content(symbol): 正文 DoA 统一用 \gls{doa}
正文（含附录、符号索引）散文中 108 处裸 "DoA" 改用 \gls{doa}，与既有
\gls{crb}/\gls{fim}/\gls{efim} 用法一致。section/subsection 标题、\title、
\newacronym 短形式保留裸 "DoA"——\gls 进标题需 \texorpdfstring 且有首次
展开落入标题之虞。因无 \printglossary 且 \glsdisablehyper，渲染输出不变，
仅源码统一；\gls{doa} 首次展开仍在摘要。
This commit is contained in:
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-21
@@ -7,7 +7,7 @@
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\subsection{基本物理与统计假设}
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除特别说明外，后续单阵列、多阵列、静态 DoA--Doppler、多帧动态 DoA--Doppler 以及相应 \gls{crb} 推导均默认采用如下基本假设。
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除特别说明外，后续单阵列、多阵列、静态 \gls{doa}--Doppler、多帧动态 \gls{doa}--Doppler 以及相应 \gls{crb} 推导均默认采用如下基本假设。
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\begin{enumerate}
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\item \textbf{信号源假设}
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@@ -142,7 +142,7 @@
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\subsection{DoA、阵列响应与几何符号}
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单阵列基础模型和多星主线模型均使用方向参数，但二者的参数层级不同。
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本文采用表~\ref{tab:doaGeometryNotation} 中的约定，并统一使用 $\boldsymbol\xi=[\alpha,\beta]^\Tran$ 表示参考时刻全局 DoA。
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本文采用表~\ref{tab:doaGeometryNotation} 中的约定，并统一使用 $\boldsymbol\xi=[\alpha,\beta]^\Tran$ 表示参考时刻全局 \gls{doa}。
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\small
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@@ -150,13 +150,13 @@
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\setlength{\LTpost}{4pt}
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\renewcommand{\arraystretch}{1.15}
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\begin{longtable}{>{\raggedright\arraybackslash}p{0.30\textwidth}>{\raggedright\arraybackslash}p{0.60\textwidth}}
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\caption{DoA、阵列响应与几何符号约定}
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\caption{\gls{doa}、阵列响应与几何符号约定}
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\label{tab:doaGeometryNotation}\\
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\textbf{符号} & \textbf{含义}\\
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\endfirsthead
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\multicolumn{2}{l}{\small\tablename~\thetable{} DoA、阵列响应与几何符号约定（续）}\\
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\multicolumn{2}{l}{\small\tablename~\thetable{} \gls{doa}、阵列响应与几何符号约定（续）}\\
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\textbf{符号} & \textbf{含义}\\
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\hline
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@@ -168,8 +168,8 @@
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\endlastfoot
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$\bm\theta_k$ & 第 $k$ 个信源的一般方向参数。 对于 \gls{ula}，它可退化为一维角度 $\theta_k$；对于 \gls{upa} 或三维场景，它可表示二维角度向量。\\
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$\bm\Theta$ & 所有信源方向参数的集合，定义为 $\bm\Theta\triangleq[\bm\theta_1,\ldots,\bm\theta_K]$。\\
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$\boldsymbol\xi=[\alpha,\beta]^\Tran$ & 单用户多星主线中的参考时刻全局 DoA，其中 $\alpha$ 为全局方位角，$\beta$ 为全局俯仰角。\\
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$\boldsymbol\xi_k=[\alpha_k,\beta_k]^\Tran$ & 第 $k$ 个用户或信源的全局 DoA；单用户主线中通常省略下标 $k$。\\
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$\boldsymbol\xi=[\alpha,\beta]^\Tran$ & 单用户多星主线中的参考时刻全局 \gls{doa}，其中 $\alpha$ 为全局方位角，$\beta$ 为全局俯仰角。\\
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$\boldsymbol\xi_k=[\alpha_k,\beta_k]^\Tran$ & 第 $k$ 个用户或信源的全局 \gls{doa}；单用户主线中通常省略下标 $k$。\\
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$\mathbf u(\boldsymbol\xi)\in\mathbb R^{3}$ & 全局坐标系下由 $\boldsymbol\xi$ 确定的单位方向向量。\\
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$\mathbf s_\ell\in\mathbb R^{3}$ 和 $\mathbf v_\ell\in\mathbb R^{3}$ & 第 $\ell$ 颗卫星在参考时刻的全局位置向量和速度向量。\\
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$\mathbf e_{1,\ell}$、$\mathbf e_{2,\ell}$、$\mathbf e_{3,\ell}$ & 第 $\ell$ 颗卫星的本地阵列坐标基。\\
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@@ -195,7 +195,7 @@
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本文统一使用 $\nu$ 表示 Doppler 参数；理论推导和似然函数中的 $\nu$ 默认表示离散归一化角 Doppler，单位为 rad/sample。
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若必须给出物理 Hz 单位，应显式写为 $\nu^{\mathrm{Hz}}$，避免与归一化模型参数混淆。
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相关符号汇总于表~\ref{tab:signalDopplerDelayNotation}。
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其中带时延下标 $\tau$ 的符号（$\tau_\ell$、$\tau_{\mathrm{ref}}$、$f_{\tau,\ell}$、$\boldsymbol\eta_\tau$、$\mathcal E_{\tau,\ell}$）为 DoA--Doppler--delay 扩展预留，本版本正文不展开，与 \S\ref{subsec:beamformingSymbols} 的波束成形符号同属预留命名空间。
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其中带时延下标 $\tau$ 的符号（$\tau_\ell$、$\tau_{\mathrm{ref}}$、$f_{\tau,\ell}$、$\boldsymbol\eta_\tau$、$\mathcal E_{\tau,\ell}$）为 \gls{doa}--Doppler--delay 扩展预留，本版本正文不展开，与 \S\ref{subsec:beamformingSymbols} 的波束成形符号同属预留命名空间。
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\small
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@@ -223,13 +223,13 @@
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$\mathbf x_t\in\mathbb C^K$ & 所有信源在第 $t$ 个快拍的信源向量。\\
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$\mathbf X$ & 所有快拍的信源矩阵。\\
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$s(t)$ & 单个观测块内的已知训练序列。\\
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$s_k(t)$ & 单阵列 DoA--Doppler 模型中第 $k$ 个源的已知训练序列；若采用常包络单音模型，则 $s_k(t)\equiv 1$。\\
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$s_k(t)$ & 单阵列 \gls{doa}--Doppler 模型中第 $k$ 个源的已知训练序列；若采用常包络单音模型，则 $s_k(t)\equiv 1$。\\
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$s_p(t)$ & 多帧模型中第 $p$ 帧使用的已知训练序列。\\
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$\nu_\ell$ & 第 $\ell$ 条链路的归一化角 Doppler，单位为 rad/sample。\\
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$\dot\nu_\ell$ & 第 $\ell$ 条链路的归一化 Doppler rate，单位为 rad/sample$^2$。\\
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$\nu_\ell^{\mathrm{Hz}}$ & 第 $\ell$ 条链路的物理 Doppler，单位为 Hz；仅在需要物理单位解释时使用。\\
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$\dot\nu_\ell^{\mathrm{Hz}}$ & 第 $\ell$ 条链路的物理 Doppler rate，单位为 Hz/s；仅在需要物理单位解释时使用。\\
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$\boldsymbol\nu=[\nu_1,\ldots,\nu_K]^\Tran$ & 单阵列 DoA--Doppler 模型中所有信源归一化角 Doppler 的集合。\\
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$\boldsymbol\nu=[\nu_1,\ldots,\nu_K]^\Tran$ & 单阵列 \gls{doa}--Doppler 模型中所有信源归一化角 Doppler 的集合。\\
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$\tau_\ell$ & 第 $\ell$ 条链路上的离散时延。 若它由参考星时延诱导得到，应在参考星参数化中说明其映射。\\
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$\delta_\ell$ & 第 $\ell$ 颗卫星相对参考星的时间戳误差，单位为采样点数；参考星 $\delta_{\ell_{\mathrm{ref}}}=0$，其余作为部分相干观测模型中的干扰参数。\\
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$\delta\tau_\ell$ & 与 $\delta_\ell$ 对应的物理时间误差（秒），$\delta_\ell=\delta\tau_\ell/T_{\mathrm{s}}$。\\
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@@ -247,7 +247,7 @@
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\subsection{参考星参数化与参数分组}
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\label{subsec:assumptionRefSatParam}
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多星 DoA--Doppler 主线采用参考星链路参数化，而不是星群质心或星群平均速度参数化。
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多星 \gls{doa}--Doppler 主线采用参考星链路参数化，而不是星群质心或星群平均速度参数化。
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该约定用于保证单星基线、多星静态模型、多星多帧动态模型以及 CRB 推导均在同一参数域下比较。
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相关符号汇总于表~\ref{tab:refSatParamNotation}。
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@@ -277,15 +277,15 @@
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$\nu_{\mathrm{ref}}$ & 参考星链路上的归一化角 Doppler。\\
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$\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ & 参考星链路上的归一化 Doppler rate。\\
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$\tau_{\mathrm{ref}}$ & 参考星链路上的离散时延，用于 DoA--Doppler--delay 扩展模型。\\
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$f_{\nu,\ell}(\cdot)$ & 由全局 DoA 与参考星归一化 Doppler 诱导得到第 $\ell$ 条链路归一化 Doppler 的几何映射。\\
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$f_{\dot\nu,\ell}(\cdot)$ & 由全局 DoA 与参考星归一化 Doppler rate 诱导得到第 $\ell$ 条链路归一化 Doppler rate 的几何映射。\\
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$f_{\tau,\ell}(\cdot)$ & 由全局 DoA 与参考星链路时延诱导得到第 $\ell$ 条链路时延的几何映射。 该符号属于参考星参数化，而不是一般信号符号。\\
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$\tau_{\mathrm{ref}}$ & 参考星链路上的离散时延，用于 \gls{doa}--Doppler--delay 扩展模型。\\
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$f_{\nu,\ell}(\cdot)$ & 由全局 \gls{doa} 与参考星归一化 Doppler 诱导得到第 $\ell$ 条链路归一化 Doppler 的几何映射。\\
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$f_{\dot\nu,\ell}(\cdot)$ & 由全局 \gls{doa} 与参考星归一化 Doppler rate 诱导得到第 $\ell$ 条链路归一化 Doppler rate 的几何映射。\\
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$f_{\tau,\ell}(\cdot)$ & 由全局 \gls{doa} 与参考星链路时延诱导得到第 $\ell$ 条链路时延的几何映射。 该符号属于参考星参数化，而不是一般信号符号。\\
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$\Delta\nu_\ell(\boldsymbol\xi)$ & 第 $\ell$ 条链路相对于参考星链路的归一化 Doppler 偏差。\\
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$\Delta\dot\nu_\ell(\boldsymbol\xi)$ & 第 $\ell$ 条链路相对于参考星链路的归一化 Doppler-rate 偏差。\\
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$\boldsymbol\eta$ & 将一个模型中的所有待估计主参数堆叠得到的通用参数向量。 本文用 $\boldsymbol\eta$ 表示估计参数集合，避免与一般 DoA 参数 $\bm\theta_k$ 混淆。\\
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$\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}}$ & 静态多星 DoA--Doppler 主参数，统一写为 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}}=[\boldsymbol\xi^\Tran,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$。\\
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$\boldsymbol\eta_{\tau}$ & DoA--Doppler--delay 扩展模型主参数，可写为 $\boldsymbol\eta_{\tau}=[\boldsymbol\xi^\Tran,\tau_{\mathrm{ref}},\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$。\\
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$\boldsymbol\eta$ & 将一个模型中的所有待估计主参数堆叠得到的通用参数向量。 本文用 $\boldsymbol\eta$ 表示估计参数集合，避免与一般 \gls{doa} 参数 $\bm\theta_k$ 混淆。\\
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$\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}}$ & 静态多星 \gls{doa}--Doppler 主参数，统一写为 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}}=[\boldsymbol\xi^\Tran,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$。\\
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$\boldsymbol\eta_{\tau}$ & \gls{doa}--Doppler--delay 扩展模型主参数，可写为 $\boldsymbol\eta_{\tau}=[\boldsymbol\xi^\Tran,\tau_{\mathrm{ref}},\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$。\\
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$\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}$ & 动态多帧模型中作为主估计目标的参数，默认与 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}}$ 相同；$\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 放入干扰参数侧。\\
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$\nu_{\mathrm{ref},k}$ & 多用户场景中第 $k$ 个用户的参考星归一化 Doppler；$K=1$ 时退化为 $\nu_{\mathrm{ref}}$。\\
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$\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ & 多用户多星静态主参数，定义为 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}=[\boldsymbol\xi_1^\Tran,\nu_{\mathrm{ref},1},\ldots,\boldsymbol\xi_K^\Tran,\nu_{\mathrm{ref},K}]^\Tran\in\mathbb R^{3K}$；$K=1$ 时退化为 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}}$。下标 $\mathrm{mu}$ 表示 multi-user。\\
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@@ -417,7 +417,7 @@
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$\mathcal L_{\mathrm{cp}}$ & 连续相位结构化模型的负对数似然函数。\\
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$\mathcal L_{\mathrm{cp}}^{\mathrm{pro}}$ & 对噪声方差等参数轮廓化后的连续相位负对数似然。\\
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$\mathcal E_\ell$ & 静态单块多星模型中，消去复增益 $\zeta_\ell$ 后的第 $\ell$ 颗卫星残差能量。\\
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$\mathcal E_{\tau,\ell}$ & DoA--Doppler--delay 扩展模型中，消去复增益 $\zeta_\ell$ 后的第 $\ell$ 颗卫星残差能量。\\
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$\mathcal E_{\tau,\ell}$ & \gls{doa}--Doppler--delay 扩展模型中，消去复增益 $\zeta_\ell$ 后的第 $\ell$ 颗卫星残差能量。\\
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$\mathcal R_\ell$ & 第 $\ell$ 颗卫星的聚合残差。\\
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$\mathcal R_\ell^{\mathrm{cp}}$ & 连续相位模型中第 $\ell$ 颗卫星的聚合残差。\\
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$\mathcal R_\ell^{\mathrm{cp,str}}$ & 连续相位结构化模型在消去幅度后的每星聚合残差。\\
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@@ -429,7 +429,7 @@
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\subsection{CRB、FIM 与有效信息符号}
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附录中的确定信号、随机信号、静态 DoA--Doppler 与动态 DoA--Doppler CRB 推导使用表~\ref{tab:crbFimNotation} 中的统一统计符号。
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附录中的确定信号、随机信号、静态 \gls{doa}--Doppler 与动态 \gls{doa}--Doppler CRB 推导使用表~\ref{tab:crbFimNotation} 中的统一统计符号。
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本文约定 Fisher 信息矩阵使用 $\mathcal I$，Jacobian 矩阵保留 $\mathbf J$。
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@@ -466,8 +466,8 @@
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$\mathcal P_{\mathbf B}$ 和 $\mathcal P_{\mathbf B}^{\perp}$ & 到矩阵 $\mathbf B$ 列空间及其正交补的投影算子，定义为 $\mathcal P_{\mathbf B}=\mathbf B(\mathbf B^\Herm\mathbf B)^{-1}\mathbf B^\Herm$ 和 $\mathcal P_{\mathbf B}^{\perp}=\mathbf I-\mathcal P_{\mathbf B}$。当 $\mathbf B=\mathbf A$ 时得到空间导向矩阵投影；当 $\mathbf B=\mathbf B_{\mathrm{st}}$ 时得到空时导向矩阵投影。\\
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$\mathbf R$ 或 $\mathbf R_y$ & 随机信号模型中的观测协方差矩阵。\\
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$\mathbf R_x$ & 随机信号模型中的信源协方差矩阵。\\
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$\boldsymbol\epsilon_{\xi,k}=\hat{\boldsymbol\xi}_k-\boldsymbol\xi_k$ & 第 $k$ 个用户的 DoA 估计误差向量。\\
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$\mathbf C_{\xi,k}$ & 第 $k$ 个用户 DoA 估计的 CRB 协方差矩阵，即 EFIM 对 $\boldsymbol\xi_k$ 块的逆。该量作为波束成形鲁棒设计的理论上界。\\
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$\boldsymbol\epsilon_{\xi,k}=\hat{\boldsymbol\xi}_k-\boldsymbol\xi_k$ & 第 $k$ 个用户的 \gls{doa} 估计误差向量。\\
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$\mathbf C_{\xi,k}$ & 第 $k$ 个用户 \gls{doa} 估计的 CRB 协方差矩阵，即 EFIM 对 $\boldsymbol\xi_k$ 块的逆。该量作为波束成形鲁棒设计的理论上界。\\
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\end{longtable}
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\endgroup
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@@ -1,7 +1,7 @@
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\section{背景知识}
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\label{sec:background}
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本附录只整理后续似然函数与 \gls{crb} 推导反复使用的概率分布、Fisher 信息和 CRB 基础公式。这里的广义参数 $\theta$ 或 $\bm\theta$ 不代表多星主线中的全局 DoA；多星主线的方向参数仍以 $\boldsymbol\xi=[\alpha,\beta]^\Tran$ 为准。
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本附录只整理后续似然函数与 \gls{crb} 推导反复使用的概率分布、Fisher 信息和 CRB 基础公式。这里的广义参数 $\theta$ 或 $\bm\theta$ 不代表多星主线中的全局 \gls{doa}；多星主线的方向参数仍以 $\boldsymbol\xi=[\alpha,\beta]^\Tran$ 为准。
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\subsection{高斯变量的 PDF}
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@@ -91,7 +91,7 @@ $\mathbf{Z} \sim \mathcal{CN} \left( \bm{\mu}, \mathbf{R} \right)$ 的 \gls{pdf}
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\subsection{CRB 的定义\texorpdfstring{~\cite{kayFundamentalsStatisticalSignal1993}}{}}
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\begin{mdquote}
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本节的 $\theta$ 和 $\bm{\theta}$ 是广义的参数和参数向量，并非 DoA 估计问题中的角度。
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本节的 $\theta$ 和 $\bm{\theta}$ 是广义的参数和参数向量，并非 \gls{doa} 估计问题中的角度。
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\end{mdquote}
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\Gls{crb}，亦称 \gls{crlb}，在参数估计理论中给出了\emph{无偏估计量方差的下界}。
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@@ -103,7 +103,7 @@ In practical implementation, the sample covariance matrix is used, leading to
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}.
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\label{eq:mvdr_sample_spectrum}
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\end{equation}
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||||
The DoA estimates are then obtained by locating the $K$ dominant peaks of the MVDR spatial spectrum, namely,
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The \gls{doa} estimates are then obtained by locating the $K$ dominant peaks of the MVDR spatial spectrum, namely,
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\begin{equation}
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\hat{\theta}_k
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=
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@@ -216,7 +216,7 @@ P_{\mathrm{MUSIC}}(\theta)
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\mathbf{a}(\theta)}.
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\label{eq:music_spectrum}
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\end{equation}
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The DoA estimates are then obtained by locating the $K$ dominant peaks of the pseudospectrum, i.e.,
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The \gls{doa} estimates are then obtained by locating the $K$ dominant peaks of the pseudospectrum, i.e.,
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\begin{equation}
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\hat{\theta}_k
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=
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@@ -226,7 +226,7 @@ P_{\mathrm{MUSIC}}(\theta),
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\label{eq:music_estimation}
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\end{equation}
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||||
The MUSIC algorithm achieves high-resolution DoA estimation by exploiting the orthogonality between the array steering vectors and the noise subspace, and has been widely used in subspace-based array signal processing.
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The MUSIC algorithm achieves high-resolution \gls{doa} estimation by exploiting the orthogonality between the array steering vectors and the noise subspace, and has been widely used in subspace-based array signal processing.
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\subsection{ESPRIT Algorithm\texorpdfstring{~\cite{royESPRITEstimationSignalParameters1989}}{}}
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@@ -385,7 +385,7 @@ Let $\hat{\kappa}_k$ denote the $k$th eigenvalue of $\widehat{\bm{\Psi}}$. Then
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\qquad k = 1,\dots,K,
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\label{eq:esprit_mu_estimate}
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\end{equation}
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where $\angle(\cdot)$ denotes the phase angle of a complex number. Finally, the DoA estimate is obtained from
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where $\angle(\cdot)$ denotes the phase angle of a complex number. Finally, the \gls{doa} estimate is obtained from
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\begin{equation}
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\hat{\theta}_k
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=
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@@ -396,7 +396,7 @@ where $\angle(\cdot)$ denotes the phase angle of a complex number. Finally, the
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\label{eq:esprit_theta_estimate}
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\end{equation}
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Compared with MUSIC, the ESPRIT algorithm avoids explicit spectral search and directly retrieves the DoA parameters from the rotational invariance structure of the signal subspace, thereby offering lower computational complexity while maintaining high estimation accuracy.
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Compared with MUSIC, the ESPRIT algorithm avoids explicit spectral search and directly retrieves the \gls{doa} parameters from the rotational invariance structure of the signal subspace, thereby offering lower computational complexity while maintaining high estimation accuracy.
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\subsection{Spatio-Temporal MUSIC Algorithm\texorpdfstring{~\cite{waxSpatioTemporalSpectralAnalysis1984}}{}}
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@@ -415,7 +415,7 @@ Consider a narrowband far-field source model observed by an $M$-element array ov
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\qquad \ell = 1,\dots,L,
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\label{eq:st_music_block_model}
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\end{equation}
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where $\zeta_{k,\ell} \in \mathbb{C}$ is the complex gain of the $k$th source in the $\ell$th block, $\mathbf{a}(\theta_k) \in \mathbb{C}^{M \times 1}$ is the spatial steering vector associated with the direction of arrival (DoA) $\theta_k$, $\mathbf q_k(\nu_k) \in \mathbb{C}^{T \times 1}$ is the temporal steering vector associated with the normalized angular Doppler $\nu_k$, and $\mathbf{N}_{\ell}$ is the additive noise matrix. For a uniform linear array (ULA), the spatial steering vector is given by
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where $\zeta_{k,\ell} \in \mathbb{C}$ is the complex gain of the $k$th source in the $\ell$th block, $\mathbf{a}(\theta_k) \in \mathbb{C}^{M \times 1}$ is the spatial steering vector associated with the direction of arrival (\gls{doa}) $\theta_k$, $\mathbf q_k(\nu_k) \in \mathbb{C}^{T \times 1}$ is the temporal steering vector associated with the normalized angular Doppler $\nu_k$, and $\mathbf{N}_{\ell}$ is the additive noise matrix. For a uniform linear array (ULA), the spatial steering vector is given by
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||||
\begin{equation}
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||||
\mathbf{a}(\theta_k)
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||||
=
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@@ -523,7 +523,7 @@ P_{\mathrm{ST\text{-}MUSIC}}(\theta,\nu)
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\mathbf b_{\mathrm{st}}(\theta,\nu)}.
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\label{eq:st_music_spectrum}
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\end{equation}
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||||
The joint estimates of DoA and Doppler are then obtained by searching for the $K$ dominant peaks of \eqref{eq:st_music_spectrum}, namely,
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The joint estimates of \gls{doa} and Doppler are then obtained by searching for the $K$ dominant peaks of \eqref{eq:st_music_spectrum}, namely,
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\begin{equation}
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||||
(\hat{\theta}_k,\hat{\nu}_k)
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||||
=
|
||||
@@ -812,7 +812,7 @@ where $(\cdot)^{\dagger}$ denotes the Moore--Penrose pseudoinverse. Let $\hat{\k
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\qquad k=1,\dots,K,
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\label{eq:st_esprit_mu_nu_estimation}
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\end{equation}
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where $\angle(\cdot)$ denotes the phase angle of a complex number. Finally, the DoA estimate and, if needed, the corresponding physical Doppler conversion are given by
|
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where $\angle(\cdot)$ denotes the phase angle of a complex number. Finally, the \gls{doa} estimate and, if needed, the corresponding physical Doppler conversion are given by
|
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\begin{equation}
|
||||
\hat{\theta}_k
|
||||
=
|
||||
@@ -827,6 +827,6 @@ where $\angle(\cdot)$ denotes the phase angle of a complex number. Finally, the
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\label{eq:st_esprit_theta_fd_estimation}
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||||
\end{equation}
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Compared with spatio-temporal MUSIC, the spatio-temporal ESPRIT algorithm avoids two-dimensional spectral search and directly retrieves the DoA and Doppler parameters from the rotational invariance structure of the spatio-temporal signal subspace, thereby achieving lower computational complexity.
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Compared with spatio-temporal MUSIC, the spatio-temporal ESPRIT algorithm avoids two-dimensional spectral search and directly retrieves the \gls{doa} and Doppler parameters from the rotational invariance structure of the spatio-temporal signal subspace, thereby achieving lower computational complexity.
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这些经典方法提供了谱搜索和子空间估计的算法背景，但本文多星主线的重点仍是似然建模、参考星参数化和 Fisher 信息分析。因此，附录中的方法可作为实现参考，而不是当前符号体系的定义来源。
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+15
-15
@@ -1,13 +1,13 @@
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\section{单阵列 CRB 汇总}
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\label{sec:singleArrayCrb}
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本附录汇总单阵列模型下的三种 \gls{crb} 推导：确定信号 DoA、确定信号 DoA--Doppler、随机信号 DoA。
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本附录汇总单阵列模型下的三种 \gls{crb} 推导：确定信号 \gls{doa}、确定信号 \gls{doa}--Doppler、随机信号 \gls{doa}。
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三者共享 \gls{fim} 构造 + Schur 补的统一推导框架，集中放置便于交叉对照；通用的复 Gauss 模型 \gls{crb} 与 Slepian--Bangs 公式参见 \cite{kayFundamentalsStatisticalSignal1993,stoicaMusicMaximumLikelihood1989,stoicaPerformanceStudyConditional1990}。
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其中确定信号 DoA 与确定信号 DoA--Doppler 是后续多星模型的直接基础；随机信号 DoA 作为对照支线保留，多星主线不再使用。
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其中确定信号 \gls{doa} 与确定信号 \gls{doa}--Doppler 是后续多星模型的直接基础；随机信号 \gls{doa} 作为对照支线保留，多星主线不再使用。
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\subsection{确定信号 DoA CRB}
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\label{sec:det_doa_crb}
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本附录对应第~\ref{sec:det_doa_est} 节的单阵列确定信号 DoA 模型。根据 \gls{fim} 的定义 $\eqref{eq:fisher_element}$，需要先求出对数似然函数 $\eqref{eq:det_ml_log_likelihood}$ 对各类未知量的一阶偏导，再构造 Fisher 信息矩阵并通过 Schur 补消去确定信号快拍等干扰参数。
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||||
本附录对应第~\ref{sec:det_doa_est} 节的单阵列确定信号 \gls{doa} 模型。根据 \gls{fim} 的定义 $\eqref{eq:fisher_element}$，需要先求出对数似然函数 $\eqref{eq:det_ml_log_likelihood}$ 对各类未知量的一阶偏导，再构造 Fisher 信息矩阵并通过 Schur 补消去确定信号快拍等干扰参数。
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\subsubsection{一阶偏导求取}
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@@ -104,7 +104,7 @@
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&= \frac{2}{\sigma} \sum_{t=1}^T \Re\left[ \mathbf{x}^\Herm _t \frac{\mathrm{d}\mathbf{A}^\Herm }{\mathrm{d}\theta_k } \mathbf{n}_t \right].
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||||
\end{align}
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%
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令 $\mathbf{d}(\theta_k) \triangleq \dfrac{\diff}{\diff\theta_k} \mathbf{a} (\theta_k) \in \mathbb{C}^{M\times 1}$，$\mathbf{d}^\Herm(\theta_k) \triangleq \dfrac{\diff}{\diff\theta_k} \mathbf{a}^\Herm (\theta_k)$，$\mathbf{D} = [\mathbf{d}(\theta_1), \ldots, \mathbf{d}(\theta_K)] \in \mathbb{C}^{M\times K}$，$\mathbf{X}_t \triangleq \diag ( x_1(t), \allowbreak \ldots, \allowbreak x_K (t) ) \in \mathbb{C}^{K\times K}$，则~\footnote{对于多维 DoA 参数，需要将 $\mathbf{D}$ 扩展为关于所有角度分量的 Jacobian。此时仍可通过相同的 Schur 补思想得到 \gls{efim}，但最终矩阵维度和 Hadamard 表达需要按角度分量重新展开。}
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令 $\mathbf{d}(\theta_k) \triangleq \dfrac{\diff}{\diff\theta_k} \mathbf{a} (\theta_k) \in \mathbb{C}^{M\times 1}$，$\mathbf{d}^\Herm(\theta_k) \triangleq \dfrac{\diff}{\diff\theta_k} \mathbf{a}^\Herm (\theta_k)$，$\mathbf{D} = [\mathbf{d}(\theta_1), \ldots, \mathbf{d}(\theta_K)] \in \mathbb{C}^{M\times K}$，$\mathbf{X}_t \triangleq \diag ( x_1(t), \allowbreak \ldots, \allowbreak x_K (t) ) \in \mathbb{C}^{K\times K}$，则~\footnote{对于多维 \gls{doa} 参数，需要将 $\mathbf{D}$ 扩展为关于所有角度分量的 Jacobian。此时仍可通过相同的 Schur 补思想得到 \gls{efim}，但最终矩阵维度和 Hadamard 表达需要按角度分量重新展开。}
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%
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\begin{equation}
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||||
\frac{\partial\ln \mathcal{L}}{\partial \bm{\theta}}
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@@ -415,11 +415,11 @@
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%
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其中 $\odot$ 表示 Hadamard 积。
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该结果是单阵列确定信号 DoA 的条件 CRB 基线。后续单阵列 DoA--Doppler 和多星 DoA--Doppler 的 CRB 推导会沿用“先构造完整 Fisher 信息，再对干扰参数做 Schur 补”的处理方式。
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||||
该结果是单阵列确定信号 \gls{doa} 的条件 CRB 基线。后续单阵列 \gls{doa}--Doppler 和多星 \gls{doa}--Doppler 的 CRB 推导会沿用“先构造完整 Fisher 信息，再对干扰参数做 Schur 补”的处理方式。
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\subsection{确定信号 DoA--Doppler CRB}
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\label{sec:det_doa_doppler_crb}
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本附录对应第~\ref{sec:det_doa_doppler_est} 节的单阵列确定信号 DoA--Doppler 模型，是从纯空间 CRB 过渡到空时 CRB 的中间层。由式~\eqref{eq:vec_det_doa_doppler_recv_sig}，向量化观测满足
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||||
本附录对应第~\ref{sec:det_doa_doppler_est} 节的单阵列确定信号 \gls{doa}--Doppler 模型，是从纯空间 CRB 过渡到空时 CRB 的中间层。由式~\eqref{eq:vec_det_doa_doppler_recv_sig}，向量化观测满足
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||||
\begin{equation}
|
||||
\tilde{\mathbf y}
|
||||
=
|
||||
@@ -449,7 +449,7 @@
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||||
\bm\theta^\Tran
|
||||
\end{bmatrix}^\Tran,
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||||
\end{equation}
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||||
其中 $\boldsymbol\zeta^{(r)}=\Re\{\boldsymbol\zeta\}$、$\boldsymbol\zeta^{(i)}=\Im\{\boldsymbol\zeta\}$。这里的 $\bm\theta$ 表示单阵列一维 DoA 情形下的角度向量；若使用二维 DoA 参数，可将相应导数矩阵按同样方式扩展。
|
||||
其中 $\boldsymbol\zeta^{(r)}=\Re\{\boldsymbol\zeta\}$、$\boldsymbol\zeta^{(i)}=\Im\{\boldsymbol\zeta\}$。这里的 $\bm\theta$ 表示单阵列一维 \gls{doa} 情形下的角度向量；若使用二维 \gls{doa} 参数，可将相应导数矩阵按同样方式扩展。
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||||
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||||
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||||
\subsubsection{FIM 元素的通式}
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||||
@@ -619,13 +619,13 @@
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\subsubsection{仅关心 DoA 或 Doppler 时的 CRB}
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||||
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||||
若同时估计 DoA 和 Doppler，则
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若同时估计 \gls{doa} 和 Doppler，则
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||||
\begin{equation}
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||||
\operatorname{CRB}(\boldsymbol\eta_{\theta\nu})
|
||||
=
|
||||
\mathcal I_{\mathrm e}^{-1}(\boldsymbol\eta_{\theta\nu}).
|
||||
\end{equation}
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||||
若只关心 DoA，并把 Doppler 视为实值干扰参数，则应在式~\eqref{eq:single_det_doa_doppler_efim_theta_nu} 的实值 EFIM 上对 $\boldsymbol\nu$ 做 Schur 补：
|
||||
若只关心 \gls{doa}，并把 Doppler 视为实值干扰参数，则应在式~\eqref{eq:single_det_doa_doppler_efim_theta_nu} 的实值 EFIM 上对 $\boldsymbol\nu$ 做 Schur 补：
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\operatorname{CRB}(\bm\theta)
|
||||
=
|
||||
@@ -635,7 +635,7 @@
|
||||
\mathcal I_{\theta\nu}\mathcal I_{\nu\nu}^{-1}\mathcal I_{\nu\theta}
|
||||
\right)^{-1}.
|
||||
\end{equation}
|
||||
类似地，若只关心 Doppler，并把 DoA 视为实值干扰参数，则
|
||||
类似地，若只关心 Doppler，并把 \gls{doa} 视为实值干扰参数，则
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\operatorname{CRB}(\boldsymbol\nu)
|
||||
=
|
||||
@@ -649,15 +649,15 @@
|
||||
$\mathbf B_{\mathrm{st},\nu}\mathbf D_\zeta$ 当作具有任意复系数的未知子空间并直接写成复投影
|
||||
$\mathcal P_{[\mathbf B_{\mathrm{st}},\mathbf B_{\mathrm{st},\nu}\mathbf D_\zeta]}^\perp$。
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||||
正确做法是先消去复增益，再在实值参数 EFIM 中对 Doppler 做 Schur 补。
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||||
若 Doppler 已知，则 DoA 的 CRB 为 $\mathcal I_{\theta\theta}^{-1}$；若 Doppler 未知，则上式中的 Schur 补体现了 DoA--Doppler 耦合带来的信息损失。
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||||
若 Doppler 已知，则 \gls{doa} 的 CRB 为 $\mathcal I_{\theta\theta}^{-1}$；若 Doppler 未知，则上式中的 Schur 补体现了 \gls{doa}--Doppler 耦合带来的信息损失。
|
||||
|
||||
当 $\boldsymbol\nu$ 已知且固定为 $\mathbf0$ 时，本模型退化为带已知时间导频权重的确定信号 DoA 模型；若 $\boldsymbol\nu$ 未知，即使在真实值 $\boldsymbol\nu=\mathbf0$ 处，Doppler 仍会通过导数 $\dot{\mathbf q}_k=j\mathbf T_d\mathbf q_k$ 作为干扰参数影响 DoA 的 CRB。
|
||||
当 $\boldsymbol\nu$ 已知且固定为 $\mathbf0$ 时，本模型退化为带已知时间导频权重的确定信号 \gls{doa} 模型；若 $\boldsymbol\nu$ 未知，即使在真实值 $\boldsymbol\nu=\mathbf0$ 处，Doppler 仍会通过导数 $\dot{\mathbf q}_k=j\mathbf T_d\mathbf q_k$ 作为干扰参数影响 \gls{doa} 的 CRB。
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||||
|
||||
该单阵列空时 CRB 说明 DoA 与 Doppler 的耦合会通过 Schur 补造成信息损失。多星静态和动态 CRB 在结构上延续这一思想，但将独立的 $\nu_k$ 替换为参考星参数化下的 $\nu_{\mathrm{ref}}$，并进一步处理多星复增益、连续相位和 Doppler rate 等干扰参数。
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||||
该单阵列空时 CRB 说明 \gls{doa} 与 Doppler 的耦合会通过 Schur 补造成信息损失。多星静态和动态 CRB 在结构上延续这一思想，但将独立的 $\nu_k$ 替换为参考星参数化下的 $\nu_{\mathrm{ref}}$，并进一步处理多星复增益、连续相位和 Doppler rate 等干扰参数。
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\subsection{随机信号 DoA CRB（对照支线）}
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\label{sec:sto_doa_crb}
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本附录对应第~\ref{sec:det_doa_est} 节末尾 \S\ref{subsec:sml_contrast} 的随机信号 DoA 对照支线。由 \S\ref{subsubsec:general_gauss_crb} 可知，零均值圆对称复高斯随机过程的 \gls{crb} 可以表示为
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本附录对应第~\ref{sec:det_doa_est} 节末尾 \S\ref{subsec:sml_contrast} 的随机信号 \gls{doa} 对照支线。由 \S\ref{subsubsec:general_gauss_crb} 可知，零均值圆对称复高斯随机过程的 \gls{crb} 可以表示为
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%
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||||
\begin{equation}
|
||||
[\mathcal I(\boldsymbol\kappa)]_{ij}
|
||||
@@ -960,4 +960,4 @@ Schur 补 $\mathcal{I}_{\mathrm e}
|
||||
\end{align}
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||||
%
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||||
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||||
该随机信号 CRB 与\ref{sec:det_doa_crb} 的确定信号 CRB 共同给出单阵列 DoA 的两类性能基线。多星主线后续采用确定信号/导频化模型，因此其 CRB 推导更接近\ref{sec:det_doa_crb} 和\ref{sec:det_doa_doppler_crb} 的处理方式。
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||||
该随机信号 CRB 与\ref{sec:det_doa_crb} 的确定信号 CRB 共同给出单阵列 \gls{doa} 的两类性能基线。多星主线后续采用确定信号/导频化模型，因此其 CRB 推导更接近\ref{sec:det_doa_crb} 和\ref{sec:det_doa_doppler_crb} 的处理方式。
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||||
@@ -1,7 +1,7 @@
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\section{多星静态模型 CRB}
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\label{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb}
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本附录给出与正文第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst} 节、第~\ref{sec:multiSatMultiUser} 节相对应的多星静态 DoA--Doppler 联合估计 \gls{crb}。E.1 给出单用户多星基线（沿用 \S\ref{subsec:staticBlockModel} 模型），E.2 给出多用户扩展（沿用 \S\ref{sec:multiSatMultiUser} 模型）。两者共享 ``联合堆叠 + 复增益 Schur 补'' 的推导框架，差别仅在均值向量参数化与 Jacobian 维度。
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||||
本附录给出与正文第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst} 节、第~\ref{sec:multiSatMultiUser} 节相对应的多星静态 \gls{doa}--Doppler 联合估计 \gls{crb}。E.1 给出单用户多星基线（沿用 \S\ref{subsec:staticBlockModel} 模型），E.2 给出多用户扩展（沿用 \S\ref{sec:multiSatMultiUser} 模型）。两者共享 ``联合堆叠 + 复增益 Schur 补'' 的推导框架，差别仅在均值向量参数化与 Jacobian 维度。
|
||||
|
||||
本文统一采用 $\mathcal I$ 表示 Fisher 信息矩阵，$\mathbf I$ 表示单位阵，$\mathcal P$ 表示投影矩阵。
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||||
正文中的静态干扰参数 $\boldsymbol\psi_{\mathrm{stat}}$ 同时包含复增益和噪声方差。本附录在构造主参数 EFIM 时，只显式保留影响均值向量的复增益干扰参数；噪声方差只进入协方差，并与均值参数 Fisher 块解耦，因此不改变下面关于复增益的 Schur 补形式。
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||||
@@ -466,7 +466,7 @@ $\begin{bmatrix}\mathbf g_\ell & j\mathbf g_\ell\end{bmatrix}$。虽然这两个
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||||
\right\}.
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||||
\label{eq:A6_Ieff_final}
|
||||
\end{equation}
|
||||
式~\eqref{eq:A6_Ieff_final} 即为静态多阵列确定信号 DoA--Doppler 联合估计的 \gls{efim}。
|
||||
式~\eqref{eq:A6_Ieff_final} 即为静态多阵列确定信号 \gls{doa}--Doppler 联合估计的 \gls{efim}。
|
||||
|
||||
\subsubsection{CRB 表达式}
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||||
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||||
@@ -496,7 +496,7 @@ $\begin{bmatrix}\mathbf g_\ell & j\mathbf g_\ell\end{bmatrix}$。虽然这两个
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||||
\mathcal I_{\nu,\mathrm{ang}} & \mathcal I_{\nu\nu}
|
||||
\end{bmatrix},
|
||||
\end{equation}
|
||||
其中 $\mathcal I_{\mathrm{ang},\mathrm{ang}}\in\mathbb R^{2\times 2}$，$\mathcal I_{\mathrm{ang},\nu}\in\mathbb R^{2\times 1}$，则 DoA 参数的等效 \gls{crb} 为
|
||||
其中 $\mathcal I_{\mathrm{ang},\mathrm{ang}}\in\mathbb R^{2\times 2}$，$\mathcal I_{\mathrm{ang},\nu}\in\mathbb R^{2\times 1}$，则 \gls{doa} 参数的等效 \gls{crb} 为
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\operatorname{CRB}(\boldsymbol\xi)
|
||||
=
|
||||
@@ -696,7 +696,7 @@ EFIM 非奇异 $\Leftrightarrow$ 联合矩阵 $[\bar{\mathbf J}_{\eta,0}^\Tran,\
|
||||
\mathcal I_{\mathrm e}^{-1}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}})
|
||||
\in\mathbb R^{3K\times 3K}.
|
||||
\end{equation}
|
||||
若只关心第 $k$ 个用户的 DoA $\boldsymbol\xi_k$，先把上式按 $(\boldsymbol\xi_k,\text{其余})$ 分块再取 Schur 补
|
||||
若只关心第 $k$ 个用户的 \gls{doa} $\boldsymbol\xi_k$，先把上式按 $(\boldsymbol\xi_k,\text{其余})$ 分块再取 Schur 补
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\operatorname{CRB}(\boldsymbol\xi_k)
|
||||
=
|
||||
|
||||
+15
-15
@@ -321,7 +321,7 @@
|
||||
\subsubsection{Known-rate/unknown-rate EFIM 关系与单星 DoA 正交性}
|
||||
\label{subsec:A7_knownUnknownRateOrthogonality}
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||||
|
||||
为解释 known-rate 与 unknown-rate 下 DoA bound 可能重合的现象，本小节把 Doppler-rate 干扰参数从其他幅度/相位干扰参数中单独分离出来。
|
||||
为解释 known-rate 与 unknown-rate 下 \gls{doa} bound 可能重合的现象，本小节把 Doppler-rate 干扰参数从其他幅度/相位干扰参数中单独分离出来。
|
||||
记
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||||
\begin{equation}
|
||||
\boldsymbol\psi_{\mathrm{cp},0}
|
||||
@@ -392,8 +392,8 @@
|
||||
\mathbf a_{\xi\nu}^{\mathrm K}=\mathbf 0,
|
||||
\label{eq:A7_SS_xi_rate_orthogonality_condition}
|
||||
\end{equation}
|
||||
则消去 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 只会改变 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 对应的标量块，而不会改变 DoA 的 CRB 子块。
|
||||
换言之，DoA 的 known-rate 与 unknown-rate CRB 完全一致。
|
||||
则消去 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 只会改变 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 对应的标量块，而不会改变 \gls{doa} 的 CRB 子块。
|
||||
换言之，\gls{doa} 的 known-rate 与 unknown-rate CRB 完全一致。
|
||||
|
||||
在 single-satellite multi-frame case 中，若唯一卫星即 reference satellite，则
|
||||
\begin{equation}
|
||||
@@ -407,10 +407,10 @@
|
||||
\label{eq:A7_ref_link_mapping_no_xi}
|
||||
\end{equation}
|
||||
因此 $\partial \nu_{\ell_{\mathrm{ref}}}/\partial x=0$ 且 $\partial \dot\nu_{\ell_{\mathrm{ref}}}/\partial x=0$ 对 $x\in\{\alpha,\beta\}$ 成立。
|
||||
由式~\eqref{eq:A7_qx_cp} 可知，reference-link 的 DoA 导数不含 Doppler-mapping-induced temporal phase derivative，而只含空间阵列导向导数。
|
||||
在幅度和公共相位干扰方向被投影消去后，该 DoA score 的残差部分是与 $\mathbf a_{\ell_{\mathrm{ref}}}(\boldsymbol\xi)$ 正交的空间切向量；相反，$\nu_{\mathrm{ref}}$ 和 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 的残差 score 仍具有沿 reference steering vector 的时间相位结构。
|
||||
由式~\eqref{eq:A7_qx_cp} 可知，reference-link 的 \gls{doa} 导数不含 Doppler-mapping-induced temporal phase derivative，而只含空间阵列导向导数。
|
||||
在幅度和公共相位干扰方向被投影消去后，该 \gls{doa} score 的残差部分是与 $\mathbf a_{\ell_{\mathrm{ref}}}(\boldsymbol\xi)$ 正交的空间切向量；相反，$\nu_{\mathrm{ref}}$ 和 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 的残差 score 仍具有沿 reference steering vector 的时间相位结构。
|
||||
在标准窄带阵列流形下，二者的 Fisher 内积为零，因此式~\eqref{eq:A7_SS_xi_rate_orthogonality_condition} 成立。
|
||||
这解释了 single-satellite multi-frame known-rate 与 unknown-rate DoA CRB 的严格重合。
|
||||
这解释了 single-satellite multi-frame known-rate 与 unknown-rate \gls{doa} CRB 的严格重合。
|
||||
|
||||
在 multi-satellite case 中，非参考星通常满足
|
||||
\begin{equation}
|
||||
@@ -424,9 +424,9 @@
|
||||
\qquad
|
||||
\ell\neq\ell_{\mathrm{ref}}.
|
||||
\end{equation}
|
||||
此时 DoA 导数包含由 $\partial\Delta\nu_\ell/\partial x$ 与 $\partial\Delta\dot\nu_\ell/\partial x$ 诱导的时间相位分量。
|
||||
因此，$\mathbf i_{\xi\dot\nu}$ 和 $\mathbf a_{\xi\nu}^{\mathrm K}$ 一般不再严格为零，known-rate 与 unknown-rate DoA CRB 的完全相等性也不应被作为一般结论。
|
||||
若数值上 multi-satellite DoA bound 仍与 known-rate benchmark 基本重合，更稳妥的解释是：在所选 representative geometry 下，DoA residual score 与 residualized Doppler-rate nuisance direction 的耦合较弱。
|
||||
此时 \gls{doa} 导数包含由 $\partial\Delta\nu_\ell/\partial x$ 与 $\partial\Delta\dot\nu_\ell/\partial x$ 诱导的时间相位分量。
|
||||
因此，$\mathbf i_{\xi\dot\nu}$ 和 $\mathbf a_{\xi\nu}^{\mathrm K}$ 一般不再严格为零，known-rate 与 unknown-rate \gls{doa} CRB 的完全相等性也不应被作为一般结论。
|
||||
若数值上 multi-satellite \gls{doa} bound 仍与 known-rate benchmark 基本重合，更稳妥的解释是：在所选 representative geometry 下，\gls{doa} residual score 与 residualized Doppler-rate nuisance direction 的耦合较弱。
|
||||
这一定量现象适合作为 EFIM accounting 的 sanity check，而不应升级为主要理论贡献。
|
||||
|
||||
\subsubsection{relaxed 连续相位模型下的 CRB}
|
||||
@@ -681,7 +681,7 @@ score 在干扰子空间正交补上的残余能量。因此，当 $\theta_{\min
|
||||
$\mathcal I_{\mathrm{e}}$ 会出现小特征值；若同时多星几何使其他方向的信息快速增加，
|
||||
则 $\kappa(\mathcal I_{\mathrm{e}})$ 会显著变大。
|
||||
|
||||
接下来把上述投影解释专门用于 DoA--Doppler 耦合。将 EFIM 按
|
||||
接下来把上述投影解释专门用于 \gls{doa}--Doppler 耦合。将 EFIM 按
|
||||
$\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}=[\boldsymbol\xi^\Tran,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$ 分块为
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\mathcal I_{\mathrm{e}}
|
||||
@@ -718,7 +718,7 @@ $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}=[\boldsymbol\xi^\Tran,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$
|
||||
\label{eq:A7_nu_marginal_bound}
|
||||
\end{equation}
|
||||
为遵守第~\ref{sec:assumptionsAndNotation} 节中 $\rho$ 只表示幅度的约定，这里不用 $\rho$ 表示相关系数，
|
||||
而定义局部 DoA--Doppler 耦合比例
|
||||
而定义局部 \gls{doa}--Doppler 耦合比例
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\gamma_{\xi,\nu}^{2}
|
||||
\triangleq
|
||||
@@ -743,7 +743,7 @@ $0\leq\gamma_{\xi,\nu}^{2}\leq1$，并且
|
||||
\frac{1}{\mathcal I_{\nu\nu}(1-\gamma_{\xi,\nu}^{2})}.
|
||||
\label{eq:A7_nu_info_after_coupling}
|
||||
\end{equation}
|
||||
于是边际化 DoA 所造成的 Doppler 标准差放大量为
|
||||
于是边际化 \gls{doa} 所造成的 Doppler 标准差放大量为
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\frac{\sqrt{C_{\nu}^{\mathrm{mar}}}}
|
||||
{\sqrt{C_{\nu}^{\mathrm{sc}}}}
|
||||
@@ -793,7 +793,7 @@ $\sqrt{C_{\nu}^{\mathrm{mar}}}$、$\sqrt{C_{\nu}^{\mathrm{sc}}}$、
|
||||
$\gamma_{\xi,\nu}^{2}$、$\theta_{\min}$ 以及尺度归一化后的条件数。若
|
||||
$\sqrt{C_{\nu}^{\mathrm{sc}}}$ 随星数增加而改善，但
|
||||
$\sqrt{C_{\nu}^{\mathrm{mar}}}$ 改善有限，同时 $\gamma_{\xi,\nu}^{2}$ 较大，
|
||||
则应解释为 DoA--Doppler Schur 补损失，而不是 Doppler 模板本身没有信息。
|
||||
则应解释为 \gls{doa}--Doppler Schur 补损失，而不是 Doppler 模板本身没有信息。
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
@@ -1307,7 +1307,7 @@ $\mathcal P^{\perp}_{\bar{\mathbf J}^{\mathrm{ip}}_{\psi}}\bar{\mathbf J}^{\math
|
||||
的秩和最小奇异方向决定。与 A7 中的 relaxed 连续相位模型相比，二者的主要区别不在
|
||||
Schur 补代数形式，而在 $\mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}$ 使用局部时间索引并允许每个
|
||||
$(\ell,p)$ 块具有独立相位 $\vartheta_{\ell,p}$。这些自由相位会吸收跨帧绝对相位所携带的公共
|
||||
Doppler 截距信息，因此通常不会缓解 DoA--Doppler--rate 耦合，而是构成一个更保守的相干性基线。
|
||||
Doppler 截距信息，因此通常不会缓解 \gls{doa}--Doppler--rate 耦合，而是构成一个更保守的相干性基线。
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||||
|
||||
|
||||
\subsubsection{关于噪声方差参数的说明}
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||||
@@ -1320,4 +1320,4 @@ Doppler 截距信息，因此通常不会缓解 DoA--Doppler--rate 耦合，而
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||||
\end{equation}
|
||||
因此，将 $\sigma_{n,\ell}^2$ 视为未知量不会改变式~\eqref{eq:A8_IP_FIM_etadotnu} 与式~\eqref{eq:A8_IP_EFIM_eta} 的形式，只是在完整 Fisher 信息矩阵中附加一个与其他参数解耦的对角块。
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至此，动态多帧主线的两类性能界已经形成闭环： \ref{sec:A7_dynDoaDopplerCrb} 对应连续相位/relaxed 连续相位模型，本附录对应独立相位基线模型。二者共享同一主参数 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}$，因而可以直接比较相位连续性对 DoA--Doppler 信息保留能力的影响。
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||||
至此，动态多帧主线的两类性能界已经形成闭环： \ref{sec:A7_dynDoaDopplerCrb} 对应连续相位/relaxed 连续相位模型，本附录对应独立相位基线模型。二者共享同一主参数 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}$，因而可以直接比较相位连续性对 \gls{doa}--Doppler 信息保留能力的影响。
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+3
-3
@@ -1,7 +1,7 @@
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\section*{前言}
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\addcontentsline{toc}{section}{前言}
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||||
这是一份学习笔记，用来记录自己是如何一步步把"用通信信号估计 DoA 与 Doppler"这件事想清楚的。
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这是一份学习笔记，用来记录自己是如何一步步把"用通信信号估计 \gls{doa} 与 Doppler"这件事想清楚的。
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笔记不追求论文式的紧凑，而追求"读起来能跟着推一遍"的连贯性。
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正文按一条由简到繁的递进路径组织，每节只沿一个维度推进问题，其他维度保持最简形态。
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@@ -10,11 +10,11 @@
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正文只写到集中似然的最终形式与 \gls{efim} 的 Schur complement 表达式，详细矩阵代入与逐步化简集中在附录，使正文每节的推导密度保持一致。
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符号采取"跟随问题引入"的策略：每个符号在它第一次出现的那一节首次定义，定义紧贴使用场景，而不在阅读流之前堆叠完整符号表。
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若需要查找某个符号在全文范围内的定义、维度与所属参数组，请直接翻到\textbf{\ref{sec:assumptionsAndNotation} 完整符号索引}，它按主题分表整理了 DoA 与几何、Doppler 与相位、\gls{fim}/\gls{crb}、时间戳误差、波束成形接口等所有符号。
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若需要查找某个符号在全文范围内的定义、维度与所属参数组，请直接翻到\textbf{\ref{sec:assumptionsAndNotation} 完整符号索引}，它按主题分表整理了 \gls{doa} 与几何、Doppler 与相位、\gls{fim}/\gls{crb}、时间戳误差、波束成形接口等所有符号。
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\ref{sec:assumptionsAndNotation} 同时记录了若干尚未在正文展开但已在符号体系中预留命名空间的对象（如波束成形向量 $\mathbf{w}_{\ell,k}$、信道矩阵 $\mathbf{H}_\ell$ 等），它们为后续章节扩展留出接口。
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附录的组织依据是"是否共享同一推导框架"。
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\ref{sec:background}、\ref{sec:doa_methods} 收纳数学基础与经典 \gls{doa} 方法；\ref{sec:singleArrayCrb} 把单阵列三种 \gls{crb}（确定信号 DoA、确定信号 DoA--Doppler、随机信号 DoA）合并整理，便于对比；\ref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb} 处理多星静态模型（单用户与多用户）；\ref{sec:timestampErrCrb} 是新增的时间戳误差 \gls{fim} 分析；\ref{sec:multiFrameCrb} 处理多帧动态模型的连续相位与独立相位 \gls{crb} 对比；\ref{sec:userPositionCrb} 给出用户三维位置的 \gls{crb}，复用多星静态框架的 Jacobian 与 Schur 补。
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\ref{sec:background}、\ref{sec:doa_methods} 收纳数学基础与经典 \gls{doa} 方法；\ref{sec:singleArrayCrb} 把单阵列三种 \gls{crb}（确定信号 \gls{doa}、确定信号 \gls{doa}--Doppler、随机信号 \gls{doa}）合并整理，便于对比；\ref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb} 处理多星静态模型（单用户与多用户）；\ref{sec:timestampErrCrb} 是新增的时间戳误差 \gls{fim} 分析；\ref{sec:multiFrameCrb} 处理多帧动态模型的连续相位与独立相位 \gls{crb} 对比；\ref{sec:userPositionCrb} 给出用户三维位置的 \gls{crb}，复用多星静态框架的 Jacobian 与 Schur 补。
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正文遇到"详细推导见附录~X"时，可循此跳读。
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后续方向上，波束成形与安全通信的鲁棒设计是这份笔记的自然延伸（参见 \ref{sec:assumptionsAndNotation} 末尾预留的接口符号），但本版本不展开波束成形相关章节，仅在符号层面与正文估计侧保持接口一致。
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@@ -163,11 +163,11 @@ $\mathcal P_{\mathbf A}$ 是导向矩阵列空间的正交投影算子，将贯
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\end{equation}
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也即把 $\bm\Theta$ 的来向估计等价为最小化投影残差能量。集中似然的逐步矩阵代入与对应的 \gls{crb}/\gls{fim} 推导见附录~\ref{sec:det_doa_crb}。
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本节得到的结构性结论是：当信源快拍被视为确定性干扰参数时，DoA 信息体现为阵列导向子空间的投影残差能量；上述投影模板与集中似然将在后续每一节中复用。
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本节得到的结构性结论是：当信源快拍被视为确定性干扰参数时，\gls{doa} 信息体现为阵列导向子空间的投影残差能量；上述投影模板与集中似然将在后续每一节中复用。
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\subsection{随机信号模型的对比与取舍}
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\label{subsec:sml_contrast}
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经典文献中另一条主线是随机信号模型，即把 $\mathbf x_t$ 视为零均值复高斯过程 $\mathbf x_t\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\mathbf R_x)$。此时观测协方差为 $\mathbf R(\bm\Theta)=\mathbf A(\bm\Theta)\mathbf R_x\mathbf A^\Herm(\bm\Theta)+\sigma\mathbf I_M$，\gls{sml} 似然只通过 $\mathbf R(\bm\Theta)$ 依赖参数，从而只能识别信号子空间而非信号波形。
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一旦引入 Doppler，时间相位项 $e^{j\nu_k t}$ 会被随机信号波形的统计平均吸收，DoA 与 Doppler 不可分离；这是本笔记后续主线选择确定信号假设（已知训练序列/导频）的根本原因。
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随机信号 DoA 估计与其 \gls{crb} 仅作为对照保留在附录~\ref{sec:sto_doa_crb} 中供查阅，不再进入第~\ref{sec:det_doa_doppler_est} 节及之后的主线。
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一旦引入 Doppler，时间相位项 $e^{j\nu_k t}$ 会被随机信号波形的统计平均吸收，\gls{doa} 与 Doppler 不可分离；这是本笔记后续主线选择确定信号假设（已知训练序列/导频）的根本原因。
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随机信号 \gls{doa} 估计与其 \gls{crb} 仅作为对照保留在附录~\ref{sec:sto_doa_crb} 中供查阅，不再进入第~\ref{sec:det_doa_doppler_est} 节及之后的主线。
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@@ -100,7 +100,7 @@ $\mathbf b_{\mathrm{st},k}$ 的 Kronecker 结构把空间维度的 $\mathbf a(\b
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\tilde{\mathbf y},
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\end{equation}
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其中 $\mathcal P_{\mathbf B_{\mathrm{st}}}\triangleq\mathbf B_{\mathrm{st}}\!\left(\mathbf B_{\mathrm{st}}^\Herm\mathbf B_{\mathrm{st}}\right)^{-1}\mathbf B_{\mathrm{st}}^\Herm$ 为空时字典列空间的投影算子。
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对 $\boldsymbol\zeta$ 与 $\sigma$ 的闭式消元过程与第~\ref{sec:det_doa_est} 节的单阵列 DoA 完全平行，详细矩阵代入见附录~\ref{sec:det_doa_doppler_crb}。
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对 $\boldsymbol\zeta$ 与 $\sigma$ 的闭式消元过程与第~\ref{sec:det_doa_est} 节的单阵列 \gls{doa} 完全平行，详细矩阵代入见附录~\ref{sec:det_doa_doppler_crb}。
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若 Doppler 本身不感兴趣、仅作为干扰参数，可先做 profile 处理：
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\begin{equation}
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@@ -113,5 +113,5 @@ $\mathbf b_{\mathrm{st},k}$ 的 Kronecker 结构把空间维度的 $\mathbf a(\b
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\tilde{\mathbf y}.
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\end{equation}
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由此可见，Doppler 不是简单附加在 DoA 估计之后的独立标量，而是通过时间模板 $\mathbf q_k(\nu_k)$ 与空间导向矢量 $\mathbf a(\bm\theta_k)$ 共同构成空时子空间。这种耦合既是 DoA--Doppler 联合估计带来增益的来源，也是单独估计任一参数会造成信息损失的原因。
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由此可见，Doppler 不是简单附加在 \gls{doa} 估计之后的独立标量，而是通过时间模板 $\mathbf q_k(\nu_k)$ 与空间导向矢量 $\mathbf a(\bm\theta_k)$ 共同构成空时子空间。这种耦合既是 \gls{doa}--Doppler 联合估计带来增益的来源，也是单独估计任一参数会造成信息损失的原因。
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第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst} 节将在此结构基础上加入卫星几何约束：各链路 Doppler 不再独立搜索，而由同一个 $\boldsymbol\xi$ 和参考星 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 统一诱导。
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@@ -1,10 +1,10 @@
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\section{多星协作——单用户全局参数化}
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\label{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst}
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第~\ref{sec:det_doa_doppler_est} 节的根本限制在于：单阵列的孔径决定 DoA 分辨率上限，单链路 Doppler 只提供一个标量约束。
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第~\ref{sec:det_doa_doppler_est} 节的根本限制在于：单阵列的孔径决定 \gls{doa} 分辨率上限，单链路 Doppler 只提供一个标量约束。
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当 $L$ 颗卫星从不同轨道位置同时观测同一用户时，几何多样性给出了新的信息维度——但若把每条链路的 $\nu_\ell$ 都视为独立参数，主参数维度会从 $2$ 膨胀到 $2+L$，无谓地放大搜索空间。
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本节的关键观察是：这 $L$ 个链路 Doppler 受卫星轨道几何约束（LEO 链路的 Doppler 由轨道相对运动决定，参见~\cite{aliDopplerCharacterizationLEO1998}），并\emph{不}独立——一旦给定全局方向 $\boldsymbol\xi$ 和任意一条参考链路上的 $\nu_{\mathrm{ref}}$，其余链路的 $\nu_\ell$ 由已知几何唯一诱导。
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\emph{参考星参数化}正是利用这一约束把主参数维度压回 $3$ 维的工具。下面先建立全局/局部几何映射与参考星参数化（\S\ref{subsec:globalLocalDoaMap}--\S\ref{subsec:refSatParameterization}），再给出多星静态 DoA--Doppler 联合似然与集中似然准则；详细 \gls{crb} 与 \gls{fim} 推导见\ref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb}。
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\emph{参考星参数化}正是利用这一约束把主参数维度压回 $3$ 维的工具。下面先建立全局/局部几何映射与参考星参数化（\S\ref{subsec:globalLocalDoaMap}--\S\ref{subsec:refSatParameterization}），再给出多星静态 \gls{doa}--Doppler 联合似然与集中似然准则；详细 \gls{crb} 与 \gls{fim} 推导见\ref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb}。
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\subsection{全局/局部 DoA 映射}
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\label{subsec:globalLocalDoaMap}
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@@ -99,7 +99,7 @@
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固定选择一颗卫星作为\emph{参考卫星}，其索引记为 $\ell_{\mathrm{ref}}$，除特别说明外默认取 $\ell_{\mathrm{ref}}=0$。后文中涉及 ``ref'' 的 Doppler 参数，均指\emph{参考卫星链路}上的参数，而不再使用星群质心或星群平均速度定义参考 Doppler。
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静态 DoA--Doppler 主参数统一写为
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静态 \gls{doa}--Doppler 主参数统一写为
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\begin{equation}
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\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}}
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=
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@@ -130,7 +130,7 @@
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考虑单用户上行已知训练序列 $s(t)$，在单个观测块内做如下假设：
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\begin{enumerate}
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\item DoA 在整个观测块内保持不变；
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\item \gls{doa} 在整个观测块内保持不变；
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\item 每条链路的归一化 Doppler 在该观测块内近似为常数；
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\item 每颗卫星对应一个未知复干扰系数 $\zeta_\ell\in\mathbb C$；
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\item 不同卫星的噪声方差允许不同（\emph{星间异方差}），但同一颗卫星在该观测块内保持不变。
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@@ -242,28 +242,28 @@
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图~\ref{fig:dualSatSingleSourceScene} 使用 STK 给出了双星单用户场景，用户位于两颗卫星的交叠覆盖区中，卫星视角为 $\pm 55^\circ$。
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图~\ref{fig:doaDopplerEciDualSatSingleSourceUpa2048Snap} 给出了在存在 Doppler 的情况下，发送导频信号并采用上述 \gls{mle} 方法时，仅进行 DoA 估计与联合进行 DoA--Doppler 估计的二维地表坐标估计结果。结果表明，在经度和纬度两个维度上，DoA--Doppler 联合估计均优于仅 DoA 估计，但与 \gls{crb} 之间仍存在一定差距，这一差距可能与地面坐标到卫星局部角度的非线性映射有关。对于 Doppler 参数估计，其结果基本达到 \gls{crb}。
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图~\ref{fig:doaDopplerEciDualSatSingleSourceUpa2048Snap} 给出了在存在 Doppler 的情况下，发送导频信号并采用上述 \gls{mle} 方法时，仅进行 \gls{doa} 估计与联合进行 \gls{doa}--Doppler 估计的二维地表坐标估计结果。结果表明，在经度和纬度两个维度上，\gls{doa}--Doppler 联合估计均优于仅 \gls{doa} 估计，但与 \gls{crb} 之间仍存在一定差距，这一差距可能与地面坐标到卫星局部角度的非线性映射有关。对于 Doppler 参数估计，其结果基本达到 \gls{crb}。
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图~\ref{fig:multiSatSingleSourceScene} 使用 STK，按照用户仰角 $15^\circ$ 和卫星视角 $\pm 55^\circ$ 给出了多星单用户场景。在此基础上，可进一步针对不同卫星组合计算 \gls{crb}，从而实现基于 \gls{crb} 的选星。
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\begin{figure}[!h]
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\centering
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\includegraphics[width=0.9\textwidth]{fig/dualSatSingleSourceScene.bmp}
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\caption{静态多星 DoA--Doppler 主线基线：双星单源几何场景示意}
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\caption{静态多星 \gls{doa}--Doppler 主线基线：双星单源几何场景示意}
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\label{fig:dualSatSingleSourceScene}
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\end{figure}
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\begin{figure}[!h]
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\centering
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\includegraphics[width=0.95\textwidth]{fig/doaDopplerEciDualSatSingleSourceUpa2048Snap.pdf}
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\caption{静态多星 DoA--Doppler 主线基线：ECI 坐标系下双星 UPA、单信源场景中，单独估计 DoA 与联合估计 DoA--Doppler 的 MSE 对比}
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\caption{静态多星 \gls{doa}--Doppler 主线基线：ECI 坐标系下双星 UPA、单信源场景中，单独估计 \gls{doa} 与联合估计 \gls{doa}--Doppler 的 MSE 对比}
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\label{fig:doaDopplerEciDualSatSingleSourceUpa2048Snap}
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\end{figure}
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\begin{figure}[!h]
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\centering
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\includegraphics[width=0.85\textwidth]{fig/multiSatSingleSourceScene.bmp}
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\caption{静态多星 DoA--Doppler 主线基线：多星单源几何场景示意}
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\caption{静态多星 \gls{doa}--Doppler 主线基线：多星单源几何场景示意}
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\label{fig:multiSatSingleSourceScene}
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\end{figure}
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@@ -7,7 +7,7 @@
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\subsection{多用户信号模型}
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\label{subsec:multiUserSignalModel}
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设 $K$ 个单天线用户与 $L$ 颗卫星在同一观测块内并发上行已知导频，第 $k$ 个用户的全局 DoA 为 $\boldsymbol\xi_k=[\alpha_k,\beta_k]^\Tran$，对应的参考星归一化 Doppler 记为 $\nu_{\mathrm{ref},k}$。沿用 \S\ref{subsec:globalLocalDoaMap}--\S\ref{subsec:refSatParameterization} 的全局/局部映射与参考星参数化，第 $\ell$ 颗卫星对第 $k$ 个用户的本地导向矢量记为 $\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi_k)$，其链路 Doppler 由几何映射给出
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设 $K$ 个单天线用户与 $L$ 颗卫星在同一观测块内并发上行已知导频，第 $k$ 个用户的全局 \gls{doa} 为 $\boldsymbol\xi_k=[\alpha_k,\beta_k]^\Tran$，对应的参考星归一化 Doppler 记为 $\nu_{\mathrm{ref},k}$。沿用 \S\ref{subsec:globalLocalDoaMap}--\S\ref{subsec:refSatParameterization} 的全局/局部映射与参考星参数化，第 $\ell$ 颗卫星对第 $k$ 个用户的本地导向矢量记为 $\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi_k)$，其链路 Doppler 由几何映射给出
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\begin{equation}
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\nu_{\ell,k}(\boldsymbol\xi_k,\nu_{\mathrm{ref},k})
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\triangleq
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@@ -190,7 +190,7 @@ CP 模型的干扰参数向量为
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\item \textbf{CP-U}（unknown rate）：$\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 未知并作为干扰参数 Schur complement 消去，对应 EFIM 见 \eqref{eq:A7_CP_U_EFIM_from_K}。
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\end{itemize}
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一个值得指出的结构性现象：在 single-satellite multi-frame 情形中，若该卫星即参考星，则参考链路上 $\Delta\nu(\boldsymbol\xi)\equiv\Delta\dot\nu(\boldsymbol\xi)\equiv 0$，几何映射不通过 $\boldsymbol\xi$ 引入额外时间相位导数。在标准窄带阵列模型下，DoA 导数与 $\nu_{\mathrm{ref}}$、$\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 的导数在 Fisher 内积意义下正交，因此 single-satellite multi-frame 的 DoA bound 在 known-rate 与 unknown-rate 设置下完全一致；在 multi-satellite 情形中这一严格正交性一般不再成立。详细证明见附录~\ref{subsec:A7_knownUnknownRateOrthogonality}。
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一个值得指出的结构性现象：在 single-satellite multi-frame 情形中，若该卫星即参考星，则参考链路上 $\Delta\nu(\boldsymbol\xi)\equiv\Delta\dot\nu(\boldsymbol\xi)\equiv 0$，几何映射不通过 $\boldsymbol\xi$ 引入额外时间相位导数。在标准窄带阵列模型下，\gls{doa} 导数与 $\nu_{\mathrm{ref}}$、$\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 的导数在 Fisher 内积意义下正交，因此 single-satellite multi-frame 的 \gls{doa} bound 在 known-rate 与 unknown-rate 设置下完全一致；在 multi-satellite 情形中这一严格正交性一般不再成立。详细证明见附录~\ref{subsec:A7_knownUnknownRateOrthogonality}。
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\subsection{EFIM 投影解释与多星 Doppler 增益}
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\label{subsec:multiSatGainFdIdentifiability}
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@@ -207,7 +207,7 @@ CP 模型的干扰参数向量为
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\bar{\mathbf J}_{\eta}
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\right\},
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\end{equation}
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其奇异性由投影后主参数 Jacobian 的秩决定，而非 $\bar{\mathbf J}_\eta$ 本身。详细的投影解释、最小投影角 $\sin^2\theta_{\min}$ 定义、以及 $\boldsymbol\xi$/$\nu_{\mathrm{ref}}$ Schur 分块下的 DoA--Doppler 耦合比例 $\gamma_{\xi,\nu}^2$ 见附录~\ref{subsec:A7_efimIllConditioning}。
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其奇异性由投影后主参数 Jacobian 的秩决定，而非 $\bar{\mathbf J}_\eta$ 本身。详细的投影解释、最小投影角 $\sin^2\theta_{\min}$ 定义、以及 $\boldsymbol\xi$/$\nu_{\mathrm{ref}}$ Schur 分块下的 \gls{doa}--Doppler 耦合比例 $\gamma_{\xi,\nu}^2$ 见附录~\ref{subsec:A7_efimIllConditioning}。
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将 EFIM 按 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}=[\boldsymbol\xi^\Tran,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$ 分块后，$\boldsymbol\xi$ 未知条件下 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 的边际 \gls{crb} 满足
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\begin{equation}
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@@ -220,7 +220,7 @@ CP 模型的干扰参数向量为
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=
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\frac{1}{\sqrt{1-\gamma_{\xi,\nu}^{2}}}.
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\end{equation}
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因此 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 的多星增益受 DoA--Doppler 耦合比例约束：即使多星几何能放大 $\mathcal I_{\nu\nu}$，若 $\gamma_{\xi,\nu}^2$ 随 $L$ 增大而恶化，则边际 Doppler CRB 仍受限。
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||||
因此 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 的多星增益受 \gls{doa}--Doppler 耦合比例约束：即使多星几何能放大 $\mathcal I_{\nu\nu}$，若 $\gamma_{\xi,\nu}^2$ 随 $L$ 增大而恶化，则边际 Doppler CRB 仍受限。
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$\boldsymbol\xi$ 的增益主要来自空间视线与阵列流形几何多样性；$\nu_{\mathrm{ref}}$ 的增益主要来自能量叠加与跨帧相干结构，并受到 Schur 损失限制。
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\subsection{周期多帧观测下的 Doppler comb 与 tooth ambiguity}
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@@ -9,7 +9,7 @@
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\subsection{位置参数化与逐星视线映射}
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\label{subsec:positionLosMap}
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设用户在参考时刻的三维位置为 $\mathbf p\in\mathbb R^3$（ECI 坐标系），在单观测块内视为常量（与第~\ref{subsec:staticBlockModel} 小节"DoA 块内不变"同级的假设；用户运动的 Doppler 效应仍按既有模型折叠进 $\nu_{\mathrm{ref}}$，不升格为显式速度参数）。
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设用户在参考时刻的三维位置为 $\mathbf p\in\mathbb R^3$（ECI 坐标系），在单观测块内视为常量（与第~\ref{subsec:staticBlockModel} 小节"\gls{doa} 块内不变"同级的假设；用户运动的 Doppler 效应仍按既有模型折叠进 $\nu_{\mathrm{ref}}$，不升格为显式速度参数）。
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第 $\ell$ 颗卫星到用户的视线向量与单位视线方向为
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\begin{equation}
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\mathbf r_\ell(\mathbf p)\triangleq\mathbf p-\mathbf s_\ell,
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Reference in New Issue
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