t\} + \Re\{\mathbf{G}\}\Im\{\bm{\Delta}_t\} \\ + \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} + \Re\{\mathbf{G}\bm{\Delta}_t\} \\ + \Im\{\mathbf{G}\bm{\Delta}_t\} \\ + \end{matrix} \right], +\end{equation*} +% +以及~\footnote{将右侧展开，$\Re\{\bm{\Delta}_t^\Herm \mathbf{G}\bm{\Delta}_t\} = (\Re\{\bm{\Delta}_t\} - j \Im\{\bm{\Delta}_t\})^\Tran (\Re\{\mathbf{G}\bm{\Delta}_t\} + j \Im\{\mathbf{G}\bm{\Delta}_t\}) $，即可得到。} +% +\begin{equation*} +\left[ \begin{matrix} + \Re\{\bm{\Delta}_t\}^\Tran & \Im\{\bm{\Delta}_t\}^\Tran \\ + \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} + \Re\{\mathbf{G}\bm{\Delta}_t\} \\ + \Im\{\mathbf{G}\bm{\Delta}_t\} \\ + \end{matrix} \right] = \Re\{\bm{\Delta}_t^\Herm \mathbf{G}\bm{\Delta}_t\}, +\end{equation*} +% +因此，角度的 \gls{crb} 可以表示为 +% +\begin{align} + \mathrm{CRB}^{-1}(\bm{\theta}) &= \bm{\Gamma} - \sum_{t=1}^T \Re\{\bm{\Delta}_t^\Herm \mathbf{G}\bm{\Delta}_t\} \nonumber + = \dfrac{2}{\sigma} \sum_{t=1}^T \Re\left\{ \mathbf{X}_t^\Herm \mathbf{D}^\Herm \mathbf{D} \mathbf{X}_t - \mathbf{X}_t^\Herm \mathbf{D}^\Herm \mathbf{A}(\mathbf{A}^\Herm \mathbf{A})^{-1}\mathbf{A}^\Herm \mathbf{D} \mathbf{X}_t \right\} \nonumber + \\ + &= \dfrac{2}{\sigma} \sum_{t=1}^T \Re\left\{ \mathbf{X}_t^\Herm \mathbf{D}^\Herm \left[ \mathbf{I} - \mathbf{A}(\mathbf{A}^\Herm \mathbf{A})^{-1}\mathbf{A}^\Herm \right] \mathbf{D} \mathbf{X}_t \right\}. +\end{align} + +参考 \cite{stoicaMusicMaximumLikelihood1989} 进一步定义阵列导向矩阵的列空间的投影矩阵 $\mathcal{P}_{\mathbf{A}} = \mathbf{A}(\mathbf{A}^\Herm \mathbf{A})^{-1}\mathbf{A}^\Herm$，及其正交补空间的投影矩阵 $\mathcal{P}_{\mathbf{A}}^\perp = \mathbf{I} -\mathcal{P}_{\mathbf{A}}$，投影矩阵下的等效信息矩阵 $\mathcal{H} = \mathbf{D}^\Herm \mathcal{P}_{\mathbf{A}}^\perp \mathbf{D}$，确定信号的经验协方差 $\mathbf R_{x,\mathrm{det}} = \dfrac{1}{T} \displaystyle\sum_{t=1}^T \mathbf{x}_t \mathbf{x}_t^\Herm$，则关于角度的等效 Fisher 信息矩阵可以表示为 +% +\begin{align} + \mathcal I_{\mathrm e}(\bm\theta) + = \mathrm{CRB}^{-1}(\bm{\theta}) + = \frac{2T}{\sigma} \Re\left\{ \mathcal{H} \odot \mathbf R_{x,\mathrm{det}}^\Tran \right\}. +\end{align} +% +因此，条件（conditional）\gls{crb} 或确定（deterministic）\gls{crb} 为 +% +\begin{align} + \mathcal{B}_c + := \mathrm{CRB}(\bm{\theta}) + = \frac{\sigma}{2T} + \left[\Re\left\{ \mathcal{H} \odot \mathbf R_{x,\mathrm{det}}^\Tran \right\}\right]^{-1}, +\end{align} +% +其中 $\odot$ 表示 Hadamard 积。 + +该结果是单阵列确定信号 DoA 的条件 CRB 基线。后续单阵列 DoA--Doppler 和多星 DoA--Doppler 的 CRB 推导会沿用“先构造完整 Fisher 信息，再对干扰参数做 Schur 补”的处理方式。 + +\subsection{确定信号 DoA--Doppler CRB} +\label{sec:det_doa_doppler_crb} +本附录对应第~\ref{sec:det_doa_doppler_est} 节的单阵列确定信号 DoA--Doppler 模型，是从纯空间 CRB 过渡到空时 CRB 的中间层。由式~\eqref{eq:vec_det_doa_doppler_recv_sig}，向量化观测满足 +\begin{equation} + \tilde{\mathbf y} + = + \mathbf B_{\mathrm{st}}(\bm\Theta,\boldsymbol\nu)\boldsymbol\zeta + + + \tilde{\mathbf n}, + \qquad + \tilde{\mathbf n}\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma\mathbf I_{MT}), +\end{equation} +其中 $\sigma\triangleq\sigma_n^2$。因此 +\begin{equation} + \tilde{\mathbf y}\sim\mathcal{CN}\big(\boldsymbol\mu(\boldsymbol\kappa),\sigma\mathbf I_{MT}\big), + \qquad + \boldsymbol\mu(\boldsymbol\kappa) + = + \mathbf B_{\mathrm{st}}\boldsymbol\zeta. +\end{equation} +本附录使用完整参数向量 +\begin{equation} + \boldsymbol\kappa + = + \begin{bmatrix} + \sigma, + (\boldsymbol\zeta^{(r)})^\Tran, + (\boldsymbol\zeta^{(i)})^\Tran, + \boldsymbol\nu^\Tran, + \bm\theta^\Tran + \end{bmatrix}^\Tran, +\end{equation} +其中 $\boldsymbol\zeta^{(r)}=\Re\{\boldsymbol\zeta\}$、$\boldsymbol\zeta^{(i)}=\Im\{\boldsymbol\zeta\}$。这里的 $\bm\theta$ 表示单阵列一维 DoA 情形下的角度向量；若使用二维 DoA 参数，可将相应导数矩阵按同样方式扩展。 + + +\subsubsection{FIM 元素的通式} + +由于协方差 $\sigma\mathbf I_{MT}$ 只依赖噪声方差，而其他参数只通过均值向量进入，因此均值参数之间的 Fisher 信息为 +\begin{equation} + [\mathcal I(\boldsymbol\kappa)]_{ij} + = + \frac{2}{\sigma} + \Re\left\{ + \left(\frac{\partial\boldsymbol\mu}{\partial\kappa_i}\right)^\Herm + \left(\frac{\partial\boldsymbol\mu}{\partial\kappa_j}\right) + \right\}, +\end{equation} +噪声方差自身的信息为 +\begin{equation} + [\mathcal I(\boldsymbol\kappa)]_{\sigma\sigma} + = + \frac{MT}{\sigma^2}, +\end{equation} +且噪声方差与均值参数的 Fisher 交叉项为零。因此后续只需构造均值参数部分的 FIM。 + +\subsubsection{偏导数求取} + +定义时间索引向量和对角矩阵 +\begin{equation} + \mathbf t + \triangleq + [0,1,\ldots,T-1]^\Tran, + \qquad + \mathbf T_d + \triangleq + \diag(0,1,\ldots,T-1). +\end{equation} +由 $[\mathbf q_k(\nu_k)]_t=s_k(t)e^{j\nu_k t}$ 可得 +\begin{equation} + \dot{\mathbf q}_k + \triangleq + \frac{\partial\mathbf q_k(\nu_k)}{\partial\nu_k} + = + j\mathbf T_d\mathbf q_k(\nu_k). +\end{equation} +再定义空间导向矢量和空时导向列向量的一阶导数为 +\begin{equation} + \dot{\mathbf a}_k + \triangleq + \frac{\partial\mathbf a(\theta_k)}{\partial\theta_k}, +\end{equation} +\begin{equation} + \dot{\mathbf b}_{\mathrm{st},\theta_k} + \triangleq + \frac{\partial\mathbf b_{\mathrm{st},k}}{\partial\theta_k} + = + \mathbf q_k(\nu_k)\otimes\dot{\mathbf a}_k, + \qquad + \dot{\mathbf b}_{\mathrm{st},\nu_k} + \triangleq + \frac{\partial\mathbf b_{\mathrm{st},k}}{\partial\nu_k} + = + \dot{\mathbf q}_k\otimes\mathbf a(\theta_k). +\end{equation} +进一步写成矩阵形式 +\begin{equation} + \mathbf B_{\mathrm{st},\theta} + \triangleq + \left[ + \dot{\mathbf b}_{\mathrm{st},\theta_1},\ldots, + \dot{\mathbf b}_{\mathrm{st},\theta_K} + \right] + \in\mathbb C^{MT\times K}, +\end{equation} +\begin{equation} + \mathbf B_{\mathrm{st},\nu} + \triangleq + \left[ + \dot{\mathbf b}_{\mathrm{st},\nu_1},\ldots, + \dot{\mathbf b}_{\mathrm{st},\nu_K} + \right] + \in\mathbb C^{MT\times K}. +\end{equation} +由此，对复增益、Doppler 和角度的一阶偏导为 +\begin{equation} + \mathbf J_{\boldsymbol\zeta^{(r)}} + = + \mathbf B_{\mathrm{st}}, + \qquad + \mathbf J_{\boldsymbol\zeta^{(i)}} + = + j\mathbf B_{\mathrm{st}}, +\end{equation} +\begin{equation} + \mathbf J_{\boldsymbol\nu} + = + \mathbf B_{\mathrm{st},\nu}\mathbf D_{\zeta}, + \qquad + \mathbf J_{\bm\theta} + = + \mathbf B_{\mathrm{st},\theta}\mathbf D_{\zeta}, +\end{equation} +其中 $\mathbf D_\zeta=\diag(\zeta_1,\ldots,\zeta_K)$。 + +\subsubsection{消去复增益后的 DoA--Doppler EFIM} + +令 +\begin{equation} + \boldsymbol\eta_{\theta\nu} + \triangleq + \left[\bm\theta^\Tran,\boldsymbol\nu^\Tran\right]^\Tran, + \qquad + \mathbf J_{\boldsymbol\eta} + \triangleq + \left[ + \mathbf J_{\bm\theta}, + \mathbf J_{\boldsymbol\nu} + \right]. +\end{equation} +完整均值参数 Jacobian 可写为 +\begin{equation} + \mathbf J_{\mathrm{mean}} + = + \left[ + \mathbf B_{\mathrm{st}}, + j\mathbf B_{\mathrm{st}}, + \mathbf J_{\boldsymbol\eta} + \right], + \qquad + \mathcal I_{\mathrm{mean}} + = + \frac{2}{\sigma}\Re\{\mathbf J_{\mathrm{mean}}^\Herm\mathbf J_{\mathrm{mean}}\}. +\end{equation} +由于 $\mathbf B_{\mathrm{st}}$ 与 $j\mathbf B_{\mathrm{st}}$ 对应未知复增益的实部和虚部，消去复增益后，$\boldsymbol\eta_{\theta\nu}$ 的 EFIM 为 +\begin{equation} + \label{eq:single_det_doa_doppler_efim_theta_nu} + \mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\theta\nu}) + = + \frac{2}{\sigma}\Re\left\{ + \begin{bmatrix} + \mathbf D_\zeta^\Herm\mathbf B_{\mathrm{st},\theta}^\Herm \\ + \mathbf D_\zeta^\Herm\mathbf B_{\mathrm{st},\nu}^\Herm + \end{bmatrix} + \mathcal P_{\mathbf B_{\mathrm{st}}}^\perp + \begin{bmatrix} + \mathbf B_{\mathrm{st},\theta}\mathbf D_\zeta & + \mathbf B_{\mathrm{st},\nu}\mathbf D_\zeta + \end{bmatrix} + \right\}, +\end{equation} +其中 +\begin{equation} + \mathcal P_{\mathbf B_{\mathrm{st}}}^\perp + = + \mathbf I_{MT} + - + \mathbf B_{\mathrm{st}} + (\mathbf B_{\mathrm{st}}^\Herm\mathbf B_{\mathrm{st}})^{-1} + \mathbf B_{\mathrm{st}}^\Herm. +\end{equation} +将式~\eqref{eq:single_det_doa_doppler_efim_theta_nu} 分块写为 +\begin{equation} + \mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\theta\nu}) + = + \begin{bmatrix} + \mathcal I_{\theta\theta} & \mathcal I_{\theta\nu} \\ + \mathcal I_{\nu\theta} & \mathcal I_{\nu\nu} + \end{bmatrix}. +\end{equation} + +\subsubsection{仅关心 DoA 或 Doppler 时的 CRB} + +若同时估计 DoA 和 Doppler，则 +\begin{equation} + \operatorname{CRB}(\boldsymbol\eta_{\theta\nu}) + = + \mathcal I_{\mathrm e}^{-1}(\boldsymbol\eta_{\theta\nu}). +\end{equation} +若只关心 DoA，并把 Doppler 视为实值干扰参数，则应在式~\eqref{eq:single_det_doa_doppler_efim_theta_nu} 的实值 EFIM 上对 $\boldsymbol\nu$ 做 Schur 补： +\begin{equation} + \operatorname{CRB}(\bm\theta) + = + \left( + \mathcal I_{\theta\theta} + - + \mathcal I_{\theta\nu}\mathcal I_{\nu\nu}^{-1}\mathcal I_{\nu\theta} + \right)^{-1}. +\end{equation} +类似地，若只关心 Doppler，并把 DoA 视为实值干扰参数，则 +\begin{equation} + \operatorname{CRB}(\boldsymbol\nu) + = + \left( + \mathcal I_{\nu\nu} + - + \mathcal I_{\nu\theta}\mathcal I_{\theta\theta}^{-1}\mathcal I_{\theta\nu} + \right)^{-1}. +\end{equation} +需要注意，$\boldsymbol\nu$ 是实值干扰参数，因此不能把 +$\mathbf B_{\mathrm{st},\nu}\mathbf D_\zeta$ 当作具有任意复系数的未知子空间并直接写成复投影 +$\mathcal P_{[\mathbf B_{\mathrm{st}},\mathbf B_{\mathrm{st},\nu}\mathbf D_\zeta]}^\perp$。 +正确做法是先消去复增益，再在实值参数 EFIM 中对 Doppler 做 Schur 补。 +若 Doppler 已知，则 DoA 的 CRB 为 $\mathcal I_{\theta\theta}^{-1}$；若 Doppler 未知，则上式中的 Schur 补体现了 DoA--Doppler 耦合带来的信息损失。 + +当 $\boldsymbol\nu$ 已知且固定为 $\mathbf0$ 时，本模型退化为带已知时间导频权重的确定信号 DoA 模型；若 $\boldsymbol\nu$ 未知，即使在真实值 $\boldsymbol\nu=\mathbf0$ 处，Doppler 仍会通过导数 $\dot{\mathbf q}_k=j\mathbf T_d\mathbf q_k$ 作为干扰参数影响 DoA 的 CRB。 + +该单阵列空时 CRB 说明 DoA 与 Doppler 的耦合会通过 Schur 补造成信息损失。多星静态和动态 CRB 在结构上延续这一思想，但将独立的 $\nu_k$ 替换为参考星参数化下的 $\nu_{\mathrm{ref}}$，并进一步处理多星复增益、连续相位和 Doppler rate 等干扰参数。 + +\subsection{随机信号 DoA CRB（对照支线）} +\label{sec:sto_doa_crb} +本附录对应第~\ref{sec:sto_doa_est} 节的单阵列随机信号 DoA 模型。由 \ref{subsubsec:general_gauss_crb} 可知，零均值圆对称复高斯随机过程的 \gls{crb} 可以表示为 +% +\begin{equation} + [\mathcal I(\boldsymbol\kappa)]_{ij} + = T\Re\left\{\tr \left[ + \mathbf{R}^{-1} (\boldsymbol\kappa) \frac{\partial \mathbf{R} (\boldsymbol\kappa)}{\partial \kappa_i} \mathbf{R}^{-1} (\boldsymbol\kappa) \frac{\partial \mathbf{R} (\boldsymbol\kappa)}{\partial \kappa_j} + \right]\right\}. +\end{equation} +% +因此可以通过类似\ref{sec:det_doa_crb} 的方式，按照第 \ref{sec:sto_doa_est} 节的建模方式，求出接收信号协方差矩阵 $\mathbf{R} = \mathbf{A} \mathbf{R}_x \mathbf{A}^\Herm + \sigma \mathbf{I}_M$ 对各个参量的一阶导数，构建 \gls{fim}。 +随机信号 \gls{doa} 估计问题的参数向量可以写为 +% +\begin{equation*} + \boldsymbol\kappa = \begin{bmatrix} + \boldsymbol\theta \\ \boldsymbol\psi + \end{bmatrix}, + \quad + \boldsymbol\psi = \begin{bmatrix} + \operatorname{vech}_{\mathbb R}(\mathbf{R}_x) \\ \sigma + \end{bmatrix}, +\end{equation*} +% +其中 $\boldsymbol\theta$ 为待估 \gls{doa} 参数向量。严格地说，$\mathbf R_x=\mathbf R_x^\Herm$ 应采用非冗余实参数化；为避免引入额外记号，下文仅用 $\boldsymbol\psi$ 表示信源协方差与噪声方差组成的干扰参数集合，$\sigma \triangleq \sigma_n^2$ 为噪声方差。 +由 $\eqref{eq:schur_complement}$ 的 Schur 补可得 \gls{doa} 的等效 \gls{fim} 为 +% +\begin{equation*} + \mathcal{I}_{\mathrm e} + = \mathcal{I}_{\theta\theta} - \mathcal{I}_{\theta\psi} \mathcal{I}_{\psi\psi}^{-1} \mathcal{I}_{\psi\theta}. +\end{equation*} +% +但是在随机信号模型中，直接计算 Fisher 块需要显式处理 $\mathbf{R}^{-1}$ 与各导数的耦合项，代数推导代价很高，因此参考 \cite{stoicaPerformanceStudyConditional1990}，通过协方差扰动子空间的结构，将干扰参数 $\boldsymbol\psi$ 所能引起的协方差扰动张成一个线性子空间，并将 $\mathbf{R}_i \triangleq \dfrac{\partial \mathbf{R} (\boldsymbol\kappa)}{\partial \kappa_i}$ 中落在该子空间内的分量投影消去，从而得到与 Schur 补等价的投影消元形式。 + +\subsubsection{干扰参数扰动子空间} + +在随机信号模型下，接收信号协方差矩阵为 +% +\begin{equation*} + \mathbf{R} = \mathbf{A} \mathbf{R}_x \mathbf{A}^\Herm + \sigma \mathbf{I}_M. +\end{equation*} +% +目标参数为 \gls{doa} 参数 $\bm{\theta}$，但协方差矩阵不仅依赖 $\bm{\theta}$，还依赖信源协方差 $\mathbf{R}_x$ 和噪声功率 $\sigma$。 +因此，当接收信号协方差发生微小变化时，这种变化可能来自 \gls{doa} 的变化、信源功率或源相关性的变化、噪声功率的变化。 +\emph{为了区分这些不同来源的变化，有必要分析对于不同参数的微小扰动，会使协方差矩阵沿哪些方向发生变化。} + +设参数发生一个小扰动，即 +% +\begin{equation*} + \mathbf{R}_x \to \mathbf{R}_x + \Delta \mathbf{R}_x, + \quad + \sigma \to \sigma + \Delta \sigma, +\end{equation*} +% +则协方差的变化为 +% +\begin{equation*} + \Delta \mathbf{R} = \mathbf{A} (\Delta\mathbf{R}_x) \mathbf{A}^\Herm + (\Delta\sigma) \mathbf{I}_M. +\end{equation*} +% +可以看出，协方差的扰动具有固定的结构，包括第一类扰动 $\mathbf{A}(\ \cdot \ )\mathbf{A}^\Herm$ 和第二类扰动 $\mathbf{I}_M$。 +也即干扰参数 $(\mathbf{R}_x, \sigma)$ 只能使协方差沿某些\emph{特定方向}变化，而不可能产生任意形式的矩阵变化。 + +将所有由干扰参数产生的协方差扰动集合定义为 +% +\begin{equation} + \mathcal{S}_{\boldsymbol\psi} + = \left\{ \mathbf{A} \mathbf{X} \mathbf{A}^\Herm + \mu \mathbf{I}_M \mid \mathbf{X} = \mathbf{X}^\Herm, \mu \in \mathbb{R} \right\} + \subseteq \mathrm{span}_{\mathbb R} \left\{ \mathbf{a}_i \mathbf{a}_j^\Herm,\; j\le i,\; \mathbf I_M \right\}, +\end{equation} +% +这个集合包含了所有可能由信源协方差和噪声功率变化引起的接收信号协方差变化。由于 $\Delta\mathbf R_x$ 必须保持 Hermitian，上式中的张成应理解为 Hermitian 矩阵集合上的实线性张成，本文称该集合为\emph{干扰参数扰动子空间}。 +它描述了协方差矩阵由于干扰参数变化所能移动的所有方向。 + +Schur 补 $\mathcal{I}_{\mathrm e} += \mathcal{I}_{\theta\theta} - \mathcal{I}_{\theta\psi} \mathcal{I}_{\psi\psi}^{-1} \mathcal{I}_{\psi\theta}$ 的本质是从 $\mathcal{I}_{\theta\theta}$ 中剔除可以被干扰参数“解释”的变化部分，从而获得关于 \gls{doa} 的独立信息。 +因此 Schur 补在几何上等价于将 $\mathbf{R}_{\theta_i}$ 在扰动子空间 $\mathcal{S}_{\boldsymbol\psi}$ 上的分量消除，只保留与该子空间正交的部分。 + +\subsubsection{Fisher 块构建} + +考虑等式 +% +\begin{equation*} + \tr (\mathbf{X}^\Herm \mathbf{Y}) = \vect (\mathbf{X})^\Herm \vect (\mathbf{Y}), +\end{equation*} +% +\begin{equation*} + \tr (\mathbf{R}^{-1} \mathbf{X} \mathbf{R}^{-1} \mathbf{Y}) + = \vect (\mathbf{X})^\Herm (\mathbf{R}^{-\Tran} \otimes \mathbf{R}^{-1}) \vect (\mathbf{Y}) + = \vect (\mathbf{X})^\Herm \mathbf{W} \vect (\mathbf{Y}), +\end{equation*} +% +其中 $\otimes$ 表示 Kronecker 积，$\mathbf{W} \triangleq \mathbf{R}^{-\Tran} \otimes \mathbf{R}^{-1}$。由于这里所有参数均为实参数，且各协方差导数为 Hermitian，迹项理论上为实数；下文显式保留 $\Re\{\cdot\}$ 以避免复数数值舍入误差。则考虑 $T$ 个快拍时，Fisher 信息 +% +\begin{align} + [\mathcal{I}]_{ij} + &= T\Re\left\{\tr (\mathbf{R}^{-1} \mathbf{R}_i \mathbf{R}^{-1} \mathbf{R}_j)\right\} + \nonumber \\ + &= T\Re\left\{\vect (\mathbf{R}_i)^\Herm (\mathbf{R}^{-\Tran} \otimes \mathbf{R}^{-1}) \vect (\mathbf{R}_j)\right\} + = T\Re\left\{\vect (\mathbf{R}_i)^\Herm \mathbf{W} \vect (\mathbf{R}_j)\right\}. +\end{align} + +定义 $\mathbf{G}_{\bm{\theta}} \triangleq [\vect (\mathbf{R}_{\theta_1}), \ldots, \vect (\mathbf{R}_{\theta_K})]$，$\mathbf{G}_{\boldsymbol\psi} \triangleq [\vect (\mathbf{R}_{\psi_1}), \ldots, \vect (\mathbf{R}_{\psi_q})]$，则 \gls{fim} 的各项可以写为 +% +\begin{subequations} +\begin{equation} + [\mathcal{I}_{\theta\theta}]_{ij} + = T\Re\left\{\tr (\mathbf{R}^{-1} \mathbf{R}_{\theta_i} \mathbf{R}^{-1} \mathbf{R}_{\theta_j})\right\} + = T\Re\left\{\vect (\mathbf{R}_{\theta_i})^\Herm \mathbf{W} \vect (\mathbf{R}_{\theta_j})\right\}, +\end{equation} +% +\begin{equation} + [\mathcal{I}_{\theta\psi}]_{ij} + = T\Re\left\{\tr (\mathbf{R}^{-1} \mathbf{R}_{\theta_i} \mathbf{R}^{-1} \mathbf{R}_{\psi_j})\right\} + = T\Re\left\{\vect (\mathbf{R}_{\theta_i})^\Herm \mathbf{W} \vect (\mathbf{R}_{\psi_j})\right\}, +\end{equation} +% +\begin{equation} + [\mathcal{I}_{\psi\psi}]_{ij} + = T\Re\left\{\tr (\mathbf{R}^{-1} \mathbf{R}_{\psi_i} \mathbf{R}^{-1} \mathbf{R}_{\psi_j})\right\} + = T\Re\left\{\vect (\mathbf{R}_{\psi_i})^\Herm \mathbf{W} \vect (\mathbf{R}_{\psi_j})\right\}, +\end{equation} +\end{subequations} +% +写成矩阵形式，有 +% +\begin{subequations} +\begin{equation} + \mathcal{I}_{\theta\theta} = T\Re\left\{\mathbf{G}_{\bm{\theta}}^\Herm \mathbf{W} \mathbf{G}_{\bm{\theta}}\right\}, +\end{equation} +% +\begin{equation} + \mathcal{I}_{\theta\psi} = T\Re\left\{\mathbf{G}_{\bm{\theta}}^\Herm \mathbf{W} \mathbf{G}_{\boldsymbol\psi}\right\}, +\end{equation} +% +\begin{equation} + \mathcal{I}_{\psi\psi} = T\Re\left\{\mathbf{G}_{\boldsymbol\psi}^\Herm \mathbf{W} \mathbf{G}_{\boldsymbol\psi}\right\}, +\end{equation} +\end{subequations} +% +代入 Schur 补，有 +% +\begin{equation} + \mathcal{I}_{\mathrm e} + = \mathcal{I}_{\theta\theta} - \mathcal{I}_{\theta\psi} \mathcal{I}_{\psi\psi}^{-1} \mathcal{I}_{\psi\theta} + = T \mathbf{G}_{\bm{\theta}}^\Herm \mathbf{W} \left( \mathbf{I} - \mathcal{P}^{(\mathbf{W})}_{\boldsymbol\psi} \right) \mathbf{G}_{\bm{\theta}}, +\end{equation} +% +其中 $\mathcal{P}^{(\mathbf{W})}_{\boldsymbol\psi} \triangleq \mathbf{G}_{\boldsymbol\psi} (\mathbf{G}_{\boldsymbol\psi}^\Herm \mathbf{W} \mathbf{G}_{\boldsymbol\psi})^{-1} \mathbf{G}_{\boldsymbol\psi}^\Herm \mathbf{W}$ 是干扰空间的 $\mathbf{W}$ 加权投影矩阵。 + +\subsubsection{有效 Fisher 信息求取} + +下面先给出每个信源对应一个标量角参数 $\theta_k$ 的标准 stochastic CRB 形式。若某个信源使用二维或更高维方向参数，只需将下文的单索引 $k$ 扩展为参数索引 $(k,r)$，并把 $\mathbf d_k$ 替换为 $\partial\mathbf a(\bm\theta_k)/\partial[\bm\theta_k]_r$；Fisher 信息矩阵的元素级表达保持相同。 + +接收信号协方差矩阵对角度的一阶偏导为 +% +\begin{equation*} + \mathbf{R}_{\theta_k} + \triangleq \frac{\partial\mathbf{R}}{\partial\theta_k} + = \frac{\diff \mathbf{A}}{\diff \theta_k} \mathbf{R}_x \mathbf{A}^\Herm + \mathbf{A} \mathbf{R}_x \left( \frac{\diff \mathbf{A}}{\diff \theta_k} \right)^\Herm. +\end{equation*} +% +令 $\mathbf{d}_k := \mathbf{d}(\theta_k) \triangleq \dfrac{\diff}{\diff\theta_k} \mathbf{a} (\theta_k) \in \mathbb{C}^{M\times 1}$，$\mathbf{d}_k^\Herm \triangleq \dfrac{\diff}{\diff\theta_k} \mathbf{a}^\Herm (\theta_k)$，$\mathbf{R}_x = [\mathbf r_{x,1}, \ldots, \mathbf r_{x,K}]$，则 +% +\begin{equation} + \label{eq:par_recv_cov_angle} + \mathbf{R}_{\theta_k} + = \mathbf{d}_k \mathbf r_{x,k}^\Herm \mathbf{A}^\Herm + \mathbf{A} \mathbf r_{x,k} \mathbf{d}_k^\Herm. +\end{equation} + +令阵列流形矩阵的列向量（也即导向矢量）张成的信号子空间为 $\mathrm{span}(\mathbf{A})$，则其投影矩阵和其正交补空间的投影矩阵分别为 +% +\begin{equation*} + \mathcal{P}_\mathbf{A} = \mathbf{A} \left( \mathbf{A}^\Herm \mathbf{A} \right)^{-1} \mathbf{A}^\Herm, + \quad + \mathcal{P}_\mathbf{A}^\perp = \mathbf{I} - \mathbf{A} \left( \mathbf{A}^\Herm \mathbf{A} \right)^{-1} \mathbf{A}^\Herm, +\end{equation*} +% +则 $\mathbf{d}_k$ 可以正交投影分解为 +% +\begin{equation} + \label{eq:steering_vec_diff_orth_decompose} + \mathbf{d}_k + = \mathcal{P}_\mathbf{A} \mathbf{d}_k + \mathcal{P}_\mathbf{A}^\perp \mathbf{d}_k + = \mathbf{A} \beta_k + \mathbf{d}_k^\perp, +\end{equation} +% +其中 $\beta_k \triangleq \left( \mathbf{A}^\Herm \mathbf{A} \right)^{-1} \mathbf{A}^\Herm \mathbf{d}_k$，$\mathbf{d}_k^\perp = \mathcal{P}_\mathbf{A}^\perp \mathbf{d}_k$。 + +将 $\eqref{eq:steering_vec_diff_orth_decompose}$ 代入 $\eqref{eq:par_recv_cov_angle}$，有 +% +\begin{equation} + \mathbf{R}_{\theta_k} + = \underset{\in \mathrm{span}\{ \mathbf{A}(\ \cdot \ )\mathbf{A}^\Herm \} \subset \mathcal{S}_{\boldsymbol\psi}}{\underbrace{\mathbf{A} \left( \beta_k \mathbf r_{x,k}^\Herm + \mathbf r_{x,k} \beta_k^\Herm \right) \mathbf{A}^\Herm}} + + + \underset{\triangleq \mathbf{R}_{\theta_k}^{\mathrm{eff}}}{\underbrace{\mathbf{d}_k^\perp \mathbf r_{x,k}^\Herm \mathbf{A}^\Herm + \mathbf{A} \mathbf r_{x,k} \left( \mathbf{d}_k^\perp \right)^\Herm}}, +\end{equation} +% +第一项位于干扰参数扰动子空间 $\mathcal{S}_{\boldsymbol\psi}$ 中，会被加权投影意义下的 $\mathcal P_{\boldsymbol\psi}^{(\mathbf W),\perp}$ 消去，也即 +% +\begin{equation} + \mathcal P_{\boldsymbol\psi}^{(\mathbf W),\perp} \vect (\mathbf{R}_{\theta_k}) + = \vect \left( \mathbf{R}_{\theta_k}^{\mathrm{eff}} \right), +\end{equation} +% +因此，有效 Fisher 信息可以写作 +% +\begin{equation} + \label{eq:sto_doa_eff_fisher_info} + [\mathcal{I}_{\mathrm e}]_{ij} + = T\Re\left\{\left[\vect \left( \mathbf{R}_{\theta_i}^{\mathrm{eff}} \right) \right]^\Herm \mathbf{W} \vect \left( \mathbf{R}_{\theta_j}^{\mathrm{eff}} \right)\right\} + = T\Re\left\{\tr \left( \mathbf{R}^{-1} \mathbf{R}_{\theta_i}^{\mathrm{eff}} \mathbf{R}^{-1} \mathbf{R}_{\theta_j}^{\mathrm{eff}} \right)\right\}. +\end{equation} +% +令 $\mathbf{R}_k^{(1)} = \mathbf{d}_k^\perp \mathbf r_{x,k}^\Herm \mathbf{A}^\Herm$，$\mathbf{R}_k^{(2)} = \mathbf{A} \mathbf r_{x,k} \left( \mathbf{d}_k^\perp \right)^\Herm$，则 +% +\begin{equation} + \mathbf{R}_{\theta_k}^{\mathrm{eff}} = \mathbf{R}_k^{(1)} + \mathbf{R}_k^{(2)}. +\end{equation} +% +按此形式对 $\eqref{eq:sto_doa_eff_fisher_info}$ 进行展开，有 +% +\begin{align} + [\mathcal{I}_{\mathrm e}]_{ij} + =& T \tr \left( \mathbf{R}^{-1} \mathbf{R}_{\theta_i}^{\mathrm{eff}} \mathbf{R}^{-1} \mathbf{R}_{\theta_j}^{\mathrm{eff}} \right) + = T \tr \left( \mathbf{R}^{-1} \left( \mathbf{R}_i^{(1)} + \mathbf{R}_i^{(2)} \right) \mathbf{R}^{-1} \left( \mathbf{R}_j^{(1)} + \mathbf{R}_j^{(2)} \right) \right) + \nonumber \\ + =& \underset{\triangleq T_{11}}{\underbrace{T \tr \left( \mathbf{R}^{-1} \mathbf{R}_i^{(1)} \mathbf{R}^{-1} \mathbf{R}_j^{(1)} \right)}} + + \underset{\triangleq T_{12}}{\underbrace{T \tr \left( \mathbf{R}^{-1} \mathbf{R}_i^{(1)} \mathbf{R}^{-1} \mathbf{R}_j^{(2)} \right)}} + + \underset{\triangleq T_{21}}{\underbrace{T \tr \left( \mathbf{R}^{-1} \mathbf{R}_i^{(2)} \mathbf{R}^{-1} \mathbf{R}_j^{(1)} \right)}} + \nonumber \\ + &+ \underset{\triangleq T_{22}}{\underbrace{T \tr \left( \mathbf{R}^{-1} \mathbf{R}_i^{(2)} \mathbf{R}^{-1} \mathbf{R}_j^{(2)} \right)}} +\end{align} + +由 Woodbury 公式 $(\mathbf{A} + \mathbf{UBV})^{-1} = \mathbf{A}^{-1} - \mathbf{A}^{-1} \mathbf{U} \left( \mathbf{B}^{-1} + \mathbf{VA}^{-1} \mathbf{U} \right)^{-1} \mathbf{VA}^{-1}$，接收信号协方差矩阵 $\mathbf{R} = \mathbf{A} \mathbf{R}_x \mathbf{A}^\Herm + \sigma \mathbf{I}_M$ 的逆可以写为 +% +\begin{equation} + \mathbf{R}^{-1} = \frac{1}{\sigma} \mathbf{I}_M - \frac{1}{\sigma^2} \mathbf{A} \left( \mathbf{R}_x^{-1} + \frac{1}{\sigma} \mathbf{A}^\Herm \mathbf{A} \right)^{-1} \mathbf{A}^\Herm. +\end{equation} +% +由于 $\mathbf{A}^\Herm \mathcal{P}_\mathbf{A}^\perp = 0$，$\mathcal{P}_\mathbf{A}^\perp \mathbf{A} = 0$，因此 +% +\begin{equation} + \mathbf{A}^\Herm \mathbf{R}^{-1} \mathcal{P}_\mathbf{A}^\perp = 0, + \quad + \mathcal{P}_\mathbf{A}^\perp \mathbf{R}^{-1} \mathbf{A} = 0. +\end{equation} +% +接下来计算 $[\mathcal{I}_{\mathrm e}]_{ij}$ 的各分量。令 $\mathbf{U} = \mathbf{R}_x \mathbf{A}^\Herm \mathbf{R}^{-1} \mathbf{A}\mathbf{R}_x$，则 +% +\begin{subequations} +\begin{align} + T_{11} + &= T \tr \left( \mathbf{R}^{-1} \mathbf{R}_i^{(1)} \mathbf{R}^{-1} \mathbf{R}_j^{(1)} \right) + = T \tr \left( \mathbf{R}^{-1} \left( \mathbf{d}_i^\perp \mathbf r_{x,i}^\Herm \mathbf{A}^\Herm \right) \mathbf{R}^{-1} \left( \mathbf{d}_j^\perp \mathbf r_{x,j}^\Herm \mathbf{A}^\Herm \right) \right) + \nonumber \\ + &= T \tr \left( \mathbf r_{x,j}^\Herm \mathbf{A}^\Herm \mathbf{R}^{-1} \mathbf{d}_i^\perp \mathbf r_{x,i}^\Herm \mathbf{A}^\Herm \mathbf{R}^{-1} \mathbf{d}_j^\perp \right) + = T \tr \left( \mathbf r_{x,j}^\Herm \mathbf{A}^\Herm \mathbf{R}^{-1} \mathcal{P}_\mathbf{A}^\perp \mathbf{d}_i \mathbf r_{x,i}^\Herm \mathbf{A}^\Herm \mathbf{R}^{-1} \mathcal{P}_\mathbf{A}^\perp \mathbf{d}_j \right) = 0, + \\ + T_{12} + &= T \tr \left( \mathbf{R}^{-1} \mathbf{R}_i^{(1)} \mathbf{R}^{-1} \mathbf{R}_j^{(2)} \right) + = T \tr \left( \mathbf{R}^{-1} \left( \mathbf{d}_i^\perp \mathbf r_{x,i}^\Herm \mathbf{A}^\Herm \right) \mathbf{R}^{-1} \left( \mathbf{A} \mathbf r_{x,j} \left( \mathbf{d}_j^\perp \right)^\Herm \right) \right) + \nonumber \\ + &= T \left( \left( \mathbf{d}_j^\perp \right)^\Herm \mathbf{R}^{-1} \mathbf{d}_i^\perp \mathbf r_{x,i}^\Herm \mathbf{A}^\Herm \mathbf{R}^{-1} \mathbf{A} \mathbf r_{x,j} \right) + = T \left( \mathbf{d}_j^\perp \right)^\Herm \mathbf{R}^{-1} \mathbf{d}_i^\perp [\mathbf{U}]_{ij}, + \\ + T_{21} + &= T \tr \left( \mathbf{R}^{-1} \mathbf{R}_i^{(2)} \mathbf{R}^{-1} \mathbf{R}_j^{(1)} \right) + = T \left( \mathbf{d}_i^\perp \right)^\Herm \mathbf{R}^{-1} \mathbf{d}_j^\perp [\mathbf{U}]_{ji}, + \\ + T_{22} + &= T \tr \left( \mathbf{R}^{-1} \mathbf{R}_i^{(2)} \mathbf{R}^{-1} \mathbf{R}_j^{(2)} \right) + = 0, +\end{align} +\end{subequations} +% +因此，有效 Fisher 信息可以进一步写作 +% +\begin{align} + [\mathcal{I}_{\mathrm e}]_{ij} + &= T_{11} + T_{12} + T_{21} + T_{22} + = 2 T \Re \left\{ \left( \mathbf{d}_i^\perp \right)^\Herm \mathbf{R}^{-1} \mathbf{d}_j^\perp [\mathbf{U}]_{ji} \right\} + \nonumber \\ + &= 2 T \Re \left\{ \left( \mathcal{P}_\mathbf{A}^\perp \mathbf{d}_i \right)^\Herm \mathbf{R}^{-1} \mathcal{P}_\mathbf{A}^\perp \mathbf{d}_j [\mathbf{U}]_{ji} \right\} + = \frac{2 T}{\sigma} \Re \left\{ \mathbf{d}_i^\Herm \mathcal{P}_\mathbf{A}^\perp \mathbf{d}_j [\mathbf{U}]_{ji} \right\}. +\end{align} +% +令 $\mathcal{H} = \mathbf{D}^\Herm \mathcal{P}_\mathbf{A}^\perp \mathbf{D}$，$\mathbf{D} = [\mathbf{d}_1, \ldots, \mathbf{d}_K]$，则 +% +\begin{equation} + [\mathcal{I}_{\mathrm e}]_{ij} = \frac{2T}{\sigma} \Re \left\{ [\mathcal{H}]_{ij} [\mathbf{U}]_{ji} \right\}, +\end{equation} +% +用矩阵形式表示为 +\begin{equation} + \mathcal{I}_{\mathrm e} = \frac{2T}{\sigma} \Re \left\{ \mathcal{H} \odot \mathbf{U}^\Tran \right\}. +\end{equation} +% +其中 $\odot$ 表示 Hadamard 积。因此，无条件（unconditional）\gls{crb} 或随机（stochastic）\gls{crb} 可以表示为 +% +\begin{align} + \mathcal{B}_u := \mathcal{I}_{\mathrm e}^{-1} = \frac{\sigma}{2T} \left(\Re \left\{ \mathcal{H} \odot \mathbf{U}^\Tran \right\}\right)^{-1}. +\end{align} +% + +该随机信号 CRB 与\ref{sec:det_doa_crb} 的确定信号 CRB 共同给出单阵列 DoA 的两类性能基线。多星主线后续采用确定信号/导频化模型，因此其 CRB 推导更接近\ref{sec:det_doa_crb} 和\ref{sec:det_doa_doppler_crb} 的处理方式。 \ No newline at end of file diff --git a/parts/A6-crbStatPilotDoaDopper.tex b/parts/E-multiSatStaticCrb.tex similarity index 100% rename from parts/A6-crbStatPilotDoaDopper.tex rename to parts/E-multiSatStaticCrb.tex diff --git a/parts/A7-crbDynPilotDoaDopperCont.tex b/parts/G-multiFrameCrb.tex similarity index 67% rename from parts/A7-crbDynPilotDoaDopperCont.tex rename to parts/G-multiFrameCrb.tex index 700f750..d739d08 100644 --- a/parts/A7-crbDynPilotDoaDopperCont.tex +++ b/parts/G-multiFrameCrb.tex @@ -1,6 +1,12 @@ -\section{动态 DoA--Doppler 估计在连续相位与 relaxed 连续相位模型下的 CRB 推导} -\label{sec:A7_dynDoaDopplerCrb} +\section{多帧动态模型 CRB} +\label{sec:multiFrameCrb} +本附录汇总多帧动态多星模型下的两类 \gls{crb} 推导：连续相位（CP）模型和独立相位（IP）基线模型。 +两者共享主参数 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}=[\alpha,\beta,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$ 与 Doppler rate $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 作为干扰参数的处理方式，差别在于跨帧相位结构：CP 模型保留同星公共相位约束，IP 模型放弃这一约束。 +通过对比 CP 与 IP 的 EFIM 可以量化跨帧相位连续性所携带的信息量。 + +\subsection{连续相位 CP 模型 EFIM} +\label{sec:A7_dynDoaDopplerCrb} 本附录沿用第~\ref{sec:dynamicDoaDopplerEst} 节中的动态多帧记号，只讨论两类与正文主线严格对应的模型： \begin{enumerate} \item 第~\ref{subsec:dynamicCpModel} 小节中的连续相位模型（structured continuous-phase, CP）； @@ -20,7 +26,7 @@ \end{equation} 并将 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 作为干扰参数处理。为避免重复建模，这里只保留 \gls{crb} 推导所需的最小定义、导数记号与 \gls{fim}/EFIM 结构。 -\subsection{沿用正文模型的最小定义与导数记号} +\subsubsection{沿用正文模型的最小定义与导数记号} 沿用第~\ref{subsec:dynamicCpModel} 小节中的连续相位模板与块级向量化方式。对任意卫星 $\ell=0,\ldots,L-1$ 与帧 $p=0,\ldots,P-1$，定义连续相位模板 \begin{equation} @@ -176,7 +182,7 @@ \label{eq:A7_FIM_general} \end{equation} -\subsection{连续相位模型下的 CRB} +\subsubsection{连续相位模型下的 CRB} 连续相位模型写为 \begin{equation} @@ -312,7 +318,7 @@ 需要强调的是，与 relaxed 情形不同，连续相位模型中的 $\{\chi_\ell\}$ 在同一卫星的多帧之间共享，而 $\{\rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}\}$ 为实参数，因此其 Schur 补一般不能进一步化成逐块独立的简单投影求和式。式~\eqref{eq:A7_Ieff_cp} 是与正文模型严格一致且最稳妥的写法。 -\subsection{Known-rate/unknown-rate EFIM 关系与单星 DoA 正交性} +\subsubsection{Known-rate/unknown-rate EFIM 关系与单星 DoA 正交性} \label{subsec:A7_knownUnknownRateOrthogonality} 为解释 known-rate 与 unknown-rate 下 DoA bound 可能重合的现象，本小节把 Doppler-rate 干扰参数从其他幅度/相位干扰参数中单独分离出来。 @@ -423,7 +429,7 @@ 若数值上 multi-satellite DoA bound 仍与 known-rate benchmark 基本重合，更稳妥的解释是：在所选 representative geometry 下，DoA residual score 与 residualized Doppler-rate nuisance direction 的耦合较弱。 这一定量现象适合作为 EFIM accounting 的 sanity check，而不应升级为主要理论贡献。 -\subsection{relaxed 连续相位模型下的 CRB} +\subsubsection{relaxed 连续相位模型下的 CRB} 沿用第~\ref{subsec:dynamicRelaxedModel} 小节中的 relaxed 连续相位处理，每个观测块的复干扰系数 $\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp,rel}}$ 视为自由参数，即 \begin{equation} @@ -560,7 +566,7 @@ -\subsection{EFIM 病态与 DoA--Doppler 耦合的投影机制} +\subsubsection{EFIM 病态与 DoA--Doppler 耦合的投影机制} \label{subsec:A7_efimIllConditioning} 式~\eqref{eq:A7_Ieff_cp} 与式~\eqref{eq:A7_Ieff_rel_eta} 都是对完整 Fisher 信息矩阵中的 @@ -792,7 +798,7 @@ $\sqrt{C_{\nu}^{\mathrm{mar}}}$ 改善有限，同时 $\gamma_{\xi,\nu}^{2}$ 较 -\subsection{周期帧窗口与 Doppler tooth ambiguity} +\subsubsection{周期帧窗口与 Doppler tooth ambiguity} \label{subsec:A7_frameTimeCombTooth} 本附录前面得到的 EFIM 是局部二阶量；它默认估计点位于同一个 Doppler tooth 的局部邻域内。 @@ -891,7 +897,7 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则 这也说明，wrong-tooth error 是全局 profile likelihood 的 branch 选择问题；而 式~\eqref{eq:A7_efim_projection_interpret}--\eqref{eq:A7_nu_info_after_coupling} 描述的是给定 branch 内的局部可辨识性。 -\subsection{数值实现中的一致性检查} +\subsubsection{数值实现中的一致性检查} 为了直接指导后续仿真，建议在实现 A7 的 CRB 时按如下顺序检查：首先按照式~\eqref{eq:A7_qx_cp}--\eqref{eq:A7_qgamma_cp} 构造每个 $(\ell,p)$ 块的解析 Jacobian，并用中心差分验证 \begin{equation} @@ -909,7 +915,7 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则 \end{equation} 再按 $[\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}^{\Tran},\boldsymbol\psi_{\mathrm{cp},\mu}^{\Tran}]^{\Tran}$ 分块执行 Schur 补得到式~\eqref{eq:A7_Ieff_cp}。最后，对 relaxed 连续相位模型，应同时用完整 FIM 消元和投影式~\eqref{eq:A7_Ieff_rel_ext} 计算一次，两者应在数值精度内一致；该检查可以有效排除 $\mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}$、$\mathbf D^{\mathrm{rel}}_{\mathrm{ext},\ell,p}$、噪声方差系数和 Kronecker 堆叠顺序的实现错误。 -\subsection{关于噪声方差参数的说明} +\subsubsection{关于噪声方差参数的说明} 上面的推导默认 $\{\sigma_{n,\ell}^2\}$ 已知，或者已通过预估获得。若将 $\{\sigma_{n,\ell}^2\}$ 也并入待估参数，由于本附录中的确定信号模型只通过均值向量依赖于 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}$、$\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 及各类增益/相位参数，而协方差只依赖于 $\{\sigma_{n,\ell}^2\}$，因此噪声方差参数与均值参数在 Fisher 信息矩阵中是正交的。对第 $\ell$ 颗卫星，有 \begin{equation} @@ -920,3 +926,398 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则 因此，无论在连续相位模型还是 relaxed 连续相位模型下，将 $\sigma_{n,\ell}^2$ 视为未知量都只会在 FIM 中附加与其他参数解耦的对角块，不改变式~\eqref{eq:A7_Ieff_cp}、\eqref{eq:A7_Ieff_rel_ext} 和 \eqref{eq:A7_Ieff_rel_eta} 的形式。 因此，附录 A7 给出的不是新的动态模型，而是正文连续相位模型和 relaxed 连续相位处理的 Fisher 信息表达。它与 \ref{sec:A8_dynIndependentPhaseCrb} 的比较应围绕“是否保留跨帧绝对相位连续性”展开，而不是围绕不同的主参数定义展开。 + +\subsection{独立相位 IP 基线 EFIM} +\label{sec:A8_dynIndependentPhaseCrb} +本附录仅对应第~\ref{subsec:independentPhaseModel} 小节中的独立相位基线模型。这里的``独立相位''是指：每个观测块 $(\ell,p)$ 具有各自的\emph{独立未知初始相位} $\vartheta_{\ell,p}$，这些相位不再受同一颗卫星公共相位的结构约束；但它们仍是\emph{确定性未知参数}，而不是按某个先验分布生成的随机变量。因此，本附录与正文及 \ref{sec:A7_dynDoaDopplerCrb} 一样，采用\emph{确定性参数 CRB}，而不再引入 hybrid CRB。 + +主参数统一定义为 +\begin{equation} + \boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}} + = + \begin{bmatrix} + \alpha \\ + \beta \\ + \nu_{\mathrm{ref}} + \end{bmatrix}, + \qquad + \boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}\in\mathbb R^3, +\end{equation} +并继续将 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 作为干扰参数处理。为避免与正文和 \ref{sec:A7_dynDoaDopplerCrb} 重复，这里只保留独立相位模型对应的最小定义、导数记号与 EFIM 结构。 + +\subsubsection{沿用正文独立相位模型的最小定义与导数记号} + +沿用第~\ref{subsec:independentPhaseModel} 小节中的块级独立相位建模。对任意卫星 $\ell=0,\ldots,L-1$ 与帧 $p=0,\ldots,P-1$，定义局部归一化 Doppler 为 +\begin{equation} + \bar\nu_{\ell,p} + \triangleq + \nu_\ell + \dot\nu_\ell\tau_p, + \label{eq:A8_IP_baromega} +\end{equation} +其中 +\begin{equation} + \nu_\ell = f_{\nu,\ell}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}}), + \qquad + \dot\nu_\ell = f_{\dot\nu,\ell}(\boldsymbol\xi,\dot\nu_{\mathrm{ref}}). + \label{eq:A8_IP_omegagamma_map} +\end{equation} +于是独立相位模板写为 +\begin{equation} + \phi^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}(t) + = + \bar\nu_{\ell,p} t + \frac{1}{2}\dot\nu_\ell t^2, + \qquad + t=0,\ldots,T-1. + \label{eq:A8_IP_phase_template} +\end{equation} +对应的时间模板与空时模板分别定义为 +\begin{equation} + \mathbf q^{\mathrm{ip}}_{\ell,p} + \triangleq + \begin{bmatrix} + s_p(0)e^{j\phi^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}(0)} \\ + s_p(1)e^{j\phi^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}(1)} \\ + \vdots \\ + s_p(T-1)e^{j\phi^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}(T-1)} + \end{bmatrix} + \in\mathbb C^{T\times 1}, + \label{eq:A8_IP_qdef} +\end{equation} +\begin{equation} + \mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p} + \triangleq + \mathbf q^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}\otimes \mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi) + \in\mathbb C^{M_\ell T\times 1}. + \label{eq:A8_IP_gdef} +\end{equation} +于是向量化观测模型为 +\begin{equation} + \tilde{\mathbf y}^{\mathrm{ip}}_{\ell,p} + = + \zeta_{\ell,p}^{\mathrm{ip}} + \mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}},\dot\nu_{\mathrm{ref}}) + + \tilde{\mathbf n}_{\ell,p}, + \label{eq:A8_IP_model} +\end{equation} +其中 +\begin{equation} + \tilde{\mathbf n}_{\ell,p}\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma_{n,\ell}^2\mathbf I_{M_\ell T}), + \qquad + \ell=0,\ldots,L-1,\qquad + p=0,\ldots,P-1. +\end{equation} +正文 MLE 中可直接把 $\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}$ 作为自由复增益消元；本附录为了构造实参数 Fisher 信息矩阵，将其写作极坐标形式 +\begin{equation} + \zeta_{\ell,p}^{\mathrm{ip}} + = + \rho_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}e^{j\vartheta_{\ell,p}}, + \qquad + \rho_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}\in\mathbb R_{\ge0}. +\end{equation} +这里的 $\vartheta_{\ell,p}$ 是第 $(\ell,p)$ 个观测块的独立未知初始相位；与连续相位模型相比，跨帧绝对相位连续性已经被这些块级相位参数吸收。 + +对角度参数 $x\in\{\alpha,\beta\}$，记 +\begin{equation} + \mathbf a_{\ell,x} + \triangleq + \frac{\partial \mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi)}{\partial x}. +\end{equation} +由链式法则可得 +\begin{equation} + \frac{\partial \mathbf q^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}}{\partial x} + = + j\left[ + \left( + \frac{\partial \nu_\ell}{\partial x} + + + \tau_p\frac{\partial \dot\nu_\ell}{\partial x} + \right) + \operatorname{diag}(0,1,\ldots,T-1) + + + \frac{1}{2} + \frac{\partial \dot\nu_\ell}{\partial x} + \operatorname{diag}(0^2,1^2,\ldots,(T-1)^2) + \right] + \mathbf q^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}. + \label{eq:A8_IP_qx} +\end{equation} +又由于 +\begin{equation} + \frac{\partial \nu_\ell}{\partial \nu_{\mathrm{ref}}}=1, + \qquad + \frac{\partial \dot\nu_\ell}{\partial \dot\nu_{\mathrm{ref}}}=1, +\end{equation} +这里同样采用正文中的加性参考星参数化；若改用一般映射，则 $\partial\nu_\ell/\partial\nu_{\mathrm{ref}}$ 与 $\partial\dot\nu_\ell/\partial\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 应替换为对应的链式法则结果。 +因此 +\begin{equation} + \frac{\partial \mathbf q^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}}{\partial \nu_{\mathrm{ref}}} + = + j\operatorname{diag}(0,1,\ldots,T-1)\mathbf q^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}, + \label{eq:A8_IP_qomega} +\end{equation} +\begin{equation} + \frac{\partial \mathbf q^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}}{\partial \dot\nu_{\mathrm{ref}}} + = + j\left[ + \tau_p\operatorname{diag}(0,1,\ldots,T-1) + + + \frac{1}{2}\operatorname{diag}(0^2,1^2,\ldots,(T-1)^2) + \right] + \mathbf q^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}. + \label{eq:A8_IP_qgamma} +\end{equation} + +于是模板导数可统一写为 +\begin{equation} + \mathbf d^{\mathrm{ip}}_{\ell,p,\alpha} + \triangleq + \frac{\partial \mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}}{\partial \alpha} + = + \mathbf q^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}\otimes \mathbf a_{\ell,\alpha} + + + \frac{\partial \mathbf q^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}}{\partial \alpha}\otimes \mathbf a_\ell, +\end{equation} +\begin{equation} + \mathbf d^{\mathrm{ip}}_{\ell,p,\beta} + \triangleq + \frac{\partial \mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}}{\partial \beta} + = + \mathbf q^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}\otimes \mathbf a_{\ell,\beta} + + + \frac{\partial \mathbf q^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}}{\partial \beta}\otimes \mathbf a_\ell, +\end{equation} +\begin{equation} + \mathbf d^{\mathrm{ip}}_{\ell,p,\nu} + \triangleq + \frac{\partial \mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}}{\partial \nu_{\mathrm{ref}}} + = + \frac{\partial \mathbf q^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}}{\partial \nu_{\mathrm{ref}}}\otimes \mathbf a_\ell, +\end{equation} +\begin{equation} + \mathbf d^{\mathrm{ip}}_{\ell,p,\dot\nu} + \triangleq + \frac{\partial \mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}}{\partial \dot\nu_{\mathrm{ref}}} + = + \frac{\partial \mathbf q^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}}{\partial \dot\nu_{\mathrm{ref}}}\otimes \mathbf a_\ell. +\end{equation} +为后续紧凑书写，定义 +\begin{equation} + \mathbf D^{\mathrm{ip}}_{\eta\dot\nu,\ell,p} + \triangleq + \begin{bmatrix} + \mathbf d^{\mathrm{ip}}_{\ell,p,\alpha} & + \mathbf d^{\mathrm{ip}}_{\ell,p,\beta} & + \mathbf d^{\mathrm{ip}}_{\ell,p,\nu} & + \mathbf d^{\mathrm{ip}}_{\ell,p,\dot\nu} + \end{bmatrix} + \in\mathbb C^{M_\ell T\times 4}. + \label{eq:A8_IP_Detadotnu} +\end{equation} + +\subsubsection{完整参数的 Fisher 信息矩阵} + +定义独立相位模型的干扰参数向量为 +\begin{equation} + \boldsymbol\psi_{\mathrm{ip},\mu} + = + \Big[ + \dot\nu_{\mathrm{ref}}, + \{\vartheta_{\ell,p}:\ell=0,\ldots,L-1,\ p=0,\ldots,P-1\}, + \{\rho_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}:\ell=0,\ldots,L-1,\ p=0,\ldots,P-1\} + \Big]^{\Tran}, +\end{equation} +并令总参数向量为 +\begin{equation} + \boldsymbol\kappa_{\mathrm{ip}} + = + \begin{bmatrix} + \boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}^{\Tran} & \boldsymbol\psi_{\mathrm{ip},\mu}^{\Tran} + \end{bmatrix}^{\Tran}. +\end{equation} +为简化书写，这里先假定 $\{\sigma_{n,\ell}^2\}$ 已知；关于未知噪声方差的情形将在附录末尾补充说明。 + +对任意实参数 $\kappa_i$ 与 $\kappa_j$，Fisher 信息矩阵元素统一写为 +\begin{equation} + [\mathcal I(\boldsymbol\kappa_{\mathrm{ip}})]_{ij} + = + 2\Re\left\{ + \frac{\partial \boldsymbol\mu^{\Herm}(\boldsymbol\kappa_{\mathrm{ip}})}{\partial \kappa_i} + \mathbf R_n^{-1} + \frac{\partial \boldsymbol\mu(\boldsymbol\kappa_{\mathrm{ip}})}{\partial \kappa_j} + \right\}, + \label{eq:A8_IP_FIM_general} +\end{equation} +其中 $\boldsymbol\mu(\boldsymbol\kappa_{\mathrm{ip}})$ 为联合均值向量，$\mathbf R_n$ 为联合噪声协方差矩阵。 + +对单个观测块 $(\ell,p)$，其均值为 +\begin{equation} + \boldsymbol\mu^{\mathrm{ip}}_{\ell,p} + = + \rho_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}e^{j\vartheta_{\ell,p}}\mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}. +\end{equation} +于是有 +\begin{equation} + \frac{\partial \boldsymbol\mu^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}}{\partial + \begin{bmatrix} + \alpha & \beta & \nu_{\mathrm{ref}} & \dot\nu_{\mathrm{ref}} + \end{bmatrix}^{\Tran}} + = + \rho_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}e^{j\vartheta_{\ell,p}} + \mathbf D^{\mathrm{ip}}_{\eta\dot\nu,\ell,p}, + \label{eq:A8_IP_Jetadotnu_block} +\end{equation} +\begin{equation} + \frac{\partial \boldsymbol\mu^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}}{\partial \vartheta_{\ell,p}} + = + j\rho_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}e^{j\vartheta_{\ell,p}}\mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}, + \label{eq:A8_IP_Jphase_block} +\end{equation} +\begin{equation} + \frac{\partial \boldsymbol\mu^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}}{\partial \rho_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}} + = + e^{j\vartheta_{\ell,p}}\mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}. + \label{eq:A8_IP_Jamp_block} +\end{equation} + +注意到式~\eqref{eq:A8_IP_Jphase_block} 与式~\eqref{eq:A8_IP_Jamp_block} 在实参数意义下所张成的干扰子空间，等价于复向量 $\mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}$ 所张成的一维复子空间。因此，对每个观测块的 $(\vartheta_{\ell,p},\rho_{\ell,p}^{\mathrm{ip}})$ 执行 Schur 补后，可直接得到关于联合参数 +\begin{equation} + \begin{bmatrix} + \boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}^{\Tran} & \dot\nu_{\mathrm{ref}} + \end{bmatrix}^{\Tran} +\end{equation} +的块级等效 Fisher 信息矩阵： +\begin{equation} + \mathcal I^{\mathrm{ip}}_{\mathrm{ext},\ell,p} + = + 2\frac{(\rho_{\ell,p}^{\mathrm{ip}})^2}{\sigma_{n,\ell}^2} + \Re\left\{ + \big(\mathbf D^{\mathrm{ip}}_{\eta\dot\nu,\ell,p}\big)^{\Herm} + \mathcal P^{\perp}_{\mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}} + \mathbf D^{\mathrm{ip}}_{\eta\dot\nu,\ell,p} + \right\}, + \label{eq:A8_IP_FIM_block_eff} +\end{equation} +其中 +\begin{equation} + \mathcal P_{\mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}} + \triangleq + \mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p} + \big((\mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p})^{\Herm}\mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}\big)^{-1} + (\mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p})^{\Herm}, +\end{equation} +\begin{equation} + \mathcal P^{\perp}_{\mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}} + \triangleq + \mathbf I_{M_\ell T}-\mathcal P_{\mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}}. +\end{equation} + +对全部卫星与全部帧求和，可得 +\begin{equation} + \mathcal I^{\mathrm{ip}}_{\mathrm{ext}} + = + \sum_{\ell=0}^{L-1}\sum_{p=0}^{P-1} + \mathcal I^{\mathrm{ip}}_{\mathrm{ext},\ell,p} + = + 2\sum_{\ell=0}^{L-1}\sum_{p=0}^{P-1} + \frac{(\rho_{\ell,p}^{\mathrm{ip}})^2}{\sigma_{n,\ell}^2} + \Re\left\{ + \big(\mathbf D^{\mathrm{ip}}_{\eta\dot\nu,\ell,p}\big)^{\Herm} + \mathcal P^{\perp}_{\mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}} + \mathbf D^{\mathrm{ip}}_{\eta\dot\nu,\ell,p} + \right\}. + \label{eq:A8_IP_FIM_etadotnu} +\end{equation} + +\subsubsection{\texorpdfstring{主参数 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}$ 的等效 Fisher 信息与 CRB}{主参数 eta_dyn 的等效 Fisher 信息与 CRB}} + +若把 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 也视为感兴趣参数，则 +\begin{equation} + \operatorname{CRB}_{\mathrm{ip}}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}},\dot\nu_{\mathrm{ref}}) + = + \big(\mathcal I^{\mathrm{ip}}_{\mathrm{ext}}\big)^{-1}. + \label{eq:A8_IP_CRB_etadotnu} +\end{equation} + +若仍只把 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}$ 作为主参数，而把 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 作为干扰参数，则将 +\eqref{eq:A8_IP_FIM_etadotnu} 按如下方式分块： +\begin{equation} + \mathcal I^{\mathrm{ip}}_{\mathrm{ext}} + = + \begin{bmatrix} + \mathcal I^{\mathrm{ip}}_{\eta\eta} & \mathcal I^{\mathrm{ip}}_{\eta\dot\nu} \\ + \mathcal I^{\mathrm{ip}}_{\dot\nu\eta} & \mathcal I^{\mathrm{ip}}_{\dot\nu\dot\nu} + \end{bmatrix}, + \label{eq:A8_IP_FIM_partition} +\end{equation} +于是主参数 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}$ 的等效 Fisher 信息矩阵为 +\begin{equation} + \mathcal I^{\mathrm{ip}}_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}) + = + \mathcal I^{\mathrm{ip}}_{\eta\eta} + - + \mathcal I^{\mathrm{ip}}_{\eta\dot\nu} + \big(\mathcal I^{\mathrm{ip}}_{\dot\nu\dot\nu}\big)^{-1} + \mathcal I^{\mathrm{ip}}_{\dot\nu\eta}, + \label{eq:A8_IP_EFIM_eta} +\end{equation} +从而 +\begin{equation} + \operatorname{CRB}_{\mathrm{ip}}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}) + = + \big(\mathcal I^{\mathrm{ip}}_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}})\big)^{-1}. + \label{eq:A8_IP_CRB_eta} +\end{equation} + +式~\eqref{eq:A8_IP_EFIM_eta} 给出的正是独立相位模型下，未知 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 对主参数 $(\alpha,\beta,\nu_{\mathrm{ref}})$ 的信息损失形式。与正文研究主线一致，这里的关键不在于再引入更高维动态状态，而在于比较：在相同短窗条件下，连续相位模型和独立相位模型分别能为主参数保留多少有效信息。 + +\subsubsection{与 A7 中 relaxed 连续相位结果的关系} + +式~\eqref{eq:A8_IP_FIM_etadotnu} 给出的扩展 Fisher 信息矩阵的投影型结构与 \ref{sec:A7_dynDoaDopplerCrb} 中 relaxed 连续相位模型的结果形式一致，但两者对应的\emph{时间模板不同}： +\begin{itemize} + \item \ref{sec:A7_dynDoaDopplerCrb} 使用的是连续相位模板 $\mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}$，其中通过 $t_{p,t}=\tau_p+t$ 保留了跨帧绝对相位连续性； + \item 本附录使用的是独立相位模板 $\mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}$，其中帧间常相位项已被 $\vartheta_{\ell,p}$ 吸收，只保留帧内局部相位演化。 +\end{itemize} +因此，两类模型的差异不在 Schur 补的代数形式本身，而在模板里是否保留跨帧连续相位结构。这也正是正文中``连续相位 vs.~独立相位''对比的统计本质。 + +从 EFIM 病态的角度看，独立相位模型与 relaxed 连续相位模型共享同一类投影解释。若定义白化 Jacobian +\begin{equation} + \bar{\mathbf J}^{\mathrm{ip}}_{\eta} + \triangleq + \mathbf R_n^{-1/2} + \frac{\partial\boldsymbol\mu^{\mathrm{ip}}}{\partial\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}}, + \qquad + \bar{\mathbf J}^{\mathrm{ip}}_{\psi} + \triangleq + \mathbf R_n^{-1/2} + \frac{\partial\boldsymbol\mu^{\mathrm{ip}}}{\partial\boldsymbol\psi_{\mathrm{ip},\mu}}, +\end{equation} +则式~\eqref{eq:A8_IP_EFIM_eta} 等价于 +\begin{equation} + \mathcal I^{\mathrm{ip}}_{\mathrm{e}} + = + 2\Re\left\{ + (\bar{\mathbf J}^{\mathrm{ip}}_{\eta})^{\Herm} + \mathcal P^{\perp}_{\bar{\mathbf J}^{\mathrm{ip}}_{\psi}} + \bar{\mathbf J}^{\mathrm{ip}}_{\eta} + \right\}. + \label{eq:A8_IP_EFIM_projection} +\end{equation} +因此，独立相位模型下的弱可辨识方向仍由 +$\mathcal P^{\perp}_{\bar{\mathbf J}^{\mathrm{ip}}_{\psi}}\bar{\mathbf J}^{\mathrm{ip}}_{\eta}$ +的秩和最小奇异方向决定。与 A7 中的 relaxed 连续相位模型相比，二者的主要区别不在 +Schur 补代数形式，而在 $\mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}$ 使用局部时间索引并允许每个 +$(\ell,p)$ 块具有独立相位 $\vartheta_{\ell,p}$。这些自由相位会吸收跨帧绝对相位所携带的公共 +Doppler 截距信息，因此通常不会缓解 DoA--Doppler--rate 耦合，而是构成一个更保守的相干性基线。 + + +\subsubsection{关于噪声方差参数的说明} + +若进一步将 $\{\sigma_{n,\ell}^2\}$ 也并入待估参数，由于它们只进入协方差矩阵而不进入均值函数，因此与前述均值参数在 Fisher 信息矩阵中仍然解耦。对第 $\ell$ 颗卫星，有 +\begin{equation} + \big[\mathcal I(\cdot)\big]_{\sigma_{n,\ell}^2,\sigma_{n,\ell}^2} + = + \frac{M_\ell P T}{\sigma_{n,\ell}^4}. +\end{equation} +因此，将 $\sigma_{n,\ell}^2$ 视为未知量不会改变式~\eqref{eq:A8_IP_FIM_etadotnu} 与式~\eqref{eq:A8_IP_EFIM_eta} 的形式，只是在完整 Fisher 信息矩阵中附加一个与其他参数解耦的对角块。 + +至此，动态多帧主线的两类性能界已经形成闭环： \ref{sec:A7_dynDoaDopplerCrb} 对应连续相位/relaxed 连续相位模型，本附录对应独立相位基线模型。二者共享同一主参数 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}$，因而可以直接比较相位连续性对 DoA--Doppler 信息保留能力的影响。 \ No newline at end of file