From b7d5503d6805ed695180e6bf9a91e13add1946e3 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Josh Gao Date: Wed, 17 Jun 2026 12:28:54 +0800 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?fix(symbol):=20G=20=E7=9A=84=20CP/IP=20?= =?UTF-8?q?=E6=A8=A1=E5=9E=8B=E5=90=8D=E6=94=B9=E7=94=A8=20\gls?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit 按方案 B，附录 G 里中文/英文模型名统一为 \gls{cp}/\gls{ip}（连续相位模型、 独立相位模型、模板、基线、relaxed 连续相位处理、CP/IP 对比、以及裸 CP/IP 共 32 行）。保留：subsection 标题、数学上标 ^{\mathrm{cp}}、标签 eq:A7_CP_K/eq:A8_IP、复合名；相位属性描述（跨帧连续相位结构、相位连续性、 块的独立相位 \vartheta、G:1065 对"独立相位"一词的释义）一律保留中文。两遍编译干净。 --- parts/G-multiFrameCrb.tex | 66 +++++++++++++++++++-------------------- 1 file changed, 33 insertions(+), 33 deletions(-) diff --git a/parts/G-multiFrameCrb.tex b/parts/G-multiFrameCrb.tex index 5923b15..fe767ab 100644 --- a/parts/G-multiFrameCrb.tex +++ b/parts/G-multiFrameCrb.tex @@ -1,16 +1,16 @@ \section{多帧动态模型 CRB} \label{sec:multiFrameCrb} -本附录汇总多帧动态多星模型下的两类 \gls{crb} 推导：连续相位（CP）模型和独立相位（IP）基线模型。 -两者共享主参数 $\boldsymbol\eta=[\alpha,\beta,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$ 与 Doppler rate $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 作为干扰参数的处理方式，差别在于跨帧相位结构：CP 模型保留同星公共相位约束，IP 模型放弃这一约束。 -通过对比 CP 与 IP 的 \gls{efim} 可以量化跨帧相位连续性所携带的信息量。 +本附录汇总多帧动态多星模型下的两类 \gls{crb} 推导：\gls{cp} 模型和\gls{ip} 基线模型。 +两者共享主参数 $\boldsymbol\eta=[\alpha,\beta,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$ 与 Doppler rate $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 作为干扰参数的处理方式，差别在于跨帧相位结构：\gls{cp} 模型保留同星公共相位约束，\gls{ip} 模型放弃这一约束。 +通过对比 \gls{cp} 与 \gls{ip} 的 \gls{efim} 可以量化跨帧相位连续性所携带的信息量。 \subsection{连续相位 CP 模型 EFIM} \label{sec:A7_dynDoaDopplerCrb} 本附录沿用第~\ref{sec:dynamicDoaDopplerEst} 节中的动态多帧记号，只讨论两类与正文主线严格对应的模型： \begin{enumerate} - \item 第~\ref{subsec:dynamicCpModel} 小节中的连续相位模型（structured continuous-phase, CP）； - \item 第~\ref{subsec:dynamicRelaxedModel} 小节中的 relaxed 连续相位模型，即保留连续相位模板，但将每个观测块的复干扰系数 $\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp,rel}}$ 视为自由参数。 + \item 第~\ref{subsec:dynamicCpModel} 小节中的结构化\gls{cp} 模型； + \item 第~\ref{subsec:dynamicRelaxedModel} 小节中的 relaxed \gls{cp} 模型，即保留\gls{cp} 模板，但将每个观测块的复干扰系数 $\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp,rel}}$ 视为自由参数。 \end{enumerate} 主参数统一定义为 % @@ -30,7 +30,7 @@ \subsubsection{沿用正文模型的最小定义与导数记号} -沿用第~\ref{subsec:dynamicCpModel} 小节中的连续相位模板与块级向量化方式。对任意卫星 $\ell=0,\ldots,L-1$ 与帧 $p=0,\ldots,P-1$，定义连续相位模板 +沿用第~\ref{subsec:dynamicCpModel} 小节中的\gls{cp} 模板与块级向量化方式。对任意卫星 $\ell=0,\ldots,L-1$ 与帧 $p=0,\ldots,P-1$，定义\gls{cp} 模板 % \begin{equation} \phi^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}(t) @@ -209,7 +209,7 @@ \subsubsection{连续相位模型下的 CRB} -连续相位模型写为 +\gls{cp} 模型写为 % \begin{equation} \tilde{\mathbf y}^{\mathrm{cp}}_{\ell,p} @@ -236,7 +236,7 @@ \zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}\mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}},\dot\nu_{\mathrm{ref}}). \end{equation} -定义连续相位模型的干扰参数向量为 +定义\gls{cp} 模型的干扰参数向量为 % \begin{equation} \boldsymbol\psi^{\mathrm{cp}}_{\mu} @@ -306,7 +306,7 @@ \frac{\partial \boldsymbol\mu^{\mathrm{cp}}}{\partial \boldsymbol\psi^{\mathrm{cp}}_{\mu}}. \end{equation} % -于是根据 \eqref{eq:A7_FIM_general}，连续相位模型的 \gls{fim} 分块为 +于是根据 \eqref{eq:A7_FIM_general}，\gls{cp} 模型的 \gls{fim} 分块为 % \begin{equation} \mathcal I_{\eta\eta}^{\mathrm{cp}} @@ -336,7 +336,7 @@ \right\}. \end{equation} % -因此，主参数 $\boldsymbol\eta$ 在连续相位模型下的 \gls{efim} 为 +因此，主参数 $\boldsymbol\eta$ 在\gls{cp} 模型下的 \gls{efim} 为 % \begin{equation} \mathcal I_{\mathrm e}^{\mathrm{cp}}(\boldsymbol\eta) @@ -359,7 +359,7 @@ \label{eq:A7_CRB_cp} \end{equation} -需要强调的是，与 relaxed 情形不同，连续相位模型中的 $\{\chi_\ell\}$ 在同一卫星的多帧之间共享，而 $\{\rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}\}$ 为实参数，因此其 Schur 补一般不能进一步化成逐块独立的简单投影求和式。式~\eqref{eq:A7_Ieff_cp} 是与正文模型严格一致且最稳妥的写法。 +需要强调的是，与 relaxed 情形不同，\gls{cp} 模型中的 $\{\chi_\ell\}$ 在同一卫星的多帧之间共享，而 $\{\rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}\}$ 为实参数，因此其 Schur 补一般不能进一步化成逐块独立的简单投影求和式。式~\eqref{eq:A7_Ieff_cp} 是与正文模型严格一致且最稳妥的写法。 \subsubsection{Known-rate/unknown-rate EFIM 关系与单星 DoA 正交性} \label{subsec:A7_knownUnknownRateOrthogonality} @@ -490,7 +490,7 @@ \subsubsection{relaxed 连续相位模型下的 CRB} -沿用第~\ref{subsec:dynamicRelaxedModel} 小节中的 relaxed 连续相位处理，每个观测块的复干扰系数 $\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp,rel}}$ 视为自由参数，即 +沿用第~\ref{subsec:dynamicRelaxedModel} 小节中的 relaxed \gls{cp} 处理，每个观测块的复干扰系数 $\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp,rel}}$ 视为自由参数，即 % \begin{equation} \tilde{\mathbf y}^{\mathrm{cp}}_{\ell,p} @@ -502,7 +502,7 @@ \zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp,rel}}=\zeta^{(r)}_{\ell,p}+j\zeta^{(i)}_{\ell,p}. \end{equation} % -这里模板仍然是 $\mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}$，因此该模型只是放松了块复系数结构，并未放弃跨帧连续相位模板。 +这里模板仍然是 $\mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}$，因此该模型只是放松了块复系数结构，并未放弃跨帧\gls{cp} 模板。 令扩展参数向量为 % @@ -649,7 +649,7 @@ \label{subsec:A7_efimIllConditioning} 式~\eqref{eq:A7_Ieff_cp} 与式~\eqref{eq:A7_Ieff_rel_eta} 都是对完整 \gls{fim}中的 -干扰参数执行 Schur 补后得到的 \gls{efim}。本小节给出一个与具体 CP/IP 模型无关的局部线性解释， +干扰参数执行 Schur 补后得到的 \gls{efim}。本小节给出一个与具体 \gls{cp}/\gls{ip} 模型无关的局部线性解释， 用于说明多星场景中角度 \gls{crb} 显著改善但 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 边际 \gls{crb} 改善有限、同时 \gls{efim} 条件数 变大的原因。 @@ -889,7 +889,7 @@ $\mathcal I_{\nu\nu}^{(L)}$ 的能量叠加，另一个是耦合惩罚 $1-\gamma_{\xi,\nu}^{2,(L)}$。这解释了为什么两星或少数多星情形中，角度 \gls{crb} 可能因 $\mathcal I_{\xi\xi}$ 增强而明显降低，而 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 的边际 \gls{crb} 只出现温和改善。 -对本文的动态连续相位模型，造成 $\gamma_{\xi,\nu}^{2}$ 较大的主要来源有三类。第一，幅度与相位 +对本文的动态\gls{cp} 模型，造成 $\gamma_{\xi,\nu}^{2}$ 较大的主要来源有三类。第一，幅度与相位 干扰参数张成了与 $\mathbf g_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}$ 和 $j\mathbf g_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}$ 相关的局部子空间，主参数导数中落在该子空间的分量会被 式~\eqref{eq:A7_efim_projection_interpret} 投影掉。第二，短观测窗口内 @@ -1044,7 +1044,7 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则 2\Re\{(\mathbf J_{\mathrm{full}}^{\mathrm{cp}})^{\Herm}\mathbf R_n^{-1}\mathbf J_{\mathrm{full}}^{\mathrm{cp}}\}, \end{equation} % -再按 $[\boldsymbol\eta^{\Tran},(\boldsymbol\psi^{\mathrm{cp}}_{\mu})^{\Tran}]^{\Tran}$ 分块执行 Schur 补得到式~\eqref{eq:A7_Ieff_cp}。最后，对 relaxed 连续相位模型，应同时用完整 \gls{fim} 消元和投影式~\eqref{eq:A7_Ieff_rel_ext} 计算一次，两者应在数值精度内一致；该检查可以有效排除 $\mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}$、$\mathbf D^{\mathrm{rel}}_{\mathrm{ext},\ell,p}$、噪声方差系数和 Kronecker 堆叠顺序的实现错误。 +再按 $[\boldsymbol\eta^{\Tran},(\boldsymbol\psi^{\mathrm{cp}}_{\mu})^{\Tran}]^{\Tran}$ 分块执行 Schur 补得到式~\eqref{eq:A7_Ieff_cp}。最后，对 relaxed \gls{cp} 模型，应同时用完整 \gls{fim} 消元和投影式~\eqref{eq:A7_Ieff_rel_ext} 计算一次，两者应在数值精度内一致；该检查可以有效排除 $\mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}$、$\mathbf D^{\mathrm{rel}}_{\mathrm{ext},\ell,p}$、噪声方差系数和 Kronecker 堆叠顺序的实现错误。 \subsubsection{关于噪声方差参数的说明} @@ -1056,13 +1056,13 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则 \frac{M_\ell P T}{\sigma_\ell^2}. \end{equation} % -因此，无论在连续相位模型还是 relaxed 连续相位模型下，将 $\sigma_\ell$ 视为未知量都只会在 \gls{fim} 中附加与其他参数解耦的对角块，不改变式~\eqref{eq:A7_Ieff_cp}、\eqref{eq:A7_Ieff_rel_ext} 和 \eqref{eq:A7_Ieff_rel_eta} 的形式。 +因此，无论在\gls{cp} 模型还是 relaxed \gls{cp} 模型下，将 $\sigma_\ell$ 视为未知量都只会在 \gls{fim} 中附加与其他参数解耦的对角块，不改变式~\eqref{eq:A7_Ieff_cp}、\eqref{eq:A7_Ieff_rel_ext} 和 \eqref{eq:A7_Ieff_rel_eta} 的形式。 -因此，本小节给出的不是新的动态模型，而是正文连续相位模型和 relaxed 连续相位处理的 Fisher 信息表达。它与\appref{sec:A8_dynIndependentPhaseCrb} 的比较应围绕``是否保留跨帧绝对相位连续性''展开，而不是围绕不同的主参数定义展开。 +因此，本小节给出的不是新的动态模型，而是正文\gls{cp} 模型和 relaxed \gls{cp} 处理的 Fisher 信息表达。它与\appref{sec:A8_dynIndependentPhaseCrb} 的比较应围绕``是否保留跨帧绝对相位连续性''展开，而不是围绕不同的主参数定义展开。 \subsection{独立相位 IP 基线 EFIM} \label{sec:A8_dynIndependentPhaseCrb} -本附录仅对应第~\ref{subsec:independentPhaseModel} 小节中的独立相位基线模型。这里的``独立相位''是指：每个观测块 $(\ell,p)$ 具有各自的\emph{独立未知初始相位} $\vartheta_{\ell,p}$，这些相位不再受同一颗卫星公共相位的结构约束；但它们仍是\emph{确定性未知参数}，而不是按某个先验分布生成的随机变量。因此，本附录与正文及\appref{sec:A7_dynDoaDopplerCrb} 一样，采用\emph{确定性参数 \gls{crb}}，而不再引入 hybrid \gls{crb}。 +本附录仅对应第~\ref{subsec:independentPhaseModel} 小节中的\gls{ip} 基线模型。这里的``独立相位''是指：每个观测块 $(\ell,p)$ 具有各自的\emph{独立未知初始相位} $\vartheta_{\ell,p}$，这些相位不再受同一颗卫星公共相位的结构约束；但它们仍是\emph{确定性未知参数}，而不是按某个先验分布生成的随机变量。因此，本附录与正文及\appref{sec:A7_dynDoaDopplerCrb} 一样，采用\emph{确定性参数 \gls{crb}}，而不再引入 hybrid \gls{crb}。 主参数统一定义为 % @@ -1078,11 +1078,11 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则 \boldsymbol\eta\in\mathbb R^3, \end{equation} % -并继续将 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 作为干扰参数处理。为避免与正文和\appref{sec:A7_dynDoaDopplerCrb} 重复，这里只保留独立相位模型对应的最小定义、导数记号与 \gls{efim} 结构。 +并继续将 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 作为干扰参数处理。为避免与正文和\appref{sec:A7_dynDoaDopplerCrb} 重复，这里只保留\gls{ip} 模型对应的最小定义、导数记号与 \gls{efim} 结构。 \subsubsection{沿用正文独立相位模型的最小定义与导数记号} -沿用第~\ref{subsec:independentPhaseModel} 小节中的块级独立相位建模。对任意卫星 $\ell=0,\ldots,L-1$ 与帧 $p=0,\ldots,P-1$，定义局部归一化 Doppler 为 +沿用第~\ref{subsec:independentPhaseModel} 小节中的块级\gls{ip} 建模。对任意卫星 $\ell=0,\ldots,L-1$ 与帧 $p=0,\ldots,P-1$，定义局部归一化 Doppler 为 % \begin{equation} \bar\nu_{\ell,p} @@ -1100,7 +1100,7 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则 \label{eq:A8_IP_omegagamma_map} \end{equation} % -于是独立相位模板写为 +于是\gls{ip} 模板写为 % \begin{equation} \phi^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}(t) @@ -1163,7 +1163,7 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则 \rho_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}\in\mathbb R_{\ge0}. \end{equation} % -这里的 $\vartheta_{\ell,p}$ 是第 $(\ell,p)$ 个观测块的独立未知初始相位；与连续相位模型相比，跨帧绝对相位连续性已经被这些块级相位参数吸收。 +这里的 $\vartheta_{\ell,p}$ 是第 $(\ell,p)$ 个观测块的独立未知初始相位；与\gls{cp} 模型相比，跨帧绝对相位连续性已经被这些块级相位参数吸收。 对角度参数 $x\in\{\alpha,\beta\}$，记 % @@ -1275,7 +1275,7 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则 \subsubsection{完整参数的 Fisher 信息矩阵} -定义独立相位模型的干扰参数向量为 +定义\gls{ip} 模型的干扰参数向量为 % \begin{equation} \boldsymbol\psi^{\mathrm{ip}}_{\mu} @@ -1448,18 +1448,18 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则 \label{eq:A8_IP_CRB_eta} \end{equation} -式~\eqref{eq:A8_IP_EFIM_eta} 给出的正是独立相位模型下，未知 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 对主参数 $(\alpha,\beta,\nu_{\mathrm{ref}})$ 的信息损失形式。与正文研究主线一致，这里的关键不在于再引入更高维动态状态，而在于比较：在相同短窗条件下，连续相位模型和独立相位模型分别能为主参数保留多少有效信息。 +式~\eqref{eq:A8_IP_EFIM_eta} 给出的正是\gls{ip} 模型下，未知 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 对主参数 $(\alpha,\beta,\nu_{\mathrm{ref}})$ 的信息损失形式。与正文研究主线一致，这里的关键不在于再引入更高维动态状态，而在于比较：在相同短窗条件下，\gls{cp} 模型和\gls{ip} 模型分别能为主参数保留多少有效信息。 \subsubsection{与 A7 中 relaxed 连续相位结果的关系} -式~\eqref{eq:A8_IP_FIM_etadotnu} 给出的扩展 \gls{fim}的投影型结构与\appref{sec:A7_dynDoaDopplerCrb} 中 relaxed 连续相位模型的结果形式一致，但两者对应的\emph{时间模板不同}： +式~\eqref{eq:A8_IP_FIM_etadotnu} 给出的扩展 \gls{fim}的投影型结构与\appref{sec:A7_dynDoaDopplerCrb} 中 relaxed \gls{cp} 模型的结果形式一致，但两者对应的\emph{时间模板不同}： \begin{itemize} - \item \appref{sec:A7_dynDoaDopplerCrb} 使用的是连续相位模板 $\mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}$，其中通过 $t_{p,t}=\tau_p+t$ 保留了跨帧绝对相位连续性； - \item 本附录使用的是独立相位模板 $\mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}$，其中帧间常相位项已被 $\vartheta_{\ell,p}$ 吸收，只保留帧内局部相位演化。 + \item \appref{sec:A7_dynDoaDopplerCrb} 使用的是\gls{cp} 模板 $\mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}$，其中通过 $t_{p,t}=\tau_p+t$ 保留了跨帧绝对相位连续性； + \item 本附录使用的是\gls{ip} 模板 $\mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}$，其中帧间常相位项已被 $\vartheta_{\ell,p}$ 吸收，只保留帧内局部相位演化。 \end{itemize} -因此，两类模型的差异不在 Schur 补的代数形式本身，而在模板里是否保留跨帧连续相位结构。这也正是正文中``连续相位 vs.~独立相位''对比的统计本质。 +因此，两类模型的差异不在 Schur 补的代数形式本身，而在模板里是否保留跨帧连续相位结构。这也正是正文中``\gls{cp} vs.~\gls{ip}''对比的统计本质。 -从 \gls{efim} 病态的角度看，独立相位模型与 relaxed 连续相位模型共享同一类投影解释。若定义白化 Jacobian +从 \gls{efim} 病态的角度看，\gls{ip} 模型与 relaxed \gls{cp} 模型共享同一类投影解释。若定义白化 Jacobian % \begin{equation} \bar{\mathbf J}^{\mathrm{ip}}_{\eta} @@ -1486,9 +1486,9 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则 \label{eq:A8_IP_EFIM_projection} \end{equation} % -因此，独立相位模型下的弱可辨识方向仍由 +因此，\gls{ip} 模型下的弱可辨识方向仍由 $\mathcal P^{\perp}_{\bar{\mathbf J}^{\mathrm{ip}}_{\psi}}\bar{\mathbf J}^{\mathrm{ip}}_{\eta}$ -的秩和最小奇异方向决定。与 A7 中的 relaxed 连续相位模型相比，二者的主要区别不在 +的秩和最小奇异方向决定。与 A7 中的 relaxed \gls{cp} 模型相比，二者的主要区别不在 Schur 补代数形式，而在 $\mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}$ 使用局部时间索引并允许每个 $(\ell,p)$ 块具有独立相位 $\vartheta_{\ell,p}$。这些自由相位会吸收跨帧绝对相位所携带的公共 Doppler 截距信息，因此通常不会缓解 \gls{doa}--Doppler--rate 耦合，而是构成一个更保守的相干性基线。 @@ -1506,4 +1506,4 @@ Doppler 截距信息，因此通常不会缓解 \gls{doa}--Doppler--rate 耦合 % 因此，将 $\sigma_\ell$ 视为未知量不会改变式~\eqref{eq:A8_IP_FIM_etadotnu} 与式~\eqref{eq:A8_IP_EFIM_eta} 的形式，只是在完整 \gls{fim}中附加一个与其他参数解耦的对角块。 -至此，动态多帧主线的两类性能界已经形成闭环： \appref{sec:A7_dynDoaDopplerCrb} 对应连续相位/relaxed 连续相位模型，本附录对应独立相位基线模型。二者共享同一主参数 $\boldsymbol\eta$，因而可以直接比较相位连续性对 \gls{doa}--Doppler 信息保留能力的影响。 \ No newline at end of file +至此，动态多帧主线的两类性能界已经形成闭环： \appref{sec:A7_dynDoaDopplerCrb} 对应\gls{cp}/relaxed \gls{cp} 模型，本附录对应\gls{ip} 基线模型。二者共享同一主参数 $\boldsymbol\eta$，因而可以直接比较相位连续性对 \gls{doa}--Doppler 信息保留能力的影响。 \ No newline at end of file