content(symbol): 正文 DoA 统一用 \gls{doa}
正文（含附录、符号索引）散文中 108 处裸 "DoA" 改用 \gls{doa}，与既有
\gls{crb}/\gls{fim}/\gls{efim} 用法一致。section/subsection 标题、\title、
\newacronym 短形式保留裸 "DoA"——\gls 进标题需 \texorpdfstring 且有首次
展开落入标题之虞。因无 \printglossary 且 \glsdisablehyper，渲染输出不变，
仅源码统一；\gls{doa} 首次展开仍在摘要。
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@@ -1,13 +1,13 @@
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\section{单阵列 CRB 汇总}
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\label{sec:singleArrayCrb}
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本附录汇总单阵列模型下的三种 \gls{crb} 推导：确定信号 DoA、确定信号 DoA--Doppler、随机信号 DoA。
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本附录汇总单阵列模型下的三种 \gls{crb} 推导：确定信号 \gls{doa}、确定信号 \gls{doa}--Doppler、随机信号 \gls{doa}。
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三者共享 \gls{fim} 构造 + Schur 补的统一推导框架，集中放置便于交叉对照；通用的复 Gauss 模型 \gls{crb} 与 Slepian--Bangs 公式参见 \cite{kayFundamentalsStatisticalSignal1993,stoicaMusicMaximumLikelihood1989,stoicaPerformanceStudyConditional1990}。
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其中确定信号 DoA 与确定信号 DoA--Doppler 是后续多星模型的直接基础；随机信号 DoA 作为对照支线保留，多星主线不再使用。
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其中确定信号 \gls{doa} 与确定信号 \gls{doa}--Doppler 是后续多星模型的直接基础；随机信号 \gls{doa} 作为对照支线保留，多星主线不再使用。
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\subsection{确定信号 DoA CRB}
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\label{sec:det_doa_crb}
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本附录对应第~\ref{sec:det_doa_est} 节的单阵列确定信号 DoA 模型。根据 \gls{fim} 的定义 $\eqref{eq:fisher_element}$，需要先求出对数似然函数 $\eqref{eq:det_ml_log_likelihood}$ 对各类未知量的一阶偏导，再构造 Fisher 信息矩阵并通过 Schur 补消去确定信号快拍等干扰参数。
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本附录对应第~\ref{sec:det_doa_est} 节的单阵列确定信号 \gls{doa} 模型。根据 \gls{fim} 的定义 $\eqref{eq:fisher_element}$，需要先求出对数似然函数 $\eqref{eq:det_ml_log_likelihood}$ 对各类未知量的一阶偏导，再构造 Fisher 信息矩阵并通过 Schur 补消去确定信号快拍等干扰参数。
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\subsubsection{一阶偏导求取}
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@@ -104,7 +104,7 @@
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&= \frac{2}{\sigma} \sum_{t=1}^T \Re\left[ \mathbf{x}^\Herm _t \frac{\mathrm{d}\mathbf{A}^\Herm }{\mathrm{d}\theta_k } \mathbf{n}_t \right].
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\end{align}
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令 $\mathbf{d}(\theta_k) \triangleq \dfrac{\diff}{\diff\theta_k} \mathbf{a} (\theta_k) \in \mathbb{C}^{M\times 1}$，$\mathbf{d}^\Herm(\theta_k) \triangleq \dfrac{\diff}{\diff\theta_k} \mathbf{a}^\Herm (\theta_k)$，$\mathbf{D} = [\mathbf{d}(\theta_1), \ldots, \mathbf{d}(\theta_K)] \in \mathbb{C}^{M\times K}$，$\mathbf{X}_t \triangleq \diag ( x_1(t), \allowbreak \ldots, \allowbreak x_K (t) ) \in \mathbb{C}^{K\times K}$，则~\footnote{对于多维 DoA 参数，需要将 $\mathbf{D}$ 扩展为关于所有角度分量的 Jacobian。此时仍可通过相同的 Schur 补思想得到 \gls{efim}，但最终矩阵维度和 Hadamard 表达需要按角度分量重新展开。}
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令 $\mathbf{d}(\theta_k) \triangleq \dfrac{\diff}{\diff\theta_k} \mathbf{a} (\theta_k) \in \mathbb{C}^{M\times 1}$，$\mathbf{d}^\Herm(\theta_k) \triangleq \dfrac{\diff}{\diff\theta_k} \mathbf{a}^\Herm (\theta_k)$，$\mathbf{D} = [\mathbf{d}(\theta_1), \ldots, \mathbf{d}(\theta_K)] \in \mathbb{C}^{M\times K}$，$\mathbf{X}_t \triangleq \diag ( x_1(t), \allowbreak \ldots, \allowbreak x_K (t) ) \in \mathbb{C}^{K\times K}$，则~\footnote{对于多维 \gls{doa} 参数，需要将 $\mathbf{D}$ 扩展为关于所有角度分量的 Jacobian。此时仍可通过相同的 Schur 补思想得到 \gls{efim}，但最终矩阵维度和 Hadamard 表达需要按角度分量重新展开。}
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\begin{equation}
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\frac{\partial\ln \mathcal{L}}{\partial \bm{\theta}}
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@@ -415,11 +415,11 @@
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其中 $\odot$ 表示 Hadamard 积。
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该结果是单阵列确定信号 DoA 的条件 CRB 基线。后续单阵列 DoA--Doppler 和多星 DoA--Doppler 的 CRB 推导会沿用“先构造完整 Fisher 信息，再对干扰参数做 Schur 补”的处理方式。
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该结果是单阵列确定信号 \gls{doa} 的条件 CRB 基线。后续单阵列 \gls{doa}--Doppler 和多星 \gls{doa}--Doppler 的 CRB 推导会沿用“先构造完整 Fisher 信息，再对干扰参数做 Schur 补”的处理方式。
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\subsection{确定信号 DoA--Doppler CRB}
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\label{sec:det_doa_doppler_crb}
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本附录对应第~\ref{sec:det_doa_doppler_est} 节的单阵列确定信号 DoA--Doppler 模型，是从纯空间 CRB 过渡到空时 CRB 的中间层。由式~\eqref{eq:vec_det_doa_doppler_recv_sig}，向量化观测满足
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本附录对应第~\ref{sec:det_doa_doppler_est} 节的单阵列确定信号 \gls{doa}--Doppler 模型，是从纯空间 CRB 过渡到空时 CRB 的中间层。由式~\eqref{eq:vec_det_doa_doppler_recv_sig}，向量化观测满足
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\begin{equation}
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\tilde{\mathbf y}
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=
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@@ -449,7 +449,7 @@
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\bm\theta^\Tran
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\end{bmatrix}^\Tran,
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\end{equation}
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其中 $\boldsymbol\zeta^{(r)}=\Re\{\boldsymbol\zeta\}$、$\boldsymbol\zeta^{(i)}=\Im\{\boldsymbol\zeta\}$。这里的 $\bm\theta$ 表示单阵列一维 DoA 情形下的角度向量；若使用二维 DoA 参数，可将相应导数矩阵按同样方式扩展。
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其中 $\boldsymbol\zeta^{(r)}=\Re\{\boldsymbol\zeta\}$、$\boldsymbol\zeta^{(i)}=\Im\{\boldsymbol\zeta\}$。这里的 $\bm\theta$ 表示单阵列一维 \gls{doa} 情形下的角度向量；若使用二维 \gls{doa} 参数，可将相应导数矩阵按同样方式扩展。
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\subsubsection{FIM 元素的通式}
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@@ -619,13 +619,13 @@
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\subsubsection{仅关心 DoA 或 Doppler 时的 CRB}
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若同时估计 DoA 和 Doppler，则
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若同时估计 \gls{doa} 和 Doppler，则
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\begin{equation}
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\operatorname{CRB}(\boldsymbol\eta_{\theta\nu})
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=
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\mathcal I_{\mathrm e}^{-1}(\boldsymbol\eta_{\theta\nu}).
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\end{equation}
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若只关心 DoA，并把 Doppler 视为实值干扰参数，则应在式~\eqref{eq:single_det_doa_doppler_efim_theta_nu} 的实值 EFIM 上对 $\boldsymbol\nu$ 做 Schur 补：
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若只关心 \gls{doa}，并把 Doppler 视为实值干扰参数，则应在式~\eqref{eq:single_det_doa_doppler_efim_theta_nu} 的实值 EFIM 上对 $\boldsymbol\nu$ 做 Schur 补：
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\begin{equation}
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\operatorname{CRB}(\bm\theta)
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=
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@@ -635,7 +635,7 @@
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\mathcal I_{\theta\nu}\mathcal I_{\nu\nu}^{-1}\mathcal I_{\nu\theta}
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\right)^{-1}.
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\end{equation}
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类似地，若只关心 Doppler，并把 DoA 视为实值干扰参数，则
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类似地，若只关心 Doppler，并把 \gls{doa} 视为实值干扰参数，则
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\begin{equation}
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\operatorname{CRB}(\boldsymbol\nu)
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=
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@@ -649,15 +649,15 @@
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$\mathbf B_{\mathrm{st},\nu}\mathbf D_\zeta$ 当作具有任意复系数的未知子空间并直接写成复投影
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$\mathcal P_{[\mathbf B_{\mathrm{st}},\mathbf B_{\mathrm{st},\nu}\mathbf D_\zeta]}^\perp$。
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正确做法是先消去复增益，再在实值参数 EFIM 中对 Doppler 做 Schur 补。
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若 Doppler 已知，则 DoA 的 CRB 为 $\mathcal I_{\theta\theta}^{-1}$；若 Doppler 未知，则上式中的 Schur 补体现了 DoA--Doppler 耦合带来的信息损失。
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若 Doppler 已知，则 \gls{doa} 的 CRB 为 $\mathcal I_{\theta\theta}^{-1}$；若 Doppler 未知，则上式中的 Schur 补体现了 \gls{doa}--Doppler 耦合带来的信息损失。
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当 $\boldsymbol\nu$ 已知且固定为 $\mathbf0$ 时，本模型退化为带已知时间导频权重的确定信号 DoA 模型；若 $\boldsymbol\nu$ 未知，即使在真实值 $\boldsymbol\nu=\mathbf0$ 处，Doppler 仍会通过导数 $\dot{\mathbf q}_k=j\mathbf T_d\mathbf q_k$ 作为干扰参数影响 DoA 的 CRB。
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当 $\boldsymbol\nu$ 已知且固定为 $\mathbf0$ 时，本模型退化为带已知时间导频权重的确定信号 \gls{doa} 模型；若 $\boldsymbol\nu$ 未知，即使在真实值 $\boldsymbol\nu=\mathbf0$ 处，Doppler 仍会通过导数 $\dot{\mathbf q}_k=j\mathbf T_d\mathbf q_k$ 作为干扰参数影响 \gls{doa} 的 CRB。
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该单阵列空时 CRB 说明 DoA 与 Doppler 的耦合会通过 Schur 补造成信息损失。多星静态和动态 CRB 在结构上延续这一思想，但将独立的 $\nu_k$ 替换为参考星参数化下的 $\nu_{\mathrm{ref}}$，并进一步处理多星复增益、连续相位和 Doppler rate 等干扰参数。
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该单阵列空时 CRB 说明 \gls{doa} 与 Doppler 的耦合会通过 Schur 补造成信息损失。多星静态和动态 CRB 在结构上延续这一思想，但将独立的 $\nu_k$ 替换为参考星参数化下的 $\nu_{\mathrm{ref}}$，并进一步处理多星复增益、连续相位和 Doppler rate 等干扰参数。
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\subsection{随机信号 DoA CRB（对照支线）}
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\label{sec:sto_doa_crb}
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本附录对应第~\ref{sec:det_doa_est} 节末尾 \S\ref{subsec:sml_contrast} 的随机信号 DoA 对照支线。由 \S\ref{subsubsec:general_gauss_crb} 可知，零均值圆对称复高斯随机过程的 \gls{crb} 可以表示为
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本附录对应第~\ref{sec:det_doa_est} 节末尾 \S\ref{subsec:sml_contrast} 的随机信号 \gls{doa} 对照支线。由 \S\ref{subsubsec:general_gauss_crb} 可知，零均值圆对称复高斯随机过程的 \gls{crb} 可以表示为
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\begin{equation}
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[\mathcal I(\boldsymbol\kappa)]_{ij}
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@@ -960,4 +960,4 @@ Schur 补 $\mathcal{I}_{\mathrm e}
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\end{align}
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该随机信号 CRB 与\ref{sec:det_doa_crb} 的确定信号 CRB 共同给出单阵列 DoA 的两类性能基线。多星主线后续采用确定信号/导频化模型，因此其 CRB 推导更接近\ref{sec:det_doa_crb} 和\ref{sec:det_doa_doppler_crb} 的处理方式。
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该随机信号 CRB 与\ref{sec:det_doa_crb} 的确定信号 CRB 共同给出单阵列 \gls{doa} 的两类性能基线。多星主线后续采用确定信号/导频化模型，因此其 CRB 推导更接近\ref{sec:det_doa_crb} 和\ref{sec:det_doa_doppler_crb} 的处理方式。
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