josh/doa_doppler_est
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content(symbol): 正文缩写裸短形式统一为 \gls

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正文已定义缩写（EFIM/CRB/FIM/MUSIC/ESPRIT/MLE/ULA/UPA）的裸短形式共
128 处改用 \gls{key}。排除：section 标题、数学模式记号与下标（如
\mathrm{CDML}、\mathrm{UPA}）、\caption 题注、"全称（缩写）"并列释义，
以及 \ref/\eqref/\label/\cite 标签键（键内 _EFIM 等会被误伤）。
diff 为 1:1 替换，两遍编译无 undefined references。
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josh
2026-06-16 15:14:47 +08:00
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commit 9ec08b9423
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parts/D-singleArrayCrb.tex
+13 -13
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@@ -262,7 +262,7 @@
\end{matrix} \right],
\end{equation}
%
其中 $\bm{\theta}$ 为目标参数，$\bm{\psi}$ 为扰动（nuisance）参数，可以通过 Schur 补获得 CRB
其中 $\bm{\theta}$ 为目标参数，$\bm{\psi}$ 为扰动（nuisance）参数，可以通过 Schur 补获得 \gls{crb}
%
\begin{equation}
\label{eq:schur_complement}
@@ -309,7 +309,7 @@
%
其中 $\text{CRB}(\sigma) = \dfrac{\sigma^2}{MT}$，$\mathbf{H} = \dfrac{2}{\sigma}\mathbf{A}^\Herm \mathbf{A}$，$\bm{\Delta}_t = \dfrac{2}{\sigma} \mathbf{A}^\Herm \mathbf{D} \mathbf{X}_t$，$\mathcal{I}_{\theta\theta} = \dfrac{2}{\sigma}\displaystyle\sum_{t=1}^T \Re\left[ \mathbf{X}_t^\Herm \mathbf{D}^\Herm \mathbf{D} \mathbf{X}_t \right]$。注意到，由于噪声方差和其他各参量的联合二阶偏导数为零，因此噪声方差这个参量不会通过 Schur 补影响 $\bm{\theta}$，也即可以只考虑除噪声方差之外的参量构成的 \gls{fim}。
目标是通过 Schur 补消去确定信号快拍 $\{\mathbf x_t\}_{t=1}^T$，得到关于 $\bm\theta$ 的 \gls{efim}；随后对该 \gls{efim} 求逆，得到 $\bm\theta$ 的 CRB 协方差矩阵。将上式按 $(\bm\theta,\{\mathbf x_t\})$ 重新分块，对应的 \gls{fim} 子块为
目标是通过 Schur 补消去确定信号快拍 $\{\mathbf x_t\}_{t=1}^T$，得到关于 $\bm\theta$ 的 \gls{efim}；随后对该 \gls{efim} 求逆，得到 $\bm\theta$ 的 \gls{crb} 协方差矩阵。将上式按 $(\bm\theta,\{\mathbf x_t\})$ 重新分块，对应的 \gls{fim} 子块为
%
\begin{equation*}
\mathcal{I}_{\psi\psi}=\left[ \begin{array}{c:c:c}
@@ -416,11 +416,11 @@
%
其中 $\odot$ 表示 Hadamard 积。
该结果是单阵列确定信号 \gls{doa} 的条件 CRB 基线。后续单阵列 \gls{doa}--Doppler 和多星 \gls{doa}--Doppler 的 CRB 推导会沿用``先构造完整 Fisher 信息，再对干扰参数做 Schur 补''的处理方式。
该结果是单阵列确定信号 \gls{doa} 的条件 \gls{crb} 基线。后续单阵列 \gls{doa}--Doppler 和多星 \gls{doa}--Doppler 的 \gls{crb} 推导会沿用``先构造完整 Fisher 信息，再对干扰参数做 Schur 补''的处理方式。
\subsection{确定信号 DoA--Doppler CRB}
\label{sec:det_doa_doppler_crb}
本附录对应第~\ref{sec:det_doa_doppler_est} 节的单阵列确定信号 \gls{doa}--Doppler 模型，是从纯空间 CRB 过渡到空时 CRB 的中间层。由式~\eqref{eq:vec_det_doa_doppler_recv_sig}，向量化观测满足
本附录对应第~\ref{sec:det_doa_doppler_est} 节的单阵列确定信号 \gls{doa}--Doppler 模型，是从纯空间 \gls{crb} 过渡到空时 \gls{crb} 的中间层。由式~\eqref{eq:vec_det_doa_doppler_recv_sig}，向量化观测满足
%
\begin{equation}
\tilde{\mathbf y}
@@ -481,7 +481,7 @@
\frac{MT}{\sigma^2},
\end{equation}
%
且噪声方差与均值参数的 Fisher 交叉项为零。因此后续只需构造均值参数部分的 FIM。
且噪声方差与均值参数的 Fisher 交叉项为零。因此后续只需构造均值参数部分的 \gls{fim}。
\subsubsection{偏导数求取}
@@ -605,7 +605,7 @@
\frac{2}{\sigma}\Re\{\mathbf J_{\mathrm{mean}}^\Herm\mathbf J_{\mathrm{mean}}\}.
\end{equation}
%
由于 $\mathbf B_{\mathrm{st}}$ 与 $j\mathbf B_{\mathrm{st}}$ 对应未知复增益的实部和虚部，消去复增益后，$\boldsymbol\eta_{\theta\nu}$ 的 EFIM 为
由于 $\mathbf B_{\mathrm{st}}$ 与 $j\mathbf B_{\mathrm{st}}$ 对应未知复增益的实部和虚部，消去复增益后，$\boldsymbol\eta_{\theta\nu}$ 的 \gls{efim} 为
%
\begin{equation}
\label{eq:single_det_doa_doppler_efim_theta_nu}
@@ -657,7 +657,7 @@
\mathcal I_{\mathrm e}^{-1}(\boldsymbol\eta_{\theta\nu}).
\end{equation}
%
若只关心 \gls{doa}，并把 Doppler 视为实值干扰参数，则应在式~\eqref{eq:single_det_doa_doppler_efim_theta_nu} 的实值 EFIM 上对 $\boldsymbol\nu$ 做 Schur 补：
若只关心 \gls{doa}，并把 Doppler 视为实值干扰参数，则应在式~\eqref{eq:single_det_doa_doppler_efim_theta_nu} 的实值 \gls{efim} 上对 $\boldsymbol\nu$ 做 Schur 补：
%
\begin{equation}
\operatorname{CRB}(\bm\theta)
@@ -684,12 +684,12 @@
需要注意，$\boldsymbol\nu$ 是实值干扰参数，因此不能把
$\mathbf B_{\mathrm{st},\nu}\mathbf D_\zeta$ 当作具有任意复系数的未知子空间并直接写成复投影
$\mathcal P_{[\mathbf B_{\mathrm{st}},\mathbf B_{\mathrm{st},\nu}\mathbf D_\zeta]}^\perp$。
正确做法是先消去复增益，再在实值参数 EFIM 中对 Doppler 做 Schur 补。
若 Doppler 已知，则 \gls{doa} 的 CRB 为 $\mathcal I_{\theta\theta}^{-1}$；若 Doppler 未知，则上式中的 Schur 补体现了 \gls{doa}--Doppler 耦合带来的信息损失。
正确做法是先消去复增益，再在实值参数 \gls{efim} 中对 Doppler 做 Schur 补。
若 Doppler 已知，则 \gls{doa} 的 \gls{crb} 为 $\mathcal I_{\theta\theta}^{-1}$；若 Doppler 未知，则上式中的 Schur 补体现了 \gls{doa}--Doppler 耦合带来的信息损失。
当 $\boldsymbol\nu$ 已知且固定为 $\mathbf0$ 时，本模型退化为带已知时间导频权重的确定信号 \gls{doa} 模型；若 $\boldsymbol\nu$ 未知，即使在真实值 $\boldsymbol\nu=\mathbf0$ 处，Doppler 仍会通过导数 $\dot{\mathbf q}_k=j\mathbf T_d\mathbf q_k$ 作为干扰参数影响 \gls{doa} 的 CRB。
当 $\boldsymbol\nu$ 已知且固定为 $\mathbf0$ 时，本模型退化为带已知时间导频权重的确定信号 \gls{doa} 模型；若 $\boldsymbol\nu$ 未知，即使在真实值 $\boldsymbol\nu=\mathbf0$ 处，Doppler 仍会通过导数 $\dot{\mathbf q}_k=j\mathbf T_d\mathbf q_k$ 作为干扰参数影响 \gls{doa} 的 \gls{crb}。
该单阵列空时 CRB 说明 \gls{doa} 与 Doppler 的耦合会通过 Schur 补造成信息损失。多星静态和动态 CRB 在结构上延续这一思想，但将独立的 $\nu_k$ 替换为参考星参数化下的 $\nu_{\mathrm{ref}}$，并进一步处理多星复增益、连续相位和 Doppler rate 等干扰参数。
该单阵列空时 \gls{crb} 说明 \gls{doa} 与 Doppler 的耦合会通过 Schur 补造成信息损失。多星静态和动态 \gls{crb} 在结构上延续这一思想，但将独立的 $\nu_k$ 替换为参考星参数化下的 $\nu_{\mathrm{ref}}$，并进一步处理多星复增益、连续相位和 Doppler rate 等干扰参数。
\subsection{随机信号 DoA CRB（对照支线）}
\label{sec:sto_doa_crb}
@@ -843,7 +843,7 @@ Schur 补 $\mathcal{I}_{\mathrm e}
\subsubsection{\texorpdfstring{\gls{efim} 求取}{EFIM 求取}}
下面先给出每个信源对应一个标量角参数 $\theta_k$ 的标准 stochastic CRB 形式。若某个信源使用二维或更高维方向参数，只需将下文的单索引 $k$ 扩展为参数索引 $(k,r)$，并把 $\mathbf d_k$ 替换为 $\partial\mathbf a(\bm\theta_k)/\partial[\bm\theta_k]_r$；Fisher 信息矩阵的元素级表达保持相同。
下面先给出每个信源对应一个标量角参数 $\theta_k$ 的标准 stochastic \gls{crb} 形式。若某个信源使用二维或更高维方向参数，只需将下文的单索引 $k$ 扩展为参数索引 $(k,r)$，并把 $\mathbf d_k$ 替换为 $\partial\mathbf a(\bm\theta_k)/\partial[\bm\theta_k]_r$；Fisher 信息矩阵的元素级表达保持相同。
接收信号协方差矩阵对角度的一阶偏导为
%
@@ -997,4 +997,4 @@ Schur 补 $\mathcal{I}_{\mathrm e}
\end{align}
%
该随机信号 CRB 与\ref{sec:det_doa_crb} 的确定信号 CRB 共同给出单阵列 \gls{doa} 的两类性能基线。多星主线后续采用确定信号/导频化模型，因此其 CRB 推导更接近\ref{sec:det_doa_crb} 和\ref{sec:det_doa_doppler_crb} 的处理方式。
该随机信号 \gls{crb} 与\ref{sec:det_doa_crb} 的确定信号 \gls{crb} 共同给出单阵列 \gls{doa} 的两类性能基线。多星主线后续采用确定信号/导频化模型，因此其 \gls{crb} 推导更接近\ref{sec:det_doa_crb} 和\ref{sec:det_doa_doppler_crb} 的处理方式。