diff --git a/parts/A-symbolIndex.tex b/parts/A-symbolIndex.tex index 052afd5..14220b6 100644 --- a/parts/A-symbolIndex.tex +++ b/parts/A-symbolIndex.tex @@ -419,8 +419,8 @@ $z_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}$ 和 $z_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}$ & 连续相位和独立相位模型中的匹配统计量。\\ $d_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}$ 和 $d_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}$ & 连续相位和独立相位模型中由导向矢量范数与时间模板范数相乘得到的归一化因子。\\ $\mathcal L(\cdot)$ & 负对数似然函数或省略常数后的优化目标；具体参数由所在模型决定。\\ - $\mathcal L_{\mathrm{cp}}$ & 连续相位结构化模型的负对数似然函数。\\ - $\mathcal L_{\mathrm{cp}}^{\mathrm{pro}}$ & 对噪声方差等参数轮廓化后的连续相位负对数似然。\\ + $\mathcal L^{\mathrm{cp}}$ & 连续相位结构化模型的负对数似然函数。\\ + $\mathcal L^{\mathrm{cp,pro}}$ & 对噪声方差等参数轮廓化后的连续相位负对数似然。\\ $\mathcal E_\ell$ & 静态单块多星模型中，消去复增益 $\zeta_\ell$ 后的第 $\ell$ 颗卫星残差能量。\\ $\mathcal E_{\tau,\ell}$ & \gls{doa}--Doppler--delay 扩展模型中，消去复增益 $\zeta_\ell$ 后的第 $\ell$ 颗卫星残差能量。\\ $\mathcal R_\ell$ & 第 $\ell$ 颗卫星的聚合残差。\\ @@ -466,8 +466,8 @@ $\mathbf J$ & Jacobian 矩阵或导数矩阵，不再用于表示 Fisher 信息矩阵。\\ $\boldsymbol\psi$ & 通用干扰参数向量。 在不同上下文中，它可包含信源复包络、复干扰系数、相位、Doppler rate 或噪声方差。\\ $\boldsymbol\psi_\mu$ & 只影响均值向量的干扰参数子集。\gls{crb} 附录中若噪声方差与均值参数 Fisher 块解耦，则 Schur 补通常只显式保留 $\boldsymbol\psi_\mu$。\\ - $\boldsymbol\psi_{\mathrm{cp}}$ & 连续相位模型的干扰参数集合，通常包含 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$、$\{\chi_\ell\}$、$\{\rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}\}$ 与 $\{\sigma_\ell\}$。\\ - $\boldsymbol\psi_{\mathrm{ip}}$ & 独立相位模型的干扰参数集合，通常包含 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$、自由复增益 $\{\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}\}$ 或其等价极坐标参数 $\{\vartheta_{\ell,p},\rho_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}\}$，以及 $\{\sigma_\ell\}$。\\ + $\boldsymbol\psi^{\mathrm{cp}}$ & 连续相位模型的干扰参数集合，通常包含 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$、$\{\chi_\ell\}$、$\{\rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}\}$ 与 $\{\sigma_\ell\}$。\\ + $\boldsymbol\psi^{\mathrm{ip}}$ & 独立相位模型的干扰参数集合，通常包含 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$、自由复增益 $\{\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}\}$ 或其等价极坐标参数 $\{\vartheta_{\ell,p},\rho_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}\}$，以及 $\{\sigma_\ell\}$。\\ $\mathcal P_{\mathbf B}$ 和 $\mathcal P_{\mathbf B}^{\perp}$ & 到矩阵 $\mathbf B$ 列空间及其正交补的投影算子，定义为 $\mathcal P_{\mathbf B}=\mathbf B(\mathbf B^\Herm\mathbf B)^{-1}\mathbf B^\Herm$ 和 $\mathcal P_{\mathbf B}^{\perp}=\mathbf I-\mathcal P_{\mathbf B}$。当 $\mathbf B=\mathbf A$ 时得到空间导向矩阵投影；当 $\mathbf B=\mathbf B_{\mathrm{st}}$ 时得到空时导向矩阵投影。\\ $\mathbf R$ 或 $\mathbf R_y$ & 随机信号模型中的观测协方差矩阵。\\ $\mathbf R_x$ & 随机信号模型中的信源协方差矩阵。\\ diff --git a/parts/G-multiFrameCrb.tex b/parts/G-multiFrameCrb.tex index 7793883..dfc2530 100644 --- a/parts/G-multiFrameCrb.tex +++ b/parts/G-multiFrameCrb.tex @@ -239,7 +239,7 @@ 定义连续相位模型的干扰参数向量为 % \begin{equation} - \boldsymbol\psi_{\mathrm{cp},\mu} + \boldsymbol\psi^{\mathrm{cp}}_{\mu} = \Big[ \dot\nu_{\mathrm{ref}}, @@ -251,10 +251,10 @@ 并令总参数向量为 % \begin{equation} - \boldsymbol\kappa_{\mathrm{cp}} + \boldsymbol\kappa^{\mathrm{cp}} = \begin{bmatrix} - \boldsymbol\eta^{\Tran} & \boldsymbol\psi_{\mathrm{cp},\mu}^{\Tran} + \boldsymbol\eta^{\Tran} & (\boldsymbol\psi^{\mathrm{cp}}_{\mu})^{\Tran} \end{bmatrix}^{\Tran}. \end{equation} @@ -303,7 +303,7 @@ \qquad \mathbf J^{\mathrm{cp}}_{\psi} \triangleq - \frac{\partial \boldsymbol\mu^{\mathrm{cp}}}{\partial \boldsymbol\psi_{\mathrm{cp},\mu}}. + \frac{\partial \boldsymbol\mu^{\mathrm{cp}}}{\partial \boldsymbol\psi^{\mathrm{cp}}_{\mu}}. \end{equation} % 于是根据 \eqref{eq:A7_FIM_general}，连续相位模型的 \gls{fim} 分块为 @@ -353,7 +353,7 @@ 从而其 \gls{crb} 为 % \begin{equation} - \operatorname{CRB}_{\mathrm{cp}}(\boldsymbol\eta) + \operatorname{CRB}^{\mathrm{cp}}(\boldsymbol\eta) = \big(\mathcal I_{\mathrm e}^{\mathrm{cp}}(\boldsymbol\eta)\big)^{-1}. \label{eq:A7_CRB_cp} @@ -368,7 +368,7 @@ 记 % \begin{equation} - \boldsymbol\psi_{\mathrm{cp},0} + \boldsymbol\psi^{\mathrm{cp}}_{0} = \Big[ \{\chi_\ell\}_{\ell=0}^{L-1}, @@ -377,7 +377,7 @@ \end{equation} % 为不含 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 的幅度/相位干扰参数。 -若 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 已知，则先消去 $\boldsymbol\psi_{\mathrm{cp},0}$ 后，主参数 $\boldsymbol\eta$ 的 known-rate \gls{efim} 可写为 +若 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 已知，则先消去 $\boldsymbol\psi^{\mathrm{cp}}_{0}$ 后，主参数 $\boldsymbol\eta$ 的 known-rate \gls{efim} 可写为 % \begin{equation} \mathcal I_{\mathrm e}^{\mathrm{cp,K}} @@ -390,8 +390,8 @@ \label{eq:A7_CP_K_EFIM} \end{equation} % -其中上标 $(0)$ 表示只按参数 $(\boldsymbol\eta,\boldsymbol\psi_{\mathrm{cp},0})$ 构造的 \gls{fim} 分块。 -若进一步把 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 作为干扰参数，则可在消去 $\boldsymbol\psi_{\mathrm{cp},0}$ 后，将扩展 \gls{efim} 按 $(\boldsymbol\eta,\dot\nu_{\mathrm{ref}})$ 分块为 +其中上标 $(0)$ 表示只按参数 $(\boldsymbol\eta,\boldsymbol\psi^{\mathrm{cp}}_{0})$ 构造的 \gls{fim} 分块。 +若进一步把 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 作为干扰参数，则可在消去 $\boldsymbol\psi^{\mathrm{cp}}_{0}$ 后，将扩展 \gls{efim} 按 $(\boldsymbol\eta,\dot\nu_{\mathrm{ref}})$ 分块为 % \begin{equation} \mathcal I_{\mathrm e}^{\mathrm{cp,ext}} @@ -1044,7 +1044,7 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则 2\Re\{(\mathbf J_{\mathrm{full}}^{\mathrm{cp}})^{\Herm}\mathbf R_n^{-1}\mathbf J_{\mathrm{full}}^{\mathrm{cp}}\}, \end{equation} % -再按 $[\boldsymbol\eta^{\Tran},\boldsymbol\psi_{\mathrm{cp},\mu}^{\Tran}]^{\Tran}$ 分块执行 Schur 补得到式~\eqref{eq:A7_Ieff_cp}。最后，对 relaxed 连续相位模型，应同时用完整 \gls{fim} 消元和投影式~\eqref{eq:A7_Ieff_rel_ext} 计算一次，两者应在数值精度内一致；该检查可以有效排除 $\mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}$、$\mathbf D^{\mathrm{rel}}_{\mathrm{ext},\ell,p}$、噪声方差系数和 Kronecker 堆叠顺序的实现错误。 +再按 $[\boldsymbol\eta^{\Tran},(\boldsymbol\psi^{\mathrm{cp}}_{\mu})^{\Tran}]^{\Tran}$ 分块执行 Schur 补得到式~\eqref{eq:A7_Ieff_cp}。最后，对 relaxed 连续相位模型，应同时用完整 \gls{fim} 消元和投影式~\eqref{eq:A7_Ieff_rel_ext} 计算一次，两者应在数值精度内一致；该检查可以有效排除 $\mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}$、$\mathbf D^{\mathrm{rel}}_{\mathrm{ext},\ell,p}$、噪声方差系数和 Kronecker 堆叠顺序的实现错误。 \subsubsection{关于噪声方差参数的说明} @@ -1278,7 +1278,7 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则 定义独立相位模型的干扰参数向量为 % \begin{equation} - \boldsymbol\psi_{\mathrm{ip},\mu} + \boldsymbol\psi^{\mathrm{ip}}_{\mu} = \Big[ \dot\nu_{\mathrm{ref}}, @@ -1290,10 +1290,10 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则 并令总参数向量为 % \begin{equation} - \boldsymbol\kappa_{\mathrm{ip}} + \boldsymbol\kappa^{\mathrm{ip}} = \begin{bmatrix} - \boldsymbol\eta^{\Tran} & \boldsymbol\psi_{\mathrm{ip},\mu}^{\Tran} + \boldsymbol\eta^{\Tran} & (\boldsymbol\psi^{\mathrm{ip}}_{\mu})^{\Tran} \end{bmatrix}^{\Tran}. \end{equation} % @@ -1302,17 +1302,17 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则 对任意实参数 $\kappa_i$ 与 $\kappa_j$，Fisher 信息矩阵元素统一写为 % \begin{equation} - [\mathcal I(\boldsymbol\kappa_{\mathrm{ip}})]_{ij} + [\mathcal I(\boldsymbol\kappa^{\mathrm{ip}})]_{ij} = 2\Re\left\{ - \frac{\partial \boldsymbol\mu^{\Herm}(\boldsymbol\kappa_{\mathrm{ip}})}{\partial \kappa_i} + \frac{\partial \boldsymbol\mu^{\Herm}(\boldsymbol\kappa^{\mathrm{ip}})}{\partial \kappa_i} \mathbf R_n^{-1} - \frac{\partial \boldsymbol\mu(\boldsymbol\kappa_{\mathrm{ip}})}{\partial \kappa_j} + \frac{\partial \boldsymbol\mu(\boldsymbol\kappa^{\mathrm{ip}})}{\partial \kappa_j} \right\}, \label{eq:A8_IP_FIM_general} \end{equation} % -其中 $\boldsymbol\mu(\boldsymbol\kappa_{\mathrm{ip}})$ 为联合均值向量，$\mathbf R_n$ 为联合噪声协方差矩阵。 +其中 $\boldsymbol\mu(\boldsymbol\kappa^{\mathrm{ip}})$ 为联合均值向量，$\mathbf R_n$ 为联合噪声协方差矩阵。 对单个观测块 $(\ell,p)$，其均值为 % @@ -1407,7 +1407,7 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则 若把 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 也视为感兴趣参数，则 % \begin{equation} - \operatorname{CRB}_{\mathrm{ip}}(\boldsymbol\eta,\dot\nu_{\mathrm{ref}}) + \operatorname{CRB}^{\mathrm{ip}}(\boldsymbol\eta,\dot\nu_{\mathrm{ref}}) = \big(\mathcal I^{\mathrm{ip}}_{\mathrm{ext}}\big)^{-1}. \label{eq:A8_IP_CRB_etadotnu} @@ -1442,7 +1442,7 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则 从而 % \begin{equation} - \operatorname{CRB}_{\mathrm{ip}}(\boldsymbol\eta) + \operatorname{CRB}^{\mathrm{ip}}(\boldsymbol\eta) = \big(\mathcal I^{\mathrm{ip}}_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta)\big)^{-1}. \label{eq:A8_IP_CRB_eta} @@ -1470,7 +1470,7 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则 \bar{\mathbf J}^{\mathrm{ip}}_{\psi} \triangleq \mathbf R_n^{-1/2} - \frac{\partial\boldsymbol\mu^{\mathrm{ip}}}{\partial\boldsymbol\psi_{\mathrm{ip},\mu}}, + \frac{\partial\boldsymbol\mu^{\mathrm{ip}}}{\partial\boldsymbol\psi^{\mathrm{ip}}_{\mu}}, \end{equation} % 则式~\eqref{eq:A8_IP_EFIM_eta} 等价于 diff --git a/parts/sec6_multiFrameCp.tex b/parts/sec6_multiFrameCp.tex index 5afc969..34c9bf1 100644 --- a/parts/sec6_multiFrameCp.tex +++ b/parts/sec6_multiFrameCp.tex @@ -143,7 +143,7 @@ CP 与 IP 的差别集中在块复增益的自由度：CP 保留 $L$ 个跨帧 CP 模型的干扰参数向量为 % \begin{equation} - \boldsymbol\psi_{\mathrm{cp}} + \boldsymbol\psi^{\mathrm{cp}} = \Big[ \dot\nu_{\mathrm{ref}}, @@ -156,7 +156,7 @@ CP 模型的干扰参数向量为 在 ``星间异方差、星内短窗同方差'' 假设下，联合负对数似然为 % \begin{equation} - \mathcal L_{\mathrm{cp}}(\boldsymbol\eta,\boldsymbol\psi_{\mathrm{cp}}) + \mathcal L^{\mathrm{cp}}(\boldsymbol\eta,\boldsymbol\psi^{\mathrm{cp}}) = \sum_{\ell=0}^{L-1}M_\ell PT\log\sigma_\ell + @@ -287,9 +287,9 @@ $\boldsymbol\xi$ 的增益主要来自空间视线与阵列流形几何多样性 D_{\mathrm{tooth}} \triangleq \min_{k\neq0} - \mathcal L^{\mathrm{pro}}_{\mathrm{cp}}(\widehat{\boldsymbol\eta}_{k}) + \mathcal L^{\mathrm{cp,pro}}(\widehat{\boldsymbol\eta}_{k}) - - \mathcal L^{\mathrm{pro}}_{\mathrm{cp}}(\widehat{\boldsymbol\eta}_{0}), + \mathcal L^{\mathrm{cp,pro}}(\widehat{\boldsymbol\eta}_{0}), \end{equation} % 则 \gls{efim}/\gls{crb} 只有在 $D_{\mathrm{tooth}}$ 足够大、tooth 选对后才能作为同 tooth 内估计误差的局部描述。Dirichlet 窗口的完整推导、块内相干损失的 sinc 近似与 tooth 可分离性的数值刻画均见附录~\ref{sec:A7_dynDoaDopplerCrb} 末尾的补充分析。