From 790f54c0d9c469a25a05020af68de29a0d483975 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Josh Gao Date: Tue, 16 Jun 2026 16:12:23 +0800 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?content(symbol):=20=E5=99=AA=E5=A3=B0=E6=96=B9?= =?UTF-8?q?=E5=B7=AE=E5=85=A8=E6=96=87=E7=BB=9F=E4=B8=80=E8=AE=B0=E4=B8=BA?= =?UTF-8?q?=20\sigma=EF=BC=88=E5=8E=BB=20n=20=E4=B8=8E=20^2=EF=BC=89?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit B:10 早已声明"\sigma 表示方差"，sec1/D 遵守，多星侧却用 \sigma_{n,\ell}^2 偏离。统一回归该约定：\sigma_{n,\ell}^2->\sigma_\ell、\sigma_n^2->\sigma （去 n 与 ^2）；推导中的方差平方 \sigma_{n,\ell}^4->\sigma_\ell^2；白化 标准差 1/\sigma_{n,\ell}->1/\sqrt{\sigma_\ell}（E:765）；E 共同方差情形裸 \sigma^2->\sigma。D 里 \sigma=方差的幂次 \sigma^2/\sigma^4 本就正确、保留。 清理替换产生的循环定义（sec1/D）。如此推导上标即方差的真实幂次，不与 "方差自带 ^2"冲突。 --- parts/A-symbolIndex.tex | 10 +++---- parts/C-classicalDoa.tex | 8 +++--- parts/D-singleArrayCrb.tex | 6 ++--- parts/E-multiSatStaticCrb.tex | 44 +++++++++++++++---------------- parts/F-timestampErrCrb.tex | 20 +++++++------- parts/G-multiFrameCrb.tex | 32 +++++++++++----------- parts/H-userPositionCrb.tex | 2 +- parts/sec1_singleArrayDoa.tex | 6 ++--- parts/sec3_multiSatSingleUser.tex | 16 +++++------ parts/sec4_multiSatMultiUser.tex | 12 ++++----- parts/sec5_timestampError.tex | 8 +++--- parts/sec6_multiFrameCp.tex | 10 +++---- parts/sec7_userPositioning.tex | 4 +-- 13 files changed, 89 insertions(+), 89 deletions(-) diff --git a/parts/A-symbolIndex.tex b/parts/A-symbolIndex.tex index 0faf96f..59d3275 100644 --- a/parts/A-symbolIndex.tex +++ b/parts/A-symbolIndex.tex @@ -24,9 +24,9 @@ \begin{enumerate} \item 噪声为加性噪声，并与信源相互独立。 \item 单阵列基础模型中，噪声通常取为空间白、时间白、零均值圆对称复高斯噪声。 - \item 噪声方差统一记为 $\sigma_n^2$；多阵列或多卫星模型写为 $\sigma_{n,\ell}^2$。 - \item 多阵列或多卫星模型中，允许不同阵列或不同卫星具有不同噪声方差 $\sigma_{n,\ell}^2$，但同一阵列或同一卫星在一个短观测块或短观测窗口内保持不变。 - \item 典型噪声向量写为 $\mathbf n_t\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma_n^2\mathbf I_M)$、$\mathbf n_{\ell,t}\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma_{n,\ell}^2\mathbf I_{M_\ell})$ 或 $\mathbf n_{\ell,p}(t)\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma_{n,\ell}^2\mathbf I_{M_\ell})$。 + \item 噪声方差统一记为 $\sigma$；多阵列或多卫星模型写为 $\sigma_\ell$。 + \item 多阵列或多卫星模型中，允许不同阵列或不同卫星具有不同噪声方差 $\sigma_\ell$，但同一阵列或同一卫星在一个短观测块或短观测窗口内保持不变。 + \item 典型噪声向量写为 $\mathbf n_t\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma\mathbf I_M)$、$\mathbf n_{\ell,t}\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma_\ell\mathbf I_{M_\ell})$ 或 $\mathbf n_{\ell,p}(t)\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma_\ell\mathbf I_{M_\ell})$。 \end{enumerate} \item \textbf{阵列假设} @@ -468,8 +468,8 @@ $\mathbf J$ & Jacobian 矩阵或导数矩阵，不再用于表示 Fisher 信息矩阵。\\ $\boldsymbol\psi$ & 通用干扰参数向量。 在不同上下文中，它可包含信源复包络、复干扰系数、相位、Doppler rate 或噪声方差。\\ $\boldsymbol\psi_\mu$ & 只影响均值向量的干扰参数子集。\gls{crb} 附录中若噪声方差与均值参数 Fisher 块解耦，则 Schur 补通常只显式保留 $\boldsymbol\psi_\mu$。\\ - $\boldsymbol\psi_{\mathrm{cp}}$ & 连续相位模型的干扰参数集合，通常包含 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$、$\{\chi_\ell\}$、$\{\rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}\}$ 与 $\{\sigma_{n,\ell}^2\}$。\\ - $\boldsymbol\psi_{\mathrm{ip}}$ & 独立相位模型的干扰参数集合，通常包含 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$、自由复增益 $\{\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}\}$ 或其等价极坐标参数 $\{\vartheta_{\ell,p},\rho_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}\}$，以及 $\{\sigma_{n,\ell}^2\}$。\\ + $\boldsymbol\psi_{\mathrm{cp}}$ & 连续相位模型的干扰参数集合，通常包含 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$、$\{\chi_\ell\}$、$\{\rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}\}$ 与 $\{\sigma_\ell\}$。\\ + $\boldsymbol\psi_{\mathrm{ip}}$ & 独立相位模型的干扰参数集合，通常包含 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$、自由复增益 $\{\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}\}$ 或其等价极坐标参数 $\{\vartheta_{\ell,p},\rho_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}\}$，以及 $\{\sigma_\ell\}$。\\ $\mathcal P_{\mathbf B}$ 和 $\mathcal P_{\mathbf B}^{\perp}$ & 到矩阵 $\mathbf B$ 列空间及其正交补的投影算子，定义为 $\mathcal P_{\mathbf B}=\mathbf B(\mathbf B^\Herm\mathbf B)^{-1}\mathbf B^\Herm$ 和 $\mathcal P_{\mathbf B}^{\perp}=\mathbf I-\mathcal P_{\mathbf B}$。当 $\mathbf B=\mathbf A$ 时得到空间导向矩阵投影；当 $\mathbf B=\mathbf B_{\mathrm{st}}$ 时得到空时导向矩阵投影。\\ $\mathbf R$ 或 $\mathbf R_y$ & 随机信号模型中的观测协方差矩阵。\\ $\mathbf R_x$ & 随机信号模型中的信源协方差矩阵。\\ diff --git a/parts/C-classicalDoa.tex b/parts/C-classicalDoa.tex index fe17bc4..fd5ad69 100644 --- a/parts/C-classicalDoa.tex +++ b/parts/C-classicalDoa.tex @@ -181,7 +181,7 @@ e^{-j 2\pi \frac{d}{\lambda_{\mathrm{c}}}(M-1)\sin\theta_k} % where $d$ denotes the inter-element spacing and $\lambda_{\mathrm{c}}$ is the carrier wavelength. -Assuming that the source signals are mutually uncorrelated and that the noise is spatially white with variance $\sigma_n^2$, the array covariance matrix is +Assuming that the source signals are mutually uncorrelated and that the noise is spatially white with variance $\sigma$, the array covariance matrix is % \begin{equation} \mathbf{R}_y @@ -190,7 +190,7 @@ Assuming that the source signals are mutually uncorrelated and that the noise is = \mathbf{A}(\boldsymbol{\theta}) \mathbf{R}_s \mathbf{A}^{\Herm}(\boldsymbol{\theta}) + -\sigma_n^2 \mathbf{I}_M, +\sigma \mathbf{I}_M, \label{eq:music_covariance} \end{equation} % @@ -543,7 +543,7 @@ where $\mathbf{n}_{\ell} \triangleq \vect(\mathbf{N}_{\ell})$ and % is the spatio-temporal steering vector, with $\otimes$ denoting the Kronecker product. Hence, the joint angle-Doppler estimation problem can be recast as a standard subspace estimation problem in the augmented spatio-temporal domain. -Assuming that the source signals are mutually uncorrelated and the noise is spatially and temporally white with variance $\sigma_n^2$, the covariance matrix of $\mathbf{y}_{\ell}$ is given by +Assuming that the source signals are mutually uncorrelated and the noise is spatially and temporally white with variance $\sigma$, the covariance matrix of $\mathbf{y}_{\ell}$ is given by % \begin{equation} \mathbf{R}_y @@ -552,7 +552,7 @@ Assuming that the source signals are mutually uncorrelated and the noise is spat = \mathbf{B}_{\mathrm{st}}\mathbf{R}_{\zeta}\mathbf{B}_{\mathrm{st}}^\Herm + -\sigma_n^2 \mathbf{I}_{MT}, +\sigma \mathbf{I}_{MT}, \label{eq:covariance_st} \end{equation} % diff --git a/parts/D-singleArrayCrb.tex b/parts/D-singleArrayCrb.tex index 3e6c38d..fbaea53 100644 --- a/parts/D-singleArrayCrb.tex +++ b/parts/D-singleArrayCrb.tex @@ -127,7 +127,7 @@ \vspace{-1em} % \begin{equation*} - \mathbb{E} \left[ \mathbf{n}^\Herm_t \mathbf{n}_t \right] = M \sigma_n^2 = M \sigma. + \mathbb{E} \left[ \mathbf{n}^\Herm_t \mathbf{n}_t \right] = M \sigma. \end{equation*} % \begin{equation*} @@ -432,7 +432,7 @@ \tilde{\mathbf n}\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma\mathbf I_{MT}), \end{equation} % -其中 $\sigma\triangleq\sigma_n^2$。因此 +其中 $\sigma$ 为噪声方差。因此 % \begin{equation} \tilde{\mathbf y}\sim\mathcal{CN}\big(\boldsymbol\mu(\boldsymbol\kappa),\sigma\mathbf I_{MT}\big), @@ -715,7 +715,7 @@ $\mathcal P_{[\mathbf B_{\mathrm{st}},\mathbf B_{\mathrm{st},\nu}\mathbf D_\zeta \end{bmatrix}, \end{equation*} % -其中 $\boldsymbol\theta$ 为待估 \gls{doa} 参数向量。严格地说，$\mathbf R_x=\mathbf R_x^\Herm$ 应采用非冗余实参数化；为避免引入额外记号，下文仅用 $\boldsymbol\psi$ 表示信源协方差与噪声方差组成的干扰参数集合，$\sigma \triangleq \sigma_n^2$ 为噪声方差。 +其中 $\boldsymbol\theta$ 为待估 \gls{doa} 参数向量。严格地说，$\mathbf R_x=\mathbf R_x^\Herm$ 应采用非冗余实参数化；为避免引入额外记号，下文仅用 $\boldsymbol\psi$ 表示信源协方差与噪声方差组成的干扰参数集合，$\sigma$ 为噪声方差。 由 $\eqref{eq:schur_complement}$ 的 Schur 补可得 \gls{doa} 的 \gls{efim} 为 % \begin{equation*} diff --git a/parts/E-multiSatStaticCrb.tex b/parts/E-multiSatStaticCrb.tex index 8517a86..dd6612a 100644 --- a/parts/E-multiSatStaticCrb.tex +++ b/parts/E-multiSatStaticCrb.tex @@ -37,7 +37,7 @@ + \tilde{\mathbf n}_\ell, \qquad - \tilde{\mathbf n}_\ell \sim \mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma_{n,\ell}^2 \mathbf I_{M_\ell T}), + \tilde{\mathbf n}_\ell \sim \mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma_\ell \mathbf I_{M_\ell T}), \quad \ell=0,1,\ldots,L-1, \end{equation} % @@ -50,7 +50,7 @@ \in \mathbb C^{M_\ell T \times 1}, \end{equation} % -$\zeta_\ell\in\mathbb C$ 为第 $\ell$ 条链路的未知复干扰系数，$\sigma_{n,\ell}^2$ 为第 $\ell$ 颗卫星对应的噪声方差。 +$\zeta_\ell\in\mathbb C$ 为第 $\ell$ 条链路的未知复干扰系数，$\sigma_\ell$ 为第 $\ell$ 颗卫星对应的噪声方差。 将所有卫星的观测联合堆叠，定义 % @@ -95,9 +95,9 @@ $\zeta_\ell\in\mathbb C$ 为第 $\ell$ 条链路的未知复干扰系数，$\sig = \operatorname{blkdiag} \big( - \sigma_{n,0}^2 \mathbf I_{M_0 T}, + \sigma_0 \mathbf I_{M_0 T}, \ldots, - \sigma_{n,L-1}^2 \mathbf I_{M_{L-1} T} + \sigma_{L-1} \mathbf I_{M_{L-1} T} \big). \end{equation} @@ -438,7 +438,7 @@ $\mathbf g_\ell=\mathbf q_\ell\otimes \mathbf a_\ell$ \mathcal I_{\eta\eta} = \sum_{\ell=0}^{L-1} - \frac{2}{\sigma_{n,\ell}^2} + \frac{2}{\sigma_\ell} \Re\left\{ \mathbf J_{\eta,\ell}^{\Herm}\mathbf J_{\eta,\ell} \right\}, @@ -448,9 +448,9 @@ $\mathbf g_\ell=\mathbf q_\ell\otimes \mathbf a_\ell$ \mathcal I_{\eta\psi} = \begin{bmatrix} - \dfrac{2}{\sigma_{n,0}^2}\Re\left\{\mathbf J_{\eta,0}^{\Herm}\mathbf J_{\psi,0}\right\} + \dfrac{2}{\sigma_0}\Re\left\{\mathbf J_{\eta,0}^{\Herm}\mathbf J_{\psi,0}\right\} & \cdots & - \dfrac{2}{\sigma_{n,L-1}^2}\Re\left\{\mathbf J_{\eta,L-1}^{\Herm}\mathbf J_{\psi,L-1}\right\} + \dfrac{2}{\sigma_{L-1}}\Re\left\{\mathbf J_{\eta,L-1}^{\Herm}\mathbf J_{\psi,L-1}\right\} \end{bmatrix}, \label{eq:A6_Itb} \end{equation} @@ -459,9 +459,9 @@ $\mathbf g_\ell=\mathbf q_\ell\otimes \mathbf a_\ell$ = \operatorname{blkdiag} \left( - \frac{2}{\sigma_{n,0}^2}\Re\left\{\mathbf J_{\psi,0}^{\Herm}\mathbf J_{\psi,0}\right\}, + \frac{2}{\sigma_0}\Re\left\{\mathbf J_{\psi,0}^{\Herm}\mathbf J_{\psi,0}\right\}, \ldots, - \frac{2}{\sigma_{n,L-1}^2}\Re\left\{\mathbf J_{\psi,L-1}^{\Herm}\mathbf J_{\psi,L-1}\right\} + \frac{2}{\sigma_{L-1}}\Re\left\{\mathbf J_{\psi,L-1}^{\Herm}\mathbf J_{\psi,L-1}\right\} \right). \label{eq:A6_Ibb} \end{equation} @@ -501,7 +501,7 @@ $\begin{bmatrix}\mathbf g_\ell & j\mathbf g_\ell\end{bmatrix}$。虽然这两个 \mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}}) = 2\sum_{\ell=0}^{L-1} - \frac{1}{\sigma_{n,\ell}^2} + \frac{1}{\sigma_\ell} \Re\left\{ \mathbf J_{\eta,\ell}^{\Herm} \mathcal P_{\mathbf g_\ell}^{\perp} @@ -516,7 +516,7 @@ $\begin{bmatrix}\mathbf g_\ell & j\mathbf g_\ell\end{bmatrix}$。虽然这两个 \mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}}) = 2\sum_{\ell=0}^{L-1} - \frac{|\zeta_\ell|^2}{\sigma_{n,\ell}^2} + \frac{|\zeta_\ell|^2}{\sigma_\ell} \Re\left\{ \mathbf D_\ell^{\Herm} \mathcal P_{\mathbf g_\ell}^{\perp} @@ -589,11 +589,11 @@ $\begin{bmatrix}\mathbf g_\ell & j\mathbf g_\ell\end{bmatrix}$。虽然这两个 \subsubsection{备注} \begin{enumerate} - \item 若所有卫星噪声方差相同，即 $\sigma_{n,\ell}^2=\sigma^2$，则 \eqref{eq:A6_Ieff_final} 退化为 + \item 若所有卫星噪声方差相同，即 $\sigma_\ell=\sigma$，则 \eqref{eq:A6_Ieff_final} 退化为 \begin{equation} \mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}}) = - \frac{2}{\sigma^2} + \frac{2}{\sigma} \sum_{\ell=0}^{L-1} |\zeta_\ell|^2 \Re\left\{ @@ -601,14 +601,14 @@ $\begin{bmatrix}\mathbf g_\ell & j\mathbf g_\ell\end{bmatrix}$。虽然这两个 \right\}. \end{equation} - \item 若进一步将噪声方差 $\{\sigma_{n,\ell}^2\}_{\ell=0}^{L-1}$ 也并入待估参数，则协方差项仅对这些方差参数自身有贡献，且与均值参数块解耦。具体而言，若把第 $\ell$ 条链路的方差参数取为 $\sigma_{n,\ell}^2$，则有 + \item 若进一步将噪声方差 $\{\sigma_\ell\}_{\ell=0}^{L-1}$ 也并入待估参数，则协方差项仅对这些方差参数自身有贡献，且与均值参数块解耦。具体而言，若把第 $\ell$ 条链路的方差参数取为 $\sigma_\ell$，则有 \begin{equation} - [\mathcal I(\boldsymbol\kappa_{\mathrm{stat}})]_{\sigma_{n,\ell}^2,\sigma_{n,\ell}^2} + [\mathcal I(\boldsymbol\kappa_{\mathrm{stat}})]_{\sigma_\ell,\sigma_\ell} = - \frac{M_\ell T}{\sigma_{n,\ell}^4}, + \frac{M_\ell T}{\sigma_\ell^2}, \qquad - [\mathcal I(\boldsymbol\kappa_{\mathrm{stat}})]_{\sigma_{n,\ell}^2,i}=0, - \quad i\neq \sigma_{n,\ell}^2, + [\mathcal I(\boldsymbol\kappa_{\mathrm{stat}})]_{\sigma_\ell,i}=0, + \quad i\neq \sigma_\ell, \end{equation} % 因此不会改变 \eqref{eq:A6_Ieff_final} 给出的 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}}$ 的 \gls{efim}。 @@ -706,7 +706,7 @@ $\mathbf J_{\psi,\ell}$ 的实参数化二维实子空间与复矩阵 $\mathbf G \mathcal I_{\eta\eta} = \sum_{\ell=0}^{L-1} - \frac{2}{\sigma_{n,\ell}^2} + \frac{2}{\sigma_\ell} \Re\big\{\mathbf J_{\eta,\ell}^\Herm\mathbf J_{\eta,\ell}\big\}. \end{equation} % @@ -729,7 +729,7 @@ $\mathbf J_{\psi,\ell}$ 的实参数化二维实子空间与复矩阵 $\mathbf G \mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}) = 2\sum_{\ell=0}^{L-1} - \frac{1}{\sigma_{n,\ell}^2} + \frac{1}{\sigma_\ell} \Re\big\{ \mathbf J_{\eta,\ell}^\Herm \mathcal P_{\mathbf G_\ell}^\perp @@ -744,7 +744,7 @@ $\mathbf J_{\psi,\ell}$ 的实参数化二维实子空间与复矩阵 $\mathbf G \big[\mathcal I_{\mathrm e}\big]_{kk'} = 2\sum_{\ell=0}^{L-1} - \frac{1}{\sigma_{n,\ell}^2} + \frac{1}{\sigma_\ell} \Re\Big\{ \zeta_{\ell,k}^*\zeta_{\ell,k'}\, \mathbf D_{\ell,k}^\Herm @@ -762,7 +762,7 @@ $\mathbf J_{\psi,\ell}$ 的实参数化二维实子空间与复矩阵 $\mathbf G \begin{equation} \bar{\mathbf J}_{\eta,\ell} \triangleq - \frac{1}{\sigma_{n,\ell}}\mathcal P_{\mathbf G_\ell}^\perp\mathbf J_{\eta,\ell}, + \frac{1}{\sqrt{\sigma_\ell}}\mathcal P_{\mathbf G_\ell}^\perp\mathbf J_{\eta,\ell}, \end{equation} % \gls{efim} 非奇异 $\Leftrightarrow$ 联合矩阵 $[\bar{\mathbf J}_{\eta,0}^\Tran,\ldots,\bar{\mathbf J}_{\eta,L-1}^\Tran]^\Tran$ 列满秩，即 ``$3K\le \sum_\ell M_\ell T$ 且不同用户的白化 score 之间不存在跨星全局共线性''。 diff --git a/parts/F-timestampErrCrb.tex b/parts/F-timestampErrCrb.tex index 8b3097c..c5c62ed 100644 --- a/parts/F-timestampErrCrb.tex +++ b/parts/F-timestampErrCrb.tex @@ -40,7 +40,7 @@ \big[\mathcal I(\boldsymbol\kappa_{\mathrm{te}})\big]_{ij} = \sum_{\ell=0}^{L-1} - \frac{2}{\sigma_{n,\ell}^2} + \frac{2}{\sigma_\ell} \Re\left\{ \frac{\partial\boldsymbol\mu_\ell^\Herm}{\partial\kappa_i} \frac{\partial\boldsymbol\mu_\ell}{\partial\kappa_j} @@ -65,7 +65,7 @@ \begin{equation} \big[\mathcal I_{\delta\delta}\big]_{\ell\ell'} = - \frac{2}{\sigma_{n,\ell}^2} + \frac{2}{\sigma_\ell} \Re\left\{ \frac{\partial\boldsymbol\mu_\ell^\Herm}{\partial\delta_\ell} \frac{\partial\boldsymbol\mu_\ell}{\partial\delta_\ell} @@ -107,7 +107,7 @@ $\mathcal I_{\delta\psi}$ 同样具有按 $\ell$ 的块对角结构：第 $\ell$ \begin{aligned} \mathcal I_{\eta\eta}' &= - 2\sum_{\ell}\frac{1}{\sigma_{n,\ell}^2} + 2\sum_{\ell}\frac{1}{\sigma_\ell} \Re\left\{ \mathbf J_{\eta,\ell}^\Herm \big(\mathbf I-\mathcal P_{\mathbf G_\ell}\big) @@ -116,7 +116,7 @@ $\mathcal I_{\delta\psi}$ 同样具有按 $\ell$ 的块对角结构：第 $\ell$ \mathcal I_{\delta\delta}' &= \operatorname{diag}\Big( - \tfrac{2}{\sigma_{n,\ell}^2} + \tfrac{2}{\sigma_\ell} \Re\big\{\mathbf j_{\delta,\ell}^\Herm (\mathbf I-\mathcal P_{\mathbf G_\ell}) \mathbf j_{\delta,\ell}\big\}\big|_{\delta_\ell=0} @@ -125,7 +125,7 @@ $\mathcal I_{\delta\psi}$ 同样具有按 $\ell$ 的块对角结构：第 $\ell$ &= \begin{bmatrix} \cdots\quad - \tfrac{2}{\sigma_{n,\ell}^2} + \tfrac{2}{\sigma_\ell} \Re\big\{\mathbf J_{\eta,\ell}^\Herm (\mathbf I-\mathcal P_{\mathbf G_\ell})\mathbf j_{\delta,\ell}\big\}\big|_{\delta_\ell=0} \quad\cdots @@ -173,7 +173,7 @@ $\mathcal I_{\delta\psi}$ 同样具有按 $\ell$ 的块对角结构：第 $\ell$ 大误差区下 \eqref{eq:F2_efim_final} 的一阶展开失效。此时把 \gls{efim} 视为关于 $\boldsymbol\delta$ 真值的函数，按下列流程逐场景数值评估： \begin{enumerate} - \item 给定真值 $(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}},\boldsymbol\delta)$ 与各星 $\sigma_{n,\ell}^2$、$\{\zeta_{\ell,k}\}$； + \item 给定真值 $(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}},\boldsymbol\delta)$ 与各星 $\sigma_\ell$、$\{\zeta_{\ell,k}\}$； \item 对每颗卫星 $\ell$，按 \eqref{eq:sec5_signal_model} 计算 $\mathbf g_{\ell,k}(\delta_\ell)$ 及其关于 $(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}},\delta_\ell)$ 的数值 Jacobian——其中 $\partial/\partial\delta_\ell$ 不再用 \eqref{eq:F2_jdelta} 一阶近似，而是用中心差分直接评估 $s_k(t-\delta_\ell)$ 与 $e^{j\nu_{\ell,k}(t-\delta_\ell)}$； \item 组装 \eqref{eq:F1_three_block} 各分块，按 \S\ref{subsec:F2_schurDelta} 的顺序先消复增益、再消 $\boldsymbol\delta$； \item 输出 $\mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}};\boldsymbol\delta)$ 并取逆得到 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ 的 \gls{crb}。 @@ -195,10 +195,10 @@ $\boldsymbol\delta$ 在导频自相关半宽 $T_{\mathrm{ac}}$ 处的非线性 = \mathcal I_{\mathrm e}^{(\mathrm{stat})}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}}) = - \frac{2|\zeta_0|^2}{\sigma_{n,0}^2} + \frac{2|\zeta_0|^2}{\sigma_0} \Re\big\{\mathbf D_0^\Herm\mathcal P_{\mathbf g_0}^\perp\mathbf D_0\big\} + - \frac{2|\zeta_1|^2}{\sigma_{n,1}^2} + \frac{2|\zeta_1|^2}{\sigma_1} \Re\big\{\mathbf D_1^\Herm\mathcal P_{\mathbf g_1}^\perp\mathbf D_1\big\}\bigg|_{\delta_1=0}, \end{equation} % @@ -222,7 +222,7 @@ $\boldsymbol\delta=[\delta_1]$ 退化为标量，\eqref{eq:F2_jdelta} 中 \begin{equation} \mathcal I_{\delta\delta}' = - \frac{2|\zeta_1|^2}{\sigma_{n,1}^2} + \frac{2|\zeta_1|^2}{\sigma_1} \big\|\mathbf a_1(\boldsymbol\xi)\big\|_2^2 \cdot \Re\big\{(\dot{\mathbf q}_1^{\,\mathrm{te}})^\Herm\mathcal P_{\mathbf q_1}^\perp\dot{\mathbf q}_1^{\,\mathrm{te}}\big\}, @@ -236,7 +236,7 @@ $\boldsymbol\delta=[\delta_1]$ 退化为标量，\eqref{eq:F2_jdelta} 中 \begin{equation} \mathbf v'_{\eta\delta,1} = - \frac{2}{\sigma_{n,1}^2} + \frac{2}{\sigma_1} \Re\Big\{ \zeta_1^*\mathbf D_1^\Herm \big(\mathbf I-\mathcal P_{\mathbf g_1}\big) diff --git a/parts/G-multiFrameCrb.tex b/parts/G-multiFrameCrb.tex index dd7538e..3e83f0e 100644 --- a/parts/G-multiFrameCrb.tex +++ b/parts/G-multiFrameCrb.tex @@ -188,12 +188,12 @@ = \operatorname{blkdiag} \Big( - \{\sigma_{n,\ell}^2\mathbf I_{M_\ell T}\}_{(\ell,p)\in\mathcal B} + \{\sigma_\ell\mathbf I_{M_\ell T}\}_{(\ell,p)\in\mathcal B} \Big), \label{eq:A7_Rn_cp_stack} \end{equation} % -其中每个 $(\ell,p)$ 观测块对应一个 $M_\ell T\times M_\ell T$ 的对角噪声协方差块；同一卫星的不同帧共享同一 $\sigma_{n,\ell}^2$。 +其中每个 $(\ell,p)$ 观测块对应一个 $M_\ell T\times M_\ell T$ 的对角噪声协方差块；同一卫星的不同帧共享同一 $\sigma_\ell$。 由于这里所有待估参数仅通过均值向量进入，而 $\mathbf R_n$ 与这些参数无关，因此对任意实参数 $\kappa_i,\kappa_j$，Fisher 信息矩阵元素统一写为 % \begin{equation} @@ -218,7 +218,7 @@ \mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}},\dot\nu_{\mathrm{ref}}) + \tilde{\mathbf n}_{\ell,p}, \qquad - \tilde{\mathbf n}_{\ell,p}\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma_{n,\ell}^2\mathbf I_{M_\ell T}). + \tilde{\mathbf n}_{\ell,p}\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma_\ell\mathbf I_{M_\ell T}). \end{equation} % 记 @@ -575,7 +575,7 @@ \mathcal I_{\mathrm e}^{\mathrm{rel}}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{ext}}) = 2\sum_{\ell=0}^{L-1}\sum_{p=0}^{P-1} - \frac{|\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp,rel}}|^2}{\sigma_{n,\ell}^2} + \frac{|\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp,rel}}|^2}{\sigma_\ell} \Re\left\{ \big(\mathbf D^{\mathrm{rel}}_{\mathrm{ext},\ell,p}\big)^{\Herm} \mathcal P^{\perp}_{\mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}} @@ -1048,15 +1048,15 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则 \subsubsection{关于噪声方差参数的说明} -上面的推导默认 $\{\sigma_{n,\ell}^2\}$ 已知，或者已通过预估获得。若将 $\{\sigma_{n,\ell}^2\}$ 也并入待估参数，由于本附录中的确定信号模型只通过均值向量依赖于 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}$、$\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 及各类增益/相位参数，而协方差只依赖于 $\{\sigma_{n,\ell}^2\}$，因此噪声方差参数与均值参数在 Fisher 信息矩阵中是正交的。对第 $\ell$ 颗卫星，有 +上面的推导默认 $\{\sigma_\ell\}$ 已知，或者已通过预估获得。若将 $\{\sigma_\ell\}$ 也并入待估参数，由于本附录中的确定信号模型只通过均值向量依赖于 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}$、$\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 及各类增益/相位参数，而协方差只依赖于 $\{\sigma_\ell\}$，因此噪声方差参数与均值参数在 Fisher 信息矩阵中是正交的。对第 $\ell$ 颗卫星，有 % \begin{equation} - \big[\mathcal I(\boldsymbol\kappa)\big]_{\sigma_{n,\ell}^2,\sigma_{n,\ell}^2} + \big[\mathcal I(\boldsymbol\kappa)\big]_{\sigma_\ell,\sigma_\ell} = - \frac{M_\ell P T}{\sigma_{n,\ell}^4}. + \frac{M_\ell P T}{\sigma_\ell^2}. \end{equation} % -因此，无论在连续相位模型还是 relaxed 连续相位模型下，将 $\sigma_{n,\ell}^2$ 视为未知量都只会在 \gls{fim} 中附加与其他参数解耦的对角块，不改变式~\eqref{eq:A7_Ieff_cp}、\eqref{eq:A7_Ieff_rel_ext} 和 \eqref{eq:A7_Ieff_rel_eta} 的形式。 +因此，无论在连续相位模型还是 relaxed 连续相位模型下，将 $\sigma_\ell$ 视为未知量都只会在 \gls{fim} 中附加与其他参数解耦的对角块，不改变式~\eqref{eq:A7_Ieff_cp}、\eqref{eq:A7_Ieff_rel_ext} 和 \eqref{eq:A7_Ieff_rel_eta} 的形式。 因此，本小节给出的不是新的动态模型，而是正文连续相位模型和 relaxed 连续相位处理的 Fisher 信息表达。它与 \S\ref{sec:A8_dynIndependentPhaseCrb} 的比较应围绕``是否保留跨帧绝对相位连续性''展开，而不是围绕不同的主参数定义展开。 @@ -1147,7 +1147,7 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则 其中 % \begin{equation} - \tilde{\mathbf n}_{\ell,p}\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma_{n,\ell}^2\mathbf I_{M_\ell T}), + \tilde{\mathbf n}_{\ell,p}\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma_\ell\mathbf I_{M_\ell T}), \qquad \ell=0,\ldots,L-1,\qquad p=0,\ldots,P-1. @@ -1297,7 +1297,7 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则 \end{bmatrix}^{\Tran}. \end{equation} % -为简化书写，这里先假定 $\{\sigma_{n,\ell}^2\}$ 已知；关于未知噪声方差的情形将在附录末尾补充说明。 +为简化书写，这里先假定 $\{\sigma_\ell\}$ 已知；关于未知噪声方差的情形将在附录末尾补充说明。 对任意实参数 $\kappa_i$ 与 $\kappa_j$，Fisher 信息矩阵元素统一写为 % @@ -1360,7 +1360,7 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则 \begin{equation} \mathcal I^{\mathrm{ip}}_{\mathrm{ext},\ell,p} = - 2\frac{(\rho_{\ell,p}^{\mathrm{ip}})^2}{\sigma_{n,\ell}^2} + 2\frac{(\rho_{\ell,p}^{\mathrm{ip}})^2}{\sigma_\ell} \Re\left\{ \big(\mathbf D^{\mathrm{ip}}_{\eta\dot\nu,\ell,p}\big)^{\Herm} \mathcal P^{\perp}_{\mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}} @@ -1393,7 +1393,7 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则 \mathcal I^{\mathrm{ip}}_{\mathrm{ext},\ell,p} = 2\sum_{\ell=0}^{L-1}\sum_{p=0}^{P-1} - \frac{(\rho_{\ell,p}^{\mathrm{ip}})^2}{\sigma_{n,\ell}^2} + \frac{(\rho_{\ell,p}^{\mathrm{ip}})^2}{\sigma_\ell} \Re\left\{ \big(\mathbf D^{\mathrm{ip}}_{\eta\dot\nu,\ell,p}\big)^{\Herm} \mathcal P^{\perp}_{\mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}} @@ -1496,14 +1496,14 @@ Doppler 截距信息，因此通常不会缓解 \gls{doa}--Doppler--rate 耦合 \subsubsection{关于噪声方差参数的说明} -若进一步将 $\{\sigma_{n,\ell}^2\}$ 也并入待估参数，由于它们只进入协方差矩阵而不进入均值函数，因此与前述均值参数在 Fisher 信息矩阵中仍然解耦。对第 $\ell$ 颗卫星，有 +若进一步将 $\{\sigma_\ell\}$ 也并入待估参数，由于它们只进入协方差矩阵而不进入均值函数，因此与前述均值参数在 Fisher 信息矩阵中仍然解耦。对第 $\ell$ 颗卫星，有 % \begin{equation} - \big[\mathcal I(\cdot)\big]_{\sigma_{n,\ell}^2,\sigma_{n,\ell}^2} + \big[\mathcal I(\cdot)\big]_{\sigma_\ell,\sigma_\ell} = - \frac{M_\ell P T}{\sigma_{n,\ell}^4}. + \frac{M_\ell P T}{\sigma_\ell^2}. \end{equation} % -因此，将 $\sigma_{n,\ell}^2$ 视为未知量不会改变式~\eqref{eq:A8_IP_FIM_etadotnu} 与式~\eqref{eq:A8_IP_EFIM_eta} 的形式，只是在完整 Fisher 信息矩阵中附加一个与其他参数解耦的对角块。 +因此，将 $\sigma_\ell$ 视为未知量不会改变式~\eqref{eq:A8_IP_FIM_etadotnu} 与式~\eqref{eq:A8_IP_EFIM_eta} 的形式，只是在完整 Fisher 信息矩阵中附加一个与其他参数解耦的对角块。 至此，动态多帧主线的两类性能界已经形成闭环： \ref{sec:A7_dynDoaDopplerCrb} 对应连续相位/relaxed 连续相位模型，本附录对应独立相位基线模型。二者共享同一主参数 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}$，因而可以直接比较相位连续性对 \gls{doa}--Doppler 信息保留能力的影响。 \ No newline at end of file diff --git a/parts/H-userPositionCrb.tex b/parts/H-userPositionCrb.tex index a5bb538..525fc02 100644 --- a/parts/H-userPositionCrb.tex +++ b/parts/H-userPositionCrb.tex @@ -55,7 +55,7 @@ Doppler 部分，由 $\nu_\ell=\nu_{\mathrm{ref}}+\Delta\nu_\ell(\mathbf p)$ 与 % \begin{equation} \mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{pos}}) - =2\sum_{\ell=0}^{L-1}\frac{|\zeta_\ell|^2}{\sigma_{n,\ell}^2} + =2\sum_{\ell=0}^{L-1}\frac{|\zeta_\ell|^2}{\sigma_\ell} \Re\big\{(\mathbf D_\ell^{\mathrm{pos}})^\Herm\mathcal P_{\mathbf g_\ell}^\perp\mathbf D_\ell^{\mathrm{pos}}\big\}\in\mathbb R^{4\times4}. \label{eq:H_efim} \end{equation} diff --git a/parts/sec1_singleArrayDoa.tex b/parts/sec1_singleArrayDoa.tex index c7a9730..e603772 100644 --- a/parts/sec1_singleArrayDoa.tex +++ b/parts/sec1_singleArrayDoa.tex @@ -37,7 +37,7 @@ $M$ 元阵列在第 $t$ 个快拍的接收向量记为 \in \mathbb C^{M\times K} $，其中 $\mathbf a(\bm{\theta}_k)$ 为第 $k$ 个信源对应的导向矢量； \item 信源快拍 $\mathbf x_t=[x_1(t),\ldots,x_K(t)]^\Tran\in\mathbb C^{K\times 1}$，作为确定性未知量； - \item 噪声向量 $\mathbf n_t\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma_n^2\mathbf I_M)$。 + \item 噪声向量 $\mathbf n_t\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma\mathbf I_M)$，$\sigma$ 为噪声方差。 \end{itemize} 将所有快拍按列堆叠得到矩阵形式 @@ -57,7 +57,7 @@ $M$ 元阵列在第 $t$ 个快拍的接收向量记为 \left[\bm\theta_1^\Tran,\ldots,\bm\theta_K^\Tran\right]^\Tran, \end{equation*} % -干扰参数为信源快拍 $\{\mathbf x_t\}$ 与噪声方差 $\sigma_n^2$。 +干扰参数为信源快拍 $\{\mathbf x_t\}$ 与噪声方差 $\sigma$。 \subsection{阵列模型：ULA 与 UPA} \label{subsec:single_arr_array_model} @@ -124,7 +124,7 @@ $M$ 元阵列在第 $t$ 个快拍的接收向量记为 \subsection{对数似然与确定最大似然准则} -记 $\sigma\triangleq\sigma_n^2$。由 $\mathbf n_t\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma\mathbf I_M)$ 及 $\mathbf x_t$ 的确定性假设，有 $\mathbf y_t\sim\mathcal{CN}(\mathbf A(\bm\Theta)\mathbf x_t,\sigma\mathbf I_M)$。各快拍独立，对数似然为 +由 $\mathbf n_t\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma\mathbf I_M)$ 及 $\mathbf x_t$ 的确定性假设，有 $\mathbf y_t\sim\mathcal{CN}(\mathbf A(\bm\Theta)\mathbf x_t,\sigma\mathbf I_M)$。各快拍独立，对数似然为 % \begin{equation} \label{eq:det_ml_log_likelihood} diff --git a/parts/sec3_multiSatSingleUser.tex b/parts/sec3_multiSatSingleUser.tex index fdb72be..9da6092 100644 --- a/parts/sec3_multiSatSingleUser.tex +++ b/parts/sec3_multiSatSingleUser.tex @@ -145,7 +145,7 @@ + \mathbf n_\ell(t), \qquad - \mathbf n_\ell(t)\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma_{n,\ell}^2\mathbf I_{M_\ell}), + \mathbf n_\ell(t)\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma_\ell\mathbf I_{M_\ell}), \end{equation} % 其中 $\nu_\ell(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})\triangleq \nu_{\mathrm{ref}}+\Delta\nu_\ell(\boldsymbol\xi)$。 @@ -184,7 +184,7 @@ + \tilde{\mathbf n}_\ell, \qquad - \tilde{\mathbf n}_\ell\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma_{n,\ell}^2\mathbf I_{M_\ell T}). + \tilde{\mathbf n}_\ell\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma_\ell\mathbf I_{M_\ell T}). \end{equation} % 本节的干扰参数为 @@ -194,7 +194,7 @@ = \Big[ \{\zeta_\ell\}_{\ell=0}^{L-1}, - \{\sigma_{n,\ell}^2\}_{\ell=0}^{L-1} + \{\sigma_\ell\}_{\ell=0}^{L-1} \Big]^\Tran. \end{equation} @@ -207,9 +207,9 @@ = \sum_{\ell=0}^{L-1} \left[ - M_\ell T\log\sigma_{n,\ell}^2 + M_\ell T\log\sigma_\ell + - \frac{1}{\sigma_{n,\ell}^2} + \frac{1}{\sigma_\ell} \left\| \tilde{\mathbf y}_\ell - @@ -218,7 +218,7 @@ \right]. \end{equation} -对干扰参数 $\boldsymbol\psi_{\mathrm{stat}}$ 的逐项闭式消元——先消 $\zeta_\ell$、再消 $\sigma_{n,\ell}^2$——与第~\ref{sec:det_doa_est} 节单阵列情形完全平行；详细矩阵代入见\ref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb}。集中后的轮廓似然估计准则为 +对干扰参数 $\boldsymbol\psi_{\mathrm{stat}}$ 的逐项闭式消元——先消 $\zeta_\ell$、再消 $\sigma_\ell$——与第~\ref{sec:det_doa_est} 节单阵列情形完全平行；详细矩阵代入见\ref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb}。集中后的轮廓似然估计准则为 % \begin{equation} \widehat{\boldsymbol\eta}_{\mathrm{stat}} @@ -236,14 +236,14 @@ {\|\mathbf g_\ell\|_2^2}. \end{equation} % -若实际中 $\sigma_{n,\ell}^2$ 已知或由预处理获得，可退化为加权集中似然形式 +若实际中 $\sigma_\ell$ 已知或由预处理获得，可退化为加权集中似然形式 % \begin{equation} \widehat{\boldsymbol\eta}_{\mathrm{stat}} = \arg\max_{\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}}} \sum_{\ell=0}^{L-1} - \frac{1}{\sigma_{n,\ell}^2} + \frac{1}{\sigma_\ell} \frac{\left|\mathbf g_\ell^\Herm\tilde{\mathbf y}_\ell\right|^2} {\|\mathbf g_\ell\|_2^2}. \end{equation} diff --git a/parts/sec4_multiSatMultiUser.tex b/parts/sec4_multiSatMultiUser.tex index 0e3fa2f..e282916 100644 --- a/parts/sec4_multiSatMultiUser.tex +++ b/parts/sec4_multiSatMultiUser.tex @@ -32,7 +32,7 @@ + \mathbf n_\ell(t), \qquad - \mathbf n_\ell(t)\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma_{n,\ell}^2\mathbf I_{M_\ell}). + \mathbf n_\ell(t)\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma_\ell\mathbf I_{M_\ell}). \end{equation} % 其中 $s_k(t)$ 为第 $k$ 个用户的已知导频，可逐用户彼此不同；噪声仍假设星间异方差、星内同方差。 @@ -110,7 +110,7 @@ $\boldsymbol\Xi\triangleq[\boldsymbol\xi_1,\ldots,\boldsymbol\xi_K]$，$\boldsym = \Big[ \{\zeta_{\ell,k}\}_{\ell,k}, - \{\sigma_{n,\ell}^2\}_{\ell=0}^{L-1} + \{\sigma_\ell\}_{\ell=0}^{L-1} \Big]^\Tran. \end{equation} % @@ -125,9 +125,9 @@ $\boldsymbol\Xi\triangleq[\boldsymbol\xi_1,\ldots,\boldsymbol\xi_K]$，$\boldsym = \sum_{\ell=0}^{L-1} \left[ - M_\ell T\log\sigma_{n,\ell}^2 + M_\ell T\log\sigma_\ell + - \frac{1}{\sigma_{n,\ell}^2} + \frac{1}{\sigma_\ell} \left\| \tilde{\mathbf y}_\ell - @@ -146,7 +146,7 @@ $\boldsymbol\Xi\triangleq[\boldsymbol\xi_1,\ldots,\boldsymbol\xi_K]$，$\boldsym \tilde{\mathbf y}_\ell. \end{equation} % -代回并再对 $\sigma_{n,\ell}^2$ 轮廓化（与第~\ref{sec:det_doa_est} 节完全平行），得到多用户集中似然准则 +代回并再对 $\sigma_\ell$ 轮廓化（与第~\ref{sec:det_doa_est} 节完全平行），得到多用户集中似然准则 % \begin{equation} \label{eq:sec4_concentrated} @@ -172,7 +172,7 @@ $\boldsymbol\Xi\triangleq[\boldsymbol\xi_1,\ldots,\boldsymbol\xi_K]$，$\boldsym = \arg\max_{\boldsymbol\Xi,\boldsymbol\nu_{\mathrm{ref}}} \sum_{\ell=0}^{L-1} - \frac{1}{\sigma_{n,\ell}^2} + \frac{1}{\sigma_\ell} \tilde{\mathbf y}_\ell^\Herm \mathcal P_{\mathbf G_\ell} \tilde{\mathbf y}_\ell. diff --git a/parts/sec5_timestampError.tex b/parts/sec5_timestampError.tex index 0e64ddf..eb38f0b 100644 --- a/parts/sec5_timestampError.tex +++ b/parts/sec5_timestampError.tex @@ -113,7 +113,7 @@ \Big[ \boldsymbol\delta^\Tran, \big\{\zeta_{\ell,k}\big\}_{\ell,k}, - \big\{\sigma_{n,\ell}^2\big\}_{\ell=0}^{L-1} + \big\{\sigma_\ell\big\}_{\ell=0}^{L-1} \Big]^\Tran, \end{equation} % @@ -124,9 +124,9 @@ = \sum_{\ell=0}^{L-1} \left[ - M_\ell T\log\sigma_{n,\ell}^2 + M_\ell T\log\sigma_\ell + - \frac{1}{\sigma_{n,\ell}^2} + \frac{1}{\sigma_\ell} \sum_{t=0}^{T-1} \left\| \mathbf y_\ell(t) @@ -136,7 +136,7 @@ \right] \end{equation} % -关于 $(\boldsymbol\zeta,\sigma_{n,\ell}^2)$ 的闭式消元与第~\ref{sec:multiSatMultiUser} 节平行，差别仅在 $\mathbf g_{\ell,k}$ 现在依赖 $\delta_\ell$。 +关于 $(\boldsymbol\zeta,\sigma_\ell)$ 的闭式消元与第~\ref{sec:multiSatMultiUser} 节平行，差别仅在 $\mathbf g_{\ell,k}$ 现在依赖 $\delta_\ell$。 记完整实参数向量 % diff --git a/parts/sec6_multiFrameCp.tex b/parts/sec6_multiFrameCp.tex index 76eaa4d..2090989 100644 --- a/parts/sec6_multiFrameCp.tex +++ b/parts/sec6_multiFrameCp.tex @@ -62,7 +62,7 @@ \mathbf n_{\ell,p}(t), \end{equation} % -其中 $\mathbf n_{\ell,p}(t)\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma_{n,\ell}^2\mathbf I_{M_\ell})$。 +其中 $\mathbf n_{\ell,p}(t)\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma_\ell\mathbf I_{M_\ell})$。 $\chi_\ell$ 为第 $\ell$ 颗卫星在参考时刻的\emph{公共相位}，由同一颗卫星的不同帧共享——这是 CP 模型相比静态模型的核心新结构：它把 $L\times P$ 个块复增益的自由度从 ``$LP$ 个独立复数'' 压回为 ``$L$ 个公共相位 + $LP$ 个非负实幅度''，从而显式利用跨帧绝对时间信息。 定义 CP 模板与空时模板 @@ -149,7 +149,7 @@ CP 模型的干扰参数向量为 \dot\nu_{\mathrm{ref}}, \{\chi_\ell\}_{\ell=0}^{L-1}, \{\rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}\}_{\ell,p}, - \{\sigma_{n,\ell}^2\}_{\ell=0}^{L-1} + \{\sigma_\ell\}_{\ell=0}^{L-1} \Big]^\Tran. \end{equation} % @@ -158,9 +158,9 @@ CP 模型的干扰参数向量为 \begin{equation} \mathcal L_{\mathrm{cp}}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}},\boldsymbol\psi_{\mathrm{cp}}) = - \sum_{\ell=0}^{L-1}M_\ell PT\log\sigma_{n,\ell}^2 + \sum_{\ell=0}^{L-1}M_\ell PT\log\sigma_\ell + - \sum_{\ell=0}^{L-1}\frac{1}{\sigma_{n,\ell}^2} + \sum_{\ell=0}^{L-1}\frac{1}{\sigma_\ell} \sum_{p=0}^{P-1} \left\| \mathbf Y^{\mathrm{cp}}_{\ell,p} @@ -171,7 +171,7 @@ CP 模型的干扰参数向量为 \right\|_{\mathrm{F}}^2. \end{equation} -依次对 $\sigma_{n,\ell}^2$ 做轮廓化、对非负幅度 $\rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}$ 做正部最小二乘消元后，结构化 CP 集中似然估计准则可写为 +依次对 $\sigma_\ell$ 做轮廓化、对非负幅度 $\rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}$ 做正部最小二乘消元后，结构化 CP 集中似然估计准则可写为 % \begin{equation} \widehat{\boldsymbol\eta}_{\mathrm{dyn}} diff --git a/parts/sec7_userPositioning.tex b/parts/sec7_userPositioning.tex index 09e3d46..23e5680 100644 --- a/parts/sec7_userPositioning.tex +++ b/parts/sec7_userPositioning.tex @@ -67,7 +67,7 @@ % \begin{equation} \mathbf y_\ell(t)=\zeta_\ell\,\mathbf a_\ell(\mathbf p)\,s(t)\,e^{j\nu_\ell(\mathbf p,\nu_{\mathrm{ref}})t}+\mathbf n_\ell(t), - \qquad \mathbf n_\ell(t)\sim\mathcal{CN}(\mathbf0,\sigma_{n,\ell}^2\mathbf I_{M_\ell}). + \qquad \mathbf n_\ell(t)\sim\mathcal{CN}(\mathbf0,\sigma_\ell\mathbf I_{M_\ell}). \end{equation} % 时间模板 $\mathbf q_\ell(\mathbf p,\nu_{\mathrm{ref}})$ 与空时模板 $\mathbf g_\ell=\mathbf q_\ell\otimes\mathbf a_\ell$ 按相同方式定义。主参数为 @@ -77,7 +77,7 @@ =\begin{bmatrix}\mathbf p\\\nu_{\mathrm{ref}}\end{bmatrix}\in\mathbb R^4, \end{equation} % -干扰参数仍为各星复增益与噪声方差 $\{\zeta_\ell,\sigma_{n,\ell}^2\}$。由于似然以及对 $\zeta_\ell$、$\sigma_{n,\ell}^2$ 的闭式消元与第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst} 节逐字平行（只是 $\mathbf g_\ell$ 现在依赖 $\mathbf p$），集中似然准则直接写为 +干扰参数仍为各星复增益与噪声方差 $\{\zeta_\ell,\sigma_\ell\}$。由于似然以及对 $\zeta_\ell$、$\sigma_\ell$ 的闭式消元与第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst} 节逐字平行（只是 $\mathbf g_\ell$ 现在依赖 $\mathbf p$），集中似然准则直接写为 % \begin{equation} \widehat{\boldsymbol\eta}_{\mathrm{pos}}