struct(sec,app): 接入 sec4/sec5 与附录 F,附录 E 分 E.1/E.2

阶段 5 骨架。主文件 \input sec4/sec5 取消注释,附录段在 E 与 G
之间插入 F。E.tex 将原五个 subsection 降为 subsubsection 包入
E.1 单用户多星 CRB;新增空的 E.2 多用户多星 CRB(扩展)占位。
sec4/sec5/F 暂为 % TODO 框架,实质内容下一个 content commit。
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2026-06-14 22:21:50 +08:00
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@@ -139,8 +139,8 @@
\input{parts/sec1_singleArrayDoa.tex} \input{parts/sec1_singleArrayDoa.tex}
\input{parts/sec2_singleArrayDoaDoppler.tex} \input{parts/sec2_singleArrayDoaDoppler.tex}
\input{parts/sec3_multiSatSingleUser.tex} \input{parts/sec3_multiSatSingleUser.tex}
% \input{parts/sec4_multiSatMultiUser.tex} % 阶段 5 新增 \input{parts/sec4_multiSatMultiUser.tex}
% \input{parts/sec5_timestampError.tex} % 阶段 5 新增 \input{parts/sec5_timestampError.tex}
\input{parts/sec6_multiFrameCp.tex} \input{parts/sec6_multiFrameCp.tex}
% \input{parts/sec7_beamforming.tex} % 预留,本次不展开 % \input{parts/sec7_beamforming.tex} % 预留,本次不展开
@@ -161,6 +161,8 @@
\newpage \newpage
\input{parts/E-multiSatStaticCrb.tex} \input{parts/E-multiSatStaticCrb.tex}
\newpage \newpage
\input{parts/F-timestampErrCrb.tex}
\newpage
\input{parts/G-multiFrameCrb.tex} \input{parts/G-multiFrameCrb.tex}
% \newpage % \newpage
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@@ -1,7 +1,15 @@
\section{多阵列确定信号 DoA--Doppler 估计的 CRB 推导} \section{多星静态模型 CRB}
\label{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb} \label{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb}
本附录沿用第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst} 节,尤其是第~\ref{subsec:staticBlockModel} 小节中的静态多阵列确定信号 DoA--Doppler 观测模型与参数定义,只补充 \gls{crb} 推导所需的 Jacobian、\gls{fim} 分块与 Schur 补步骤。主参数仍记为 本附录给出与正文第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst} 节、第~\ref{sec:multiSatMultiUser} 节相对应的多星静态 DoA--Doppler 联合估计 \gls{crb}。E.1 给出单用户多星基线(沿用 \S\ref{subsec:staticBlockModel} 模型),E.2 给出多用户扩展(沿用 \S\ref{sec:multiSatMultiUser} 模型)。两者共享 ``联合堆叠 + 复增益 Schur 补'' 的推导框架,差别仅在均值向量参数化与 Jacobian 维度。
本文统一采用 $\mathcal I$ 表示 Fisher 信息矩阵,$\mathbf I$ 表示单位阵,$\mathcal P$ 表示投影矩阵。
正文中的静态干扰参数 $\boldsymbol\psi_{\mathrm{stat}}$ 同时包含复增益和噪声方差。本附录在构造主参数 EFIM 时,只显式保留影响均值向量的复增益干扰参数;噪声方差只进入协方差,并与均值参数 Fisher 块解耦,因此不改变下面关于复增益的 Schur 补形式。
\subsection{单用户多星 CRB}
\label{subsec:E1_singleUserMultiSatCrb}
本小节对应正文第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst} 节,主参数仍记为
\begin{equation} \begin{equation}
\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}} \boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}}
= =
@@ -12,11 +20,9 @@
\end{bmatrix} \end{bmatrix}
\in \mathbb R^{3}. \in \mathbb R^{3}.
\end{equation} \end{equation}
与\ref{sec:det_doa_doppler_crb} 的单阵列情形相比,这里需要先联合堆叠 $L$ 颗协作卫星的观测,再将各星复干扰系数视为干扰参数并通过 Schur 补得到 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}}$ 的等效 \gls{fim}。本文统一采用 $\mathcal I$ 表示 Fisher 信息矩阵,采用 $\mathbf I$ 表示单位阵,采用 $\mathcal P$ 表示投影矩阵。 与\ref{sec:det_doa_doppler_crb} 的单阵列情形相比,这里需要先联合堆叠 $L$ 颗协作卫星的观测,再将各星复干扰系数视为干扰参数并通过 Schur 补得到 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}}$ 的等效 \gls{fim}。
正文中的静态干扰参数 $\boldsymbol\psi_{\mathrm{stat}}$ 同时包含复增益和噪声方差。本附录在构造主参数 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}}$ 的 EFIM 时,只显式保留影响均值向量的复增益干扰参数;噪声方差只进入协方差,并与均值参数 Fisher 块解耦,因此不改变下面关于复增益的 Schur 补形式。换言之,下文得到的是在给定真实噪声方差或将其作为解耦协方差参数时,关于 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}}$ 的等效 Fisher 信息。
\subsubsection{联合观测模型与 Fisher 信息矩阵通式}
\subsection{联合观测模型与 Fisher 信息矩阵通式}
沿用第~\ref{subsec:staticBlockModel} 小节中的向量化观测模型,第 $\ell$ 颗卫星的均值向量可写为 $\zeta_\ell \mathbf g_\ell(\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}})$。为便于后续统一构造 \gls{fim},本小节先将所有卫星观测按块联合堆叠。 沿用第~\ref{subsec:staticBlockModel} 小节中的向量化观测模型,第 $\ell$ 颗卫星的均值向量可写为 $\zeta_\ell \mathbf g_\ell(\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}})$。为便于后续统一构造 \gls{fim},本小节先将所有卫星观测按块联合堆叠。
@@ -119,7 +125,7 @@ $\zeta_\ell\in\mathbb C$ 为第 $\ell$ 条链路的未知复干扰系数,$\sig
\label{eq:A6_fim_general} \label{eq:A6_fim_general}
\end{equation} \end{equation}
\subsection{\texorpdfstring{关于 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}}$ 的导数}{关于 eta_stat 的导数}} \subsubsection{\texorpdfstring{关于 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}}$ 的导数}{关于 eta_stat 的导数}}
由第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst} 节,单位方向向量为 由第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst} 节,单位方向向量为
\begin{equation} \begin{equation}
@@ -332,7 +338,7 @@ $\mathbf g_\ell=\mathbf q_\ell\otimes \mathbf a_\ell$
\label{eq:A6_Dl} \label{eq:A6_Dl}
\end{equation} \end{equation}
\subsection{Fisher 信息矩阵的分块构造} \subsubsection{Fisher 信息矩阵的分块构造}
对第 $\ell$ 颗卫星,其均值向量为 对第 $\ell$ 颗卫星,其均值向量为
\begin{equation} \begin{equation}
@@ -408,7 +414,7 @@ $\mathbf g_\ell=\mathbf q_\ell\otimes \mathbf a_\ell$
\label{eq:A6_Ibb} \label{eq:A6_Ibb}
\end{equation} \end{equation}
\subsection{消去复干扰系数后的等效 Fisher 信息矩阵} \subsubsection{消去复干扰系数后的等效 Fisher 信息矩阵}
由于 $\boldsymbol\psi_{\zeta,\mathrm{stat}}$ 是均值干扰参数,主参数向量 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}}$ 的等效 Fisher 信息矩阵为 由于 $\boldsymbol\psi_{\zeta,\mathrm{stat}}$ 是均值干扰参数,主参数向量 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}}$ 的等效 Fisher 信息矩阵为
\begin{equation} \begin{equation}
@@ -462,7 +468,7 @@ $\begin{bmatrix}\mathbf g_\ell & j\mathbf g_\ell\end{bmatrix}$。虽然这两个
\end{equation} \end{equation}
式~\eqref{eq:A6_Ieff_final} 即为静态多阵列确定信号 DoA--Doppler 联合估计的等效 \gls{fim}。 式~\eqref{eq:A6_Ieff_final} 即为静态多阵列确定信号 DoA--Doppler 联合估计的等效 \gls{fim}。
\subsection{CRB 表达式} \subsubsection{CRB 表达式}
因此,联合参数向量 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}}=[\alpha,\beta,\nu_{\mathrm{ref}}]^{\Tran}$ 的 \gls{crb} 为 因此,联合参数向量 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}}=[\alpha,\beta,\nu_{\mathrm{ref}}]^{\Tran}$ 的 \gls{crb} 为
\begin{equation} \begin{equation}
@@ -513,7 +519,7 @@ $\begin{bmatrix}\mathbf g_\ell & j\mathbf g_\ell\end{bmatrix}$。虽然这两个
\label{eq:A6_crb_omega} \label{eq:A6_crb_omega}
\end{equation} \end{equation}
\subsection{备注} \subsubsection{备注}
\begin{enumerate} \begin{enumerate}
\item 若所有卫星噪声方差相同,即 $\sigma_{n,\ell}^2=\sigma^2$,则 \eqref{eq:A6_Ieff_final} 退化为 \item 若所有卫星噪声方差相同,即 $\sigma_{n,\ell}^2=\sigma^2$,则 \eqref{eq:A6_Ieff_final} 退化为
@@ -540,4 +546,11 @@ $\begin{bmatrix}\mathbf g_\ell & j\mathbf g_\ell\end{bmatrix}$。虽然这两个
因此不会改变 \eqref{eq:A6_Ieff_final} 给出的 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}}$ 的等效 \gls{fim}。 因此不会改变 \eqref{eq:A6_Ieff_final} 给出的 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}}$ 的等效 \gls{fim}。
\end{enumerate} \end{enumerate}
因此,附录 A6 与正文静态多星模型一一对应:正文负责给出观测模型、参数分组和集中似然,本文附录负责给出 Jacobian、Fisher 信息分块与 Schur 补形式。动态模型的连续相位和独立相位 CRB 分别在 \ref{sec:A7_dynDoaDopplerCrb} 与 \ref{sec:A8_dynIndependentPhaseCrb} 中继续展开。 至此,单用户多星静态基线与正文静态模型一一对应:正文负责给出观测模型、参数分组和集中似然,本文附录负责给出 Jacobian、Fisher 信息分块与 Schur 补形式。
\subsection{多用户多星 CRB(扩展)}
\label{subsec:E2_multiUserMultiSatCrb}
% TODO: 阶段 5 content commit 填入实质内容
动态模型的连续相位和独立相位 CRB 在附录~\ref{sec:multiFrameCrb} 中继续展开。
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\section{时间戳误差下的 EFIM 分析}
\label{sec:timestampErrCrb}
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\section{多用户扩展}
\label{sec:multiSatMultiUser}
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\section{时间戳误差与部分相干观测}
\label{sec:timestampError}
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