content(app-E): 新增经纬度与全局方向界的对应推导

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@@ -575,6 +575,109 @@ $\begin{bmatrix}\mathbf g_\ell & j\mathbf g_\ell\end{bmatrix}$。虽然这两个
 
 至此，单用户多星静态基线与正文静态模型一一对应：正文负责给出观测模型、参数分组和集中似然，本文附录负责给出 Jacobian、Fisher 信息分块与 Schur 补形式。
 
+\subsubsection{已知高度下的经纬度参数化与方向 CRB}
+\label{subsec:A6_latlon_crb}
+
+前述模型以公共全局方向为未知量。本小节引入已知高度的地表位置映射，比较同一观测模型的坐标变换与有限距离下的逐星视线模型。保持单用户、单观测块、已对齐导频和各星独立未知复增益；几何信息仅通过阵列方向与差分 Doppler 进入，时延通道留在\appref{sec:userPositionCrb}。
+
+记经纬度为 $\boldsymbol\vartheta=[\lambda_{\mathrm g},\varphi_{\mathrm g}]^\Tran$，依次为经度和纬度，均以弧度计。给定高度 $h_0$、地表模型及参考时刻的地固系到惯性系旋转 $\mathbf R_0$，定义
+%
+\begin{equation}
+  \mathbf p(\boldsymbol\vartheta)=\mathbf R_0\mathbf p_{\mathrm E}(\boldsymbol\vartheta,h_0),
+  \qquad
+  \mathbf P=\frac{\partial\mathbf p}{\partial\boldsymbol\vartheta^\Tran}\in\mathbb R^{3\times2}.
+  \label{eq:A6_latlon_surface}
+\end{equation}
+%
+这里 $\mathbf p_{\mathrm E}$ 是选定地表的地固坐标映射；椭球模型采用大地纬度及相应高度定义。作为球面特例，令地球半径为 $R_{\mathrm E}$，则
+%
+\begin{equation}
+  \mathbf p_{\mathrm E}=(R_{\mathrm E}+h_0)
+  \begin{bmatrix}
+    \cos\varphi_{\mathrm g}\cos\lambda_{\mathrm g}\\
+    \cos\varphi_{\mathrm g}\sin\lambda_{\mathrm g}\\
+    \sin\varphi_{\mathrm g}
+  \end{bmatrix},\qquad
+  \mathbf P=\mathbf R_0(R_{\mathrm E}+h_0)
+  \begin{bmatrix}
+    -\cos\varphi_{\mathrm g}\sin\lambda_{\mathrm g} & -\sin\varphi_{\mathrm g}\cos\lambda_{\mathrm g}\\
+    \cos\varphi_{\mathrm g}\cos\lambda_{\mathrm g} & -\sin\varphi_{\mathrm g}\sin\lambda_{\mathrm g}\\
+    0 & \cos\varphi_{\mathrm g}
+  \end{bmatrix}.
+  \label{eq:A6_latlon_sphere}
+\end{equation}
+
+为保持与全局方向模型相同的传播约定，定义源到接收星的单位方向 $\mathbf w_\ell=(\mathbf s_\ell-\mathbf p)/r_\ell$，其中 $r_\ell=\|\mathbf s_\ell-\mathbf p\|_2$。它与\appref{sec:userPositionCrb} 的星到用户视线互为相反数。由单位向量求导得到
+%
+\begin{equation}
+  \mathbf W_\ell\triangleq\frac{\partial\mathbf w_\ell}{\partial\boldsymbol\vartheta^\Tran}
+  =-\frac{1}{r_\ell}(\mathbf I_3-\mathbf w_\ell\mathbf w_\ell^\Tran)\mathbf P,
+  \qquad
+  \frac{\partial\mathbf w_\ell^{\mathrm{loc}}}{\partial\boldsymbol\vartheta^\Tran}
+  =\boldsymbol\Omega_\ell^\Tran\mathbf W_\ell.
+  \label{eq:A6_latlon_los_jac}
+\end{equation}
+%
+采用 \eqref{eq:sec3_propagation_steering} 的负空间指数时，第 $m$ 个阵元的角度链式导数为
+%
+\begin{equation}
+  \frac{\partial[\mathbf a_\ell]_m}{\partial\boldsymbol\vartheta^\Tran}
+  =-j\frac{2\pi}{\lambda_{\mathrm c}}[\mathbf a_\ell]_m
+  (\mathbf r_{\ell,m}^{\mathrm{loc}})^\Tran\boldsymbol\Omega_\ell^\Tran\mathbf W_\ell.
+  \label{eq:A6_latlon_steering_jac}
+\end{equation}
+%
+对地固静止用户，参考时刻的惯性速度为 $\mathbf v_u=\boldsymbol\Omega_{\mathrm E}\mathbf p$，其中 $\boldsymbol\Omega_{\mathrm E}$ 表示地球自转角速度的叉乘矩阵。定义几何链路频移 $b_\ell=-(\mathbf v_\ell-\mathbf v_u)^\Tran\mathbf w_\ell/\lambda_{\mathrm c}$，其导数与参考星差分为
+%
+\begin{equation}
+  \begin{aligned}
+    \mathbf b_{\ell,\vartheta}
+    &\triangleq\frac{\partial b_\ell}{\partial\boldsymbol\vartheta^\Tran}
+    =\frac{1}{\lambda_{\mathrm c}}\left[
+      -(\mathbf v_\ell-\mathbf v_u)^\Tran\mathbf W_\ell
+      +\mathbf w_\ell^\Tran\boldsymbol\Omega_{\mathrm E}\mathbf P\right],\\
+    \nu_\ell&=\nu_{\mathrm{ref}}+2\pi T_{\mathrm s}(b_\ell-b_{\ell_{\mathrm{ref}}}),\qquad
+    \frac{\partial\nu_\ell}{\partial\boldsymbol\vartheta^\Tran}
+    =2\pi T_{\mathrm s}(\mathbf b_{\ell,\vartheta}-\mathbf b_{\ell_{\mathrm{ref}},\vartheta}).
+  \end{aligned}
+  \label{eq:A6_latlon_doppler_jac}
+\end{equation}
+%
+参考 Doppler 仍为自由参数；地固用户速度的跨链路差分由几何保留。令本小节主参数为 $\boldsymbol\eta=[\boldsymbol\vartheta^\Tran,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$，按 \eqref{eq:A6_Dl} 的 Kronecker 链式法则组装 $\mathbf D_\ell=\partial\mathbf g_\ell/\partial\boldsymbol\eta^\Tran$，代入 \eqref{eq:A6_Ieff_final} 即得经纬度与参考 Doppler 的联合 \gls{efim}。其满秩时取逆，角度子块即经纬度 \gls{crb}；若仅保留经纬度为目标，则先对参考 Doppler 取 Schur 补。已知高度通过 \eqref{eq:A6_latlon_surface} 限制参数切空间，高度未知时须增加高度列并按目标选择保留或消元。
+
+\paragraph{同一模型的坐标不变性}
+若同一个均值、噪声及干扰参数模型同时以 $\boldsymbol\xi$ 和 $\boldsymbol\vartheta$ 表示，且 $\boldsymbol\xi=h(\boldsymbol\vartheta)$ 在工作点局部可逆，记 $\mathbf H=\partial\boldsymbol\xi/\partial\boldsymbol\vartheta^\Tran$、$\mathbf T=\operatorname{diag}(\mathbf H,1)$。由得分的链式法则及相同干扰切空间消元，有
+%
+\begin{equation}
+  \mathcal I_{\mathrm e,\vartheta}=\mathbf T^\Tran\mathcal I_{\mathrm e,\xi}\mathbf T,
+  \qquad
+  \mathbf C_\xi=\mathbf T\mathbf C_\vartheta\mathbf T^\Tran,
+  \qquad \mathbf C=\mathcal I_{\mathrm e}^{-1}.
+  \label{eq:A6_latlon_reparameterization}
+\end{equation}
+%
+此处下标仅区分两套坐标中的联合矩阵。相同物理量的局部无偏界在变换后相同。另一种等价比较是：在有限距离模型中，用参考星视线与已知地表的局部唯一、横截交点来定义方向坐标，再由该交点生成所有卫星的视线；此时仍满足 \eqref{eq:A6_latlon_reparameterization}。地平线切点、多交点分支及角坐标极点需要另选局部参数图。
+
+\paragraph{公共方向近似与比较指标}
+公共方向模型令各星共享 $\mathbf u(\boldsymbol\xi)$；有限距离模型则使用 \eqref{eq:A6_latlon_los_jac} 中逐星不同的 $\mathbf w_\ell$ 和 $\mathbf W_\ell$。二者一般不是 \eqref{eq:A6_latlon_reparameterization} 所描述的同一模型换坐标。比较时须统一观测通道、已知高度条件、参考时刻、噪声、干扰参数与输出物理量。若经纬度协方差界的角度块为 $\mathbf C_{\vartheta\vartheta}$，则局部位置均方误差界与参考星方向夹角均方误差界分别为
+%
+\begin{equation}
+  B_{\mathrm p}=\operatorname{tr}(\mathbf P\mathbf C_{\vartheta\vartheta}\mathbf P^\Tran),
+  \qquad
+  B_{\mathrm{dir,ref}}=\operatorname{tr}(\mathbf W_{\ell_{\mathrm{ref}}}\mathbf C_{\vartheta\vartheta}\mathbf W_{\ell_{\mathrm{ref}}}^\Tran).
+  \label{eq:A6_latlon_metrics}
+\end{equation}
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+两者单位分别为长度平方与弧度平方，开方后才是均方根界。球面例子中
+%
+\begin{equation}
+  B_{\mathrm p}=(R_{\mathrm E}+h_0)^2
+  \left(\cos^2\varphi_{\mathrm g}[\mathbf C_{\vartheta\vartheta}]_{11}+[\mathbf C_{\vartheta\vartheta}]_{22}\right).
+  \label{eq:A6_latlon_sphere_metric}
+\end{equation}
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+公共方向的夹角界为 $\cos^2\beta[\mathbf C_{\xi\xi}]_{11}+[\mathbf C_{\xi\xi}]_{22}$。小视差使两类模型接近还需相应的投影后 Jacobian 接近；当最弱信息方向接近零时，小的信息扰动也可导致较大的逆矩阵差异。因此，公共方向与地表模型的界没有普遍的大小排序，接近程度须在统一指标及可辨识工作点上检验。
+
 \subsection{多用户多星 CRB（扩展）}
 \label{subsec:E2_multiUserMultiSatCrb}