From d7f4cfbfcd1e006aac5ffafcd3e202e0bdfecbf5 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Josh Gao Date: Wed, 1 Jul 2026 19:05:54 +0800 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?content(app-E):=20=E6=96=B0=E5=A2=9E=20E.3=20?= =?UTF-8?q?=E9=9D=9E=E6=AD=A3=E4=BA=A4=E7=A0=81=E5=88=86=E5=A4=9A=E7=94=A8?= =?UTF-8?q?=E6=88=B7=20CRB(=E5=A4=9A=E5=9D=80=E5=B9=B2=E6=89=B0)?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit 把 E.2 隐含的用户耦合显式化为码分场景的诚实界(标准 CDMA 多用户估计理论、非新界): - 码 Gram R_l=Q_l^H Q_l 显式代入,空时交叠按 Kronecker 分解为 码×空间两因子;R=I 退回 sec4 逐用户充分统计量与单用户界。 - 对其余 K-1 用户取 Schur 补 → 单用户有效 EFIM + MAI 惩罚项 (码正交时为零、非正交时随 K 与互相关增重)。 - (a) 可达地板(MAI 物理极限、任何估计器消不掉)与 (b) 估计器 次优(附录 I 分离器逼近地板、超出部分)分离。 - SINR 型有效 CRB 闭式替代:解相关噪声放大、有效 SNR=SNR/ [R^{-1}]_kk(承 Verdu/Tse),满 FIM 病态时的干净可算读数。 - 位置/δ 版复用 G/H,码 Gram 与共享 δ 分落用户块与跨星块。 sec4 逐星充分统计量处加指针(近正交前提 → 非正交留 MAI 地板)。 paper-agnostic:不提 Contribution/route/AI 卖点。 --- parts/E-multiSatStaticCrb.tex | 56 +++++++++++++++++++++++++++++++- parts/sec4_multiSatMultiUser.tex | 2 +- 2 files changed, 56 insertions(+), 2 deletions(-) diff --git a/parts/E-multiSatStaticCrb.tex b/parts/E-multiSatStaticCrb.tex index 547aa81..5df811a 100644 --- a/parts/E-multiSatStaticCrb.tex +++ b/parts/E-multiSatStaticCrb.tex @@ -785,6 +785,60 @@ $\mathbf J_{\psi,\ell}$ 的实参数化二维实子空间与复矩阵 $\mathbf G % 即 $\mathcal I_{\mathrm e}^{-1}$ 中对应 $\boldsymbol\xi_k$ 行/列的 $2\times 2$ 子块。$\mathbf C_{\xi,k}$ 同时被后续波束成形章节作为鲁棒设计的理论上界使用。 +\subsection{非正交码分下的多用户 CRB（多址干扰）} +\label{subsec:E3_maiCrb} + +E.2 的多用户 \gls{efim} \eqref{eq:E2_Ieff_proj} 已含用户间耦合：非对角块 \eqref{eq:E2_Ieff_block} 里的投影空时交叠 $\mathbf D_{\ell,k}^\Herm\mathcal P_{\mathbf G_\ell}^\perp\mathbf D_{\ell,k'}$（$k\neq k'$）正是\emph{多址干扰}（multiple-access interference，MAI）。正文第~\ref{subsec:perSatSufficientStat} 小节的逐用户充分统计量 $\widehat{\mathbf h}_{\ell,k}$ 建立在``近正交码分''之上；本小节放开这一理想化，把码互相关显式代入，给出边缘化其余用户后的单用户有效界及其闭式替代。含码 Gram 的多用户参数 \gls{crb} 是标准 CDMA 多用户估计理论~\cite{verduMultiuserDetection1998}，此处不引入新界，只把 E.2 中隐含的耦合拎明。 + +\paragraph{码 Gram 与耦合的因子结构} +空时模板 $\mathbf g_{\ell,k}=\mathbf q_{\ell,k}\otimes\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi_k)$ 的用户间内积按 Kronecker 分解为``码''与``空间''两因子 +% +\begin{equation} + \mathbf g_{\ell,k}^\Herm\mathbf g_{\ell,k'} + =\big(\mathbf q_{\ell,k}^\Herm\mathbf q_{\ell,k'}\big) + \big(\mathbf a_\ell^\Herm(\boldsymbol\xi_k)\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi_{k'})\big), + \qquad + \mathbf R_\ell\triangleq\mathbf Q_\ell^\Herm\mathbf Q_\ell, + \quad + \mathbf Q_\ell=[\mathbf q_{\ell,1},\ldots,\mathbf q_{\ell,K}], + \label{eq:E3_gram_factor} +\end{equation} +% +其中 $r_{\ell,kk'}\triangleq\mathbf q_{\ell,k}^\Herm\mathbf q_{\ell,k'}$ 为码互相关、$\mathbf R_\ell$ 为码 Gram。两个用户只要\emph{码}或\emph{空间}之一充分正交即可分离。码正交（$\mathbf R_\ell=\mathbf I$，$r_{\ell,kk'}=0$，$k\neq k'$）时 $\{\mathbf g_{\ell,k}\}$ 逐用户正交，$\mathcal P_{\mathbf G_\ell}^\perp$ 逐用户作用、\eqref{eq:E2_Ieff_block} 的非对角块消失，多用户 \gls{efim} 块对角，退回第~\ref{subsec:perSatSufficientStat} 小节的逐用户充分统计量与 \eqref{eq:A6_Ieff_final} 的单用户界。短通信导频下 $K$ 个码不可能两两正交（如长度 $L_c$ 的 Zadoff--Chu 码不同根的峰值互相关 $\sim 1/\sqrt{L_c}$），$r_{\ell,kk'}\neq 0$、非对角块非零，构成不可回避的 MAI 耦合。 + +\paragraph{边缘化其余用户的单用户有效界} +把 \eqref{eq:E2_Ieff_proj} 的 $\mathcal I_{\mathrm e}$ 按``用户 $k$''与``其余 $K-1$ 个用户''两组行列分块，记对角块 $\mathcal I_{kk}\in\mathbb R^{3\times 3}$、$\mathcal I_{\bar k\bar k}$ 与交叉块 $\mathcal I_{k\bar k}$；对其余用户取 Schur 补得用户 $k$ 的有效 \gls{efim} +% +\begin{equation} + \mathcal I_{\mathrm e,k}^{\mathrm{eff}} + =\mathcal I_{kk}-\mathcal I_{k\bar k}\mathcal I_{\bar k\bar k}^{-1}\mathcal I_{\bar k k} + \preceq\mathcal I_{kk}, + \qquad + \operatorname{CRB}(\boldsymbol\eta_k)=\big(\mathcal I_{\mathrm e,k}^{\mathrm{eff}}\big)^{-1}, + \label{eq:E3_effFim} +\end{equation} +% +被扣的 $\mathcal I_{k\bar k}\mathcal I_{\bar k\bar k}^{-1}\mathcal I_{\bar k k}\succeq\mathbf 0$ 即\emph{MAI 惩罚}：把其余用户当未知参数一并估计所付的信息损失。码正交时交叉块 $\mathcal I_{k\bar k}=\mathbf 0$、惩罚为零，\eqref{eq:E3_effFim} 退回单用户界；码互相关越强、$K$ 越大，惩罚越重。 + +\paragraph{可达地板与估计器次优} +\eqref{eq:E3_effFim} 是任何估计器都无法回避的\emph{基本极限}：MAI 惩罚源于码非正交这一物理事实、与算法无关，故它给出短通信导频加 $K$ 用户下可达定位精度的地板。一个把 MAI 联合消解的分离器（如\appref{sec:dictSeparationAmp} 的 AMP/SBL 不动点）以此为逼近目标；其均方误差超出 \eqref{eq:E3_effFim} 的部分则是\emph{估计器次优}，可经更强分离缩小，与地板本身是两回事。 + +\paragraph{SINR 型有效 CRB（闭式替代）} +高负载下满 \gls{fim} 可能病态、\eqref{eq:E3_effFim} 难得紧解；此时可退到一个干净可算的替代——线性解相关前端。解相关器以 $\mathbf R_\ell^{-1}$ 分离用户、代价是噪声放大 $[\mathbf R_\ell^{-1}]_{kk}\ge 1$，用户 $k$ 在星 $\ell$ 上的有效信噪比降为 +% +\begin{equation} + \mathrm{SNR}_{\ell,k}^{\mathrm{eff}} + =\frac{\mathrm{SNR}_{\ell,k}}{[\mathbf R_\ell^{-1}]_{kk}}, + \qquad + \mathrm{SNR}_{\ell,k}=\frac{|\zeta_{\ell,k}|^2}{\sigma_\ell}, + \label{eq:E3_effSnr} +\end{equation} +% +把单用户 \gls{efim} \eqref{eq:A6_Ieff_final} 在 $\mathrm{SNR}_{\ell,k}^{\mathrm{eff}}$ 处求值即得每用户的标量替代界。它刻画一个线性解相关接收机的有效信噪比（承有效干扰／有效带宽分析~\cite{tseLinearMultiuserReceivers1999}），恒可算，是 \eqref{eq:E3_effFim} 的一个便捷、一般偏松的读数（只用码域 $\mathbf R_\ell$、未计阵列的额外分离，故保守）；码正交时 $[\mathbf R_\ell^{-1}]_{kk}=1$、无退化。 + +\paragraph{位置与时间戳版本} +上述结构只改变 \gls{efim} 的\emph{用户--用户块}，其余机器不变：把主参数 Jacobian 换成位置 Jacobian（\appref{sec:userPositionCrb}）即得含 MAI 的位置界，再按\appref{sec:timestampErrCrb} 对共享 $\delta_\ell$ 取 Schur 补即得时间戳误差下的 MAI-aware 位置界。码 Gram 与共享 $\delta$ 是两条独立的耦合来源，分别落在用户--用户块与跨星共享干扰块上。 + \medskip -附录 E 完成了多星静态模型从单用户到多用户的 \gls{crb} 推导。带时间戳误差的部分相干 \gls{efim} 在\appref{sec:timestampErrCrb} 中继续展开；动态多帧模型的 \gls{cp} 和 \gls{ip} \gls{crb} 在\appref{sec:multiFrameCrb} 中继续展开。 +附录 E 完成了多星静态模型从单用户、多用户到非正交码分（多址干扰）的 \gls{crb} 推导。带时间戳误差的部分相干 \gls{efim} 在\appref{sec:timestampErrCrb} 中继续展开；动态多帧模型的 \gls{cp} 和 \gls{ip} \gls{crb} 在\appref{sec:multiFrameCrb} 中继续展开。 diff --git a/parts/sec4_multiSatMultiUser.tex b/parts/sec4_multiSatMultiUser.tex index 91fcf4d..fde6327 100644 --- a/parts/sec4_multiSatMultiUser.tex +++ b/parts/sec4_multiSatMultiUser.tex @@ -207,7 +207,7 @@ $\boldsymbol\Xi\triangleq[\boldsymbol\xi_1,\ldots,\boldsymbol\xi_K]$，$\boldsym {\|\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi_k)\|_2^2}, \end{equation} % -即每个用户的贡献退化为对其空间匹配输出 $\widehat{\mathbf h}_{\ell,k}$ 的本地 \gls{doa} 匹配。集合 $\{\widehat{\mathbf h}_{\ell,k}\}_{k=1}^{K}$ 于是成为第 $\ell$ 颗卫星对各用户主参数的充分统计量：各星无须回传原始采样 $\tilde{\mathbf y}_\ell$，只回传 $M_\ell$ 维的逐用户复信道响应 $\{\widehat{\mathbf h}_{\ell,k}\}$，即足以在融合端重建本星贡献的角度信息。这是``逐星本地处理、只回传逐用户复响应''这一分布式接口的信息论依据。 +即每个用户的贡献退化为对其空间匹配输出 $\widehat{\mathbf h}_{\ell,k}$ 的本地 \gls{doa} 匹配。集合 $\{\widehat{\mathbf h}_{\ell,k}\}_{k=1}^{K}$ 于是成为第 $\ell$ 颗卫星对各用户主参数的充分统计量：各星无须回传原始采样 $\tilde{\mathbf y}_\ell$，只回传 $M_\ell$ 维的逐用户复信道响应 $\{\widehat{\mathbf h}_{\ell,k}\}$，即足以在融合端重建本星贡献的角度信息。这是``逐星本地处理、只回传逐用户复响应''这一分布式接口的信息论依据。该逐用户解耦以码近正交（$\mathbf G_\ell^\Herm\mathbf G_\ell$ 近对角）为前提；短导频下 $K$ 个码无法两两正交，残留的多址干扰在多用户 \gls{crb} 上留下一个任何估计器都无法消除的地板，其显式刻画见\appref{subsec:E3_maiCrb}。 这一压缩有两点限定，决定了它在后续跨星融合中的可用边界： \begin{enumerate}