fix: 补全遗漏长行的行内导数 \dfrac
上轮漏改的长行:G41 链式 ∂q/∂p=(∂q/∂ν)(∂ν/∂p) 与 ∂u/∂p、G83 ∂a/∂p、H136 ∂μ/∂η 与 ∂μ/∂δ、H261 算子 ∂/∂ν_ref 与 ∂q_1/∂ν_1、A 规则14 记号示例。规则14 补注“作 D_ℓ 等矩阵列条目时用斜杠”。现仅矩阵/向量条目(E338/E630/G50/G98-99)与嵌套分式分子(E253)保留斜杠。
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@@ -133,7 +133,7 @@ $\mathcal I_{\delta\psi}$ 同样具有按 $\ell$ 的块对角结构:第 $\ell$
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\end{aligned}
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\end{equation}
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其中 $\mathbf J_{\eta,\ell}=\partial\boldsymbol\mu_\ell/\partial\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$、$\mathbf j_{\delta,\ell}=\partial\boldsymbol\mu_\ell/\partial\delta_\ell$ 均在小误差区于 $\delta_\ell=0$ 处展开。Jacobian $\mathbf J_{\eta,\ell}$ 的列结构与\appref{subsec:E2_multiUserMultiSatCrb} 完全一致;只需在 $\mathbf j_{\delta,\ell}$ 处显式展开 $\delta_\ell$ 进入的两条途径——相位偏移 $-\nu_{\ell,k}\delta_\ell$ 与导频时间偏移 $s_k(t-\delta_\ell)$:
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其中 $\mathbf J_{\eta,\ell}=\dfrac{\partial\boldsymbol\mu_\ell}{\partial\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}}$、$\mathbf j_{\delta,\ell}=\dfrac{\partial\boldsymbol\mu_\ell}{\partial\delta_\ell}$ 均在小误差区于 $\delta_\ell=0$ 处展开。Jacobian $\mathbf J_{\eta,\ell}$ 的列结构与\appref{subsec:E2_multiUserMultiSatCrb} 完全一致;只需在 $\mathbf j_{\delta,\ell}$ 处显式展开 $\delta_\ell$ 进入的两条途径——相位偏移 $-\nu_{\ell,k}\delta_\ell$ 与导频时间偏移 $s_k(t-\delta_\ell)$:
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\begin{equation}
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\label{eq:F2_jdelta}
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@@ -258,7 +258,7 @@ $\boldsymbol\delta=[\delta_1]$ 退化为标量,\eqref{eq:F2_jdelta} 中
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即在双星基线的 \gls{efim} 上扣除一个秩一信息损失项,损失大小由非参考星上 $\delta_1$ 与主参数的 score 重叠决定。
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\paragraph{特例:导频为单音常包络}
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若进一步取 $s(t)\equiv 1$(常包络单音导频),则 $\dot s(t)\equiv 0$,\eqref{eq:F2_jdelta} 退化为 $\mathbf q_1^{\,\mathrm{te}}=-j\nu_1\mathbf q_1$,故 $\delta_1$ 进入似然只通过相位偏移 $-\nu_1\delta_1$ 一项;它与 $\partial/\partial\nu_{\mathrm{ref}}$ 完全共线(同为 $\partial\mathbf q_1/\partial\nu_1$ 方向),$\delta_1$ 与 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 不可分辨——\gls{efim} 在 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 方向变得奇异。此即 ``纯相位扰动下时间戳误差与 Doppler 完全耦合''的退化情形,说明可辨识性依赖导频带宽 $\dot s(t)\not\equiv 0$。
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若进一步取 $s(t)\equiv 1$(常包络单音导频),则 $\dot s(t)\equiv 0$,\eqref{eq:F2_jdelta} 退化为 $\mathbf q_1^{\,\mathrm{te}}=-j\nu_1\mathbf q_1$,故 $\delta_1$ 进入似然只通过相位偏移 $-\nu_1\delta_1$ 一项;它与 $\dfrac{\partial}{\partial\nu_{\mathrm{ref}}}$ 完全共线(同为 $\dfrac{\partial\mathbf q_1}{\partial\nu_1}$ 方向),$\delta_1$ 与 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 不可分辨——\gls{efim} 在 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 方向变得奇异。此即 ``纯相位扰动下时间戳误差与 Doppler 完全耦合''的退化情形,说明可辨识性依赖导频带宽 $\dot s(t)\not\equiv 0$。
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% TODO: $K=1, L\ge 3$ 与 $K\ge 2, L=2$ 的解析中间结果——前者需引入 $L-1$ 个 δ_ℓ 联合处理(仍对角,但 v'_{ηδ} 维度变为 3×(L-1));后者多用户耦合让 $\mathcal P_{\mathbf G_\ell}$ 不再因式化,闭式较繁。本附录暂留为数值评估。
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