diff --git a/parts/A-symbolIndex.tex b/parts/A-symbolIndex.tex index e28b090..7ed2ba4 100644 --- a/parts/A-symbolIndex.tex +++ b/parts/A-symbolIndex.tex @@ -232,8 +232,10 @@ $s_p(t)$ & 多帧模型中第 $p$ 帧使用的已知训练序列。\\ $\nu_\ell$ & 第 $\ell$ 条链路的归一化角 Doppler，单位为 rad/sample。\\ $\dot\nu_\ell$ & 第 $\ell$ 条链路的归一化 Doppler rate，单位为 rad/sample$^2$。\\ + $\ddot\nu_\ell$ & 第 $\ell$ 条链路的归一化 Doppler-rate 导数，单位为 rad/sample$^3$；仅用于短窗口近似的高阶误差判据。\\ $\nu_\ell^{\mathrm{Hz}}$ & 第 $\ell$ 条链路的物理 Doppler，单位为 Hz；仅在需要物理单位解释时使用。\\ - $\Delta f_\ell(\mathbf p)$ & 位置模型中第 $\ell$ 条链路相对于参考链路的物理 FDOA，单位为 Hz。\\ + $\Delta f_\ell(\boldsymbol\xi)$、$\Delta f_\ell(\mathbf p)$ & 分别为远场全局方向模型、有限距离位置模型中第 $\ell$ 条链路相对于参考链路的物理 FDOA，单位为 Hz。\\ + $\epsilon_D$ & Doppler 符号约定，取 $+1$ 或 $-1$，用于统一上行/下行传播方向的符号。\\ $\boldsymbol\nu=[\nu_1,\ldots,\nu_K]^\Tran$ & 单阵列 \gls{doa}--Doppler 模型中所有信源归一化角 Doppler 的集合。\\ $\tau_\ell$ & 第 $\ell$ 条链路上的离散时延。 若它由参考星时延诱导得到，应在参考星参数化中说明其映射。\\ $\delta_\ell$ & 第 $\ell$ 颗卫星相对参考星的时间戳误差，单位为采样点数；参考星 $\delta_{\ell_{\mathrm{ref}}}=0$，其余作为部分相干观测模型中的干扰参数。\\ diff --git a/parts/E-multiSatStaticCrb.tex b/parts/E-multiSatStaticCrb.tex index ddf55c5..8973d87 100644 --- a/parts/E-multiSatStaticCrb.tex +++ b/parts/E-multiSatStaticCrb.tex @@ -715,7 +715,7 @@ $\mathbf J_{\psi,\ell}$ 的实参数化二维实子空间与复矩阵 $\mathbf G % 复系数 $\zeta_{\ell,k}^*\zeta_{\ell,k'}$ 必须保留在 $\Re\{\cdot\}$ 内，因为它和右侧厄米积都是一般复值，不能逐因子取实部。$K=1$ 时 $\zeta_\ell^*\zeta_\ell=|\zeta_\ell|^2$ 退化为实数，可提到 $\Re\{\cdot\}$ 外，此时 \eqref{eq:E2_Ieff_block} 即回到 \eqref{eq:A6_Ieff_final} 的单用户基线。 -\paragraph{逐星投影之和即联合投影} +\paragraph{独立星噪声与独立增益下的信息可加} \eqref{eq:E2_Ieff_proj} 对卫星\emph{求和}的形式并非近似，而是干扰参数块对角性的直接后果，值得单独点明：它意味着``各星先各自消干扰''与``联合消干扰''给出同一个界。各星增益与噪声相互独立，故复增益块 $\mathcal I_{\psi\psi}$ 按卫星块对角，对全体增益的联合 Schur 补\emph{逐星分解}。以 $\mathbf A_\ell$、$\mathbf B_\ell$、$\mathbf C_\ell$ 分别记第 $\ell$ 星的主参数块、主参数--增益交叉块与增益块，则 $\mathcal I_{\eta\eta}=\sum_\ell\mathbf A_\ell$、$\mathcal I_{\eta\psi}=[\mathbf B_0,\ldots,\mathbf B_{L-1}]$、$\mathcal I_{\psi\psi}=\operatorname{blkdiag}(\mathbf C_0,\ldots,\mathbf C_{L-1})$，于是 % \begin{equation} @@ -725,7 +725,7 @@ $\mathbf J_{\psi,\ell}$ 的实参数化二维实子空间与复矩阵 $\mathbf G =\sum_\ell\big(\mathbf A_\ell-\mathbf B_\ell\mathbf C_\ell^{-1}\mathbf B_\ell^\Tran\big), \end{equation} % -而右端每一项恰是 \eqref{eq:E2_Ieff_proj} 的被加项 $2\sigma_\ell^{-1}\Re\{\mathbf J_{\eta,\ell}^\Herm\mathcal P_{\mathbf G_\ell}^\perp\mathbf J_{\eta,\ell}\}$——\emph{每颗星各自消去本星增益（向 $\mathbf G_\ell$ 列空间正交补投影）所得的 \gls{efim}}。故``逐星投影之和''恒等于``联合投影''：在本模型（干扰逐星、噪声独立）下，集中式联合处理与``各星报告自身对主参数的 Fisher 贡献再相加''给出同一个界，二者无精度差。这正是``\gls{fim} 跨星可加''在界级的代数来源。 +而右端每一项恰是 \eqref{eq:E2_Ieff_proj} 的被加项 $2\sigma_\ell^{-1}\Re\{\mathbf J_{\eta,\ell}^\Herm\mathcal P_{\mathbf G_\ell}^\perp\mathbf J_{\eta,\ell}\}$——\emph{每颗星各自消去本星增益（向 $\mathbf G_\ell$ 列空间正交补投影）所得的 \gls{efim}}。故在本模型（干扰逐星、噪声独立）下，集中式联合处理与``各星报告完整本地 Fisher 贡献再相加''给出同一个界；这里的协作收益来自共同参数和几何多样性，不等同于跨星相干合并。若只报告压缩后的本地估计，或显式引入跨星共享的相位/增益关系，结论都需重新按相应统计量或联合干扰块计算。 由此也读出\emph{何时}集中式才严格优于分布式——仅当突破上述两个前提之一： \begin{itemize} @@ -736,7 +736,7 @@ $\mathbf J_{\psi,\ell}$ 的实参数化二维实子空间与复矩阵 $\mathbf G \subsubsection{用户分离的可辨识性条件} -\eqref{eq:E2_Ieff_proj} 给出的 \gls{efim} 非奇异性等价于多用户主参数得分（对数似然对参数的梯度）在复增益干扰参数得分所张子空间的正交补上的投影列空间 ``在所有 $L$ 颗卫星上联合满秩''。具体地，记每颗卫星上的``白化主参数 Jacobian'' +\eqref{eq:E2_Ieff_proj} 给出的 \gls{efim} 非奇异性应在\emph{实参数意义}下判断：多用户主参数得分在复增益干扰参数得分所张子空间的正交补上的投影，必须对所有实参数扰动保持单射。具体地，记每颗卫星上的``白化主参数 Jacobian'' % \begin{equation} \bar{\mathbf J}_{\eta,\ell} @@ -744,19 +744,49 @@ $\mathbf J_{\psi,\ell}$ 的实参数化二维实子空间与复矩阵 $\mathbf G \frac{1}{\sqrt{\sigma_\ell}}\mathcal P_{\mathbf G_\ell}^\perp\mathbf J_{\eta,\ell}, \end{equation} % -\gls{efim} 非奇异 $\Leftrightarrow$ 联合矩阵 $[\bar{\mathbf J}_{\eta,0}^\Tran,\ldots,\bar{\mathbf J}_{\eta,L-1}^\Tran]^\Tran$ 列满秩，即 ``$3K\le \sum_\ell M_\ell T$ 且不同用户的白化得分之间不存在跨星全局共线性''。 - -正文第~\ref{subsec:userSeparability} 小节给出的几何陈述——``两个用户在所有 $L$ 颗星上相干度 $\rho_{\ell,kk'}\to 1$ 时分离失效''——可严格化为：当某对 $(k,k')$ 满足 +并定义其堆叠矩阵的实化 % \begin{equation} - \mathcal P_{\mathbf G_\ell}^\perp\mathbf g_{\ell,k} - \approx - c_\ell\, - \mathcal P_{\mathbf G_\ell}^\perp\mathbf g_{\ell,k'}, - \qquad\forall\ell, + \bar{\mathbf J}_{\mathrm{all}} + \triangleq + \begin{bmatrix} + \bar{\mathbf J}_{\eta,0}^\Tran & \cdots & \bar{\mathbf J}_{\eta,L-1}^\Tran + \end{bmatrix}^{\Tran}, + \qquad + \bar{\mathbf J}_{\mathrm{all}}^{\mathbb R} + \triangleq + \begin{bmatrix} + \Re\{\bar{\mathbf J}_{\mathrm{all}}\}\\ + \Im\{\bar{\mathbf J}_{\mathrm{all}}\} + \end{bmatrix}. + \label{eq:E2_realified_rank} \end{equation} % -对应 $\boldsymbol\eta_k$ 与 $\boldsymbol\eta_{k'}$ 方向上的 \gls{efim} 块趋于秩亏，集中似然在该方向退化为平坦脊（最优不再孤立）。多星几何提供的缓解机制——只要存在一颗星 $\ell$ 上述等式严重违反——也直接由这一秩条件读出。 +则 +% +\begin{equation} + \mathcal I_{\mathrm e}\ \text{非奇异} + \quad\Longleftrightarrow\quad + \operatorname{rank}\big(\bar{\mathbf J}_{\mathrm{all}}^{\mathbb R}\big)=3K. + \label{eq:E2_identifiability_rank} +\end{equation} +% +若每个 $\mathbf G_\ell$ 满列秩，这一条件至少要求 +$3K\le 2\sum_\ell(M_\ell T-K)$；该维数不等式只是必要条件，不能替代实化 Jacobian 的秩检验。 + +正文第~\ref{subsec:userSeparability} 小节给出的几何陈述——``两个用户在所有 $L$ 颗星上相干度 $\rho_{\ell,kk'}\to 1$ 时分离失效''——需要区分模板退化与主参数退化。若某对 $(k,k')$ 满足 +% +\begin{equation} + \rho_{\ell,kk'} + \triangleq + \frac{\left|\mathbf g_{\ell,k}^{\Herm}\mathbf g_{\ell,k'}\right|} + {\|\mathbf g_{\ell,k}\|_2\,\|\mathbf g_{\ell,k'}\|_2} + \longrightarrow1, + \qquad\forall\ell, + \label{eq:E2_template_coherence} +\end{equation} +% +则 $\mathbf G_\ell$ 变得病态，极限相同模板时复增益本身不可分离；但这还不是主参数 \gls{efim} 奇异的充分必要条件。主参数是否退化必须回到式~\eqref{eq:E2_identifiability_rank}，检查投影后导数列的实秩；只有当相应用户的投影导数也无法区分时，集中似然才在该方向形成平坦脊。多星几何的缓解也应表述为：只要至少一颗卫星提供使式~\eqref{eq:E2_identifiability_rank} 恢复满秩的独立投影信息，整体用户参数仍可辨识。 \subsubsection{CRB 表达式} diff --git a/parts/sec3_multiSatSingleUser.tex b/parts/sec3_multiSatSingleUser.tex index 5419e7c..d7be688 100644 --- a/parts/sec3_multiSatSingleUser.tex +++ b/parts/sec3_multiSatSingleUser.tex @@ -88,6 +88,8 @@ % 其中 $\mathbf a_\ell(\cdot)$ 的具体形式按第~\ref{subsec:single_arr_array_model} 小节的 \gls{ula}/\gls{upa} 模板代入即可。后续静态与多帧模型均统一使用该记号；$\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi)$ 始终只表示\emph{阵列导向矢量}，不再用于轨道动力学中的加速度量。 +这里的共享全局方向是远场窄带近似：信源到星座的距离应显著大于星间基线，且在一个观测块内方向、卫星姿态和轨道状态可视为冻结。因此，各卫星共享的是全局方向向量 $\mathbf u(\boldsymbol\xi)$，而不是共享同一组本地方位角与俯仰角；本地角度由各自的已知旋转 $\boldsymbol\Omega_\ell$ 映射得到。上式用由位置和速度构造的轨道坐标基表示一种已知姿态选择；若实际阵列坐标系与该轨道基不重合，应将 $\boldsymbol\Omega_\ell$ 换成已标定的 ``阵列本地系到全局系'' 旋转，后续 Jacobian 结构不变。有限距离或明显视差下不应强行使用共同 $\mathbf u(\boldsymbol\xi)$，而应采用第~\ref{sec:userPositioning} 节的位置参数化。 + \subsection{参考卫星参数化} \label{subsec:refSatParameterization} @@ -108,6 +110,34 @@ % 其中 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 为参考时刻、参考卫星链路上的归一化 Doppler。多帧动态模型中主估计目标默认仍是同一个 $\boldsymbol\eta$，而参考链路 Doppler rate $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 放入干扰参数侧。 +在远场公共方向模型下，相对 Doppler 的几何含义可以显式写出。令 $\lambda_{\mathrm c}$ 为载波波长，$\epsilon_D\in\{+1,-1\}$ 表示所采用的上行/下行传播方向符号约定，则第 $\ell$ 条链路相对于参考链路的物理 FDOA 为 +% +\begin{equation} + \Delta f_\ell(\boldsymbol\xi) + \triangleq + \frac{\epsilon_D}{\lambda_{\mathrm c}} + \big(\mathbf v_\ell-\mathbf v_{\ell_{\mathrm{ref}}}\big)^\Tran + \mathbf u(\boldsymbol\xi), + \qquad + \Delta f_{\ell_{\mathrm{ref}}}(\boldsymbol\xi)\equiv0, + \label{eq:sec3_fdoa_projection} +\end{equation} +% +其中公共的用户速度投影以及参考链路的绝对 Doppler 已被相减或吸收到 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 中。换算到正文使用的 rad/sample 参数， +% +\begin{equation} + \Delta\nu_\ell(\boldsymbol\xi) + \triangleq + 2\pi T_{\mathrm s}\Delta f_\ell(\boldsymbol\xi) + \;=\; + \frac{2\pi T_{\mathrm s}\epsilon_D}{\lambda_{\mathrm c}} + \big(\mathbf v_\ell-\mathbf v_{\ell_{\mathrm{ref}}}\big)^\Tran + \mathbf u(\boldsymbol\xi). + \label{eq:sec3_dnu_projection} +\end{equation} +% +因此，$\Delta\nu_\ell(\boldsymbol\xi)$ 是已知相对速度在共享全局方向上的投影，而不是额外独立的 Doppler 参数。该映射要求相对星历和频率标定可用；若每条链路还含未标定的独立频率偏置，应将该偏置另列为干扰参数，不能继续把 $\Delta\nu_\ell$ 视为已知几何量。有限距离时应将共同方向替换为逐星视线，所需的 FDOA 表达式见式~\eqref{eq:sec7_dnu_pos}。 + 给定 $(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}},\dot\nu_{\mathrm{ref}})$ 后，其余卫星的链路参数统一通过几何映射表示为 % \begin{equation} @@ -122,7 +152,7 @@ \ell=0,1,\ldots,L-1, \end{equation} % -其中 $\Delta\nu_\ell(\boldsymbol\xi)$ 与 $\Delta\dot\nu_\ell(\boldsymbol\xi)$ 由已知卫星位置、速度、姿态确定，且 $\Delta\nu_{\ell_{\mathrm{ref}}}\equiv\Delta\dot\nu_{\ell_{\mathrm{ref}}}\equiv0$。这一组几何映射正是把 $L$ 个原本 ``独立'' 的链路 Doppler 压回到一个标量 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 的结构来源。 +其中 $\Delta\nu_\ell(\boldsymbol\xi)$ 由式~\eqref{eq:sec3_dnu_projection} 的相对速度投影给出；在动态模型中，$\Delta\dot\nu_\ell(\boldsymbol\xi)$ 还需由同一局部线性化下的相对加速度或等价星历导数给出。二者均满足 $\Delta\nu_{\ell_{\mathrm{ref}}}\equiv\Delta\dot\nu_{\ell_{\mathrm{ref}}}\equiv0$。这一组几何映射正是把 $L$ 个原本 ``独立'' 的链路 Doppler 压回到一个标量 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 的结构来源。 \subsection{静态多星信号模型} \label{subsec:staticBlockModel} diff --git a/parts/sec5_multiFrameCp.tex b/parts/sec5_multiFrameCp.tex index a8c8cee..fb1b4ed 100644 --- a/parts/sec5_multiFrameCp.tex +++ b/parts/sec5_multiFrameCp.tex @@ -27,7 +27,39 @@ \subsection{连续相位多帧信号模型（CP）} \label{subsec:dynamicCpModel} -短观测窗口下，第 $\ell$ 颗卫星在第 $p$ 帧第 $t$ 个采样点的归一化相位采用二次相位近似： +这里的短窗口近似首先作用于瞬时 Doppler，而不是直接把相位作一阶截断。以参考时刻为 $t_{p,t}=0$，对瞬时 Doppler 作一阶 Taylor 展开并积分，得到 +% +\begin{equation} + \nu_\ell(\tau)\approx\nu_\ell+\dot\nu_\ell\tau, + \qquad + \phi_\ell(t_{p,t}) + \approx + \int_0^{t_{p,t}}\nu_\ell(\tau)\,\diff\tau + =\nu_\ell t_{p,t}+\frac{1}{2}\dot\nu_\ell t_{p,t}^2. + \label{eq:sec5_first_order_doppler} +\end{equation} +% +短窗口的适用条件是被省略的三阶相位项在整个观测窗口内远小于 $1$ rad，例如 +% +\begin{equation} + \frac{1}{6}\max_\ell|\ddot\nu_\ell| + \big(\max_{p,t}|t_{p,t}|\big)^3 + \ll 1, + \label{eq:sec5_third_order_error} +\end{equation} +% +同时阵列姿态与来向变化对空间导向矢量的影响可忽略。若进一步采用静态模型中的常 Doppler 近似，还需满足 +% +\begin{equation} + \frac{1}{2}\max_\ell|\dot\nu_\ell| + \big(\max_{p,t}|t_{p,t}|\big)^2 + \ll 1; + \label{eq:sec5_constant_doppler_condition} +\end{equation} +% +否则应保留本节的 Doppler rate。 + +据此，第 $\ell$ 颗卫星在第 $p$ 帧第 $t$ 个采样点的归一化相位采用二次相位近似： % \begin{equation} \phi^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}(t) @@ -251,7 +283,7 @@ $\chi_\ell$ 为第 $\ell$ 颗卫星在参考时刻的\emph{公共相位}，由 \end{equation} % 因此 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 的多星增益受 \gls{doa}--Doppler 耦合比例约束：即使多星几何能放大 $\mathcal I_{\nu\nu}$，若 $\gamma_{\xi,\nu}^2$ 随 $L$ 增大而恶化，则边际 Doppler \gls{crb} 仍受限。 -$\boldsymbol\xi$ 的增益主要来自空间视线与阵列流形几何多样性；$\nu_{\mathrm{ref}}$ 的增益主要来自能量叠加与跨帧相干结构，并受到 Schur 损失限制。 +$\boldsymbol\xi$ 的增益主要来自空间视线与阵列流形几何多样性；$\nu_{\mathrm{ref}}$ 的增益主要来自能量叠加与跨帧相干结构，并受到 Schur 损失限制。需要区分两种增益来源：静态多星模型在各星复增益独立、噪声独立时只产生逐星投影后的 Fisher 信息相加，并不自动产生跨星相干合并增益；多帧 \gls{cp} 的相干收益来自同一颗卫星跨帧共享公共相位。只有在跨星相位/增益关系已知或被明确建模时，才可另外讨论跨星相干增益。 \subsection{周期多帧观测下的 Doppler 梳状多峰与齿间模糊} \label{subsec:fdCombToothAmbiguity}