From 664822b95c58acf41bde02fe0759e348d0ae2c80 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Josh Gao Date: Tue, 16 Jun 2026 16:43:56 +0800 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?content(sec3,app-E):=20=E9=9D=99=E6=80=81?= =?UTF-8?q?=E6=8E=A8=E5=AF=BC=E6=AE=B5=E5=8E=BB=20stat=20=E4=B8=8B?= =?UTF-8?q?=E6=A0=87=EF=BC=8C=E8=AE=B0=E8=A3=B8=20\eta/\psi/\kappa/\mathca?= =?UTF-8?q?l=20L?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit 静态主线（sec3 + 附录 E）单模型推导段内，\eta_{stat}/\psi_{stat}/ \kappa_{stat}/\mathcal L_{stat}/\psi_{\zeta,stat} 去掉 stat 标签，记作裸 \eta/\psi/\kappa/\mathcal L/\psi_\zeta——节内只有静态一个模型，无歧义。 sec3 两处简单对照 \eta_{dyn}=\eta_{stat} 改为散文"同一个 \eta / 主参数 \eta 不变"。E.2 多用户 \eta_{mu} 不同参数，保留。符号索引 A 作主对照表 保留带标签定义不动；其余跨模型对照点（sec6/sec4 的 \eta_{dyn}/\eta_{mu}） 亦保留。此为"单模型段裸符号、对照段挂标签"约定的试点。 --- parts/E-multiSatStaticCrb.tex | 72 +++++++++++++++---------------- parts/sec3_multiSatSingleUser.tex | 16 +++---- 2 files changed, 44 insertions(+), 44 deletions(-) diff --git a/parts/E-multiSatStaticCrb.tex b/parts/E-multiSatStaticCrb.tex index dd6612a..1a270ae 100644 --- a/parts/E-multiSatStaticCrb.tex +++ b/parts/E-multiSatStaticCrb.tex @@ -4,7 +4,7 @@ 本附录给出与正文第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst} 节、第~\ref{sec:multiSatMultiUser} 节相对应的多星静态 \gls{doa}--Doppler 联合估计 \gls{crb}。E.1 给出单用户多星基线（沿用 \S\ref{subsec:staticBlockModel} 模型），E.2 给出多用户扩展（沿用 \S\ref{sec:multiSatMultiUser} 模型）。两者共享 ``联合堆叠 + 复增益 Schur 补'' 的推导框架，差别仅在均值向量参数化与 Jacobian 维度。 本文统一采用 $\mathcal I$ 表示 Fisher 信息矩阵，$\mathbf I$ 表示单位阵，$\mathcal P$ 表示投影矩阵。 -正文中的静态干扰参数 $\boldsymbol\psi_{\mathrm{stat}}$ 同时包含复增益和噪声方差。本附录在构造主参数 \gls{efim} 时，只显式保留影响均值向量的复增益干扰参数；噪声方差只进入协方差，并与均值参数 Fisher 块解耦，因此不改变下面关于复增益的 Schur 补形式。 +正文中的静态干扰参数 $\boldsymbol\psi$ 同时包含复增益和噪声方差。本附录在构造主参数 \gls{efim} 时，只显式保留影响均值向量的复增益干扰参数；噪声方差只进入协方差，并与均值参数 Fisher 块解耦，因此不改变下面关于复增益的 Schur 补形式。 \subsection{单用户多星 CRB} \label{subsec:E1_singleUserMultiSatCrb} @@ -12,7 +12,7 @@ 本小节对应正文第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst} 节，主参数仍记为 % \begin{equation} - \boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}} + \boldsymbol\eta = \begin{bmatrix} \alpha \\ @@ -22,18 +22,18 @@ \in \mathbb R^{3}. \end{equation} % -与\ref{sec:det_doa_doppler_crb} 的单阵列情形相比，这里需要先联合堆叠 $L$ 颗协作卫星的观测，再将各星复干扰系数视为干扰参数并通过 Schur 补得到 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}}$ 的 \gls{efim}。 +与\ref{sec:det_doa_doppler_crb} 的单阵列情形相比，这里需要先联合堆叠 $L$ 颗协作卫星的观测，再将各星复干扰系数视为干扰参数并通过 Schur 补得到 $\boldsymbol\eta$ 的 \gls{efim}。 \subsubsection{联合观测模型与 Fisher 信息矩阵通式} -沿用第~\ref{subsec:staticBlockModel} 小节中的向量化观测模型，第 $\ell$ 颗卫星的均值向量可写为 $\zeta_\ell \mathbf g_\ell(\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}})$。为便于后续统一构造 \gls{fim}，本小节先将所有卫星观测按块联合堆叠。 +沿用第~\ref{subsec:staticBlockModel} 小节中的向量化观测模型，第 $\ell$ 颗卫星的均值向量可写为 $\zeta_\ell \mathbf g_\ell(\boldsymbol\eta)$。为便于后续统一构造 \gls{fim}，本小节先将所有卫星观测按块联合堆叠。 对于第 $\ell$ 颗卫星，向量化后的观测模型为 % \begin{equation} \tilde{\mathbf y}_\ell = - \zeta_\ell \mathbf g_\ell(\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}}) + \zeta_\ell \mathbf g_\ell(\boldsymbol\eta) + \tilde{\mathbf n}_\ell, \qquad @@ -44,7 +44,7 @@ 其中 % \begin{equation} - \mathbf g_\ell(\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}}) + \mathbf g_\ell(\boldsymbol\eta) \triangleq \mathbf q_\ell(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}}) \otimes \mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi) \in \mathbb C^{M_\ell T \times 1}, @@ -63,12 +63,12 @@ $\zeta_\ell\in\mathbb C$ 为第 $\ell$ 条链路的未知复干扰系数，$\sig \tilde{\mathbf y}_{L-1} \end{bmatrix}, \qquad - \boldsymbol\mu(\boldsymbol\kappa_{\mathrm{stat}}) + \boldsymbol\mu(\boldsymbol\kappa) \triangleq \begin{bmatrix} - \zeta_0 \mathbf g_0(\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}}) \\ + \zeta_0 \mathbf g_0(\boldsymbol\eta) \\ \vdots \\ - \zeta_{L-1} \mathbf g_{L-1}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}}) + \zeta_{L-1} \mathbf g_{L-1}(\boldsymbol\eta) \end{bmatrix}, \qquad \tilde{\mathbf n} @@ -83,7 +83,7 @@ $\zeta_\ell\in\mathbb C$ 为第 $\ell$ 条链路的未知复干扰系数，$\sig 则有 % \begin{equation} - \tilde{\mathbf y} = \boldsymbol\mu(\boldsymbol\kappa_{\mathrm{stat}}) + \tilde{\mathbf n}, + \tilde{\mathbf y} = \boldsymbol\mu(\boldsymbol\kappa) + \tilde{\mathbf n}, \qquad \tilde{\mathbf n} \sim \mathcal{CN}(\mathbf 0,\mathbf R_n), \end{equation} @@ -110,7 +110,7 @@ $\zeta_\ell\in\mathbb C$ 为第 $\ell$ 条链路的未知复干扰系数，$\sig 并定义实参数化后的均值干扰参数向量 % \begin{equation} - \boldsymbol\psi_{\zeta,\mathrm{stat}} + \boldsymbol\psi_{\zeta} \triangleq \begin{bmatrix} \zeta_0^{(r)} & \zeta_0^{(i)} & \cdots & \zeta_{L-1}^{(r)} & \zeta_{L-1}^{(i)} @@ -121,28 +121,28 @@ $\zeta_\ell\in\mathbb C$ 为第 $\ell$ 条链路的未知复干扰系数，$\sig 于是总实参数向量可写为 % \begin{equation} - \boldsymbol\kappa_{\mathrm{stat}} + \boldsymbol\kappa \triangleq \begin{bmatrix} - \boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}}^{\Tran} & \boldsymbol\psi_{\zeta,\mathrm{stat}}^{\Tran} + \boldsymbol\eta^{\Tran} & \boldsymbol\psi_{\zeta}^{\Tran} \end{bmatrix}^{\Tran} \in \mathbb R^{2L+3}. \end{equation} -由于当前均值参数仅通过均值项 $\boldsymbol\mu(\boldsymbol\kappa_{\mathrm{stat}})$ 进入，而协方差矩阵 $\mathbf R_n$ 与 $\boldsymbol\kappa_{\mathrm{stat}}$ 无关，由复 Gauss 模型的 Slepian--Bangs 公式~\cite{kayFundamentalsStatisticalSignal1993,vantreesOptimumArrayProcessing2002}，对任意两个实参数 $\kappa_i,\kappa_j$，Fisher 信息矩阵元素满足 +由于当前均值参数仅通过均值项 $\boldsymbol\mu(\boldsymbol\kappa)$ 进入，而协方差矩阵 $\mathbf R_n$ 与 $\boldsymbol\kappa$ 无关，由复 Gauss 模型的 Slepian--Bangs 公式~\cite{kayFundamentalsStatisticalSignal1993,vantreesOptimumArrayProcessing2002}，对任意两个实参数 $\kappa_i,\kappa_j$，Fisher 信息矩阵元素满足 % \begin{equation} - [\mathcal I(\boldsymbol\kappa_{\mathrm{stat}})]_{ij} + [\mathcal I(\boldsymbol\kappa)]_{ij} = 2\Re\left\{ - \frac{\partial \boldsymbol\mu^{\Herm}(\boldsymbol\kappa_{\mathrm{stat}})}{\partial \kappa_i} + \frac{\partial \boldsymbol\mu^{\Herm}(\boldsymbol\kappa)}{\partial \kappa_i} \mathbf R_n^{-1} - \frac{\partial \boldsymbol\mu(\boldsymbol\kappa_{\mathrm{stat}})}{\partial \kappa_j} + \frac{\partial \boldsymbol\mu(\boldsymbol\kappa)}{\partial \kappa_j} \right\}. \label{eq:A6_fim_general} \end{equation} -\subsubsection{\texorpdfstring{关于 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}}$ 的导数}{关于主参数 eta-stat 的导数}} +\subsubsection{\texorpdfstring{关于 $\boldsymbol\eta$ 的导数}{关于主参数 eta-stat 的导数}} 由第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst} 节，单位方向向量为 % @@ -387,17 +387,17 @@ $\mathbf g_\ell=\mathbf q_\ell\otimes \mathbf a_\ell$ 对第 $\ell$ 颗卫星，其均值向量为 % \begin{equation} - \boldsymbol\mu_\ell(\boldsymbol\kappa_{\mathrm{stat}}) + \boldsymbol\mu_\ell(\boldsymbol\kappa) = - \zeta_\ell\mathbf g_\ell(\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}}). + \zeta_\ell\mathbf g_\ell(\boldsymbol\eta). \end{equation} % -因此，其关于主参数向量 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}}$ 的 Jacobian 为 +因此，其关于主参数向量 $\boldsymbol\eta$ 的 Jacobian 为 % \begin{equation} \mathbf J_{\eta,\ell} \triangleq - \frac{\partial \boldsymbol\mu_\ell}{\partial \boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}}} + \frac{\partial \boldsymbol\mu_\ell}{\partial \boldsymbol\eta} = \zeta_\ell \mathbf D_\ell \in \mathbb C^{M_\ell T \times 3}, @@ -421,10 +421,10 @@ $\mathbf g_\ell=\mathbf q_\ell\otimes \mathbf a_\ell$ \label{eq:A6_Jpsi} \end{equation} -由于不同卫星噪声相互独立，总 Fisher 信息矩阵可按卫星求和。记总 Fisher 信息矩阵关于 $(\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}},\boldsymbol\psi_{\zeta,\mathrm{stat}})$ 的分块形式为 +由于不同卫星噪声相互独立，总 Fisher 信息矩阵可按卫星求和。记总 Fisher 信息矩阵关于 $(\boldsymbol\eta,\boldsymbol\psi_{\zeta})$ 的分块形式为 % \begin{equation} - \mathcal I(\boldsymbol\kappa_{\mathrm{stat}}) + \mathcal I(\boldsymbol\kappa) = \begin{bmatrix} \mathcal I_{\eta\eta} & \mathcal I_{\eta\psi} \\ @@ -468,10 +468,10 @@ $\mathbf g_\ell=\mathbf q_\ell\otimes \mathbf a_\ell$ \subsubsection{\texorpdfstring{消去复干扰系数后的 \gls{efim}}{消去复干扰系数后的 EFIM}} -由于 $\boldsymbol\psi_{\zeta,\mathrm{stat}}$ 是均值干扰参数，主参数向量 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}}$ 的 \gls{efim} 为 +由于 $\boldsymbol\psi_{\zeta}$ 是均值干扰参数，主参数向量 $\boldsymbol\eta$ 的 \gls{efim} 为 % \begin{equation} - \mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}}) + \mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta) = \mathcal I_{\eta\eta} - @@ -498,7 +498,7 @@ $\begin{bmatrix}\mathbf g_\ell & j\mathbf g_\ell\end{bmatrix}$。虽然这两个 将 \eqref{eq:A6_Jeta}--\eqref{eq:A6_proj} 代入 \eqref{eq:A6_schur} 并整理，可得 % \begin{equation} - \mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}}) + \mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta) = 2\sum_{\ell=0}^{L-1} \frac{1}{\sigma_\ell} @@ -513,7 +513,7 @@ $\begin{bmatrix}\mathbf g_\ell & j\mathbf g_\ell\end{bmatrix}$。虽然这两个 再利用 $\mathbf J_{\eta,\ell}=\zeta_\ell\mathbf D_\ell$，得到紧凑形式 % \begin{equation} - \mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}}) + \mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta) = 2\sum_{\ell=0}^{L-1} \frac{|\zeta_\ell|^2}{\sigma_\ell} @@ -529,12 +529,12 @@ $\begin{bmatrix}\mathbf g_\ell & j\mathbf g_\ell\end{bmatrix}$。虽然这两个 \subsubsection{CRB 表达式} -因此，联合参数向量 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}}=[\alpha,\beta,\nu_{\mathrm{ref}}]^{\Tran}$ 的 \gls{crb} 为 +因此，联合参数向量 $\boldsymbol\eta=[\alpha,\beta,\nu_{\mathrm{ref}}]^{\Tran}$ 的 \gls{crb} 为 % \begin{equation} - \operatorname{CRB}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}}) + \operatorname{CRB}(\boldsymbol\eta) = - \mathcal I_{\mathrm e}^{-1}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}}). + \mathcal I_{\mathrm e}^{-1}(\boldsymbol\eta). \label{eq:A6_crb_joint} \end{equation} @@ -552,7 +552,7 @@ $\begin{bmatrix}\mathbf g_\ell & j\mathbf g_\ell\end{bmatrix}$。虽然这两个 则将 \eqref{eq:A6_Ieff_final} 按 $(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})$ 分块为 % \begin{equation} - \mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}}) + \mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta) = \begin{bmatrix} \mathcal I_{\mathrm{ang},\mathrm{ang}} & \mathcal I_{\mathrm{ang},\nu} \\ @@ -591,7 +591,7 @@ $\begin{bmatrix}\mathbf g_\ell & j\mathbf g_\ell\end{bmatrix}$。虽然这两个 \begin{enumerate} \item 若所有卫星噪声方差相同，即 $\sigma_\ell=\sigma$，则 \eqref{eq:A6_Ieff_final} 退化为 \begin{equation} - \mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}}) + \mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta) = \frac{2}{\sigma} \sum_{\ell=0}^{L-1} @@ -603,15 +603,15 @@ $\begin{bmatrix}\mathbf g_\ell & j\mathbf g_\ell\end{bmatrix}$。虽然这两个 \item 若进一步将噪声方差 $\{\sigma_\ell\}_{\ell=0}^{L-1}$ 也并入待估参数，则协方差项仅对这些方差参数自身有贡献，且与均值参数块解耦。具体而言，若把第 $\ell$ 条链路的方差参数取为 $\sigma_\ell$，则有 \begin{equation} - [\mathcal I(\boldsymbol\kappa_{\mathrm{stat}})]_{\sigma_\ell,\sigma_\ell} + [\mathcal I(\boldsymbol\kappa)]_{\sigma_\ell,\sigma_\ell} = \frac{M_\ell T}{\sigma_\ell^2}, \qquad - [\mathcal I(\boldsymbol\kappa_{\mathrm{stat}})]_{\sigma_\ell,i}=0, + [\mathcal I(\boldsymbol\kappa)]_{\sigma_\ell,i}=0, \quad i\neq \sigma_\ell, \end{equation} % - 因此不会改变 \eqref{eq:A6_Ieff_final} 给出的 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}}$ 的 \gls{efim}。 + 因此不会改变 \eqref{eq:A6_Ieff_final} 给出的 $\boldsymbol\eta$ 的 \gls{efim}。 \end{enumerate} 至此，单用户多星静态基线与正文静态模型一一对应：正文负责给出观测模型、参数分组和集中似然，本文附录负责给出 Jacobian、Fisher 信息分块与 Schur 补形式。 diff --git a/parts/sec3_multiSatSingleUser.tex b/parts/sec3_multiSatSingleUser.tex index 9da6092..9b3a008 100644 --- a/parts/sec3_multiSatSingleUser.tex +++ b/parts/sec3_multiSatSingleUser.tex @@ -96,7 +96,7 @@ 静态 \gls{doa}--Doppler 主参数统一写为 % \begin{equation} - \boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}} + \boldsymbol\eta = \begin{bmatrix} \boldsymbol\xi\\ @@ -105,7 +105,7 @@ \in\mathbb R^{3}, \end{equation} % -其中 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 为参考时刻、参考卫星链路上的归一化 Doppler。多帧动态模型中主估计目标默认仍为 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}=\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}}$，而参考链路 Doppler rate $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 放入干扰参数侧。 +其中 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 为参考时刻、参考卫星链路上的归一化 Doppler。多帧动态模型中主估计目标默认仍是同一个 $\boldsymbol\eta$，而参考链路 Doppler rate $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 放入干扰参数侧。 给定 $(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}},\dot\nu_{\mathrm{ref}})$ 后，其余卫星的链路参数统一通过几何映射表示为 % @@ -190,7 +190,7 @@ 本节的干扰参数为 % \begin{equation} - \boldsymbol\psi_{\mathrm{stat}} + \boldsymbol\psi = \Big[ \{\zeta_\ell\}_{\ell=0}^{L-1}, @@ -203,7 +203,7 @@ 各星观测条件独立，圆对称复高斯，联合负对数似然为 % \begin{equation} - \mathcal L_{\mathrm{stat}}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}},\boldsymbol\psi_{\mathrm{stat}}) + \mathcal L(\boldsymbol\eta,\boldsymbol\psi) = \sum_{\ell=0}^{L-1} \left[ @@ -218,10 +218,10 @@ \right]. \end{equation} -对干扰参数 $\boldsymbol\psi_{\mathrm{stat}}$ 的逐项闭式消元——先消 $\zeta_\ell$、再消 $\sigma_\ell$——与第~\ref{sec:det_doa_est} 节单阵列情形完全平行；详细矩阵代入见\ref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb}。集中后的轮廓似然估计准则为 +对干扰参数 $\boldsymbol\psi$ 的逐项闭式消元——先消 $\zeta_\ell$、再消 $\sigma_\ell$——与第~\ref{sec:det_doa_est} 节单阵列情形完全平行；详细矩阵代入见\ref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb}。集中后的轮廓似然估计准则为 % \begin{equation} - \widehat{\boldsymbol\eta}_{\mathrm{stat}} + \widehat{\boldsymbol\eta} = \arg\min_{\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}}} \sum_{\ell=0}^{L-1} @@ -239,7 +239,7 @@ 若实际中 $\sigma_\ell$ 已知或由预处理获得，可退化为加权集中似然形式 % \begin{equation} - \widehat{\boldsymbol\eta}_{\mathrm{stat}} + \widehat{\boldsymbol\eta} = \arg\max_{\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}}} \sum_{\ell=0}^{L-1} @@ -280,4 +280,4 @@ \end{figure} 本节完成了多星主线中的静态基线：同一个全局方向 $\boldsymbol\xi$ 同时决定各星局部导向矢量，而参考星 Doppler $\nu_{\mathrm{ref}}$ 通过几何映射决定各星链路 Doppler。 -后续第~\ref{sec:dynamicDoaDopplerEst} 节将沿\emph{时间结构}维度继续推进，在保持主参数 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}=\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}}$ 不变的前提下引入多帧索引与跨帧连续相位结构。 +后续第~\ref{sec:dynamicDoaDopplerEst} 节将沿\emph{时间结构}维度继续推进，在保持主参数 $\boldsymbol\eta$ 不变的前提下引入多帧索引与跨帧连续相位结构。