From 8041f43e92a919ca65521a2d80a5578e6a630247 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Josh Gao Date: Wed, 17 Jun 2026 10:10:11 +0800 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?fix(ref):=20=E6=AD=A3=E6=96=87=E5=B0=8F?= =?UTF-8?q?=E8=8A=82=E5=BC=95=E7=94=A8=E7=BB=9F=E4=B8=80=E4=B8=BA=E3=80=8C?= =?UTF-8?q?=E7=AC=AC=20X.Y=20=E5=B0=8F=E8=8A=82=E3=80=8D=EF=BC=8C=E5=BC=83?= =?UTF-8?q?=E7=94=A8=20\S?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit 原先小节引用分裂为两种：\S\ref（§ X.Y，9 处）与 第~\ref{} 小节 （第 X.Y 小节，约 16 处），E:4 甚至同行把 sec4 既写「第 4 节」又写 「§4」。统一为纯中文「第 N 节 / 第 X.Y 小节」，与节引用一致、行文不夹 西文 §。把 10 处 \S\ref 改为 第~\ref{} 小节（区间 第~\ref{A}--\ref{B} 小节；E:4 指向 sec4 的一处改 第~\ref{} 节）。附录引用已由 \appref 统一为「附录 X[.Y]」，不在此列。 --- parts/D-singleArrayCrb.tex | 4 ++-- parts/E-multiSatStaticCrb.tex | 4 ++-- parts/F-timestampErrCrb.tex | 2 +- parts/sec3_multiSatSingleUser.tex | 2 +- parts/sec4_multiSatMultiUser.tex | 2 +- parts/sec6_multiFrameCp.tex | 4 ++-- 6 files changed, 9 insertions(+), 9 deletions(-) diff --git a/parts/D-singleArrayCrb.tex b/parts/D-singleArrayCrb.tex index d289a20..4320c7d 100644 --- a/parts/D-singleArrayCrb.tex +++ b/parts/D-singleArrayCrb.tex @@ -693,7 +693,7 @@ $\mathcal P_{[\mathbf B_{\mathrm{st}},\mathbf B_{\mathrm{st},\nu}\mathbf D_\zeta \subsection{随机信号 DoA CRB（对照支线）} \label{sec:sto_doa_crb} -本附录对应第~\ref{sec:det_doa_est} 节末尾 \S\ref{subsec:sml_contrast} 的随机信号 \gls{doa} 对照支线。由\appref{subsubsec:general_gauss_crb} 可知，零均值圆对称复高斯随机过程的 \gls{crb} 可以表示为 +本附录对应第~\ref{sec:det_doa_est} 节末尾第~\ref{subsec:sml_contrast} 小节的随机信号 \gls{doa} 对照支线。由\appref{subsubsec:general_gauss_crb} 可知，零均值圆对称复高斯随机过程的 \gls{crb} 可以表示为 % \begin{equation} [\mathcal I(\boldsymbol\kappa)]_{ij} @@ -702,7 +702,7 @@ $\mathcal P_{[\mathbf B_{\mathrm{st}},\mathbf B_{\mathrm{st},\nu}\mathbf D_\zeta \right]\right\}. \end{equation} % -因此可以通过类似\appref{sec:det_doa_crb} 的方式，按照 \S\ref{subsec:sml_contrast} 中给出的随机信号建模方式，求出接收信号协方差矩阵 $\mathbf{R} = \mathbf{A} \mathbf{R}_x \mathbf{A}^\Herm + \sigma \mathbf{I}_M$ 对各个参量的一阶导数，构建 \gls{fim}。 +因此可以通过类似\appref{sec:det_doa_crb} 的方式，按照第~\ref{subsec:sml_contrast} 小节中给出的随机信号建模方式，求出接收信号协方差矩阵 $\mathbf{R} = \mathbf{A} \mathbf{R}_x \mathbf{A}^\Herm + \sigma \mathbf{I}_M$ 对各个参量的一阶导数，构建 \gls{fim}。 随机信号 \gls{doa} 估计问题的参数向量可以写为 % \begin{equation*} diff --git a/parts/E-multiSatStaticCrb.tex b/parts/E-multiSatStaticCrb.tex index 3b18462..f8420fe 100644 --- a/parts/E-multiSatStaticCrb.tex +++ b/parts/E-multiSatStaticCrb.tex @@ -1,7 +1,7 @@ \section{多星静态模型 CRB} \label{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb} -本附录给出与正文第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst} 节、第~\ref{sec:multiSatMultiUser} 节相对应的多星静态 \gls{doa}--Doppler 联合估计 \gls{crb}。E.1 给出单用户多星基线（沿用 \S\ref{subsec:staticBlockModel} 模型），E.2 给出多用户扩展（沿用 \S\ref{sec:multiSatMultiUser} 模型）。两者共享 ``联合堆叠 + 复增益 Schur 补'' 的推导框架，差别仅在均值向量参数化与 Jacobian 维度。 +本附录给出与正文第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst} 节、第~\ref{sec:multiSatMultiUser} 节相对应的多星静态 \gls{doa}--Doppler 联合估计 \gls{crb}。E.1 给出单用户多星基线（沿用第~\ref{subsec:staticBlockModel} 小节的模型），E.2 给出多用户扩展（沿用第~\ref{sec:multiSatMultiUser} 节的模型）。两者共享 ``联合堆叠 + 复增益 Schur 补'' 的推导框架，差别仅在均值向量参数化与 Jacobian 维度。 本文统一采用 $\mathcal I$ 表示 Fisher 信息矩阵，$\mathbf I$ 表示单位阵，$\mathcal P$ 表示投影矩阵。 正文中的静态干扰参数 $\boldsymbol\psi$ 同时包含复增益和噪声方差。本附录在构造主参数 \gls{efim} 时，只显式保留影响均值向量的复增益干扰参数；噪声方差只进入协方差，并与均值参数 Fisher 块解耦，因此不改变下面关于复增益的 Schur 补形式。 @@ -767,7 +767,7 @@ $\mathbf J_{\psi,\ell}$ 的实参数化二维实子空间与复矩阵 $\mathbf G % \gls{efim} 非奇异 $\Leftrightarrow$ 联合矩阵 $[\bar{\mathbf J}_{\eta,0}^\Tran,\ldots,\bar{\mathbf J}_{\eta,L-1}^\Tran]^\Tran$ 列满秩，即 ``$3K\le \sum_\ell M_\ell T$ 且不同用户的白化 score 之间不存在跨星全局共线性''。 -正文 \S\ref{subsec:userSeparability} 给出的几何陈述——``两个用户在所有 $L$ 颗星上相干度 $\rho_{\ell,kk'}\to 1$ 时分离失效''——可由此式严格化：当某对 $(k,k')$ 满足 +正文第~\ref{subsec:userSeparability} 小节给出的几何陈述——``两个用户在所有 $L$ 颗星上相干度 $\rho_{\ell,kk'}\to 1$ 时分离失效''——可由此式严格化：当某对 $(k,k')$ 满足 % \begin{equation} \mathcal P_{\mathbf G_\ell}^\perp\mathbf g_{\ell,k} diff --git a/parts/F-timestampErrCrb.tex b/parts/F-timestampErrCrb.tex index 2da2573..bcacf6c 100644 --- a/parts/F-timestampErrCrb.tex +++ b/parts/F-timestampErrCrb.tex @@ -2,7 +2,7 @@ \label{sec:timestampErrCrb} 本附录沿用正文第~\ref{sec:timestampError} 节的部分相干观测模型，补充关于主参数 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}\in\mathbb R^{3K}$ 的 \gls{efim} 分块结构、Schur complement 消去 $\boldsymbol\delta$ 的解析形式、数值评估框架，以及 $K=1, L=2$ 最简情形的解析推导。 -小误差区与大误差区的划分仍按正文 \S\ref{subsec:timestampApplicability} 的定义；下文若无特别说明，默认在小误差区作 Taylor 展开。 +小误差区与大误差区的划分仍按正文第~\ref{subsec:timestampApplicability} 小节的定义；下文若无特别说明，默认在小误差区作 Taylor 展开。 \subsection{Fisher 信息矩阵分块结构} \label{subsec:F1_fimBlockStruct} diff --git a/parts/sec3_multiSatSingleUser.tex b/parts/sec3_multiSatSingleUser.tex index 06adf0c..9759859 100644 --- a/parts/sec3_multiSatSingleUser.tex +++ b/parts/sec3_multiSatSingleUser.tex @@ -4,7 +4,7 @@ 第~\ref{sec:det_doa_doppler_est} 节的根本限制在于：单阵列只有单一孔径，\gls{doa} 估计精度的尺度由该孔径决定（孔径越大、\gls{doa} 的 \gls{crb} 越低；超分辨算法可突破经典瑞利分辨极限，但其精度仍受该 \gls{crb} 约束），单链路 Doppler 只提供一个标量约束。 当 $L$ 颗卫星从不同轨道位置同时观测同一用户时，几何多样性给出了新的信息维度。以 $\ell$ 索引卫星/链路，同一用户信号在第 $\ell$ 条链路上的 Doppler 记为 $\nu_\ell$（不同于第~\ref{sec:det_doa_doppler_est} 节按信源索引、各自独立的 $\nu_k$）。但若把这 $L$ 个 $\nu_\ell$ 都视为独立参数，主参数维度会从 $2$ 膨胀到 $2+L$，无谓地放大搜索空间。 本节的关键观察是：这 $L$ 个链路 Doppler 受卫星轨道几何约束（\gls{leo} 链路的 Doppler 由轨道相对运动决定，参见~\cite{aliDopplerCharacterizationLEO1998}），并\emph{不}独立——一旦给定全局方向 $\boldsymbol\xi$ 和任意一条参考链路上的 $\nu_{\mathrm{ref}}$，其余链路的 $\nu_\ell$ 由已知几何唯一诱导。 -\emph{参考星参数化}正是利用这一约束把主参数维度压回 $3$ 维的工具。下面先建立全局/局部几何映射与参考星参数化（\S\ref{subsec:globalLocalDoaMap}--\S\ref{subsec:refSatParameterization}），再给出多星静态 \gls{doa}--Doppler 联合似然与集中似然准则；详细 \gls{crb} 与 \gls{fim} 推导见\appref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb}。本节限定单用户（$K=1$）作为多星静态基线，多用户（$K\ge1$）推广见第~\ref{sec:multiSatMultiUser} 节。 +\emph{参考星参数化}正是利用这一约束把主参数维度压回 $3$ 维的工具。下面先建立全局/局部几何映射与参考星参数化（第~\ref{subsec:globalLocalDoaMap}--\ref{subsec:refSatParameterization} 小节），再给出多星静态 \gls{doa}--Doppler 联合似然与集中似然准则；详细 \gls{crb} 与 \gls{fim} 推导见\appref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb}。本节限定单用户（$K=1$）作为多星静态基线，多用户（$K\ge1$）推广见第~\ref{sec:multiSatMultiUser} 节。 \subsection{全局/局部 DoA 映射} \label{subsec:globalLocalDoaMap} diff --git a/parts/sec4_multiSatMultiUser.tex b/parts/sec4_multiSatMultiUser.tex index 0f95e15..a7dfe84 100644 --- a/parts/sec4_multiSatMultiUser.tex +++ b/parts/sec4_multiSatMultiUser.tex @@ -7,7 +7,7 @@ \subsection{多用户信号模型} \label{subsec:multiUserSignalModel} -设 $K$ 个单天线用户与 $L$ 颗卫星在同一观测块内并发上行已知导频，第 $k$ 个用户的全局 \gls{doa} 为 $\boldsymbol\xi_k=[\alpha_k,\beta_k]^\Tran$，对应的参考星归一化 Doppler 记为 $\nu_{\mathrm{ref},k}$。沿用 \S\ref{subsec:globalLocalDoaMap}--\S\ref{subsec:refSatParameterization} 的全局/局部映射与参考星参数化，第 $\ell$ 颗卫星对第 $k$ 个用户的本地导向矢量记为 $\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi_k)$，其链路 Doppler 由几何映射给出 +设 $K$ 个单天线用户与 $L$ 颗卫星在同一观测块内并发上行已知导频，第 $k$ 个用户的全局 \gls{doa} 为 $\boldsymbol\xi_k=[\alpha_k,\beta_k]^\Tran$，对应的参考星归一化 Doppler 记为 $\nu_{\mathrm{ref},k}$。沿用第~\ref{subsec:globalLocalDoaMap}--\ref{subsec:refSatParameterization} 小节的全局/局部映射与参考星参数化，第 $\ell$ 颗卫星对第 $k$ 个用户的本地导向矢量记为 $\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi_k)$，其链路 Doppler 由几何映射给出 % \begin{equation} \nu_{\ell,k}(\boldsymbol\xi_k,\nu_{\mathrm{ref},k}) diff --git a/parts/sec6_multiFrameCp.tex b/parts/sec6_multiFrameCp.tex index d7ae37b..730a16d 100644 --- a/parts/sec6_multiFrameCp.tex +++ b/parts/sec6_multiFrameCp.tex @@ -8,7 +8,7 @@ \subsection{时间索引与参考星 Doppler rate} -设观测窗口含 $P$ 帧，帧索引 $p=0,\ldots,P-1$，单帧采样点数为 $T$，帧内局部索引 $t=0,\ldots,T-1$，第 $p$ 帧起始点的离散偏移记为 $\tau_p$，约定 $\tau_0=0$，全局时间索引 $t_{p,t}\triangleq\tau_p+t$。沿用 \S\ref{subsec:globalLocalDoaMap} 的全局/局部映射 $\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi)$，并将其视为在整个短观测窗口内保持不变。 +设观测窗口含 $P$ 帧，帧索引 $p=0,\ldots,P-1$，单帧采样点数为 $T$，帧内局部索引 $t=0,\ldots,T-1$，第 $p$ 帧起始点的离散偏移记为 $\tau_p$，约定 $\tau_0=0$，全局时间索引 $t_{p,t}\triangleq\tau_p+t$。沿用第~\ref{subsec:globalLocalDoaMap} 小节的全局/局部映射 $\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi)$，并将其视为在整个短观测窗口内保持不变。 参考链路上的归一化 Doppler 与 Doppler rate 分别定义为 $\nu_{\mathrm{ref}}\triangleq\nu_{\ell_{\mathrm{ref}}}$、$\dot\nu_{\mathrm{ref}}\triangleq\dot\nu_{\ell_{\mathrm{ref}}}$。其余卫星按 % @@ -22,7 +22,7 @@ \dot\nu_{\mathrm{ref}}+\Delta\dot\nu_\ell(\boldsymbol\xi), \end{equation} % -由已知几何唯一诱导，沿用 \S\ref{subsec:refSatParameterization} 的参考星参数化。 +由已知几何唯一诱导，沿用第~\ref{subsec:refSatParameterization} 小节的参考星参数化。 \subsection{连续相位多帧信号模型（CP）} \label{subsec:dynamicCpModel}