From 88a5e4b97dc4cad5f46f2c0f945aa12c729320da Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Josh Gao Date: Mon, 22 Jun 2026 12:27:04 +0800 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?content:=20DoA-=E8=9E=8D=E5=90=88=E7=9A=84?= =?UTF-8?q?=E5=A4=9A=E6=98=9F=E4=BD=8D=E7=BD=AE=E4=B8=8B=E7=95=8C?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit 各星只回传本地 DoA、几何交会的位置 CRB =（Σ H_ℓ^T C_{ξ,ℓ}^{-1} H_ℓ）^{-1}；位置节增 DoA-融合基线小节，附录增 H.4 推导，作多星合并性能下界锚。 --- parts/G-userPositionCrb.tex | 133 ++++++++++++++++++ parts/H-userPositionCrb.tex | 88 ------------ ...sitioning.tex => sec6_userPositioning.tex} | 23 ++- 3 files changed, 153 insertions(+), 91 deletions(-) create mode 100644 parts/G-userPositionCrb.tex delete mode 100644 parts/H-userPositionCrb.tex rename parts/{sec7_userPositioning.tex => sec6_userPositioning.tex} (76%) diff --git a/parts/G-userPositionCrb.tex b/parts/G-userPositionCrb.tex new file mode 100644 index 0000000..f270340 --- /dev/null +++ b/parts/G-userPositionCrb.tex @@ -0,0 +1,133 @@ +\section{用户位置 CRB} +\label{sec:userPositionCrb} + +本附录给出第~\ref{sec:userPositioning} 节位置参数化模型的 \gls{crb}。整套构造——联合堆叠、复增益 Schur 补、\gls{efim} 投影--Gram——与\appref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb} 完全一致，唯一需要重写的是主参数 Jacobian：把对全局角 $(\alpha,\beta)$ 的导数换成对位置 $\mathbf p$ 的导数。下面只给出这一差异部分，其余直接引用附录 E 的结果。 + +\subsection{位置对视线与本地角的链式导数} + +单位视线 $\mathbf u_\ell(\mathbf p)=\mathbf r_\ell/\|\mathbf r_\ell\|_2$（$\mathbf r_\ell=\mathbf p-\mathbf s_\ell$）对位置的 Jacobian 为 +% +\begin{equation} + \frac{\partial\mathbf u_\ell}{\partial\mathbf p} + =\frac{1}{\|\mathbf r_\ell\|_2}\big(\mathbf I_3-\mathbf u_\ell\mathbf u_\ell^\Tran\big)\in\mathbb R^{3\times3}. + \label{eq:H_dudp} +\end{equation} +% +两点结构性读法：因子 $1/\|\mathbf r_\ell\|_2$ 表明角灵敏度随距离衰减——这正是远场极限下位置不可由角度观测的根源；投影 $\mathbf I_3-\mathbf u_\ell\mathbf u_\ell^\Tran$（秩 $2$）表明沿视线方向（径向）平移不改变该星方向，只有横向平移可观测，故单星无法定距，必须靠多星视差把各秩 $2$ 投影补成满秩 $3$。 +本地视线 $\mathbf u_\ell^{\mathrm{loc}}=\boldsymbol\Omega_\ell^\Tran\mathbf u_\ell$ 给出 $\partial\mathbf u_\ell^{\mathrm{loc}}/\partial\mathbf p=\boldsymbol\Omega_\ell^\Tran\,\partial\mathbf u_\ell/\partial\mathbf p$，再按与 \eqref{eq:A6_local_angle_chain} 同样的 atan2/arcsin 链式法则得到本地角对位置的 Jacobian $\partial\boldsymbol\xi_\ell^{\mathrm{loc}}/\partial\mathbf p\in\mathbb R^{2\times3}$，从而阵列导向矢量对位置的 Jacobian 为 +% +\begin{equation} + \frac{\partial\mathbf a_\ell}{\partial\mathbf p} + =\frac{\partial\mathbf a_\ell}{\partial(\boldsymbol\xi_\ell^{\mathrm{loc}})^\Tran} + \,\frac{\partial\boldsymbol\xi_\ell^{\mathrm{loc}}}{\partial\mathbf p} + \in\mathbb C^{M_\ell\times3}, + \label{eq:H_dadp} +\end{equation} +% +其中阵列流形 Jacobian $\partial\mathbf a_\ell/\partial(\boldsymbol\xi_\ell^{\mathrm{loc}})^\Tran$ 取 \eqref{eq:A6_a_local_jac}。 +Doppler 部分，由 $\nu_\ell=\nu_{\mathrm{ref}}+\Delta\nu_\ell(\mathbf p)$ 与位置诱导差分 \eqref{eq:sec7_dnu_pos}，有 +% +\begin{equation} + \frac{\partial\nu_\ell}{\partial\mathbf p} + =\frac{\partial\Delta\nu_\ell}{\partial\mathbf p} + =\frac{2\pi T_{\mathrm s}}{\lambda_{\mathrm c}} + \Big[\mathbf v_\ell^\Tran\frac{\partial\mathbf u_\ell}{\partial\mathbf p} + -\mathbf v_{\ell_{\mathrm{ref}}}^\Tran\frac{\partial\mathbf u_{\ell_{\mathrm{ref}}}}{\partial\mathbf p}\Big]\in\mathbb R^{1\times3}, + \qquad + \frac{\partial\nu_\ell}{\partial\nu_{\mathrm{ref}}}=1, + \label{eq:H_dnudp} +\end{equation} +% +其中 $\partial\mathbf u_\ell/\partial\mathbf p$ 正是 \eqref{eq:H_dudp}。可见\emph{差分 Doppler 与本地角对位置的灵敏度共用同一个有限距离投影} $(\mathbf I_3-\mathbf u_\ell\mathbf u_\ell^\Tran)/\|\mathbf r_\ell\|_2$——\gls{aoa} 视差与差分 Doppler 这两条定位信息在 Jacobian 层面同源，且同样随距离增大而衰减。时间模板导数沿用 \eqref{eq:A6_qdot}，即 $\partial\mathbf q_\ell/\partial p_i=(\partial\mathbf q_\ell/\partial\nu_\ell)\,(\partial\nu_\ell/\partial p_i)$、$\partial\mathbf q_\ell/\partial\nu_{\mathrm{ref}}=\partial\mathbf q_\ell/\partial\nu_\ell$。 + +\subsection{位置 EFIM 与 CRB} + +按 Kronecker 求导法则（同 \eqref{eq:A6_Dl}）组装空时模板对 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{pos}}=[\mathbf p^\Tran,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$ 的 Jacobian +% +\begin{equation} + \mathbf D_\ell^{\mathrm{pos}} + =\big[\, + \partial\mathbf g_\ell/\partial p_x,\ \partial\mathbf g_\ell/\partial p_y,\ \partial\mathbf g_\ell/\partial p_z,\ \partial\mathbf g_\ell/\partial\nu_{\mathrm{ref}} + \,\big]\in\mathbb C^{M_\ell T\times4}, +\end{equation} +% +其中位置列 $\partial\mathbf g_\ell/\partial p_i=\mathbf q_\ell\otimes(\partial\mathbf a_\ell/\partial p_i)+(\partial\mathbf q_\ell/\partial p_i)\otimes\mathbf a_\ell$、Doppler 列 $\partial\mathbf g_\ell/\partial\nu_{\mathrm{ref}}=(\partial\mathbf q_\ell/\partial\nu_\ell)\otimes\mathbf a_\ell$，$\partial\mathbf a_\ell/\partial p_i$ 取 \eqref{eq:H_dadp} 的第 $i$ 列。消去复增益后的 \gls{efim} 与 \eqref{eq:A6_Ieff_final} 同形： +% +\begin{equation} + \mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{pos}}) + =2\sum_{\ell=0}^{L-1}\frac{|\zeta_\ell|^2}{\sigma_\ell} + \Re\big\{(\mathbf D_\ell^{\mathrm{pos}})^\Herm\mathcal P_{\mathbf g_\ell}^\perp\mathbf D_\ell^{\mathrm{pos}}\big\}\in\mathbb R^{4\times4}. + \label{eq:H_efim} +\end{equation} +% +将 \eqref{eq:H_efim} 按 $(\mathbf p,\nu_{\mathrm{ref}})$ 分块为 +% +\begin{equation} + \mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{pos}}) + =\begin{bmatrix} + \mathcal I_{\mathrm{pp}} & \mathcal I_{\mathrm p\nu}\\ + \mathcal I_{\nu\mathrm p} & \mathcal I_{\nu\nu} + \end{bmatrix}, +\end{equation} +% +则把参考 Doppler 视为干扰参数、对其取 Schur 补，得位置 \gls{crb} +% +\begin{equation} + \operatorname{CRB}(\mathbf p) + =\big(\mathcal I_{\mathrm{pp}}-\mathcal I_{\mathrm p\nu}\,\mathcal I_{\nu\nu}^{-1}\,\mathcal I_{\nu\mathrm p}\big)^{-1}\in\mathbb R^{3\times3}. +\end{equation} +% +几何精度因子（GDOP）即 $\sqrt{\operatorname{tr}\operatorname{CRB}(\mathbf p)}$ 随星座几何的变化。 + +\begin{mdquote} +\textbf{远场退化（Fisher 信息层）。} 由 \eqref{eq:H_dudp}，当所有 $\|\mathbf r_\ell\|_2\to\infty$ 时 $\partial\mathbf a_\ell/\partial\mathbf p\to\mathbf0$，$\mathbf D_\ell^{\mathrm{pos}}$ 的三列位置导数趋于线性相关（径向列退化），$\mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{pos}})$ 在距离方向奇异——位置 \gls{crb} 在距离维发散，退化为\appref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb} 的二维方向 \gls{crb}。这与第~\ref{subsec:positionLosMap} 小节的远场退化命题在 Fisher 信息层面一致。 +\end{mdquote} + +\subsection{DoA-融合基线的位置 CRB} +\label{subsec:H4_doaFusion} + +正文第~\ref{subsec:doaFusionBaseline} 小节的 DoA-融合基线不做跨星数据级联合，而是各星本地估角、融合中心几何相交。其位置 \gls{crb} 由两块拼成：每颗星本地 \gls{doa} 的单阵列 \gls{crb}，与本地角对位置的 Jacobian。 + +每颗星 $\ell$ 仅用本星观测估计本地来向 $\boldsymbol\xi_\ell^{\mathrm{loc}}=[\alpha_\ell^{\mathrm{loc}},\beta_\ell^{\mathrm{loc}}]^\Tran$，本星复增益、链路 Doppler 与噪声方差作本地干扰参数；该单阵列 \gls{doa}--Doppler 估计的角度块 \gls{crb} 即\appref{sec:singleArrayCrb} 的结果，记为 $\mathbf C_{\boldsymbol\xi,\ell}\in\mathbb R^{2\times2}$。本地角对位置的 Jacobian 由本附录前文（\eqref{eq:H_dudp}--\eqref{eq:H_dadp} 所用的 atan2/arcsin 链式行向量）给出 +% +\begin{equation} + \label{eq:H4_Hl} + \mathbf H_\ell + =\frac{\partial\boldsymbol\xi_\ell^{\mathrm{loc}}}{\partial\mathbf p} + =\begin{bmatrix} + \partial\alpha_\ell^{\mathrm{loc}}/\partial\mathbf p\\ + \partial\beta_\ell^{\mathrm{loc}}/\partial\mathbf p + \end{bmatrix}\in\mathbb R^{2\times3}, +\end{equation} +% +其有限距离投影 $(\mathbf I_3-\mathbf u_\ell\mathbf u_\ell^\Tran)/\|\mathbf r_\ell\|_2$（\eqref{eq:H_dudp}）使单星 $\mathbf H_\ell$ 秩 $2$、沿视线方向不可观，须多星相交补成秩 $3$。 + +把各星本地角估计视为独立测量 $\widehat{\boldsymbol\xi}_\ell^{\mathrm{loc}}\sim\mathcal N(\boldsymbol\xi_\ell^{\mathrm{loc}}(\mathbf p),\mathbf C_{\boldsymbol\xi,\ell})$、星间独立，则位置的融合 Fisher 信息与 \gls{crb} 为 +% +\begin{equation} + \label{eq:H4_crb} + \mathcal I_{\mathrm{DoA}}(\mathbf p) + =\sum_{\ell=0}^{L-1}\mathbf H_\ell^\Tran\mathbf C_{\boldsymbol\xi,\ell}^{-1}\mathbf H_\ell, + \qquad + \operatorname{CRB}_{\mathrm{DoA}}(\mathbf p)=\mathcal I_{\mathrm{DoA}}^{-1}(\mathbf p)\in\mathbb R^{3\times3}, +\end{equation} +% +即正文 \eqref{eq:sec7_doafusion}。 + +\paragraph{与集中式的序关系} +DoA-融合只保留各星本地角这一压缩统计量、丢弃差分 Doppler 与跨星联合约束；由数据处理不等式，其位置 Fisher 信息不超过集中式 \eqref{eq:H_efim} 消去 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 后的位置块，故 +% +\begin{equation} + \label{eq:H4_ordering} + \mathcal I_{\mathrm{DoA}}(\mathbf p) + \preceq + \mathcal I_{\mathrm{pp}}-\mathcal I_{\mathrm p\nu}\mathcal I_{\nu\nu}^{-1}\mathcal I_{\nu\mathrm p}, + \qquad + \operatorname{CRB}_{\mathrm{DoA}}(\mathbf p)\succeq\operatorname{CRB}(\mathbf p). +\end{equation} +% +两者之差即跨星采样级信息（主要是差分 Doppler）的价值；单观测块内 Doppler 近常数时该差很小，DoA-融合接近集中式而回传量大幅降低。多用户情形把各星本地角与 $\mathbf C_{\boldsymbol\xi,\ell}$ 按用户分别给出、逐用户相交即可，结构不变。 + +\subsection{多用户} + +多用户位置 \gls{crb} 把 $\mathbf D_\ell^{\mathrm{pos}}$ 按用户横向拼接为 $\mathbf D_{\ell,k}^{\mathrm{pos}}$、对各星 $\mathbf G_\ell$ 列空间正交补投影，结构与\appref{subsec:E2_multiUserMultiSatCrb} 完全一致（把 $\boldsymbol\xi_k$、$\mathbf D_{\ell,k}$ 换成 $\mathbf p_k$、$\mathbf D_{\ell,k}^{\mathrm{pos}}$）；第 $k$ 个用户的位置 \gls{crb} 为 $\mathcal I_{\mathrm e}^{-1}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu\text{-}pos}})$ 中对应 $\mathbf p_k$ 的 $3\times3$ 子块，可作为定位精度与（预留）波束成形鲁棒设计的统一上界。 diff --git a/parts/H-userPositionCrb.tex b/parts/H-userPositionCrb.tex deleted file mode 100644 index 04962a3..0000000 --- a/parts/H-userPositionCrb.tex +++ /dev/null @@ -1,88 +0,0 @@ -\section{用户位置 CRB} -\label{sec:userPositionCrb} - -本附录给出第~\ref{sec:userPositioning} 节位置参数化模型的 \gls{crb}。整套构造——联合堆叠、复增益 Schur 补、\gls{efim} 投影--Gram——与\appref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb} 完全一致，唯一需要重写的是主参数 Jacobian：把对全局角 $(\alpha,\beta)$ 的导数换成对位置 $\mathbf p$ 的导数。下面只给出这一差异部分，其余直接引用附录 E 的结果。 - -\subsection{位置对视线与本地角的链式导数} - -单位视线 $\mathbf u_\ell(\mathbf p)=\mathbf r_\ell/\|\mathbf r_\ell\|_2$（$\mathbf r_\ell=\mathbf p-\mathbf s_\ell$）对位置的 Jacobian 为 -% -\begin{equation} - \frac{\partial\mathbf u_\ell}{\partial\mathbf p} - =\frac{1}{\|\mathbf r_\ell\|_2}\big(\mathbf I_3-\mathbf u_\ell\mathbf u_\ell^\Tran\big)\in\mathbb R^{3\times3}. - \label{eq:H_dudp} -\end{equation} -% -两点结构性读法：因子 $1/\|\mathbf r_\ell\|_2$ 表明角灵敏度随距离衰减——这正是远场极限下位置不可由角度观测的根源；投影 $\mathbf I_3-\mathbf u_\ell\mathbf u_\ell^\Tran$（秩 $2$）表明沿视线方向（径向）平移不改变该星方向，只有横向平移可观测，故单星无法定距，必须靠多星视差把各秩 $2$ 投影补成满秩 $3$。 -本地视线 $\mathbf u_\ell^{\mathrm{loc}}=\boldsymbol\Omega_\ell^\Tran\mathbf u_\ell$ 给出 $\partial\mathbf u_\ell^{\mathrm{loc}}/\partial\mathbf p=\boldsymbol\Omega_\ell^\Tran\,\partial\mathbf u_\ell/\partial\mathbf p$，再按与\eqref{eq:A6_local_angle_chain} 同样的 atan2/arcsin 链式法则得到行向量 $\partial\alpha_\ell^{\mathrm{loc}}/\partial\mathbf p$、$\partial\beta_\ell^{\mathrm{loc}}/\partial\mathbf p\in\mathbb R^{1\times3}$，从而 -% -\begin{equation} - \frac{\partial\mathbf a_\ell}{\partial\mathbf p} - =\dot{\mathbf a}_{\ell,\alpha}\frac{\partial\alpha_\ell^{\mathrm{loc}}}{\partial\mathbf p} - +\dot{\mathbf a}_{\ell,\beta}\frac{\partial\beta_\ell^{\mathrm{loc}}}{\partial\mathbf p} - \in\mathbb C^{M_\ell\times3}, - \label{eq:H_dadp} -\end{equation} -% -其中 $\dot{\mathbf a}_{\ell,\alpha},\dot{\mathbf a}_{\ell,\beta}$ 同\eqref{eq:A6_da_chain}。 -Doppler 部分，由 $\nu_\ell=\nu_{\mathrm{ref}}+\Delta\nu_\ell(\mathbf p)$ 与位置诱导差分\eqref{eq:sec7_dnu_pos}，有 -% -\begin{equation} - \frac{\partial\nu_\ell}{\partial\mathbf p} - =\frac{\partial\Delta\nu_\ell}{\partial\mathbf p} - =\frac{2\pi T_{\mathrm s}}{\lambda_{\mathrm c}} - \Big[\mathbf v_\ell^\Tran\frac{\partial\mathbf u_\ell}{\partial\mathbf p} - -\mathbf v_{\ell_{\mathrm{ref}}}^\Tran\frac{\partial\mathbf u_{\ell_{\mathrm{ref}}}}{\partial\mathbf p}\Big]\in\mathbb R^{1\times3}, - \qquad - \frac{\partial\nu_\ell}{\partial\nu_{\mathrm{ref}}}=1, - \label{eq:H_dnudp} -\end{equation} -% -其中 $\partial\mathbf u_\ell/\partial\mathbf p$ 正是\eqref{eq:H_dudp}。可见\emph{差分 Doppler 与本地角对位置的灵敏度共用同一个有限距离投影} $(\mathbf I_3-\mathbf u_\ell\mathbf u_\ell^\Tran)/\|\mathbf r_\ell\|_2$——\gls{aoa} 视差与差分 Doppler 这两条定位信息在 Jacobian 层面同源，且同样随距离增大而衰减。时间模板导数沿用\eqref{eq:A6_qdot}，即 $\partial\mathbf q_\ell/\partial p_i=\dot{\mathbf q}_\ell\,(\partial\nu_\ell/\partial p_i)$、$\partial\mathbf q_\ell/\partial\nu_{\mathrm{ref}}=\dot{\mathbf q}_\ell$。 - -\subsection{位置 EFIM 与 CRB} - -按 Kronecker 求导法则（同\eqref{eq:A6_Dl}）组装空时模板对 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{pos}}=[\mathbf p^\Tran,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$ 的 Jacobian -% -\begin{equation} - \mathbf D_\ell^{\mathrm{pos}} - =\big[\, - \partial\mathbf g_\ell/\partial p_x,\ \partial\mathbf g_\ell/\partial p_y,\ \partial\mathbf g_\ell/\partial p_z,\ \partial\mathbf g_\ell/\partial\nu_{\mathrm{ref}} - \,\big]\in\mathbb C^{M_\ell T\times4}, -\end{equation} -% -其中位置列 $\partial\mathbf g_\ell/\partial p_i=\mathbf q_\ell\otimes(\partial\mathbf a_\ell/\partial p_i)+(\partial\mathbf q_\ell/\partial p_i)\otimes\mathbf a_\ell$、Doppler 列 $\partial\mathbf g_\ell/\partial\nu_{\mathrm{ref}}=\dot{\mathbf q}_\ell\otimes\mathbf a_\ell$，$\partial\mathbf a_\ell/\partial p_i$ 取\eqref{eq:H_dadp} 的第 $i$ 列。消去复增益后的 \gls{efim} 与\eqref{eq:A6_Ieff_final} 同形： -% -\begin{equation} - \mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{pos}}) - =2\sum_{\ell=0}^{L-1}\frac{|\zeta_\ell|^2}{\sigma_\ell} - \Re\big\{(\mathbf D_\ell^{\mathrm{pos}})^\Herm\mathcal P_{\mathbf g_\ell}^\perp\mathbf D_\ell^{\mathrm{pos}}\big\}\in\mathbb R^{4\times4}. - \label{eq:H_efim} -\end{equation} -% -将\eqref{eq:H_efim} 按 $(\mathbf p,\nu_{\mathrm{ref}})$ 分块为 -% -\begin{equation} - \mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{pos}}) - =\begin{bmatrix} - \mathcal I_{\mathrm{pp}} & \mathcal I_{\mathrm p\nu}\\ - \mathcal I_{\nu\mathrm p} & \mathcal I_{\nu\nu} - \end{bmatrix}, -\end{equation} -% -则把参考 Doppler 视为干扰参数、对其取 Schur 补，得位置 \gls{crb} -% -\begin{equation} - \operatorname{CRB}(\mathbf p) - =\big(\mathcal I_{\mathrm{pp}}-\mathcal I_{\mathrm p\nu}\,\mathcal I_{\nu\nu}^{-1}\,\mathcal I_{\nu\mathrm p}\big)^{-1}\in\mathbb R^{3\times3}. -\end{equation} -% -几何精度因子（GDOP）即 $\sqrt{\operatorname{tr}\operatorname{CRB}(\mathbf p)}$ 随星座几何的变化。 - -\begin{mdquote} -\textbf{远场退化（Fisher 信息层）。} 由\eqref{eq:H_dudp}，当所有 $\|\mathbf r_\ell\|_2\to\infty$ 时 $\partial\mathbf a_\ell/\partial\mathbf p\to\mathbf0$，$\mathbf D_\ell^{\mathrm{pos}}$ 的三列位置导数趋于线性相关（径向列退化），$\mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{pos}})$ 在距离方向奇异——位置 \gls{crb} 在距离维发散，退化为\appref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb} 的二维方向 \gls{crb}。这与第~\ref{subsec:positionLosMap} 小节的远场退化命题在 Fisher 信息层面一致。 -\end{mdquote} - -\subsection{多用户} - -多用户位置 \gls{crb} 把 $\mathbf D_\ell^{\mathrm{pos}}$ 按用户横向拼接为 $\mathbf D_{\ell,k}^{\mathrm{pos}}$、对各星 $\mathbf G_\ell$ 列空间正交补投影，结构与\appref{subsec:E2_multiUserMultiSatCrb} 完全一致（把 $\boldsymbol\xi_k$、$\mathbf D_{\ell,k}$ 换成 $\mathbf p_k$、$\mathbf D_{\ell,k}^{\mathrm{pos}}$）；第 $k$ 个用户的位置 \gls{crb} 为 $\mathcal I_{\mathrm e}^{-1}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu\text{-}pos}})$ 中对应 $\mathbf p_k$ 的 $3\times3$ 子块，可作为定位精度与（预留）波束成形鲁棒设计的统一上界。 diff --git a/parts/sec7_userPositioning.tex b/parts/sec6_userPositioning.tex similarity index 76% rename from parts/sec7_userPositioning.tex rename to parts/sec6_userPositioning.tex index 4d12d86..ffbcc79 100644 --- a/parts/sec7_userPositioning.tex +++ b/parts/sec6_userPositioning.tex @@ -1,7 +1,7 @@ \section{从全局方向到用户三维位置估计\texorpdfstring{~\cite{liFastAccurateLEO2022}}{}} \label{sec:userPositioning} -前六节的主估计目标始终是全局方向 $\boldsymbol\xi$（外加参考星 Doppler）。但 $\boldsymbol\xi$ 只有两个自由度，描述的是``用户在哪个方向''，而多星协作定位真正要回答的是``用户在哪个点''——三维位置 $\mathbf p$。 +前五节的主估计目标始终是全局方向 $\boldsymbol\xi$（外加参考星 Doppler）。但 $\boldsymbol\xi$ 只有两个自由度，描述的是``用户在哪个方向''，而多星协作定位真正要回答的是``用户在哪个点''——三维位置 $\mathbf p$。 本节沿一个新维度推进——\emph{输出参数化}（从方向到位置的几何反演）——把主参数从 $\boldsymbol\xi$ 换成 $\mathbf p$，其余维度保持最简：单观测块、单用户作为基线、已知导频、各星完全相干，不叠加第~\ref{sec:multiSatMultiUser}、\ref{sec:timestampError}、\ref{sec:dynamicDoaDopplerEst} 节的多用户/时间戳/多帧扩展。 关键观察是：第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst} 节的全局方向模型，正是位置模型在\emph{远场极限}下的退化——各星共享同一方向 $\mathbf u(\boldsymbol\xi)$；一旦用户与星座的距离有限，各星看到的视线方向不再相同，这一\emph{视差}差异连同差分 Doppler，正是把方向（2 维）补足为位置（3 维）的信息来源。这类``以位置为主参数、由原始观测直接估计''的方法即直接定位（Direct Position Determination，DPD）\cite{liFastAccurateLEO2022,haoInterferenceGeolocationSatellite2021}。 详细位置 \gls{crb} 推导见\appref{sec:userPositionCrb}。 @@ -18,7 +18,7 @@ \mathbf u_\ell(\mathbf p)=\frac{\mathbf r_\ell(\mathbf p)}{\|\mathbf r_\ell(\mathbf p)\|_2}\in\mathbb R^3. \end{equation} % -与第~\ref{subsec:globalLocalDoaMap} 小节的关键区别是：这里的 $\mathbf u_\ell(\mathbf p)$ \emph{逐星不同}，而不再是同一个全局方向 $\mathbf u(\boldsymbol\xi)$。沿用同一组本地坐标基与旋转矩阵 $\boldsymbol\Omega_\ell$，本地来向与本地角度为 +与第~\ref{subsec:globalLocalDoaMap} 小节的区别仅在\emph{源的参数化}：那里源是所有卫星共享的全局方向 $\mathbf u(\boldsymbol\xi)$（远场极限，2 自由度），这里源是位置 $\mathbf p$（3 自由度），经各星视线诱导出\emph{逐星不同}的全局来向 $\mathbf u_\ell(\mathbf p)$——逐星之异源于卫星位置 $\mathbf s_\ell$ 不同（视差），即补足距离维的信息。旋转矩阵 $\boldsymbol\Omega_\ell$ 始终只做\emph{姿态}变换（把全局来向转入各星本地阵列系）、远场与有限距离都需要且形式不变，仅其输入由共享的 $\mathbf u(\boldsymbol\xi)$ 换成逐星的 $\mathbf u_\ell(\mathbf p)$。沿用同一组本地坐标基，本地来向与本地角度为 % \begin{equation} \mathbf u_\ell^{\mathrm{loc}}(\mathbf p)=\boldsymbol\Omega_\ell^\Tran\mathbf u_\ell(\mathbf p), @@ -95,6 +95,23 @@ 位置三维可辨识性来自两条互补信息：（i）跨星 \gls{aoa} 视差——位置沿某颗星视线方向的平移不改变该星本地角，却改变其他星的本地角；（ii）差分 Doppler $\Delta\nu_\ell(\mathbf p)$ 对距离的依赖。二者都要求 $L\ge2$ 且几何充分：单星时各采样仅约束单一方向、距离不可辨识，正好落回第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst} 节的纯方向情形。 量化上，沿用消去干扰参数后的 \gls{efim} 投影--Gram 结构（见\appref{sec:userPositionCrb}），$\boldsymbol\eta_{\mathrm{pos}}$ 的 \gls{efim} 的最弱本征方向通常对应\emph{距离}维，其条件数（几何精度因子，GDOP）由星座基线/视差角与各链路信噪比共同决定。两星或少数多星时，横向位置因视差好而精度高、距离维因视差角小而恶化，是该模型最典型的几何各向异性\cite{weiIntegratedDopplerPositioning2024,xvJointBeamScheduling2024}。这与第~\ref{subsec:multiSatGainFdIdentifiability} 小节用同一套投影--Gram/条件数语言刻画的多星 Doppler 增益是同源的。 +\subsection{DoA-融合基线} +\label{subsec:doaFusionBaseline} + +本节集中似然把 $L$ 颗星的\emph{原始采样}联合进同一准则，需将各星采样级数据回传融合中心。降低回传与中心化处理量的对照基线是：每颗星\emph{仅用本星数据}估计本地来向 $\boldsymbol\xi_\ell^{\mathrm{loc}}=[\alpha_\ell^{\mathrm{loc}},\beta_\ell^{\mathrm{loc}}]^\Tran$（本星复增益、链路 Doppler、噪声均作本地干扰参数），融合中心只接收 $L$ 个本地 \gls{doa} 估计及其协方差，再按逐星视线几何相交得到位置 $\mathbf p$。 +% +由于每条链路复增益未知（作干扰参数），各星本地 \gls{doa} 是其对位置贡献的近充分统计量，故``只回传 DoA''相对``回传原始采样''的损失仅来自被舍弃的差分 Doppler 与跨星联合约束；单观测块内 Doppler 近常数时二者差距通常很小。位置 \gls{crb} 写为各星本地 \gls{doa} 协方差经视线--位置 Jacobian 传播的相交形式 +% +\begin{equation} + \label{eq:sec7_doafusion} + \operatorname{CRB}_{\mathrm{DoA}}(\mathbf p) + =\left(\sum_{\ell=0}^{L-1}\mathbf H_\ell^\Tran\,\mathbf C_{\boldsymbol\xi,\ell}^{-1}\,\mathbf H_\ell\right)^{-1}, + \qquad + \mathbf H_\ell=\frac{\partial\boldsymbol\xi_\ell^{\mathrm{loc}}}{\partial\mathbf p}\in\mathbb R^{2\times3}, +\end{equation} +% +其中 $\mathbf C_{\boldsymbol\xi,\ell}$ 为第 $\ell$ 颗星本地 \gls{doa} 的单阵列 \gls{crb}。该基线放弃跨星数据级融合，故 $\operatorname{CRB}_{\mathrm{DoA}}(\mathbf p)\succeq\operatorname{CRB}(\mathbf p)$（集中式为更紧下界）；它作为分布式/低回传处理的精度地板，与集中式构成``精度--回传''对照。推导见\appref{subsec:H4_doaFusion}。 + \subsection{多用户堆叠} 推广到 $K$ 个单天线用户，只需把每个用户的位置与参考 Doppler 独立堆叠： @@ -106,4 +123,4 @@ % 第 $\ell$ 颗卫星对第 $k$ 个用户的空时模板 $\mathbf g_{\ell,k}=\mathbf q_{\ell,k}\otimes\mathbf a_\ell(\mathbf p_k)$、集中似然对各星 $\mathbf G_\ell=[\mathbf g_{\ell,1},\ldots,\mathbf g_{\ell,K}]$ 列空间的投影、以及用户分离可辨识性，全部与第~\ref{sec:multiSatMultiUser} 节及\appref{subsec:E2_multiUserMultiSatCrb} 逐字平行，只把 $\boldsymbol\xi_k$ 换成 $\mathbf p_k$。 -本节完成了从全局方向到用户三维位置的输出参数化：阵列信号模型、参考星 Doppler、集中似然与 \gls{efim} 框架全部继承自多星静态主线，唯一变动的是``位置经逐星视线映射诱导各星本地角与差分 Doppler''这一几何层；全局方向模型为其远场极限。这正是多星阵列对多用户单天线定位所需的模型接口；时间戳误差与多帧连续相位扩展可正交叠加于此。 +本节完成了从全局方向到用户三维位置的输出参数化：阵列信号模型、参考星 Doppler、集中似然与 \gls{efim} 框架全部继承自多星静态主线，唯一变动的是``位置经逐星视线映射诱导各星本地角与差分 Doppler''这一几何层；全局方向模型为其远场极限。这正是多星阵列对多用户单天线定位所需的模型接口；多帧连续相位扩展可正交叠加于此。星间定时误差因主要作用于差分 Doppler 与跨星测距、而非各星本地 \gls{doa}，其对位置估计的影响构成下一节的内容。