From 8c24f6b090f92b8bca975ad7e6dd8641b2d24e82 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Josh Gao <josh_gao@foxmail.com>
Date: Mon, 15 Jun 2026 19:40:58 +0800
Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?fix(symbol):=20=E7=AC=AC=201=20=E8=8A=82?=
 =?UTF-8?q?=E4=BF=A1=E6=BA=90=E6=94=B9=E7=94=A8=20x=5Ft/X=20=E4=B8=8E=20R?=
 =?UTF-8?q?=5Fx?=
MIME-Version: 1.0
Content-Type: text/plain; charset=UTF-8
Content-Transfer-Encoding: 8bit

第 1 节原用 s_t/S 表示确定信号源、P 表示随机源协方差，
与符号索引 A 表及附录 D 冲突：后者用 x_t/X/x_k(t) 表示信源、
R_x 表示源协方差，而 s_k(t) 已保留给第 2 节起的已知导频。
统一改为 x 体系，消除 s_k(t)（未知源 vs 已知导频）的同字形歧义，
也避免与第 3 节卫星位置矢量 s_ell 撞车。
---
 parts/sec1_singleArrayDoa.tex | 26 +++++++++++++-------------
 1 file changed, 13 insertions(+), 13 deletions(-)

diff --git a/parts/sec1_singleArrayDoa.tex b/parts/sec1_singleArrayDoa.tex
index 7e8cb52..f0b9944 100644
--- a/parts/sec1_singleArrayDoa.tex
+++ b/parts/sec1_singleArrayDoa.tex
@@ -20,7 +20,7 @@ $M$ 元阵列在第 $t$ 个快拍的接收向量记为
   \label{eq:single_arr_doa_model}
   \mathbf y_t
   =
-  \mathbf A(\bm{\Theta})\mathbf s_t + \mathbf n_t,
+  \mathbf A(\bm{\Theta})\mathbf x_t + \mathbf n_t,
   \qquad t=0,1,\ldots,T-1,
 \end{equation}
 其中：
@@ -33,15 +33,15 @@ $M$ 元阵列在第 $t$ 个快拍的接收向量记为
     \left[\mathbf a(\bm{\theta}_1),\ldots,\mathbf a(\bm{\theta}_K)\right]
     \in \mathbb C^{M\times K}
   $，其中 $\mathbf a(\bm{\theta}_k)$ 为第 $k$ 个信源对应的导向矢量；
-  \item 信源快拍 $\mathbf s_t=[s_1(t),\ldots,s_K(t)]^\Tran\in\mathbb C^{K\times 1}$，作为确定性未知量；
+  \item 信源快拍 $\mathbf x_t=[x_1(t),\ldots,x_K(t)]^\Tran\in\mathbb C^{K\times 1}$，作为确定性未知量；
   \item 噪声向量 $\mathbf n_t\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma_n^2\mathbf I_M)$。
 \end{itemize}
 
 将所有快拍按列堆叠得到矩阵形式
 \begin{equation}
-  \mathbf Y = \mathbf A(\bm{\Theta})\mathbf S + \mathbf N,
+  \mathbf Y = \mathbf A(\bm{\Theta})\mathbf X + \mathbf N,
 \end{equation}
-其中 $\mathbf Y\in\mathbb C^{M\times T}$、$\mathbf S\in\mathbb C^{K\times T}$、$\mathbf N\in\mathbb C^{M\times T}$ 为相应的堆叠矩阵。
+其中 $\mathbf Y\in\mathbb C^{M\times T}$、$\mathbf X\in\mathbb C^{K\times T}$、$\mathbf N\in\mathbb C^{M\times T}$ 为相应的堆叠矩阵。
 本节待估主参数为
 \begin{equation*}
   \boldsymbol\eta
@@ -50,7 +50,7 @@ $M$ 元阵列在第 $t$ 个快拍的接收向量记为
   =
   \left[\bm\theta_1^\Tran,\ldots,\bm\theta_K^\Tran\right]^\Tran,
 \end{equation*}
-干扰参数为信源快拍 $\{\mathbf s_t\}$ 与噪声方差 $\sigma_n^2$。
+干扰参数为信源快拍 $\{\mathbf x_t\}$ 与噪声方差 $\sigma_n^2$。
 
 \subsection{阵列模型：ULA 与 UPA}
 \label{subsec:single_arr_array_model}
@@ -114,29 +114,29 @@ $M$ 元阵列在第 $t$ 个快拍的接收向量记为
 
 \subsection{对数似然与确定最大似然准则}
 
-记 $\sigma\triangleq\sigma_n^2$。由 $\mathbf n_t\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma\mathbf I_M)$ 及 $\mathbf s_t$ 的确定性假设，有 $\mathbf y_t\sim\mathcal{CN}(\mathbf A(\bm\Theta)\mathbf s_t,\sigma\mathbf I_M)$。各快拍独立，对数似然为
+记 $\sigma\triangleq\sigma_n^2$。由 $\mathbf n_t\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma\mathbf I_M)$ 及 $\mathbf x_t$ 的确定性假设，有 $\mathbf y_t\sim\mathcal{CN}(\mathbf A(\bm\Theta)\mathbf x_t,\sigma\mathbf I_M)$。各快拍独立，对数似然为
 \begin{equation}
   \label{eq:det_ml_log_likelihood}
-  \ln \mathcal L(\sigma,\{\mathbf s_t\},\bm\Theta)
+  \ln \mathcal L(\sigma,\{\mathbf x_t\},\bm\Theta)
   =
   \mathrm{Const}
   -MT\ln\sigma
-  -\frac{1}{\sigma}\sum_{t=0}^{T-1}\left\|\mathbf y_t-\mathbf A(\bm\Theta)\mathbf s_t\right\|_2^2.
+  -\frac{1}{\sigma}\sum_{t=0}^{T-1}\left\|\mathbf y_t-\mathbf A(\bm\Theta)\mathbf x_t\right\|_2^2.
 \end{equation}
 对应的 \gls{dml}/\gls{cml} 优化问题为
 \begin{alignat}{2}
   \label{eq:det_ml_doa_opt}
-  &\minimize_{\bm\Theta,\{\mathbf s_t\},\sigma} \quad &&
+  &\minimize_{\bm\Theta,\{\mathbf x_t\},\sigma} \quad &&
   MT\ln\sigma
   +
-  \frac{1}{\sigma}\sum_{t=0}^{T-1}\left\|\mathbf y_t-\mathbf A(\bm\Theta)\mathbf s_t\right\|_2^2.
+  \frac{1}{\sigma}\sum_{t=0}^{T-1}\left\|\mathbf y_t-\mathbf A(\bm\Theta)\mathbf x_t\right\|_2^2.
 \end{alignat}
 
 \subsection{集中似然与投影残差准则}
 
-我们关心的是 $\bm\Theta$，因此把信源快拍 $\{\mathbf s_t\}$ 与噪声方差 $\sigma$ 视为干扰参数集中消去。对固定的 $\bm\Theta$，逐一最小化得到的闭式解为
+我们关心的是 $\bm\Theta$，因此把信源快拍 $\{\mathbf x_t\}$ 与噪声方差 $\sigma$ 视为干扰参数集中消去。对固定的 $\bm\Theta$，逐一最小化得到的闭式解为
 \begin{equation}
-  \widehat{\mathbf s}_t(\bm\Theta)
+  \widehat{\mathbf x}_t(\bm\Theta)
   =
   \left(\mathbf A^\Herm\mathbf A\right)^{-1}\mathbf A^\Herm\mathbf y_t,
   \qquad
@@ -168,6 +168,6 @@ $\mathcal P_{\mathbf A}$ 是导向矩阵列空间的正交投影算子，将贯
 \subsection{随机信号模型的对比与取舍}
 \label{subsec:sml_contrast}
 
-经典文献中另一条主线是随机信号模型，即把 $\mathbf s_t$ 视为零均值复高斯过程 $\mathbf s_t\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\mathbf P)$。此时观测协方差为 $\mathbf R(\bm\Theta)=\mathbf A(\bm\Theta)\mathbf P\mathbf A^\Herm(\bm\Theta)+\sigma\mathbf I_M$，\gls{sml} 似然只通过 $\mathbf R(\bm\Theta)$ 依赖参数，从而只能识别信号子空间而非信号波形。
+经典文献中另一条主线是随机信号模型，即把 $\mathbf x_t$ 视为零均值复高斯过程 $\mathbf x_t\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\mathbf R_x)$。此时观测协方差为 $\mathbf R(\bm\Theta)=\mathbf A(\bm\Theta)\mathbf R_x\mathbf A^\Herm(\bm\Theta)+\sigma\mathbf I_M$，\gls{sml} 似然只通过 $\mathbf R(\bm\Theta)$ 依赖参数，从而只能识别信号子空间而非信号波形。
 一旦引入 Doppler，时间相位项 $e^{j\nu_k t}$ 会被随机信号波形的统计平均吸收，DoA 与 Doppler 不可分离；这是本笔记后续主线选择确定信号假设（已知训练序列/导频）的根本原因。
 随机信号 DoA 估计与其 \gls{crb} 仅作为对照保留在附录~\ref{sec:sto_doa_crb} 中供查阅，不再进入第~\ref{sec:det_doa_doppler_est} 节及之后的主线。