From add729143f5d56c76e7713e6e9f2bfc255918aac Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Josh Gao Date: Wed, 17 Jun 2026 10:41:07 +0800 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?fix(sec4,app-E):=20=E4=B8=8D=E5=8F=AF=E8=BE=A8?= =?UTF-8?q?=E8=AF=86=E6=94=B9=E8=BF=B0=E4=B8=BA=E5=B9=B3=E5=9D=A6=E8=84=8A?= =?UTF-8?q?=EF=BC=8C=E5=BC=83=E7=94=A8"=E4=BC=AA=E6=9E=81=E5=80=BC"?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit ρ→1 导致 G_ell/EFIM 秩亏，其标准后果是似然沿该方向退化为平坦脊 （Hessian 奇异、最优不孤立、CRB 发散）即不可辨识，而非"伪极值" （后者指多峰/假局部极大，属门限区另一现象）。sec4:201 与 E:780 两处同一措辞统一改为"退化为平坦脊（最优不再孤立…）"，与附录 E.2 的 EFIM 非奇异性口径一致。 --- parts/E-multiSatStaticCrb.tex | 2 +- parts/sec4_multiSatMultiUser.tex | 6 +++--- 2 files changed, 4 insertions(+), 4 deletions(-) diff --git a/parts/E-multiSatStaticCrb.tex b/parts/E-multiSatStaticCrb.tex index f8420fe..f96d83c 100644 --- a/parts/E-multiSatStaticCrb.tex +++ b/parts/E-multiSatStaticCrb.tex @@ -777,7 +777,7 @@ $\mathbf J_{\psi,\ell}$ 的实参数化二维实子空间与复矩阵 $\mathbf G \qquad\forall\ell, \end{equation} % -对应 $\boldsymbol\eta_k$ 与 $\boldsymbol\eta_{k'}$ 方向上的 \gls{efim} 块趋于秩亏，集中似然在该方向出现伪极值。多星几何提供的缓解机制——只要存在一颗星 $\ell$ 上述等式严重违反——也直接由这一秩条件读出。 +对应 $\boldsymbol\eta_k$ 与 $\boldsymbol\eta_{k'}$ 方向上的 \gls{efim} 块趋于秩亏，集中似然在该方向退化为平坦脊（最优不再孤立）。多星几何提供的缓解机制——只要存在一颗星 $\ell$ 上述等式严重违反——也直接由这一秩条件读出。 \subsubsection{CRB 表达式} diff --git a/parts/sec4_multiSatMultiUser.tex b/parts/sec4_multiSatMultiUser.tex index a7dfe84..1f8f5ad 100644 --- a/parts/sec4_multiSatMultiUser.tex +++ b/parts/sec4_multiSatMultiUser.tex @@ -194,11 +194,11 @@ $\boldsymbol\Xi\triangleq[\boldsymbol\xi_1,\ldots,\boldsymbol\xi_K]$，$\boldsym % 描述了二者在该卫星空时维度上的相干度。$\rho_{\ell,kk'}$ 由三个因素共同决定： \begin{enumerate} - \item 局部导向矢量相干 $|\mathbf a_\ell^\Herm(\boldsymbol\xi_k)\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi_{k'})|/(\|\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi_k)\|\|\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi_{k'})\|)$，反映两个用户在该星本地角度域的分离； - \item 时间模板相干 $|\mathbf q_{\ell,k}^\Herm\mathbf q_{\ell,k'}|/(\|\mathbf q_{\ell,k}\|\|\mathbf q_{\ell,k'}\|)$，由 Doppler 差 $\nu_{\ell,k}-\nu_{\ell,k'}$ 与导频互相关共同决定； + \item 局部导向矢量相干 $\dfrac{|\mathbf a_\ell^\Herm(\boldsymbol\xi_k)\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi_{k'})|}{\|\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi_k)\|\|\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi_{k'})\|}$，反映两个用户在该星本地角度域的分离； + \item 时间模板相干 $\dfrac{|\mathbf q_{\ell,k}^\Herm\mathbf q_{\ell,k'}|}{\|\mathbf q_{\ell,k}\|\|\mathbf q_{\ell,k'}\|}$，由 Doppler 差 $\nu_{\ell,k}-\nu_{\ell,k'}$ 与导频互相关共同决定； \item 二者通过 Kronecker 积联立后的乘积形式。 \end{enumerate} -当所有 $L$ 颗星上 $\rho_{\ell,kk'}\to 1$ 时，$\mathbf G_\ell$ 趋于秩亏，\eqref{eq:sec4_concentrated} 的 Hessian 在 $(\boldsymbol\xi_k,\nu_{\mathrm{ref},k})\leftrightarrow(\boldsymbol\xi_{k'},\nu_{\mathrm{ref},k'})$ 方向变得平坦，集中似然曲面在该方向出现伪极值，用户分离的可辨识性丧失。 +当所有 $L$ 颗星上 $\rho_{\ell,kk'}\to 1$ 时，$\mathbf G_\ell$ 趋于秩亏，\eqref{eq:sec4_concentrated} 的 Hessian 在 $(\boldsymbol\xi_k,\nu_{\mathrm{ref},k})\leftrightarrow(\boldsymbol\xi_{k'},\nu_{\mathrm{ref},k'})$ 方向趋于奇异，集中似然曲面在该方向退化为平坦脊（最优不再孤立、对应 CRB 发散），用户分离的可辨识性丧失。 多星几何对这一可辨识性提供了关键缓解：即便某颗卫星上 $\rho_{\ell,kk'}\approx 1$（例如两个用户在该星本地角域内距离小于一个 beamwidth），只要存在另一颗卫星 $\ell'$ 使 $\rho_{\ell',kk'}$ 显著小于 1，多星联合的 $\sum_\ell\mathbf G_\ell^\Herm\mathbf G_\ell$ 块仍可保持非奇异。这是多星扩展相对单星多用户最直接的几何收益。