diff --git a/parts/E-multiSatStaticCrb.tex b/parts/E-multiSatStaticCrb.tex index a8a10c1..f7be1a0 100644 --- a/parts/E-multiSatStaticCrb.tex +++ b/parts/E-multiSatStaticCrb.tex @@ -575,108 +575,6 @@ $\begin{bmatrix}\mathbf g_\ell & j\mathbf g_\ell\end{bmatrix}$。虽然这两个 至此，单用户多星静态基线与正文静态模型一一对应：正文负责给出观测模型、参数分组和集中似然，本文附录负责给出 Jacobian、Fisher 信息分块与 Schur 补形式。 -\subsubsection{已知高度下的经纬度参数化与方向 CRB} -\label{subsec:A6_latlon_crb} - -前述模型以公共全局方向为未知量。本小节引入已知高度的地表位置映射，比较同一观测模型的坐标变换与有限距离下的逐星视线模型。保持单用户、单观测块、已对齐导频和各星独立未知复增益；几何信息仅通过阵列方向与差分 Doppler 进入，时延通道留在\appref{sec:userPositionCrb}。 - -记经纬度为 $\boldsymbol\vartheta=[\lambda_{\mathrm g},\varphi_{\mathrm g}]^\Tran$，依次为经度和纬度，均以弧度计。给定高度 $h_0$、地表模型及参考时刻的地固系到惯性系旋转 $\mathbf R_0$，定义 -% -\begin{equation} - \mathbf p(\boldsymbol\vartheta)=\mathbf R_0\mathbf p_{\mathrm E}(\boldsymbol\vartheta,h_0), - \qquad - \mathbf P=\frac{\partial\mathbf p}{\partial\boldsymbol\vartheta^\Tran}\in\mathbb R^{3\times2}. - \label{eq:A6_latlon_surface} -\end{equation} -% -这里 $\mathbf p_{\mathrm E}$ 是选定地表的地固坐标映射；椭球模型采用大地纬度及相应高度定义。作为球面特例，令地球半径为 $R_{\mathrm E}$，则 -% -\begin{equation} - \mathbf p_{\mathrm E}=(R_{\mathrm E}+h_0) - \begin{bmatrix} - \cos\varphi_{\mathrm g}\cos\lambda_{\mathrm g}\\ - \cos\varphi_{\mathrm g}\sin\lambda_{\mathrm g}\\ - \sin\varphi_{\mathrm g} - \end{bmatrix},\qquad - \mathbf P=\mathbf R_0(R_{\mathrm E}+h_0) - \begin{bmatrix} - -\cos\varphi_{\mathrm g}\sin\lambda_{\mathrm g} & -\sin\varphi_{\mathrm g}\cos\lambda_{\mathrm g}\\ - \cos\varphi_{\mathrm g}\cos\lambda_{\mathrm g} & -\sin\varphi_{\mathrm g}\sin\lambda_{\mathrm g}\\ - 0 & \cos\varphi_{\mathrm g} - \end{bmatrix}. - \label{eq:A6_latlon_sphere} -\end{equation} - -为保持与全局方向模型相同的传播约定，定义源到接收星的单位方向 $\mathbf w_\ell=(\mathbf s_\ell-\mathbf p)/r_\ell$，其中 $r_\ell=\|\mathbf s_\ell-\mathbf p\|_2$。它与\appref{sec:userPositionCrb} 的星到用户视线互为相反数。由单位向量求导得到 -% -\begin{equation} - \mathbf W_\ell\triangleq\frac{\partial\mathbf w_\ell}{\partial\boldsymbol\vartheta^\Tran} - =-\frac{1}{r_\ell}(\mathbf I_3-\mathbf w_\ell\mathbf w_\ell^\Tran)\mathbf P, - \qquad - \frac{\partial\mathbf w_\ell^{\mathrm{loc}}}{\partial\boldsymbol\vartheta^\Tran} - =\boldsymbol\Omega_\ell^\Tran\mathbf W_\ell. - \label{eq:A6_latlon_los_jac} -\end{equation} -% -采用 \eqref{eq:sec3_propagation_steering} 的负空间指数时，第 $m$ 个阵元的角度链式导数为 -% -\begin{equation} - \frac{\partial[\mathbf a_\ell]_m}{\partial\boldsymbol\vartheta^\Tran} - =-j\frac{2\pi}{\lambda_{\mathrm c}}[\mathbf a_\ell]_m - (\mathbf r_{\ell,m}^{\mathrm{loc}})^\Tran\boldsymbol\Omega_\ell^\Tran\mathbf W_\ell. - \label{eq:A6_latlon_steering_jac} -\end{equation} -% -对地固静止用户，参考时刻的惯性速度为 $\mathbf v_u=\boldsymbol\Omega_{\mathrm E}\mathbf p$，其中 $\boldsymbol\Omega_{\mathrm E}$ 表示地球自转角速度的叉乘矩阵。定义几何链路频移 $b_\ell=-(\mathbf v_\ell-\mathbf v_u)^\Tran\mathbf w_\ell/\lambda_{\mathrm c}$，其导数与参考星差分为 -% -\begin{equation} - \begin{aligned} - \mathbf b_{\ell,\vartheta} - &\triangleq\frac{\partial b_\ell}{\partial\boldsymbol\vartheta^\Tran} - =\frac{1}{\lambda_{\mathrm c}}\left[ - -(\mathbf v_\ell-\mathbf v_u)^\Tran\mathbf W_\ell - +\mathbf w_\ell^\Tran\boldsymbol\Omega_{\mathrm E}\mathbf P\right],\\ - \nu_\ell&=\nu_{\mathrm{ref}}+2\pi T_{\mathrm s}(b_\ell-b_{\ell_{\mathrm{ref}}}),\qquad - \frac{\partial\nu_\ell}{\partial\boldsymbol\vartheta^\Tran} - =2\pi T_{\mathrm s}(\mathbf b_{\ell,\vartheta}-\mathbf b_{\ell_{\mathrm{ref}},\vartheta}). - \end{aligned} - \label{eq:A6_latlon_doppler_jac} -\end{equation} -% -参考 Doppler 仍为自由参数；地固用户速度的跨链路差分由几何保留。令本小节主参数为 $\boldsymbol\eta=[\boldsymbol\vartheta^\Tran,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$，按 \eqref{eq:A6_Dl} 的 Kronecker 链式法则组装 $\mathbf D_\ell=\partial\mathbf g_\ell/\partial\boldsymbol\eta^\Tran$，代入 \eqref{eq:A6_Ieff_final} 即得经纬度与参考 Doppler 的联合 \gls{efim}。其满秩时取逆，角度子块即经纬度 \gls{crb}；若仅保留经纬度为目标，则先对参考 Doppler 取 Schur 补。已知高度通过 \eqref{eq:A6_latlon_surface} 限制参数切空间，高度未知时须增加高度列并按目标选择保留或消元。 - -\paragraph{同一模型的坐标不变性} -若同一个均值、噪声及干扰参数模型同时以 $\boldsymbol\xi$ 和 $\boldsymbol\vartheta$ 表示，且 $\boldsymbol\xi=h(\boldsymbol\vartheta)$ 在工作点局部可逆，记 $\mathbf H=\partial\boldsymbol\xi/\partial\boldsymbol\vartheta^\Tran$、$\mathbf T=\operatorname{diag}(\mathbf H,1)$。由得分的链式法则及相同干扰切空间消元，有 -% -\begin{equation} - \mathcal I_{\mathrm e,\vartheta}=\mathbf T^\Tran\mathcal I_{\mathrm e,\xi}\mathbf T, - \qquad - \mathbf C_\xi=\mathbf T\mathbf C_\vartheta\mathbf T^\Tran, - \qquad \mathbf C=\mathcal I_{\mathrm e}^{-1}. - \label{eq:A6_latlon_reparameterization} -\end{equation} -% -此处下标仅区分两套坐标中的联合矩阵。相同物理量的局部无偏界在变换后相同。另一种等价比较是：在有限距离模型中，用参考星视线与已知地表的局部唯一、横截交点来定义方向坐标，再由该交点生成所有卫星的视线；此时仍满足 \eqref{eq:A6_latlon_reparameterization}。地平线切点、多交点分支及角坐标极点需要另选局部参数图。 - -\paragraph{公共方向近似与比较指标} -公共方向模型令各星共享 $\mathbf u(\boldsymbol\xi)$；有限距离模型则使用 \eqref{eq:A6_latlon_los_jac} 中逐星不同的 $\mathbf w_\ell$ 和 $\mathbf W_\ell$。二者一般不是 \eqref{eq:A6_latlon_reparameterization} 所描述的同一模型换坐标。比较时须统一观测通道、已知高度条件、参考时刻、噪声、干扰参数与输出物理量。若经纬度协方差界的角度块为 $\mathbf C_{\vartheta\vartheta}$，则局部位置均方误差界与参考星方向夹角均方误差界分别为 -% -\begin{equation} - B_{\mathrm p}=\operatorname{tr}(\mathbf P\mathbf C_{\vartheta\vartheta}\mathbf P^\Tran), - \qquad - B_{\mathrm{dir,ref}}=\operatorname{tr}(\mathbf W_{\ell_{\mathrm{ref}}}\mathbf C_{\vartheta\vartheta}\mathbf W_{\ell_{\mathrm{ref}}}^\Tran). - \label{eq:A6_latlon_metrics} -\end{equation} -% -两者单位分别为长度平方与弧度平方，开方后才是均方根界。球面例子中 -% -\begin{equation} - B_{\mathrm p}=(R_{\mathrm E}+h_0)^2 - \left(\cos^2\varphi_{\mathrm g}[\mathbf C_{\vartheta\vartheta}]_{11}+[\mathbf C_{\vartheta\vartheta}]_{22}\right). - \label{eq:A6_latlon_sphere_metric} -\end{equation} -% -公共方向的夹角界为 $\cos^2\beta[\mathbf C_{\xi\xi}]_{11}+[\mathbf C_{\xi\xi}]_{22}$。小视差使两类模型接近还需相应的投影后 Jacobian 接近；当最弱信息方向接近零时，小的信息扰动也可导致较大的逆矩阵差异。因此，公共方向与地表模型的界没有普遍的大小排序，接近程度须在统一指标及可辨识工作点上检验。 \subsection{多用户多星 CRB（扩展）} \label{subsec:E2_multiUserMultiSatCrb} diff --git a/parts/G-userPositionCrb.tex b/parts/G-userPositionCrb.tex index 1eda5f5..48d889d 100644 --- a/parts/G-userPositionCrb.tex +++ b/parts/G-userPositionCrb.tex @@ -113,6 +113,109 @@ Doppler 部分，由 $\nu_\ell=\nu_{\mathrm{ref}}+\Delta\nu_\ell(\mathbf p)$ 与 \textbf{远场退化（Fisher 信息层）。} 由 \eqref{eq:H_dudp} 与 \eqref{eq:H_dtaudp}，在各星视线趋于共同方向的远场极限中，$\dfrac{\partial\mathbf a_\ell}{\partial\mathbf p}\to\mathbf0$ 且 $\dfrac{\partial\tau_\ell}{\partial\mathbf p}\to\mathbf0$；FDOA 的用户速度项因 $\mathbf u_\ell-\mathbf u_{\ell_{\mathrm{ref}}}\to\mathbf0$ 而抵消，卫星相对运动项的有限距离投影也随之退化。于是角度、Doppler 与时延三条通道对位置的灵敏度同时径向退化，$\mathbf D_\ell^{\mathrm{pos}}$ 的位置导数失去距离方向上的独立性，$\mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{pos}})$ 在距离方向奇异——位置 \gls{crb} 在距离维发散，退化为\appref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb} 的二维方向 \gls{crb}（两个自由标量 $\tau_{\mathrm{ref}},\nu_{\mathrm{ref}}$ 仍作绝对量被 Schur 消去）。这与第~\ref{subsec:positionLosMap} 小节的远场退化命题在 Fisher 信息层面一致。 \end{mdquote} +\subsection{已知高度下的经纬度参数化与方向 CRB} +\label{subsec:A6_latlon_crb} + +前述模型以公共全局方向为未知量。本小节引入已知高度的地表位置映射，比较同一观测模型的坐标变换与有限距离下的逐星视线模型。保持单用户、单观测块、已对齐导频和各星独立未知复增益；几何信息仅通过阵列方向与差分 Doppler 进入，时延通道留在\appref{sec:userPositionCrb}。 + +记经纬度为 $\boldsymbol\vartheta=[\lambda_{\mathrm g},\varphi_{\mathrm g}]^\Tran$，依次为经度和纬度，均以弧度计。给定高度 $h_0$、地表模型及参考时刻的地固系到惯性系旋转 $\mathbf R_0$，定义 +% +\begin{equation} + \mathbf p(\boldsymbol\vartheta)=\mathbf R_0\mathbf p_{\mathrm E}(\boldsymbol\vartheta,h_0), + \qquad + \mathbf P=\frac{\partial\mathbf p}{\partial\boldsymbol\vartheta^\Tran}\in\mathbb R^{3\times2}. + \label{eq:A6_latlon_surface} +\end{equation} +% +这里 $\mathbf p_{\mathrm E}$ 是选定地表的地固坐标映射；椭球模型采用大地纬度及相应高度定义。作为球面特例，令地球半径为 $R_{\mathrm E}$，则 +% +\begin{equation} + \mathbf p_{\mathrm E}=(R_{\mathrm E}+h_0) + \begin{bmatrix} + \cos\varphi_{\mathrm g}\cos\lambda_{\mathrm g}\\ + \cos\varphi_{\mathrm g}\sin\lambda_{\mathrm g}\\ + \sin\varphi_{\mathrm g} + \end{bmatrix},\qquad + \mathbf P=\mathbf R_0(R_{\mathrm E}+h_0) + \begin{bmatrix} + -\cos\varphi_{\mathrm g}\sin\lambda_{\mathrm g} & -\sin\varphi_{\mathrm g}\cos\lambda_{\mathrm g}\\ + \cos\varphi_{\mathrm g}\cos\lambda_{\mathrm g} & -\sin\varphi_{\mathrm g}\sin\lambda_{\mathrm g}\\ + 0 & \cos\varphi_{\mathrm g} + \end{bmatrix}. + \label{eq:A6_latlon_sphere} +\end{equation} + +为保持与全局方向模型相同的传播约定，定义源到接收星的单位方向 $\mathbf w_\ell=(\mathbf s_\ell-\mathbf p)/r_\ell$，其中 $r_\ell=\|\mathbf s_\ell-\mathbf p\|_2$。它与\appref{sec:userPositionCrb} 的星到用户视线互为相反数。由单位向量求导得到 +% +\begin{equation} + \mathbf W_\ell\triangleq\frac{\partial\mathbf w_\ell}{\partial\boldsymbol\vartheta^\Tran} + =-\frac{1}{r_\ell}(\mathbf I_3-\mathbf w_\ell\mathbf w_\ell^\Tran)\mathbf P, + \qquad + \frac{\partial\mathbf w_\ell^{\mathrm{loc}}}{\partial\boldsymbol\vartheta^\Tran} + =\boldsymbol\Omega_\ell^\Tran\mathbf W_\ell. + \label{eq:A6_latlon_los_jac} +\end{equation} +% +采用 \eqref{eq:sec3_propagation_steering} 的负空间指数时，第 $m$ 个阵元的角度链式导数为 +% +\begin{equation} + \frac{\partial[\mathbf a_\ell]_m}{\partial\boldsymbol\vartheta^\Tran} + =-j\frac{2\pi}{\lambda_{\mathrm c}}[\mathbf a_\ell]_m + (\mathbf r_{\ell,m}^{\mathrm{loc}})^\Tran\boldsymbol\Omega_\ell^\Tran\mathbf W_\ell. + \label{eq:A6_latlon_steering_jac} +\end{equation} +% +对地固静止用户，参考时刻的惯性速度为 $\mathbf v_u=\boldsymbol\Omega_{\mathrm E}\mathbf p$，其中 $\boldsymbol\Omega_{\mathrm E}$ 表示地球自转角速度的叉乘矩阵。定义几何链路频移 $b_\ell=-(\mathbf v_\ell-\mathbf v_u)^\Tran\mathbf w_\ell/\lambda_{\mathrm c}$，其导数与参考星差分为 +% +\begin{equation} + \begin{aligned} + \mathbf b_{\ell,\vartheta} + &\triangleq\frac{\partial b_\ell}{\partial\boldsymbol\vartheta^\Tran} + =\frac{1}{\lambda_{\mathrm c}}\left[ + -(\mathbf v_\ell-\mathbf v_u)^\Tran\mathbf W_\ell + +\mathbf w_\ell^\Tran\boldsymbol\Omega_{\mathrm E}\mathbf P\right],\\ + \nu_\ell&=\nu_{\mathrm{ref}}+2\pi T_{\mathrm s}(b_\ell-b_{\ell_{\mathrm{ref}}}),\qquad + \frac{\partial\nu_\ell}{\partial\boldsymbol\vartheta^\Tran} + =2\pi T_{\mathrm s}(\mathbf b_{\ell,\vartheta}-\mathbf b_{\ell_{\mathrm{ref}},\vartheta}). + \end{aligned} + \label{eq:A6_latlon_doppler_jac} +\end{equation} +% +参考 Doppler 仍为自由参数；地固用户速度的跨链路差分由几何保留。令本小节主参数为 $\boldsymbol\eta=[\boldsymbol\vartheta^\Tran,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$，按 \eqref{eq:A6_Dl} 的 Kronecker 链式法则组装 $\mathbf D_\ell=\partial\mathbf g_\ell/\partial\boldsymbol\eta^\Tran$，代入 \eqref{eq:A6_Ieff_final} 即得经纬度与参考 Doppler 的联合 \gls{efim}。其满秩时取逆，角度子块即经纬度 \gls{crb}；若仅保留经纬度为目标，则先对参考 Doppler 取 Schur 补。已知高度通过 \eqref{eq:A6_latlon_surface} 限制参数切空间，高度未知时须增加高度列并按目标选择保留或消元。 + +\paragraph{同一模型的坐标不变性} +若同一个均值、噪声及干扰参数模型同时以 $\boldsymbol\xi$ 和 $\boldsymbol\vartheta$ 表示，且 $\boldsymbol\xi=h(\boldsymbol\vartheta)$ 在工作点局部可逆，记 $\mathbf H=\partial\boldsymbol\xi/\partial\boldsymbol\vartheta^\Tran$、$\mathbf T=\operatorname{diag}(\mathbf H,1)$。由得分的链式法则及相同干扰切空间消元，有 +% +\begin{equation} + \mathcal I_{\mathrm e,\vartheta}=\mathbf T^\Tran\mathcal I_{\mathrm e,\xi}\mathbf T, + \qquad + \mathbf C_\xi=\mathbf T\mathbf C_\vartheta\mathbf T^\Tran, + \qquad \mathbf C=\mathcal I_{\mathrm e}^{-1}. + \label{eq:A6_latlon_reparameterization} +\end{equation} +% +此处下标仅区分两套坐标中的联合矩阵。相同物理量的局部无偏界在变换后相同。另一种等价比较是：在有限距离模型中，用参考星视线与已知地表的局部唯一、横截交点来定义方向坐标，再由该交点生成所有卫星的视线；此时仍满足 \eqref{eq:A6_latlon_reparameterization}。地平线切点、多交点分支及角坐标极点需要另选局部参数图。 + +\paragraph{公共方向近似与比较指标} +公共方向模型令各星共享 $\mathbf u(\boldsymbol\xi)$；有限距离模型则使用 \eqref{eq:A6_latlon_los_jac} 中逐星不同的 $\mathbf w_\ell$ 和 $\mathbf W_\ell$。二者一般不是 \eqref{eq:A6_latlon_reparameterization} 所描述的同一模型换坐标。比较时须统一观测通道、已知高度条件、参考时刻、噪声、干扰参数与输出物理量。若经纬度协方差界的角度块为 $\mathbf C_{\vartheta\vartheta}$，则局部位置均方误差界与参考星方向夹角均方误差界分别为 +% +\begin{equation} + B_{\mathrm p}=\operatorname{tr}(\mathbf P\mathbf C_{\vartheta\vartheta}\mathbf P^\Tran), + \qquad + B_{\mathrm{dir,ref}}=\operatorname{tr}(\mathbf W_{\ell_{\mathrm{ref}}}\mathbf C_{\vartheta\vartheta}\mathbf W_{\ell_{\mathrm{ref}}}^\Tran). + \label{eq:A6_latlon_metrics} +\end{equation} +% +两者单位分别为长度平方与弧度平方，开方后才是均方根界。球面例子中 +% +\begin{equation} + B_{\mathrm p}=(R_{\mathrm E}+h_0)^2 + \left(\cos^2\varphi_{\mathrm g}[\mathbf C_{\vartheta\vartheta}]_{11}+[\mathbf C_{\vartheta\vartheta}]_{22}\right). + \label{eq:A6_latlon_sphere_metric} +\end{equation} +% +公共方向的夹角界为 $\cos^2\beta[\mathbf C_{\xi\xi}]_{11}+[\mathbf C_{\xi\xi}]_{22}$。小视差使两类模型接近还需相应的投影后 Jacobian 接近；当最弱信息方向接近零时，小的信息扰动也可导致较大的逆矩阵差异。因此，公共方向与地表模型的界没有普遍的大小排序，接近程度须在统一指标及可辨识工作点上检验。 + \subsection{DoA-融合基线的位置 CRB} \label{subsec:H4_doaFusion} diff --git a/parts/sec3_multiSatSingleUser.tex b/parts/sec3_multiSatSingleUser.tex index b4108d5..d144288 100644 --- a/parts/sec3_multiSatSingleUser.tex +++ b/parts/sec3_multiSatSingleUser.tex @@ -295,33 +295,5 @@ 上述两式是同一残差最小化的两面：由 $\mathcal E_\ell$ 的定义，残差能量与匹配能量之和恒为与主参数无关的总能量 $\|\tilde{\mathbf y}_\ell\|_2^2$，因此 $\sigma_\ell$ 已知时``最小化残差''与``最大化加权匹配能量''等价，二者只差这一常数。两式的对数则源于\emph{星间异方差}：$\sigma_\ell$ 未知时须逐星轮廓化，得到各星残差能量的对数之和 $\sum_\ell M_\ell T\log\mathcal E_\ell$，无法再合并；而第~\ref{sec:det_doa_est}、\ref{sec:det_doa_doppler_est} 节只有单一噪声方差，该对数因单调性可直接略去，故写成不带对数的残差最小化。 -\subsection{仿真结果说明} - -图~\ref{fig:dualSatSingleSourceScene} 使用 STK 给出了双星单用户场景，用户位于两颗卫星的交叠覆盖区中，卫星视角为 $\pm 55^\circ$。 - -图~\ref{fig:doaDopplerEciDualSatSingleSourceUpa2048Snap} 展示地表用户的经纬度估计示例，对比仅使用 \gls{doa} 与联合使用 \gls{doa}--Doppler 的结果。该示例属于第~\ref{sec:userPositioning}~节的有限距离位置模型：各星方向由用户位置分别计算。因此，图中的误差曲线及其 \gls{crb} 应按位置模型解释，不能用作本节公共方向模型的数值验证。估计误差与界之间的差距需结合估计偏差、搜索误差和模型一致性分析，坐标映射的非线性本身不足以解释这一差距。 - -图~\ref{fig:multiSatSingleSourceScene} 使用 STK，按照用户仰角 $15^\circ$ 和卫星视角 $\pm 55^\circ$ 给出了多星单用户场景。在此基础上，可进一步针对不同卫星组合计算 \gls{crb}，从而实现基于 \gls{crb} 的选星。 - -\begin{figure}[!h] - \centering - \includegraphics[width=0.9\textwidth]{fig/dualSatSingleSourceScene.bmp} - \caption{有限距离地表用户示例：双星单源几何场景} - \label{fig:dualSatSingleSourceScene} -\end{figure} - -\begin{figure}[!h] - \centering - \includegraphics[width=0.95\textwidth]{fig/doaDopplerEciDualSatSingleSourceUpa2048Snap.pdf} - \caption{有限距离地表用户示例：双星 UPA 单信源场景中，仅使用 \gls{doa} 与联合使用 \gls{doa}--Doppler 的估计误差对比} - \label{fig:doaDopplerEciDualSatSingleSourceUpa2048Snap} -\end{figure} - -\begin{figure}[!h] - \centering - \includegraphics[width=0.85\textwidth]{fig/multiSatSingleSourceScene.bmp} - \caption{有限距离地表用户示例：多星单源几何场景} - \label{fig:multiSatSingleSourceScene} -\end{figure} 本节完成了多星主线中的静态基线：同一个全局方向 $\boldsymbol\xi$ 同时决定各星局部导向矢量，而参考星 Doppler $\nu_{\mathrm{ref}}$ 通过几何映射决定各星链路 Doppler。 diff --git a/parts/sec6_userPositioning.tex b/parts/sec6_userPositioning.tex index 98c3339..5a4b8d5 100644 --- a/parts/sec6_userPositioning.tex +++ b/parts/sec6_userPositioning.tex @@ -150,6 +150,35 @@ % 其中 $\mathbf C_{\boldsymbol\xi,\ell}$ 为第 $\ell$ 颗星本地 \gls{doa} 的单阵列 \gls{crb}。该基线放弃跨星数据级融合，故 $\operatorname{CRB}_{\mathrm{DoA}}(\mathbf p)\succeq\operatorname{CRB}(\mathbf p)$（集中式为更紧下界）；它作为分布式/低回传处理的精度地板，与集中式构成``精度--回传''对照。推导见\appref{subsec:H4_doaFusion}。 +\subsection{仿真结果说明} + +图~\ref{fig:dualSatSingleSourceScene} 使用 STK 给出了双星单用户场景，用户位于两颗卫星的交叠覆盖区中，卫星视角为 $\pm 55^\circ$。 + +图~\ref{fig:doaDopplerEciDualSatSingleSourceUpa2048Snap} 展示地表用户的经纬度估计示例，对比仅使用 \gls{doa} 与联合使用 \gls{doa}--Doppler 的结果。该示例属于第~\ref{sec:userPositioning}~节的有限距离位置模型：各星方向由用户位置分别计算。因此，图中的误差曲线及其 \gls{crb} 应按位置模型解释，不能用作本节公共方向模型的数值验证。估计误差与界之间的差距需结合估计偏差、搜索误差和模型一致性分析，坐标映射的非线性本身不足以解释这一差距。 + +图~\ref{fig:multiSatSingleSourceScene} 使用 STK，按照用户仰角 $15^\circ$ 和卫星视角 $\pm 55^\circ$ 给出了多星单用户场景。在此基础上，可进一步针对不同卫星组合计算 \gls{crb}，从而实现基于 \gls{crb} 的选星。 + +\begin{figure}[!h] + \centering + \includegraphics[width=0.9\textwidth]{fig/dualSatSingleSourceScene.bmp} + \caption{有限距离地表用户示例：双星单源几何场景} + \label{fig:dualSatSingleSourceScene} +\end{figure} + +\begin{figure}[!h] + \centering + \includegraphics[width=0.95\textwidth]{fig/doaDopplerEciDualSatSingleSourceUpa2048Snap.pdf} + \caption{有限距离地表用户示例：双星 UPA 单信源场景中，仅使用 \gls{doa} 与联合使用 \gls{doa}--Doppler 的估计误差对比} + \label{fig:doaDopplerEciDualSatSingleSourceUpa2048Snap} +\end{figure} + +\begin{figure}[!h] + \centering + \includegraphics[width=0.85\textwidth]{fig/multiSatSingleSourceScene.bmp} + \caption{有限距离地表用户示例：多星单源几何场景} + \label{fig:multiSatSingleSourceScene} +\end{figure} + \subsection{多用户堆叠} 推广到 $K$ 个单天线用户，只需把每个用户的位置、参考时延与参考 Doppler 独立堆叠：