content(symbol): 正文缩写裸短形式统一为 \gls
正文已定义缩写（EFIM/CRB/FIM/MUSIC/ESPRIT/MLE/ULA/UPA）的裸短形式共
128 处改用 \gls{key}。排除：section 标题、数学模式记号与下标（如
\mathrm{CDML}、\mathrm{UPA}）、\caption 题注、"全称（缩写）"并列释义，
以及 \ref/\eqref/\label/\cite 标签键（键内 _EFIM 等会被误伤）。
diff 为 1:1 替换，两遍编译无 undefined references。
This commit is contained in:
+10
-10
@@ -183,7 +183,7 @@
|
||||
$d$、$d_x$、$d_y$ & 阵元间距；$d$ 用于 \gls{ula}，$d_x,d_y$ 用于 \gls{upa}。\\
|
||||
$\lambda_{\mathrm{c}}$ & 载波波长，专门用于阵列相位项。\\
|
||||
$u_{x,k}$ 和 $u_{y,k}$ & \gls{upa} 平面内的方向余弦分量。\\
|
||||
$\mathbf B_{\mathrm{st}}(\bm\Theta,\boldsymbol\nu)$ & 空时导向矩阵或空时 steering/dictionary matrix，由各信源的空时导向列向量组成；该符号避免与 CRB 协方差矩阵 $\mathbf C$ 冲突。\\
|
||||
$\mathbf B_{\mathrm{st}}(\bm\Theta,\boldsymbol\nu)$ & 空时导向矩阵或空时 steering/dictionary matrix，由各信源的空时导向列向量组成；该符号避免与 \gls{crb} 协方差矩阵 $\mathbf C$ 冲突。\\
|
||||
$\mathbf b_{\mathrm{st},k}(\bm\theta_k,\nu_k)$ & 第 $k$ 个信源的空时导向列向量，通常由空间导向矢量与 Doppler 时间导向矢量 Kronecker 组合得到。此处下标 $\mathrm{st}$ 表示 space--time。\\
|
||||
$\mathbf h_{\ell,k}\in\mathbb C^{M_\ell}$ & 第 $k$ 个用户（单天线）到第 $\ell$ 颗卫星的上行等效信道向量；远场窄带假设下 $\mathbf h_{\ell,k}=\zeta_{\ell,k}\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi_k)$。参数估计侧使用 $\mathbf a_\ell$ 与 $\zeta_{\ell,k}$；波束成形侧合并为 $\mathbf h_{\ell,k}$。\\
|
||||
$\mathbf H_\ell\in\mathbb C^{M_\ell\times K}$ & 第 $\ell$ 颗卫星的上行信道矩阵，第 $k$ 列为 $\mathbf h_{\ell,k}$。\\
|
||||
@@ -250,7 +250,7 @@
|
||||
\label{subsec:assumptionRefSatParam}
|
||||
|
||||
多星 \gls{doa}--Doppler 主线采用参考星链路参数化，而不是星群质心或星群平均速度参数化。
|
||||
该约定用于保证单星基线、多星静态模型、多星多帧动态模型以及 CRB 推导均在同一参数域下比较。
|
||||
该约定用于保证单星基线、多星静态模型、多星多帧动态模型以及 \gls{crb} 推导均在同一参数域下比较。
|
||||
相关符号汇总于表~\ref{tab:refSatParamNotation}。
|
||||
|
||||
\begingroup
|
||||
@@ -362,7 +362,7 @@
|
||||
$\zeta_{\ell,k}$ & 多用户场景中第 $\ell$ 颗卫星对第 $k$ 个用户的未知复干扰系数；$K=1$ 时退化为 $\zeta_\ell$。\\
|
||||
$\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}$ & structured continuous-phase 模型中第 $(\ell,p)$ 个观测块的结构化复增益简写，定义为 $\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}\triangleq \rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}e^{j\chi_\ell}$；它不作为自由复参数估计，其相位部分在同一颗卫星的不同帧之间共享。\\
|
||||
$\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp,rel}}$ & relaxed continuous-phase 模型中第 $(\ell,p)$ 个观测块的自由复增益。 relaxed 版本应显式保留上标 $\mathrm{cp,rel}$，以区别于结构化 CP 和 IP 模型。\\
|
||||
$\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}$ & 独立相位模型中第 $(\ell,p)$ 个观测块的自由复增益。CRB 推导中可写为极坐标分解 $\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}\triangleq \rho_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}e^{j\vartheta_{\ell,p}}$。\\
|
||||
$\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}$ & 独立相位模型中第 $(\ell,p)$ 个观测块的自由复增益。\gls{crb} 推导中可写为极坐标分解 $\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}\triangleq \rho_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}e^{j\vartheta_{\ell,p}}$。\\
|
||||
\end{longtable}
|
||||
\endgroup
|
||||
|
||||
@@ -390,7 +390,7 @@
|
||||
|
||||
\subsection{模板向量、匹配统计量与残差符号}
|
||||
|
||||
后续 MLE、concentrated likelihood 和 CRB 推导中反复使用的模板、统计量和残差符号汇总于表~\ref{tab:templateResidualNotation}。
|
||||
后续 \gls{mle}、concentrated likelihood 和 \gls{crb} 推导中反复使用的模板、统计量和残差符号汇总于表~\ref{tab:templateResidualNotation}。
|
||||
|
||||
\begingroup
|
||||
\small
|
||||
@@ -438,7 +438,7 @@
|
||||
|
||||
\subsection{CRB、FIM 与有效信息符号}
|
||||
|
||||
附录中的确定信号、随机信号、静态 \gls{doa}--Doppler 与动态 \gls{doa}--Doppler CRB 推导使用表~\ref{tab:crbFimNotation} 中的统一统计符号。
|
||||
附录中的确定信号、随机信号、静态 \gls{doa}--Doppler 与动态 \gls{doa}--Doppler \gls{crb} 推导使用表~\ref{tab:crbFimNotation} 中的统一统计符号。
|
||||
本文约定 Fisher 信息矩阵使用 $\mathcal I$，Jacobian 矩阵保留 $\mathbf J$。
|
||||
|
||||
\begingroup
|
||||
@@ -453,7 +453,7 @@
|
||||
\textbf{符号} & \textbf{含义}\\
|
||||
\hline
|
||||
\endfirsthead
|
||||
\multicolumn{2}{l}{\small\tablename~\thetable{} CRB、FIM 与有效信息符号约定（续）}\\
|
||||
\multicolumn{2}{l}{\small\tablename~\thetable{} \gls{crb}、\gls{fim} 与有效信息符号约定（续）}\\
|
||||
\hline
|
||||
\textbf{符号} & \textbf{含义}\\
|
||||
\hline
|
||||
@@ -466,17 +466,17 @@
|
||||
$\mathcal I$ & Fisher 信息矩阵。\\
|
||||
$\mathcal I_{\eta\eta}$、$\mathcal I_{\eta\psi}$、$\mathcal I_{\psi\psi}$ & 按主参数与干扰参数分块后的 Fisher 信息矩阵子块。块标签直接作为下标书写。\\
|
||||
$\mathcal I_{\mathrm{e}}$ & 消去干扰参数后的 \gls{efim}。\\
|
||||
$\mathbf C$ & CRB 协方差矩阵，通常为 Fisher 信息矩阵或 \gls{efim} 的逆。\\
|
||||
$\mathbf C$ & \gls{crb} 协方差矩阵，通常为 Fisher 信息矩阵或 \gls{efim} 的逆。\\
|
||||
$\mathbf J$ & Jacobian 矩阵或导数矩阵，不再用于表示 Fisher 信息矩阵。\\
|
||||
$\boldsymbol\psi$ & 通用干扰参数向量。 在不同上下文中，它可包含信源复包络、复干扰系数、相位、Doppler rate 或噪声方差。\\
|
||||
$\boldsymbol\psi_\mu$ & 只影响均值向量的干扰参数子集。CRB 附录中若噪声方差与均值参数 Fisher 块解耦，则 Schur 补通常只显式保留 $\boldsymbol\psi_\mu$。\\
|
||||
$\boldsymbol\psi_\mu$ & 只影响均值向量的干扰参数子集。\gls{crb} 附录中若噪声方差与均值参数 Fisher 块解耦，则 Schur 补通常只显式保留 $\boldsymbol\psi_\mu$。\\
|
||||
$\boldsymbol\psi_{\mathrm{cp}}$ & 连续相位模型的干扰参数集合，通常包含 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$、$\{\chi_\ell\}$、$\{\rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}\}$ 与 $\{\sigma_{n,\ell}^2\}$。\\
|
||||
$\boldsymbol\psi_{\mathrm{ip}}$ & 独立相位模型的干扰参数集合，通常包含 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$、自由复增益 $\{\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}\}$ 或其等价极坐标参数 $\{\vartheta_{\ell,p},\rho_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}\}$，以及 $\{\sigma_{n,\ell}^2\}$。\\
|
||||
$\mathcal P_{\mathbf B}$ 和 $\mathcal P_{\mathbf B}^{\perp}$ & 到矩阵 $\mathbf B$ 列空间及其正交补的投影算子，定义为 $\mathcal P_{\mathbf B}=\mathbf B(\mathbf B^\Herm\mathbf B)^{-1}\mathbf B^\Herm$ 和 $\mathcal P_{\mathbf B}^{\perp}=\mathbf I-\mathcal P_{\mathbf B}$。当 $\mathbf B=\mathbf A$ 时得到空间导向矩阵投影；当 $\mathbf B=\mathbf B_{\mathrm{st}}$ 时得到空时导向矩阵投影。\\
|
||||
$\mathbf R$ 或 $\mathbf R_y$ & 随机信号模型中的观测协方差矩阵。\\
|
||||
$\mathbf R_x$ & 随机信号模型中的信源协方差矩阵。\\
|
||||
$\boldsymbol\epsilon_{\xi,k}=\hat{\boldsymbol\xi}_k-\boldsymbol\xi_k$ & 第 $k$ 个用户的 \gls{doa} 估计误差向量。\\
|
||||
$\mathbf C_{\xi,k}$ & 第 $k$ 个用户 \gls{doa} 估计的 CRB 协方差矩阵，即 EFIM 对 $\boldsymbol\xi_k$ 块的逆。该量作为波束成形鲁棒设计的理论上界。\\
|
||||
$\mathbf C_{\xi,k}$ & 第 $k$ 个用户 \gls{doa} 估计的 \gls{crb} 协方差矩阵，即 \gls{efim} 对 $\boldsymbol\xi_k$ 块的逆。该量作为波束成形鲁棒设计的理论上界。\\
|
||||
\end{longtable}
|
||||
\endgroup
|
||||
|
||||
@@ -573,7 +573,7 @@
|
||||
8 & Fisher 信息矩阵使用 $\mathcal I$，其分块下标直接书写，例如 $\mathcal I_{\eta\psi}$；$\mathbf J$ 保留给 Jacobian 或导数矩阵。\\
|
||||
9 & 投影算子使用 $\mathcal P$，例如 $\mathcal P_{\mathbf A}^{\perp}$。\\
|
||||
10 & relaxed continuous-phase 相关目标、残差和复增益应保留上标 $\mathrm{cp,rel}$，避免与 structured CP 或 IP 混淆。\\
|
||||
11 & CRB 协方差矩阵保留 $\mathbf C$；空时导向矩阵不再使用 $\mathbf C$，统一写为 $\mathbf B_{\mathrm{st}}$。\\
|
||||
11 & \gls{crb} 协方差矩阵保留 $\mathbf C$；空时导向矩阵不再使用 $\mathbf C$，统一写为 $\mathbf B_{\mathrm{st}}$。\\
|
||||
12 & 未知复标量增益统一使用 $\zeta$；$\rho$ 只表示极坐标分解下的非负实幅度，不表示额外的自由复幅度参数。CP 与 IP 的幅度分别写为 $\rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}$ 和 $\rho_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}$。\\
|
||||
13 & 旋转矩阵统一写为 $\boldsymbol{\Omega}_\ell$，不再使用 $\mathbf{Q}_\ell$；$\mathbf{Q}$ 保留给波束成形章节中的人工噪声协方差矩阵，避免符号冲突。\\
|
||||
\end{longtable}
|
||||
|
||||
@@ -1,7 +1,7 @@
|
||||
\section{背景知识}
|
||||
\label{sec:background}
|
||||
|
||||
本附录只整理后续似然函数与 \gls{crb} 推导反复使用的概率分布、Fisher 信息和 CRB 基础公式。这里的广义参数 $\theta$ 或 $\bm\theta$ 不代表多星主线中的全局 \gls{doa}；多星主线的方向参数仍以 $\boldsymbol\xi=[\alpha,\beta]^\Tran$ 为准。
|
||||
本附录只整理后续似然函数与 \gls{crb} 推导反复使用的概率分布、Fisher 信息和 \gls{crb} 基础公式。这里的广义参数 $\theta$ 或 $\bm\theta$ 不代表多星主线中的全局 \gls{doa}；多星主线的方向参数仍以 $\boldsymbol\xi=[\alpha,\beta]^\Tran$ 为准。
|
||||
|
||||
\subsection{高斯变量的 PDF}
|
||||
|
||||
@@ -264,4 +264,4 @@ $ 则 \gls{fim}可以表示为
|
||||
%
|
||||
其中 $\theta_i$ 表示 $\bm{\theta}$ 的第 $i$ 个分量。
|
||||
|
||||
以上公式构成后续各类 CRB 推导的公共工具箱。 \ref{sec:det_doa_crb}--\ref{sec:det_doa_doppler_crb} 将先把这些公式用于单阵列基线， \ref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb}--\ref{sec:A8_dynIndependentPhaseCrb} 再用于多星主线模型。
|
||||
以上公式构成后续各类 \gls{crb} 推导的公共工具箱。 \ref{sec:det_doa_crb}--\ref{sec:det_doa_doppler_crb} 将先把这些公式用于单阵列基线， \ref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb}--\ref{sec:A8_dynIndependentPhaseCrb} 再用于多星主线模型。
|
||||
|
||||
+10
-10
@@ -1,7 +1,7 @@
|
||||
\section{常用 DoA 估计方法}
|
||||
\label{sec:doa_methods}
|
||||
|
||||
本附录汇总 MVDR、MUSIC、ESPRIT 及其空时扩展形式，主要用于补充算法背景；综合性的子空间方法回顾可参见~\cite{krimTwoDecadesArray1996,vantreesOptimumArrayProcessing2002}。这里的算法记号服务于经典单阵列或空时阵列模型，不改变正文多星主线中 $\boldsymbol\xi$、$\nu_{\mathrm{ref}}$ 和 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 的参数分组。
|
||||
本附录汇总 MVDR、\gls{music}、\gls{esprit} 及其空时扩展形式，主要用于补充算法背景；综合性的子空间方法回顾可参见~\cite{krimTwoDecadesArray1996,vantreesOptimumArrayProcessing2002}。这里的算法记号服务于经典单阵列或空时阵列模型，不改变正文多星主线中 $\boldsymbol\xi$、$\nu_{\mathrm{ref}}$ 和 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 的参数分组。
|
||||
本附录的空间导向矢量已与正文统一采用 $e^{-j(\cdot)}$ 相位约定；但空时方法中的时间导向矢量 $\mathbf q_k(\nu_k)$ 取无导频加权的纯 Fourier 形式 $[1,e^{j\nu_k},\ldots,e^{j(T-1)\nu_k}]^\Tran$（经典子空间法不假设已知导频），与正文第~\ref{sec:det_doa_doppler_est} 节含已知导频 $s_k(t)$ 的同名 $\mathbf q_k$ 含义不同，仅在本附录局部使用。
|
||||
|
||||
\subsection{MVDR Algorithm\texorpdfstring{~\cite{caponHighResolutionFrequencyWavenumberSpectrum1969}}{}}
|
||||
@@ -239,7 +239,7 @@ Under ideal conditions, the steering vectors associated with the true source dir
|
||||
\label{eq:music_orthogonality}
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
Based on this orthogonality property, the MUSIC pseudospectrum is constructed as
|
||||
Based on this orthogonality property, the \gls{music} pseudospectrum is constructed as
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
P_{\mathrm{MUSIC}}(\theta)
|
||||
@@ -262,7 +262,7 @@ P_{\mathrm{MUSIC}}(\theta),
|
||||
\label{eq:music_estimation}
|
||||
\end{equation}
|
||||
|
||||
The MUSIC algorithm achieves high-resolution \gls{doa} estimation by exploiting the orthogonality between the array steering vectors and the noise subspace, and has been widely used in subspace-based array signal processing.
|
||||
The \gls{music} algorithm achieves high-resolution \gls{doa} estimation by exploiting the orthogonality between the array steering vectors and the noise subspace, and has been widely used in subspace-based array signal processing.
|
||||
|
||||
|
||||
\subsection{ESPRIT Algorithm\texorpdfstring{~\cite{royESPRITEstimationSignalParameters1989}}{}}
|
||||
@@ -308,7 +308,7 @@ where
|
||||
%
|
||||
with $d$ denoting the inter-element spacing and $\lambda_{\mathrm{c}}$ the carrier wavelength.
|
||||
|
||||
The ESPRIT algorithm exploits the translational invariance structure of the array. To this end, two maximally overlapped subarrays are constructed from the original ULA. Define the selection matrices
|
||||
The \gls{esprit} algorithm exploits the translational invariance structure of the array. To this end, two maximally overlapped subarrays are constructed from the original \gls{ula}. Define the selection matrices
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\mathbf{J}_1
|
||||
@@ -336,7 +336,7 @@ Then the corresponding subarray manifold matrices are
|
||||
\label{eq:esprit_subarray_manifolds}
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
Due to the shift invariance of the ULA, $\mathbf{A}_1$ and $\mathbf{A}_2$ satisfy
|
||||
Due to the shift invariance of the \gls{ula}, $\mathbf{A}_1$ and $\mathbf{A}_2$ satisfy
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\mathbf{A}_2
|
||||
@@ -465,7 +465,7 @@ where $\angle(\cdot)$ denotes the phase angle of a complex number. Finally, the
|
||||
\label{eq:esprit_theta_estimate}
|
||||
\end{equation}
|
||||
|
||||
Compared with MUSIC, the ESPRIT algorithm avoids explicit spectral search and directly retrieves the \gls{doa} parameters from the rotational invariance structure of the signal subspace, thereby offering lower computational complexity while maintaining high estimation accuracy.
|
||||
Compared with \gls{music}, the \gls{esprit} algorithm avoids explicit spectral search and directly retrieves the \gls{doa} parameters from the rotational invariance structure of the signal subspace, thereby offering lower computational complexity while maintaining high estimation accuracy.
|
||||
|
||||
|
||||
\subsection{Spatio-Temporal MUSIC Algorithm\texorpdfstring{~\cite{waxSpatioTemporalSpectralAnalysis1984}}{}}
|
||||
@@ -602,7 +602,7 @@ where $\mathbf{U}_s \in \mathbb{C}^{MT \times K}$ and $\mathbf{U}_n \in \mathbb{
|
||||
\label{eq:orthogonality_condition}
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
Based on this orthogonality property, the spatio-temporal MUSIC pseudospectrum is constructed as
|
||||
Based on this orthogonality property, the spatio-temporal \gls{music} pseudospectrum is constructed as
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
P_{\mathrm{ST\text{-}MUSIC}}(\theta,\nu)
|
||||
@@ -625,7 +625,7 @@ P_{\mathrm{ST\text{-}MUSIC}}(\theta,\nu),
|
||||
\label{eq:st_music_estimation}
|
||||
\end{equation}
|
||||
|
||||
Compared with conventional MUSIC, the spatio-temporal MUSIC algorithm exploits both the spatial array manifold and the temporal Doppler structure, thereby enabling joint angle-Doppler estimation in a unified subspace framework.
|
||||
Compared with conventional \gls{music}, the spatio-temporal \gls{music} algorithm exploits both the spatial array manifold and the temporal Doppler structure, thereby enabling joint angle-Doppler estimation in a unified subspace framework.
|
||||
|
||||
|
||||
\subsection{Spatio-Temporal ESPRIT Algorithm\texorpdfstring{~\cite{royESPRITEstimationSignalParameters1989,waxSpatioTemporalSpectralAnalysis1984}}{}}
|
||||
@@ -753,7 +753,7 @@ where $\mathbf{U}_s\in\mathbb{C}^{MT\times K}$ denotes the estimated signal subs
|
||||
\label{eq:st_esprit_subspace_relation}
|
||||
\end{equation}
|
||||
|
||||
The spatio-temporal ESPRIT algorithm exploits the shift invariance structure in both the spatial and temporal dimensions. First, define the spatial selection matrices
|
||||
The spatio-temporal \gls{esprit} algorithm exploits the shift invariance structure in both the spatial and temporal dimensions. First, define the spatial selection matrices
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\mathbf{J}_{s,1}
|
||||
@@ -966,6 +966,6 @@ where $\angle(\cdot)$ denotes the phase angle of a complex number. Finally, the
|
||||
\label{eq:st_esprit_theta_fd_estimation}
|
||||
\end{equation}
|
||||
|
||||
Compared with spatio-temporal MUSIC, the spatio-temporal ESPRIT algorithm avoids two-dimensional spectral search and directly retrieves the \gls{doa} and Doppler parameters from the rotational invariance structure of the spatio-temporal signal subspace, thereby achieving lower computational complexity.
|
||||
Compared with spatio-temporal \gls{music}, the spatio-temporal \gls{esprit} algorithm avoids two-dimensional spectral search and directly retrieves the \gls{doa} and Doppler parameters from the rotational invariance structure of the spatio-temporal signal subspace, thereby achieving lower computational complexity.
|
||||
|
||||
这些经典方法提供了谱搜索和子空间估计的算法背景，但本文多星主线的重点仍是似然建模、参考星参数化和 Fisher 信息分析。因此，附录中的方法可作为实现参考，而不是当前符号体系的定义来源。
|
||||
|
||||
+13
-13
@@ -262,7 +262,7 @@
|
||||
\end{matrix} \right],
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
其中 $\bm{\theta}$ 为目标参数，$\bm{\psi}$ 为扰动（nuisance）参数，可以通过 Schur 补获得 CRB
|
||||
其中 $\bm{\theta}$ 为目标参数，$\bm{\psi}$ 为扰动（nuisance）参数，可以通过 Schur 补获得 \gls{crb}
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\label{eq:schur_complement}
|
||||
@@ -309,7 +309,7 @@
|
||||
%
|
||||
其中 $\text{CRB}(\sigma) = \dfrac{\sigma^2}{MT}$，$\mathbf{H} = \dfrac{2}{\sigma}\mathbf{A}^\Herm \mathbf{A}$，$\bm{\Delta}_t = \dfrac{2}{\sigma} \mathbf{A}^\Herm \mathbf{D} \mathbf{X}_t$，$\mathcal{I}_{\theta\theta} = \dfrac{2}{\sigma}\displaystyle\sum_{t=1}^T \Re\left[ \mathbf{X}_t^\Herm \mathbf{D}^\Herm \mathbf{D} \mathbf{X}_t \right]$。注意到，由于噪声方差和其他各参量的联合二阶偏导数为零，因此噪声方差这个参量不会通过 Schur 补影响 $\bm{\theta}$，也即可以只考虑除噪声方差之外的参量构成的 \gls{fim}。
|
||||
|
||||
目标是通过 Schur 补消去确定信号快拍 $\{\mathbf x_t\}_{t=1}^T$，得到关于 $\bm\theta$ 的 \gls{efim}；随后对该 \gls{efim} 求逆，得到 $\bm\theta$ 的 CRB 协方差矩阵。将上式按 $(\bm\theta,\{\mathbf x_t\})$ 重新分块，对应的 \gls{fim} 子块为
|
||||
目标是通过 Schur 补消去确定信号快拍 $\{\mathbf x_t\}_{t=1}^T$，得到关于 $\bm\theta$ 的 \gls{efim}；随后对该 \gls{efim} 求逆，得到 $\bm\theta$ 的 \gls{crb} 协方差矩阵。将上式按 $(\bm\theta,\{\mathbf x_t\})$ 重新分块，对应的 \gls{fim} 子块为
|
||||
%
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
\mathcal{I}_{\psi\psi}=\left[ \begin{array}{c:c:c}
|
||||
@@ -416,11 +416,11 @@
|
||||
%
|
||||
其中 $\odot$ 表示 Hadamard 积。
|
||||
|
||||
该结果是单阵列确定信号 \gls{doa} 的条件 CRB 基线。后续单阵列 \gls{doa}--Doppler 和多星 \gls{doa}--Doppler 的 CRB 推导会沿用``先构造完整 Fisher 信息，再对干扰参数做 Schur 补''的处理方式。
|
||||
该结果是单阵列确定信号 \gls{doa} 的条件 \gls{crb} 基线。后续单阵列 \gls{doa}--Doppler 和多星 \gls{doa}--Doppler 的 \gls{crb} 推导会沿用``先构造完整 Fisher 信息，再对干扰参数做 Schur 补''的处理方式。
|
||||
|
||||
\subsection{确定信号 DoA--Doppler CRB}
|
||||
\label{sec:det_doa_doppler_crb}
|
||||
本附录对应第~\ref{sec:det_doa_doppler_est} 节的单阵列确定信号 \gls{doa}--Doppler 模型，是从纯空间 CRB 过渡到空时 CRB 的中间层。由式~\eqref{eq:vec_det_doa_doppler_recv_sig}，向量化观测满足
|
||||
本附录对应第~\ref{sec:det_doa_doppler_est} 节的单阵列确定信号 \gls{doa}--Doppler 模型，是从纯空间 \gls{crb} 过渡到空时 \gls{crb} 的中间层。由式~\eqref{eq:vec_det_doa_doppler_recv_sig}，向量化观测满足
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\tilde{\mathbf y}
|
||||
@@ -481,7 +481,7 @@
|
||||
\frac{MT}{\sigma^2},
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
且噪声方差与均值参数的 Fisher 交叉项为零。因此后续只需构造均值参数部分的 FIM。
|
||||
且噪声方差与均值参数的 Fisher 交叉项为零。因此后续只需构造均值参数部分的 \gls{fim}。
|
||||
|
||||
\subsubsection{偏导数求取}
|
||||
|
||||
@@ -605,7 +605,7 @@
|
||||
\frac{2}{\sigma}\Re\{\mathbf J_{\mathrm{mean}}^\Herm\mathbf J_{\mathrm{mean}}\}.
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
由于 $\mathbf B_{\mathrm{st}}$ 与 $j\mathbf B_{\mathrm{st}}$ 对应未知复增益的实部和虚部，消去复增益后，$\boldsymbol\eta_{\theta\nu}$ 的 EFIM 为
|
||||
由于 $\mathbf B_{\mathrm{st}}$ 与 $j\mathbf B_{\mathrm{st}}$ 对应未知复增益的实部和虚部，消去复增益后，$\boldsymbol\eta_{\theta\nu}$ 的 \gls{efim} 为
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\label{eq:single_det_doa_doppler_efim_theta_nu}
|
||||
@@ -657,7 +657,7 @@
|
||||
\mathcal I_{\mathrm e}^{-1}(\boldsymbol\eta_{\theta\nu}).
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
若只关心 \gls{doa}，并把 Doppler 视为实值干扰参数，则应在式~\eqref{eq:single_det_doa_doppler_efim_theta_nu} 的实值 EFIM 上对 $\boldsymbol\nu$ 做 Schur 补：
|
||||
若只关心 \gls{doa}，并把 Doppler 视为实值干扰参数，则应在式~\eqref{eq:single_det_doa_doppler_efim_theta_nu} 的实值 \gls{efim} 上对 $\boldsymbol\nu$ 做 Schur 补：
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\operatorname{CRB}(\bm\theta)
|
||||
@@ -684,12 +684,12 @@
|
||||
需要注意，$\boldsymbol\nu$ 是实值干扰参数，因此不能把
|
||||
$\mathbf B_{\mathrm{st},\nu}\mathbf D_\zeta$ 当作具有任意复系数的未知子空间并直接写成复投影
|
||||
$\mathcal P_{[\mathbf B_{\mathrm{st}},\mathbf B_{\mathrm{st},\nu}\mathbf D_\zeta]}^\perp$。
|
||||
正确做法是先消去复增益，再在实值参数 EFIM 中对 Doppler 做 Schur 补。
|
||||
若 Doppler 已知，则 \gls{doa} 的 CRB 为 $\mathcal I_{\theta\theta}^{-1}$；若 Doppler 未知，则上式中的 Schur 补体现了 \gls{doa}--Doppler 耦合带来的信息损失。
|
||||
正确做法是先消去复增益，再在实值参数 \gls{efim} 中对 Doppler 做 Schur 补。
|
||||
若 Doppler 已知，则 \gls{doa} 的 \gls{crb} 为 $\mathcal I_{\theta\theta}^{-1}$；若 Doppler 未知，则上式中的 Schur 补体现了 \gls{doa}--Doppler 耦合带来的信息损失。
|
||||
|
||||
当 $\boldsymbol\nu$ 已知且固定为 $\mathbf0$ 时，本模型退化为带已知时间导频权重的确定信号 \gls{doa} 模型；若 $\boldsymbol\nu$ 未知，即使在真实值 $\boldsymbol\nu=\mathbf0$ 处，Doppler 仍会通过导数 $\dot{\mathbf q}_k=j\mathbf T_d\mathbf q_k$ 作为干扰参数影响 \gls{doa} 的 CRB。
|
||||
当 $\boldsymbol\nu$ 已知且固定为 $\mathbf0$ 时，本模型退化为带已知时间导频权重的确定信号 \gls{doa} 模型；若 $\boldsymbol\nu$ 未知，即使在真实值 $\boldsymbol\nu=\mathbf0$ 处，Doppler 仍会通过导数 $\dot{\mathbf q}_k=j\mathbf T_d\mathbf q_k$ 作为干扰参数影响 \gls{doa} 的 \gls{crb}。
|
||||
|
||||
该单阵列空时 CRB 说明 \gls{doa} 与 Doppler 的耦合会通过 Schur 补造成信息损失。多星静态和动态 CRB 在结构上延续这一思想，但将独立的 $\nu_k$ 替换为参考星参数化下的 $\nu_{\mathrm{ref}}$，并进一步处理多星复增益、连续相位和 Doppler rate 等干扰参数。
|
||||
该单阵列空时 \gls{crb} 说明 \gls{doa} 与 Doppler 的耦合会通过 Schur 补造成信息损失。多星静态和动态 \gls{crb} 在结构上延续这一思想，但将独立的 $\nu_k$ 替换为参考星参数化下的 $\nu_{\mathrm{ref}}$，并进一步处理多星复增益、连续相位和 Doppler rate 等干扰参数。
|
||||
|
||||
\subsection{随机信号 DoA CRB（对照支线）}
|
||||
\label{sec:sto_doa_crb}
|
||||
@@ -843,7 +843,7 @@ Schur 补 $\mathcal{I}_{\mathrm e}
|
||||
|
||||
\subsubsection{\texorpdfstring{\gls{efim} 求取}{EFIM 求取}}
|
||||
|
||||
下面先给出每个信源对应一个标量角参数 $\theta_k$ 的标准 stochastic CRB 形式。若某个信源使用二维或更高维方向参数，只需将下文的单索引 $k$ 扩展为参数索引 $(k,r)$，并把 $\mathbf d_k$ 替换为 $\partial\mathbf a(\bm\theta_k)/\partial[\bm\theta_k]_r$；Fisher 信息矩阵的元素级表达保持相同。
|
||||
下面先给出每个信源对应一个标量角参数 $\theta_k$ 的标准 stochastic \gls{crb} 形式。若某个信源使用二维或更高维方向参数，只需将下文的单索引 $k$ 扩展为参数索引 $(k,r)$，并把 $\mathbf d_k$ 替换为 $\partial\mathbf a(\bm\theta_k)/\partial[\bm\theta_k]_r$；Fisher 信息矩阵的元素级表达保持相同。
|
||||
|
||||
接收信号协方差矩阵对角度的一阶偏导为
|
||||
%
|
||||
@@ -997,4 +997,4 @@ Schur 补 $\mathcal{I}_{\mathrm e}
|
||||
\end{align}
|
||||
%
|
||||
|
||||
该随机信号 CRB 与\ref{sec:det_doa_crb} 的确定信号 CRB 共同给出单阵列 \gls{doa} 的两类性能基线。多星主线后续采用确定信号/导频化模型，因此其 CRB 推导更接近\ref{sec:det_doa_crb} 和\ref{sec:det_doa_doppler_crb} 的处理方式。
|
||||
该随机信号 \gls{crb} 与\ref{sec:det_doa_crb} 的确定信号 \gls{crb} 共同给出单阵列 \gls{doa} 的两类性能基线。多星主线后续采用确定信号/导频化模型，因此其 \gls{crb} 推导更接近\ref{sec:det_doa_crb} 和\ref{sec:det_doa_doppler_crb} 的处理方式。
|
||||
@@ -4,7 +4,7 @@
|
||||
本附录给出与正文第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst} 节、第~\ref{sec:multiSatMultiUser} 节相对应的多星静态 \gls{doa}--Doppler 联合估计 \gls{crb}。E.1 给出单用户多星基线（沿用 \S\ref{subsec:staticBlockModel} 模型），E.2 给出多用户扩展（沿用 \S\ref{sec:multiSatMultiUser} 模型）。两者共享 ``联合堆叠 + 复增益 Schur 补'' 的推导框架，差别仅在均值向量参数化与 Jacobian 维度。
|
||||
|
||||
本文统一采用 $\mathcal I$ 表示 Fisher 信息矩阵，$\mathbf I$ 表示单位阵，$\mathcal P$ 表示投影矩阵。
|
||||
正文中的静态干扰参数 $\boldsymbol\psi_{\mathrm{stat}}$ 同时包含复增益和噪声方差。本附录在构造主参数 EFIM 时，只显式保留影响均值向量的复增益干扰参数；噪声方差只进入协方差，并与均值参数 Fisher 块解耦，因此不改变下面关于复增益的 Schur 补形式。
|
||||
正文中的静态干扰参数 $\boldsymbol\psi_{\mathrm{stat}}$ 同时包含复增益和噪声方差。本附录在构造主参数 \gls{efim} 时，只显式保留影响均值向量的复增益干扰参数；噪声方差只进入协方差，并与均值参数 Fisher 块解耦，因此不改变下面关于复增益的 Schur 补形式。
|
||||
|
||||
\subsection{单用户多星 CRB}
|
||||
\label{subsec:E1_singleUserMultiSatCrb}
|
||||
@@ -757,7 +757,7 @@ $\mathbf J_{\psi,\ell}$ 的实参数化二维实子空间与复矩阵 $\mathbf G
|
||||
|
||||
\subsubsection{用户分离的可辨识性条件}
|
||||
|
||||
\eqref{eq:E2_Ieff_proj} 给出的 EFIM 非奇异性等价于多用户主参数 score 在复增益干扰参数 score 正交补上的投影列空间 ``在所有 $L$ 颗卫星上联合满秩''。具体地，记每颗卫星上的``白化主参数 Jacobian''
|
||||
\eqref{eq:E2_Ieff_proj} 给出的 \gls{efim} 非奇异性等价于多用户主参数 score 在复增益干扰参数 score 正交补上的投影列空间 ``在所有 $L$ 颗卫星上联合满秩''。具体地，记每颗卫星上的``白化主参数 Jacobian''
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\bar{\mathbf J}_{\eta,\ell}
|
||||
@@ -765,7 +765,7 @@ $\mathbf J_{\psi,\ell}$ 的实参数化二维实子空间与复矩阵 $\mathbf G
|
||||
\frac{1}{\sigma_{n,\ell}}\mathcal P_{\mathbf G_\ell}^\perp\mathbf J_{\eta,\ell},
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
EFIM 非奇异 $\Leftrightarrow$ 联合矩阵 $[\bar{\mathbf J}_{\eta,0}^\Tran,\ldots,\bar{\mathbf J}_{\eta,L-1}^\Tran]^\Tran$ 列满秩，即 ``$3K\le \sum_\ell M_\ell T$ 且不同用户的白化 score 之间不存在跨星全局共线性''。
|
||||
\gls{efim} 非奇异 $\Leftrightarrow$ 联合矩阵 $[\bar{\mathbf J}_{\eta,0}^\Tran,\ldots,\bar{\mathbf J}_{\eta,L-1}^\Tran]^\Tran$ 列满秩，即 ``$3K\le \sum_\ell M_\ell T$ 且不同用户的白化 score 之间不存在跨星全局共线性''。
|
||||
|
||||
正文 \S\ref{subsec:userSeparability} 给出的几何陈述——``两个用户在所有 $L$ 颗星上相干度 $\rho_{\ell,kk'}\to 1$ 时分离失效''——可由此式严格化：当某对 $(k,k')$ 满足
|
||||
%
|
||||
@@ -777,11 +777,11 @@ EFIM 非奇异 $\Leftrightarrow$ 联合矩阵 $[\bar{\mathbf J}_{\eta,0}^\Tran,\
|
||||
\qquad\forall\ell,
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
对应 $\boldsymbol\eta_k$ 与 $\boldsymbol\eta_{k'}$ 方向上的 EFIM 块趋于秩亏，集中似然在该方向出现伪极值。多星几何提供的缓解机制——只要存在一颗星 $\ell$ 上述等式严重违反——也直接由这一秩条件读出。
|
||||
对应 $\boldsymbol\eta_k$ 与 $\boldsymbol\eta_{k'}$ 方向上的 \gls{efim} 块趋于秩亏，集中似然在该方向出现伪极值。多星几何提供的缓解机制——只要存在一颗星 $\ell$ 上述等式严重违反——也直接由这一秩条件读出。
|
||||
|
||||
\subsubsection{CRB 表达式}
|
||||
|
||||
多用户主参数 CRB 为
|
||||
多用户主参数 \gls{crb} 为
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\operatorname{CRB}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}})
|
||||
@@ -807,4 +807,4 @@ EFIM 非奇异 $\Leftrightarrow$ 联合矩阵 $[\bar{\mathbf J}_{\eta,0}^\Tran,\
|
||||
|
||||
\medskip
|
||||
|
||||
附录 E 完成了多星静态模型从单用户到多用户的 \gls{crb} 推导。带时间戳误差的部分相干 EFIM 在\ref{sec:timestampErrCrb} 中继续展开；动态多帧模型的连续相位和独立相位 CRB 在\ref{sec:multiFrameCrb} 中继续展开。
|
||||
附录 E 完成了多星静态模型从单用户到多用户的 \gls{crb} 推导。带时间戳误差的部分相干 \gls{efim} 在\ref{sec:timestampErrCrb} 中继续展开；动态多帧模型的连续相位和独立相位 \gls{crb} 在\ref{sec:multiFrameCrb} 中继续展开。
|
||||
|
||||
@@ -1,7 +1,7 @@
|
||||
\section{时间戳误差下的 EFIM 分析}
|
||||
\label{sec:timestampErrCrb}
|
||||
|
||||
本附录沿用正文第~\ref{sec:timestampError} 节的部分相干观测模型，补充关于主参数 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}\in\mathbb R^{3K}$ 的 EFIM 分块结构、Schur complement 消去 $\boldsymbol\delta$ 的解析形式、数值评估框架，以及 $K=1, L=2$ 最简情形的解析推导。
|
||||
本附录沿用正文第~\ref{sec:timestampError} 节的部分相干观测模型，补充关于主参数 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}\in\mathbb R^{3K}$ 的 \gls{efim} 分块结构、Schur complement 消去 $\boldsymbol\delta$ 的解析形式、数值评估框架，以及 $K=1, L=2$ 最简情形的解析推导。
|
||||
小误差区与大误差区的划分仍按正文 \S\ref{subsec:timestampApplicability} 的定义；下文若无特别说明，默认在小误差区作 Taylor 展开。
|
||||
|
||||
\subsection{Fisher 信息矩阵分块结构}
|
||||
@@ -166,17 +166,17 @@ $\mathcal I_{\delta\psi}$ 同样具有按 $\ell$ 的块对角结构：第 $\ell$
|
||||
%
|
||||
其中 $\mathbf v_{\eta\delta,\ell}'$ 为 $\mathcal I_{\eta\delta}'$ 中第 $\ell$ 列。这就是``逐星扣除 $\delta_\ell$ 引入的信息损失''的解析形式。
|
||||
|
||||
特别地，参考星 $\ell_{\mathrm{ref}}$ 不贡献 $\delta$ 自由度，对 EFIM 的贡献保持与完全相干情形相同；信息损失完全来自其余 $L-1$ 颗带时间戳误差的卫星。
|
||||
特别地，参考星 $\ell_{\mathrm{ref}}$ 不贡献 $\delta$ 自由度，对 \gls{efim} 的贡献保持与完全相干情形相同；信息损失完全来自其余 $L-1$ 颗带时间戳误差的卫星。
|
||||
|
||||
\subsection{数值 EFIM 评估框架}
|
||||
\label{subsec:F3_numericalEfim}
|
||||
|
||||
大误差区下 \eqref{eq:F2_efim_final} 的一阶展开失效。此时把 EFIM 视为关于 $\boldsymbol\delta$ 真值的函数，按下列流程逐场景数值评估：
|
||||
大误差区下 \eqref{eq:F2_efim_final} 的一阶展开失效。此时把 \gls{efim} 视为关于 $\boldsymbol\delta$ 真值的函数，按下列流程逐场景数值评估：
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item 给定真值 $(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}},\boldsymbol\delta)$ 与各星 $\sigma_{n,\ell}^2$、$\{\zeta_{\ell,k}\}$；
|
||||
\item 对每颗卫星 $\ell$，按 \eqref{eq:sec5_signal_model} 计算 $\mathbf g_{\ell,k}(\delta_\ell)$ 及其关于 $(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}},\delta_\ell)$ 的数值 Jacobian——其中 $\partial/\partial\delta_\ell$ 不再用 \eqref{eq:F2_jdelta} 一阶近似，而是用中心差分直接评估 $s_k(t-\delta_\ell)$ 与 $e^{j\nu_{\ell,k}(t-\delta_\ell)}$；
|
||||
\item 组装 \eqref{eq:F1_three_block} 各分块，按 \S\ref{subsec:F2_schurDelta} 的顺序先消复增益、再消 $\boldsymbol\delta$；
|
||||
\item 输出 $\mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}};\boldsymbol\delta)$ 并取逆得到 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ 的 CRB。
|
||||
\item 输出 $\mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}};\boldsymbol\delta)$ 并取逆得到 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ 的 \gls{crb}。
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
$\boldsymbol\delta$ 在导频自相关半宽 $T_{\mathrm{ac}}$ 处的非线性会让 $\mathcal I_{\delta\delta}'$ 显著偏离对角形式（不同 $\ell$ 之间通过导频互相关项耦合），此时\eqref{eq:F2_efim_final} 的``逐星扣除''形式不再适用，需要对 $\boldsymbol\delta$ 块整体求逆。
|
||||
|
||||
@@ -202,7 +202,7 @@ $\boldsymbol\delta$ 在导频自相关半宽 $T_{\mathrm{ac}}$ 处的非线性
|
||||
\Re\!\big\{\mathbf D_1^\Herm\mathcal P_{\mathbf g_1}^\perp\mathbf D_1\big\}\bigg|_{\delta_1=0},
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
其中 $\mathbf D_\ell$ 沿用 \eqref{eq:A6_Dl} 定义，$\delta_1=0$ 处求值即得到完全相干情形的 EFIM。
|
||||
其中 $\mathbf D_\ell$ 沿用 \eqref{eq:A6_Dl} 定义，$\delta_1=0$ 处求值即得到完全相干情形的 \gls{efim}。
|
||||
|
||||
\paragraph{$\delta_1$ 块}
|
||||
$\boldsymbol\delta=[\delta_1]$ 退化为标量，\eqref{eq:F2_jdelta} 中
|
||||
@@ -244,7 +244,7 @@ $\boldsymbol\delta=[\delta_1]$ 退化为标量，\eqref{eq:F2_jdelta} 中
|
||||
\Big\}\in\mathbb R^3.
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
代入 \eqref{eq:F2_efim_final} 得到 $K=1, L=2$ 情形下的闭式 EFIM
|
||||
代入 \eqref{eq:F2_efim_final} 得到 $K=1, L=2$ 情形下的闭式 \gls{efim}
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\label{eq:F4_efim_K1L2}
|
||||
@@ -255,13 +255,13 @@ $\boldsymbol\delta=[\delta_1]$ 退化为标量，\eqref{eq:F2_jdelta} 中
|
||||
\frac{\mathbf v'_{\eta\delta,1}\,\mathbf v'^{\Tran}_{\eta\delta,1}}{\mathcal I_{\delta\delta}'},
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
即在双星基线的 EFIM 上扣除一个秩一信息损失项，损失大小由非参考星上 $\delta_1$ 与主参数的 score 重叠决定。
|
||||
即在双星基线的 \gls{efim} 上扣除一个秩一信息损失项，损失大小由非参考星上 $\delta_1$ 与主参数的 score 重叠决定。
|
||||
|
||||
\paragraph{特例：导频为单音常包络}
|
||||
若进一步取 $s(t)\equiv 1$（常包络单音导频），则 $\dot s(t)\equiv 0$，\eqref{eq:F2_jdelta} 退化为 $\dot{\mathbf q}_1^{\,\mathrm{te}}=-j\nu_1\mathbf q_1$，故 $\delta_1$ 进入似然只通过相位偏移 $-\nu_1\delta_1$ 一项；它与 $\partial/\partial\nu_{\mathrm{ref}}$ 完全共线（同为 $\dot{\mathbf q}_1$ 方向），$\delta_1$ 与 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 不可分辨——EFIM 在 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 方向变得奇异。此即 ``纯相位扰动下时间戳误差与 Doppler 完全耦合''的退化情形，说明可辨识性依赖导频带宽 $\dot s(t)\not\equiv 0$。
|
||||
若进一步取 $s(t)\equiv 1$（常包络单音导频），则 $\dot s(t)\equiv 0$，\eqref{eq:F2_jdelta} 退化为 $\dot{\mathbf q}_1^{\,\mathrm{te}}=-j\nu_1\mathbf q_1$，故 $\delta_1$ 进入似然只通过相位偏移 $-\nu_1\delta_1$ 一项；它与 $\partial/\partial\nu_{\mathrm{ref}}$ 完全共线（同为 $\dot{\mathbf q}_1$ 方向），$\delta_1$ 与 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 不可分辨——\gls{efim} 在 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 方向变得奇异。此即 ``纯相位扰动下时间戳误差与 Doppler 完全耦合''的退化情形，说明可辨识性依赖导频带宽 $\dot s(t)\not\equiv 0$。
|
||||
|
||||
% TODO: $K=1, L\ge 3$ 与 $K\ge 2, L=2$ 的解析中间结果——前者需引入 $L-1$ 个 δ_ℓ 联合处理（仍对角，但 v'_{ηδ} 维度变为 3×(L-1)）；后者多用户耦合让 $\mathcal P_{\mathbf G_\ell}$ 不再因式化，闭式较繁。本附录暂留为数值评估。
|
||||
|
||||
\medskip
|
||||
|
||||
至此，附录 F 给出了时间戳误差作为干扰参数时关于 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ 的 EFIM 结构与最简情形的闭式。多用户情形与一般 $L$ 的 EFIM 由 \S\ref{subsec:F3_numericalEfim} 的数值流程评估，作为新论文方法与 CRB 对比的基础。
|
||||
至此，附录 F 给出了时间戳误差作为干扰参数时关于 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ 的 \gls{efim} 结构与最简情形的闭式。多用户情形与一般 $L$ 的 \gls{efim} 由 \S\ref{subsec:F3_numericalEfim} 的数值流程评估，作为新论文方法与 \gls{crb} 对比的基础。
|
||||
|
||||
+33
-33
@@ -3,7 +3,7 @@
|
||||
|
||||
本附录汇总多帧动态多星模型下的两类 \gls{crb} 推导：连续相位（CP）模型和独立相位（IP）基线模型。
|
||||
两者共享主参数 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}=[\alpha,\beta,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$ 与 Doppler rate $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 作为干扰参数的处理方式，差别在于跨帧相位结构：CP 模型保留同星公共相位约束，IP 模型放弃这一约束。
|
||||
通过对比 CP 与 IP 的 EFIM 可以量化跨帧相位连续性所携带的信息量。
|
||||
通过对比 CP 与 IP 的 \gls{efim} 可以量化跨帧相位连续性所携带的信息量。
|
||||
|
||||
\subsection{连续相位 CP 模型 EFIM}
|
||||
\label{sec:A7_dynDoaDopplerCrb}
|
||||
@@ -26,7 +26,7 @@
|
||||
\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}\in\mathbb R^3,
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
并将 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 作为干扰参数处理。为避免重复建模，这里只保留 \gls{crb} 推导所需的最小定义、导数记号与 \gls{fim}/EFIM 结构。
|
||||
并将 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 作为干扰参数处理。为避免重复建模，这里只保留 \gls{crb} 推导所需的最小定义、导数记号与 \gls{fim}/\gls{efim} 结构。
|
||||
|
||||
\subsubsection{沿用正文模型的最小定义与导数记号}
|
||||
|
||||
@@ -227,7 +227,7 @@
|
||||
\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}\triangleq \rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}e^{j\chi_\ell},\qquad \rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}\in\mathbb R_{\ge0}.
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
在常规局部 \gls{crb} 推导中默认真实工作点满足 $\rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}>0$，从而幅度--相位参数化在该点局部可微且相位参数可辨识；若某些块的幅度为零，则对应相位不可辨识，应在数值实现中删除该相位列或采用广义逆形式的 EFIM。
|
||||
在常规局部 \gls{crb} 推导中默认真实工作点满足 $\rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}>0$，从而幅度--相位参数化在该点局部可微且相位参数可辨识；若某些块的幅度为零，则对应相位不可辨识，应在数值实现中删除该相位列或采用广义逆形式的 \gls{efim}。
|
||||
则第 $(\ell,p)$ 个观测块的均值为
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
@@ -306,7 +306,7 @@
|
||||
\frac{\partial \boldsymbol\mu^{\mathrm{cp}}}{\partial \boldsymbol\psi_{\mathrm{cp},\mu}}.
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
于是根据 \eqref{eq:A7_FIM_general}，连续相位模型的 FIM 分块为
|
||||
于是根据 \eqref{eq:A7_FIM_general}，连续相位模型的 \gls{fim} 分块为
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\mathcal I_{\eta\eta}^{\mathrm{cp}}
|
||||
@@ -349,8 +349,8 @@
|
||||
\label{eq:A7_Ieff_cp}
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
其中上式默认 $\mathcal I_{\psi\psi}^{\mathrm{cp}}$ 在考虑的局部工作点非奇异。若由于低信噪比、零幅度块或几何退化导致干扰参数块秩亏，则数值仿真中应将 $\big(\mathcal I_{\psi\psi}^{\mathrm{cp}}\big)^{-1}$ 替换为 Moore--Penrose 广义逆 $\big(\mathcal I_{\psi\psi}^{\mathrm{cp}}\big)^{\dagger}$，并将所得结果解释为广义 EFIM。
|
||||
从而其 CRB 为
|
||||
其中上式默认 $\mathcal I_{\psi\psi}^{\mathrm{cp}}$ 在考虑的局部工作点非奇异。若由于低信噪比、零幅度块或几何退化导致干扰参数块秩亏，则数值仿真中应将 $\big(\mathcal I_{\psi\psi}^{\mathrm{cp}}\big)^{-1}$ 替换为 Moore--Penrose 广义逆 $\big(\mathcal I_{\psi\psi}^{\mathrm{cp}}\big)^{\dagger}$，并将所得结果解释为广义 \gls{efim}。
|
||||
从而其 \gls{crb} 为
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\operatorname{CRB}_{\mathrm{cp}}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}})
|
||||
@@ -377,7 +377,7 @@
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
为不含 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 的幅度/相位干扰参数。
|
||||
若 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 已知，则先消去 $\boldsymbol\psi_{\mathrm{cp},0}$ 后，主参数 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}$ 的 known-rate EFIM 可写为
|
||||
若 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 已知，则先消去 $\boldsymbol\psi_{\mathrm{cp},0}$ 后，主参数 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}$ 的 known-rate \gls{efim} 可写为
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\mathcal I_{\mathrm e}^{\mathrm{cp,K}}
|
||||
@@ -390,8 +390,8 @@
|
||||
\label{eq:A7_CP_K_EFIM}
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
其中上标 $(0)$ 表示只按参数 $(\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}},\boldsymbol\psi_{\mathrm{cp},0})$ 构造的 FIM 分块。
|
||||
若进一步把 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 作为干扰参数，则可在消去 $\boldsymbol\psi_{\mathrm{cp},0}$ 后，将扩展 EFIM 按 $(\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}},\dot\nu_{\mathrm{ref}})$ 分块为
|
||||
其中上标 $(0)$ 表示只按参数 $(\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}},\boldsymbol\psi_{\mathrm{cp},0})$ 构造的 \gls{fim} 分块。
|
||||
若进一步把 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 作为干扰参数，则可在消去 $\boldsymbol\psi_{\mathrm{cp},0}$ 后，将扩展 \gls{efim} 按 $(\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}},\dot\nu_{\mathrm{ref}})$ 分块为
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\mathcal I_{\mathrm e}^{\mathrm{cp,ext}}
|
||||
@@ -403,7 +403,7 @@
|
||||
\label{eq:A7_CP_ext_EFIM_partition}
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
于是 unknown-rate EFIM 为
|
||||
于是 unknown-rate \gls{efim} 为
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\mathcal I_{\mathrm e}^{\mathrm{cp,U}}
|
||||
@@ -419,7 +419,7 @@
|
||||
式~\eqref{eq:A7_CP_U_EFIM_from_K} 中的第二项不是一个必然很大的性能退化项，而是对 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}$ 的 residualized score 与 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 的 residualized nuisance score 之间耦合程度的 accounting。
|
||||
若该残差耦合很弱，则 known-rate 与 unknown-rate bound 可以非常接近。
|
||||
|
||||
进一步将 known-rate EFIM 和 rate-coupling 向量按 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}=[\boldsymbol\xi^\Tran,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$ 分块：
|
||||
进一步将 known-rate \gls{efim} 和 rate-coupling 向量按 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}=[\boldsymbol\xi^\Tran,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$ 分块：
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\mathcal I_{\eta\eta}^{\mathrm K}
|
||||
@@ -447,8 +447,8 @@
|
||||
\label{eq:A7_SS_xi_rate_orthogonality_condition}
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
则消去 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 只会改变 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 对应的标量块，而不会改变 \gls{doa} 的 CRB 子块。
|
||||
换言之，\gls{doa} 的 known-rate 与 unknown-rate CRB 完全一致。
|
||||
则消去 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 只会改变 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 对应的标量块，而不会改变 \gls{doa} 的 \gls{crb} 子块。
|
||||
换言之，\gls{doa} 的 known-rate 与 unknown-rate \gls{crb} 完全一致。
|
||||
|
||||
在 single-satellite multi-frame case 中，若唯一卫星即 reference satellite，则
|
||||
%
|
||||
@@ -467,7 +467,7 @@
|
||||
由式~\eqref{eq:A7_qx_cp} 可知，reference-link 的 \gls{doa} 导数不含 Doppler-mapping-induced temporal phase derivative，而只含空间阵列导向导数。
|
||||
在幅度和公共相位干扰方向被投影消去后，该 \gls{doa} score 的残差部分是与 $\mathbf a_{\ell_{\mathrm{ref}}}(\boldsymbol\xi)$ 正交的空间切向量；相反，$\nu_{\mathrm{ref}}$ 和 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 的残差 score 仍具有沿 reference steering vector 的时间相位结构。
|
||||
在标准窄带阵列流形下，二者的 Fisher 内积为零，因此式~\eqref{eq:A7_SS_xi_rate_orthogonality_condition} 成立。
|
||||
这解释了 single-satellite multi-frame known-rate 与 unknown-rate \gls{doa} CRB 的严格重合。
|
||||
这解释了 single-satellite multi-frame known-rate 与 unknown-rate \gls{doa} \gls{crb} 的严格重合。
|
||||
|
||||
在 multi-satellite case 中，非参考星通常满足
|
||||
%
|
||||
@@ -484,9 +484,9 @@
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
此时 \gls{doa} 导数包含由 $\partial\Delta\nu_\ell/\partial x$ 与 $\partial\Delta\dot\nu_\ell/\partial x$ 诱导的时间相位分量。
|
||||
因此，$\mathbf i_{\xi\dot\nu}$ 和 $\mathbf a_{\xi\nu}^{\mathrm K}$ 一般不再严格为零，known-rate 与 unknown-rate \gls{doa} CRB 的完全相等性也不应被作为一般结论。
|
||||
因此，$\mathbf i_{\xi\dot\nu}$ 和 $\mathbf a_{\xi\nu}^{\mathrm K}$ 一般不再严格为零，known-rate 与 unknown-rate \gls{doa} \gls{crb} 的完全相等性也不应被作为一般结论。
|
||||
若数值上 multi-satellite \gls{doa} bound 仍与 known-rate benchmark 基本重合，更稳妥的解释是：在所选 representative geometry 下，\gls{doa} residual score 与 residualized Doppler-rate nuisance direction 的耦合较弱。
|
||||
这一定量现象适合作为 EFIM accounting 的 sanity check，而不应升级为主要理论贡献。
|
||||
这一定量现象适合作为 \gls{efim} accounting 的 sanity check，而不应升级为主要理论贡献。
|
||||
|
||||
\subsubsection{relaxed 连续相位模型下的 CRB}
|
||||
|
||||
@@ -569,7 +569,7 @@
|
||||
\end{bmatrix}.
|
||||
\end{equation}
|
||||
|
||||
由此构造对应的 FIM 分块，并对所有块复系数执行 Schur 补，可得扩展参数 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{ext}}$ 的 \gls{efim}
|
||||
由此构造对应的 \gls{fim} 分块，并对所有块复系数执行 Schur 补，可得扩展参数 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{ext}}$ 的 \gls{efim}
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\mathcal I_{\mathrm e}^{\mathrm{rel}}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{ext}})
|
||||
@@ -599,7 +599,7 @@
|
||||
\mathbf I_{M_\ell T}-\mathcal P_{\mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}}.
|
||||
\end{equation}
|
||||
|
||||
若关心的是联合参数 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{ext}}=[\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}^{\Tran},\dot\nu_{\mathrm{ref}}]^{\Tran}$ 的 CRB，则直接有
|
||||
若关心的是联合参数 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{ext}}=[\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}^{\Tran},\dot\nu_{\mathrm{ref}}]^{\Tran}$ 的 \gls{crb}，则直接有
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\operatorname{CRB}_{\mathrm{rel}}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{ext}})
|
||||
@@ -649,8 +649,8 @@
|
||||
\label{subsec:A7_efimIllConditioning}
|
||||
|
||||
式~\eqref{eq:A7_Ieff_cp} 与式~\eqref{eq:A7_Ieff_rel_eta} 都是对完整 Fisher 信息矩阵中的
|
||||
干扰参数执行 Schur 补后得到的 EFIM。本小节给出一个与具体 CP/IP 模型无关的局部线性解释，
|
||||
用于说明多星场景中角度 CRB 显著改善但 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 边际 CRB 改善有限、同时 EFIM 条件数
|
||||
干扰参数执行 Schur 补后得到的 \gls{efim}。本小节给出一个与具体 CP/IP 模型无关的局部线性解释，
|
||||
用于说明多星场景中角度 \gls{crb} 显著改善但 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 边际 \gls{crb} 改善有限、同时 \gls{efim} 条件数
|
||||
变大的原因。
|
||||
|
||||
将所有观测块堆叠后的均值 Jacobian 写为
|
||||
@@ -771,12 +771,12 @@
|
||||
\label{eq:A7_min_projection_angle}
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
式~\eqref{eq:A7_efim_quadratic_projection} 表明，EFIM 在某个方向上的有效信息正比于该方向
|
||||
式~\eqref{eq:A7_efim_quadratic_projection} 表明，\gls{efim} 在某个方向上的有效信息正比于该方向
|
||||
score 在干扰子空间正交补上的残余能量。因此，当 $\theta_{\min}\approx0$ 时，
|
||||
$\mathcal I_{\mathrm{e}}$ 会出现小特征值；若同时多星几何使其他方向的信息快速增加，
|
||||
则 $\kappa(\mathcal I_{\mathrm{e}})$ 会显著变大。
|
||||
|
||||
接下来把上述投影解释专门用于 \gls{doa}--Doppler 耦合。将 EFIM 按
|
||||
接下来把上述投影解释专门用于 \gls{doa}--Doppler 耦合。将 \gls{efim} 按
|
||||
$\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}=[\boldsymbol\xi^\Tran,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$ 分块为
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
@@ -811,7 +811,7 @@ $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}=[\boldsymbol\xi^\Tran,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$
|
||||
\label{eq:A7_nu_given_xi_schur}
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
对应边际 CRB 为
|
||||
对应边际 \gls{crb} 为
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
C_{\nu}^{\mathrm{mar}}
|
||||
@@ -886,8 +886,8 @@ Schur 补后的 $\mathcal I_{\nu|\xi}$ 仍然可能增长缓慢。
|
||||
%
|
||||
因此，$\nu_{\mathrm{ref}}$ 的多星增益由两个因子共同决定：一个是 scalar 信息
|
||||
$\mathcal I_{\nu\nu}^{(L)}$ 的能量叠加，另一个是耦合惩罚
|
||||
$1-\gamma_{\xi,\nu}^{2,(L)}$。这解释了为什么两星或少数多星情形中，角度 CRB 可能因
|
||||
$\mathcal I_{\xi\xi}$ 增强而明显降低，而 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 的边际 CRB 只出现温和改善。
|
||||
$1-\gamma_{\xi,\nu}^{2,(L)}$。这解释了为什么两星或少数多星情形中，角度 \gls{crb} 可能因
|
||||
$\mathcal I_{\xi\xi}$ 增强而明显降低，而 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 的边际 \gls{crb} 只出现温和改善。
|
||||
|
||||
对本文的动态连续相位模型，造成 $\gamma_{\xi,\nu}^{2}$ 较大的主要来源有三类。第一，幅度与相位
|
||||
干扰参数张成了与 $\mathbf g_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}$ 和
|
||||
@@ -912,7 +912,7 @@ $\sqrt{C_{\nu}^{\mathrm{mar}}}$ 改善有限，同时 $\gamma_{\xi,\nu}^{2}$ 较
|
||||
\subsubsection{周期帧窗口与 Doppler tooth ambiguity}
|
||||
\label{subsec:A7_frameTimeCombTooth}
|
||||
|
||||
本附录前面得到的 EFIM 是局部二阶量；它默认估计点位于同一个 Doppler tooth 的局部邻域内。
|
||||
本附录前面得到的 \gls{efim} 是局部二阶量；它默认估计点位于同一个 Doppler tooth 的局部邻域内。
|
||||
为了描述全局 profile likelihood 的离散多峰结构，需要单独分析帧起始时刻集合所诱导的谱窗口。
|
||||
按照表~\ref{tab:indexDimensionNotation} 的约定，$\tau_p$ 表示第 $p$ 帧起始点相对于参考时刻的离散采样偏移，
|
||||
归一化角 Doppler 偏移记为 $\Delta\nu$。若只保留由帧起始时刻造成的公共相位项，则跨帧相干项可写为
|
||||
@@ -1026,7 +1026,7 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则
|
||||
|
||||
\subsubsection{数值实现中的一致性检查}
|
||||
|
||||
为了直接指导后续仿真，建议在实现 A7 的 CRB 时按如下顺序检查：首先按照式~\eqref{eq:A7_qx_cp}--\eqref{eq:A7_qgamma_cp} 构造每个 $(\ell,p)$ 块的解析 Jacobian，并用中心差分验证
|
||||
为了直接指导后续仿真，建议在实现 A7 的 \gls{crb} 时按如下顺序检查：首先按照式~\eqref{eq:A7_qx_cp}--\eqref{eq:A7_qgamma_cp} 构造每个 $(\ell,p)$ 块的解析 Jacobian，并用中心差分验证
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\frac{\partial\boldsymbol\mu^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}}{\partial x}
|
||||
@@ -1044,7 +1044,7 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则
|
||||
2\Re\{(\mathbf J_{\mathrm{full}}^{\mathrm{cp}})^{\Herm}\mathbf R_n^{-1}\mathbf J_{\mathrm{full}}^{\mathrm{cp}}\},
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
再按 $[\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}^{\Tran},\boldsymbol\psi_{\mathrm{cp},\mu}^{\Tran}]^{\Tran}$ 分块执行 Schur 补得到式~\eqref{eq:A7_Ieff_cp}。最后，对 relaxed 连续相位模型，应同时用完整 FIM 消元和投影式~\eqref{eq:A7_Ieff_rel_ext} 计算一次，两者应在数值精度内一致；该检查可以有效排除 $\mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}$、$\mathbf D^{\mathrm{rel}}_{\mathrm{ext},\ell,p}$、噪声方差系数和 Kronecker 堆叠顺序的实现错误。
|
||||
再按 $[\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}^{\Tran},\boldsymbol\psi_{\mathrm{cp},\mu}^{\Tran}]^{\Tran}$ 分块执行 Schur 补得到式~\eqref{eq:A7_Ieff_cp}。最后，对 relaxed 连续相位模型，应同时用完整 \gls{fim} 消元和投影式~\eqref{eq:A7_Ieff_rel_ext} 计算一次，两者应在数值精度内一致；该检查可以有效排除 $\mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}$、$\mathbf D^{\mathrm{rel}}_{\mathrm{ext},\ell,p}$、噪声方差系数和 Kronecker 堆叠顺序的实现错误。
|
||||
|
||||
\subsubsection{关于噪声方差参数的说明}
|
||||
|
||||
@@ -1056,13 +1056,13 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则
|
||||
\frac{M_\ell P T}{\sigma_{n,\ell}^4}.
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
因此，无论在连续相位模型还是 relaxed 连续相位模型下，将 $\sigma_{n,\ell}^2$ 视为未知量都只会在 FIM 中附加与其他参数解耦的对角块，不改变式~\eqref{eq:A7_Ieff_cp}、\eqref{eq:A7_Ieff_rel_ext} 和 \eqref{eq:A7_Ieff_rel_eta} 的形式。
|
||||
因此，无论在连续相位模型还是 relaxed 连续相位模型下，将 $\sigma_{n,\ell}^2$ 视为未知量都只会在 \gls{fim} 中附加与其他参数解耦的对角块，不改变式~\eqref{eq:A7_Ieff_cp}、\eqref{eq:A7_Ieff_rel_ext} 和 \eqref{eq:A7_Ieff_rel_eta} 的形式。
|
||||
|
||||
因此，本小节给出的不是新的动态模型，而是正文连续相位模型和 relaxed 连续相位处理的 Fisher 信息表达。它与 \S\ref{sec:A8_dynIndependentPhaseCrb} 的比较应围绕``是否保留跨帧绝对相位连续性''展开，而不是围绕不同的主参数定义展开。
|
||||
|
||||
\subsection{独立相位 IP 基线 EFIM}
|
||||
\label{sec:A8_dynIndependentPhaseCrb}
|
||||
本附录仅对应第~\ref{subsec:independentPhaseModel} 小节中的独立相位基线模型。这里的``独立相位''是指：每个观测块 $(\ell,p)$ 具有各自的\emph{独立未知初始相位} $\vartheta_{\ell,p}$，这些相位不再受同一颗卫星公共相位的结构约束；但它们仍是\emph{确定性未知参数}，而不是按某个先验分布生成的随机变量。因此，本附录与正文及 \ref{sec:A7_dynDoaDopplerCrb} 一样，采用\emph{确定性参数 CRB}，而不再引入 hybrid CRB。
|
||||
本附录仅对应第~\ref{subsec:independentPhaseModel} 小节中的独立相位基线模型。这里的``独立相位''是指：每个观测块 $(\ell,p)$ 具有各自的\emph{独立未知初始相位} $\vartheta_{\ell,p}$，这些相位不再受同一颗卫星公共相位的结构约束；但它们仍是\emph{确定性未知参数}，而不是按某个先验分布生成的随机变量。因此，本附录与正文及 \ref{sec:A7_dynDoaDopplerCrb} 一样，采用\emph{确定性参数 \gls{crb}}，而不再引入 hybrid \gls{crb}。
|
||||
|
||||
主参数统一定义为
|
||||
%
|
||||
@@ -1078,7 +1078,7 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则
|
||||
\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}\in\mathbb R^3,
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
并继续将 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 作为干扰参数处理。为避免与正文和 \ref{sec:A7_dynDoaDopplerCrb} 重复，这里只保留独立相位模型对应的最小定义、导数记号与 EFIM 结构。
|
||||
并继续将 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 作为干扰参数处理。为避免与正文和 \ref{sec:A7_dynDoaDopplerCrb} 重复，这里只保留独立相位模型对应的最小定义、导数记号与 \gls{efim} 结构。
|
||||
|
||||
\subsubsection{沿用正文独立相位模型的最小定义与导数记号}
|
||||
|
||||
@@ -1153,7 +1153,7 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则
|
||||
p=0,\ldots,P-1.
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
正文 MLE 中可直接把 $\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}$ 作为自由复增益消元；本附录为了构造实参数 Fisher 信息矩阵，将其写作极坐标形式
|
||||
正文 \gls{mle} 中可直接把 $\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}$ 作为自由复增益消元；本附录为了构造实参数 Fisher 信息矩阵，将其写作极坐标形式
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}
|
||||
@@ -1459,7 +1459,7 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则
|
||||
\end{itemize}
|
||||
因此，两类模型的差异不在 Schur 补的代数形式本身，而在模板里是否保留跨帧连续相位结构。这也正是正文中``连续相位 vs.~独立相位''对比的统计本质。
|
||||
|
||||
从 EFIM 病态的角度看，独立相位模型与 relaxed 连续相位模型共享同一类投影解释。若定义白化 Jacobian
|
||||
从 \gls{efim} 病态的角度看，独立相位模型与 relaxed 连续相位模型共享同一类投影解释。若定义白化 Jacobian
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\bar{\mathbf J}^{\mathrm{ip}}_{\eta}
|
||||
|
||||
@@ -1,7 +1,7 @@
|
||||
\section{用户位置 CRB}
|
||||
\label{sec:userPositionCrb}
|
||||
|
||||
本附录给出第~\ref{sec:userPositioning} 节位置参数化模型的 \gls{crb}。整套构造——联合堆叠、复增益 Schur 补、EFIM 投影--Gram——与\ref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb} 完全一致，唯一需要重写的是主参数 Jacobian：把对全局角 $(\alpha,\beta)$ 的导数换成对位置 $\mathbf p$ 的导数。下面只给出这一差异部分，其余直接引用附录 E 的结果。
|
||||
本附录给出第~\ref{sec:userPositioning} 节位置参数化模型的 \gls{crb}。整套构造——联合堆叠、复增益 Schur 补、\gls{efim} 投影--Gram——与\ref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb} 完全一致，唯一需要重写的是主参数 Jacobian：把对全局角 $(\alpha,\beta)$ 的导数换成对位置 $\mathbf p$ 的导数。下面只给出这一差异部分，其余直接引用附录 E 的结果。
|
||||
|
||||
\subsection{位置对视线与本地角的链式导数}
|
||||
|
||||
@@ -51,7 +51,7 @@ Doppler 部分，由 $\nu_\ell=\nu_{\mathrm{ref}}+\Delta\nu_\ell(\mathbf p)$ 与
|
||||
\,\big]\in\mathbb C^{M_\ell T\times4},
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
其中位置列 $\partial\mathbf g_\ell/\partial p_i=\mathbf q_\ell\otimes(\partial\mathbf a_\ell/\partial p_i)+(\partial\mathbf q_\ell/\partial p_i)\otimes\mathbf a_\ell$、Doppler 列 $\partial\mathbf g_\ell/\partial\nu_{\mathrm{ref}}=\dot{\mathbf q}_\ell\otimes\mathbf a_\ell$，$\partial\mathbf a_\ell/\partial p_i$ 取\eqref{eq:H_dadp} 的第 $i$ 列。消去复增益后的 EFIM 与\eqref{eq:A6_Ieff_final} 同形：
|
||||
其中位置列 $\partial\mathbf g_\ell/\partial p_i=\mathbf q_\ell\otimes(\partial\mathbf a_\ell/\partial p_i)+(\partial\mathbf q_\ell/\partial p_i)\otimes\mathbf a_\ell$、Doppler 列 $\partial\mathbf g_\ell/\partial\nu_{\mathrm{ref}}=\dot{\mathbf q}_\ell\otimes\mathbf a_\ell$，$\partial\mathbf a_\ell/\partial p_i$ 取\eqref{eq:H_dadp} 的第 $i$ 列。消去复增益后的 \gls{efim} 与\eqref{eq:A6_Ieff_final} 同形：
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{pos}})
|
||||
|
||||
@@ -86,7 +86,7 @@
|
||||
\in\mathbb C^{M_\ell\times 1},
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
其中 $\mathbf a_\ell(\cdot)$ 的具体形式按第~\ref{subsec:single_arr_array_model} 小节的 ULA/UPA 模板代入即可。后续静态与多帧模型均统一使用该记号；$\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi)$ 始终只表示\emph{阵列导向矢量}，不再用于轨道动力学中的加速度量。
|
||||
其中 $\mathbf a_\ell(\cdot)$ 的具体形式按第~\ref{subsec:single_arr_array_model} 小节的 \gls{ula}/\gls{upa} 模板代入即可。后续静态与多帧模型均统一使用该记号；$\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi)$ 始终只表示\emph{阵列导向矢量}，不再用于轨道动力学中的加速度量。
|
||||
|
||||
\subsection{归一化 Doppler、Doppler rate 与时间索引}
|
||||
\label{subsec:dopplerNormalization}
|
||||
|
||||
@@ -202,7 +202,7 @@ $\boldsymbol\Xi\triangleq[\boldsymbol\xi_1,\ldots,\boldsymbol\xi_K]$，$\boldsym
|
||||
|
||||
多星几何对这一可辨识性提供了关键缓解：即便某颗卫星上 $\rho_{\ell,kk'}\approx 1$（例如两个用户在该星本地角域内距离小于一个 beamwidth），只要存在另一颗卫星 $\ell'$ 使 $\rho_{\ell',kk'}$ 显著小于 1，多星联合的 $\sum_\ell\mathbf G_\ell^\Herm\mathbf G_\ell$ 块仍可保持非奇异。这是多星扩展相对单星多用户最直接的几何收益。
|
||||
|
||||
严格可辨识性可写成对所有用户对 $(k,k')$ 的多星联合分离条件，其与 EFIM 非奇异性的等价关系由附录~\ref{subsec:E2_multiUserMultiSatCrb} 中多用户 \gls{fim} 分块给出。本节只用上述几何直觉刻画用户分离失效的结构来源，为后续数据驱动 nuisance 补偿方法留出接口；具体方法、输入输出与训练设置不在本笔记范围内。
|
||||
严格可辨识性可写成对所有用户对 $(k,k')$ 的多星联合分离条件，其与 \gls{efim} 非奇异性的等价关系由附录~\ref{subsec:E2_multiUserMultiSatCrb} 中多用户 \gls{fim} 分块给出。本节只用上述几何直觉刻画用户分离失效的结构来源，为后续数据驱动 nuisance 补偿方法留出接口；具体方法、输入输出与训练设置不在本笔记范围内。
|
||||
|
||||
本节完成了多用户主线静态基线：用户索引 $k$ 进入 $\boldsymbol\xi_k$、$\nu_{\mathrm{ref},k}$、$\zeta_{\ell,k}$、$s_k(t)$，集中似然仍可写为对各星 $\mathbf G_\ell$ 列空间投影的加权和，但矩阵 $\mathbf G_\ell$ 的良态性约束了用户分离的可辨识性。
|
||||
下一节将进一步沿\emph{同步条件}维度推进，把星间完全相干放宽为带未知时间戳误差 $\delta_\ell$ 的部分相干观测。
|
||||
|
||||
@@ -92,8 +92,8 @@
|
||||
记导频自相关的有效宽度为 $T_{\mathrm{ac}}$（以采样点数计），即 $R_{s_k}(\delta)$ 衰减到 $1/2$ 的特征尺度。本节方法的适用性按 $|\delta_\ell|$ 相对于 $T_{\mathrm{ac}}$ 与 $1/|\nu_{\ell,k}|$ 的量级分两段：
|
||||
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item \textbf{小误差区}（$|\delta_\ell|\ll T_{\mathrm{ac}}$ 且 $|\nu_{\ell,k}\delta_\ell|\ll\pi$）：导频时间偏移可一阶 Taylor 展开；相位偏移 $-\nu_{\ell,k}\delta_\ell$ 把均值向量改写为关于 $\delta_\ell$ 的近似线性扰动。$\boldsymbol\delta$ 进入似然的 Fisher 信息块光滑可逆，可在 EFIM 框架内通过 Schur 补\emph{解析}消去。详细推导见附录~\ref{subsec:F2_schurDelta}。
|
||||
\item \textbf{大误差区}（$|\delta_\ell|$ 接近或超过 $T_{\mathrm{ac}}$）：导频自相关衰减导致似然对 $\delta_\ell$ 高度非线性，一阶近似失效；同时若 $|\nu_{\ell,k}\delta_\ell|\gtrsim\pi$，相位偏移引入整周模糊。EFIM 不再可用，必须将 $\delta_\ell$ 作为离散+连续混合参数显式数值搜索；细网格上的局部 Fisher 信息可由\eqref{eq:sec5_absorbed_model} 直接数值评估，见附录~\ref{subsec:F3_numericalEfim}。
|
||||
\item \textbf{小误差区}（$|\delta_\ell|\ll T_{\mathrm{ac}}$ 且 $|\nu_{\ell,k}\delta_\ell|\ll\pi$）：导频时间偏移可一阶 Taylor 展开；相位偏移 $-\nu_{\ell,k}\delta_\ell$ 把均值向量改写为关于 $\delta_\ell$ 的近似线性扰动。$\boldsymbol\delta$ 进入似然的 Fisher 信息块光滑可逆，可在 \gls{efim} 框架内通过 Schur 补\emph{解析}消去。详细推导见附录~\ref{subsec:F2_schurDelta}。
|
||||
\item \textbf{大误差区}（$|\delta_\ell|$ 接近或超过 $T_{\mathrm{ac}}$）：导频自相关衰减导致似然对 $\delta_\ell$ 高度非线性，一阶近似失效；同时若 $|\nu_{\ell,k}\delta_\ell|\gtrsim\pi$，相位偏移引入整周模糊。\gls{efim} 不再可用，必须将 $\delta_\ell$ 作为离散+连续混合参数显式数值搜索；细网格上的局部 Fisher 信息可由\eqref{eq:sec5_absorbed_model} 直接数值评估，见附录~\ref{subsec:F3_numericalEfim}。
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
新论文场景的物理量级一般落在小误差区与大误差区之间的过渡带：实测残差的具体数值取决于平台本振稳定度与所采用的星间同步协议，本笔记不展开。当残差换算到采样点后跨越导频自相关半宽 $T_{\mathrm{ac}}$，就需要从小误差解析方案切换到大误差数值方案；该过渡带是后续数据驱动 nuisance 补偿方法的目标工作点，相关物理量级与仿真工作点留待新论文实验部分讨论。
|
||||
@@ -162,7 +162,7 @@
|
||||
\end{bmatrix}.
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
小误差区下 $\boldsymbol\delta$ 与 $\boldsymbol\psi_\zeta$ 可依次 Schur 消去，得到关于 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ 的 EFIM
|
||||
小误差区下 $\boldsymbol\delta$ 与 $\boldsymbol\psi_\zeta$ 可依次 Schur 消去，得到关于 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ 的 \gls{efim}
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\label{eq:sec5_efim}
|
||||
@@ -178,5 +178,5 @@
|
||||
其中 $\mathcal I'_{\cdot\cdot}$ 表示在复增益块消去后剩余的中间 Fisher 块。
|
||||
\eqref{eq:sec5_efim} 的解析形式只在小误差区可写完整闭式；大误差区下右端各项需逐 $\delta_\ell$ 取值数值评估。详细分块表达、数值评估流程与 $K=1, L=2$ 最简情形的闭式结果见\ref{sec:timestampErrCrb}。
|
||||
|
||||
本节完成了部分相干观测下的扰动模型与适用性边界刻画：$\delta_\ell$ 通过相位耦合 $-\nu_{\ell,k}\delta_\ell$ 与导频时间偏移 $s_k(t-\delta_\ell)$ 两条途径污染主参数估计，量级落在小误差区时可借 EFIM 解析消去，落在大误差区时必须数值处理。
|
||||
本节完成了部分相干观测下的扰动模型与适用性边界刻画：$\delta_\ell$ 通过相位耦合 $-\nu_{\ell,k}\delta_\ell$ 与导频时间偏移 $s_k(t-\delta_\ell)$ 两条途径污染主参数估计，量级落在小误差区时可借 \gls{efim} 解析消去，落在大误差区时必须数值处理。
|
||||
回到完全相干假设下的另一类扩展——多帧观测窗口与跨帧绝对相位结构——构成下一节的内容。
|
||||
|
||||
+11
-11
@@ -186,7 +186,7 @@ CP 模型的干扰参数向量为
|
||||
\subsection{relaxed 连续相位与 IP 集中准则}
|
||||
\label{subsec:dynamicRelaxedModel}
|
||||
|
||||
实际搜索时，可进一步把同星跨帧公共相位约束放松为每块自由复系数 $\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp,rel}}$（仅放松块复系数结构，相位模板仍为 CP），得到 \emph{relaxed} concentrated MLE：
|
||||
实际搜索时，可进一步把同星跨帧公共相位约束放松为每块自由复系数 $\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp,rel}}$（仅放松块复系数结构，相位模板仍为 CP），得到 \emph{relaxed} concentrated \gls{mle}：
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\widehat{\boldsymbol\eta}_{\mathrm{dyn,rel}}
|
||||
@@ -196,7 +196,7 @@ CP 模型的干扰参数向量为
|
||||
\sum_{\ell=0}^{L-1}M_\ell PT\log \mathcal R^{\mathrm{cp,rel}}_\ell.
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
相应地，IP 基线的 concentrated MLE 直接对自由复增益 $\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}$ 做闭式消元后得到
|
||||
相应地，IP 基线的 concentrated \gls{mle} 直接对自由复增益 $\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}$ 做闭式消元后得到
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\widehat{\boldsymbol\eta}_{\mathrm{dyn,ip}}
|
||||
@@ -212,8 +212,8 @@ CP 模型的干扰参数向量为
|
||||
|
||||
按 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 是否已知，CP 模型派生两种设置：
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item \textbf{CP-K}（known rate）：$\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 已知，主参数仅 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}=[\boldsymbol\xi^\Tran,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$，对应 EFIM 见 \eqref{eq:A7_CP_K_EFIM}。
|
||||
\item \textbf{CP-U}（unknown rate）：$\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 未知并作为干扰参数 Schur complement 消去，对应 EFIM 见 \eqref{eq:A7_CP_U_EFIM_from_K}。
|
||||
\item \textbf{CP-K}（known rate）：$\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 已知，主参数仅 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}=[\boldsymbol\xi^\Tran,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$，对应 \gls{efim} 见 \eqref{eq:A7_CP_K_EFIM}。
|
||||
\item \textbf{CP-U}（unknown rate）：$\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 未知并作为干扰参数 Schur complement 消去，对应 \gls{efim} 见 \eqref{eq:A7_CP_U_EFIM_from_K}。
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
一个值得指出的结构性现象：在 single-satellite multi-frame 情形中，若该卫星即参考星，则参考链路上 $\Delta\nu(\boldsymbol\xi)\equiv\Delta\dot\nu(\boldsymbol\xi)\equiv 0$，几何映射不通过 $\boldsymbol\xi$ 引入额外时间相位导数。在标准窄带阵列模型下，\gls{doa} 导数与 $\nu_{\mathrm{ref}}$、$\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 的导数在 Fisher 内积意义下正交，因此 single-satellite multi-frame 的 \gls{doa} bound 在 known-rate 与 unknown-rate 设置下完全一致；在 multi-satellite 情形中这一严格正交性一般不再成立。详细证明见附录~\ref{subsec:A7_knownUnknownRateOrthogonality}。
|
||||
@@ -223,7 +223,7 @@ CP 模型的干扰参数向量为
|
||||
|
||||
多星协作带来的增益并不是对 $\boldsymbol\xi$ 与 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 的等比例放大。
|
||||
新增观测只增加主参数 score 在干扰参数 score 正交补上的投影长度。
|
||||
若令 $\boldsymbol\psi_\mu$ 表示只影响均值向量的干扰参数（包含 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$、相位与幅度），白化均值 Jacobian 分别记为 $\bar{\mathbf J}_\eta,\bar{\mathbf J}_\psi$，则消去干扰参数后的 EFIM 写为投影 Gram 矩阵
|
||||
若令 $\boldsymbol\psi_\mu$ 表示只影响均值向量的干扰参数（包含 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$、相位与幅度），白化均值 Jacobian 分别记为 $\bar{\mathbf J}_\eta,\bar{\mathbf J}_\psi$，则消去干扰参数后的 \gls{efim} 写为投影 Gram 矩阵
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\mathcal I_{\mathrm{e}}
|
||||
@@ -237,7 +237,7 @@ CP 模型的干扰参数向量为
|
||||
%
|
||||
其奇异性由投影后主参数 Jacobian 的秩决定，而非 $\bar{\mathbf J}_\eta$ 本身。详细的投影解释、最小投影角 $\sin^2\theta_{\min}$ 定义、以及 $\boldsymbol\xi$/$\nu_{\mathrm{ref}}$ Schur 分块下的 \gls{doa}--Doppler 耦合比例 $\gamma_{\xi,\nu}^2$ 见附录~\ref{subsec:A7_efimIllConditioning}。
|
||||
|
||||
将 EFIM 按 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}=[\boldsymbol\xi^\Tran,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$ 分块后，$\boldsymbol\xi$ 未知条件下 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 的边际 \gls{crb} 满足
|
||||
将 \gls{efim} 按 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}=[\boldsymbol\xi^\Tran,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$ 分块后，$\boldsymbol\xi$ 未知条件下 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 的边际 \gls{crb} 满足
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\operatorname{CRB}_{\nu}
|
||||
@@ -250,13 +250,13 @@ CP 模型的干扰参数向量为
|
||||
\frac{1}{\sqrt{1-\gamma_{\xi,\nu}^{2}}}.
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
因此 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 的多星增益受 \gls{doa}--Doppler 耦合比例约束：即使多星几何能放大 $\mathcal I_{\nu\nu}$，若 $\gamma_{\xi,\nu}^2$ 随 $L$ 增大而恶化，则边际 Doppler CRB 仍受限。
|
||||
因此 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 的多星增益受 \gls{doa}--Doppler 耦合比例约束：即使多星几何能放大 $\mathcal I_{\nu\nu}$，若 $\gamma_{\xi,\nu}^2$ 随 $L$ 增大而恶化，则边际 Doppler \gls{crb} 仍受限。
|
||||
$\boldsymbol\xi$ 的增益主要来自空间视线与阵列流形几何多样性；$\nu_{\mathrm{ref}}$ 的增益主要来自能量叠加与跨帧相干结构，并受到 Schur 损失限制。
|
||||
|
||||
\subsection{周期多帧观测下的 Doppler comb 与 tooth ambiguity}
|
||||
\label{subsec:fdCombToothAmbiguity}
|
||||
|
||||
上一小节的 EFIM 描述的是已落入正确局部 basin 后的 in-tooth 曲率；它不能解释 profile likelihood 在 Doppler 方向上的全局离散多峰结构——后者属于局部 CRB 失效的门限区现象~\cite{athleyThresholdRegionPerformance2005}。
|
||||
上一小节的 \gls{efim} 描述的是已落入正确局部 basin 后的 in-tooth 曲率；它不能解释 profile likelihood 在 Doppler 方向上的全局离散多峰结构——后者属于局部 \gls{crb} 失效的门限区现象~\cite{athleyThresholdRegionPerformance2005}。
|
||||
若参与相干匹配的帧集合为 $\mathcal P$、第 $p$ 帧起始偏移为 $\tau_p$，则沿 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 方向的集中目标包含 frame-time spectral window
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
@@ -276,7 +276,7 @@ $\boldsymbol\xi$ 的增益主要来自空间视线与阵列流形几何多样性
|
||||
%
|
||||
处所有帧相位同时对齐，产生间隔为 $\Delta\nu_{\mathrm{tooth}}$ 的 comb-like objective branches。
|
||||
换算到物理 Hz 即 $\Delta\nu_{\mathrm{tooth}}^{\mathrm{Hz}}=1/(\Delta\tau_{\mathrm{f}}T_{\mathrm s})$。
|
||||
该 comb 是全局 profile likelihood 的周期窗口效应，与 EFIM 局部曲率并不矛盾——EFIM 只刻画某一个 tooth 内的二阶曲率，并不保证全局唯一 tooth。
|
||||
该 comb 是全局 profile likelihood 的周期窗口效应，与 \gls{efim} 局部曲率并不矛盾——\gls{efim} 只刻画某一个 tooth 内的二阶曲率，并不保证全局唯一 tooth。
|
||||
|
||||
相邻 tooth 是否容易区分由两层因素共同决定：单帧 pilot block 的长度 $T$（控制块内 Doppler 相干带宽）与非周期 subset 的窗口形状（控制 comb 旁瓣压制）。
|
||||
当 $T\ll\Delta\tau_{\mathrm{f}}$ 时，相邻 tooth 的块内相干损失约为 $\frac{\pi^2}{3}(T/\Delta\tau_{\mathrm{f}})^2$，因此增大 $T$ 可增强相邻 tooth 的分离度。
|
||||
@@ -292,6 +292,6 @@ $\boldsymbol\xi$ 的增益主要来自空间视线与阵列流形几何多样性
|
||||
\mathcal L^{\mathrm{pro}}_{\mathrm{cp}}(\widehat{\boldsymbol\eta}_{0}),
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
则 EFIM/CRB 只有在 $D_{\mathrm{tooth}}$ 足够大、tooth 选对后才能作为同 tooth 内估计误差的局部描述。Dirichlet 窗口的完整推导、块内相干损失的 sinc 近似与 tooth 可分离性的数值刻画均见附录~\ref{sec:A7_dynDoaDopplerCrb} 末尾的补充分析。
|
||||
则 \gls{efim}/\gls{crb} 只有在 $D_{\mathrm{tooth}}$ 足够大、tooth 选对后才能作为同 tooth 内估计误差的局部描述。Dirichlet 窗口的完整推导、块内相干损失的 sinc 近似与 tooth 可分离性的数值刻画均见附录~\ref{sec:A7_dynDoaDopplerCrb} 末尾的补充分析。
|
||||
|
||||
本节完成了多帧动态主线：CP 模型通过同星公共相位 $\chi_\ell$ 显式利用跨帧绝对时间信息，IP 模型作为对照基线放弃跨帧绝对相位；二者的 EFIM 差异量化了跨帧连续相位携带的信息量。
|
||||
本节完成了多帧动态主线：CP 模型通过同星公共相位 $\chi_\ell$ 显式利用跨帧绝对时间信息，IP 模型作为对照基线放弃跨帧绝对相位；二者的 \gls{efim} 差异量化了跨帧连续相位携带的信息量。
|
||||
|
||||
@@ -28,7 +28,7 @@
|
||||
\beta_\ell^{\mathrm{loc}}=\arcsin\!\big(u^{\mathrm{loc}}_{\ell,3}\big),
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
并据此代入与第~\ref{subsec:single_arr_array_model} 小节完全相同的 ULA/UPA 阵列导向模板，得到本地导向矢量
|
||||
并据此代入与第~\ref{subsec:single_arr_array_model} 小节完全相同的 \gls{ula}/\gls{upa} 阵列导向模板，得到本地导向矢量
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\mathbf a_\ell(\mathbf p)\triangleq\mathbf a_\ell\!\big(\alpha_\ell^{\mathrm{loc}}(\mathbf p),\beta_\ell^{\mathrm{loc}}(\mathbf p)\big)\in\mathbb C^{M_\ell\times1}.
|
||||
@@ -106,4 +106,4 @@
|
||||
%
|
||||
第 $\ell$ 颗卫星对第 $k$ 个用户的空时模板 $\mathbf g_{\ell,k}=\mathbf q_{\ell,k}\otimes\mathbf a_\ell(\mathbf p_k)$、集中似然对各星 $\mathbf G_\ell=[\mathbf g_{\ell,1},\ldots,\mathbf g_{\ell,K}]$ 列空间的投影、以及用户分离可辨识性，全部与第~\ref{sec:multiSatMultiUser} 节及\ref{subsec:E2_multiUserMultiSatCrb} 逐字平行，只把 $\boldsymbol\xi_k$ 换成 $\mathbf p_k$。
|
||||
|
||||
本节完成了从全局方向到用户三维位置的输出参数化：阵列信号模型、参考星 Doppler、集中似然与 EFIM 框架全部继承自多星静态主线，唯一变动的是``位置经逐星视线映射诱导各星本地角与差分 Doppler''这一几何层；全局方向模型为其远场极限。这正是第二篇论文``多星阵列对多用户单天线定位''所需的模型接口；时间戳误差与多帧连续相位扩展可正交叠加于此。
|
||||
本节完成了从全局方向到用户三维位置的输出参数化：阵列信号模型、参考星 Doppler、集中似然与 \gls{efim} 框架全部继承自多星静态主线，唯一变动的是``位置经逐星视线映射诱导各星本地角与差分 Doppler''这一几何层；全局方向模型为其远场极限。这正是第二篇论文``多星阵列对多用户单天线定位''所需的模型接口；时间戳误差与多帧连续相位扩展可正交叠加于此。
|
||||
|
||||
Reference in New Issue
Block a user