diff --git a/parts/D-singleArrayCrb.tex b/parts/D-singleArrayCrb.tex index b0098bc..9af5745 100644 --- a/parts/D-singleArrayCrb.tex +++ b/parts/D-singleArrayCrb.tex @@ -1,9 +1,14 @@ \section{单阵列 CRB 汇总} \label{sec:singleArrayCrb} -本附录汇总单阵列模型下的三种 \gls{crb} 推导:确定信号 \gls{doa}、确定信号 \gls{doa}--Doppler、随机信号 \gls{doa}。 -三者共享 \gls{fim} 构造 + Schur 补的统一推导框架,集中放置便于交叉对照;通用的复 Gauss 模型 \gls{crb} 与 Slepian--Bangs 公式参见 \cite{kayFundamentalsStatisticalSignal1993,stoicaMusicMaximumLikelihood1989,stoicaPerformanceStudyConditional1990}。 -其中确定信号 \gls{doa} 与确定信号 \gls{doa}--Doppler 是后续多星模型的直接基础;随机信号 \gls{doa} 作为对照支线保留,多星主线不再使用。 +\begin{mdquote} +\noindent\textbf{本附录设定}:单阵列模型下三种 \gls{crb} 的汇总——确定信号 \gls{doa}、确定信号 \gls{doa}--Doppler、随机信号 \gls{doa},共享 \gls{fim} 构造 + Schur 补框架,集中便于交叉对照。 +\begin{itemize}[leftmargin=1.5em,itemindent=0pt] + \item \emph{主参数} \gls{doa} 角(含 Doppler 模型再加 $\nu$);\emph{干扰参数} 确定信号模型为复增益与噪声方差、随机信号模型为信号与噪声协方差。 + \item \emph{本附录给出} 三种模型的 \gls{fim} 逐元构造与 Schur 补消去干扰参数的闭式 \gls{crb}(通用复 Gauss \gls{crb} 与 Slepian--Bangs 公式见 \cite{kayFundamentalsStatisticalSignal1993,stoicaMusicMaximumLikelihood1989,stoicaPerformanceStudyConditional1990});前两者是多星主线的直接基础,随机信号 \gls{doa} 作对照支线保留。 + \item \emph{本附录局部符号} $\mathcal I$:\gls{fim};$\mathbf I$:单位阵;$\mathcal P$:投影矩阵。完整索引见\appref{sec:assumptionsAndNotation}。 +\end{itemize} +\end{mdquote} \subsection{确定信号 DoA CRB} \label{sec:det_doa_crb} diff --git a/parts/E-multiSatStaticCrb.tex b/parts/E-multiSatStaticCrb.tex index 06fd5de..547aa81 100644 --- a/parts/E-multiSatStaticCrb.tex +++ b/parts/E-multiSatStaticCrb.tex @@ -1,10 +1,14 @@ \section{多星静态模型 CRB} \label{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb} -本附录给出与正文第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst} 节、第~\ref{sec:multiSatMultiUser} 节相对应的多星静态 \gls{doa}--Doppler 联合估计 \gls{crb}。E.1 给出单用户多星基线(沿用第~\ref{subsec:staticBlockModel} 小节的模型),E.2 给出多用户扩展(沿用第~\ref{sec:multiSatMultiUser} 节的模型)。两者共享 ``联合堆叠 + 复增益 Schur 补'' 的推导框架,差别仅在均值向量参数化与 Jacobian 维度。 - -本文统一采用 $\mathcal I$ 表示 \gls{fim},$\mathbf I$ 表示单位阵,$\mathcal P$ 表示投影矩阵。 -正文中的静态干扰参数 $\boldsymbol\psi$ 同时包含复增益和噪声方差。本附录在构造主参数 \gls{efim} 时,只显式保留影响均值向量的复增益干扰参数;噪声方差只进入协方差,并与均值参数 Fisher 块解耦,因此不改变下面关于复增益的 Schur 补形式。 +\begin{mdquote} +\noindent\textbf{本附录设定}:对应正文第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst}~节与第~\ref{sec:multiSatMultiUser}~节的多星静态 \gls{doa}--Doppler 联合估计 \gls{crb}(E.1 单用户多星基线、E.2 多用户扩展),共享``联合堆叠 + 复增益 Schur 补''框架,差别仅在均值参数化与 Jacobian 维度。 +\begin{itemize}[leftmargin=1.5em,itemindent=0pt] + \item \emph{主参数} 各用户 \gls{doa}--Doppler(E.2 为 $K$ 用户堆叠);\emph{干扰参数} $\boldsymbol\psi$ 含各星复增益与噪声方差,构造 \gls{efim} 时只显式保留影响均值的复增益,噪声方差只进入协方差、与均值 Fisher 块解耦,不改 Schur 补形式。 + \item \emph{本附录给出} 主参数 \gls{efim} 的投影--Gram 形式与单/多用户 \gls{crb}。 + \item \emph{本附录局部符号} $\mathcal I$:\gls{fim};$\mathbf I$:单位阵;$\mathcal P$:投影矩阵。完整索引见\appref{sec:assumptionsAndNotation}。 +\end{itemize} +\end{mdquote} \subsection{单用户多星 CRB} \label{subsec:E1_singleUserMultiSatCrb} diff --git a/parts/F-multiFrameCrb.tex b/parts/F-multiFrameCrb.tex index deb02d7..a9ae40b 100644 --- a/parts/F-multiFrameCrb.tex +++ b/parts/F-multiFrameCrb.tex @@ -1,9 +1,14 @@ \section{多帧动态模型 CRB} \label{sec:multiFrameCrb} -本附录汇总多帧动态多星模型下的两类 \gls{crb} 推导:\gls{cp} 模型和\gls{ip} 基线模型。 -两者共享主参数 $\boldsymbol\eta=[\alpha,\beta,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$ 与 Doppler rate $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 作为干扰参数的处理方式,差别在于跨帧相位结构:\gls{cp} 模型保留同星公共相位约束,\gls{ip} 模型放弃这一约束。 -通过对比 \gls{cp} 与 \gls{ip} 的 \gls{efim} 可以量化跨帧相位连续性所携带的信息量。 +\begin{mdquote} +\noindent\textbf{本附录设定}:对应正文第~\ref{sec:dynamicDoaDopplerEst}~节的多帧动态多星模型,汇总 \gls{cp} 与 \gls{ip} 基线两类 \gls{crb};二者差别在跨帧相位结构——\gls{cp} 保留同星公共相位约束、\gls{ip} 放弃之,对比二者可量化跨帧相位连续性携带的信息量。 +\begin{itemize}[leftmargin=1.5em,itemindent=0pt] + \item \emph{主参数} $\boldsymbol\eta=[\alpha,\beta,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$(全局角与参考 Doppler);\emph{干扰参数} Doppler rate $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 与各观测块复增益 $\zeta_{\ell,p}$。 + \item \emph{本附录给出} \gls{cp} 与 \gls{ip} 的 \gls{efim} 及其对比(含保留 \gls{cp} 模板、复系数放松的基线)。 + \item \emph{本附录局部符号} $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$:参考 Doppler rate;$\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp,rel}}$:放松 \gls{cp} 模型中视为自由的复干扰系数。完整索引见\appref{sec:assumptionsAndNotation}。 +\end{itemize} +\end{mdquote} \subsection{连续相位 CP 模型 EFIM} \label{sec:A7_dynDoaDopplerCrb} diff --git a/parts/G-userPositionCrb.tex b/parts/G-userPositionCrb.tex index 65c50b3..aa7e63f 100644 --- a/parts/G-userPositionCrb.tex +++ b/parts/G-userPositionCrb.tex @@ -1,7 +1,14 @@ \section{用户位置 CRB} \label{sec:userPositionCrb} -本附录给出第~\ref{sec:userPositioning} 节位置参数化模型的 \gls{crb}。整套构造——联合堆叠、复增益 Schur 补、\gls{efim} 投影--Gram——与\appref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb} 完全一致,唯一需要重写的是主参数 Jacobian:把对全局角 $(\alpha,\beta)$ 的导数换成对位置 $\mathbf p$ 的导数。下面只给出这一差异部分,其余直接引用附录 E 的结果。 +\begin{mdquote} +\noindent\textbf{本附录设定}:对应正文第~\ref{sec:userPositioning}~节的位置参数化模型 \gls{crb}。整套构造(联合堆叠、复增益 Schur 补、\gls{efim} 投影--Gram)与\appref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb} 一致,唯一重写主参数 Jacobian:全局角 $(\alpha,\beta)$ 的导数换成对位置 $\mathbf p$ 的导数。 +\begin{itemize}[leftmargin=1.5em,itemindent=0pt] + \item \emph{主参数} $\boldsymbol\eta_{\mathrm{pos}}=[\mathbf p^\Tran,\nu_{\mathrm{ref}},\tau_{\mathrm{ref}}]^\Tran\in\mathbb R^5$(用户位置与参考 Doppler、参考时延);\emph{干扰参数} 同附录 E(各星复增益与噪声方差)。 + \item \emph{本附录给出} 位置对视线与本地角、差分 Doppler、传播时延的链式 Jacobian,及由此的位置 \gls{crb};其余直接引用附录 E 的结果。 + \item \emph{本附录局部符号} $\mathbf u_\ell$:星 $\ell$ 单位视线;$\mathbf r_\ell=\mathbf p-\mathbf s_\ell$:星--用户位移;$\mathbf q_\ell^{\mathrm{del}}$:时延模板。完整索引见\appref{sec:assumptionsAndNotation}。 +\end{itemize} +\end{mdquote} \subsection{位置对视线与本地角的链式导数} diff --git a/parts/H-timestampErrCrb.tex b/parts/H-timestampErrCrb.tex index 53d550d..a4993b2 100644 --- a/parts/H-timestampErrCrb.tex +++ b/parts/H-timestampErrCrb.tex @@ -1,7 +1,14 @@ \section{时间戳误差下的 EFIM 分析} \label{sec:timestampErrCrb} -本附录沿用正文第~\ref{sec:timestampError} 节的部分相干观测模型,补充关于主参数 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}\in\mathbb R^{3K}$ 的 \gls{efim} 分块结构、Schur complement 消去 $\boldsymbol\delta$ 的解析形式、数值评估框架,以及 $K=1, L=2$ 最简情形的解析推导。 +\begin{mdquote} +\noindent\textbf{本附录设定}:对应正文第~\ref{sec:timestampError}~节的部分相干观测模型。 +\begin{itemize}[leftmargin=1.5em,itemindent=0pt] + \item \emph{主参数} $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}\in\mathbb R^{3K}$($K$ 个用户的 \gls{doa}--Doppler);\emph{干扰参数} 每星时间戳偏移 $\delta_\ell$(参考星取 $\delta=0$)、复增益与噪声方差 $\boldsymbol\zeta_\ell$。 + \item \emph{本附录给出} $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ 的 \gls{efim} 分块结构、Schur 补消去 $\boldsymbol\delta$ 的解析形式、数值评估框架、$K{=}1,\,L{=}2$ 最简情形的解析推导,以及忽略 $\boldsymbol\delta$ 的 \gls{mcrb};门限以下的大误差与模糊地板见\appref{sec:thresholdBounds}。 + \item \emph{本附录局部符号} $\delta_\ell$:星 $\ell$ 的时间戳偏移(采样单位);$\boldsymbol\zeta_\ell$:星 $\ell$ 的复增益与噪声方差;上标 $\mathrm{pt}$:伪真值。完整索引见\appref{sec:assumptionsAndNotation}。 +\end{itemize} +\end{mdquote} 小误差区与大误差区的划分仍按正文第~\ref{subsec:timestampApplicability} 小节的定义;下文若无特别说明,默认在小误差区作 Taylor 展开。 \subsection{Fisher 信息矩阵分块结构} @@ -265,7 +272,7 @@ $\boldsymbol\delta=[\delta_1]$ 退化为标量,\eqref{eq:F2_jdelta} 中 \subsection{忽略时间戳误差的 MCRB} \label{subsec:F5_mcrb} -\appref{subsec:F2_schurDelta} 给出了把 $\boldsymbol\delta$ 当未知干扰参数\emph{估计}时主参数 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ 的 \gls{efim}。本小节处理互补情形:估计器假设星间已同步、令 $\delta_\ell\equiv 0$ 而\emph{不}把 $\boldsymbol\delta$ 纳入模型,真值却含 $\boldsymbol\delta^\star\neq\mathbf 0$。这是一类均值模型误指定,其下界为 \gls{mcrb}~\cite{richmondParameterBoundsEstimation2015}。沿用\appref{subsec:F1_fimBlockStruct} 的记号,记 $\boldsymbol\eta^\star$、$\boldsymbol\eta^{\mathrm{pt}}$ 分别为 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ 的真值与伪真值;噪声方差 $\{\sigma_\ell\}$ 在真值与假设模型中相同、仅进入协方差,按\appref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb} 与均值参数解耦,下文固定 $\mathbf R=\operatorname{blkdiag}(\sigma_\ell\mathbf I)$ 只分析均值参数。 +\appref{subsec:F2_schurDelta} 给出了把 $\boldsymbol\delta$ 当未知干扰参数\emph{估计}时主参数 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ 的 \gls{efim}。本小节处理互补情形:估计器假设星间已同步、令 $\delta_\ell\equiv 0$ 而\emph{不}把 $\boldsymbol\delta$ 纳入模型,真值却含 $\boldsymbol\delta^\star\neq\mathbf 0$。这是一类均值模型误指定,其下界为 \gls{mcrb}~\cite{richmondParameterBoundsEstimation2015}。沿用\appref{subsec:F1_fimBlockStruct} 的记号,记 $\boldsymbol\eta^\star$、$\boldsymbol\eta^{\mathrm{pt}}$ 分别为 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ 的真值与伪真值(pseudo-truth);噪声方差 $\{\sigma_\ell\}$ 在真值与假设模型中相同、仅进入协方差,按\appref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb} 与均值参数解耦,下文固定 $\mathbf R=\operatorname{blkdiag}(\sigma_\ell\mathbf I)$ 只分析均值参数。 \paragraph{误指定模型与伪真值} 真实观测均值记为 $\boldsymbol\mu_\ell^\star\triangleq\boldsymbol\mu_\ell(\boldsymbol\eta^\star,\delta_\ell^\star,\boldsymbol\zeta_\ell^\star)$;假设模型族把均值限制在 $\delta_\ell=0$ 流形上,$\boldsymbol\mu_\ell(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}},0,\boldsymbol\zeta_\ell)=\mathbf G_\ell(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}})\boldsymbol\zeta_\ell$($\mathbf G_\ell$ 在 $\delta=0$ 处求值)。两模型协方差相同,\gls{kl} 散度退化为白化均值失配 diff --git a/parts/I-dictSeparationAmp.tex b/parts/I-dictSeparationAmp.tex index f4f3c6c..d510758 100644 --- a/parts/I-dictSeparationAmp.tex +++ b/parts/I-dictSeparationAmp.tex @@ -1,7 +1,16 @@ \section{字典化多用户分离与消息传递} \label{sec:dictSeparationAmp} -本附录给出第~\ref{sec:multiSatMultiUser} 节多用户分离的一条低复杂度等价路径。正文把各用户的延时、Doppler、来向作为连续参数联合估计,集中似然对各星 $\mathbf G_\ell$ 列空间投影;其每次目标评估的复杂度随用户数 $K$ 三次增长,且依赖良好初始化。这里把延时--Doppler 平面离散为网格,将分离化为对一个\emph{已知}字典的行稀疏恢复,再用消息传递求解。它与正文分离给出同一逐用户输出,但把每星每次迭代的代价降到近线性于问题规模。 +\begin{mdquote} +\noindent\textbf{本附录设定}:对应正文第~\ref{sec:multiSatMultiUser}~节多用户分离的低复杂度等价路径——把延时--Doppler 平面离散为网格,将分离化为对\emph{已知}字典的行稀疏恢复。 +\begin{itemize}[leftmargin=1.5em,itemindent=0pt] + \item \emph{估计问题} 每星多测量向量(MMV)观测 $\mathbf Y_\ell^\Tran=\mathbf Q_\ell\mathbf X_\ell+\mathbf N_\ell^\Tran$ 的行稀疏恢复(码已知、全活跃 $\Rightarrow$ 组内一选一);支撑给延时--Doppler、行值给空间信道。 + \item \emph{本附录给出} 近似消息传递(AMP)与稀疏贝叶斯学习(SBL)不动点、利用组结构的去噪,与正文逐用户充分统计量口径一致。 + \item \emph{本附录局部符号} $\mathbf Q_\ell$:延时--Doppler 字典;$\mathbf X_\ell$:行稀疏系数;$\widehat{\mathbf h}_{\ell,k}$:用户空间信道。完整索引见\appref{sec:assumptionsAndNotation}。 +\end{itemize} +\end{mdquote} + +正文把各用户的延时、Doppler、来向作为连续参数联合估计,集中似然对各星 $\mathbf G_\ell$ 列空间投影,每次目标评估的复杂度随用户数 $K$ 三次增长且依赖良好初始化。本附录的字典化路径把延时--Doppler 平面离散为网格,将分离化为对一个\emph{已知}字典的行稀疏恢复,再用消息传递求解;它与正文分离给出同一逐用户输出,却把每星每次迭代的代价降到近线性于问题规模。 \subsection{延时--多普勒字典与稀疏测量模型} \label{subsec:I1_dictModel} diff --git a/parts/J-thresholdBounds.tex b/parts/J-thresholdBounds.tex index f95e823..cf3f7b3 100644 --- a/parts/J-thresholdBounds.tex +++ b/parts/J-thresholdBounds.tex @@ -1,7 +1,16 @@ \section{门限区界:误指定 Barankin 与 Ziv--Zakai} \label{sec:thresholdBounds} -\appref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb}--\appref{sec:timestampErrCrb} 的 \gls{crb}、\gls{efim} 与 \gls{mcrb} 都是\emph{局部}(小误差)界:它们刻画估计落入正确盆地后的方差,默认似然在真值(或伪真值)邻域内单峰。当信噪比降到门限以下、或参数空间存在模糊(如周期多帧的 Doppler 梳齿、或少用户下``位置--时间戳''混淆方向上的近简并)时,估计会跳到错误盆地、产生局部界无法预测的\emph{大误差}~\cite{athleyThresholdRegionPerformance2005}。本附录补两条刻画门限区的界:\emph{误指定 Barankin 界}(把\appref{subsec:F5_mcrb} 的 \gls{mcrb} 延伸到门限)与 \emph{Ziv--Zakai 界}(一条捕获模糊地板的贝叶斯界)。二者与前三档合成界谱系 $\gls{crb}\preceq\gls{efim}\to\gls{mcrb}\to\{\text{Barankin},\ \text{ZZB}\}$。 +\begin{mdquote} +\noindent\textbf{本附录设定}:对应正文第~\ref{sec:timestampError}~节的含时间戳位置模型,承\appref{subsec:F5_mcrb} 的 \gls{mcrb}。 +\begin{itemize}[leftmargin=1.5em,itemindent=0pt] + \item \emph{补充对象} \gls{crb}/\gls{efim}/\gls{mcrb}(均为局部小误差界)之外的\emph{门限区}:低信噪比或参数模糊下的大误差与模糊地板。 + \item \emph{本附录给出} 误指定 Barankin 界(检验点法,定门限阈值)与 Ziv--Zakai 界(贝叶斯,捕获模糊地板、含少用户的基本极限)。 + \item \emph{本附录局部符号} $\boldsymbol\eta_i$、$L_i$:检验点与其似然比;$P_{\min}$:二元检验最小错误概率;$D^2$:去相关度(白化均值分离);$\mathcal V\{\cdot\}$:填谷算子。完整索引见\appref{sec:assumptionsAndNotation}。 +\end{itemize} +\end{mdquote} + +\appref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb}--\appref{sec:timestampErrCrb} 的 \gls{crb}、\gls{efim} 与 \gls{mcrb} 都是\emph{局部}(小误差)界:它们刻画估计落入正确盆地后的方差,默认似然在真值(或伪真值)邻域内单峰。当信噪比降到门限以下、或参数空间存在模糊(如周期多帧的 Doppler 梳齿、或少用户下``位置--时间戳''混淆方向上的近简并)时,估计会跳到错误盆地、产生局部界无法预测的\emph{大误差}~\cite{athleyThresholdRegionPerformance2005}。门限区两界与前三档合成界谱系 $\gls{crb}\preceq\gls{efim}\to\gls{mcrb}\to\{\text{Barankin},\ \text{ZZB}\}$:误指定 Barankin 把\appref{subsec:F5_mcrb} 的 \gls{mcrb} 延伸到门限,Ziv--Zakai 则从二元检验侧捕获模糊地板。 \subsection{误指定 Barankin 界与阈值} \label{subsec:J1_barankin}