josh/doa_doppler_est
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content(symbol): 正文 DoA 统一用 \gls{doa}

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正文（含附录、符号索引）散文中 108 处裸 "DoA" 改用 \gls{doa}，与既有
\gls{crb}/\gls{fim}/\gls{efim} 用法一致。section/subsection 标题、\title、
\newacronym 短形式保留裸 "DoA"——\gls 进标题需 \texorpdfstring 且有首次
展开落入标题之虞。因无 \printglossary 且 \glsdisablehyper，渲染输出不变，
仅源码统一；\gls{doa} 首次展开仍在摘要。
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josh
2026-06-16 11:39:28 +08:00
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parts/G-multiFrameCrb.tex
+15 -15
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@@ -321,7 +321,7 @@
\subsubsection{Known-rate/unknown-rate EFIM 关系与单星 DoA 正交性}
\label{subsec:A7_knownUnknownRateOrthogonality}
为解释 known-rate 与 unknown-rate 下 DoA bound 可能重合的现象，本小节把 Doppler-rate 干扰参数从其他幅度/相位干扰参数中单独分离出来。
为解释 known-rate 与 unknown-rate 下 \gls{doa} bound 可能重合的现象，本小节把 Doppler-rate 干扰参数从其他幅度/相位干扰参数中单独分离出来。
记
\begin{equation}
\boldsymbol\psi_{\mathrm{cp},0}
@@ -392,8 +392,8 @@
\mathbf a_{\xi\nu}^{\mathrm K}=\mathbf 0,
\label{eq:A7_SS_xi_rate_orthogonality_condition}
\end{equation}
则消去 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 只会改变 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 对应的标量块，而不会改变 DoA 的 CRB 子块。
换言之，DoA 的 known-rate 与 unknown-rate CRB 完全一致。
则消去 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 只会改变 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 对应的标量块，而不会改变 \gls{doa} 的 CRB 子块。
换言之，\gls{doa} 的 known-rate 与 unknown-rate CRB 完全一致。
在 single-satellite multi-frame case 中，若唯一卫星即 reference satellite，则
\begin{equation}
@@ -407,10 +407,10 @@
\label{eq:A7_ref_link_mapping_no_xi}
\end{equation}
因此 $\partial \nu_{\ell_{\mathrm{ref}}}/\partial x=0$ 且 $\partial \dot\nu_{\ell_{\mathrm{ref}}}/\partial x=0$ 对 $x\in\{\alpha,\beta\}$ 成立。
由式~\eqref{eq:A7_qx_cp} 可知，reference-link 的 DoA 导数不含 Doppler-mapping-induced temporal phase derivative，而只含空间阵列导向导数。
在幅度和公共相位干扰方向被投影消去后，该 DoA score 的残差部分是与 $\mathbf a_{\ell_{\mathrm{ref}}}(\boldsymbol\xi)$ 正交的空间切向量；相反，$\nu_{\mathrm{ref}}$ 和 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 的残差 score 仍具有沿 reference steering vector 的时间相位结构。
由式~\eqref{eq:A7_qx_cp} 可知，reference-link 的 \gls{doa} 导数不含 Doppler-mapping-induced temporal phase derivative，而只含空间阵列导向导数。
在幅度和公共相位干扰方向被投影消去后，该 \gls{doa} score 的残差部分是与 $\mathbf a_{\ell_{\mathrm{ref}}}(\boldsymbol\xi)$ 正交的空间切向量；相反，$\nu_{\mathrm{ref}}$ 和 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 的残差 score 仍具有沿 reference steering vector 的时间相位结构。
在标准窄带阵列流形下，二者的 Fisher 内积为零，因此式~\eqref{eq:A7_SS_xi_rate_orthogonality_condition} 成立。
这解释了 single-satellite multi-frame known-rate 与 unknown-rate DoA CRB 的严格重合。
这解释了 single-satellite multi-frame known-rate 与 unknown-rate \gls{doa} CRB 的严格重合。
在 multi-satellite case 中，非参考星通常满足
\begin{equation}
@@ -424,9 +424,9 @@
\qquad
\ell\neq\ell_{\mathrm{ref}}.
\end{equation}
此时 DoA 导数包含由 $\partial\Delta\nu_\ell/\partial x$ 与 $\partial\Delta\dot\nu_\ell/\partial x$ 诱导的时间相位分量。
因此，$\mathbf i_{\xi\dot\nu}$ 和 $\mathbf a_{\xi\nu}^{\mathrm K}$ 一般不再严格为零，known-rate 与 unknown-rate DoA CRB 的完全相等性也不应被作为一般结论。
若数值上 multi-satellite DoA bound 仍与 known-rate benchmark 基本重合，更稳妥的解释是：在所选 representative geometry 下，DoA residual score 与 residualized Doppler-rate nuisance direction 的耦合较弱。
此时 \gls{doa} 导数包含由 $\partial\Delta\nu_\ell/\partial x$ 与 $\partial\Delta\dot\nu_\ell/\partial x$ 诱导的时间相位分量。
因此，$\mathbf i_{\xi\dot\nu}$ 和 $\mathbf a_{\xi\nu}^{\mathrm K}$ 一般不再严格为零，known-rate 与 unknown-rate \gls{doa} CRB 的完全相等性也不应被作为一般结论。
若数值上 multi-satellite \gls{doa} bound 仍与 known-rate benchmark 基本重合，更稳妥的解释是：在所选 representative geometry 下，\gls{doa} residual score 与 residualized Doppler-rate nuisance direction 的耦合较弱。
这一定量现象适合作为 EFIM accounting 的 sanity check，而不应升级为主要理论贡献。
\subsubsection{relaxed 连续相位模型下的 CRB}
@@ -681,7 +681,7 @@ score 在干扰子空间正交补上的残余能量。因此，当 $\theta_{\min
$\mathcal I_{\mathrm{e}}$ 会出现小特征值；若同时多星几何使其他方向的信息快速增加，
则 $\kappa(\mathcal I_{\mathrm{e}})$ 会显著变大。
接下来把上述投影解释专门用于 DoA--Doppler 耦合。将 EFIM 按
接下来把上述投影解释专门用于 \gls{doa}--Doppler 耦合。将 EFIM 按
$\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}=[\boldsymbol\xi^\Tran,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$ 分块为
\begin{equation}
\mathcal I_{\mathrm{e}}
@@ -718,7 +718,7 @@ $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}=[\boldsymbol\xi^\Tran,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$
\label{eq:A7_nu_marginal_bound}
\end{equation}
为遵守第~\ref{sec:assumptionsAndNotation} 节中 $\rho$ 只表示幅度的约定，这里不用 $\rho$ 表示相关系数，
而定义局部 DoA--Doppler 耦合比例
而定义局部 \gls{doa}--Doppler 耦合比例
\begin{equation}
\gamma_{\xi,\nu}^{2}
\triangleq
@@ -743,7 +743,7 @@ $0\leq\gamma_{\xi,\nu}^{2}\leq1$，并且
\frac{1}{\mathcal I_{\nu\nu}(1-\gamma_{\xi,\nu}^{2})}.
\label{eq:A7_nu_info_after_coupling}
\end{equation}
于是边际化 DoA 所造成的 Doppler 标准差放大量为
于是边际化 \gls{doa} 所造成的 Doppler 标准差放大量为
\begin{equation}
\frac{\sqrt{C_{\nu}^{\mathrm{mar}}}}
{\sqrt{C_{\nu}^{\mathrm{sc}}}}
@@ -793,7 +793,7 @@ $\sqrt{C_{\nu}^{\mathrm{mar}}}$、$\sqrt{C_{\nu}^{\mathrm{sc}}}$、
$\gamma_{\xi,\nu}^{2}$、$\theta_{\min}$ 以及尺度归一化后的条件数。若
$\sqrt{C_{\nu}^{\mathrm{sc}}}$ 随星数增加而改善，但
$\sqrt{C_{\nu}^{\mathrm{mar}}}$ 改善有限，同时 $\gamma_{\xi,\nu}^{2}$ 较大，
则应解释为 DoA--Doppler Schur 补损失，而不是 Doppler 模板本身没有信息。
则应解释为 \gls{doa}--Doppler Schur 补损失，而不是 Doppler 模板本身没有信息。
@@ -1307,7 +1307,7 @@ $\mathcal P^{\perp}_{\bar{\mathbf J}^{\mathrm{ip}}_{\psi}}\bar{\mathbf J}^{\math
的秩和最小奇异方向决定。与 A7 中的 relaxed 连续相位模型相比，二者的主要区别不在
Schur 补代数形式，而在 $\mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}$ 使用局部时间索引并允许每个
$(\ell,p)$ 块具有独立相位 $\vartheta_{\ell,p}$。这些自由相位会吸收跨帧绝对相位所携带的公共
Doppler 截距信息，因此通常不会缓解 DoA--Doppler--rate 耦合，而是构成一个更保守的相干性基线。
Doppler 截距信息，因此通常不会缓解 \gls{doa}--Doppler--rate 耦合，而是构成一个更保守的相干性基线。
\subsubsection{关于噪声方差参数的说明}
@@ -1320,4 +1320,4 @@ Doppler 截距信息，因此通常不会缓解 DoA--Doppler--rate 耦合，而
\end{equation}
因此，将 $\sigma_{n,\ell}^2$ 视为未知量不会改变式~\eqref{eq:A8_IP_FIM_etadotnu} 与式~\eqref{eq:A8_IP_EFIM_eta} 的形式，只是在完整 Fisher 信息矩阵中附加一个与其他参数解耦的对角块。
至此，动态多帧主线的两类性能界已经形成闭环： \ref{sec:A7_dynDoaDopplerCrb} 对应连续相位/relaxed 连续相位模型，本附录对应独立相位基线模型。二者共享同一主参数 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}$，因而可以直接比较相位连续性对 DoA--Doppler 信息保留能力的影响。
至此，动态多帧主线的两类性能界已经形成闭环： \ref{sec:A7_dynDoaDopplerCrb} 对应连续相位/relaxed 连续相位模型，本附录对应独立相位基线模型。二者共享同一主参数 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}$，因而可以直接比较相位连续性对 \gls{doa}--Doppler 信息保留能力的影响。