From 8c448b0c4a58f7e04948eef22c198eefcd04280e Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Josh Gao Date: Mon, 22 Jun 2026 12:27:04 +0800 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?content(symbol):=20=E4=B8=80=E9=98=B6=E5=AF=BC?= =?UTF-8?q?=E6=95=B0=E8=AE=B0=E5=8F=B7=E7=BB=9F=E4=B8=80=E4=B8=BA=E5=88=86?= =?UTF-8?q?=E5=AD=90=E5=B8=83=E5=B1=80=20Jacobian?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit 点号 \dot 仅表对时间求速率；参数/角度导数改用分子布局 Jacobian ∂f/∂x^T。D 单阵、E 多星静态导数小节据此重排，附录 A 增第 14 条记号规则。 --- parts/A-symbolIndex.tex | 3 +- parts/D-singleArrayCrb.tex | 36 +++--- parts/E-multiSatStaticCrb.tex | 199 +++++++++++++--------------------- 3 files changed, 94 insertions(+), 144 deletions(-) diff --git a/parts/A-symbolIndex.tex b/parts/A-symbolIndex.tex index 9922956..72109f3 100644 --- a/parts/A-symbolIndex.tex +++ b/parts/A-symbolIndex.tex @@ -525,7 +525,7 @@ 上标 $\mathrm{cp}$ & continuous-phase，即连续相位模型。\\ 上标 $\mathrm{ip}$ & independent-phase，即独立相位基线模型。\\ 下标 $\mathrm{mu}$ & multi-user，多用户场景下的主参数或干扰参数分组。\\ - 上标 $\mathrm{te}$ & timestamp-error，对时间戳误差 $\delta_\ell$ 求导得到的模板，如 $\dot{\mathbf q}^{\mathrm{te}}$。\\ + 上标 $\mathrm{te}$ & timestamp-error，标记对时间戳误差 $\delta_\ell$ 求导（$\partial/\partial\delta_\ell$）得到的模板，如 $\mathbf q^{\mathrm{te}}$。\\ 上标 $\mathrm{str}$ & structured，即保留结构化公共相位或幅度约束后的模型或残差。\\ 上标 $\mathrm{rel}$ & relaxed，即放松块复干扰系数 结构后的模型或残差。\\ 上标 $\mathrm{pro}$ & profiled，即已经对部分干扰参数作轮廓化处理的似然或目标函数。\\ @@ -572,6 +572,7 @@ 11 & \gls{crb} 协方差矩阵保留 $\mathbf C$；空时导向矩阵不再使用 $\mathbf C$，统一写为 $\mathbf B_{\mathrm{st}}$。\\ 12 & 未知复标量增益统一使用 $\zeta$；$\rho$ 只表示极坐标分解下的非负实幅度，不表示额外的自由复幅度参数。CP 与 IP 的幅度分别写为 $\rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}$ 和 $\rho_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}$。\\ 13 & 旋转矩阵统一写为 $\boldsymbol{\Omega}_\ell$，不再使用 $\mathbf{Q}_\ell$；$\mathbf{Q}$ 保留给波束成形章节中的人工噪声协方差矩阵，避免符号冲突。\\ + 14 & 一阶导数采用分子布局 Jacobian：$\partial\mathbf f/\partial\mathbf x^\Tran$ 行随 $\mathbf f$、列随 $\mathbf x$，链式法则即矩阵相乘。点号 $\dot{(\cdot)}$ 仅表对时间的速率（如 $\dot\nu$、$\dot{\mathbf v}$），不表对参数或角度的导数。阵列流形对本地角的导数写 $\partial\mathbf a_\ell/\partial(\boldsymbol\xi_\ell^{\mathrm{loc}})^\Tran$、对全局角写 $\partial\mathbf a_\ell/\partial\boldsymbol\xi^\Tran$，由本地--全局角 Jacobian 链式相乘。\\ \end{longtable} \endgroup diff --git a/parts/D-singleArrayCrb.tex b/parts/D-singleArrayCrb.tex index ef4ed3e..20aa3c1 100644 --- a/parts/D-singleArrayCrb.tex +++ b/parts/D-singleArrayCrb.tex @@ -306,11 +306,12 @@ \end{array} &\mathcal{I}_{\theta\theta} \end{array} \right], + \label{eq:single_det_fim_full} \end{align} % 其中 $\text{CRB}(\sigma) = \dfrac{\sigma^2}{MT}$，$\mathbf{H} = \dfrac{2}{\sigma}\mathbf{A}^\Herm \mathbf{A}$，$\bm{\Delta}_t = \dfrac{2}{\sigma} \mathbf{A}^\Herm \mathbf{D} \mathbf{X}_t$，$\mathcal{I}_{\theta\theta} = \dfrac{2}{\sigma}\displaystyle\sum_{t=1}^T \Re\left[ \mathbf{X}_t^\Herm \mathbf{D}^\Herm \mathbf{D} \mathbf{X}_t \right]$。注意到，由于噪声方差和其他各参量的联合二阶偏导数为零，因此噪声方差这个参量不会通过 Schur 补影响 $\bm{\theta}$，也即可以只考虑除噪声方差之外的参量构成的 \gls{fim}。 -目标是通过 Schur 补消去确定信号快拍 $\{\mathbf x_t\}_{t=1}^T$，得到关于 $\bm\theta$ 的 \gls{efim}；随后对该 \gls{efim} 求逆，得到 $\bm\theta$ 的 \gls{crb} 协方差矩阵。将上式按 $(\bm\theta,\{\mathbf x_t\})$ 重新分块，对应的 \gls{fim} 子块为 +目标是通过 Schur 补消去确定信号快拍 $\{\mathbf x_t\}_{t=1}^T$，得到关于 $\bm\theta$ 的 \gls{efim}；随后对该 \gls{efim} 求逆，得到 $\bm\theta$ 的 \gls{crb} 协方差矩阵。将 \eqref{eq:single_det_fim_full} 按 $(\bm\theta,\{\mathbf x_t\})$ 重新分块，对应的 \gls{fim} 子块为 % \begin{equation*} \mathcal{I}_{\psi\psi}=\left[ \begin{array}{c:c:c} @@ -501,32 +502,21 @@ 由 $[\mathbf q_k(\nu_k)]_t=s_k(t)e^{j\nu_k t}$ 可得 % \begin{equation} - \dot{\mathbf q}_k - \triangleq \frac{\partial\mathbf q_k(\nu_k)}{\partial\nu_k} = j\mathbf T_d\mathbf q_k(\nu_k). \end{equation} % -再定义空间导向矢量和空时导向列向量的一阶导数为 +空时导向列向量对各源自身角度 $\theta_k$ 与 Doppler $\nu_k$ 的一阶导数为 % \begin{equation} - \dot{\mathbf a}_k - \triangleq - \frac{\partial\mathbf a(\theta_k)}{\partial\theta_k}, -\end{equation} -\begin{equation} - \dot{\mathbf b}_{\mathrm{st},\theta_k} - \triangleq \frac{\partial\mathbf b_{\mathrm{st},k}}{\partial\theta_k} = - \mathbf q_k(\nu_k)\otimes\dot{\mathbf a}_k, + \mathbf q_k(\nu_k)\otimes\frac{\partial\mathbf a(\theta_k)}{\partial\theta_k}, \qquad - \dot{\mathbf b}_{\mathrm{st},\nu_k} - \triangleq \frac{\partial\mathbf b_{\mathrm{st},k}}{\partial\nu_k} = - \dot{\mathbf q}_k\otimes\mathbf a(\theta_k). + \frac{\partial\mathbf q_k(\nu_k)}{\partial\nu_k}\otimes\mathbf a(\theta_k). \end{equation} % 进一步写成矩阵形式 @@ -535,8 +525,8 @@ \mathbf B_{\mathrm{st},\theta} \triangleq \left[ - \dot{\mathbf b}_{\mathrm{st},\theta_1},\ldots, - \dot{\mathbf b}_{\mathrm{st},\theta_K} + \frac{\partial\mathbf b_{\mathrm{st},1}}{\partial\theta_1},\ldots, + \frac{\partial\mathbf b_{\mathrm{st},K}}{\partial\theta_K} \right] \in\mathbb C^{MT\times K}, \end{equation} @@ -544,8 +534,8 @@ \mathbf B_{\mathrm{st},\nu} \triangleq \left[ - \dot{\mathbf b}_{\mathrm{st},\nu_1},\ldots, - \dot{\mathbf b}_{\mathrm{st},\nu_K} + \frac{\partial\mathbf b_{\mathrm{st},1}}{\partial\nu_1},\ldots, + \frac{\partial\mathbf b_{\mathrm{st},K}}{\partial\nu_K} \right] \in\mathbb C^{MT\times K}. \end{equation} @@ -668,6 +658,7 @@ - \mathcal I_{\theta\nu}\mathcal I_{\nu\nu}^{-1}\mathcal I_{\nu\theta} \right)^{-1}. + \label{eq:single_det_doa_crb_schur} \end{equation} % 类似地，若只关心 Doppler，并把 \gls{doa} 视为实值干扰参数，则 @@ -686,9 +677,9 @@ $\mathbf B_{\mathrm{st},\nu}\mathbf D_\zeta$ 当作具有任意复系数的未知子空间并直接写成复投影 $\mathcal P_{[\mathbf B_{\mathrm{st}},\mathbf B_{\mathrm{st},\nu}\mathbf D_\zeta]}^\perp$。 正确做法是先消去复增益，再在实值参数 \gls{efim} 中对 Doppler 做 Schur 补。 -若 Doppler 已知，则 \gls{doa} 的 \gls{crb} 为 $\mathcal I_{\theta\theta}^{-1}$；若 Doppler 未知，则上式中的 Schur 补体现了 \gls{doa}--Doppler 耦合带来的信息损失。 +若 Doppler 已知，则 \gls{doa} 的 \gls{crb} 为 $\mathcal I_{\theta\theta}^{-1}$；若 Doppler 未知，则 \eqref{eq:single_det_doa_crb_schur} 中的 Schur 补体现了 \gls{doa}--Doppler 耦合带来的信息损失。 -当 $\boldsymbol\nu$ 已知且固定为 $\mathbf0$ 时，本模型退化为带已知时间导频权重的确定信号 \gls{doa} 模型；若 $\boldsymbol\nu$ 未知，即使在真实值 $\boldsymbol\nu=\mathbf0$ 处，Doppler 仍会通过导数 $\dot{\mathbf q}_k=j\mathbf T_d\mathbf q_k$ 作为干扰参数影响 \gls{doa} 的 \gls{crb}。 +当 $\boldsymbol\nu$ 已知且固定为 $\mathbf0$ 时，本模型退化为带已知时间导频权重的确定信号 \gls{doa} 模型；若 $\boldsymbol\nu$ 未知，即使在真实值 $\boldsymbol\nu=\mathbf0$ 处，Doppler 仍会通过导数 $\partial\mathbf q_k/\partial\nu_k=j\mathbf T_d\mathbf q_k$ 作为干扰参数影响 \gls{doa} 的 \gls{crb}。 该单阵列空时 \gls{crb} 说明 \gls{doa} 与 Doppler 的耦合会通过 Schur 补造成信息损失。多星静态和动态 \gls{crb} 在结构上延续这一思想，但将独立的 $\nu_k$ 替换为参考星参数化下的 $\nu_{\mathrm{ref}}$，并进一步处理多星复增益、连续相位和 Doppler rate 等干扰参数。 @@ -761,9 +752,10 @@ $\mathcal P_{[\mathbf B_{\mathrm{st}},\mathbf B_{\mathrm{st},\nu}\mathbf D_\zeta \mathcal{S}_{\boldsymbol\psi} = \left\{ \mathbf{A} \mathbf{X} \mathbf{A}^\Herm + \mu \mathbf{I}_M \mid \mathbf{X} = \mathbf{X}^\Herm, \mu \in \mathbb{R} \right\} \subseteq \mathrm{span}_{\mathbb R} \left\{ \mathbf{a}_i \mathbf{a}_j^\Herm,\; j\le i,\; \mathbf I_M \right\}, + \label{eq:single_sml_perturbation_set} \end{equation} % -这个集合包含了所有可能由信源协方差和噪声功率变化引起的接收信号协方差变化。由于 $\Delta\mathbf R_x$ 必须保持 Hermitian，上式中的张成应理解为 Hermitian 矩阵集合上的实线性张成，本文称该集合为\emph{干扰参数扰动子空间}。 +这个集合包含了所有可能由信源协方差和噪声功率变化引起的接收信号协方差变化。由于 $\Delta\mathbf R_x$ 必须保持 Hermitian，\eqref{eq:single_sml_perturbation_set} 中的张成应理解为 Hermitian 矩阵集合上的实线性张成，本文称该集合为\emph{干扰参数扰动子空间}。 它描述了协方差矩阵由于干扰参数变化所能移动的所有方向。 Schur 补 $\mathcal{I}_{\mathrm e} diff --git a/parts/E-multiSatStaticCrb.tex b/parts/E-multiSatStaticCrb.tex index 81c1e68..3726783 100644 --- a/parts/E-multiSatStaticCrb.tex +++ b/parts/E-multiSatStaticCrb.tex @@ -156,28 +156,17 @@ $\zeta_\ell\in\mathbb C$ 为第 $\ell$ 条链路的未知复干扰系数，$\sig \end{bmatrix}, \end{equation} % -其关于全局角度参数的一阶导数为 +本小节采用分子布局的 Jacobian 记号：对向量值函数 $\mathbf f$ 与参数向量 $\mathbf x$，$\partial\mathbf f/\partial\mathbf x^\Tran$ 的行随 $\mathbf f$ 分量、列随 $\mathbf x$ 分量，链式法则即对应 Jacobian 的矩阵相乘；角度部分记 $\boldsymbol\xi=[\alpha,\beta]^\Tran$。其关于全局角度的 Jacobian 为 % \begin{equation} - \mathbf u_{\alpha} - \triangleq - \frac{\partial \mathbf u}{\partial \alpha} + \frac{\partial \mathbf u}{\partial \boldsymbol\xi^\Tran} = \begin{bmatrix} - -\cos\beta\sin\alpha \\ - \cos\beta\cos\alpha \\ - 0 - \end{bmatrix}, - \qquad - \mathbf u_{\beta} - \triangleq - \frac{\partial \mathbf u}{\partial \beta} - = - \begin{bmatrix} - -\sin\beta\cos\alpha \\ - -\sin\beta\sin\alpha \\ - \cos\beta - \end{bmatrix}. + -\cos\beta\sin\alpha & -\sin\beta\cos\alpha \\ + \cos\beta\cos\alpha & -\sin\beta\sin\alpha \\ + 0 & \cos\beta + \end{bmatrix} + \in\mathbb R^{3\times2}. \end{equation} 根据第~\ref{subsec:refSatParameterization} 小节的参考星参数化，静态模型中第 $\ell$ 颗卫星对应的归一化 Doppler 统一写成 @@ -198,27 +187,20 @@ $\zeta_\ell\in\mathbb C$ 为第 $\ell$ 条链路的未知复干扰系数，$\sig \nu_{\mathrm{ref}}. \end{equation} % -因此其一阶导数统一写为 +因此其关于主参数 $\boldsymbol\eta=[\boldsymbol\xi^\Tran,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$ 的 Jacobian（行向量）为 % \begin{equation} - \frac{\partial \nu_\ell}{\partial \alpha} + \frac{\partial \nu_\ell}{\partial \boldsymbol\eta^\Tran} = - \frac{\partial \Delta\nu_\ell(\boldsymbol\xi)}{\partial \alpha}, - \qquad - \frac{\partial \nu_\ell}{\partial \beta} - = - \frac{\partial \Delta\nu_\ell(\boldsymbol\xi)}{\partial \beta}, - \qquad - \frac{\partial \nu_\ell}{\partial \nu_{\mathrm{ref}}}=1. + \begin{bmatrix} + \dfrac{\partial \Delta\nu_\ell(\boldsymbol\xi)}{\partial \boldsymbol\xi^\Tran} + & 1 + \end{bmatrix} + \in\mathbb R^{1\times3}, \label{eq:A6_domega} \end{equation} % -上式利用了正文中采用的 -$\nu_\ell=\nu_{\mathrm{ref}}+\Delta\nu_\ell(\boldsymbol\xi)$ -这一参考星链路参数化形式。特别地，对参考星有 -$\Delta\nu_{\ell_{\mathrm{ref}}}(\boldsymbol\xi)=0$，因而 -$\partial\nu_{\ell_{\mathrm{ref}}}/\partial\alpha=0$、 -$\partial\nu_{\ell_{\mathrm{ref}}}/\partial\beta=0$。若改用别的等价参数化，只需将上述三个 Doppler 链式导数替换为对应结果即可。 +其中末元 $\partial\nu_\ell/\partial\nu_{\mathrm{ref}}=1$ 来自参考星链路参数化 $\nu_\ell=\nu_{\mathrm{ref}}+\Delta\nu_\ell(\boldsymbol\xi)$。特别地，对参考星 $\Delta\nu_{\ell_{\mathrm{ref}}}(\boldsymbol\xi)=0$，故其角度部分 $\partial\Delta\nu_{\ell_{\mathrm{ref}}}/\partial\boldsymbol\xi^\Tran=\mathbf 0$。若改用别的等价参数化，只需替换该 Doppler Jacobian 即可。 再定义第 $\ell$ 颗卫星本地坐标系下的来向向量 % @@ -244,55 +226,61 @@ $\partial\nu_{\ell_{\mathrm{ref}}}/\partial\beta=0$。若改用别的等价参 \arcsin\big(u_{\ell,3}^{\mathrm{loc}}\big). \end{equation} -对任意 $x\in\{\alpha,\beta\}$，有 +记本地角向量 $\boldsymbol\xi_\ell^{\mathrm{loc}}=[\alpha_\ell^{\mathrm{loc}},\beta_\ell^{\mathrm{loc}}]^\Tran$。本地来向对全局角的 Jacobian 为 % \begin{equation} - \frac{\partial \mathbf u_\ell^{\mathrm{loc}}}{\partial x} + \frac{\partial \mathbf u_\ell^{\mathrm{loc}}}{\partial \boldsymbol\xi^\Tran} = - \boldsymbol{\Omega}_\ell^{\Tran}\mathbf u_x. + \boldsymbol{\Omega}_\ell^{\Tran}\frac{\partial \mathbf u}{\partial \boldsymbol\xi^\Tran} + \in\mathbb R^{3\times2}. + \label{eq:A6_uloc_jac} \end{equation} % -进一步可得 +对其第 $i$ 行 $\partial u_{\ell,i}^{\mathrm{loc}}/\partial \boldsymbol\xi^\Tran$ 应用 atan2/arcsin 链式法则，得本地角对全局角的 Jacobian % \begin{equation} - \frac{\partial \alpha_\ell^{\mathrm{loc}}}{\partial x} + \frac{\partial \boldsymbol\xi_\ell^{\mathrm{loc}}}{\partial \boldsymbol\xi^\Tran} = - \frac{ - u_{\ell,1}^{\mathrm{loc}}\,\dfrac{\partial u_{\ell,2}^{\mathrm{loc}}}{\partial x} - - - u_{\ell,2}^{\mathrm{loc}}\,\dfrac{\partial u_{\ell,1}^{\mathrm{loc}}}{\partial x} - }{ - \big(u_{\ell,1}^{\mathrm{loc}}\big)^2 + \big(u_{\ell,2}^{\mathrm{loc}}\big)^2 - }, - \qquad - \frac{\partial \beta_\ell^{\mathrm{loc}}}{\partial x} - = - \frac{\dfrac{\partial u_{\ell,3}^{\mathrm{loc}}}{\partial x}}{\sqrt{1-\big(u_{\ell,3}^{\mathrm{loc}}\big)^2}}. + \begin{bmatrix} + \dfrac{ + u_{\ell,1}^{\mathrm{loc}}\,\dfrac{\partial u_{\ell,2}^{\mathrm{loc}}}{\partial \boldsymbol\xi^\Tran} + - + u_{\ell,2}^{\mathrm{loc}}\,\dfrac{\partial u_{\ell,1}^{\mathrm{loc}}}{\partial \boldsymbol\xi^\Tran} + }{ + \big(u_{\ell,1}^{\mathrm{loc}}\big)^2 + \big(u_{\ell,2}^{\mathrm{loc}}\big)^2 + } + \\[1.2em] + \dfrac{\partial u_{\ell,3}^{\mathrm{loc}}/\partial \boldsymbol\xi^\Tran}{\sqrt{1-\big(u_{\ell,3}^{\mathrm{loc}}\big)^2}} + \end{bmatrix} + \in\mathbb R^{2\times2}, \label{eq:A6_local_angle_chain} \end{equation} +% +其中 $\partial u_{\ell,i}^{\mathrm{loc}}/\partial\boldsymbol\xi^\Tran$ 为 \eqref{eq:A6_uloc_jac} 的第 $i$ 行。 -记局部阵列导向矢量关于局部方位角和局部俯仰角的一阶导数分别为 +阵列导向矢量 $\mathbf a_\ell$ 仅通过本地角 $\boldsymbol\xi_\ell^{\mathrm{loc}}$ 进入，其关于本地角的 Jacobian（阵列流形 Jacobian）为 % \begin{equation} - \dot{\mathbf a}_{\ell,\alpha} - \triangleq - \frac{\partial \mathbf a_\ell}{\partial \alpha_\ell^{\mathrm{loc}}}, - \qquad - \dot{\mathbf a}_{\ell,\beta} - \triangleq - \frac{\partial \mathbf a_\ell}{\partial \beta_\ell^{\mathrm{loc}}}. + \frac{\partial \mathbf a_\ell}{\partial (\boldsymbol\xi_\ell^{\mathrm{loc}})^\Tran} + = + \begin{bmatrix} + \dfrac{\partial \mathbf a_\ell}{\partial \alpha_\ell^{\mathrm{loc}}} + & + \dfrac{\partial \mathbf a_\ell}{\partial \beta_\ell^{\mathrm{loc}}} + \end{bmatrix} + \in\mathbb C^{M_\ell\times2}. + \label{eq:A6_a_local_jac} \end{equation} % -则对任意 $x\in\{\alpha,\beta\}$，根据链式法则有 +由链式法则，$\mathbf a_\ell$ 关于全局角的 Jacobian 为 % \begin{equation} - \mathbf a_{\ell,x} - \triangleq - \frac{\partial \mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi)}{\partial x} + \frac{\partial \mathbf a_\ell}{\partial \boldsymbol\xi^\Tran} = - \dot{\mathbf a}_{\ell,\alpha}\frac{\partial \alpha_\ell^{\mathrm{loc}}}{\partial x} - + - \dot{\mathbf a}_{\ell,\beta}\frac{\partial \beta_\ell^{\mathrm{loc}}}{\partial x}. + \frac{\partial \mathbf a_\ell}{\partial (\boldsymbol\xi_\ell^{\mathrm{loc}})^\Tran} + \, + \frac{\partial \boldsymbol\xi_\ell^{\mathrm{loc}}}{\partial \boldsymbol\xi^\Tran} + \in\mathbb C^{M_\ell\times2}. \label{eq:A6_da_chain} \end{equation} @@ -305,82 +293,49 @@ $\partial\nu_{\ell_{\mathrm{ref}}}/\partial\beta=0$。若改用别的等价参 \qquad t=0,1,\ldots,T-1. \end{equation} % -因此其关于 $\nu_\ell$ 的导数为 +因此其关于链路 Doppler $\nu_\ell$ 的导数为 % \begin{equation} - \dot{\mathbf q}_\ell - \triangleq \frac{\partial \mathbf q_\ell}{\partial \nu_\ell} = - j\,\operatorname{diag}(0,1,\ldots,T-1)\,\mathbf q_\ell. + j\,\operatorname{diag}(0,1,\ldots,T-1)\,\mathbf q_\ell + \in\mathbb C^{T\times1}. \label{eq:A6_qdot} \end{equation} % -从而对任意 $x\in\{\alpha,\beta\}$，有 +由 Doppler 链 $\nu_\ell=\nu_{\mathrm{ref}}+\Delta\nu_\ell(\boldsymbol\xi)$，$\mathbf q_\ell$ 关于主参数的 Jacobian 为 % \begin{equation} - \mathbf q_{\ell,x} - \triangleq - \frac{\partial \mathbf q_\ell}{\partial x} + \frac{\partial \mathbf q_\ell}{\partial \boldsymbol\eta^\Tran} = - \dot{\mathbf q}_\ell\frac{\partial \nu_\ell}{\partial x}, - \qquad - \mathbf q_{\ell,\nu} - \triangleq - \frac{\partial \mathbf q_\ell}{\partial \nu_{\mathrm{ref}}} - = - \dot{\mathbf q}_\ell\frac{\partial \nu_\ell}{\partial \nu_{\mathrm{ref}}} - = - \dot{\mathbf q}_\ell. + \frac{\partial \mathbf q_\ell}{\partial \nu_\ell} + \, + \frac{\partial \nu_\ell}{\partial \boldsymbol\eta^\Tran} + \in\mathbb C^{T\times3}, \label{eq:A6_dq} \end{equation} % -其中最后一步同样利用了 -$\partial \nu_\ell/\partial \nu_{\mathrm{ref}}=1$。 +其中 $\partial\nu_\ell/\partial\boldsymbol\eta^\Tran$ 取 \eqref{eq:A6_domega}；其角度部分记 $\partial\mathbf q_\ell/\partial\boldsymbol\xi^\Tran=(\partial\mathbf q_\ell/\partial\nu_\ell)\,(\partial\nu_\ell/\partial\boldsymbol\xi^\Tran)\in\mathbb C^{T\times2}$，$\nu_{\mathrm{ref}}$ 列因 $\partial\nu_\ell/\partial\nu_{\mathrm{ref}}=1$ 即 $\partial\mathbf q_\ell/\partial\nu_\ell$。 -对空时导向向量 -$\mathbf g_\ell=\mathbf q_\ell\otimes \mathbf a_\ell$ -应用 Kronecker 积求导法则，可得 -% -\begin{equation} - \mathbf d_{\ell,\alpha} - \triangleq - \frac{\partial \mathbf g_\ell}{\partial \alpha} - = - \mathbf q_\ell \otimes \mathbf a_{\ell,\alpha} - + - \mathbf q_{\ell,\alpha} \otimes \mathbf a_\ell, -\end{equation} -\begin{equation} - \mathbf d_{\ell,\beta} - \triangleq - \frac{\partial \mathbf g_\ell}{\partial \beta} - = - \mathbf q_\ell \otimes \mathbf a_{\ell,\beta} - + - \mathbf q_{\ell,\beta} \otimes \mathbf a_\ell, -\end{equation} -\begin{equation} - \mathbf d_{\ell,\nu} - \triangleq - \frac{\partial \mathbf g_\ell}{\partial \nu_{\mathrm{ref}}} - = - \mathbf q_{\ell,\nu} \otimes \mathbf a_\ell - = - \dot{\mathbf q}_\ell \otimes \mathbf a_\ell. -\end{equation} -% -进一步定义 +对空时导向向量 $\mathbf g_\ell=\mathbf q_\ell\otimes \mathbf a_\ell$ 应用 Kronecker 积求导法则。注意 $\mathbf a_\ell$ 不依赖 $\nu_{\mathrm{ref}}$、$\mathbf q_\ell$ 不依赖角度，其关于主参数 $\boldsymbol\eta$ 的 Jacobian 按角度块与 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 列分块为 % \begin{equation} \mathbf D_\ell \triangleq + \frac{\partial \mathbf g_\ell}{\partial \boldsymbol\eta^\Tran} + = \begin{bmatrix} - \mathbf d_{\ell,\alpha} & \mathbf d_{\ell,\beta} & \mathbf d_{\ell,\nu} + \mathbf q_\ell\otimes\dfrac{\partial \mathbf a_\ell}{\partial \boldsymbol\xi^\Tran} + + + \dfrac{\partial \mathbf q_\ell}{\partial \boldsymbol\xi^\Tran}\otimes\mathbf a_\ell + & + \dfrac{\partial \mathbf q_\ell}{\partial \nu_\ell}\otimes\mathbf a_\ell \end{bmatrix} - \in \mathbb C^{M_\ell T \times 3}. + \in \mathbb C^{M_\ell T \times 3}, \label{eq:A6_Dl} \end{equation} +% +其中角度块（前两列）由 \eqref{eq:A6_da_chain} 与 \eqref{eq:A6_dq} 的角度部分给出，$\nu_{\mathrm{ref}}$ 列（第三列）因 $\partial\mathbf a_\ell/\partial\nu_{\mathrm{ref}}=\mathbf 0$ 简化为 $(\partial\mathbf q_\ell/\partial\nu_\ell)\otimes\mathbf a_\ell$。此处用到 Kronecker 混合积：$\mathbf q_\ell\otimes(\partial\mathbf a_\ell/\partial\boldsymbol\xi^\Tran)$ 的第 $k$ 列为 $\mathbf q_\ell\otimes[\partial\mathbf a_\ell/\partial\boldsymbol\xi^\Tran]_{:,k}$，$(\partial\mathbf q_\ell/\partial\boldsymbol\xi^\Tran)\otimes\mathbf a_\ell$ 同理。 \subsubsection{Fisher 信息矩阵的分块构造} @@ -751,9 +706,10 @@ $\mathbf J_{\psi,\ell}$ 的实参数化二维实子空间与复矩阵 $\mathbf G \mathcal P_{\mathbf G_\ell}^\perp \mathbf D_{\ell,k'} \Big\}. + \label{eq:E2_Ieff_block} \end{equation} % -复系数 $\zeta_{\ell,k}^*\zeta_{\ell,k'}$ 必须保留在 $\Re\{\cdot\}$ 内，因为它和右侧厄米积都是一般复值，不能逐因子取实部。$K=1$ 时 $\zeta_\ell^*\zeta_\ell=|\zeta_\ell|^2$ 退化为实数，可提到 $\Re\{\cdot\}$ 外，此时上式即回到 \eqref{eq:A6_Ieff_final} 的单用户基线。 +复系数 $\zeta_{\ell,k}^*\zeta_{\ell,k'}$ 必须保留在 $\Re\{\cdot\}$ 内，因为它和右侧厄米积都是一般复值，不能逐因子取实部。$K=1$ 时 $\zeta_\ell^*\zeta_\ell=|\zeta_\ell|^2$ 退化为实数，可提到 $\Re\{\cdot\}$ 外，此时 \eqref{eq:E2_Ieff_block} 即回到 \eqref{eq:A6_Ieff_final} 的单用户基线。 \subsubsection{用户分离的可辨识性条件} @@ -767,7 +723,7 @@ $\mathbf J_{\psi,\ell}$ 的实参数化二维实子空间与复矩阵 $\mathbf G % \gls{efim} 非奇异 $\Leftrightarrow$ 联合矩阵 $[\bar{\mathbf J}_{\eta,0}^\Tran,\ldots,\bar{\mathbf J}_{\eta,L-1}^\Tran]^\Tran$ 列满秩，即 ``$3K\le \sum_\ell M_\ell T$ 且不同用户的白化 score 之间不存在跨星全局共线性''。 -正文第~\ref{subsec:userSeparability} 小节给出的几何陈述——``两个用户在所有 $L$ 颗星上相干度 $\rho_{\ell,kk'}\to 1$ 时分离失效''——可由此式严格化：当某对 $(k,k')$ 满足 +正文第~\ref{subsec:userSeparability} 小节给出的几何陈述——``两个用户在所有 $L$ 颗星上相干度 $\rho_{\ell,kk'}\to 1$ 时分离失效''——可严格化为：当某对 $(k,k')$ 满足 % \begin{equation} \mathcal P_{\mathbf G_\ell}^\perp\mathbf g_{\ell,k} @@ -788,9 +744,10 @@ $\mathbf J_{\psi,\ell}$ 的实参数化二维实子空间与复矩阵 $\mathbf G = \mathcal I_{\mathrm e}^{-1}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}) \in\mathbb R^{3K\times 3K}. + \label{eq:E2_crb_mu} \end{equation} % -若只关心第 $k$ 个用户的 \gls{doa} $\boldsymbol\xi_k$，先把上式按 $(\boldsymbol\xi_k,\text{其余})$ 分块再取 Schur 补 +若只关心第 $k$ 个用户的 \gls{doa} $\boldsymbol\xi_k$，先把 \eqref{eq:E2_crb_mu} 按 $(\boldsymbol\xi_k,\text{其余})$ 分块再取 Schur 补 % \begin{equation} \operatorname{CRB}(\boldsymbol\xi_k)