diff --git a/parts/G-multiFrameCrb.tex b/parts/G-multiFrameCrb.tex index 3e83f0e..7793883 100644 --- a/parts/G-multiFrameCrb.tex +++ b/parts/G-multiFrameCrb.tex @@ -2,7 +2,7 @@ \label{sec:multiFrameCrb} 本附录汇总多帧动态多星模型下的两类 \gls{crb} 推导：连续相位（CP）模型和独立相位（IP）基线模型。 -两者共享主参数 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}=[\alpha,\beta,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$ 与 Doppler rate $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 作为干扰参数的处理方式，差别在于跨帧相位结构：CP 模型保留同星公共相位约束，IP 模型放弃这一约束。 +两者共享主参数 $\boldsymbol\eta=[\alpha,\beta,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$ 与 Doppler rate $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 作为干扰参数的处理方式，差别在于跨帧相位结构：CP 模型保留同星公共相位约束，IP 模型放弃这一约束。 通过对比 CP 与 IP 的 \gls{efim} 可以量化跨帧相位连续性所携带的信息量。 \subsection{连续相位 CP 模型 EFIM} @@ -15,7 +15,7 @@ 主参数统一定义为 % \begin{equation} - \boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}} + \boldsymbol\eta = \begin{bmatrix} \alpha \\ @@ -23,7 +23,7 @@ \nu_{\mathrm{ref}} \end{bmatrix}, \qquad - \boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}\in\mathbb R^3, + \boldsymbol\eta\in\mathbb R^3, \end{equation} % 并将 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 作为干扰参数处理。为避免重复建模，这里只保留 \gls{crb} 推导所需的最小定义、导数记号与 \gls{fim}/\gls{efim} 结构。 @@ -254,14 +254,14 @@ \boldsymbol\kappa_{\mathrm{cp}} = \begin{bmatrix} - \boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}^{\Tran} & \boldsymbol\psi_{\mathrm{cp},\mu}^{\Tran} + \boldsymbol\eta^{\Tran} & \boldsymbol\psi_{\mathrm{cp},\mu}^{\Tran} \end{bmatrix}^{\Tran}. \end{equation} 对单个观测块，有 % \begin{equation} - \frac{\partial \boldsymbol\mu^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}}{\partial \boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}} + \frac{\partial \boldsymbol\mu^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}}{\partial \boldsymbol\eta} = \zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}\mathbf D^{\mathrm{cp}}_{\eta,\ell,p}, \label{eq:A7_Jeta_cp_block} @@ -299,7 +299,7 @@ \begin{equation} \mathbf J^{\mathrm{cp}}_{\eta} \triangleq - \frac{\partial \boldsymbol\mu^{\mathrm{cp}}}{\partial \boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}}, + \frac{\partial \boldsymbol\mu^{\mathrm{cp}}}{\partial \boldsymbol\eta}, \qquad \mathbf J^{\mathrm{cp}}_{\psi} \triangleq @@ -336,10 +336,10 @@ \right\}. \end{equation} % -因此，主参数 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}$ 在连续相位模型下的 \gls{efim} 为 +因此，主参数 $\boldsymbol\eta$ 在连续相位模型下的 \gls{efim} 为 % \begin{equation} - \mathcal I_{\mathrm e}^{\mathrm{cp}}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}) + \mathcal I_{\mathrm e}^{\mathrm{cp}}(\boldsymbol\eta) = \mathcal I_{\eta\eta}^{\mathrm{cp}} - @@ -353,9 +353,9 @@ 从而其 \gls{crb} 为 % \begin{equation} - \operatorname{CRB}_{\mathrm{cp}}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}) + \operatorname{CRB}_{\mathrm{cp}}(\boldsymbol\eta) = - \big(\mathcal I_{\mathrm e}^{\mathrm{cp}}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}})\big)^{-1}. + \big(\mathcal I_{\mathrm e}^{\mathrm{cp}}(\boldsymbol\eta)\big)^{-1}. \label{eq:A7_CRB_cp} \end{equation} @@ -377,7 +377,7 @@ \end{equation} % 为不含 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 的幅度/相位干扰参数。 -若 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 已知，则先消去 $\boldsymbol\psi_{\mathrm{cp},0}$ 后，主参数 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}$ 的 known-rate \gls{efim} 可写为 +若 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 已知，则先消去 $\boldsymbol\psi_{\mathrm{cp},0}$ 后，主参数 $\boldsymbol\eta$ 的 known-rate \gls{efim} 可写为 % \begin{equation} \mathcal I_{\mathrm e}^{\mathrm{cp,K}} @@ -390,8 +390,8 @@ \label{eq:A7_CP_K_EFIM} \end{equation} % -其中上标 $(0)$ 表示只按参数 $(\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}},\boldsymbol\psi_{\mathrm{cp},0})$ 构造的 \gls{fim} 分块。 -若进一步把 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 作为干扰参数，则可在消去 $\boldsymbol\psi_{\mathrm{cp},0}$ 后，将扩展 \gls{efim} 按 $(\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}},\dot\nu_{\mathrm{ref}})$ 分块为 +其中上标 $(0)$ 表示只按参数 $(\boldsymbol\eta,\boldsymbol\psi_{\mathrm{cp},0})$ 构造的 \gls{fim} 分块。 +若进一步把 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 作为干扰参数，则可在消去 $\boldsymbol\psi_{\mathrm{cp},0}$ 后，将扩展 \gls{efim} 按 $(\boldsymbol\eta,\dot\nu_{\mathrm{ref}})$ 分块为 % \begin{equation} \mathcal I_{\mathrm e}^{\mathrm{cp,ext}} @@ -416,10 +416,10 @@ \label{eq:A7_CP_U_EFIM_from_K} \end{equation} % -式~\eqref{eq:A7_CP_U_EFIM_from_K} 中的第二项不是一个必然很大的性能退化项，而是对 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}$ 的 residualized score 与 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 的 residualized nuisance score 之间耦合程度的 accounting。 +式~\eqref{eq:A7_CP_U_EFIM_from_K} 中的第二项不是一个必然很大的性能退化项，而是对 $\boldsymbol\eta$ 的 residualized score 与 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 的 residualized nuisance score 之间耦合程度的 accounting。 若该残差耦合很弱，则 known-rate 与 unknown-rate bound 可以非常接近。 -进一步将 known-rate \gls{efim} 和 rate-coupling 向量按 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}=[\boldsymbol\xi^\Tran,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$ 分块： +进一步将 known-rate \gls{efim} 和 rate-coupling 向量按 $\boldsymbol\eta=[\boldsymbol\xi^\Tran,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$ 分块： % \begin{equation} \mathcal I_{\eta\eta}^{\mathrm K} @@ -510,7 +510,7 @@ \boldsymbol\eta_{\mathrm{ext}} \triangleq \begin{bmatrix} - \boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}} \\ + \boldsymbol\eta \\ \dot\nu_{\mathrm{ref}} \end{bmatrix} = @@ -599,7 +599,7 @@ \mathbf I_{M_\ell T}-\mathcal P_{\mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}}. \end{equation} -若关心的是联合参数 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{ext}}=[\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}^{\Tran},\dot\nu_{\mathrm{ref}}]^{\Tran}$ 的 \gls{crb}，则直接有 +若关心的是联合参数 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{ext}}=[\boldsymbol\eta^{\Tran},\dot\nu_{\mathrm{ref}}]^{\Tran}$ 的 \gls{crb}，则直接有 % \begin{equation} \operatorname{CRB}_{\mathrm{rel}}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{ext}}) @@ -608,7 +608,7 @@ \label{eq:A7_CRB_rel_ext} \end{equation} -若进一步仍只把 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}$ 视为感兴趣参数，而将 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 作为干扰参数，则将 \eqref{eq:A7_Ieff_rel_ext} 按 +若进一步仍只把 $\boldsymbol\eta$ 视为感兴趣参数，而将 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 作为干扰参数，则将 \eqref{eq:A7_Ieff_rel_ext} 按 % \begin{equation} \mathcal I_{\mathrm e}^{\mathrm{rel}}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{ext}}) @@ -622,7 +622,7 @@ 分块，则对应的主参数 \gls{efim} 为 % \begin{equation} - \mathcal I_{\mathrm e,\eta}^{\mathrm{rel}}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}) + \mathcal I_{\mathrm e,\eta}^{\mathrm{rel}}(\boldsymbol\eta) = \mathcal I_{\eta\eta}^{\mathrm{rel}} - @@ -635,9 +635,9 @@ 于是 % \begin{equation} - \operatorname{CRB}_{\mathrm{rel}}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}) + \operatorname{CRB}_{\mathrm{rel}}(\boldsymbol\eta) = - \big(\mathcal I_{\mathrm e,\eta}^{\mathrm{rel}}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}})\big)^{-1}. + \big(\mathcal I_{\mathrm e,\eta}^{\mathrm{rel}}(\boldsymbol\eta)\big)^{-1}. \label{eq:A7_CRB_rel_eta} \end{equation} @@ -664,7 +664,7 @@ \qquad \mathbf J_{\eta} \triangleq - \frac{\partial\boldsymbol\mu}{\partial\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}}, + \frac{\partial\boldsymbol\mu}{\partial\boldsymbol\eta}, \qquad \mathbf J_{\psi} \triangleq @@ -777,7 +777,7 @@ $\mathcal I_{\mathrm{e}}$ 会出现小特征值；若同时多星几何使其他 则 $\kappa(\mathcal I_{\mathrm{e}})$ 会显著变大。 接下来把上述投影解释专门用于 \gls{doa}--Doppler 耦合。将 \gls{efim} 按 -$\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}=[\boldsymbol\xi^\Tran,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$ 分块为 +$\boldsymbol\eta=[\boldsymbol\xi^\Tran,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$ 分块为 % \begin{equation} \mathcal I_{\mathrm{e}} @@ -1044,11 +1044,11 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则 2\Re\{(\mathbf J_{\mathrm{full}}^{\mathrm{cp}})^{\Herm}\mathbf R_n^{-1}\mathbf J_{\mathrm{full}}^{\mathrm{cp}}\}, \end{equation} % -再按 $[\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}^{\Tran},\boldsymbol\psi_{\mathrm{cp},\mu}^{\Tran}]^{\Tran}$ 分块执行 Schur 补得到式~\eqref{eq:A7_Ieff_cp}。最后，对 relaxed 连续相位模型，应同时用完整 \gls{fim} 消元和投影式~\eqref{eq:A7_Ieff_rel_ext} 计算一次，两者应在数值精度内一致；该检查可以有效排除 $\mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}$、$\mathbf D^{\mathrm{rel}}_{\mathrm{ext},\ell,p}$、噪声方差系数和 Kronecker 堆叠顺序的实现错误。 +再按 $[\boldsymbol\eta^{\Tran},\boldsymbol\psi_{\mathrm{cp},\mu}^{\Tran}]^{\Tran}$ 分块执行 Schur 补得到式~\eqref{eq:A7_Ieff_cp}。最后，对 relaxed 连续相位模型，应同时用完整 \gls{fim} 消元和投影式~\eqref{eq:A7_Ieff_rel_ext} 计算一次，两者应在数值精度内一致；该检查可以有效排除 $\mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}$、$\mathbf D^{\mathrm{rel}}_{\mathrm{ext},\ell,p}$、噪声方差系数和 Kronecker 堆叠顺序的实现错误。 \subsubsection{关于噪声方差参数的说明} -上面的推导默认 $\{\sigma_\ell\}$ 已知，或者已通过预估获得。若将 $\{\sigma_\ell\}$ 也并入待估参数，由于本附录中的确定信号模型只通过均值向量依赖于 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}$、$\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 及各类增益/相位参数，而协方差只依赖于 $\{\sigma_\ell\}$，因此噪声方差参数与均值参数在 Fisher 信息矩阵中是正交的。对第 $\ell$ 颗卫星，有 +上面的推导默认 $\{\sigma_\ell\}$ 已知，或者已通过预估获得。若将 $\{\sigma_\ell\}$ 也并入待估参数，由于本附录中的确定信号模型只通过均值向量依赖于 $\boldsymbol\eta$、$\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 及各类增益/相位参数，而协方差只依赖于 $\{\sigma_\ell\}$，因此噪声方差参数与均值参数在 Fisher 信息矩阵中是正交的。对第 $\ell$ 颗卫星，有 % \begin{equation} \big[\mathcal I(\boldsymbol\kappa)\big]_{\sigma_\ell,\sigma_\ell} @@ -1067,7 +1067,7 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则 主参数统一定义为 % \begin{equation} - \boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}} + \boldsymbol\eta = \begin{bmatrix} \alpha \\ @@ -1075,7 +1075,7 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则 \nu_{\mathrm{ref}} \end{bmatrix}, \qquad - \boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}\in\mathbb R^3, + \boldsymbol\eta\in\mathbb R^3, \end{equation} % 并继续将 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 作为干扰参数处理。为避免与正文和 \ref{sec:A7_dynDoaDopplerCrb} 重复，这里只保留独立相位模型对应的最小定义、导数记号与 \gls{efim} 结构。 @@ -1293,7 +1293,7 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则 \boldsymbol\kappa_{\mathrm{ip}} = \begin{bmatrix} - \boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}^{\Tran} & \boldsymbol\psi_{\mathrm{ip},\mu}^{\Tran} + \boldsymbol\eta^{\Tran} & \boldsymbol\psi_{\mathrm{ip},\mu}^{\Tran} \end{bmatrix}^{\Tran}. \end{equation} % @@ -1351,7 +1351,7 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则 % \begin{equation} \begin{bmatrix} - \boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}^{\Tran} & \dot\nu_{\mathrm{ref}} + \boldsymbol\eta^{\Tran} & \dot\nu_{\mathrm{ref}} \end{bmatrix}^{\Tran} \end{equation} % @@ -1402,18 +1402,18 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则 \label{eq:A8_IP_FIM_etadotnu} \end{equation} -\subsubsection{\texorpdfstring{主参数 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}$ 的 \gls{efim} 与 CRB}{主参数 eta-dyn 的 EFIM 与 CRB}} +\subsubsection{\texorpdfstring{主参数 $\boldsymbol\eta$ 的 \gls{efim} 与 CRB}{主参数 eta 的 EFIM 与 CRB}} 若把 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 也视为感兴趣参数，则 % \begin{equation} - \operatorname{CRB}_{\mathrm{ip}}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}},\dot\nu_{\mathrm{ref}}) + \operatorname{CRB}_{\mathrm{ip}}(\boldsymbol\eta,\dot\nu_{\mathrm{ref}}) = \big(\mathcal I^{\mathrm{ip}}_{\mathrm{ext}}\big)^{-1}. \label{eq:A8_IP_CRB_etadotnu} \end{equation} -若仍只把 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}$ 作为主参数，而把 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 作为干扰参数，则将 +若仍只把 $\boldsymbol\eta$ 作为主参数，而把 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 作为干扰参数，则将 \eqref{eq:A8_IP_FIM_etadotnu} 按如下方式分块： % \begin{equation} @@ -1426,10 +1426,10 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则 \label{eq:A8_IP_FIM_partition} \end{equation} % -于是主参数 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}$ 的 \gls{efim} 为 +于是主参数 $\boldsymbol\eta$ 的 \gls{efim} 为 % \begin{equation} - \mathcal I^{\mathrm{ip}}_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}) + \mathcal I^{\mathrm{ip}}_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta) = \mathcal I^{\mathrm{ip}}_{\eta\eta} - @@ -1442,9 +1442,9 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则 从而 % \begin{equation} - \operatorname{CRB}_{\mathrm{ip}}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}) + \operatorname{CRB}_{\mathrm{ip}}(\boldsymbol\eta) = - \big(\mathcal I^{\mathrm{ip}}_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}})\big)^{-1}. + \big(\mathcal I^{\mathrm{ip}}_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta)\big)^{-1}. \label{eq:A8_IP_CRB_eta} \end{equation} @@ -1465,7 +1465,7 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则 \bar{\mathbf J}^{\mathrm{ip}}_{\eta} \triangleq \mathbf R_n^{-1/2} - \frac{\partial\boldsymbol\mu^{\mathrm{ip}}}{\partial\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}}, + \frac{\partial\boldsymbol\mu^{\mathrm{ip}}}{\partial\boldsymbol\eta}, \qquad \bar{\mathbf J}^{\mathrm{ip}}_{\psi} \triangleq @@ -1506,4 +1506,4 @@ Doppler 截距信息，因此通常不会缓解 \gls{doa}--Doppler--rate 耦合 % 因此，将 $\sigma_\ell$ 视为未知量不会改变式~\eqref{eq:A8_IP_FIM_etadotnu} 与式~\eqref{eq:A8_IP_EFIM_eta} 的形式，只是在完整 Fisher 信息矩阵中附加一个与其他参数解耦的对角块。 -至此，动态多帧主线的两类性能界已经形成闭环： \ref{sec:A7_dynDoaDopplerCrb} 对应连续相位/relaxed 连续相位模型，本附录对应独立相位基线模型。二者共享同一主参数 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}$，因而可以直接比较相位连续性对 \gls{doa}--Doppler 信息保留能力的影响。 \ No newline at end of file +至此，动态多帧主线的两类性能界已经形成闭环： \ref{sec:A7_dynDoaDopplerCrb} 对应连续相位/relaxed 连续相位模型，本附录对应独立相位基线模型。二者共享同一主参数 $\boldsymbol\eta$，因而可以直接比较相位连续性对 \gls{doa}--Doppler 信息保留能力的影响。 \ No newline at end of file diff --git a/parts/sec6_multiFrameCp.tex b/parts/sec6_multiFrameCp.tex index 2090989..3088961 100644 --- a/parts/sec6_multiFrameCp.tex +++ b/parts/sec6_multiFrameCp.tex @@ -3,7 +3,7 @@ 前面五节都在单帧（静态）框架内沿不同维度推进问题。第一篇论文的方向是另一个独立的维度扩展：将单观测块推广为\emph{多帧观测窗口}，由此带来跨帧绝对相位连续性这一新信息。 本节在第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst} 节单用户多星静态模型的基础上引入多帧索引、Doppler rate 与跨帧连续相位结构，但\emph{不}叠加第 4、5 节的多用户与时间戳误差扩展，以保持 ``一节一维度'' 的推进风格。 -主估计目标仍为 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}=\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}}=[\boldsymbol\xi^\Tran,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$，而参考链路 Doppler rate $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 作为干扰参数处理。 +主估计目标仍为 $\boldsymbol\eta=[\boldsymbol\xi^\Tran,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$（与静态主线相同），而参考链路 Doppler rate $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 作为干扰参数处理。 本节以连续相位 CP 作为多帧主模型，并以独立相位 IP 作为 phase-relaxed deterministic 基线进行对照——二者不是并列的两套物理模型，而是``主模型 vs.\ 放弃跨帧绝对相位约束的基线''——以此量化跨帧相位连续性携带的信息量；详细 \gls{fim}/\gls{crb} 推导见\ref{sec:multiFrameCrb}。 \subsection{时间索引与参考星 Doppler rate} @@ -156,7 +156,7 @@ CP 模型的干扰参数向量为 在 ``星间异方差、星内短窗同方差'' 假设下，联合负对数似然为 % \begin{equation} - \mathcal L_{\mathrm{cp}}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}},\boldsymbol\psi_{\mathrm{cp}}) + \mathcal L_{\mathrm{cp}}(\boldsymbol\eta,\boldsymbol\psi_{\mathrm{cp}}) = \sum_{\ell=0}^{L-1}M_\ell PT\log\sigma_\ell + @@ -174,7 +174,7 @@ CP 模型的干扰参数向量为 依次对 $\sigma_\ell$ 做轮廓化、对非负幅度 $\rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}$ 做正部最小二乘消元后，结构化 CP 集中似然估计准则可写为 % \begin{equation} - \widehat{\boldsymbol\eta}_{\mathrm{dyn}} + \widehat{\boldsymbol\eta} = \arg\min_{\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}}} \min_{\dot\nu_{\mathrm{ref}},\{\chi_\ell\}} @@ -212,7 +212,7 @@ CP 模型的干扰参数向量为 按 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 是否已知，CP 模型派生两种设置： \begin{itemize} - \item \textbf{CP-K}（known rate）：$\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 已知，主参数仅 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}=[\boldsymbol\xi^\Tran,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$，对应 \gls{efim} 见 \eqref{eq:A7_CP_K_EFIM}。 + \item \textbf{CP-K}（known rate）：$\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 已知，主参数仅 $\boldsymbol\eta=[\boldsymbol\xi^\Tran,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$，对应 \gls{efim} 见 \eqref{eq:A7_CP_K_EFIM}。 \item \textbf{CP-U}（unknown rate）：$\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 未知并作为干扰参数 Schur complement 消去，对应 \gls{efim} 见 \eqref{eq:A7_CP_U_EFIM_from_K}。 \end{itemize} @@ -237,7 +237,7 @@ CP 模型的干扰参数向量为 % 其奇异性由投影后主参数 Jacobian 的秩决定，而非 $\bar{\mathbf J}_\eta$ 本身。详细的投影解释、最小投影角 $\sin^2\theta_{\min}$ 定义、以及 $\boldsymbol\xi$/$\nu_{\mathrm{ref}}$ Schur 分块下的 \gls{doa}--Doppler 耦合比例 $\gamma_{\xi,\nu}^2$ 见附录~\ref{subsec:A7_efimIllConditioning}。 -将 \gls{efim} 按 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}=[\boldsymbol\xi^\Tran,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$ 分块后，$\boldsymbol\xi$ 未知条件下 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 的边际 \gls{crb} 满足 +将 \gls{efim} 按 $\boldsymbol\eta=[\boldsymbol\xi^\Tran,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$ 分块后，$\boldsymbol\xi$ 未知条件下 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 的边际 \gls{crb} 满足 % \begin{equation} \operatorname{CRB}_{\nu}