From 8448cd6bdb7fc7d8ab7ef095fbf0bfaa51841587 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Josh Gao Date: Sun, 14 Jun 2026 22:10:52 +0800 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?content(sec):=20=E6=AD=A3=E6=96=87=20sec1/2/3/6?= =?UTF-8?q?=20=E9=87=8D=E7=BB=84=E2=80=94=E2=80=94=E8=BF=87=E6=B8=A1?= =?UTF-8?q?=E6=AE=B5=E3=80=81=E9=9B=86=E4=B8=AD=E4=BC=BC=E7=84=B6=E7=BB=93?= =?UTF-8?q?=E8=AE=BA=E5=8C=96=E3=80=81=E8=AF=A6=E7=BB=86=E6=8E=A8=E5=AF=BC?= =?UTF-8?q?=E5=BC=95=E7=94=A8=E9=99=84=E5=BD=95?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit 按 agent_instruction.md §3.2/§2.4 的 "一节一维度" 与 "正文止于集中似然" 原则重写： sec1 多快拍确定信号 DoA：开门见山引入多快拍场景；新增 ULA/UPA 子节（迁自 02-modeling §4.5）；ŝ_t 与 σ̂ 的逐步矩阵代入压缩为 闭式结论 + 引用附录 D.1；末尾新增随机信号对比小节，详细 SML 推导 引用附录 D.3。X 改名为 S 与新符号约定一致。 sec2 加入 Doppler：新过渡段明确 "新维度=时间相位结构"；信号模型 迁入 02-modeling §4.3 的归一化角 Doppler 与导频约定；ζ̂、σ̂ 闭式 消元收敛为投影残差结论 + 引用附录 D.2。 sec3 多星协作（单用户）：过渡段强化参考星参数化的动机（避免主参 数膨胀到 2+L）；全局/局部 DoA 映射、归一化 Doppler 与时间索引、 参考星参数化三小节迁自 02-modeling §4.4，保留 subsec:globalLocalDoaMap、 subsec:dopplerNormalization、subsec:refSatParameterization 三个 被 sec6/E 跨节引用的 label；联合似然的 ζ_ℓ/σ_ℓ 闭式消元归并为 单个结论式 + 引用附录 E。仿真图与说明保留。 sec6 多帧动态 CP/IP：过渡段说明这是另一独立维度扩展，不叠加 多用户与时间戳误差；CP/IP 模型定义保留；CP 结构化 MLE、relaxed MLE 与 IP MLE 的详细 ρ̂/ζ̂ 闭式消元统一压缩为三类残差对照 + 引用附录 G；CP-K/CP-U 派生与 single-sat orthogonality 作为结论引用附录 G.1；EFIM 投影解释与 Doppler comb / tooth ambiguity 保留高层结论，矩阵代入与 Dirichlet 窗口完整推导引用附录。 02-modeling.tex 内容已分别迁入 sec1/sec2/sec3，文件归档；主文件 \input 列表去掉对应行。 --- {parts => archive}/02-modeling.tex | 0 doa_doppler_est.tex | 1 - parts/sec1_singleArrayDoa.tex | 205 ++++--- parts/sec2_singleArrayDoaDoppler.tex | 129 ++--- parts/sec3_multiSatSingleUser.tex | 319 ++++++----- parts/sec6_multiFrameCp.tex | 766 +++------------------------ 6 files changed, 418 insertions(+), 1002 deletions(-) rename {parts => archive}/02-modeling.tex (100%) diff --git a/parts/02-modeling.tex b/archive/02-modeling.tex similarity index 100% rename from parts/02-modeling.tex rename to archive/02-modeling.tex diff --git a/doa_doppler_est.tex b/doa_doppler_est.tex index 2341657..35616c3 100644 --- a/doa_doppler_est.tex +++ b/doa_doppler_est.tex @@ -136,7 +136,6 @@ \end{abstract} \input{parts/preface.tex} -\input{parts/02-modeling.tex} \input{parts/sec1_singleArrayDoa.tex} \input{parts/sec2_singleArrayDoaDoppler.tex} \input{parts/sec3_multiSatSingleUser.tex} diff --git a/parts/sec1_singleArrayDoa.tex b/parts/sec1_singleArrayDoa.tex index 8f9d9ed..7e8cb52 100644 --- a/parts/sec1_singleArrayDoa.tex +++ b/parts/sec1_singleArrayDoa.tex @@ -1,108 +1,173 @@ -\section{确定信号 DoA 估计\texorpdfstring{~\cite{stoicaMusicMaximumLikelihood1989}}{}} +\section{多快拍确定信号 DoA 估计\texorpdfstring{~\cite{stoicaMusicMaximumLikelihood1989}}{}} \label{sec:det_doa_est} -本节是单阵列基线层的第一个似然推导：在第~\ref{subsec:single_arr_doa_est} 小节的观测模型基础上，将源信号在每个快拍处的取值视为确定性未知量，从而得到条件/确定最大似然问题。该推导的重点不在多星几何，而在建立投影矩阵、集中似然和干扰参数消元的基本模板；对应的 \gls{crb} 推导放在 \ref{sec:det_doa_crb} 中。 +本节是整份笔记的实质起点。 +不再讨论单快拍极简情形——单快拍下 \gls{mle} 退化平凡，无法承载后续要复用的投影、集中似然与干扰参数消元等基本工具。 +直接从多快拍场景出发：$K$ 个信源从远场入射到 $M$ 元阵列，在 $T$ 个快拍内连续观测，目标是估计来向 $\bm\Theta$。 +本节先建立信号模型与对数似然函数，再以集中似然消去信号快拍与噪声方差后得到的 \gls{cdml} 准则收尾；详细矩阵代入与 \gls{crb} 推导见附录~\ref{sec:det_doa_crb}。 -\subsection{似然函数求取} +\subsection{信号模型} +\label{subsec:single_arr_doa_est} -本节沿用式~\eqref{eq:single_arr_doa_model} 的单阵列 DoA 观测模型，并采用全文统一的快拍索引 $t=0,1,\ldots,T-1$。为简化本节公式，记 +假设 $K$ 个信源的来向参数收集为 \begin{equation} - \sigma \triangleq \sigma_n^2. + \bm{\Theta} + \triangleq + \left[\bm{\theta}_1,\ldots,\bm{\theta}_K\right], \end{equation} -由于噪声 $\mathbf n_t\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma\mathbf I_M)$，且 $\mathbf x_t$ 为确定性未知信号快拍，有 +$M$ 元阵列在第 $t$ 个快拍的接收向量记为 \begin{equation} - \mathbf y_t\sim\mathcal{CN}\big(\mathbf A(\bm\Theta)\mathbf x_t,\sigma\mathbf I_M\big). -\end{equation} -因此，根据式~\eqref{eq:independent_complex_gaussian_pdf}，所有快拍的似然函数为 -\begin{equation} - L(\sigma,\{\mathbf x_t\}_{t=0}^{T-1},\bm\Theta\mid \{\mathbf y_t\}_{t=0}^{T-1}) + \label{eq:single_arr_doa_model} + \mathbf y_t = - (\pi\sigma)^{-MT} - \exp\left[ - -\frac{1}{\sigma} - \sum_{t=0}^{T-1}\left\|\mathbf y_t-\mathbf A(\bm\Theta)\mathbf x_t\right\|_2^2 - \right]. + \mathbf A(\bm{\Theta})\mathbf s_t + \mathbf n_t, + \qquad t=0,1,\ldots,T-1, \end{equation} -对应的对数似然函数为 +其中： +\begin{itemize} + \item 观测向量 $\mathbf y_t \in \mathbb C^{M\times 1}$； + \item 导向矩阵 + $ + \mathbf A(\bm{\Theta}) + \triangleq + \left[\mathbf a(\bm{\theta}_1),\ldots,\mathbf a(\bm{\theta}_K)\right] + \in \mathbb C^{M\times K} + $，其中 $\mathbf a(\bm{\theta}_k)$ 为第 $k$ 个信源对应的导向矢量； + \item 信源快拍 $\mathbf s_t=[s_1(t),\ldots,s_K(t)]^\Tran\in\mathbb C^{K\times 1}$，作为确定性未知量； + \item 噪声向量 $\mathbf n_t\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma_n^2\mathbf I_M)$。 +\end{itemize} + +将所有快拍按列堆叠得到矩阵形式 +\begin{equation} + \mathbf Y = \mathbf A(\bm{\Theta})\mathbf S + \mathbf N, +\end{equation} +其中 $\mathbf Y\in\mathbb C^{M\times T}$、$\mathbf S\in\mathbb C^{K\times T}$、$\mathbf N\in\mathbb C^{M\times T}$ 为相应的堆叠矩阵。 +本节待估主参数为 +\begin{equation*} + \boldsymbol\eta + \triangleq + \vect(\bm\Theta) + = + \left[\bm\theta_1^\Tran,\ldots,\bm\theta_K^\Tran\right]^\Tran, +\end{equation*} +干扰参数为信源快拍 $\{\mathbf s_t\}$ 与噪声方差 $\sigma_n^2$。 + +\subsection{阵列模型：ULA 与 UPA} +\label{subsec:single_arr_array_model} + +为完整闭合 $\mathbf a(\bm\theta_k)$ 的形式，下面给出两种最常用阵列的导向矢量。这里先以单阵列为对象，多卫星协作场景下的全局/局部坐标映射在 \S\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst} 节统一引入。 + +\subsubsection{ULA} +\label{subsubsec:single_arr_ula_model} + +对于 \gls{ula}，阵元间距为 $d$，工作波长为 $\lambda_{\mathrm{c}}$，第 $k$ 个信源的到达角为标量 $\theta_k$。导向矢量为 +\begin{equation} + \mathbf a_{\mathrm{ULA}}(\theta_k) + = + \begin{bmatrix} + 1, + e^{-j\frac{2\pi}{\lambda_{\mathrm{c}}}d\sin\theta_k}, + \ldots, + e^{-j\frac{2\pi}{\lambda_{\mathrm{c}}}(M-1)d\sin\theta_k} + \end{bmatrix}^\Tran + \in\mathbb C^{M\times 1}. +\end{equation} + +\subsubsection{UPA} +\label{subsubsec:single_arr_upa_model} + +对于 \gls{upa}，阵列位于 $xOy$ 平面内，沿 $x$ 轴和 $y$ 轴分别等间距排布，阵元数为 $M_x$ 与 $M_y$，间距为 $d_x$ 与 $d_y$，总阵元数 $M=M_xM_y$。统一采用与全局方向一致的二维角度 +\begin{equation} + \bm\theta_k + \triangleq + \begin{bmatrix} + \alpha_k\\ + \beta_k + \end{bmatrix}, + \qquad + u_{x,k}\triangleq\cos\beta_k\cos\alpha_k, + \qquad + u_{y,k}\triangleq\cos\beta_k\sin\alpha_k, +\end{equation} +则两个方向的一维导向矢量分别为 +\begin{subequations} + \begin{align} + \mathbf a_x(\bm\theta_k) + &= + \begin{bmatrix} + 1, + e^{-j\frac{2\pi}{\lambda_{\mathrm{c}}}d_xu_{x,k}}, + \ldots, + e^{-j\frac{2\pi}{\lambda_{\mathrm{c}}}(M_x-1)d_xu_{x,k}} + \end{bmatrix}^\Tran,\\ + \mathbf a_y(\bm\theta_k) + &= + \begin{bmatrix} + 1, + e^{-j\frac{2\pi}{\lambda_{\mathrm{c}}}d_yu_{y,k}}, + \ldots, + e^{-j\frac{2\pi}{\lambda_{\mathrm{c}}}(M_y-1)d_yu_{y,k}} + \end{bmatrix}^\Tran. + \end{align} +\end{subequations} +\gls{upa} 总导向矢量为 $\mathbf a_{\mathrm{UPA}}(\bm\theta_k)=\mathbf a_y(\bm\theta_k)\otimes\mathbf a_x(\bm\theta_k)\in\mathbb C^{M\times 1}$。 + +\subsection{对数似然与确定最大似然准则} + +记 $\sigma\triangleq\sigma_n^2$。由 $\mathbf n_t\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma\mathbf I_M)$ 及 $\mathbf s_t$ 的确定性假设，有 $\mathbf y_t\sim\mathcal{CN}(\mathbf A(\bm\Theta)\mathbf s_t,\sigma\mathbf I_M)$。各快拍独立，对数似然为 \begin{equation} \label{eq:det_ml_log_likelihood} - \ln \mathcal L + \ln \mathcal L(\sigma,\{\mathbf s_t\},\bm\Theta) = \mathrm{Const} -MT\ln\sigma - -\frac{1}{\sigma}\sum_{t=0}^{T-1}\left\|\mathbf y_t-\mathbf A(\bm\Theta)\mathbf x_t\right\|_2^2. + -\frac{1}{\sigma}\sum_{t=0}^{T-1}\left\|\mathbf y_t-\mathbf A(\bm\Theta)\mathbf s_t\right\|_2^2. \end{equation} -其中待估计参数包括噪声方差 $\sigma$，确定信号快拍 $\{\mathbf x_t\}_{t=0}^{T-1}$ 的实部和虚部，以及多源来向集合 $\bm\Theta$。 - -\subsection{确定/条件最大似然估计} - -\subsubsection{原始问题建模} - -\Gls{dml}/\gls{cml} 优化问题可以表述为 +对应的 \gls{dml}/\gls{cml} 优化问题为 \begin{alignat}{2} \label{eq:det_ml_doa_opt} - &\minimize_{\bm\Theta,\{\mathbf x_t\},\sigma} \quad && + &\minimize_{\bm\Theta,\{\mathbf s_t\},\sigma} \quad && MT\ln\sigma + - \frac{1}{\sigma}\sum_{t=0}^{T-1}\left\|\mathbf y_t-\mathbf A(\bm\Theta)\mathbf x_t\right\|_2^2 - \nonumber\\ - &\text{subject to} && \bm\Theta\in\varTheta, + \frac{1}{\sigma}\sum_{t=0}^{T-1}\left\|\mathbf y_t-\mathbf A(\bm\Theta)\mathbf s_t\right\|_2^2. \end{alignat} -其中 $\varTheta$ 为 $\bm\Theta$ 的可行域。 -\subsubsection{集中似然表达} +\subsection{集中似然与投影残差准则} -我们关心的是信号的来向 $\bm\Theta$，因此将对数似然函数中的其他参量，包括噪声方差 $\sigma$ 与信号快拍 $\{\mathbf x_t\}_{t=0}^{T-1}$，均用 $\bm\Theta$ 和观测 $\{\mathbf y_t\}_{t=0}^{T-1}$ 表示。 - -对固定的 $\bm\Theta$，令 $\partial\ln\mathcal L/\partial\mathbf x_t=0$，可得 +我们关心的是 $\bm\Theta$，因此把信源快拍 $\{\mathbf s_t\}$ 与噪声方差 $\sigma$ 视为干扰参数集中消去。对固定的 $\bm\Theta$，逐一最小化得到的闭式解为 \begin{equation} - \widehat{\mathbf x}_t(\bm\Theta) + \widehat{\mathbf s}_t(\bm\Theta) = - \left[\mathbf A^\Herm\mathbf A\right]^{-1}\mathbf A^\Herm\mathbf y_t. -\end{equation} -令 $\partial\ln\mathcal L/\partial\sigma=0$，并代入 $\widehat{\mathbf x}_t$，可得 -\begin{align} + \left(\mathbf A^\Herm\mathbf A\right)^{-1}\mathbf A^\Herm\mathbf y_t, + \qquad \widehat\sigma(\bm\Theta) - &= - \frac{1}{MT}\sum_{t=0}^{T-1} - \left\|\mathbf y_t-\mathbf A\widehat{\mathbf x}_t\right\|_2^2 \nonumber\\ - &= - \frac{1}{MT}\sum_{t=0}^{T-1} - \mathbf y_t^\Herm - \left(\mathbf I_M-\mathcal P_{\mathbf A}\right) - \mathbf y_t, -\end{align} + = + \frac{1}{M}\tr\!\left[\left(\mathbf I_M-\mathcal P_{\mathbf A}\right)\widehat{\mathbf R}\right], +\end{equation} 其中 \begin{equation} \mathcal P_{\mathbf A} \triangleq - \mathbf A(\mathbf A^\Herm\mathbf A)^{-1}\mathbf A^\Herm -\end{equation} -为导向矩阵列空间的投影算子。进一步定义样本协方差矩阵 -\begin{equation} + \mathbf A(\mathbf A^\Herm\mathbf A)^{-1}\mathbf A^\Herm, + \qquad \widehat{\mathbf R} \triangleq - \frac{1}{T}\sum_{t=0}^{T-1}\mathbf y_t\mathbf y_t^\Herm, + \frac{1}{T}\sum_{t=0}^{T-1}\mathbf y_t\mathbf y_t^\Herm. \end{equation} -则 -\begin{equation} - \widehat\sigma(\bm\Theta) - = - \frac{1}{M}\tr\left[\left(\mathbf I_M-\mathcal P_{\mathbf A}\right)\widehat{\mathbf R}\right]. -\end{equation} -代入式~\eqref{eq:det_ml_log_likelihood} 并忽略与 $\bm\Theta$ 无关的项后，$\bm\Theta$ 的 \gls{cdml} 可写为 +$\mathcal P_{\mathbf A}$ 是导向矩阵列空间的正交投影算子，将贯穿后续所有章节作为消去信号/复增益干扰参数的核心工具；$\widehat{\mathbf R}$ 为样本协方差矩阵。代回式~\eqref{eq:det_ml_log_likelihood} 并忽略与 $\bm\Theta$ 无关的项后，$\bm\Theta$ 的 \gls{cdml} 化为 \begin{equation} \widehat{\bm\Theta}_{\mathrm{CDML}} = \argmin_{\bm\Theta} - \tr\left[\left(\mathbf I_M-\mathcal P_{\mathbf A(\bm\Theta)}\right)\widehat{\mathbf R}\right]. + \tr\!\left[\left(\mathbf I_M-\mathcal P_{\mathbf A(\bm\Theta)}\right)\widehat{\mathbf R}\right]. \end{equation} -也即 $\bm\Theta$ 的 \gls{cdml} 可以通过最小化 -\begin{equation} - \mathcal J(\bm\Theta) - \triangleq - \tr\left[\left(\mathbf I_M-\mathcal P_{\mathbf A(\bm\Theta)}\right)\widehat{\mathbf R}\right] -\end{equation} -得到。 +也即把 $\bm\Theta$ 的来向估计等价为最小化投影残差能量。集中似然的逐步矩阵代入与对应的 \gls{crb}/\gls{fim} 推导见附录~\ref{sec:det_doa_crb}。 -本节得到的形式说明：当信号快拍被视为确定性干扰参数时，DoA 信息通过阵列导向子空间的投影残差体现。下一节的随机信号模型将改变信源统计假设，但仍沿用同一个单阵列几何入口。 +本节得到的结构性结论是：当信源快拍被视为确定性干扰参数时，DoA 信息体现为阵列导向子空间的投影残差能量；上述投影模板与集中似然将在后续每一节中复用。 + +\subsection{随机信号模型的对比与取舍} +\label{subsec:sml_contrast} + +经典文献中另一条主线是随机信号模型，即把 $\mathbf s_t$ 视为零均值复高斯过程 $\mathbf s_t\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\mathbf P)$。此时观测协方差为 $\mathbf R(\bm\Theta)=\mathbf A(\bm\Theta)\mathbf P\mathbf A^\Herm(\bm\Theta)+\sigma\mathbf I_M$，\gls{sml} 似然只通过 $\mathbf R(\bm\Theta)$ 依赖参数，从而只能识别信号子空间而非信号波形。 +一旦引入 Doppler，时间相位项 $e^{j\nu_k t}$ 会被随机信号波形的统计平均吸收，DoA 与 Doppler 不可分离；这是本笔记后续主线选择确定信号假设（已知训练序列/导频）的根本原因。 +随机信号 DoA 估计与其 \gls{crb} 仅作为对照保留在附录~\ref{sec:sto_doa_crb} 中供查阅，不再进入第~\ref{sec:det_doa_doppler_est} 节及之后的主线。 diff --git a/parts/sec2_singleArrayDoaDoppler.tex b/parts/sec2_singleArrayDoaDoppler.tex index 83feac3..9676508 100644 --- a/parts/sec2_singleArrayDoaDoppler.tex +++ b/parts/sec2_singleArrayDoaDoppler.tex @@ -1,48 +1,56 @@ -\section{确定信号 DoA--Doppler 估计} +\section{加入 Doppler——单阵列确定信号 DoA--Doppler 估计} \label{sec:det_doa_doppler_est} -本节在单阵列确定信号 DoA 模板上加入归一化角 Doppler $\nu_k$，是从纯空间阵列模型过渡到空时导向模型的桥梁。若仍把发送信号 $x_k(t)$ 在每一时刻都视为自由未知量，则 Doppler 项 $e^{j\nu_k t}$ 会被吸收进未知的 $x_k(t)$ 中，从而使 $\nu_k$ 不可辨识并导致 \gls{crb} 奇异。因此，本节沿用第~\ref{subsec:single_arr_doa_doppler_est} 小节的归一化 Doppler 约定，并显式引入已知导频序列 $s_k(t)$。当 $s_k(t)\equiv1$ 时，下面模型退化为常包络导频或单音模型。 +第~\ref{sec:det_doa_est} 节假设信源在观测窗口内时间相位被吸收进未知信号波形 $\mathbf S$。当信源带有 Doppler 时，时间相位变为 $e^{j\nu_k t}$，不能再被任意未知波形吸收，否则 $\nu_k$ 不可辨识、\gls{crb} 奇异。 +本节沿一个新维度推进问题——\emph{时间相位结构}——其余维度保持最简：仍是单阵列、单观测块、信源已知导频 $s_k(t)$。引入归一化角 Doppler $\nu_k$ 与未知复增益 $\zeta_k$，并由此得到空时导向向量 $\mathbf b_{\mathrm{st},k}$ 的 Kronecker 结构。 +详细 \gls{crb} 推导见附录~\ref{sec:det_doa_doppler_crb}。 -\subsection{似然函数求取} +\subsection{信号模型} +\label{subsec:single_arr_doa_doppler_est} -定义第 $k$ 个信源的导频加权时间模板为 +本节默认 $\nu_k$ 表示第 $k$ 个信源的\emph{归一化角 Doppler}，单位为 rad/sample；若需要物理 Hz 单位，应显式写作 $\nu_k^{\mathrm{Hz}}$，二者通过采样周期 $T_{\mathrm{s}}$ 一次性换算。Doppler 向量记为 +\begin{equation} + \boldsymbol\nu + \triangleq + [\nu_1,\ldots,\nu_K]^\Tran. +\end{equation} + +将每个信源的导频 $s_k(t)$ 视为已知，复增益 $\zeta_k\in\mathbb C$ 与归一化 Doppler $\nu_k$ 视为待估。第 $k$ 个信源的导频加权时间模板为 \begin{equation} \mathbf q_k(\nu_k) \triangleq \begin{bmatrix} - s_k(0)e^{j\nu_k\cdot0} \\ - s_k(1)e^{j\nu_k\cdot1} \\ - \vdots \\ + s_k(0)e^{j\nu_k\cdot0}, & + s_k(1)e^{j\nu_k\cdot1}, & + \cdots, & s_k(T-1)e^{j\nu_k(T-1)} - \end{bmatrix} + \end{bmatrix}^\Tran \in\mathbb C^{T\times1}. \end{equation} -令 $\mathbf a_k\triangleq\mathbf a(\bm\theta_k)$，并将第 $k$ 个信源的未知复增益记为 $\zeta_k$，则所有快拍可写为 +所有快拍写成矩阵形式 \begin{equation} \mathbf Y = \sum_{k=1}^{K}\zeta_k\mathbf a(\bm\theta_k)\mathbf q_k^\Tran(\nu_k) + - \mathbf N, + \mathbf N. \end{equation} -其中 $\mathbf Y=[\mathbf y_0,\ldots,\mathbf y_{T-1}]\in\mathbb C^{M\times T}$，$\mathbf N=[\mathbf n_0,\ldots,\mathbf n_{T-1}]\in\mathbb C^{M\times T}$。 -进一步定义第 $k$ 个信源的空时导向列向量和整体空时字典为 +进一步定义第 $k$ 个信源的空时导向向量与整体空时字典 \begin{equation} \mathbf b_{\mathrm{st},k}(\bm\theta_k,\nu_k) \triangleq \mathbf q_k(\nu_k)\otimes\mathbf a(\bm\theta_k) \in\mathbb C^{MT\times1}, -\end{equation} -\begin{equation} + \qquad \mathbf B_{\mathrm{st}}(\bm\Theta,\boldsymbol\nu) \triangleq \left[ \mathbf b_{\mathrm{st},1},\ldots,\mathbf b_{\mathrm{st},K} \right] - \in\mathbb C^{MT\times K}. + \in\mathbb C^{MT\times K}, \end{equation} -定义信源复增益向量 $\boldsymbol\zeta=[\zeta_1,\ldots,\zeta_K]^\Tran$，则接收信号可以进一步表示为 +并记复增益向量 $\boldsymbol\zeta=[\zeta_1,\ldots,\zeta_K]^\Tran$。则向量化观测模型为 \begin{equation} \label{eq:vec_det_doa_doppler_recv_sig} \tilde{\mathbf y} @@ -53,26 +61,13 @@ + \tilde{\mathbf n}, \qquad - \tilde{\mathbf n}\triangleq\vect(\mathbf N). + \tilde{\mathbf n}\triangleq\vect(\mathbf N)\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma\mathbf I_{MT}). \end{equation} +$\mathbf b_{\mathrm{st},k}$ 的 Kronecker 结构把空间维度的 $\mathbf a(\bm\theta_k)$ 与时间维度的 $\mathbf q_k(\nu_k)$ 解耦在两个因子上，是本节相比于第~\ref{sec:det_doa_est} 节的核心新结构。 -由于噪声在时间和空间上均不相关，且 $\tilde{\mathbf n}\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma\mathbf I_{MT})$，其中 $\sigma\triangleq\sigma_n^2$，有 -\begin{equation} - \tilde{\mathbf y} - \sim - \mathcal{CN}\big(\mathbf B_{\mathrm{st}}\boldsymbol\zeta,\sigma\mathbf I_{MT}\big). -\end{equation} -因此，观测似然函数为 -\begin{equation} - L(\sigma,\boldsymbol\zeta,\boldsymbol\nu,\bm\Theta) - = - (\pi\sigma)^{-MT} - \exp\left[ - -\frac{1}{\sigma} - \left\|\tilde{\mathbf y}-\mathbf B_{\mathrm{st}}\boldsymbol\zeta\right\|_2^2 - \right], -\end{equation} -对应对数似然函数为 +\subsection{对数似然} + +由于 $\tilde{\mathbf y}\sim\mathcal{CN}(\mathbf B_{\mathrm{st}}\boldsymbol\zeta,\sigma\mathbf I_{MT})$，对数似然为 \begin{equation} \label{eq:singlelog_likelihood} \ln\mathcal L(\sigma,\boldsymbol\zeta,\boldsymbol\nu,\bm\Theta) @@ -82,69 +77,32 @@ -\frac{1}{\sigma} \left\|\tilde{\mathbf y}-\mathbf B_{\mathrm{st}}\boldsymbol\zeta\right\|_2^2. \end{equation} - -\subsection{确定/条件最大似然} - -\subsubsection{原始问题建模} - -\Gls{dml}/\gls{cml} 优化问题可以表述为 -\begin{alignat}{2} +对应的 \gls{dml}/\gls{cml} 优化问题为 +\begin{equation} \label{eq:det_ml_doa_doppler_opt} - &\minimize_{\boldsymbol\zeta,\boldsymbol\nu,\bm\Theta,\sigma} \quad && + \minimize_{\boldsymbol\zeta,\boldsymbol\nu,\bm\Theta,\sigma} + \;\; MT\ln\sigma + - \frac{1}{\sigma}\left\|\tilde{\mathbf y}-\mathbf B_{\mathrm{st}}\boldsymbol\zeta\right\|_2^2 - \nonumber\\ - &\text{subject to} && \bm\Theta\in\varTheta. -\end{alignat} + \frac{1}{\sigma}\left\|\tilde{\mathbf y}-\mathbf B_{\mathrm{st}}\boldsymbol\zeta\right\|_2^2. +\end{equation} -\subsubsection{集中似然表达} +\subsection{集中似然与联合 DoA--Doppler 准则} -我们关心的是信号来向 $\bm\Theta$ 和 Doppler $\boldsymbol\nu$。假设 $\mathbf B_{\mathrm{st}}(\bm\Theta,\boldsymbol\nu)$ 列满秩，则对固定的 $(\bm\Theta,\boldsymbol\nu)$，复增益和噪声方差的极大似然估计为 -\begin{subequations} -\begin{equation} - \widehat{\boldsymbol\zeta}(\bm\Theta,\boldsymbol\nu) - = - \left(\mathbf B_{\mathrm{st}}^\Herm\mathbf B_{\mathrm{st}}\right)^{-1} - \mathbf B_{\mathrm{st}}^\Herm\tilde{\mathbf y}, -\end{equation} -\begin{equation} - \widehat\sigma(\bm\Theta,\boldsymbol\nu) - = - \frac{1}{MT}\tilde{\mathbf y}^\Herm - \left(\mathbf I_{MT}-\mathcal P_{\mathbf B_{\mathrm{st}}}\right) - \tilde{\mathbf y}, -\end{equation} -\end{subequations} -其中 -\begin{equation} - \mathcal P_{\mathbf B_{\mathrm{st}}} - \triangleq - \mathbf B_{\mathrm{st}} - \left(\mathbf B_{\mathrm{st}}^\Herm\mathbf B_{\mathrm{st}}\right)^{-1} - \mathbf B_{\mathrm{st}}^\Herm. -\end{equation} -代入式~\eqref{eq:det_ml_doa_doppler_opt} 后，可以得到 $\bm\Theta$ 和 $\boldsymbol\nu$ 的集中确定最大似然估计 +待估主参数为 $(\bm\Theta,\boldsymbol\nu)$，干扰参数为 $(\boldsymbol\zeta,\sigma)$。在 $\mathbf B_{\mathrm{st}}(\bm\Theta,\boldsymbol\nu)$ 列满秩的假设下，沿用与第~\ref{sec:det_doa_est} 节相同的投影模板消元，可得集中似然准则 \begin{equation} \label{eq:con_det_ml_doa_doppler_opt} - \left(\widehat{\bm\Theta}_{\mathrm{CDML}},\widehat{\boldsymbol\nu}_{\mathrm{CDML}}\right) + \big(\widehat{\bm\Theta}_{\mathrm{CDML}},\widehat{\boldsymbol\nu}_{\mathrm{CDML}}\big) = \argmin_{\bm\Theta,\boldsymbol\nu} \tilde{\mathbf y}^\Herm - \left(\mathbf I_{MT}-\mathcal P_{\mathbf B_{\mathrm{st}}}\right) - \tilde{\mathbf y}. -\end{equation} -也即 $(\bm\Theta,\boldsymbol\nu)$ 的估计可以通过最小化 -\begin{equation} - \mathcal J(\bm\Theta,\boldsymbol\nu) - \triangleq - \tilde{\mathbf y}^\Herm \left(\mathbf I_{MT}-\mathcal P_{\mathbf B_{\mathrm{st}}(\bm\Theta,\boldsymbol\nu)}\right) - \tilde{\mathbf y} + \tilde{\mathbf y}, \end{equation} -得到。 +其中 $\mathcal P_{\mathbf B_{\mathrm{st}}}\triangleq\mathbf B_{\mathrm{st}}\!\left(\mathbf B_{\mathrm{st}}^\Herm\mathbf B_{\mathrm{st}}\right)^{-1}\mathbf B_{\mathrm{st}}^\Herm$ 为空时字典列空间的投影算子。 +对 $\boldsymbol\zeta$ 与 $\sigma$ 的闭式消元过程与第~\ref{sec:det_doa_est} 节的单阵列 DoA 完全平行，详细矩阵代入见附录~\ref{sec:det_doa_doppler_crb}。 -若不关心 Doppler，可将其视为干扰参数并先做 profile 处理： +若 Doppler 本身不感兴趣、仅作为干扰参数，可先做 profile 处理： \begin{equation} \widehat{\bm\Theta}_{\mathrm{CDML}} = @@ -155,4 +113,5 @@ \tilde{\mathbf y}. \end{equation} -由此可见，Doppler 不是简单附加在 DoA 估计之后的独立标量，而是通过时间模板与空间导向矢量共同形成空时子空间。多星静态 DoA--Doppler 模型将在这一思想上进一步加入卫星几何约束：各链路 Doppler 不再独立搜索，而由同一个 $\boldsymbol\xi$ 和参考星参数 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 统一诱导。 +由此可见，Doppler 不是简单附加在 DoA 估计之后的独立标量，而是通过时间模板 $\mathbf q_k(\nu_k)$ 与空间导向矢量 $\mathbf a(\bm\theta_k)$ 共同构成空时子空间。这种耦合既是 DoA--Doppler 联合估计带来增益的来源，也是单独估计任一参数会造成信息损失的原因。 +第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst} 节将在此结构基础上加入卫星几何约束：各链路 Doppler 不再独立搜索，而由同一个 $\boldsymbol\xi$ 和参考星 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 统一诱导。 diff --git a/parts/sec3_multiSatSingleUser.tex b/parts/sec3_multiSatSingleUser.tex index f3a9db7..e945c36 100644 --- a/parts/sec3_multiSatSingleUser.tex +++ b/parts/sec3_multiSatSingleUser.tex @@ -1,66 +1,141 @@ -\section{静态多阵列确定信号 DoA--Doppler 估计问题模型} +\section{多星协作——单用户全局参数化} \label{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst} -\subsection{离散时间统一符号与参考星参数化} +第~\ref{sec:det_doa_doppler_est} 节的根本限制在于：单阵列的孔径决定 DoA 分辨率上限，单链路 Doppler 只提供一个标量约束。 +当 $L$ 颗卫星从不同轨道位置同时观测同一用户时，几何多样性给出了新的信息维度——但若把每条链路的 $\nu_\ell$ 都视为独立参数，主参数维度会从 $2$ 膨胀到 $2+L$，无谓地放大搜索空间。 +本节的关键观察是：这 $L$ 个链路 Doppler 受卫星轨道几何约束，并\emph{不}独立——一旦给定全局方向 $\boldsymbol\xi$ 和任意一条参考链路上的 $\nu_{\mathrm{ref}}$，其余链路的 $\nu_\ell$ 由已知几何唯一诱导。 +\emph{参考星参数化}正是利用这一约束把主参数维度压回 $3$ 维的工具。下面先建立全局/局部几何映射与参考星参数化（\S\ref{subsec:globalLocalDoaMap}--\S\ref{subsec:refSatParameterization}），再给出多星静态 DoA--Doppler 联合似然与集中似然准则；详细 \gls{crb} 与 \gls{fim} 推导见附录~\ref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb}。 -本节在第~\ref{subsec:multiArrayCommonNotation} 小节统一几何与参考卫星参数化的基础上，考虑单观测块内的多星确定信号 DoA--Doppler 联合估计问题。与单阵列模型相比，本节的新增结构是：各卫星局部导向矢量均由同一个全局方向 $\boldsymbol\xi=[\alpha,\beta]^\Tran$ 诱导，各链路归一化 Doppler 均由参考卫星链路参数 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 诱导。 +\subsection{全局/局部 DoA 映射} +\label{subsec:globalLocalDoaMap} -设共有 $L$ 颗协作卫星，卫星索引为 +后文统一采用全局方向参数 \begin{equation} - \ell=0,1,\ldots,L-1. -\end{equation} -静态模型仅考虑单个观测块（单帧、单个 \gls{cpi} 或单个处理块）内的估计问题。块内离散采样点索引为 -\begin{equation} - t=0,1,\ldots,T-1, -\end{equation} -其中 $T$ 为该观测块内的采样点数。本文不再额外引入连续时间变量；若需要与实际物理量建立联系，仅通过采样周期 $T_{\mathrm{s}}$ 进行一次性转换。 - -固定选择一颗卫星作为参考卫星，其索引记为 $\ell_{\mathrm{ref}}$，除特别说明外默认取 $\ell_{\mathrm{ref}}=0$。参考卫星链路上的归一化 Doppler 为 -\begin{equation} - \nu_{\mathrm{ref}}\triangleq \nu_{\ell_{\mathrm{ref}}}. -\end{equation} -根据第~\ref{subsec:refSatParameterization} 小节的约定，第 $\ell$ 条链路的归一化 Doppler 由 -\begin{equation} - \nu_\ell - = - f_{\nu,\ell}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}}), + \boldsymbol\xi + \triangleq + \begin{bmatrix} + \alpha\\ + \beta + \end{bmatrix}, \qquad - \ell=0,1,\ldots,L-1, -\end{equation} -给出，并满足 -\begin{equation} - f_{\nu,\ell_{\mathrm{ref}}}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}}) + \mathbf u(\boldsymbol\xi) = - \nu_{\mathrm{ref}}. + \begin{bmatrix} + \cos\beta\cos\alpha\\ + \cos\beta\sin\alpha\\ + \sin\beta + \end{bmatrix}, + \qquad + \|\mathbf u(\boldsymbol\xi)\|_2=1. \end{equation} -等价地，也可写成 +其中 $\alpha$ 为全局方位角，$\beta$ 为全局俯仰角；多用户场景下可写为 $\boldsymbol\xi_k$，本节单用户主线中省略下标。 + +设第 $\ell$ 颗卫星在参考时刻的位置与速度分别为 $\mathbf s_\ell$ 和 $\mathbf v_\ell$。其本地阵列坐标基为 \begin{equation} - \nu_\ell - = - \nu_{\mathrm{ref}}+\Delta\nu_\ell(\boldsymbol\xi), + \mathbf e_{3,\ell}=-\frac{\mathbf s_\ell}{\|\mathbf s_\ell\|_2}, + \qquad + \mathbf e_{2,\ell}=\frac{\mathbf s_\ell\times\mathbf v_\ell}{\|\mathbf s_\ell\times\mathbf v_\ell\|_2}, + \qquad + \mathbf e_{1,\ell}=\mathbf e_{2,\ell}\times\mathbf e_{3,\ell}. \end{equation} -其中 $\Delta\nu_\ell(\boldsymbol\xi)$ 由已知卫星位置、速度、姿态和参考星选择确定。因此，静态多星 DoA--Doppler 主参数统一为 +从本地坐标系到全局坐标系的旋转矩阵记为 +\begin{equation} + \boldsymbol{\Omega}_\ell + \triangleq + \begin{bmatrix} + \mathbf e_{1,\ell},\mathbf e_{2,\ell},\mathbf e_{3,\ell} + \end{bmatrix} + \in\mathbb R^{3\times 3}. +\end{equation} +第 $\ell$ 颗卫星本地坐标系下的来向向量为 +\begin{equation} + \mathbf u_\ell^{\mathrm{loc}} + = + \boldsymbol{\Omega}_\ell^\Tran\mathbf u(\boldsymbol\xi) + = + \begin{bmatrix} + u^{\mathrm{loc}}_{\ell,1},u^{\mathrm{loc}}_{\ell,2},u^{\mathrm{loc}}_{\ell,3} + \end{bmatrix}^\Tran, +\end{equation} +对应的局部方位角与俯仰角统一记为 +\begin{equation} + \alpha_\ell^{\mathrm{loc}} + = + \operatorname{atan2}\!\big(u^{\mathrm{loc}}_{\ell,2},u^{\mathrm{loc}}_{\ell,1}\big), + \qquad + \beta_\ell^{\mathrm{loc}} + = + \arcsin\!\big(u^{\mathrm{loc}}_{\ell,3}\big). +\end{equation} +第 $\ell$ 颗卫星的阵列导向矢量统一定义为 +\begin{equation} + \mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi) + \triangleq + \mathbf a_\ell\!\big(\alpha_\ell^{\mathrm{loc}},\beta_\ell^{\mathrm{loc}}\big) + \in\mathbb C^{M_\ell\times 1}, +\end{equation} +其中 $\mathbf a_\ell(\cdot)$ 的具体形式按第~\ref{subsec:single_arr_array_model} 小节的 ULA/UPA 模板代入即可。后续静态与多帧模型均统一使用该记号；$\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi)$ 始终只表示\emph{阵列导向矢量}，不再用于轨道动力学中的加速度量。 + +\subsection{归一化 Doppler、Doppler rate 与时间索引} +\label{subsec:dopplerNormalization} + +物理解释层使用实际 Doppler 与 Doppler rate $(\nu^{\mathrm{Hz}},\dot\nu^{\mathrm{Hz}})$（单位 Hz 与 Hz/s）；信号模型与 \gls{crb} 推导统一使用归一化角量 $(\nu,\dot\nu)$（单位 rad/sample 与 rad/sample$^2$），二者关系为 +\begin{equation} + \nu = 2\pi\nu^{\mathrm{Hz}} T_{\mathrm{s}}, + \qquad + \dot\nu = 2\pi\dot\nu^{\mathrm{Hz}} T_{\mathrm{s}}^2. +\end{equation} +后续模型若未显式带有上标 $\mathrm{Hz}$，均默认使用归一化量。 + +单观测块静态模型中，块内离散采样索引为 $t=0,1,\ldots,T-1$。多帧动态模型（第~\ref{sec:dynamicDoaDopplerEst} 节）引入帧索引 $p=0,\ldots,P-1$，第 $p$ 帧起始点相对参考时刻的离散偏移记为 $\tau_p$（约定 $\tau_0=0$），并定义全局离散时间索引 +\begin{equation} + t_{p,t} + \triangleq + \tau_p+t. +\end{equation} + +\subsection{参考卫星参数化} +\label{subsec:refSatParameterization} + +固定选择一颗卫星作为\emph{参考卫星}，其索引记为 $\ell_{\mathrm{ref}}$，除特别说明外默认取 $\ell_{\mathrm{ref}}=0$。后文中涉及 ``ref'' 的 Doppler 参数，均指\emph{参考卫星链路}上的参数，而不再使用星群质心或星群平均速度定义参考 Doppler。 + +静态 DoA--Doppler 主参数统一写为 \begin{equation} \boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}} = \begin{bmatrix} \boldsymbol\xi\\ \nu_{\mathrm{ref}} - \end{bmatrix}, + \end{bmatrix} + \in\mathbb R^{3}, \end{equation} -而每颗卫星的 $\nu_\ell$ 只作为由 $(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})$ 诱导的局部链路量出现。 +其中 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 为参考时刻、参考卫星链路上的归一化 Doppler。多帧动态模型中主估计目标默认仍为 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}=\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}}$，而参考链路 Doppler rate $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 放入干扰参数侧。 -\subsection{静态离散信号模型} +给定 $(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}},\dot\nu_{\mathrm{ref}})$ 后，其余卫星的链路参数统一通过几何映射表示为 +\begin{equation} + \nu_\ell + = + \nu_{\mathrm{ref}}+\Delta\nu_\ell(\boldsymbol\xi), + \qquad + \dot\nu_\ell + = + \dot\nu_{\mathrm{ref}}+\Delta\dot\nu_\ell(\boldsymbol\xi), + \qquad + \ell=0,1,\ldots,L-1, +\end{equation} +其中 $\Delta\nu_\ell(\boldsymbol\xi)$ 与 $\Delta\dot\nu_\ell(\boldsymbol\xi)$ 由已知卫星位置、速度、姿态确定，且 $\Delta\nu_{\ell_{\mathrm{ref}}}\equiv\Delta\dot\nu_{\ell_{\mathrm{ref}}}\equiv0$。这一组几何映射正是把 $L$ 个原本 ``独立'' 的链路 Doppler 压回到一个标量 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 的结构来源。 + +\subsection{静态多星信号模型} \label{subsec:staticBlockModel} -考虑单用户上行已知训练序列 $s(t)$。在单个观测块内，假设： +考虑单用户上行已知训练序列 $s(t)$，在单个观测块内做如下假设： \begin{enumerate} \item DoA 在整个观测块内保持不变； - \item 每条链路的 Doppler 在该观测块内近似为常数； - \item 每颗卫星对应一个未知复干扰系数 $\zeta_\ell$； - \item 不同卫星的噪声方差允许不同，但同一颗卫星在该观测块内噪声方差保持不变。 + \item 每条链路的归一化 Doppler 在该观测块内近似为常数； + \item 每颗卫星对应一个未知复干扰系数 $\zeta_\ell\in\mathbb C$； + \item 不同卫星的噪声方差允许不同（\emph{星间异方差}），但同一颗卫星在该观测块内保持不变。 \end{enumerate} -于是，第 $\ell$ 颗卫星在第 $t$ 个采样点的阵列接收向量可写为 +第 $\ell$ 颗卫星在第 $t$ 个采样点的接收向量为 \begin{equation} \mathbf y_\ell(t) = @@ -70,58 +145,24 @@ e^{j\nu_\ell(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})t} + \mathbf n_\ell(t), - \qquad t=0,1,\ldots,T-1, + \qquad + \mathbf n_\ell(t)\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma_{n,\ell}^2\mathbf I_{M_\ell}), \end{equation} -其中为书写紧凑记 -\begin{equation} - \nu_\ell(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}}) - \triangleq - f_{\nu,\ell}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}}). -\end{equation} -这里 $\zeta_\ell\in\mathbb C$ 为第 $\ell$ 条链路的未知复干扰系数，噪声满足 -\begin{equation} - \mathbf n_\ell(t) - \sim - \mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma_{n,\ell}^2\mathbf I_{M_\ell}), - \qquad \ell=0,1,\ldots,L-1. -\end{equation} -这里采用\emph{星间异方差}假设，即不同卫星的噪声方差 $\sigma_{n,\ell}^2$ 可以不同。 +其中 $\nu_\ell(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})\triangleq \nu_{\mathrm{ref}}+\Delta\nu_\ell(\boldsymbol\xi)$。 -将第 $\ell$ 颗卫星在整个观测块内的数据按时间堆叠，定义时间模板 +定义时间模板 \begin{equation} \mathbf q_\ell(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}}) \triangleq \begin{bmatrix} - s(0)e^{j\nu_\ell(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})\cdot 0} \\ - s(1)e^{j\nu_\ell(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})\cdot 1} \\ - \vdots \\ - s(T-1)e^{j\nu_\ell(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})(T-1)} - \end{bmatrix} - \in\mathbb C^{T\times 1}. + s(0)e^{j\nu_\ell\cdot 0}, & + s(1)e^{j\nu_\ell\cdot 1}, & + \cdots, & + s(T-1)e^{j\nu_\ell(T-1)} + \end{bmatrix}^\Tran + \in\mathbb C^{T\times 1}, \end{equation} -相应地，第 $\ell$ 颗卫星的矩阵观测可写为 -\begin{equation} - \mathbf Y_\ell - = - \zeta_\ell - \mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi) - \mathbf q_\ell^\Tran(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}}) - + - \mathbf N_\ell, -\end{equation} -其中 $\mathbf Y_\ell\in\mathbb C^{M_\ell\times T}$，$\mathbf N_\ell\in\mathbb C^{M_\ell\times T}$ 的各列独立满足 $\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma_{n,\ell}^2\mathbf I_{M_\ell})$。 - -为便于后续似然函数构建和 \gls{crb} 推导，进一步向量化定义 -\begin{equation} - \tilde{\mathbf y}_\ell - \triangleq - \vect(\mathbf Y_\ell), - \qquad - \tilde{\mathbf n}_\ell - \triangleq - \vect(\mathbf N_\ell), -\end{equation} -并定义空时导向向量 +与空时导向向量 \begin{equation} \mathbf g_\ell(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}}) \triangleq @@ -130,30 +171,29 @@ \mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi) \in\mathbb C^{M_\ell T\times 1}. \end{equation} -则向量化观测模型可统一写为 +将第 $\ell$ 颗卫星的观测堆叠并向量化为 $\tilde{\mathbf y}_\ell\triangleq\vect(\mathbf Y_\ell)$，则有 \begin{equation} \tilde{\mathbf y}_\ell = \zeta_\ell\mathbf g_\ell(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}}) + - \tilde{\mathbf n}_\ell. + \tilde{\mathbf n}_\ell, + \qquad + \tilde{\mathbf n}_\ell\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma_{n,\ell}^2\mathbf I_{M_\ell T}). \end{equation} -与第~\ref{subsec:refSatParameterization} 小节一致，本文把 +本节的干扰参数为 \begin{equation} \boldsymbol\psi_{\mathrm{stat}} = \Big[ \{\zeta_\ell\}_{\ell=0}^{L-1}, \{\sigma_{n,\ell}^2\}_{\ell=0}^{L-1} - \Big]^\Tran + \Big]^\Tran. \end{equation} -作为静态模型的干扰参数。若在后续 \gls{crb} 推导中需要显式使用实参数化，则可进一步将 $\zeta_\ell$ 分解为其实部和虚部。 -\subsection{联合似然函数与结构化最大似然估计} +\subsection{联合似然与集中似然} -本小节不再重新定义新的观测模型，而是直接沿用上一小节的向量化形式 $\tilde{\mathbf y}_\ell=\zeta_\ell\mathbf g_\ell(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})+\tilde{\mathbf n}_\ell$。因此，下文中的 $\mathbf g_\ell$、$\zeta_\ell$、$\sigma_{n,\ell}^2$ 与模型小节完全一致；待估主参数为 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}}$，干扰参数为 $\boldsymbol\psi_{\mathrm{stat}}$。 - -由于不同卫星噪声相互独立，且每颗卫星内部噪声服从圆对称复高斯分布，因此多星联合似然函数可由各星观测块的概率密度相乘得到。去掉与参数无关的常数项后，对应的联合负对数似然函数为 +各星观测条件独立，圆对称复高斯，联合负对数似然为 \begin{equation} \mathcal L_{\mathrm{stat}}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}},\boldsymbol\psi_{\mathrm{stat}}) = @@ -169,98 +209,42 @@ \right\|_2^2 \right]. \end{equation} -因此，结构化最大似然估计问题可写为 -\begin{equation} - (\widehat{\boldsymbol\eta}_{\mathrm{stat}},\widehat{\boldsymbol\psi}_{\mathrm{stat}}) - = - \arg\min_{\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}},\boldsymbol\psi_{\mathrm{stat}}} - \mathcal L_{\mathrm{stat}}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}},\boldsymbol\psi_{\mathrm{stat}}). -\end{equation} -\subsubsection{对复干扰系数参数的闭式消元} - -对于固定的 $(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})$ 和 $\{\sigma_{n,\ell}^2\}$，第 $\ell$ 条链路复干扰系数 $\zeta_\ell$ 的最小二乘解为 -\begin{equation} - \hat\zeta_\ell(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}}) - = - \frac{\mathbf g_\ell^\Herm(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})\tilde{\mathbf y}_\ell} - {\|\mathbf g_\ell(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})\|_2^2}. -\end{equation} -将其代回后，对应的每星残差可写为 -\begin{equation} - \mathcal E_\ell(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}}) - \triangleq - \|\tilde{\mathbf y}_\ell\|_2^2 - - - \frac{ - \left| - \mathbf g_\ell^\Herm(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})\tilde{\mathbf y}_\ell - \right|^2 - }{\|\mathbf g_\ell(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})\|_2^2}. -\end{equation} -于是对 $\{\zeta_\ell\}$ 集中后的负对数似然可写为 -\begin{equation} - \mathcal L_{\mathrm{stat,c}}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}},\{\sigma_{n,\ell}^2\}) - = - \sum_{\ell=0}^{L-1} - \left[ - M_\ell T\log\sigma_{n,\ell}^2 - + - \frac{1}{\sigma_{n,\ell}^2} - \mathcal E_\ell(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}}) - \right]. -\end{equation} - -\subsubsection{对噪声方差的轮廓化处理} - -若进一步把每颗卫星的噪声方差视为未知参数，则对固定的 $(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})$，其极大似然估计为 -\begin{equation} - \hat\sigma_{n,\ell}^2(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}}) - = - \frac{1}{M_\ell T} - \mathcal E_\ell(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}}), - \qquad - \ell=0,1,\ldots,L-1. -\end{equation} -代回后，可得到完全轮廓化的目标函数 -\begin{equation} - \mathcal L_{\mathrm{stat}}^{\mathrm{pro}}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}}) - = - \sum_{\ell=0}^{L-1} - M_\ell T - \log \mathcal E_\ell(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}}), -\end{equation} -其中同样忽略了与参数无关的常数项。因此，在星间异方差假设下，静态多阵列 DoA--Doppler 问题的轮廓最大似然估计可写为 +对干扰参数 $\boldsymbol\psi_{\mathrm{stat}}$ 的逐项闭式消元——先消 $\zeta_\ell$、再消 $\sigma_{n,\ell}^2$——与第~\ref{sec:det_doa_est} 节单阵列情形完全平行；详细矩阵代入见附录~\ref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb}。集中后的轮廓似然估计准则为 \begin{equation} \widehat{\boldsymbol\eta}_{\mathrm{stat}} = \arg\min_{\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}}} \sum_{\ell=0}^{L-1} M_\ell T - \log \mathcal E_\ell(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}}). + \log \mathcal E_\ell(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}}), + \qquad + \mathcal E_\ell + \triangleq + \|\tilde{\mathbf y}_\ell\|_2^2 + - + \frac{\left|\mathbf g_\ell^\Herm\tilde{\mathbf y}_\ell\right|^2} + {\|\mathbf g_\ell\|_2^2}. \end{equation} -若实际中各星噪声方差 $\sigma_{n,\ell}^2$ 已知或可由预处理阶段获得，则也可采用加权集中似然形式 +若实际中 $\sigma_{n,\ell}^2$ 已知或由预处理获得，可退化为加权集中似然形式 \begin{equation} \widehat{\boldsymbol\eta}_{\mathrm{stat}} = \arg\max_{\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}}} \sum_{\ell=0}^{L-1} \frac{1}{\sigma_{n,\ell}^2} - \frac{ - \left| - \mathbf g_\ell^\Herm(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})\tilde{\mathbf y}_\ell - \right|^2 - }{\|\mathbf g_\ell(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})\|_2^2}. + \frac{\left|\mathbf g_\ell^\Herm\tilde{\mathbf y}_\ell\right|^2} + {\|\mathbf g_\ell\|_2^2}. \end{equation} -该表达式表明：在多星协作条件下，联合估计的本质是在统一的全局方向参数 $\boldsymbol\xi$ 和参考归一化 Doppler $\nu_{\mathrm{ref}}$ 下，对各卫星空时匹配输出进行加权融合；其中权重既受几何映射影响，也受不同卫星噪声水平影响。 +该表达式说明：在多星协作条件下，联合估计等价于在统一的 $(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})$ 下，对各卫星空时匹配输出按几何与噪声水平进行加权融合。 \subsection{仿真结果说明} -图 \ref{fig:dualSatSingleSourceScene} 使用 STK 给出了双星单用户场景，用户位于两颗卫星的交叠覆盖区中，卫星视角为 $\pm 55^\circ$。 +图~\ref{fig:dualSatSingleSourceScene} 使用 STK 给出了双星单用户场景，用户位于两颗卫星的交叠覆盖区中，卫星视角为 $\pm 55^\circ$。 -图 \ref{fig:doaDopplerEciDualSatSingleSourceUpa2048Snap} 给出了在存在 Doppler 的情况下，发送导频信号并采用上述 \gls{mle} 方法时，仅进行 DoA 估计与联合进行 DoA--Doppler 估计的二维地表坐标估计结果。结果表明，在经度和纬度两个维度上，DoA--Doppler 联合估计均优于仅 DoA 估计，但与 \gls{crb} 之间仍存在一定差距，这一差距可能与地面坐标到卫星局部角度的非线性映射有关。对于 Doppler 参数估计，其结果基本达到 \gls{crb}。 +图~\ref{fig:doaDopplerEciDualSatSingleSourceUpa2048Snap} 给出了在存在 Doppler 的情况下，发送导频信号并采用上述 \gls{mle} 方法时，仅进行 DoA 估计与联合进行 DoA--Doppler 估计的二维地表坐标估计结果。结果表明，在经度和纬度两个维度上，DoA--Doppler 联合估计均优于仅 DoA 估计，但与 \gls{crb} 之间仍存在一定差距，这一差距可能与地面坐标到卫星局部角度的非线性映射有关。对于 Doppler 参数估计，其结果基本达到 \gls{crb}。 -图 \ref{fig:multiSatSingleSourceScene} 使用 STK，按照用户仰角 $15^\circ$ 和卫星视角 $\pm 55^\circ$ 给出了多星单用户场景。在此基础上，可进一步针对不同卫星组合计算 \gls{crb}，从而实现基于 \gls{crb} 的选星。 +图~\ref{fig:multiSatSingleSourceScene} 使用 STK，按照用户仰角 $15^\circ$ 和卫星视角 $\pm 55^\circ$ 给出了多星单用户场景。在此基础上，可进一步针对不同卫星组合计算 \gls{crb}，从而实现基于 \gls{crb} 的选星。 \begin{figure}[!h] \centering @@ -283,4 +267,5 @@ \label{fig:multiSatSingleSourceScene} \end{figure} -本节完成了多星主线中的静态基线：同一个全局方向 $\boldsymbol\xi$ 同时决定各星局部导向矢量，而参考星 Doppler $\nu_{\mathrm{ref}}$ 通过几何映射决定各星链路 Doppler。下一节将在保持主参数 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}=\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}}$ 不变的前提下，引入多帧索引、Doppler rate 和跨帧连续相位结构。 +本节完成了多星主线中的静态基线：同一个全局方向 $\boldsymbol\xi$ 同时决定各星局部导向矢量，而参考星 Doppler $\nu_{\mathrm{ref}}$ 通过几何映射决定各星链路 Doppler。 +后续第~\ref{sec:dynamicDoaDopplerEst} 节将沿\emph{时间结构}维度继续推进，在保持主参数 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}=\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}}$ 不变的前提下引入多帧索引与跨帧连续相位结构。 diff --git a/parts/sec6_multiFrameCp.tex b/parts/sec6_multiFrameCp.tex index 870bc81..f11e39a 100644 --- a/parts/sec6_multiFrameCp.tex +++ b/parts/sec6_multiFrameCp.tex @@ -1,64 +1,16 @@ -\section{多星动态多帧连续相位 DoA--Doppler 估计问题模型} +\section{多帧动态模型与连续相位结构} \label{sec:dynamicDoaDopplerEst} -\subsection{离散时间统一符号与参考星参数化} +前面五节都在单帧（静态）框架内沿不同维度推进问题。第一篇论文的方向是另一个独立的维度扩展：将单观测块推广为\emph{多帧观测窗口}，由此带来跨帧绝对相位连续性这一新信息。 +本节在第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst} 节单用户多星静态模型的基础上引入多帧索引、Doppler rate 与跨帧连续相位结构，但\emph{不}叠加第 4、5 节的多用户与时间戳误差扩展，以保持 ``一节一维度'' 的推进风格。 +主估计目标仍为 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}=\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}}=[\boldsymbol\xi^\Tran,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$，而参考链路 Doppler rate $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 作为干扰参数处理。 +本节给出两套对比模型——连续相位 CP 与独立相位 IP——以量化跨帧相位连续性携带的信息量；详细 \gls{fim}/\gls{crb} 推导见附录~\ref{sec:multiFrameCrb}。 -本节在第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst} 节静态多星模型的基础上引入多帧索引、Doppler rate 和跨帧连续相位结构。主估计目标仍为 -\begin{equation} - \boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}} - = - \boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}} - = - \begin{bmatrix} - \boldsymbol\xi\\ - \nu_{\mathrm{ref}} - \end{bmatrix}, -\end{equation} -而参考卫星链路上的归一化 Doppler rate $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 作为干扰参数处理。因此，动态模型并不改变主参数域，而是通过多帧相位结构增加可利用信息。 +\subsection{时间索引与参考星 Doppler rate} -设共有 $L$ 颗协作卫星，卫星索引为 $\ell=0,1,\ldots,L-1$。观测窗口包含 $P$ 帧数据，帧索引为 -\begin{equation} - p=0,1,\ldots,P-1. -\end{equation} -第 $p$ 帧内的离散采样点索引为 -\begin{equation} - t=0,1,\ldots,T-1, -\end{equation} -其中 $T$ 为单帧采样点数。设第 $p$ 帧起始点相对于参考时刻的离散采样偏移为 $\tau_p$，并约定 $\tau_0=0$。为统一表示跨帧连续相位，定义第 $p$ 帧第 $t$ 个采样对应的全局离散时间索引为 -\begin{equation} - t_{p,t}\triangleq \tau_p+t, - \qquad - p=0,\ldots,P-1,\;t=0,\ldots,T-1. -\end{equation} -括号中的 $t$ 始终表示帧内局部采样索引，而 $t_{p,t}$ 表示对应的全局离散时间位置。 +设观测窗口含 $P$ 帧，帧索引 $p=0,\ldots,P-1$，单帧采样点数为 $T$，帧内局部索引 $t=0,\ldots,T-1$，第 $p$ 帧起始点的离散偏移记为 $\tau_p$，约定 $\tau_0=0$，全局时间索引 $t_{p,t}\triangleq\tau_p+t$（沿用 \S\ref{subsec:dopplerNormalization} 约定）。沿用 \S\ref{subsec:globalLocalDoaMap} 的全局/局部映射 $\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi)$，并将其视为在整个短观测窗口内保持不变。 -沿用第~\ref{subsec:globalLocalDoaMap} 小节的全局/局部 DoA 映射，第 $\ell$ 颗卫星的阵列导向矢量统一写为 $\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi)$。由于本文关注短观测窗口，后续将该导向矢量视为在整个窗口内保持不变。 - -参考卫星链路上的归一化 Doppler 与归一化 Doppler rate 分别定义为 -\begin{equation} - \nu_{\mathrm{ref}}\triangleq \nu_{\ell_{\mathrm{ref}}}, - \qquad - \dot\nu_{\mathrm{ref}}\triangleq \dot\nu_{\ell_{\mathrm{ref}}}. -\end{equation} -基于多星几何关系，本文不把每颗卫星的 $(\nu_\ell,\dot\nu_\ell)$ 都作为独立待估参数，而是统一采用 -\begin{equation} - \nu_\ell - = - f_{\nu,\ell}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}}), - \qquad - \dot\nu_\ell - = - f_{\dot\nu,\ell}(\boldsymbol\xi,\dot\nu_{\mathrm{ref}}), - \qquad - \ell=0,\ldots,L-1, -\end{equation} -其中 -\begin{equation} - f_{\nu,\ell_{\mathrm{ref}}}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})=\nu_{\mathrm{ref}}, - \qquad - f_{\dot\nu,\ell_{\mathrm{ref}}}(\boldsymbol\xi,\dot\nu_{\mathrm{ref}})=\dot\nu_{\mathrm{ref}}. -\end{equation} -等价地，也可写为 +参考链路上的归一化 Doppler 与 Doppler rate 分别定义为 $\nu_{\mathrm{ref}}\triangleq\nu_{\ell_{\mathrm{ref}}}$、$\dot\nu_{\mathrm{ref}}\triangleq\dot\nu_{\ell_{\mathrm{ref}}}$。其余卫星按 \begin{equation} \nu_\ell = @@ -68,20 +20,12 @@ = \dot\nu_{\mathrm{ref}}+\Delta\dot\nu_\ell(\boldsymbol\xi), \end{equation} -其中 $\Delta\nu_\ell(\boldsymbol\xi)$ 和 $\Delta\dot\nu_\ell(\boldsymbol\xi)$ 由已知几何状态计算得到。 +由已知几何唯一诱导，沿用 \S\ref{subsec:refSatParameterization} 的参考星参数化。 -\subsection{连续相位多帧离散信号模型} +\subsection{连续相位多帧信号模型（CP）} \label{subsec:dynamicCpModel} -在短观测窗口下，本文采用如下动态近似： -\begin{enumerate} - \item DoA 在整个观测窗口内近似保持不变，因此第 $\ell$ 颗卫星的导向矢量记为 $\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi)$； - \item 第 $\ell$ 条链路在观测窗口内的归一化相位采用二次相位模型； - \item 主参数为 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}=[\boldsymbol\xi^\Tran,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$，而 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 作为干扰参数处理； - \item 各星链路参数 $(\nu_\ell,\dot\nu_\ell)$ 通过几何关系由 $(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}},\dot\nu_{\mathrm{ref}})$ 诱导得到。 -\end{enumerate} - -于是，第 $\ell$ 颗卫星在第 $p$ 帧第 $t$ 个采样点的归一化连续相位可写为 +短观测窗口下，第 $\ell$ 颗卫星在第 $p$ 帧第 $t$ 个采样点的归一化相位采用二次相位近似： \begin{equation} \phi^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}(t) = @@ -91,7 +35,7 @@ \qquad t_{p,t}=\tau_p+t. \end{equation} -若第 $p$ 帧所用已知训练序列记为 $s_p(t)$，并定义结构化连续相位复增益 +若第 $p$ 帧训练序列为 $s_p(t)$，并定义结构化连续相位复增益 \begin{equation} \zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp}} \triangleq @@ -99,82 +43,50 @@ \qquad \rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}\in\mathbb R_{\ge0}, \end{equation} -则连续相位模型下的接收向量为 +则 CP 模型接收向量为 \begin{equation} \mathbf y^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}(t) = \zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp}} \mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi) s_p(t) - \exp\left\{ - j\left[ - \nu_\ell t_{p,t} - + - \frac{1}{2}\dot\nu_\ell t_{p,t}^2 - \right] - \right\} + e^{j\phi^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}(t)} + \mathbf n_{\ell,p}(t), \end{equation} -其中 $\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}$ 只是结构化复增益的简写，并不作为自由复参数独立估计；其自由度由非负实幅度 $\rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}$ 和同星共享相位 $\chi_\ell$ 给出。$\chi_\ell$ 为第 $\ell$ 颗卫星在参考时刻的公共相位，因此同一颗卫星在不同帧之间共享该相位。噪声满足 $\mathbf n_{\ell,p}(t)\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma_{n,\ell}^2\mathbf I_{M_\ell})$。不同卫星的噪声方差允许不同，但对同一颗卫星，在短观测窗口内各帧各采样点共享同一个噪声方差 $\sigma_{n,\ell}^2$。 +其中 $\mathbf n_{\ell,p}(t)\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma_{n,\ell}^2\mathbf I_{M_\ell})$。 +$\chi_\ell$ 为第 $\ell$ 颗卫星在参考时刻的\emph{公共相位}，由同一颗卫星的不同帧共享——这是 CP 模型相比静态模型的核心新结构：它把 $L\times P$ 个块复增益的自由度从 ``$LP$ 个独立复数'' 压回为 ``$L$ 个公共相位 + $LP$ 个非负实幅度''，从而显式利用跨帧绝对时间信息。 -将单帧数据按时间堆叠，定义 +定义 CP 模板与空时模板 \begin{equation} - \mathbf q^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}},\dot\nu_{\mathrm{ref}}) + \mathbf q^{\mathrm{cp}}_{\ell,p} \triangleq \begin{bmatrix} - s_p(0)e^{j\phi^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}(0)} \\ - s_p(1)e^{j\phi^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}(1)} \\ - \vdots \\ + s_p(0)e^{j\phi^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}(0)}, & + \cdots, & s_p(T-1)e^{j\phi^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}(T-1)} - \end{bmatrix} - \in\mathbb C^{T\times 1}. -\end{equation} -则第 $\ell$ 颗卫星在第 $p$ 帧的矩阵观测可写为 -\begin{equation} - \mathbf Y^{\mathrm{cp}}_{\ell,p} - = - \zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp}} - \mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi) - \big(\mathbf q^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}},\dot\nu_{\mathrm{ref}})\big)^\Tran - + - \mathbf N_{\ell,p}, -\end{equation} -其中 $\mathbf Y^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}\in\mathbb C^{M_\ell\times T}$，$\mathbf N_{\ell,p}\in\mathbb C^{M_\ell\times T}$ 的各列独立满足 $\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma_{n,\ell}^2\mathbf I_{M_\ell})$。进一步向量化，定义 -\begin{equation} - \tilde{\mathbf y}^{\mathrm{cp}}_{\ell,p} - \triangleq - \vect(\mathbf Y^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}), + \end{bmatrix}^\Tran, \qquad - \tilde{\mathbf n}_{\ell,p} + \mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p} \triangleq - \vect(\mathbf N_{\ell,p}), + \mathbf q^{\mathrm{cp}}_{\ell,p} + \otimes + \mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi), \end{equation} -则有 +则向量化模型为 \begin{equation} \tilde{\mathbf y}^{\mathrm{cp}}_{\ell,p} = \zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp}} \mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}},\dot\nu_{\mathrm{ref}}) + - \tilde{\mathbf n}_{\ell,p}, + \tilde{\mathbf n}_{\ell,p}. \end{equation} -其中 -\begin{equation} - \mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}},\dot\nu_{\mathrm{ref}}) - \triangleq - \mathbf q^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}},\dot\nu_{\mathrm{ref}}) - \otimes - \mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi). -\end{equation} -该模型的关键在于：相位项通过 $t_{p,t}=\tau_p+t$ 显式保留了跨帧绝对时间信息，因此多帧处理带来的增益不仅来自能量叠加，也来自跨帧连续相位轨迹的一致性。 -\subsection{独立相位基线模型} +\subsection{独立相位基线模型（IP）} \label{subsec:independentPhaseModel} -为量化跨帧绝对相位连续性带来的收益，本小节引入独立相位基线模型。该模型保留每帧内部的相干结构，但允许不同帧具有独立未知相位，因此不再利用连续相位模型中的同星跨帧公共相位 $\chi_\ell$。 - -将连续相位模型中的相位项展开，可得 +为量化跨帧绝对相位连续性的收益，引入独立相位基线模型作为对照。将 CP 相位项分解： \begin{equation} \nu_\ell t_{p,t}+\frac{1}{2}\dot\nu_\ell t_{p,t}^2 = @@ -182,86 +94,47 @@ + \underbrace{(\nu_\ell+\dot\nu_\ell\tau_p)t+\frac{1}{2}\dot\nu_\ell t^2}_{\text{帧内局部相位演化}}. \end{equation} -若允许每一帧具有独立未知相位，则上述帧间常相位项可被每帧相位吸收。定义第 $\ell$ 颗卫星在第 $p$ 帧的局部归一化 Doppler 为 +若允许每一帧具有独立未知相位 $\vartheta_{\ell,p}$，则帧间常相位项可被块相位吸收。令第 $(\ell,p)$ 个观测块的自由复干扰系数记为 \begin{equation} - \bar\nu_{\ell,p} - \triangleq - \nu_\ell+\dot\nu_\ell\tau_p. + \zeta_{\ell,p}^{\mathrm{ip}} + = + \rho_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}e^{j\vartheta_{\ell,p}} + \in\mathbb C, + \qquad + \rho_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}\in\mathbb R_{\ge 0}, \end{equation} -令 $\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}\in\mathbb C$ 表示第 $(\ell,p)$ 个观测块的自由复增益，其相位吸收了帧间常相位项。于是独立相位模型可写为 +对应的局部归一化 Doppler $\bar\nu_{\ell,p}\triangleq\nu_\ell+\dot\nu_\ell\tau_p$，则 IP 模型可写为 \begin{equation} \mathbf y^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}(t) = \zeta_{\ell,p}^{\mathrm{ip}} \mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi) s_p(t) - \exp\left\{ - j\left[ + \exp\!\left\{ + j\!\left[ \bar\nu_{\ell,p}t+\frac{1}{2}\dot\nu_\ell t^2 \right] \right\} + \mathbf n_{\ell,p}(t). \end{equation} -其中 $\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}$ 是每个观测块的自由复干扰系数。若需要显式写出其实参数形式，可令 $\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}=\rho_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}e^{j\vartheta_{\ell,p}}$，其中 $\rho_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}\in\mathbb R_{\ge0}$，$\vartheta_{\ell,p}$ 为块独立相位。对应该模型的时间模板记为 -\begin{equation} - \mathbf q^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}},\dot\nu_{\mathrm{ref}}) - \triangleq - \begin{bmatrix} - s_p(0)e^{j\phi^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}(0)} \\ - s_p(1)e^{j\phi^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}(1)} \\ - \vdots \\ - s_p(T-1)e^{j\phi^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}(T-1)} - \end{bmatrix}, -\end{equation} -其中 -\begin{equation} - \phi^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}(t) - \triangleq - \bar\nu_{\ell,p}t+\frac{1}{2}\dot\nu_\ell t^2. -\end{equation} -并定义独立相位模型的空时模板 -\begin{equation} - \mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}},\dot\nu_{\mathrm{ref}}) - \triangleq - \mathbf q^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}},\dot\nu_{\mathrm{ref}}) - \otimes - \mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi). -\end{equation} -相应的向量化模型为 -\begin{equation} - \tilde{\mathbf y}^{\mathrm{ip}}_{\ell,p} - = - \zeta_{\ell,p}^{\mathrm{ip}} - \mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}},\dot\nu_{\mathrm{ref}}) - + - \tilde{\mathbf n}_{\ell,p}. -\end{equation} +相应的 IP 模板与空时模板 $\mathbf q^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}$、$\mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}$ 按相同方式定义。 +CP 与 IP 的差别集中在块复增益的自由度：CP 保留 $L$ 个跨帧公共相位 $\{\chi_\ell\}$，IP 则放弃跨帧绝对相位关系。后续 \gls{fim}/\gls{crb} 对比将量化保留公共相位 $\chi_\ell$ 带来的信息差异。 -\subsection{连续相位模型下的结构化最大似然估计} +\subsection{联合似然与集中似然} -本小节直接沿用第~\ref{subsec:dynamicCpModel} 小节的连续相位观测模型。其中 $\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}\triangleq\rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}e^{j\chi_\ell}$ 只是结构化复增益的简写；在 structured CP 模型中，$\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}$ 不作为自由复参数估计，其自由度由非负实幅度 $\rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}$ 与同星共享相位 $\chi_\ell$ 给出。 - -根据第~\ref{subsec:refSatParameterization} 小节的参数分工，定义连续相位模型的干扰参数向量为 +CP 模型的干扰参数向量为 \begin{equation} \boldsymbol\psi_{\mathrm{cp}} = \Big[ \dot\nu_{\mathrm{ref}}, \{\chi_\ell\}_{\ell=0}^{L-1}, - \{\rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}:\ell=0,\ldots,L-1,\ p=0,\ldots,P-1\}, + \{\rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}\}_{\ell,p}, \{\sigma_{n,\ell}^2\}_{\ell=0}^{L-1} \Big]^\Tran. \end{equation} -于是结构化连续相位模型对应的最大似然估计问题为 -\begin{equation} - (\widehat{\boldsymbol\eta}_{\mathrm{dyn}},\widehat{\boldsymbol\psi}_{\mathrm{cp}}) - = - \arg\max_{\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}},\boldsymbol\psi_{\mathrm{cp}}} - p\left(\{\mathbf Y^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}\}_{\ell,p};\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}},\boldsymbol\psi_{\mathrm{cp}}\right). -\end{equation} - -在 ``不同卫星噪声方差不同，但同一卫星短窗内方差不变'' 的假设下，去掉与参数无关的常数项后，联合负对数似然函数可写为 +在 ``星间异方差、星内短窗同方差'' 假设下，联合负对数似然为 \begin{equation} \mathcal L_{\mathrm{cp}}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}},\boldsymbol\psi_{\mathrm{cp}}) = @@ -274,100 +147,11 @@ - \rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}e^{j\chi_\ell} \mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi) - \big(\mathbf q^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}},\dot\nu_{\mathrm{ref}})\big)^\Tran + \big(\mathbf q^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}\big)^\Tran \right\|_{\mathrm{F}}^2. \end{equation} -\subsubsection{对卫星噪声方差的轮廓化处理} - -对固定的其余参数，第 $\ell$ 颗卫星噪声方差 $\sigma_{n,\ell}^2$ 的极大似然估计为 -\begin{equation} - \hat\sigma_{n,\ell}^2 - = - \frac{1}{M_\ell PT} - \sum_{p=0}^{P-1} - \left\| - \mathbf Y^{\mathrm{cp}}_{\ell,p} - - - \rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}e^{j\chi_\ell} - \mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi) - \big(\mathbf q^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}},\dot\nu_{\mathrm{ref}})\big)^\Tran - \right\|_{\mathrm{F}}^2. -\end{equation} -将其代回后，可得到对 $\{\sigma_{n,\ell}^2\}$ 轮廓化后的负对数似然： -\begin{equation} - \mathcal L_{\mathrm{cp}}^{\mathrm{pro}}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}},\dot\nu_{\mathrm{ref}},\{\chi_\ell\},\{\rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}\}) - = - \sum_{\ell=0}^{L-1}M_\ell PT - \log \mathcal R^{\mathrm{cp}}_\ell(\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}},\dot\nu_{\mathrm{ref}},\chi_\ell,\{\rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}\}_{p=0}^{P-1}), -\end{equation} -其中 -\begin{equation} - \mathcal R^{\mathrm{cp}}_\ell(\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}},\dot\nu_{\mathrm{ref}},\chi_\ell,\{\rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}\}_{p=0}^{P-1}) - \triangleq - \sum_{p=0}^{P-1} - \left\| - \mathbf Y^{\mathrm{cp}}_{\ell,p} - - - \rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}e^{j\chi_\ell} - \mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi) - \big(\mathbf q^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}},\dot\nu_{\mathrm{ref}})\big)^\Tran - \right\|_{\mathrm{F}}^2. -\end{equation} -因此，在异方差条件下，连续相位结构化 MLE 可等价写为 -\begin{equation} - (\widehat{\boldsymbol\eta}_{\mathrm{dyn}},\widehat{\dot\nu}_{\mathrm{ref}},\{\hat\chi_\ell\},\{\hat\rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}\}) - = - \arg\min_{\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}},\dot\nu_{\mathrm{ref}},\{\chi_\ell\},\{\rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}\}} - \sum_{\ell=0}^{L-1}M_\ell PT\log \mathcal R^{\mathrm{cp}}_\ell. -\end{equation} -若在实际实现中将 $\sigma_{n,\ell}^2$ 视为已知或预估量，则上式也可退化为按 $1/\sigma_{n,\ell}^2$ 加权的最小二乘形式。 - -\subsubsection{对幅度参数的闭式消元} - -为进一步集中似然，定义匹配统计量 -\begin{equation} - z^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}},\dot\nu_{\mathrm{ref}}) - \triangleq - \mathbf a_\ell^\Herm(\boldsymbol\xi) - \mathbf Y^{\mathrm{cp}}_{\ell,p} - \big(\mathbf q^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}},\dot\nu_{\mathrm{ref}})\big)^*, -\end{equation} -以及归一化因子 -\begin{equation} - d^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}},\dot\nu_{\mathrm{ref}}) - \triangleq - \|\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi)\|_2^2 - \big\|\mathbf q^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}},\dot\nu_{\mathrm{ref}})\big\|_2^2. -\end{equation} -则对固定的 $(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}},\dot\nu_{\mathrm{ref}},\chi_\ell)$，第 $(\ell,p)$ 个非负幅度模值的最优解为 -\begin{equation} - \hat\rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}} - = - \left[ - \frac{\Re\left\{e^{-j\chi_\ell}z^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}},\dot\nu_{\mathrm{ref}})\right\}} - {d^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}},\dot\nu_{\mathrm{ref}})} - \right]_{+}, -\end{equation} -其中 $[x]_{+}\triangleq \max\{x,0\}$。代回残差后，有 -\begin{equation} - \mathcal E^{\mathrm{cp,str}}_{\ell,p} - \triangleq - \|\mathbf Y^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}\|_{\mathrm{F}}^2 - - - \frac{ - \left[ - \Re\left\{e^{-j\chi_\ell}z^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}},\dot\nu_{\mathrm{ref}})\right\} - \right]_{+}^{2} - }{d^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}},\dot\nu_{\mathrm{ref}})}. -\end{equation} -定义第 $\ell$ 颗卫星聚合残差为 -\begin{equation} - \mathcal R^{\mathrm{cp,str}}_\ell - \triangleq - \sum_{p=0}^{P-1}\mathcal E^{\mathrm{cp,str}}_{\ell,p}. -\end{equation} -于是，经过 $\{\sigma_{n,\ell}^2\}$ 和 $\{\rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}\}$ 集中后的结构化 MLE 可写为 +依次对 $\sigma_{n,\ell}^2$ 做轮廓化、对非负幅度 $\rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}$ 做正部最小二乘消元后，结构化 CP 集中似然估计准则可写为 \begin{equation} \widehat{\boldsymbol\eta}_{\mathrm{dyn}} = @@ -375,45 +159,9 @@ \min_{\dot\nu_{\mathrm{ref}},\{\chi_\ell\}} \sum_{\ell=0}^{L-1}M_\ell PT\log \mathcal R^{\mathrm{cp,str}}_\ell. \end{equation} -该表达式体现了本文动态主线：$\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}=[\boldsymbol\xi^\Tran,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$ 为主参数，$\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 和 $\{\chi_\ell\}$ 为干扰参数，而 $\{\rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}\}$ 与 $\{\sigma_{n,\ell}^2\}$ 已被闭式或轮廓化消除。 +其中 $\mathcal R^{\mathrm{cp,str}}_\ell$ 为第 $\ell$ 颗卫星在结构化幅度消元后聚合而成的每星残差，详细矩阵代入与正部投影的闭式表达见附录~\ref{sec:A7_dynDoaDopplerCrb}。 -\subsection{连续相位模型下的 relaxed concentrated MLE} -\label{subsec:dynamicRelaxedModel} - -若仅关心主参数搜索的可实现性，也可进一步引入自由复干扰系数 $\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp,rel}}$，从而暂时放松 ``同一卫星跨帧共享公共相位'' 这一结构约束。模型可写为 -\begin{equation} - \mathbf Y^{\mathrm{cp}}_{\ell,p} - = - \zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp,rel}} - \mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi) - \big(\mathbf q^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}},\dot\nu_{\mathrm{ref}})\big)^\Tran - + - \mathbf N_{\ell,p}. -\end{equation} -对固定的 $(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}},\dot\nu_{\mathrm{ref}})$，其最小二乘解为 -\begin{equation} - \hat\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp,rel}} - = - \frac{z^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}},\dot\nu_{\mathrm{ref}})} - {d^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}},\dot\nu_{\mathrm{ref}})}. -\end{equation} -代回后得到块残差 -\begin{equation} - \mathcal E^{\mathrm{cp,rel}}_{\ell,p} - \triangleq - \|\mathbf Y^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}\|_{\mathrm{F}}^2 - - - \frac{ - \left|z^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}},\dot\nu_{\mathrm{ref}})\right|^2 - }{d^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}},\dot\nu_{\mathrm{ref}})}. -\end{equation} -定义对应的每星聚合残差 -\begin{equation} - \mathcal R^{\mathrm{cp,rel}}_\ell - \triangleq - \sum_{p=0}^{P-1}\mathcal E^{\mathrm{cp,rel}}_{\ell,p}. -\end{equation} -于是，在异方差假设下的 relaxed concentrated MLE 可写为 +实际搜索时，可进一步把同星跨帧公共相位约束放松为每块自由复系数 $\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp,rel}}$（仅放松块复系数结构，相位模板仍为 CP），得到 \emph{relaxed} concentrated MLE： \begin{equation} \widehat{\boldsymbol\eta}_{\mathrm{dyn,rel}} = @@ -421,62 +169,7 @@ \min_{\dot\nu_{\mathrm{ref}}} \sum_{\ell=0}^{L-1}M_\ell PT\log \mathcal R^{\mathrm{cp,rel}}_\ell. \end{equation} -需要强调的是，relaxed concentrated MLE 只是放松了块复系数结构，并没有改变连续相位模板本身，因此它\emph{不是}独立相位模型。 - -\subsection{独立相位模型下的 concentrated MLE} - -本小节沿用第~\ref{subsec:independentPhaseModel} 小节的独立相位基线模型。这里的 -$\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}\in\mathbb C$ 是每个观测块的自由复系数， -它吸收了帧间常相位项，因此和 CP 模型中的共享公共相位 $\chi_\ell$ 不同。正文 MLE 直接对自由复增益进行闭式消元；只有在 CRB 附录构造实参数 Fisher 信息矩阵时，才将其写作 -$\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}=\rho_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}e^{j\vartheta_{\ell,p}}$。 - -对于独立相位模型，可把 $\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}$ 视为每个观测块的自由复干扰系数，则对应模型可写为 -\begin{equation} - \mathbf Y^{\mathrm{ip}}_{\ell,p} - = - \zeta_{\ell,p}^{\mathrm{ip}} - \mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi) - \big(\mathbf q^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}},\dot\nu_{\mathrm{ref}})\big)^\Tran - + - \mathbf N_{\ell,p}. -\end{equation} -相应地，定义 -\begin{equation} - z^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}},\dot\nu_{\mathrm{ref}}) - \triangleq - \mathbf a_\ell^\Herm(\boldsymbol\xi) - \mathbf Y^{\mathrm{ip}}_{\ell,p} - \big(\mathbf q^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}},\dot\nu_{\mathrm{ref}})\big)^*, -\end{equation} -\begin{equation} - d^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}},\dot\nu_{\mathrm{ref}}) - \triangleq - \|\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi)\|_2^2 - \big\|\mathbf q^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}},\dot\nu_{\mathrm{ref}})\big\|_2^2. -\end{equation} -其自由复干扰系数的闭式解为 -\begin{equation} - \hat\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{ip}} - = - \frac{z^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}},\dot\nu_{\mathrm{ref}})} - {d^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}},\dot\nu_{\mathrm{ref}})}. -\end{equation} -代回后得到块残差 -\begin{equation} - \mathcal E^{\mathrm{ip}}_{\ell,p} - \triangleq - \|\mathbf Y^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}\|_{\mathrm{F}}^2 - - - \frac{\left|z^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}},\dot\nu_{\mathrm{ref}})\right|^2} - {d^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}},\dot\nu_{\mathrm{ref}})}. -\end{equation} -定义每星聚合残差 -\begin{equation} - \mathcal R^{\mathrm{ip}}_\ell - \triangleq - \sum_{p=0}^{P-1}\mathcal E^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}. -\end{equation} -则独立相位模型下的集中似然估计问题为 +相应地，IP 基线的 concentrated MLE 直接对自由复增益 $\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}$ 做闭式消元后得到 \begin{equation} \widehat{\boldsymbol\eta}_{\mathrm{dyn,ip}} = @@ -484,367 +177,82 @@ $\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}=\rho_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}e^{j\vartheta_{\ell,p}} \min_{\dot\nu_{\mathrm{ref}}} \sum_{\ell=0}^{L-1}M_\ell PT\log \mathcal R^{\mathrm{ip}}_\ell. \end{equation} -与连续相位模型相比，该准则不再利用跨帧绝对相位关系，因此更适合作为对比基线，而不宜作为本文主模型。 +三种准则的差别在于复增益处理方式：CP-str 保留跨帧公共相位约束；CP-rel 放松为每块自由复系数（仍用 CP 相位模板）；IP 则放弃跨帧绝对相位、采用块独立相位模板。逐项闭式消元、匹配统计量 $z^{\mathrm{cp/ip}}_{\ell,p}$ 与归一化因子 $d^{\mathrm{cp/ip}}_{\ell,p}$ 的定义、各种残差 $\mathcal R^{\mathrm{cp,str/rel/ip}}_\ell$ 的具体表达均迁移到附录~\ref{sec:multiFrameCrb}。 -\subsection{模型与估计问题的几点说明} +\subsection{Doppler rate 处理：CP-K 与 CP-U} -为避免后续推导中的歧义，需要对本文建模方式进一步说明如下。 -\begin{enumerate} - \item 本文从信号模型到 MLE 全程采用归一化离散域表达。实际物理量 $(\nu^{\mathrm{Hz}},\dot\nu^{\mathrm{Hz}})$ 只在几何解释层面出现，而真正参与似然与估计的是归一化量 $(\nu,\dot\nu)$； - \item 主参数是 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}=[\boldsymbol\xi^\Tran,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$，而 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 作为干扰参数处理。这与 ``先完成 DoA--参考 Doppler 联合估计，再分析 unknown rate 影响'' 的主线一致； - \item 多星噪声建模采用 ``星间异方差、星内短窗同方差'' 假设，即每颗卫星有自己的噪声方差 $\sigma_{n,\ell}^2$。这比 ``全星同一噪声方差'' 更符合实际链路差异，又不会显著破坏后续 MLE 与 CRB 推导的可处理性； - \item 连续相位模型、relaxed concentrated MLE 和独立相位模型是三个不同层面的对象：前者是本文的主信号模型；中者只是对块复系数结构的放松，仍保留连续相位模板；后者则真正放弃了跨帧绝对相位连续性，因此只能作为对比基线。 -\end{enumerate} +按 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 是否已知，CP 模型派生两种设置： +\begin{itemize} + \item \textbf{CP-K}（known rate）：$\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 已知，主参数仅 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}=[\boldsymbol\xi^\Tran,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$，对应 EFIM 见 \eqref{eq:A7_CP_K_EFIM}。 + \item \textbf{CP-U}（unknown rate）：$\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 未知并作为干扰参数 Schur complement 消去，对应 EFIM 见 \eqref{eq:A7_CP_U_EFIM_from_K}。 +\end{itemize} -与后续 known-rate/unknown-rate \gls{crb} 对比相关，还需要注意一个结构性现象。 -在 single-satellite multi-frame 情形中，若该卫星即 reference satellite，则参考链路满足 -\begin{equation} - f_{\nu,\ell_{\mathrm{ref}}}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}}) - = - \nu_{\mathrm{ref}}, - \qquad - f_{\dot\nu,\ell_{\mathrm{ref}}}(\boldsymbol\xi,\dot\nu_{\mathrm{ref}}) - = - \dot\nu_{\mathrm{ref}}. -\end{equation} -因此，reference-link 的 Doppler 和 Doppler rate 不通过几何映射对 $\boldsymbol\xi$ 产生额外相位导数。 -在幅度和公共相位干扰方向被消去后，DoA 导数主要保留为空间阵列流形的残差切向量，而 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 与 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 的导数是沿 reference steering vector 的时间相位切向量。 -在标准窄带阵列模型下，这两个残差方向在 Fisher 内积意义下正交，因此 single-satellite multi-frame 的 DoA bound 在 known-rate 与 unknown-rate 设置下可以完全一致。 -该结论应被理解为 reference-satellite parameterization 的 sanity check，而不是新的主要创新点。 -在 multi-satellite 情形中，非参考星的 $\Delta\nu_\ell(\boldsymbol\xi)$ 和 $\Delta\dot\nu_\ell(\boldsymbol\xi)$ 会把时间相位导数引入 DoA score，因此严格正交性一般不再成立；若数值上 DoA bound 仍几乎重合，则说明该 representative geometry 下 DoA 方向与 residualized Doppler-rate nuisance 之间的耦合较弱。 +一个值得指出的结构性现象：在 single-satellite multi-frame 情形中，若该卫星即参考星，则参考链路上 $\Delta\nu(\boldsymbol\xi)\equiv\Delta\dot\nu(\boldsymbol\xi)\equiv 0$，几何映射不通过 $\boldsymbol\xi$ 引入额外时间相位导数。在标准窄带阵列模型下，DoA 导数与 $\nu_{\mathrm{ref}}$、$\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 的导数在 Fisher 内积意义下正交，因此 single-satellite multi-frame 的 DoA bound 在 known-rate 与 unknown-rate 设置下完全一致；在 multi-satellite 情形中这一严格正交性一般不再成立。详细证明见附录~\ref{subsec:A7_knownUnknownRateOrthogonality}。 -因此，本文后续算法与性能分析都围绕如下统一问题展开：在短观测窗口下，基于多星多帧连续相位观测，利用结构化或 relaxed concentrated MLE 估计主参数 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}=[\boldsymbol\xi^\Tran,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$，并将 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 作为干扰参数进行 profile 处理和 calibrated information accounting；同时，以独立相位模型作为对比基线，定量说明保留跨帧连续相位的必要性。对应的 Fisher 信息和 CRB 推导分别放在 \ref{sec:A7_dynDoaDopplerCrb} 与 \ref{sec:A8_dynIndependentPhaseCrb} 中。 - - -\subsection{多星增益与 Doppler 信息可辨识性的投影解释} +\subsection{EFIM 投影解释与多星 Doppler 增益} \label{subsec:multiSatGainFdIdentifiability} -从 Fisher 信息的角度看，多星协作带来的增益并不是对 -$\boldsymbol\xi$ 与 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 的等比例放大。更精确地说，新增观测只增加主参数 score -在干扰参数 score 正交补上的投影长度。令 -\begin{equation} - \boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}} - = - \begin{bmatrix} - \boldsymbol\xi^\Tran & \nu_{\mathrm{ref}} - \end{bmatrix}^\Tran, - \qquad - \boldsymbol\psi_\mu - = - \text{只影响均值向量的干扰参数}, -\end{equation} -其中 $\boldsymbol\psi_\mu$ 可包含 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$、相位和幅度等局部参数。 -设白化后的均值 Jacobian 为 -\begin{equation} - \bar{\mathbf J}_{\eta} - \triangleq - \mathbf R_n^{-1/2} - \frac{\partial\boldsymbol\mu}{\partial\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}}, - \qquad - \bar{\mathbf J}_{\psi} - \triangleq - \mathbf R_n^{-1/2} - \frac{\partial\boldsymbol\mu}{\partial\boldsymbol\psi_\mu}. -\end{equation} -则消去干扰参数后的 EFIM 可写成投影 Gram 矩阵 +多星协作带来的增益并不是对 $\boldsymbol\xi$ 与 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 的等比例放大。 +新增观测只增加主参数 score 在干扰参数 score 正交补上的投影长度。 +若令 $\boldsymbol\psi_\mu$ 表示只影响均值向量的干扰参数（包含 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$、相位与幅度），白化均值 Jacobian 分别记为 $\bar{\mathbf J}_\eta,\bar{\mathbf J}_\psi$，则消去干扰参数后的 EFIM 写为投影 Gram 矩阵 \begin{equation} \mathcal I_{\mathrm{e}} = - 2\Re\left\{ + 2\Re\!\left\{ \bar{\mathbf J}_{\eta}^{\Herm} \mathcal P^{\perp}_{\bar{\mathbf J}_{\psi}} \bar{\mathbf J}_{\eta} \right\}, - \qquad - \mathcal P^{\perp}_{\bar{\mathbf J}_{\psi}} - = - \mathbf I- - \bar{\mathbf J}_{\psi} - \left(\bar{\mathbf J}_{\psi}^{\Herm}\bar{\mathbf J}_{\psi}\right)^\dagger - \bar{\mathbf J}_{\psi}^{\Herm}. - \label{eq:main_dyn_efim_projection} \end{equation} -因此，EFIM 奇异的判据不是 $\bar{\mathbf J}_{\eta}$ 本身是否满秩，而是投影后的主参数 -Jacobian 是否满秩： -\begin{equation} - \mathcal I_{\mathrm{e}}\ \text{奇异} - \quad\Longleftrightarrow\quad - \operatorname{rank}\left( - \mathcal P^{\perp}_{\bar{\mathbf J}_{\psi}}\bar{\mathbf J}_{\eta} - \right) - < - \dim(\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}). - \label{eq:main_dyn_efim_rank_condition} -\end{equation} -等价地，存在非零方向 $\delta\boldsymbol\eta\neq\mathbf 0$，使得 -\begin{equation} - \bar{\mathbf J}_{\eta}\delta\boldsymbol\eta - \in - \operatorname{range}(\bar{\mathbf J}_{\psi}), - \label{eq:main_dyn_exact_nuisance_range} -\end{equation} -或在近奇异情形下满足 -\begin{equation} - \bar{\mathbf J}_{\eta}\delta\boldsymbol\eta - \approx - \bar{\mathbf J}_{\psi}\delta\boldsymbol\psi . - \label{eq:main_dyn_near_nuisance_range} -\end{equation} -这表明，某个主参数扰动的一阶均值变化若能被 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$、相位或幅度等干扰参数 -近似吸收，则该方向在边际化后只保留很少有效信息。 +其奇异性由投影后主参数 Jacobian 的秩决定，而非 $\bar{\mathbf J}_\eta$ 本身。详细的投影解释、最小投影角 $\sin^2\theta_{\min}$ 定义、以及 $\boldsymbol\xi$/$\nu_{\mathrm{ref}}$ Schur 分块下的 DoA--Doppler 耦合比例 $\gamma_{\xi,\nu}^2$ 见附录~\ref{subsec:A7_efimIllConditioning}。 -为了刻画 ``近吸收'' 的程度，可定义局部最小投影角 +将 EFIM 按 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}=[\boldsymbol\xi^\Tran,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$ 分块后，$\boldsymbol\xi$ 未知条件下 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 的边际 \gls{crb} 满足 \begin{equation} - \sin^2\theta_{\min} - \triangleq - \min_{\delta\boldsymbol\eta\neq\mathbf 0} - \frac{ - \left\| - \mathcal P^{\perp}_{\bar{\mathbf J}_{\psi}} - \bar{\mathbf J}_{\eta}\delta\boldsymbol\eta - \right\|_2^2 - }{ - \left\| - \bar{\mathbf J}_{\eta}\delta\boldsymbol\eta - \right\|_2^2 - }. - \label{eq:main_dyn_min_projection_angle} -\end{equation} -当 $\theta_{\min}\approx 0$ 时，说明主参数 score 子空间中存在接近干扰子空间的方向， -此时 $\lambda_{\min}(\mathcal I_{\mathrm{e}})$ 会很小。多星几何可以快速增大与 -$\boldsymbol\xi$ 有关的主特征值，但若式~\eqref{eq:main_dyn_min_projection_angle} 中的最小投影角 -仍然很小，则 EFIM 条件数 -\begin{equation} - \kappa(\mathcal I_{\mathrm{e}}) - = - \frac{\lambda_{\max}(\mathcal I_{\mathrm{e}})} - {\lambda_{\min}(\mathcal I_{\mathrm{e}})} -\end{equation} -仍可能随着多星几何增强而变大。 - -进一步，将 EFIM 按 -$\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}=[\boldsymbol\xi^\Tran,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$ 分块： -\begin{equation} - \mathcal I_{\mathrm{e}} - = - \begin{bmatrix} - \mathcal I_{\xi\xi} & \mathcal I_{\xi\nu} \\ - \mathcal I_{\nu\xi} & \mathcal I_{\nu\nu} - \end{bmatrix}, - \qquad - \mathcal I_{\xi\xi}\in\mathbb R^{2\times2},\quad - \mathcal I_{\nu\nu}\in\mathbb R . - \label{eq:main_dyn_efim_xi_nu_partition} -\end{equation} -若 $\boldsymbol\xi$ 已知，则 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 的 scalar 信息为 $\mathcal I_{\nu\nu}$； -若 $\boldsymbol\xi$ 未知，则 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 的边际信息为 Schur 补 -\begin{equation} - \mathcal I_{\nu|\xi} - = - \mathcal I_{\nu\nu} - - - \mathcal I_{\nu\xi} - \mathcal I_{\xi\xi}^{\dagger} - \mathcal I_{\xi\nu}. - \label{eq:main_dyn_nu_schur_after_xi} -\end{equation} -为避免与幅度符号 $\rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}$ 混淆，本文不用 $\rho$ 表示相关系数；在本小节中局部定义 -DoA--Doppler 耦合比例 -\begin{equation} - \gamma_{\xi,\nu}^{2} - \triangleq - \frac{ - \mathcal I_{\nu\xi} - \mathcal I_{\xi\xi}^{\dagger} - \mathcal I_{\xi\nu} - }{ - \mathcal I_{\nu\nu} - }, - \qquad - 0\leq \gamma_{\xi,\nu}^{2}\leq 1, - \label{eq:main_dyn_xi_nu_coupling_fraction} -\end{equation} -则 -\begin{equation} - \mathcal I_{\nu|\xi} - = - \mathcal I_{\nu\nu}(1-\gamma_{\xi,\nu}^{2}), - \qquad \operatorname{CRB}_{\nu} = - \frac{1}{\mathcal I_{\nu\nu}(1-\gamma_{\xi,\nu}^{2})}. - \label{eq:main_dyn_nu_crb_coupling_fraction} -\end{equation} -式~\eqref{eq:main_dyn_nu_crb_coupling_fraction} 给出了更直接的解释：多星确实可能增加 -$\mathcal I_{\nu\nu}$，但若同时使 $\gamma_{\xi,\nu}^{2}$ 较大，则 Schur 补后的 -$\mathcal I_{\nu|\xi}$ 仍然增长有限。相对于 DoA 已知的 scalar bound，DoA 未知时的 Doppler -标准差放大量为 -\begin{equation} + \frac{1}{\mathcal I_{\nu\nu}(1-\gamma_{\xi,\nu}^{2})}, + \qquad \frac{\sqrt{\operatorname{CRB}_{\nu}}} {1/\sqrt{\mathcal I_{\nu\nu}}} = \frac{1}{\sqrt{1-\gamma_{\xi,\nu}^{2}}}. - \label{eq:main_dyn_nu_std_inflation} \end{equation} -因此，pair 场景中即使 scalar Doppler 信息有增加，只要 $\gamma_{\xi,\nu}^{2}$ 较大， -边际 Doppler CRB 仍会被显著放大。 - -若用上标 $(L)$ 表示 $L$ 颗协作卫星下的 EFIM 分块，则相对于单星的参考 Doppler 标准差增益可写为 -\begin{equation} - G_{\nu}(L) - \triangleq - \frac{\sqrt{\operatorname{CRB}_{\nu}^{(1)}}} - {\sqrt{\operatorname{CRB}_{\nu}^{(L)}}} - = - \sqrt{ - \frac{ - \mathcal I_{\nu\nu}^{(L)} - \left(1-\gamma_{\xi,\nu}^{2,(L)}\right) - }{ - \mathcal I_{\nu\nu}^{(1)} - \left(1-\gamma_{\xi,\nu}^{2,(1)}\right) - } - }. - \label{eq:main_dyn_multisat_nu_gain} -\end{equation} -只有当 DoA--Doppler 耦合比例不随 $L$ 增大而恶化时，$G_{\nu}(L)$ 才会接近能量叠加所对应的 -$\sqrt L$ 量级；若新增卫星主要增强 $\mathcal I_{\xi\xi}$ 的几何方向，而 -$\gamma_{\xi,\nu}^{2,(L)}$ 仍然较大，则 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 的边际增益会明显小于 -角度 CRB 的改善。由此可见，实际 \gls{leo} 多星场景中的多星收益应分开理解： -$\boldsymbol\xi$ 的收益主要来自空间视线和阵列流形几何的多样性；$\nu_{\mathrm{ref}}$ 的收益主要来自 -能量叠加和跨帧相干结构，并受到式~\eqref{eq:main_dyn_nu_schur_after_xi} 中 DoA--Doppler -Schur 补损失的限制。 +因此 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 的多星增益受 DoA--Doppler 耦合比例约束：即使多星几何能放大 $\mathcal I_{\nu\nu}$，若 $\gamma_{\xi,\nu}^2$ 随 $L$ 增大而恶化，则边际 Doppler CRB 仍受限。 +$\boldsymbol\xi$ 的增益主要来自空间视线与阵列流形几何多样性；$\nu_{\mathrm{ref}}$ 的增益主要来自能量叠加与跨帧相干结构，并受到 Schur 损失限制。 \subsection{周期多帧观测下的 Doppler comb 与 tooth ambiguity} \label{subsec:fdCombToothAmbiguity} -上一小节的 EFIM 分析描述的是已落入正确局部 basin 后的 in-tooth 曲率；它不能解释 -profile likelihood 在 Doppler 方向上的全局离散多峰结构。该多峰结构来自帧起始时刻集合 -本身。令参与相干匹配的帧集合为 $\mathcal P$，并记第 $p$ 帧起始点的离散采样偏移为 -$\tau_p$。若参考 Doppler 存在归一化角频率偏移 $\Delta\nu$，则跨帧公共相位因子为 -\begin{equation} - \exp\{j\Delta\nu\tau_p\}. -\end{equation} -因此，沿 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 方向的集中目标中自然包含 frame-time spectral window +上一小节的 EFIM 描述的是已落入正确局部 basin 后的 in-tooth 曲率；它不能解释 profile likelihood 在 Doppler 方向上的全局离散多峰结构。 +若参与相干匹配的帧集合为 $\mathcal P$、第 $p$ 帧起始偏移为 $\tau_p$，则沿 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 方向的集中目标包含 frame-time spectral window \begin{equation} W_{\mathcal P}(\Delta\nu) \triangleq - \sum_{p\in\mathcal P} w_p - \exp\{j\Delta\nu\tau_p\}, - \label{eq:main_fd_comb_window} + \sum_{p\in\mathcal P} w_p\exp\{j\Delta\nu\tau_p\}. \end{equation} -其中 $w_p\geq0$ 表示第 $p$ 帧在局部线性化下的等效权重。若使用等间隔周期帧， +等间隔 $\tau_p=p\Delta\tau_{\mathrm{f}}$ 且 $w_p$ 近似一致时，$W_{\mathcal P}$ 退化为离散 Dirichlet 窗口，在 \begin{equation} - \tau_p=p\Delta\tau_{\mathrm{f}}, - \qquad p=0,\ldots,P-1, -\end{equation} -并且 $w_p$ 近似一致，则式~\eqref{eq:main_fd_comb_window} 退化为离散 Dirichlet 型窗口 -\begin{equation} - W_{\mathcal P}(\Delta\nu) - \approx - \exp\left\{j\frac{(P-1)\Delta\nu\Delta\tau_{\mathrm{f}}}{2}\right\} - \frac{ - \sin\left(P\Delta\nu\Delta\tau_{\mathrm{f}}/2\right) - }{ - \sin\left(\Delta\nu\Delta\tau_{\mathrm{f}}/2\right) - }. - \label{eq:main_fd_comb_dirichlet} -\end{equation} -于是当 -\begin{equation} - \Delta\nu - = - k\Delta\nu_{\mathrm{tooth}}, + \Delta\nu=k\Delta\nu_{\mathrm{tooth}}, \qquad - \Delta\nu_{\mathrm{tooth}} - \triangleq - \frac{2\pi}{\Delta\tau_{\mathrm{f}}}, - \qquad k\in\mathbb Z, - \label{eq:main_fd_comb_tooth_spacing_norm} + \Delta\nu_{\mathrm{tooth}}\triangleq\frac{2\pi}{\Delta\tau_{\mathrm{f}}}, + \qquad k\in\mathbb Z \end{equation} -有 -\begin{equation} - \exp\{j\Delta\nu\tau_p\} - = - \exp\{j2\pi kp\} - =1, - \qquad \forall p. -\end{equation} -因此，周期多帧观测会在参考 Doppler 方向上产生间隔为 -$\Delta\nu_{\mathrm{tooth}}$ 的 comb-like objective branches。若换算成物理 Hz 单位，并记相邻帧 -物理间隔为 $T_{\mathrm{f}}^{\mathrm{sec}}=\Delta\tau_{\mathrm{f}}T_{\mathrm s}$，则 -\begin{equation} - \Delta\nu_{\mathrm{tooth}}^{\mathrm{Hz}} - = - \frac{1}{T_{\mathrm{f}}^{\mathrm{sec}}}. - \label{eq:main_fd_comb_tooth_spacing_hz} -\end{equation} -该 comb 是全局 profile likelihood 的周期窗口效应，与局部 EFIM 曲率并不矛盾：EFIM 只刻画 -某一个 tooth 内的二阶曲率，而不保证全局唯一 tooth。 +处所有帧相位同时对齐，产生间隔为 $\Delta\nu_{\mathrm{tooth}}$ 的 comb-like objective branches。 +换算到物理 Hz 即 $\Delta\nu_{\mathrm{tooth}}^{\mathrm{Hz}}=1/(\Delta\tau_{\mathrm{f}}T_{\mathrm s})$。 +该 comb 是全局 profile likelihood 的周期窗口效应，与 EFIM 局部曲率并不矛盾——EFIM 只刻画某一个 tooth 内的二阶曲率，并不保证全局唯一 tooth。 -相邻 tooth 是否容易区分，还取决于单帧 pilot block 的有限长度。对于长度为 $T$ 个采样点的 -块，归一化 Doppler 偏移 $\Delta\nu$ 在块内产生的归一化相关为 -\begin{equation} - R_T(\Delta\nu) - \triangleq - \frac{1}{T}\sum_{t=0}^{T-1}\exp\{j\Delta\nu t\} - = - \frac{\exp\{j(T-1)\Delta\nu/2\}}{T} - \frac{\sin(T\Delta\nu/2)}{\sin(\Delta\nu/2)}. - \label{eq:main_fd_block_corr} -\end{equation} -因此，相邻 tooth 的块内相干损失可用 -\begin{equation} - D_{\mathrm{blk}} - \triangleq - 1- - \left|R_T(\Delta\nu_{\mathrm{tooth}})\right|^2 - \label{eq:main_fd_block_tooth_loss} -\end{equation} -刻画。当 $T\ll\Delta\tau_{\mathrm{f}}$ 时，由 -$\Delta\nu_{\mathrm{tooth}}=2\pi/\Delta\tau_{\mathrm{f}}$ 得到近似 -\begin{equation} - D_{\mathrm{blk}} - \approx - 1- - \operatorname{sinc}^{2}\left(\frac{T}{\Delta\tau_{\mathrm{f}}}\right) - \approx - \frac{\pi^2}{3}\left(\frac{T}{\Delta\tau_{\mathrm{f}}}\right)^2, - \label{eq:main_fd_block_loss_small_ratio} -\end{equation} -其中 $\operatorname{sinc}(x)=\sin(\pi x)/(\pi x)$。因此，增大 pilot block length 可以增强相邻 -Doppler tooth 的分离度；但这并不意味着单个块内的 Doppler-rate 二次相位已经提供了强曲率。 -在短同步块 \,\gls{leo} 场景中，$\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 对可辨识性的主要影响仍来自跨帧相位演化 -以及被作为干扰参数消去后的 Schur 补损失。 - -非周期帧子集可以用同一个窗口解释。若选取子集 -\begin{equation} - \mathcal T_{\mathrm{sub}} - = - \{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}, -\end{equation} -则对应窗口为 -\begin{equation} - W_{\mathrm{sub}}(\Delta\nu) - = - \sum_{q=1}^{Q}w_q - \exp\{j\Delta\nu\tau_{p_q}\}. - \label{eq:main_fd_subset_window} -\end{equation} -当 $\mathcal T_{\mathrm{sub}}$ 破坏严格等间隔结构时， -$\Delta\nu=k\Delta\nu_{\mathrm{tooth}}$ 不再必然使所有帧相位同时对齐，周期 comb sidelobes 会被压低。 -因此，非周期 subset 更适合用于 tooth acquisition；而完整周期数据在 tooth 选对之后，由于保留了更多 -相干能量，更适合同 tooth 内 refine。若定义第 $k$ 个 Doppler tooth 内的 profile optimum 为 -$\widehat{\boldsymbol\eta}_k$，则 tooth 可分离性可写为 +相邻 tooth 是否容易区分由两层因素共同决定：单帧 pilot block 的长度 $T$（控制块内 Doppler 相干带宽）与非周期 subset 的窗口形状（控制 comb 旁瓣压制）。 +当 $T\ll\Delta\tau_{\mathrm{f}}$ 时，相邻 tooth 的块内相干损失约为 $\frac{\pi^2}{3}(T/\Delta\tau_{\mathrm{f}})^2$，因此增大 $T$ 可增强相邻 tooth 的分离度。 +非周期 subset 更适合用于 tooth acquisition；完整周期数据在 tooth 选对之后由于保留更多相干能量，更适合同 tooth 内 refine。 +若定义 tooth 可分离性为不同 $k$ 下 profile optimum 之间的目标差 \begin{equation} D_{\mathrm{tooth}} \triangleq - \min_{k\in\mathbb Z\setminus\{0\}} + \min_{k\neq0} \mathcal L^{\mathrm{pro}}_{\mathrm{cp}}(\widehat{\boldsymbol\eta}_{k}) - - \mathcal L^{\mathrm{pro}}_{\mathrm{cp}}(\widehat{\boldsymbol\eta}_{0}). - \label{eq:main_fd_tooth_discriminability} + \mathcal L^{\mathrm{pro}}_{\mathrm{cp}}(\widehat{\boldsymbol\eta}_{0}), \end{equation} -这里 $k=0$ 表示正确 tooth。若 $D_{\mathrm{tooth}}$ 较小或为负，则局部 CRB 即使很小，MLE 仍可能 -落在错误 tooth；若 $D_{\mathrm{tooth}}$ 足够大，则后续的 EFIM/CRB 才能作为同 tooth 内估计误差的局部描述。 +则 EFIM/CRB 只有在 $D_{\mathrm{tooth}}$ 足够大、tooth 选对后才能作为同 tooth 内估计误差的局部描述。Dirichlet 窗口的完整推导、块内相干损失的 sinc 近似与 tooth 可分离性的数值刻画均见附录~\ref{sec:A7_dynDoaDopplerCrb} 末尾的补充分析。 +本节完成了多帧动态主线：CP 模型通过同星公共相位 $\chi_\ell$ 显式利用跨帧绝对时间信息，IP 模型作为对照基线放弃跨帧绝对相位；二者的 EFIM 差异量化了跨帧连续相位携带的信息量。