From 5e4cd193f3de380eab2329f2861a1f6f328eb54d Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Josh Gao Date: Mon, 22 Jun 2026 14:03:04 +0800 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?fix:=20=E8=A1=8C=E5=86=85=E9=93=BE=E4=B9=98/?= =?UTF-8?q?=E7=AE=97=E5=AD=90=E5=AF=BC=E6=95=B0=E4=B9=9F=E6=94=B9=E7=94=A8?= =?UTF-8?q?=20\dfrac?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit E318 链式 ∂q/∂ξ=(∂q/∂ν)(∂ν/∂ξ) 用 \left(\dfrac\right)\left(\dfrac\right)；G54 Kronecker 装配式、E159 记号定义、A528/H177 算子 ∂/∂δ→\dfrac{∂}{∂δ}。斜杠现仅留 D_ℓ 行向量条目（E630/E338/G50/G98-99）。 --- parts/A-symbolIndex.tex | 2 +- parts/E-multiSatStaticCrb.tex | 4 ++-- parts/G-userPositionCrb.tex | 2 +- parts/H-timestampErrCrb.tex | 2 +- 4 files changed, 5 insertions(+), 5 deletions(-) diff --git a/parts/A-symbolIndex.tex b/parts/A-symbolIndex.tex index 72109f3..232a6f9 100644 --- a/parts/A-symbolIndex.tex +++ b/parts/A-symbolIndex.tex @@ -525,7 +525,7 @@ 上标 $\mathrm{cp}$ & continuous-phase，即连续相位模型。\\ 上标 $\mathrm{ip}$ & independent-phase，即独立相位基线模型。\\ 下标 $\mathrm{mu}$ & multi-user，多用户场景下的主参数或干扰参数分组。\\ - 上标 $\mathrm{te}$ & timestamp-error，标记对时间戳误差 $\delta_\ell$ 求导（$\partial/\partial\delta_\ell$）得到的模板，如 $\mathbf q^{\mathrm{te}}$。\\ + 上标 $\mathrm{te}$ & timestamp-error，标记对时间戳误差 $\delta_\ell$ 求导（$\dfrac{\partial}{\partial\delta_\ell}$）得到的模板，如 $\mathbf q^{\mathrm{te}}$。\\ 上标 $\mathrm{str}$ & structured，即保留结构化公共相位或幅度约束后的模型或残差。\\ 上标 $\mathrm{rel}$ & relaxed，即放松块复干扰系数 结构后的模型或残差。\\ 上标 $\mathrm{pro}$ & profiled，即已经对部分干扰参数作轮廓化处理的似然或目标函数。\\ diff --git a/parts/E-multiSatStaticCrb.tex b/parts/E-multiSatStaticCrb.tex index 91d91ce..9edabc4 100644 --- a/parts/E-multiSatStaticCrb.tex +++ b/parts/E-multiSatStaticCrb.tex @@ -156,7 +156,7 @@ $\zeta_\ell\in\mathbb C$ 为第 $\ell$ 条链路的未知复干扰系数，$\sig \end{bmatrix}, \end{equation} % -本小节采用分子布局的 Jacobian 记号：对向量值函数 $\mathbf f$ 与参数向量 $\mathbf x$，$\partial\mathbf f/\partial\mathbf x^\Tran$ 的行随 $\mathbf f$ 分量、列随 $\mathbf x$ 分量，链式法则即对应 Jacobian 的矩阵相乘；角度部分记 $\boldsymbol\xi=[\alpha,\beta]^\Tran$。其关于全局角度的 Jacobian 为 +本小节采用分子布局的 Jacobian 记号：对向量值函数 $\mathbf f$ 与参数向量 $\mathbf x$，$\dfrac{\partial\mathbf f}{\partial\mathbf x^\Tran}$ 的行随 $\mathbf f$ 分量、列随 $\mathbf x$ 分量，链式法则即对应 Jacobian 的矩阵相乘；角度部分记 $\boldsymbol\xi=[\alpha,\beta]^\Tran$。其关于全局角度的 Jacobian 为 % \begin{equation} \frac{\partial \mathbf u}{\partial \boldsymbol\xi^\Tran} @@ -315,7 +315,7 @@ $\zeta_\ell\in\mathbb C$ 为第 $\ell$ 条链路的未知复干扰系数，$\sig \label{eq:A6_dq} \end{equation} % -其中 $\partial\nu_\ell/\partial\boldsymbol\eta^\Tran$ 取 \eqref{eq:A6_domega}；其角度部分记 $\partial\mathbf q_\ell/\partial\boldsymbol\xi^\Tran=(\partial\mathbf q_\ell/\partial\nu_\ell)\,(\partial\nu_\ell/\partial\boldsymbol\xi^\Tran)\in\mathbb C^{T\times2}$，$\nu_{\mathrm{ref}}$ 列因 $\partial\nu_\ell/\partial\nu_{\mathrm{ref}}=1$ 即 $\partial\mathbf q_\ell/\partial\nu_\ell$。 +其中 $\dfrac{\partial\nu_\ell}{\partial\boldsymbol\eta^\Tran}$ 取 \eqref{eq:A6_domega}；其角度部分记 $\dfrac{\partial\mathbf q_\ell}{\partial\boldsymbol\xi^\Tran}=\left(\dfrac{\partial\mathbf q_\ell}{\partial\nu_\ell}\right)\,\left(\dfrac{\partial\nu_\ell}{\partial\boldsymbol\xi^\Tran}\right)\in\mathbb C^{T\times2}$，$\nu_{\mathrm{ref}}$ 列因 $\dfrac{\partial\nu_\ell}{\partial\nu_{\mathrm{ref}}}=1$ 即 $\dfrac{\partial\mathbf q_\ell}{\partial\nu_\ell}$。 对空时导向向量 $\mathbf g_\ell=\mathbf q_\ell\otimes \mathbf a_\ell$ 应用 Kronecker 积求导法则。注意 $\mathbf a_\ell$ 不依赖 $\nu_{\mathrm{ref}}$、$\mathbf q_\ell$ 不依赖角度，其关于主参数 $\boldsymbol\eta$ 的 Jacobian 按角度块与 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 列分块为 % diff --git a/parts/G-userPositionCrb.tex b/parts/G-userPositionCrb.tex index 66c5f19..dd381f9 100644 --- a/parts/G-userPositionCrb.tex +++ b/parts/G-userPositionCrb.tex @@ -51,7 +51,7 @@ Doppler 部分，由 $\nu_\ell=\nu_{\mathrm{ref}}+\Delta\nu_\ell(\mathbf p)$ 与 \,\big]\in\mathbb C^{M_\ell T\times4}, \end{equation} % -其中位置列 $\partial\mathbf g_\ell/\partial p_i=\mathbf q_\ell\otimes(\partial\mathbf a_\ell/\partial p_i)+(\partial\mathbf q_\ell/\partial p_i)\otimes\mathbf a_\ell$、Doppler 列 $\partial\mathbf g_\ell/\partial\nu_{\mathrm{ref}}=(\partial\mathbf q_\ell/\partial\nu_\ell)\otimes\mathbf a_\ell$，$\partial\mathbf a_\ell/\partial p_i$ 取 \eqref{eq:H_dadp} 的第 $i$ 列。消去复增益后的 \gls{efim} 与 \eqref{eq:A6_Ieff_final} 同形： +其中位置列 $\dfrac{\partial\mathbf g_\ell}{\partial p_i}=\mathbf q_\ell\otimes\left(\dfrac{\partial\mathbf a_\ell}{\partial p_i}\right)+\left(\dfrac{\partial\mathbf q_\ell}{\partial p_i}\right)\otimes\mathbf a_\ell$、Doppler 列 $\dfrac{\partial\mathbf g_\ell}{\partial\nu_{\mathrm{ref}}}=\left(\dfrac{\partial\mathbf q_\ell}{\partial\nu_\ell}\right)\otimes\mathbf a_\ell$，$\dfrac{\partial\mathbf a_\ell}{\partial p_i}$ 取 \eqref{eq:H_dadp} 的第 $i$ 列。消去复增益后的 \gls{efim} 与 \eqref{eq:A6_Ieff_final} 同形： % \begin{equation} \mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{pos}}) diff --git a/parts/H-timestampErrCrb.tex b/parts/H-timestampErrCrb.tex index da96d24..a93fd66 100644 --- a/parts/H-timestampErrCrb.tex +++ b/parts/H-timestampErrCrb.tex @@ -174,7 +174,7 @@ $\mathcal I_{\delta\psi}$ 同样具有按 $\ell$ 的块对角结构：第 $\ell$ 大误差区下 \eqref{eq:F2_efim_final} 的一阶展开失效。此时把 \gls{efim} 视为关于 $\boldsymbol\delta$ 真值的函数，按下列流程逐场景数值评估： \begin{enumerate} \item 给定真值 $(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}},\boldsymbol\delta)$ 与各星 $\sigma_\ell$、$\{\zeta_{\ell,k}\}$； - \item 对每颗卫星 $\ell$，按 \eqref{eq:sec5_signal_model} 计算 $\mathbf g_{\ell,k}(\delta_\ell)$ 及其关于 $(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}},\delta_\ell)$ 的数值 Jacobian——其中 $\partial/\partial\delta_\ell$ 不再用 \eqref{eq:F2_jdelta} 一阶近似，而是用中心差分直接评估 $s_k(t-\delta_\ell)$ 与 $e^{j\nu_{\ell,k}(t-\delta_\ell)}$； + \item 对每颗卫星 $\ell$，按 \eqref{eq:sec5_signal_model} 计算 $\mathbf g_{\ell,k}(\delta_\ell)$ 及其关于 $(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}},\delta_\ell)$ 的数值 Jacobian——其中 $\dfrac{\partial}{\partial\delta_\ell}$ 不再用 \eqref{eq:F2_jdelta} 一阶近似，而是用中心差分直接评估 $s_k(t-\delta_\ell)$ 与 $e^{j\nu_{\ell,k}(t-\delta_\ell)}$； \item 组装 \eqref{eq:F1_three_block} 各分块，按\appref{subsec:F2_schurDelta} 的顺序先消复增益、再消 $\boldsymbol\delta$； \item 输出 $\mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}};\boldsymbol\delta)$ 并取逆得到 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ 的 \gls{crb}。 \end{enumerate}