diff --git a/doa_doppler_est.tex b/doa_doppler_est.tex index 0ecd468..a45def4 100644 --- a/doa_doppler_est.tex +++ b/doa_doppler_est.tex @@ -89,6 +89,7 @@ \usepackage[acronym]{glossaries} \glsdisablehyper% \setacronymstyle{short-long} +\newacronym{aoa}{AoA}{Angle-of-Arrival} \newacronym{cml}{CML}{Conditional Maximum Likelihood} \newacronym{crb}{CRB}{Cramér–Rao Bound} \newacronym{crlb}{CRLB}{Cramér–Rao Lower Bound} diff --git a/parts/H-userPositionCrb.tex b/parts/H-userPositionCrb.tex index d9b37ba..04962a3 100644 --- a/parts/H-userPositionCrb.tex +++ b/parts/H-userPositionCrb.tex @@ -38,7 +38,7 @@ Doppler 部分，由 $\nu_\ell=\nu_{\mathrm{ref}}+\Delta\nu_\ell(\mathbf p)$ 与 \label{eq:H_dnudp} \end{equation} % -其中 $\partial\mathbf u_\ell/\partial\mathbf p$ 正是\eqref{eq:H_dudp}。可见\emph{差分 Doppler 与本地角对位置的灵敏度共用同一个有限距离投影} $(\mathbf I_3-\mathbf u_\ell\mathbf u_\ell^\Tran)/\|\mathbf r_\ell\|_2$——AoA 视差与差分 Doppler 这两条定位信息在 Jacobian 层面同源，且同样随距离增大而衰减。时间模板导数沿用\eqref{eq:A6_qdot}，即 $\partial\mathbf q_\ell/\partial p_i=\dot{\mathbf q}_\ell\,(\partial\nu_\ell/\partial p_i)$、$\partial\mathbf q_\ell/\partial\nu_{\mathrm{ref}}=\dot{\mathbf q}_\ell$。 +其中 $\partial\mathbf u_\ell/\partial\mathbf p$ 正是\eqref{eq:H_dudp}。可见\emph{差分 Doppler 与本地角对位置的灵敏度共用同一个有限距离投影} $(\mathbf I_3-\mathbf u_\ell\mathbf u_\ell^\Tran)/\|\mathbf r_\ell\|_2$——\gls{aoa} 视差与差分 Doppler 这两条定位信息在 Jacobian 层面同源，且同样随距离增大而衰减。时间模板导数沿用\eqref{eq:A6_qdot}，即 $\partial\mathbf q_\ell/\partial p_i=\dot{\mathbf q}_\ell\,(\partial\nu_\ell/\partial p_i)$、$\partial\mathbf q_\ell/\partial\nu_{\mathrm{ref}}=\dot{\mathbf q}_\ell$。 \subsection{位置 EFIM 与 CRB} diff --git a/parts/sec4_multiSatMultiUser.tex b/parts/sec4_multiSatMultiUser.tex index 1f8f5ad..cfa2c79 100644 --- a/parts/sec4_multiSatMultiUser.tex +++ b/parts/sec4_multiSatMultiUser.tex @@ -198,7 +198,7 @@ $\boldsymbol\Xi\triangleq[\boldsymbol\xi_1,\ldots,\boldsymbol\xi_K]$，$\boldsym \item 时间模板相干 $\dfrac{|\mathbf q_{\ell,k}^\Herm\mathbf q_{\ell,k'}|}{\|\mathbf q_{\ell,k}\|\|\mathbf q_{\ell,k'}\|}$，由 Doppler 差 $\nu_{\ell,k}-\nu_{\ell,k'}$ 与导频互相关共同决定； \item 二者通过 Kronecker 积联立后的乘积形式。 \end{enumerate} -当所有 $L$ 颗星上 $\rho_{\ell,kk'}\to 1$ 时，$\mathbf G_\ell$ 趋于秩亏，\eqref{eq:sec4_concentrated} 的 Hessian 在 $(\boldsymbol\xi_k,\nu_{\mathrm{ref},k})\leftrightarrow(\boldsymbol\xi_{k'},\nu_{\mathrm{ref},k'})$ 方向趋于奇异，集中似然曲面在该方向退化为平坦脊（最优不再孤立、对应 CRB 发散），用户分离的可辨识性丧失。 +当所有 $L$ 颗星上 $\rho_{\ell,kk'}\to 1$ 时，$\mathbf G_\ell$ 趋于秩亏，\eqref{eq:sec4_concentrated} 的 Hessian 在 $(\boldsymbol\xi_k,\nu_{\mathrm{ref},k})\leftrightarrow(\boldsymbol\xi_{k'},\nu_{\mathrm{ref},k'})$ 方向趋于奇异，集中似然曲面在该方向退化为平坦脊（最优不再孤立、对应 \gls{crb} 发散），用户分离的可辨识性丧失。 多星几何对这一可辨识性提供了关键缓解：即便某颗卫星上 $\rho_{\ell,kk'}\approx 1$（例如两个用户在该星本地角域内距离小于一个 beamwidth），只要存在另一颗卫星 $\ell'$ 使 $\rho_{\ell',kk'}$ 显著小于 1，多星联合的 $\sum_\ell\mathbf G_\ell^\Herm\mathbf G_\ell$ 块仍可保持非奇异。这是多星扩展相对单星多用户最直接的几何收益。 diff --git a/parts/sec7_userPositioning.tex b/parts/sec7_userPositioning.tex index ecae58a..4d12d86 100644 --- a/parts/sec7_userPositioning.tex +++ b/parts/sec7_userPositioning.tex @@ -92,7 +92,7 @@ \subsection{可辨识性与几何精度} \label{subsec:positionIdentifiability} -位置三维可辨识性来自两条互补信息：（i）跨星 AoA 视差——位置沿某颗星视线方向的平移不改变该星本地角，却改变其他星的本地角；（ii）差分 Doppler $\Delta\nu_\ell(\mathbf p)$ 对距离的依赖。二者都要求 $L\ge2$ 且几何充分：单星时各采样仅约束单一方向、距离不可辨识，正好落回第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst} 节的纯方向情形。 +位置三维可辨识性来自两条互补信息：（i）跨星 \gls{aoa} 视差——位置沿某颗星视线方向的平移不改变该星本地角，却改变其他星的本地角；（ii）差分 Doppler $\Delta\nu_\ell(\mathbf p)$ 对距离的依赖。二者都要求 $L\ge2$ 且几何充分：单星时各采样仅约束单一方向、距离不可辨识，正好落回第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst} 节的纯方向情形。 量化上，沿用消去干扰参数后的 \gls{efim} 投影--Gram 结构（见\appref{sec:userPositionCrb}），$\boldsymbol\eta_{\mathrm{pos}}$ 的 \gls{efim} 的最弱本征方向通常对应\emph{距离}维，其条件数（几何精度因子，GDOP）由星座基线/视差角与各链路信噪比共同决定。两星或少数多星时，横向位置因视差好而精度高、距离维因视差角小而恶化，是该模型最典型的几何各向异性\cite{weiIntegratedDopplerPositioning2024,xvJointBeamScheduling2024}。这与第~\ref{subsec:multiSatGainFdIdentifiability} 小节用同一套投影--Gram/条件数语言刻画的多星 Doppler 增益是同源的。 \subsection{多用户堆叠}