diff --git a/parts/A-symbolIndex.tex b/parts/A-symbolIndex.tex index 7ed2ba4..9d60675 100644 --- a/parts/A-symbolIndex.tex +++ b/parts/A-symbolIndex.tex @@ -235,7 +235,10 @@ $\ddot\nu_\ell$ & 第 $\ell$ 条链路的归一化 Doppler-rate 导数，单位为 rad/sample$^3$；仅用于短窗口近似的高阶误差判据。\\ $\nu_\ell^{\mathrm{Hz}}$ & 第 $\ell$ 条链路的物理 Doppler，单位为 Hz；仅在需要物理单位解释时使用。\\ $\Delta f_\ell(\boldsymbol\xi)$、$\Delta f_\ell(\mathbf p)$ & 分别为远场全局方向模型、有限距离位置模型中第 $\ell$ 条链路相对于参考链路的物理 FDOA，单位为 Hz。\\ - $\epsilon_D$ & Doppler 符号约定，取 $+1$ 或 $-1$，用于统一上行/下行传播方向的符号。\\ + $\epsilon_D$ & 公共传播方向模型的 Doppler 投影符号，取 $-1$；约定见 \eqref{eq:sec3_propagation_steering}。\\ + $f_\ell,\dot f_\ell$ & 多帧模型的物理 Doppler（Hz）及对物理时间的导数（Hz/s）；$f_\ell$ 与 $\nu_\ell^{\mathrm{Hz}}$ 同义。\\ + $\mathbf a_\ell^{\mathrm{orb}}$ & 参考时刻的卫星轨道加速度（m/s$^2$），区别于阵列导向矢量 $\mathbf a_\ell$。\\ + $t_{\mathrm{ref}}$ & 多帧观测首帧首采样点的物理参考时刻。\\ $\boldsymbol\nu=[\nu_1,\ldots,\nu_K]^\Tran$ & 单阵列 \gls{doa}--Doppler 模型中所有信源归一化角 Doppler 的集合。\\ $\tau_\ell$ & 第 $\ell$ 条链路上的离散时延。 若它由参考星时延诱导得到，应在参考星参数化中说明其映射。\\ $\delta_\ell$ & 第 $\ell$ 颗卫星相对参考星的时间戳误差，单位为采样点数；参考星 $\delta_{\ell_{\mathrm{ref}}}=0$，其余作为部分相干观测模型中的干扰参数。\\ @@ -246,7 +249,9 @@ 物理 Doppler 与归一化角 Doppler 的关系统一写为 % \begin{equation} - \nu = 2\pi\nu^{\mathrm{Hz}} T_{\mathrm{s}}. + \nu = 2\pi\nu^{\mathrm{Hz}} T_{\mathrm{s}}, + \qquad + \dot\nu=2\pi T_{\mathrm s}^{2}\frac{\mathrm d\nu^{\mathrm{Hz}}}{\mathrm d t_{\mathrm{phys}}}. \end{equation} % 因此，正文估计参数默认使用 $(\nu,\dot\nu)$，而 $\nu^{\mathrm{Hz}}$ 仅用于物理单位解释。 diff --git a/parts/E-multiSatStaticCrb.tex b/parts/E-multiSatStaticCrb.tex index 8973d87..482a22f 100644 --- a/parts/E-multiSatStaticCrb.tex +++ b/parts/E-multiSatStaticCrb.tex @@ -321,7 +321,7 @@ $\zeta_\ell\in\mathbb C$ 为第 $\ell$ 条链路的未知复干扰系数，$\sig % 其中 $\dfrac{\partial\nu_\ell}{\partial\boldsymbol\eta^\Tran}$ 取 \eqref{eq:A6_domega}；其角度部分记 $\dfrac{\partial\mathbf q_\ell}{\partial\boldsymbol\xi^\Tran}=\left(\dfrac{\partial\mathbf q_\ell}{\partial\nu_\ell}\right)\,\left(\dfrac{\partial\nu_\ell}{\partial\boldsymbol\xi^\Tran}\right)\in\mathbb C^{T\times2}$，$\nu_{\mathrm{ref}}$ 列因 $\dfrac{\partial\nu_\ell}{\partial\nu_{\mathrm{ref}}}=1$ 即 $\dfrac{\partial\mathbf q_\ell}{\partial\nu_\ell}$。 -对空时导向向量 $\mathbf g_\ell=\mathbf q_\ell\otimes \mathbf a_\ell$ 应用 Kronecker 积求导法则。注意 $\mathbf a_\ell$ 不依赖 $\nu_{\mathrm{ref}}$、$\mathbf q_\ell$ 不依赖角度，其关于主参数 $\boldsymbol\eta$ 的 Jacobian 按角度块与 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 列分块为 +对空时导向向量 $\mathbf g_\ell=\mathbf q_\ell\otimes \mathbf a_\ell$ 应用 Kronecker 积求导法则。注意 $\mathbf a_\ell$ 不依赖 $\nu_{\mathrm{ref}}$，而 $\mathbf q_\ell$ 通过 $\Delta\nu_\ell(\boldsymbol\xi)$ 依赖角度；其关于主参数 $\boldsymbol\eta$ 的 Jacobian 按角度块与 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 列分块为 % \begin{equation} \mathbf D_\ell diff --git a/parts/F-multiFrameCrb.tex b/parts/F-multiFrameCrb.tex index 040350b..700c610 100644 --- a/parts/F-multiFrameCrb.tex +++ b/parts/F-multiFrameCrb.tex @@ -33,6 +33,20 @@ % 并将 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 作为干扰参数处理。为避免重复建模，这里只保留 \gls{crb} 推导所需的最小定义、导数记号与 \gls{fim}/\gls{efim} 结构。 +用 K/U 分别标记参考 Doppler rate 已知/未知，三种配置均保留相同的三维主参数。在幅度严格为正的局部工作点，影响均值的干扰参数与实维数为 +% +\begin{equation} + \begin{array}{c|c|c} + \text{配置} & \text{干扰参数} & \text{实维数}\\ \hline + \text{CP-K} & \{\chi_\ell\},\{\rho_{\ell,p}\} & L+LP\\ + \text{CP-U} & \dot\nu_{\mathrm{ref}},\{\chi_\ell\},\{\rho_{\ell,p}\} & 1+L+LP\\ + \text{IP-U} & \dot\nu_{\mathrm{ref}},\{\vartheta_{\ell,p}\},\{\rho_{\ell,p}\} & 1+2LP + \end{array} + \label{eq:A7_parameter_dimensions} +\end{equation} +% +若各星噪声方差未知，完整干扰参数另增加 $L$ 维，与均值参数 Fisher 块解耦。复增益已由幅度与相位表示，不再额外引入一组独立复路径增益；K 配置固定的是参考 rate，各星相对 rate 仍通过全局方向变化。 + \subsubsection{沿用正文模型的最小定义与导数记号} 沿用第~\ref{subsec:dynamicCpModel} 小节中的\gls{cp} 模板与块级向量化方式。对任意卫星 $\ell=0,\ldots,L-1$ 与帧 $p=0,\ldots,P-1$，定义\gls{cp} 模板 @@ -112,6 +126,24 @@ % 其中已利用正文中的几何参数化：$\dfrac{\partial \nu_\ell}{\partial \nu_{\mathrm{ref}}}=1$，$\dfrac{\partial \dot\nu_\ell}{\partial \dot\nu_{\mathrm{ref}}}=1$。这里的显式导数采用正文中的加性参考星参数化，$\nu_\ell=\nu_{\mathrm{ref}}+\Delta\nu_\ell(\boldsymbol\xi)$ 且 $\dot\nu_\ell=\dot\nu_{\mathrm{ref}}+\Delta\dot\nu_\ell(\boldsymbol\xi)$；若改用一般映射，只需将上述两个导数替换为对应链式法则项。 +对固定方向模型，角度导数可直接由 \eqref{eq:sec3_dnu_projection} 与 \eqref{eq:sec5_relative_rate_fixed_direction} 给出： +% +\begin{equation} + \begin{aligned} + \frac{\partial\nu_\ell}{\partial x} + &=\frac{2\pi T_{\mathrm s}\epsilon_D}{\lambda_{\mathrm c}} + \Delta\mathbf v_\ell^\Tran\frac{\partial\mathbf u}{\partial x},\\ + \frac{\partial\dot\nu_\ell}{\partial x} + &=\frac{2\pi T_{\mathrm s}^2\epsilon_D}{\lambda_{\mathrm c}} + (\Delta\mathbf a_\ell^{\mathrm{orb}})^\Tran + \frac{\partial\mathbf u}{\partial x}, + \qquad x\in\{\alpha,\beta\}. + \end{aligned} + \label{eq:A7_direction_doppler_derivatives} +\end{equation} +% +所有角度导数以弧度为自变量，$\epsilon_D=-1$；旋转矩阵及参考时刻星历在求参数导数时保持已知。空间导数由 \eqref{eq:A6_uloc_jac} 与 \eqref{eq:sec3_propagation_steering} 直接链式计算，可避免在局部角极点处使用 atan2/arcsin 导数。 + 于是空时模板对主参数与 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 的导数分别为 % \begin{equation} @@ -224,7 +256,7 @@ \zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}\triangleq \rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}e^{j\chi_\ell},\qquad \rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}\in\mathbb R_{\ge0}. \end{equation} % -在常规局部 \gls{crb} 推导中默认真实工作点满足 $\rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}>0$，从而幅度--相位参数化在该点局部可微且相位参数可辨识；若某些块的幅度为零，则对应相位不可辨识，应在数值实现中删除该相位列或采用广义逆形式的 \gls{efim}。 +在常规局部 \gls{crb} 推导中默认真实工作点满足 $\rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}>0$，从而幅度参数位于非负约束的内部。同星公共相位仍可由该星其他非零幅度块提供信息，不能仅因一个块幅度为零就删除该星相位列；若该星所有块幅度均为零，其公共相位列才整体为零。零幅度边界须另行分析约束与可辨识性，不能仅靠广义逆恢复常规局部 \gls{crb}。 则第 $(\ell,p)$ 个观测块的均值为 % \begin{equation} @@ -346,7 +378,7 @@ \label{eq:A7_Ieff_cp} \end{equation} % -其中 \eqref{eq:A7_Ieff_cp} 默认 $\mathcal I_{\psi\psi}^{\mathrm{cp}}$ 在考虑的局部工作点非奇异。若由于低信噪比、零幅度块或几何退化导致干扰参数块秩亏，则数值仿真中应将 $\big(\mathcal I_{\psi\psi}^{\mathrm{cp}}\big)^{-1}$ 替换为 Moore--Penrose 广义逆 $\big(\mathcal I_{\psi\psi}^{\mathrm{cp}}\big)^{\dagger}$，并将所得结果解释为广义 \gls{efim}。 +其中 \eqref{eq:A7_Ieff_cp} 默认 $\mathcal I_{\psi\psi}^{\mathrm{cp}}$ 在考虑的局部工作点非奇异。若内部工作点存在冗余干扰方向，可按实切空间投影使用 Moore--Penrose 广义逆构造广义 Schur 补，见 \eqref{eq:A7_efim_projection_interpret}。在正定噪声协方差下，有限信噪比降低本身不改变精确秩，数值病态须与结构性秩亏区分。从 \gls{efim} 求完整主参数的逆还须满足 \eqref{eq:A7_real_rank_condition}。 从而其 \gls{crb} 为 % \begin{equation} @@ -499,7 +531,7 @@ \zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp,rel}}=\zeta^{(r)}_{\ell,p}+j\zeta^{(i)}_{\ell,p}. \end{equation} % -这里模板仍然是 $\mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}$，因此该模型只是放松了块复系数结构，并未放弃跨帧\gls{cp} 模板。 +这里模板仍然是 $\mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}$，但自由块复系数可以吸收每帧常相位；保留绝对时间模板不再保留结构化 \gls{cp} 的同星公共相位约束。该放松模型与 \gls{ip} 的参数对应见 \eqref{eq:A8_rel_ip_equivalence}。 令扩展参数向量为 % @@ -681,26 +713,43 @@ \mathbf R_n^{-1/2}\mathbf J_{\psi} \end{equation} % -为白化 Jacobian。则 Schur 补可写成 +为白化 Jacobian。由于主参数与干扰参数均为实参数，先定义实化矩阵 +% +\begin{equation} + \mathbf A\triangleq + \begin{bmatrix}\Re\{\bar{\mathbf J}_{\eta}\}\\\Im\{\bar{\mathbf J}_{\eta}\}\end{bmatrix}, + \qquad + \mathbf B\triangleq + \begin{bmatrix}\Re\{\bar{\mathbf J}_{\psi}\}\\\Im\{\bar{\mathbf J}_{\psi}\}\end{bmatrix}. + \label{eq:A7_realified_jacobians} +\end{equation} +% +完整均值参数的 Fisher 信息为 $2[\mathbf A,\mathbf B]^\Tran[\mathbf A,\mathbf B]$。对干扰参数执行 Schur 补得到 % \begin{equation} \mathcal I_{\mathrm{e}} = - 2\Re\left\{ - \bar{\mathbf J}_{\eta}^{\Herm} - \mathcal P_{\bar{\mathbf J}_{\psi}}^{\perp} - \bar{\mathbf J}_{\eta} - \right\}, + 2\mathbf A^\Tran\mathcal P_{\mathbf B}^{\perp}\mathbf A, \qquad - \mathcal P_{\bar{\mathbf J}_{\psi}}^{\perp} + \mathcal P_{\mathbf B}^{\perp} = - \mathbf I- - \bar{\mathbf J}_{\psi} - \left(\bar{\mathbf J}_{\psi}^{\Herm}\bar{\mathbf J}_{\psi}\right)^{\dagger} - \bar{\mathbf J}_{\psi}^{\Herm}. + \mathbf I-\mathbf B\mathbf B^\dagger. \label{eq:A7_efim_projection_interpret} \end{equation} % +实化保证干扰扰动的系数为实数。直接向 $\bar{\mathbf J}_{\psi}$ 的复列空间正交补投影，一般会扩大可消去的干扰空间；只有被消去的实切空间本身对乘以 $j$ 封闭时，才可改用复投影，例如逐块自由复增益的实部与虚部成对消元。结构化 \gls{cp} 的实幅度、共享相位及实值 Doppler rate 须按 \eqref{eq:A7_efim_projection_interpret} 处理。 + +一个最小检验是已知方向与 rate 的单星两帧模型：各帧仅在时间索引 $0,1$ 处观测一个样本，幅度真值均为 $1$，公共相位及参考 Doppler 真值均为 $0$，噪声复方差为 $1$。对参数 $(\nu,\rho_0,\rho_1,\chi)$ 的均值 Jacobian 为 +% +\begin{equation} + \mathbf J=\begin{bmatrix}0&1&0&j\\j&0&1&j\end{bmatrix}, + \qquad + \mathcal I_{\nu,\mathrm e}=2-\frac{2^2}{4}=1. + \label{eq:A7_real_projection_counterexample} +\end{equation} +% +若错误地将两个实幅度列按复系数投影，它们已张成整个 $\mathbb C^2$，会得到零信息，丢失两帧相位差对 Doppler 的约束。 + 因此，对任意实扰动 $\delta\boldsymbol\eta$，有 % \begin{equation} @@ -709,8 +758,7 @@ \delta\boldsymbol\eta = 2\left\| - \mathcal P_{\bar{\mathbf J}_{\psi}}^{\perp} - \bar{\mathbf J}_{\eta}\delta\boldsymbol\eta + \mathcal P_{\mathbf B}^{\perp}\mathbf A\delta\boldsymbol\eta \right\|_2^2. \label{eq:A7_efim_quadratic_projection} \end{equation} @@ -722,8 +770,7 @@ \quad\Longleftrightarrow\quad \exists\ \delta\boldsymbol\eta\neq\mathbf 0, \quad - \mathcal P_{\bar{\mathbf J}_{\psi}}^{\perp} - \bar{\mathbf J}_{\eta}\delta\boldsymbol\eta + \mathcal P_{\mathbf B}^{\perp}\mathbf A\delta\boldsymbol\eta = \mathbf 0, \label{eq:A7_exact_absorbed_direction} @@ -732,46 +779,51 @@ 也即 % \begin{equation} - \bar{\mathbf J}_{\eta}\delta\boldsymbol\eta + \mathbf A\delta\boldsymbol\eta \in - \operatorname{range}(\bar{\mathbf J}_{\psi}). + \operatorname{range}_{\mathbb R}(\mathbf B). \label{eq:A7_range_absorbed_direction} \end{equation} % 近奇异情形对应于 % \begin{equation} - \bar{\mathbf J}_{\eta}\delta\boldsymbol\eta + \mathbf A\delta\boldsymbol\eta \approx - \bar{\mathbf J}_{\psi}\delta\boldsymbol\psi, + \mathbf B\delta\boldsymbol\psi, + \qquad \delta\boldsymbol\psi\in\mathbb R^{\dim\boldsymbol\psi_\mu}, \label{eq:A7_near_nuisance_absorption} \end{equation} % -即主参数扰动产生的一阶均值变化可以由干扰参数扰动近似表示。 +即主参数扰动产生的一阶均值变化可以由实干扰参数扰动近似表示。对本节三个主参数，常规局部 \gls{crb} 存在的条件为 +% +\begin{equation} + \operatorname{rank}\big(\mathcal P_{\mathbf B}^{\perp}\mathbf A\big)=3. + \label{eq:A7_real_rank_condition} +\end{equation} +% +只有满足 \eqref{eq:A7_real_rank_condition} 才能将 $\mathcal I_{\mathrm e}^{-1}$ 解释为完整主参数的局部无偏协方差下界。若秩亏，应报告不可辨识方向；$\mathcal I_{\mathrm e}^{\dagger}$ 只用于满足相应可估条件的函数或已声明约束下的子空间，不能把零特征值方向解释为零误差界。 为了把这种近似表示写成可度量的量，定义最小投影角 % \begin{equation} \sin^2\theta_{\min} \triangleq - \min_{\delta\boldsymbol\eta\neq\mathbf 0} + \min_{\mathbf A\delta\boldsymbol\eta\neq\mathbf 0} \frac{ \left\| - \mathcal P_{\bar{\mathbf J}_{\psi}}^{\perp} - \bar{\mathbf J}_{\eta}\delta\boldsymbol\eta + \mathcal P_{\mathbf B}^{\perp}\mathbf A\delta\boldsymbol\eta \right\|_2^2 }{ \left\| - \bar{\mathbf J}_{\eta}\delta\boldsymbol\eta + \mathbf A\delta\boldsymbol\eta \right\|_2^2 }. \label{eq:A7_min_projection_angle} \end{equation} % 式~\eqref{eq:A7_efim_quadratic_projection} 表明，\gls{efim} 在某个方向上的有效信息正比于该方向 -得分在干扰子空间正交补上的残余能量。因此，当 $\theta_{\min}\approx0$ 时， -$\mathcal I_{\mathrm{e}}$ 会出现小特征值；若同时多星几何使其他方向的信息快速增加， -则 $\kappa(\mathcal I_{\mathrm{e}})$ 会显著变大。 +得分在实干扰子空间正交补上的残余能量。定义域排除了零原始得分；若存在非零 $\delta\boldsymbol\eta$ 使 $\mathbf A\delta\boldsymbol\eta=\mathbf0$，则已直接违反 \eqref{eq:A7_real_rank_condition}。$\theta_{\min}$ 衡量相对于原始得分能量的信息损失比例，实际小特征值还取决于得分尺度；比较条件数时应先统一参数单位并声明尺度归一化。 接下来把上述投影解释专门用于 \gls{doa}--Doppler 耦合。将 \gls{efim} 按 $\boldsymbol\eta=[\boldsymbol\xi^\Tran,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$ 分块为 @@ -1441,12 +1493,20 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则 \subsubsection{与 A7 中放松连续相位结果的关系} -式~\eqref{eq:A8_IP_FIM_etadotnu} 给出的扩展 \gls{fim}的投影型结构与\appref{sec:A7_dynDoaDopplerCrb} 中 放松 \gls{cp} 模型的结果形式一致，但两者对应的\emph{时间模板不同}： -\begin{itemize} - \item \appref{sec:A7_dynDoaDopplerCrb} 使用的是\gls{cp} 模板 $\mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}$，其中通过 $t_{p,t}=\tau_p+t$ 保留了跨帧绝对相位连续性； - \item 本附录使用的是\gls{ip} 模板 $\mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}$，其中帧间常相位项已被 $\vartheta_{\ell,p}$ 吸收，只保留帧内局部相位演化。 -\end{itemize} -因此，两类模型的差异不在 Schur 补的代数形式本身，而在模板里是否保留跨帧连续相位结构。这也正是正文中``\gls{cp} vs.~\gls{ip}''对比的统计本质。 +在相同 Doppler/rate 映射、噪声和采样配置下，放松 \gls{cp} 与 \gls{ip} 的模板只相差块常相位： +% +\begin{equation} + \begin{aligned} + c_{\ell,p}&\triangleq\nu_\ell\tau_p+\frac{1}{2}\dot\nu_\ell\tau_p^2,\\ + \mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}&=e^{jc_{\ell,p}}\mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}, + \qquad + \zeta^{\mathrm{ip}}_{\ell,p} + =\zeta^{\mathrm{cp,rel}}_{\ell,p}e^{jc_{\ell,p}}. + \end{aligned} + \label{eq:A8_rel_ip_equivalence} +\end{equation} +% +自由复增益使 \eqref{eq:A8_rel_ip_equivalence} 成为可逆的干扰参数重参数化。对主参数求导产生的附加项 $j\left(\dfrac{\partial c_{\ell,p}}{\partial x}\right)\mathbf g_{\ell,p}$ 落在块复增益的干扰切空间内，消元后两种写法给出相同的扩展 \gls{efim}，进一步消去 rate 后也相同。结构化 \gls{cp} 则限制同星各帧共享相位，不能逐块吸收这些常相位；其与 \gls{ip} 的信息差异来自这一约束。 从 \gls{efim} 病态的角度看，\gls{ip} 模型与 放松 \gls{cp} 模型共享同一类投影解释。若定义白化 Jacobian % @@ -1462,25 +1522,20 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则 \frac{\partial\boldsymbol\mu^{\mathrm{ip}}}{\partial\boldsymbol\psi^{\mathrm{ip}}_{\mu}}, \end{equation} % -则式~\eqref{eq:A8_IP_EFIM_eta} 等价于 +将这些矩阵按 \eqref{eq:A7_realified_jacobians} 实化为 $\mathbf A^{\mathrm{ip}}$ 与 $\mathbf B^{\mathrm{ip}}$，则式~\eqref{eq:A8_IP_EFIM_eta} 的广义 Schur 补形式为 % \begin{equation} \mathcal I^{\mathrm{ip}}_{\mathrm{e}} = - 2\Re\left\{ - (\bar{\mathbf J}^{\mathrm{ip}}_{\eta})^{\Herm} - \mathcal P^{\perp}_{\bar{\mathbf J}^{\mathrm{ip}}_{\psi}} - \bar{\mathbf J}^{\mathrm{ip}}_{\eta} - \right\}. + 2(\mathbf A^{\mathrm{ip}})^\Tran + \big(\mathbf I-\mathbf B^{\mathrm{ip}}(\mathbf B^{\mathrm{ip}})^\dagger\big) + \mathbf A^{\mathrm{ip}}. \label{eq:A8_IP_EFIM_projection} \end{equation} % 因此，\gls{ip} 模型下的弱可辨识方向仍由 -$\mathcal P^{\perp}_{\bar{\mathbf J}^{\mathrm{ip}}_{\psi}}\bar{\mathbf J}^{\mathrm{ip}}_{\eta}$ -的秩和最小奇异方向决定。与 A7 中的 放松 \gls{cp} 模型相比，二者的主要区别不在 -Schur 补代数形式，而在 $\mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}$ 使用局部时间索引并允许每个 -$(\ell,p)$ 块具有独立相位 $\vartheta_{\ell,p}$。这些自由相位会吸收跨帧绝对相位所携带的公共 -Doppler 截距信息，因此通常不会缓解 \gls{doa}--Doppler--rate 耦合，而是构成一个更保守的相干性基线。 +$\mathcal P^{\perp}_{\mathbf B^{\mathrm{ip}}}\mathbf A^{\mathrm{ip}}$ +的实秩和最小奇异方向决定。仅消去逐块自由复增益时，式~\eqref{eq:A8_IP_FIM_block_eff} 的复投影是合法简化；将实值 rate 一并消去时须使用实 Schur 补或 \eqref{eq:A8_IP_EFIM_projection}，完整主参数求逆仍需满足 \eqref{eq:A7_real_rank_condition}。在相同工作点，放开结构化 \gls{cp} 的公共相位约束只会减少或保持有效信息；这不意味着每个归一化耦合系数都会单调增大。 \subsubsection{关于噪声方差参数的说明} @@ -1495,4 +1550,64 @@ Doppler 截距信息，因此通常不会缓解 \gls{doa}--Doppler--rate 耦合 % 因此，将 $\sigma_\ell$ 视为未知量不会改变式~\eqref{eq:A8_IP_FIM_etadotnu} 与式~\eqref{eq:A8_IP_EFIM_eta} 的形式，只是在完整 \gls{fim}中附加一个与其他参数解耦的对角块。 -至此，动态多帧主线的两类性能界已经形成闭环： \appref{sec:A7_dynDoaDopplerCrb} 对应\gls{cp}/放松 \gls{cp} 模型，本附录对应\gls{ip} 基线模型。二者共享同一主参数 $\boldsymbol\eta$，因而可以直接比较相位连续性对 \gls{doa}--Doppler 信息保留能力的影响。 \ No newline at end of file +至此，动态多帧主线的两类性能界已经形成闭环： \appref{sec:A7_dynDoaDopplerCrb} 对应\gls{cp}/放松 \gls{cp} 模型，本附录对应\gls{ip} 基线模型。二者共享同一主参数 $\boldsymbol\eta$，因而可以直接比较相位连续性对 \gls{doa}--Doppler 信息保留能力的影响。 + +\subsection{全局方向与参考 Doppler 的局部误差指标} +\label{subsec:globalDirectionErrorMetrics} + +上述信息矩阵以弧度及归一化 Doppler 为参数单位。为将局部界与误差指标对应，设 \eqref{eq:A7_real_rank_condition} 成立，记 $\mathbf C_\eta=\mathcal I_{\mathrm e}^{-1}$，其角度子块为 $\mathbf C_\xi$。对局部无偏估计，角度分量方差界为 $[\mathbf C_\eta]_{11}$ 与 $[\mathbf C_\eta]_{22}$；周期方位角误差须先在真值附近展开。标准差界取方差界的平方根，度单位的方差界再乘 $(180/\pi)^2$。 + +公共方向夹角定义为 $\theta=\arccos(\mathbf u^\Tran\widehat{\mathbf u})$。在零误差处 $\arccos$ 的普通一阶导数不可用；由单位向量的切向变化得到局部二阶度量。令 $\mathbf U=\partial\mathbf u/\partial\boldsymbol\xi^\Tran$，则 +% +\begin{equation} + \mathbf U^\Tran\mathbf U + =\begin{bmatrix}\cos^2\beta&0\\0&1\end{bmatrix} + \triangleq\mathbf W_\xi, + \qquad + \theta^2 + =\delta\boldsymbol\xi^\Tran\mathbf W_\xi\delta\boldsymbol\xi + +o(\|\delta\boldsymbol\xi\|_2^2). + \label{eq:A7_direction_local_metric} +\end{equation} +% +因此，小误差、局部无偏条件下，夹角均方误差的局部二阶下界为 +% +\begin{equation} + B_\theta + \triangleq\operatorname{tr}(\mathbf W_\xi\mathbf C_\xi) + =\cos^2\beta[\mathbf C_\eta]_{11}+[\mathbf C_\eta]_{22}. + \label{eq:A7_direction_mse_bound} +\end{equation} +% +$B_\theta$ 的单位为 rad$^2$，对应的夹角均方根误差界为 $\sqrt{B_\theta}$；这不是对任意有限误差或有偏估计器的全局界。有偏估计的局部角度均方误差还含偏差二次项，须使用相应有偏界。在 $\beta=\pm\pi/2$ 处方位角坐标退化，应在二维正交切平面基下重新参数化并构造信息，不能用退化角坐标的伪逆解释完整方向精度。 + +参考 Doppler 的物理单位界由 \eqref{eq:sec5_physical_normalized_rates} 换算： +% +\begin{equation} + B_{f_{\mathrm{ref}}} + =\frac{[\mathbf C_\eta]_{33}}{(2\pi T_{\mathrm s})^2}, + \qquad + \sqrt{B_{f_{\mathrm{ref}}}} + =\frac{\sqrt{[\mathbf C_\eta]_{33}}}{2\pi T_{\mathrm s}}. + \label{eq:A7_physical_doppler_bound} +\end{equation} +% +两者单位分别为 Hz$^2$ 与 Hz。若另报告未知参考 rate 的精度，应从消去幅相干扰后的扩展四维协方差 $\mathbf C_{\mathrm{ext}}$ 取第 $4$ 个对角元，再除以 $(2\pi T_{\mathrm s}^2)^2$；rate 已知时不报告其估计方差。 + +导数实现若采用度、Hz 与 Hz/s，可用一次参数变换统一核对。令 +% +\begin{equation} + \begin{aligned} + \boldsymbol z + &=[\alpha_{\mathrm{deg}},\beta_{\mathrm{deg}},f_{\mathrm{ref}},\dot f_{\mathrm{ref}}]^\Tran,\\ + \boldsymbol\eta_{\mathrm{ext}}&=\mathbf S\boldsymbol z,\qquad + \mathbf S=\operatorname{diag}\left(\frac{\pi}{180},\frac{\pi}{180}, + 2\pi T_{\mathrm s},2\pi T_{\mathrm s}^2\right),\\ + \mathbf J_z&=\mathbf J_{\eta_{\mathrm{ext}}}\mathbf S,\qquad + \mathcal I_z=\mathbf S^\Tran\mathcal I_{\eta_{\mathrm{ext}}}\mathbf S,\qquad + \mathbf C_z=\mathbf S^{-1}\mathbf C_{\mathrm{ext}}\mathbf S^{-\Tran}. + \end{aligned} + \label{eq:A7_parameter_unit_transform} +\end{equation} +% +K 配置删除 rate 行列即可；这些关系要求比较同一均值模型、同一工作点和同一干扰参数配置。 diff --git a/parts/sec3_multiSatSingleUser.tex b/parts/sec3_multiSatSingleUser.tex index d7be688..b1a6169 100644 --- a/parts/sec3_multiSatSingleUser.tex +++ b/parts/sec3_multiSatSingleUser.tex @@ -32,6 +32,8 @@ % 其中 $\alpha$ 为全局方位角，$\beta$ 为全局俯仰角；多用户场景下可写为 $\boldsymbol\xi_k$，本节单用户主线中省略下标。 +本节及其多帧扩展以参考时刻的 \gls{eci} 系作为全局系，$\mathbf u$ 指向波的传播方向（源到接收端）。角度顺序为 $(\alpha,\beta)$，解析导数均按弧度计算；$\alpha$ 按 $2\pi$ 周期识别，$\beta\in[-\pi/2,\pi/2]$。在极点处方位角坐标退化，应改用局部切平面描述方向扰动。 + 设第 $\ell$ 颗卫星在参考时刻的位置与速度分别为 $\mathbf s_\ell$ 和 $\mathbf v_\ell$。其本地阵列坐标基为 % \begin{equation} @@ -110,7 +112,17 @@ % 其中 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 为参考时刻、参考卫星链路上的归一化 Doppler。多帧动态模型中主估计目标默认仍是同一个 $\boldsymbol\eta$，而参考链路 Doppler rate $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 放入干扰参数侧。 -在远场公共方向模型下，相对 Doppler 的几何含义可以显式写出。令 $\lambda_{\mathrm c}$ 为载波波长，$\epsilon_D\in\{+1,-1\}$ 表示所采用的上行/下行传播方向符号约定，则第 $\ell$ 条链路相对于参考链路的物理 FDOA 为 +在远场公共方向模型下，相对 Doppler 的几何含义可以显式写出。采用正时间指数载波约定，传播平面波在位置 $\mathbf r$、物理时刻 $t_{\mathrm{phys}}$ 的相位含 $2\pi f_{\mathrm c}t_{\mathrm{phys}}-(2\pi/\lambda_{\mathrm c})\mathbf r^\Tran\mathbf u$，其中 $f_{\mathrm c}$ 与 $\lambda_{\mathrm c}$ 分别为载频与波长。因此，第 $m$ 个阵元相对于阵列原点的本地位移 $\mathbf r_{\ell,m}^{\mathrm{loc}}$ 对应 +% +\begin{equation} + [\mathbf a_\ell]_m + =\exp\left\{-j\frac{2\pi}{\lambda_{\mathrm c}} + (\mathbf r_{\ell,m}^{\mathrm{loc}})^\Tran + \boldsymbol\Omega_\ell^\Tran\mathbf u\right\}. + \label{eq:sec3_propagation_steering} +\end{equation} +% +这与第~\ref{subsec:single_arr_array_model} 小节的负指数阵列模板一致。接收端沿传播方向运动时，相位时间导数降低，故在基带 $e^{j2\pi f t_{\mathrm{phys}}}$ 约定下取 $\epsilon_D=-1$。保留 $\epsilon_D$ 作为符号约定记号，则第 $\ell$ 条链路相对于参考链路的物理 FDOA 为 % \begin{equation} \Delta f_\ell(\boldsymbol\xi) @@ -136,7 +148,7 @@ \label{eq:sec3_dnu_projection} \end{equation} % -因此，$\Delta\nu_\ell(\boldsymbol\xi)$ 是已知相对速度在共享全局方向上的投影，而不是额外独立的 Doppler 参数。该映射要求相对星历和频率标定可用；若每条链路还含未标定的独立频率偏置，应将该偏置另列为干扰参数，不能继续把 $\Delta\nu_\ell$ 视为已知几何量。有限距离时应将共同方向替换为逐星视线，所需的 FDOA 表达式见式~\eqref{eq:sec7_dnu_pos}。 +因此，$\Delta\nu_\ell(\boldsymbol\xi)$ 是已知相对速度在共享全局方向上的投影，而不是额外独立的 Doppler 参数。该映射要求相对星历和频率标定可用；若每条链路还含未标定的独立频率偏置，应将该偏置另列为干扰参数，不能继续把 $\Delta\nu_\ell$ 视为已知几何量。若使用反向视线 $\mathbf w=-\mathbf u$，则同一物理模型必须同时改写为空间正指数和相对 Doppler 的正号投影，不能只翻转一个符号。有限距离位置模型另有逐星视线定义，见第~\ref{sec:userPositioning} 节。 给定 $(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}},\dot\nu_{\mathrm{ref}})$ 后，其余卫星的链路参数统一通过几何映射表示为 % diff --git a/parts/sec5_multiFrameCp.tex b/parts/sec5_multiFrameCp.tex index fb1b4ed..8dea9c2 100644 --- a/parts/sec5_multiFrameCp.tex +++ b/parts/sec5_multiFrameCp.tex @@ -24,6 +24,52 @@ % 由已知几何唯一诱导，沿用第~\ref{subsec:refSatParameterization} 小节的参考星参数化。 +物理参考时刻 $t_{\mathrm{ref}}$ 取首帧首采样点，物理时间为 $t_{\mathrm{phys}}=t_{\mathrm{ref}}+T_{\mathrm s}t_{p,t}$；卫星速度、加速度与姿态均在同一参考时刻取值。若物理 Doppler 及其对秒的导数分别记为 $f_\ell$（Hz）和 $\dot f_\ell$（Hz/s），则 +% +\begin{equation} + \nu_\ell=2\pi T_{\mathrm s}f_\ell, + \qquad + \dot\nu_\ell=2\pi T_{\mathrm s}^{2}\dot f_\ell. + \label{eq:sec5_physical_normalized_rates} +\end{equation} +% +这里 $\dot\nu_\ell$ 是相对于采样点索引的 Doppler rate。令 $\Delta\mathbf v_\ell=\mathbf v_\ell-\mathbf v_{\ell_{\mathrm{ref}}}$、$\Delta\mathbf a_\ell^{\mathrm{orb}}=\mathbf a_\ell^{\mathrm{orb}}-\mathbf a_{\ell_{\mathrm{ref}}}^{\mathrm{orb}}$，其中 $\mathbf a_\ell^{\mathrm{orb}}$ 为轨道加速度向量。对相对速度投影按物理时间求导，有 +% +\begin{equation} + \frac{\mathrm d}{\mathrm d t_{\mathrm{phys}}}\Delta f_\ell + =\frac{\epsilon_D}{\lambda_{\mathrm c}} + \left[ + (\Delta\mathbf a_\ell^{\mathrm{orb}})^\Tran\mathbf u + +\Delta\mathbf v_\ell^\Tran + \frac{\mathrm d\mathbf u}{\mathrm d t_{\mathrm{phys}}} + \right]. + \label{eq:sec5_relative_rate_general} +\end{equation} +% +本节固定全局方向，采用 $\mathrm d\mathbf u/\mathrm d t_{\mathrm{phys}}=\mathbf0$ 的局部模型，故 +% +\begin{equation} + \Delta\dot\nu_\ell(\boldsymbol\xi) + =\frac{2\pi T_{\mathrm s}^{2}\epsilon_D}{\lambda_{\mathrm c}} + (\Delta\mathbf a_\ell^{\mathrm{orb}})^\Tran\mathbf u(\boldsymbol\xi), + \qquad \epsilon_D=-1. + \label{eq:sec5_relative_rate_fixed_direction} +\end{equation} +% +若实际方向随时间变化，被省略的项须另行评估；空间导向变化可忽略本身并不保证该项的相位贡献可忽略。其在局部二次相位中的误差量级为 +% +\begin{equation} + \frac{\pi}{\lambda_{\mathrm c}} + \max_\ell\left| + \Delta\mathbf v_\ell^\Tran + \frac{\mathrm d\mathbf u}{\mathrm d t_{\mathrm{phys}}} + \right| + \left(T_{\mathrm s}\max_{p,t}|t_{p,t}|\right)^2. + \label{eq:sec5_direction_rate_phase_error} +\end{equation} +% +采用固定方向近似时，应使 \eqref{eq:sec5_direction_rate_phase_error} 远小于 $1$ rad；各导数量在参考时刻评估，该局部条件与后述高阶时间截断条件分别检查。 + \subsection{连续相位多帧信号模型（CP）} \label{subsec:dynamicCpModel} @@ -238,7 +284,7 @@ $\chi_\ell$ 为第 $\ell$ 颗卫星在参考时刻的\emph{公共相位}，由 \sum_{\ell=0}^{L-1}M_\ell PT\log \mathcal R^{\mathrm{ip}}_\ell. \end{equation} % -三种准则的差别在于复增益处理方式：结构化 \gls{cp}（CP-str）保留跨帧公共相位约束；放松 \gls{cp}（CP-rel）放松为每块自由复系数（仍用 \gls{cp} 相位模板）；\gls{ip} 则放弃跨帧绝对相位、采用块独立相位模板。逐项闭式消元、匹配统计量 $z^{\mathrm{cp/ip}}_{\ell,p}$ 与归一化因子 $d^{\mathrm{cp/ip}}_{\ell,p}$ 的定义、各种残差 $\mathcal R^{\mathrm{cp,str/rel/ip}}_\ell$ 的具体表达见\appref{sec:multiFrameCrb}。 +结构化 \gls{cp}（CP-str）保留跨帧公共相位约束；放松 \gls{cp}（CP-rel）与 \gls{ip} 均允许每块自由复增益。在相同 Doppler/rate 映射与观测配置下，后两者的时间模板仅相差可被块增益吸收的常相位，集中准则和主参数 \gls{efim} 相同，参数对应见 \eqref{eq:A8_rel_ip_equivalence}。逐项闭式消元、匹配统计量 $z^{\mathrm{cp/ip}}_{\ell,p}$ 与归一化因子 $d^{\mathrm{cp/ip}}_{\ell,p}$ 的定义、各种残差 $\mathcal R^{\mathrm{cp,str/rel/ip}}_\ell$ 的具体表达见\appref{sec:multiFrameCrb}。 \subsection{Doppler rate 处理：CP-K 与 CP-U}