From 48968d24b9997291fe6647ea12b7329a7f706d00 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Josh Gao Date: Tue, 23 Jun 2026 18:12:18 +0800 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?content(app-G):=20=E6=98=8E=E7=A1=AE=E6=97=B6?= =?UTF-8?q?=E5=BB=B6=E5=AF=BC=E6=95=B0=E5=8F=96=E5=B8=A6=E9=99=90=E7=BA=A6?= =?UTF-8?q?=E5=AE=9A(MCRB=20=E6=9B=B2=E7=8E=87=E5=8F=A3=E5=BE=84)?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit 承 code MCRB 曲率被块边界伪影主导、survey 定导频非块周期: 附录 G 在 q^del 定义处写明 ṡ(及 MCRB 曲率二阶导 s̈)取导频 带限时间导数,时延/TDOA 信息=导频导数能量=RMS/Gabor 带宽², 不可把有限观测窗强当周期用循环导数(否则窗边界注入非物理 导数奇异、虚增时延信息);附录 H MCRB 三明治处指明二阶 模型导数 ∂²μ 的 s̈ 按 G 带限约定评估。措辞 paper-agnostic (只述带限物理、不提具体导频体制)。 --- parts/G-userPositionCrb.tex | 2 +- parts/H-timestampErrCrb.tex | 2 +- 2 files changed, 2 insertions(+), 2 deletions(-) diff --git a/parts/G-userPositionCrb.tex b/parts/G-userPositionCrb.tex index 47b7400..65c50b3 100644 --- a/parts/G-userPositionCrb.tex +++ b/parts/G-userPositionCrb.tex @@ -49,7 +49,7 @@ Doppler 部分，由 $\nu_\ell=\nu_{\mathrm{ref}}+\Delta\nu_\ell(\mathbf p)$ 与 \label{eq:H_dtaudp} \end{equation} % -即差分时延对位置的灵敏度是两条视线\emph{单位向量之差}，远场 $\mathbf u_\ell\to\mathbf u_{\ell_{\mathrm{ref}}}$ 时同样趋零，与角度、Doppler 共享同一径向退化。导频包络对时延的导数记为时延模板 $[\mathbf q_\ell^{\mathrm{del}}]_t\triangleq\dfrac{\partial[\mathbf q_\ell]_t}{\partial\tau_\ell}=-\dot s(t-\tau_\ell)\,e^{j\nu_\ell t}$（$\dot s$ 为导频时间导数，与\appref{subsec:F2_schurDelta} 的 $\mathbf q^{\mathrm{te}}$ 共用同一包络导数）。时间模板现同时依赖时延与 Doppler，链式导数为 +即差分时延对位置的灵敏度是两条视线\emph{单位向量之差}，远场 $\mathbf u_\ell\to\mathbf u_{\ell_{\mathrm{ref}}}$ 时同样趋零，与角度、Doppler 共享同一径向退化。导频包络对时延的导数记为时延模板 $[\mathbf q_\ell^{\mathrm{del}}]_t\triangleq\dfrac{\partial[\mathbf q_\ell]_t}{\partial\tau_\ell}=-\dot s(t-\tau_\ell)\,e^{j\nu_\ell t}$（$\dot s$ 为导频时间导数，与\appref{subsec:F2_schurDelta} 的 $\mathbf q^{\mathrm{te}}$ 共用同一包络导数）。这里 $\dot s$ 取导频的\emph{带限}时间导数：时延与 \gls{tdoa} 信息正源于导频导数能量 $\sum_t|\dot s(t)|^2$（即 RMS/Gabor 带宽的平方），故 $\dot s$（以及 \gls{mcrb} 曲率所需的二阶导数 $\ddot s$）须按导频真实带限谱评估，而不可把有限观测窗强当成一个周期、改用循环导数约定——后者会在窗边界注入非物理的导数奇异、虚增时延信息。时间模板现同时依赖时延与 Doppler，链式导数为 % \begin{equation} \frac{\partial\mathbf q_\ell}{\partial p_i} diff --git a/parts/H-timestampErrCrb.tex b/parts/H-timestampErrCrb.tex index 20d211e..2e0f60d 100644 --- a/parts/H-timestampErrCrb.tex +++ b/parts/H-timestampErrCrb.tex @@ -352,7 +352,7 @@ $\boldsymbol\delta=[\delta_1]$ 退化为标量，\eqref{eq:F2_jdelta} 中 \boldsymbol\mu^0-\boldsymbol\mu(\boldsymbol\theta^\star). \end{align} % -$\mathbf B$ 即模型 \gls{fim}（\eqref{eq:A6_fim_general} 的 Slepian--Bangs 形式）在伪真值处求值——伪真值处的法方程使得分的确定性部分为零，故 $\mathbf B$ 仅由随机部分贡献；$\mathbf A$ 在 $\mathbf B$ 上减去``曲率 $\times$ 残差''修正，残差 $\mathbf r^\star$ 是误指定流形拟合不到的那部分 $\boldsymbol\delta_0$ 扰动。任意对伪真值无偏的估计器满足 $\operatorname{Cov}(\widehat{\boldsymbol\theta})\succeq\mathbf A^{-1}\mathbf B\mathbf A^{-1}$，$\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ 的 \gls{mcrb} 取该矩阵对应 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ 的子块；叠加偏置 \eqref{eq:F5_bias} 即得正文绕真值的总误差界 \eqref{eq:sec5_mcrb}。 +$\mathbf B$ 即模型 \gls{fim}（\eqref{eq:A6_fim_general} 的 Slepian--Bangs 形式）在伪真值处求值——伪真值处的法方程使得分的确定性部分为零，故 $\mathbf B$ 仅由随机部分贡献；$\mathbf A$ 在 $\mathbf B$ 上减去``曲率 $\times$ 残差''修正，残差 $\mathbf r^\star$ 是误指定流形拟合不到的那部分 $\boldsymbol\delta_0$ 扰动；其中二阶模型导数 $\partial^2_{\boldsymbol\theta\boldsymbol\theta}\boldsymbol\mu$ 含导频对时延的二阶导数 $\ddot s$，须按\appref{sec:userPositionCrb} 的带限约定评估、同样不用循环/块周期约定，否则该曲率项会被观测窗边界的导数奇异主导而失去物理意义。任意对伪真值无偏的估计器满足 $\operatorname{Cov}(\widehat{\boldsymbol\theta})\succeq\mathbf A^{-1}\mathbf B\mathbf A^{-1}$，$\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ 的 \gls{mcrb} 取该矩阵对应 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ 的子块；叠加偏置 \eqref{eq:F5_bias} 即得正文绕真值的总误差界 \eqref{eq:sec5_mcrb}。 \paragraph{一致性与稳健性} 当 $\boldsymbol\delta_0\to\mathbf 0$：残差 $\mathbf r^\star\to\mathbf 0$ 故 $\mathbf A\to\mathbf B=\mathcal I$、偏置 $\mathbf b\to\mathbf 0$，\eqref{eq:sec5_mcrb} 退回同步基线 \gls{crb} $(\mathcal I_{\eta\eta}')^{-1}$，与\appref{subsec:F2_schurDelta} 在 $\delta=0$ 处的结果一致。小误差区 $\mathbf r^\star=O(\boldsymbol\delta_0)$，故方差项 $\mathbf A^{-1}\mathbf B\mathbf A^{-1}=(\mathcal I_{\eta\eta}')^{-1}+O(\boldsymbol\delta_0)$、主导误差是偏置外积 $\mathbf b\mathbf b^\Tran=O(\|\boldsymbol\delta_0\|^2)$。两条路线由此对照清晰：估计 $\boldsymbol\delta$（\appref{subsec:F2_schurDelta}）以\emph{方差}为代价——\gls{efim} 被秩一项 $\mathbf v_{\eta\delta,\ell}'\mathbf v_{\eta\delta,\ell}'^{\,\Tran}/[\mathcal I_{\delta\delta}']_{\ell\ell}$ 扣减；忽略 $\boldsymbol\delta$（本小节）以\emph{偏置}为代价——方差几乎不变但叠加 $\mathbf b\mathbf b^\Tran$。