content(app-G): 补全局部可辨识与时间退化解释

复用实切空间投影，说明有限距离模型中的幅相及未知 rate 消元。给出单有效采样和双采样单帧退化，保留 IP 块内斜率与不同帧时刻的恢复条件。

扩展现有 NumPy 确定性检查；SyncTeX 编译通过，无断引用。例子不替代实际配置验收，不增加 MC。

check_finite_range_bearing.py

@@ -224,7 +224,46 @@ def main():
     mixed_jac = np.linalg.lstsq(DESIGN, [
         mixed_motion(x, t, 1)[9]-mixed_motion(x, t, 0)[9] for t in TIMES], rcond=None)[0]
     check("mixed fixed-design OLS Jacobian", mixed_jac, finite_difference(mixed_coeff, x))
-    print("PASS: synthetic local formula checks; code-side geometry and CP/IP acceptance still required.")
+    # Appendix G: independent block phases remove constants, not intra-block slopes.
+    for nodes, starts, expected_rank in [([0.], [0., 3.], 0),
+                                         ([0., 2.], [0.], 1),
+                                         ([0., 2.], [0., 3.], 2),
+                                         ([0., 2.], [0., 3e-4], 2)]:
+        blocks, weights, centers = [], [], []
+        n = np.array(nodes)
+        for ell in range(2):
+            f, rate = z[2:]+coefficients(x, ell)[0]
+            for start in starts:
+                w = geometry(x, start, ell)[0]
+                a = np.exp(-2j*np.pi*ARRAY@w/WAVELENGTH)
+                mu = np.kron(np.exp(2j*np.pi*((f+rate*start)*n+.5*rate*n*n)), a)
+                J = np.column_stack((1j*np.repeat(n, len(a))*mu,
+                                     1j*np.repeat(start*n+.5*n*n, len(a))*mu))
+                projected = J-mu[:, None]*(mu.conj()@J/(mu.conj()@mu))[None, :]
+                expected = np.column_stack((
+                    1j*np.repeat(n-n.mean(), len(a))*mu,
+                    1j*np.repeat(start*(n-n.mean())+.5*(n*n-(n*n).mean()), len(a))*mu))
+                check("IP centered temporal scores", projected, expected)
+                blocks.append(projected)
+                weights.append(2*np.linalg.norm(projected[:, 0])**2)
+                centers.append(start+(n[-1]/2))
+        J = np.vstack(blocks)
+        real_J = np.vstack((J.real, J.imag))*np.sqrt(2)
+        assert np.linalg.matrix_rank(real_J, tol=1e-10) == expected_rank
+        if len(n) == 2:
+            weights, centers = np.array(weights), np.array(centers)
+            I = real_J.T@real_J
+            vectors = np.column_stack((np.ones(len(centers)), centers))
+            check("two-sample temporal information", I, vectors.T@(weights[:, None]*vectors))
+            residual = real_J[:, 0]-real_J[:, 1]*(I[1, 0]/I[1, 1])
+            check("real rate Schur complement", residual@residual,
+                  I[0, 0]-I[0, 1]**2/I[1, 1])
+            if expected_rank == 1:
+                check("single-frame exact frequency/rate cancellation", J@np.array([1., -1.]),
+                      np.zeros(len(J)))
+            elif starts[-1] < 1e-3:
+                assert 0 < residual@residual/I[0, 0] < 1e-7
+    print("PASS: synthetic local formula and temporal-rank checks; code-side geometry and CP/IP acceptance still required.")
 
 
 if __name__ == "__main__":

parts/G-userPositionCrb.tex

@@ -467,6 +467,95 @@ Doppler 部分，由 $\nu_\ell=\nu_{\mathrm{ref}}+\Delta\nu_\ell(\mathbf p)$ 与
 
 因此，\appref{sec:multiFrameCrb} 的 CP/IP 幅相结构、非负幅度的集中似然、实参数 \gls{fim} 与 Schur 补、实化投影以及 \eqref{eq:A7_real_rank_condition} 的秩判据继续适用；改变的是均值及两角导数的几何映射。结构化 CP 的同星公共相位不能按每块自由复增益消去。SS/MS 比较须保持参考星、源状态、采样与噪声协议相同；单星参考链路的相对系数恒为零，既有 K/U 正交性在相同窄带与幅相假设下仍成立，多星数值损失须重算。
 
+\paragraph{局部一阶可辨识与时间退化}
+在可见交点横截、角坐标非奇异、有效块幅度为正且噪声协方差正定的工作点，令
+$\boldsymbol\eta=[\alpha,\beta,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$。
+将有限距离均值的目标导数和全部幅相、未知参考 rate 导数按
+\eqref{eq:A7_realified_jacobians} 白化并实化为 $\mathbf A,\mathbf B$，则
+%
+\begin{equation}
+  \label{eq:G_bearing_local_identifiability}
+  \mathcal I_{\mathrm e}\succ0
+  \quad\Longleftrightarrow\quad
+  \operatorname{rank}(\mathcal P_{\mathbf B}^{\perp}\mathbf A)=3
+  \quad\Longleftrightarrow\quad
+  \nexists\ \delta\boldsymbol\eta\ne\mathbf0,\ \delta\boldsymbol\psi\in\mathbb R^{\dim\boldsymbol\psi_\mu}:
+  \mathbf A\delta\boldsymbol\eta=\mathbf B\delta\boldsymbol\psi.
+\end{equation}
+%
+因此，要检验的是消元后三列的实线性独立性，而非原始角导数或阵列流形是否独立。
+CP-U 的幅度列、同星共享相位列和实值 rate 列须保持原有约束；
+IP-U 可先按逐块复增益投影，再对实值 rate 消元。
+此判据只涉及局部一阶均值变化，不排除相位周期造成的远处分支，也不保证有限样本估计器达到界。
+
+具体看 IP 的时间导数。设块内有效采样索引为 $n$，帧起点为 $\tau_p$，
+阵列响应在该块冻结，导频已知且不随候选变化。用 $|s_p(n)|^2$ 加权的块内平均记为
+$\langle\cdot\rangle_p$，均值的阵元分量记为 $\mu_{\ell,p,m,n}$。
+消去逐块自由幅相后，参考频移和参考 rate 的导数分量为
+%
+\begin{equation}
+  \label{eq:G_bearing_ip_centered_scores}
+  \begin{aligned}
+  {}[\widetilde{\mathbf J}_{\nu}]_{\ell,p,m,n}
+    &=j\big(n-\langle n\rangle_p\big)\mu_{\ell,p,m,n},\\
+  [\widetilde{\mathbf J}_{\dot\nu}]_{\ell,p,m,n}
+    &=j\left[\tau_p\big(n-\langle n\rangle_p\big)
+       +\frac{1}{2}\big(n^2-\langle n^2\rangle_p\big)\right]\mu_{\ell,p,m,n}.
+  \end{aligned}
+\end{equation}
+%
+这里采用块内白噪声和 phase-only 模板，逐星有限距离的相对系数及其角导数仍按
+\eqref{eq:G_bearing_window_ols} 计算。块相位消去的是常相位项，不是一般的块内频率斜率。
+空间阵元之间的相位差也不会被一个块相位全部消去。
+
+一个精确退化例子是每块仅有一个有效时间样本，例如各帧导频只在 $n=0$ 非零。
+取任意互异帧时刻、任意固定星集、可见非切向交点和任意阵列，包括能提供两个角信息的平面阵列。
+IP-U 逐块相位自由且参考 rate 未知，此时 \eqref{eq:G_bearing_ip_centered_scores} 的两列都为零，
+参考频移方向 $\delta\boldsymbol\eta=[0,0,1]^\Tran$ 的有效信息为零。
+即使增加星数或帧数也不能在这一采样协议中恢复参考频移信息。
+对 CP-U，跨帧相位并非自由，不能照搬这一结论。
+
+另一个例子保留块内时间差：各块只有 $n=0,h$ 两个有效样本，$h>0$，两处导频均非零。
+此时 $n^2=hn$，故逐块有
+%
+\begin{equation}
+  \label{eq:G_bearing_two_sample_degeneracy}
+  \widetilde{\mathbf J}_{\dot\nu,\ell,p}
+    =c_p\widetilde{\mathbf J}_{\nu,\ell,p},
+  \qquad c_p=\tau_p+\frac{h}{2}.
+\end{equation}
+%
+若只观测 $\tau_0=0$ 的一帧，则 $c_0=h/2\ne0$。
+取 $\delta\nu_{\mathrm{ref}}=1$、$\delta\dot\nu_{\mathrm{ref}}=-2/h$，保持两角不变，
+两个采样点的时间相位变化均为零。CP-U 和 IP-U 在单帧具有相同的幅相自由度，
+因此两者三维目标 \gls{efim} 都秩亏，无论阵列或多星几何是否能提供角信息。
+这里可辨识的是该帧中点频移的组合，而不是同时未知 rate 时在帧起点定义的参考频移。
+相对频移系数的拟合仍使用预先固定、满列秩的几何节点设计，不将单帧观测误作单节点斜率拟合。
+
+若 IP 的有效帧有不同起点，式~\eqref{eq:G_bearing_two_sample_degeneracy} 的比例也不同。
+为单独检验时间机制，暂时固定两角，令
+$w_{\ell,p}=\dfrac{2\|\widetilde{\mathbf J}_{\nu,\ell,p}\|_2^2}{\sigma_\ell}>0$，
+其中 $\sigma_\ell$ 为该星噪声复方差。消去块幅相后的频移--rate 信息为
+%
+\begin{equation}
+  \label{eq:G_bearing_two_sample_temporal_info}
+  \mathbf I_{\nu,\dot\nu}
+    =\sum_{\ell,p}w_{\ell,p}
+      \begin{bmatrix}1&c_p\\c_p&c_p^2\end{bmatrix},
+  \qquad
+  I_{\nu,\mathrm e}
+    =\sum_{\ell,p}w_{\ell,p}
+      -\frac{\left(\sum_{\ell,p}w_{\ell,p}c_p\right)^2}
+             {\sum_{\ell,p}w_{\ell,p}c_p^2}.
+\end{equation}
+%
+第二式要求分母非零；若 rate 列为零，直接用实投影判据。
+至少两个正权重块的 $c_p$ 不同即可解除这一时间列的精确比例关系，
+但两角未知时仍须对完整三列执行 \eqref{eq:G_bearing_local_identifiability}，不能据此保证整体满秩。
+在固定单位和参数尺度下，帧起点集中在同一个非零 $c_p$ 附近时，参考频移的信息接近零；
+这是病态而非必然秩亏。统一增加噪声复方差只缩放信息，不改变精确秩。
+阵列基线、逐星视线和相对 Doppler 导数决定剩余角信息，不能只凭星数或帧数判定可辨识。
+
 \paragraph{经纬度误差与完整协方差变换}
 对同一已知高度、分支和 $t_0$，令 $\boldsymbol\xi=h(\boldsymbol\vartheta)$。将星到源单位向量记为 $\mathbf e_r=(\mathbf p_0-\mathbf s_r)/r_r=-\mathbf w_r$，有
 %