From da8a4c8f55c280b18684a4e9e6d7fc7708e908de Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Josh Gao Date: Sat, 26 Sep 2026 12:50:40 +0800 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?fix(app-J):=20=E4=BF=AE=E6=AD=A3=E9=97=A8?= =?UTF-8?q?=E9=99=90=E7=95=8C=E4=B8=8E=E7=A8=80=E7=96=8F=E5=88=86=E7=A6=BB?= =?UTF-8?q?=E7=9A=84=E5=85=AC=E5=BC=8F=E5=92=8C=E9=80=82=E7=94=A8=E6=9D=A1?= =?UTF-8?q?=E4=BB=B6?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit 补齐有限检验点、复高斯检验与 SBL 更新的推导。 区分实值向量 AMP 示例和复值结构字典，撤回未经证明的等价性。 同步正文与符号索引，保留误指定有限检验点界的推导待办。 --- parts/A-symbolIndex.tex | 8 ++ parts/H-timestampErrCrb.tex | 4 +- parts/I-dictSeparationAmp.tex | 132 ++++++++++++++++++++------------- parts/J-thresholdBounds.tex | 133 ++++++++++++++++++++++------------ parts/sec7_timestampError.tex | 8 +- ref.bib | 21 ++++++ 6 files changed, 204 insertions(+), 102 deletions(-) diff --git a/parts/A-symbolIndex.tex b/parts/A-symbolIndex.tex index 66e6e77..1dfcfc5 100644 --- a/parts/A-symbolIndex.tex +++ b/parts/A-symbolIndex.tex @@ -635,3 +635,11 @@ $\epsilon_k$ & 第 $k$ 个用户的信道不确定性半径。\\ \end{longtable} \endgroup + +\subsection{条件压缩与专题扩展中的局部记号} + +\appref{subsec:E_conditionalCompression} 中，$\mathbf U$ 为已知时间模板列空间的标准正交基，$\mathbf H$ 为按用户排列的空间信道矩阵。\appref{subsec:F6_tauDeltaConfound} 中，$\mathbf W_\eta$、$\mathbf W_\psi$ 为白化后实化的目标与干扰参数 Jacobian，$\dagger$ 表示 Moore--Penrose 逆。 + +\appref{sec:dictSeparationAmp} 中，$\mathbf Q_\ell$ 表示包含全部用户与网格点的字典，$\mathbf X_\ell$ 为网格系数矩阵；$\boldsymbol\Gamma$、$\boldsymbol\Sigma$ 分别为稀疏贝叶斯模型的先验与后验协方差。实值 AMP 示例另用 $\mathbf A\in\mathbb R^{n\times d}$ 表示测量矩阵，$b$ 为每行去噪向量的维数。 + +\appref{sec:thresholdBounds} 中，$L_i$ 为检验点相对参考点的似然比，$\mathbf M$ 为似然比二阶矩矩阵，$\mathbf B_{\mathrm{test}}$ 为中心化似然比的协方差；它与误指定分析的 sandwich 矩阵 $\mathbf B$ 不同。$\pi(a)$ 为标量目标的先验密度，$P_{\min}$ 为按点对先验加权的最小二元检验错误率，$D^2$ 为白化均值距离的平方，$\mathcal V$ 为填谷算子。 diff --git a/parts/H-timestampErrCrb.tex b/parts/H-timestampErrCrb.tex index 9eeba06..f265f65 100644 --- a/parts/H-timestampErrCrb.tex +++ b/parts/H-timestampErrCrb.tex @@ -283,7 +283,7 @@ $\boldsymbol\delta=[\delta_1]$ 退化为标量，\eqref{eq:F2_jdelta} 中 \subsection{忽略时间戳误差的 MCRB} \label{subsec:F5_mcrb} -\appref{subsec:F2_schurDelta} 给出了把 $\boldsymbol\delta$ 当未知干扰参数\emph{估计}时主参数 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ 的 \gls{efim}。本小节处理互补情形：估计器假设星间已同步、令 $\delta_\ell\equiv 0$ 而\emph{不}把 $\boldsymbol\delta$ 纳入模型，真值却含 $\boldsymbol\delta^\star\neq\mathbf 0$。这是一类均值模型误指定，其下界为 \gls{mcrb}~\cite{richmondParameterBoundsEstimation2015}。沿用\appref{subsec:F1_fimBlockStruct} 的记号，记 $\boldsymbol\eta^\star$、$\boldsymbol\eta^{\mathrm{pt}}$ 分别为 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ 的真值与伪真值（pseudo-truth）；噪声方差 $\{\sigma_\ell\}$ 在真值与假设模型中相同、仅进入协方差，按\appref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb} 与均值参数解耦，下文固定 $\mathbf R=\operatorname{blkdiag}(\sigma_\ell\mathbf I)$ 只分析均值参数。 +\appref{subsec:F2_schurDelta} 给出了把 $\boldsymbol\delta$ 当未知干扰参数\emph{估计}时主参数 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ 的 \gls{efim}。本小节处理互补情形：估计器假设星间已同步、令 $\delta_\ell\equiv 0$ 而\emph{不}把 $\boldsymbol\delta$ 纳入模型，真值却含 $\boldsymbol\delta^\star\neq\mathbf 0$。这是一类均值模型误指定，其下界为 \gls{mcrb}~\cite{richmondParameterBoundsEstimation2015}。沿用\appref{subsec:F1_fimBlockStruct} 的记号，记 $\boldsymbol\eta^\star$、$\boldsymbol\eta^{\mathrm{pt}}$ 分别为 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ 的真值与伪真值（pseudo-truth）；下文把噪声方差 $\{\sigma_\ell\}$ 视为已知，且在真实与假设模型中使用相同的协方差，固定 $\mathbf R=\operatorname{blkdiag}(\sigma_\ell\mathbf I)$ 只分析均值参数。若在失配模型中同时估计噪声方差，伪真值方差可能吸收均值残差，须重新计算完整的 sandwich 分块。 \paragraph{误指定模型与伪真值} 真实观测均值记为 $\boldsymbol\mu_\ell^\star\triangleq\boldsymbol\mu_\ell(\boldsymbol\eta^\star,\delta_\ell^\star,\boldsymbol\zeta_\ell^\star)$；假设模型族把均值限制在 $\delta_\ell=0$ 流形上，$\boldsymbol\mu_\ell(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}},0,\boldsymbol\zeta_\ell)=\mathbf G_\ell(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}})\boldsymbol\zeta_\ell$（$\mathbf G_\ell$ 在 $\delta=0$ 处求值）。两模型协方差相同，\gls{kl} 散度退化为白化均值失配 @@ -370,7 +370,7 @@ $\boldsymbol\delta=[\delta_1]$ 退化为标量，\eqref{eq:F2_jdelta} 中 \boldsymbol\mu^\star-\boldsymbol\mu(\boldsymbol\theta^{\mathrm{pt}}). \end{align} % -$\mathbf B$ 即模型 \gls{fim}（\eqref{eq:A6_fim_general} 的 Slepian--Bangs 形式）在伪真值处求值——伪真值处的法方程使得分的确定性部分为零，故 $\mathbf B$ 仅由随机部分贡献；$\mathbf A$ 在 $\mathbf B$ 上减去``曲率 $\times$ 残差''修正，残差 $\mathbf r^{\mathrm{pt}}$ 是误指定流形拟合不到的那部分 $\boldsymbol\delta^\star$ 扰动；其中二阶模型导数 $\partial^2_{\boldsymbol\theta\boldsymbol\theta}\boldsymbol\mu$ 含导频对时延的二阶导数 $\ddot s$，须按\appref{sec:userPositionCrb} 的带限约定评估、同样不用循环/块周期约定，否则该曲率项会被观测窗边界的导数奇异主导而失去物理意义。任意对伪真值无偏的估计器满足 $\operatorname{Cov}(\widehat{\boldsymbol\theta})\succeq\mathbf A^{-1}\mathbf B\mathbf A^{-1}$，$\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ 的 \gls{mcrb} 取该矩阵对应 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ 的子块；叠加偏置 \eqref{eq:F5_bias} 即得正文绕真值的总误差界 \eqref{eq:sec5_mcrb}。 +$\mathbf B$ 即模型 \gls{fim}（\eqref{eq:A6_fim_general} 的 Slepian--Bangs 形式）在伪真值处求值——伪真值处的法方程使得分的确定性部分为零，故 $\mathbf B$ 仅由随机部分贡献；$\mathbf A$ 在 $\mathbf B$ 上减去``曲率 $\times$ 残差''修正，残差 $\mathbf r^{\mathrm{pt}}$ 是误指定流形拟合不到的那部分 $\boldsymbol\delta^\star$ 扰动；其中二阶模型导数 $\partial^2_{\boldsymbol\theta\boldsymbol\theta}\boldsymbol\mu$ 含导频对时延的二阶导数 $\ddot s$，须按\appref{sec:userPositionCrb} 的带限约定评估、同样不用循环/块周期约定，否则该曲率项会被观测窗边界的导数奇异主导而失去物理意义。在误指定界所要求的正则性与模型族上的无偏约束下，估计器满足 $\operatorname{Cov}(\widehat{\boldsymbol\theta})\succeq\mathbf A^{-1}\mathbf B\mathbf A^{-1}$，$\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ 的 \gls{mcrb} 取该矩阵对应 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ 的子块；叠加偏置外积即得正文绕真值的总误差界 \eqref{eq:sec5_mcrb}；采用 \eqref{eq:F5_bias} 时，偏置只取一阶近似。仅在单个分布下令估计均值等于伪真值，不足以保证这一界。正则大样本条件下，\gls{mml} 的渐近协方差由同一 sandwich 矩阵给出；有限样本时不能直接把它当作实际误差协方差。 \paragraph{一致性与稳健性} 当 $\boldsymbol\delta^\star\to\mathbf0$ 时，残差和伪真值偏置趋于零，误指定界退回时间戳已知为零的同步基线。它一般不同于将时间戳作为未知干扰参数时的界，即使后者也在零偏移处求值。小偏移下，方差变化与偏置外积应分别评估，不能仅由偏置是二阶均方误差项就断定它占主导。 diff --git a/parts/I-dictSeparationAmp.tex b/parts/I-dictSeparationAmp.tex index 13a627c..54c9e47 100644 --- a/parts/I-dictSeparationAmp.tex +++ b/parts/I-dictSeparationAmp.tex @@ -2,105 +2,135 @@ \label{sec:dictSeparationAmp} \begin{mdquote} -\noindent\textbf{本附录设定}：对应正文第~\ref{sec:multiSatMultiUser}~节多用户分离的低复杂度等价路径——把延时--Doppler 平面离散为网格，将分离化为对\emph{已知}字典的行稀疏恢复。 +\noindent\textbf{本附录设定}：将已知用户码的延时--Doppler 模板离散化，逐星估计网格支撑与空间信道。 \begin{itemize}[leftmargin=1.5em,itemindent=0pt] - \item \emph{估计问题} 每星多测量向量（MMV）观测 $\mathbf Y_\ell^\Tran=\mathbf Q_\ell\mathbf X_\ell+\mathbf N_\ell^\Tran$ 的行稀疏恢复（码已知、全活跃 $\Rightarrow$ 组内一选一）；支撑给延时--Doppler、行值给空间信道。 - \item \emph{本附录给出} 近似消息传递（AMP）与稀疏贝叶斯学习（SBL）不动点、利用组结构的去噪，输出为逐用户参数与空间信道估计。 - \item \emph{本附录局部符号} $\mathbf Q_\ell$：延时--Doppler 字典；$\mathbf X_\ell$：行稀疏系数；$\widehat{\mathbf h}_{\ell,k}$：用户空间信道。完整索引见\appref{sec:assumptionsAndNotation}。 + \item \emph{观测模型} 多测量向量模型 $\mathbf Y_\ell^\Tran=\mathbf Q_\ell\mathbf X_\ell+\mathbf N_\ell^\Tran$。 + \item \emph{结构条件} 单路径、参数在网格上且所有链路增益非零时，每个活跃用户对应一个非零行。 + \item \emph{求解方法} 说明向量近似消息传递的修正项，并给出复高斯稀疏贝叶斯学习的后验与超参数更新。 \end{itemize} \end{mdquote} -正文把各用户的延时、Doppler、来向作为连续参数联合估计，集中似然对各星 $\mathbf G_\ell$ 列空间投影，每次目标评估的复杂度随用户数 $K$ 三次增长且依赖良好初始化。本附录的字典化路径把延时--Doppler 平面离散为网格，将分离化为对一个\emph{已知}字典的行稀疏恢复，再用消息传递求解；它与正文分离给出同一逐用户输出，却把每星每次迭代的代价降到近线性于问题规模。 +第~\ref{sec:multiSatMultiUser}~节保留连续方向参数与跨星几何约束。本附录先把各星空间信道作为自由向量估计，得到可供后续阵列拟合使用的中间结果。网格离散及空间结构的放松改变了估计问题，因此这种分步方法与连续联合最大似然一般不等价。 \subsection{延时--多普勒字典与稀疏测量模型} \label{subsec:I1_dictModel} -把第 $\ell$ 颗卫星观测的延时--Doppler 平面离散为 $C$ 个网格点 $\{(\tau_c,\nu_c)\}_{c=1}^{C}$（先取粗网格，离格误差由后文的局部细化补偿）。第 $k$ 个用户码在第 $c$ 个网格点上的\emph{已知}时间模板原子为 +取 $C$ 个网格点 $\{(\tau_c,\nu_c)\}_{c=1}^{C}$，定义已知时间模板 % \begin{equation} - [\mathbf q_{\ell,k,c}]_t = s_k(t-\tau_c)\,e^{j\nu_c t}, + [\mathbf q_{\ell,k,c}]_t=s_k(t-\tau_c)e^{j\nu_c t}, \qquad - \mathbf q_{\ell,k,c}\in\mathbb C^{T}, + \mathbf Q_\ell=[\mathbf q_{\ell,1,1},\ldots,\mathbf q_{\ell,K,C}] + \in\mathbb C^{T\times KC}. \end{equation} % -按 $(k,c)$ 排列得字典 $\mathbf Q_\ell=[\mathbf q_{\ell,1,1},\ldots,\mathbf q_{\ell,K,C}]\in\mathbb C^{T\times KC}$。第 $m$ 根阵元的时间序列 $\mathbf y_{\ell,m}\in\mathbb C^{T}$（即 $\mathbf Y_\ell$ 第 $m$ 行的转置）满足 $\mathbf y_{\ell,m}=\mathbf Q_\ell\mathbf x_{\ell,m}+\mathbf n_{\ell,m}$。把各阵元并列为多测量向量（multiple-measurement-vector，MMV）形式 +其中 $t$ 表示实际采样时刻，时延插值沿用第~\ref{sec:userPositioning}~节的带限模板约定。对于第~\ref{sec:multiSatMultiUser}~节不含未知传播时延的模型，固定 $\tau_c=0$，只对 Doppler 建立网格。按阵元并列观测，得到 % \begin{equation} \label{eq:I_mmv} - \mathbf Y_\ell^\Tran - =\mathbf Q_\ell\,\mathbf X_\ell+\mathbf N_\ell^\Tran, - \qquad - \mathbf X_\ell=[\mathbf x_{\ell,1},\ldots,\mathbf x_{\ell,M_\ell}]\in\mathbb C^{KC\times M_\ell}. + \mathbf Y_\ell^\Tran=\mathbf Q_\ell\mathbf X_\ell+\mathbf N_\ell^\Tran, + \qquad \mathbf X_\ell\in\mathbb C^{KC\times M_\ell}. \end{equation} % -关键结构是\emph{行稀疏}：每个活跃用户只占据其真实延时--Doppler 网格点对应的那一行，故 $\mathbf X_\ell$ 仅有少数非零行，且非零行在所有阵元上\emph{共享同一支撑}。进一步地，码分用户的码\emph{已知}、且在多用户硬交集场景下 $K$ 个用户全部活跃，故这一稀疏并非``哪些用户活跃''的未知稀疏，而是\emph{组结构}的：把字典列按用户码分为 $K$ 组（第 $k$ 组为码-$k$ 在所有网格点上的原子），每个已知用户码恰在其组内占据一个延时--Doppler 网格点——即\emph{组内一选一}（one-hot per group）。于是 $\mathbf X_\ell$ 恰有 $K$ 个非零行、每个用户码组各一；这一结构比泛行稀疏更强，应被下文的去噪算子与先验显式利用。若第 $(k,c)$ 行非零，则它\emph{就是}该用户的空间信道 +在单路径、参数落在网格上且增益非零的条件下，每个活跃用户在自己的 $C$ 行中恰占一行，所有阵元共享这一行支撑。若第 $(k,c)$ 行被选中，未经列归一化的字典对应 % \begin{equation} - \widehat{\mathbf h}_{\ell,k}=\big(\mathbf X_\ell[(k,c),:]\big)^\Herm\in\mathbb C^{M_\ell}, + \widehat{\mathbf h}_{\ell,k} + =\big(\widehat{\mathbf X}_\ell[(k,c),:]\big)^\Tran, \qquad (\hat\tau_{\ell,k},\hat\nu_{\ell,k})=(\tau_c,\nu_c). \end{equation} % -这与第~\ref{subsec:perSatSufficientStat} 小节回传的逐用户三元组 $\{\hat\tau_{\ell,k},\hat\nu_{\ell,k},\widehat{\mathbf h}_{\ell,k}\}$ 完全一致：稀疏恢复同时给出网格级延时--Doppler（支撑）与空间信道（行值）。 +这里使用转置而非共轭转置，因为观测模型为 $\mathbf h_{\ell,k}\mathbf q_{\ell,k}^\Tran$。若把字典列除以其范数，则恢复的相应系数行须再除以同一范数，才能还原物理信道。 -用户间干扰体现为字典列的非正交：$\mathbf Q_\ell^\Herm\mathbf Q_\ell$ 的非对角元由不同 $(k,c)$ 原子时间模板的互相关给出（码互相关与延时--Doppler 偏移共同决定）。该\emph{互相干}受控时，下文的消息传递可在每星每迭代 $O(M_\ell T\cdot KC)$ 内恢复支撑与信道，替代 $\mathbf G_\ell$ 投影联合最大似然的 $O(K^3)$ 反复求逆。网格离散的离格误差由\emph{粗网格定位 + 局部细化}补偿：先在粗网格上定支撑，再在峰邻域对 $(\tau,\nu)$ 作牛顿步或细网格细化。 +这些输出与第~\ref{subsec:perSatSufficientStat}~小节的局部参数具有相同含义，但网格支撑及估计信道并不自动构成原始观测的充分统计量。离格时，真实模板通常需要多个相邻原子近似；选定支撑后的连续参数细化可以减小离散误差，其效果取决于初始化与目标函数。 -\subsection{近似消息传递不动点} +\subsection{向量近似消息传递的修正项} \label{subsec:I2_amp} -对 \eqref{eq:I_mmv} 的行稀疏恢复，近似消息传递（approximate message passing，AMP）以矩阵形式迭代。设字典列已作能量归一化，自 $\mathbf X^0=\mathbf 0$、$\mathbf Z^0=\mathbf Y_\ell^\Tran$ 起，第 $t$ 步为 -% -\begin{align} - \label{eq:I_amp} - \mathbf R^t - &=\widehat{\mathbf X}^t+\mathbf Q_\ell^\Herm\mathbf Z^t,\\ - \widehat{\mathbf X}^{t+1} - &=\boldsymbol\eta_t\big(\mathbf R^t\big),\\ - \mathbf Z^{t+1} - &=\mathbf Y_\ell^\Tran-\mathbf Q_\ell\widehat{\mathbf X}^{t+1} - +\frac{KC}{T}\,\big\langle\boldsymbol\eta_t'\big\rangle\,\mathbf Z^t. -\end{align} -% -其中 $\mathbf R^t$ 是去相关后的等效观测（匹配残差叠加当前估计），$\boldsymbol\eta_t(\cdot)$ 是\emph{逐行}作用的去噪算子——把每一行的 $M_\ell$ 维向量整体收缩以促行稀疏；$\langle\boldsymbol\eta_t'\rangle$ 是其平均散度，构成 Onsager 修正项，抵消迭代间的统计依赖、使 $\mathbf R^t$ 的等效噪声近似为白。去噪算子可取\emph{行软阈值} +近似消息传递（approximate message passing，AMP）交替进行残差匹配与去噪。为了明确向量修正项，先考虑实值模型 $\mathbf V=\mathbf A\mathbf X+\mathbf N$，其中 $\mathbf A\in\mathbb R^{n\times d}$、$\mathbf X\in\mathbb R^{d\times b}$。标准随机矩阵设定取 $A_{ij}$ 独立、均值为零、方差为 $1/n$，并在固定维数比的大系统条件下分析。令去噪器 $\mathbf f_t:\mathbb R^b\to\mathbb R^b$ 逐行作用，其 Jacobian 为 $\mathbf J_{t,r}$。从 $\widehat{\mathbf X}^0=\mathbf0$、$\mathbf Z^0=\mathbf V$ 出发，迭代为~\cite{hannakPerformanceAnalysisAMP2018} % \begin{equation} - \big[\boldsymbol\eta_t(\mathbf R)\big]_{r,:} - =\mathbf R_{r,:}\,\max\!\Big(0,\,1-\frac{\lambda_t}{\|\mathbf R_{r,:}\|_2}\Big), + \label{eq:I_amp} + \begin{aligned} + \mathbf R^t&=\widehat{\mathbf X}^t+\mathbf A^\Tran\mathbf Z^t,\\ + [\widehat{\mathbf X}^{t+1}]_{r,:}^\Tran + &=\mathbf f_t([\mathbf R^t]_{r,:}^\Tran),\\ + \mathbf Z^{t+1}&=\mathbf V-\mathbf A\widehat{\mathbf X}^{t+1} + +\frac{1}{n}\mathbf Z^t + \left(\sum_{r=1}^{d}\mathbf J_{t,r}\right)^\Tran . + \end{aligned} \end{equation} % -（$\lambda_t$ 为阈值，$r=(k,c)$ 为行索引），或在每行 Bernoulli--复高斯先验下取行后验均值（最小均方误差去噪）。利用第~\ref{subsec:I1_dictModel} 小节的组结构可得更紧的去噪：在\emph{每个用户码组内}做``一选一''——以组内各网格点的行能量 $\|\mathbf R_{(k,c),:}\|_2$ 为权、经 softmax（或取最大）把该组的估计集中到主导网格点，对应每个已知用户在其延时--Doppler 网格内的软/硬选择，从而把先验由``全局少数非零行''收紧为``每组恰一行''。迭代收敛后，各组存活的网格点即对应用户的延时--Doppler，行值即其空间信道。 +最后一项是 Onsager 修正。其维数为 $n\times b$，由完整的 $b\times b$ Jacobian 构成；只有标量情形或额外的各向同性条件下，才能简化为一个平均导数乘残差。有效噪声的高斯近似依赖随机矩阵与去噪器的适用条件，不由列归一化单独保证。 -\subsection{稀疏贝叶斯学习不动点} +例如，行软阈值去噪器取 $\mathbf f(\mathbf r)=(1-\lambda/\|\mathbf r\|_2)_+\mathbf r$，在 $\|\mathbf r\|_2>\lambda$ 时， +% +\begin{equation} + \label{eq:I_amp_jacobian} + \mathbf J(\mathbf r) + =\left(1-\frac{\lambda}{\|\mathbf r\|_2}\right)\mathbf I_b + +\frac{\lambda}{\|\mathbf r\|_2^3}\mathbf r\mathbf r^\Tran. +\end{equation} +% +在阈值内部 Jacobian 为零，阈值边界可按几乎处处导数处理。\eqref{eq:I_amp_jacobian} 的非对角项说明，向量去噪一般不能用标量散度替代。 + +复值字典模型可等价写为实值块系统 +% +\begin{equation} + \label{eq:I_real_system} + \begin{bmatrix}\Re\{\mathbf Y_\ell^\Tran\}\\\Im\{\mathbf Y_\ell^\Tran\}\end{bmatrix} + = + \begin{bmatrix} + \Re\{\mathbf Q_\ell\}&-\Im\{\mathbf Q_\ell\}\\ + \Im\{\mathbf Q_\ell\}& \Re\{\mathbf Q_\ell\} + \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}\Re\{\mathbf X_\ell\}\\\Im\{\mathbf X_\ell\}\end{bmatrix} + +\begin{bmatrix}\Re\{\mathbf N_\ell^\Tran\}\\\Im\{\mathbf N_\ell^\Tran\}\end{bmatrix}. +\end{equation} +% +该变换保留了模型，却产生重复的矩阵块；同一复系数的实部与虚部还需成组去噪。因此，\eqref{eq:I_amp} 的独立实随机矩阵分析不能直接套用。对于确定性的延时--Doppler 字典，须采用与复值结构、分组先验相匹配的消息传递公式，并另外检查收敛性。这里的实值递推用于说明修正项的结构，下一小节则直接在复值观测模型上给出可计算的后验更新。 + +\subsection{稀疏贝叶斯学习的后验与更新} \label{subsec:I3_sbl} -另一条路径是稀疏贝叶斯学习（sparse Bayesian learning，SBL）。对每行赋零均值复高斯先验、行内（跨阵元）共享方差超参 $\gamma_r$（$r=(k,c)$）：$\mathbf X_\ell[r,:]\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\gamma_r\mathbf I_{M_\ell})$。给定 $\{\gamma_r\}$ 与噪声方差 $\sigma_\ell$，各行值的后验为高斯，均值与协方差对角为 +稀疏贝叶斯学习（sparse Bayesian learning，SBL）对每个阵元的系数列赋独立先验 $\mathbf X_\ell[:,m]\sim\mathcal{CN}(\mathbf0,\boldsymbol\Gamma)$，其中 $\boldsymbol\Gamma=\diag(\gamma_1,\ldots,\gamma_{KC})$，各阵元共享行方差。以下固定噪声方差 $\sigma_\ell>0$。令 % \begin{equation} + \label{eq:I_sbl_posterior} + \begin{aligned} + \mathbf C&=\sigma_\ell\mathbf I_T+ + \mathbf Q_\ell\boldsymbol\Gamma\mathbf Q_\ell^\Herm,\\ \widehat{\mathbf X}_\ell - =\boldsymbol\Gamma\mathbf Q_\ell^\Herm - \big(\sigma_\ell\mathbf I_T+\mathbf Q_\ell\boldsymbol\Gamma\mathbf Q_\ell^\Herm\big)^{-1} - \mathbf Y_\ell^\Tran, - \qquad - \boldsymbol\Gamma=\diag(\gamma_1,\ldots,\gamma_{KC}), + &=\boldsymbol\Gamma\mathbf Q_\ell^\Herm\mathbf C^{-1}\mathbf Y_\ell^\Tran,\\ + \boldsymbol\Sigma + &=\boldsymbol\Gamma-\boldsymbol\Gamma\mathbf Q_\ell^\Herm + \mathbf C^{-1}\mathbf Q_\ell\boldsymbol\Gamma. + \end{aligned} \end{equation} % +由高斯条件分布公式，每个系数列的后验均值是 $\widehat{\mathbf X}_\ell$ 的对应列，协方差均为 $\boldsymbol\Sigma$。对系数积分得到边缘负对数似然，去掉与超参数无关的项后为 % \begin{equation} - \Sigma_{rr} - =\gamma_r-\gamma_r^2\,\mathbf q_{\ell,r}^\Herm - \big(\sigma_\ell\mathbf I_T+\mathbf Q_\ell\boldsymbol\Gamma\mathbf Q_\ell^\Herm\big)^{-1}\mathbf q_{\ell,r}, + \label{eq:I_sbl_evidence} + \mathcal L(\boldsymbol\gamma) + =M_\ell\log\det\mathbf C+ + \operatorname{tr}\!\left[ + (\mathbf Y_\ell^\Tran)^\Herm\mathbf C^{-1}\mathbf Y_\ell^\Tran + \right]. \end{equation} % -其中 $\mathbf q_{\ell,r}$ 为字典第 $r$ 列。超参由证据最大化（EM）逐行更新 +采用期望最大化，先在当前超参数处计算 \eqref{eq:I_sbl_posterior}，再对完整数据对数先验取后验期望。每行的有关项为 $M_\ell\log\gamma_r+ +\mathbb E[\|\mathbf X_\ell[r,:]\|_2^2\mid\mathbf Y_\ell]/\gamma_r$。对 $\gamma_r$ 求导，得到 % \begin{equation} \label{eq:I_sbl_update} - \gamma_r\leftarrow - \frac{1}{M_\ell}\big\|\widehat{\mathbf X}_\ell[r,:]\big\|_2^2+\Sigma_{rr}, + \gamma_r^{\mathrm{new}} + =\frac{\|\widehat{\mathbf X}_\ell[r,:]\|_2^2}{M_\ell}+\Sigma_{rr}. \end{equation} % -交替``后验求值--超参更新''直至收敛。多数 $\gamma_r\to0$、支撑自动稀疏，存活行同样给出活跃用户的延时--Doppler 与信道。同样可注入第~\ref{subsec:I1_dictModel} 小节的组结构——对每个用户码组施加``组内一选一''先验（组内仅允许一个 $\gamma_r$ 显著），使超参更新 \eqref{eq:I_sbl_update} 在每组内竞争出主导网格点，与已知码、全活跃的设定一致。SBL 不需预设阈值，对字典互相干的鲁棒性通常优于贪婪逐级消除，代价是每次后验求值含一个 $T\times T$ 求逆。 +迭代可趋于边缘似然的驻点；目标一般非凸，支撑恢复和全局最优性仍取决于数据与初始化。小方差行可用于筛选候选网格，但上述独立高斯先验没有施加每个用户恰选一行的约束。若需要严格的一选一结构，应另引入每个用户的离散网格索引及条件信道先验，并重新推导后验更新；对行能量作最大值选择只是后处理。 -\medskip +直接矩阵乘法的字典匹配代价为 $O(M_\ell T KC)$。SBL 还需构造并分解 $\mathbf C$，朴素实现分别需要 $O(T^2KC)$ 与 $O(T^3)$ 运算。总计算量须结合网格规模、迭代次数及后续连续细化评估，不能把一次字典迭代与联合似然的一次小矩阵求逆直接比较。 -本附录给出的字典化模型与 AMP/SBL 不动点，是 $\mathbf G_\ell$ 投影联合最大似然之外的低复杂度求解路径，输出对应第~\ref{subsec:perSatSufficientStat}~小节的逐用户参数与空间信道估计。其逐层均方误差与第~\ref{sec:multiSatMultiUser} 节 \gls{crb}/\gls{efim} 的挂钩、以及达界所需的字典互相干条件，是自然的后续分析方向；确定性结构字典下其分析工具（state-evolution 递推、向量 AMP 或互相干恢复保证）按字典性质另择。 +得到逐星信道后，可按阵列流形拟合本地来向，再通过全局方向或位置模型融合。与原始观测的 \gls{crb} 比较时，应分别记录网格误差、支撑选择错误和分步处理的信息损失。 diff --git a/parts/J-thresholdBounds.tex b/parts/J-thresholdBounds.tex index afc1c78..4968f6b 100644 --- a/parts/J-thresholdBounds.tex +++ b/parts/J-thresholdBounds.tex @@ -1,78 +1,121 @@ -\section{门限区界：误指定 Barankin 与 Ziv--Zakai} +\section{门限区界：Barankin 与 Ziv--Zakai} \label{sec:thresholdBounds} \begin{mdquote} -\noindent\textbf{本附录设定}：对应正文第~\ref{sec:timestampError}~节的含时间戳位置模型，承\appref{subsec:F5_mcrb} 的 \gls{mcrb}。 +\noindent\textbf{本附录设定}：在局部信息分析之外，用相距有限的参数点考察大误差。 \begin{itemize}[leftmargin=1.5em,itemindent=0pt] - \item \emph{补充对象} \gls{crb}/\gls{efim}/\gls{mcrb}（均为局部小误差界）之外的\emph{门限区}：低信噪比或参数模糊下的大误差与模糊地板。 - \item \emph{本附录给出} 误指定 Barankin 界（检验点法，定门限阈值）与 Ziv--Zakai 界（贝叶斯，捕获模糊地板、含少用户情形的门限地板）。作为主线三档界之外的扩展，主线不依赖它们。 - \item \emph{本附录局部符号} $\boldsymbol\eta_i$、$L_i$：检验点与其似然比；$P_{\min}$：二元检验最小错误概率；$D^2$：去相关度（白化均值分离）；$\mathcal V\{\cdot\}$：填谷算子。完整索引见\appref{sec:assumptionsAndNotation}。 + \item \emph{Barankin 型界} 在参考点和检验点施加无偏约束，给出确定参数的协方差下界。 + \item \emph{Ziv--Zakai 界} 指定参数先验，通过二元检验错误率给出贝叶斯均方误差下界。 + \item \emph{高斯闭式} 两个假设均为圆对称复高斯且具有相同的已知协方差；其他情形须重新计算似然比矩或检验错误率。 \end{itemize} \end{mdquote} -\appref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb}--\appref{sec:timestampErrCrb} 的 \gls{crb}、\gls{efim} 与 \gls{mcrb} 都是\emph{局部}（小误差）界：它们刻画估计落入正确盆地后的方差，默认似然在真值（或伪真值）邻域内单峰。当信噪比降到门限以下、或参数空间存在模糊（如周期多帧的 Doppler 梳齿、或少用户下``位置--时间戳''混淆方向上的近简并）时，估计会跳到错误盆地、产生局部界无法预测的\emph{大误差}~\cite{athleyThresholdRegionPerformance2005}。主线界谱系收于 $\gls{crb}\preceq\gls{efim}\to\gls{mcrb}$ 三档；本附录的门限区两界是其外的\emph{扩展}——误指定 Barankin 把\appref{subsec:F5_mcrb} 的 \gls{mcrb} 延伸到门限，Ziv--Zakai 则从二元检验侧捕获模糊地板。少用户下的信息极限在主线已由 \gls{efim} 的 $\delta$-边缘化承载，门限以下的大误差另由失效区经验刻画；下述两界给出它们的解析对照，主线不依赖。 +\gls{crb} 由真值附近的导数构造，\gls{efim} 则是消去干扰参数后的信息矩阵，其逆才是相应的协方差下界。局部界的成立不要求整个似然单峰，但它可能无法紧密描述跳入远处模糊峰所造成的大误差~\cite{athleyThresholdRegionPerformance2005}。本附录先给出匹配模型的有限检验点界，再说明模型误指定时需要改变的条件。 -\subsection{误指定 Barankin 界与阈值} +\subsection{有限检验点的 Barankin 型界} \label{subsec:J1_barankin} -Barankin 界用\emph{检验点}捕获大误差。取参数空间中偏离参考点的 $q$ 个检验点 $\{\boldsymbol\eta_i\}_{i=1}^{q}$，定义似然比 $L_i(\mathbf y)=p(\mathbf y;\boldsymbol\eta_i)/p(\mathbf y;\boldsymbol\eta_{\mathrm r})$（$\boldsymbol\eta_{\mathrm r}$ 为参考点），则任意无偏估计满足 +设 $\boldsymbol\eta$ 是实值参数向量，参考点为 $\boldsymbol\eta_{\mathrm r}$，检验点为 $\boldsymbol\eta_1,\ldots,\boldsymbol\eta_q$。密度在这些点有共同支撑，似然比二阶矩有限。定义 +% +\begin{equation} + \label{eq:J_likelihood_ratio} + L_i(\mathbf y)=\frac{p(\mathbf y;\boldsymbol\eta_i)} + {p(\mathbf y;\boldsymbol\eta_{\mathrm r})}, + \qquad + \boldsymbol\Delta= + [\boldsymbol\eta_1-\boldsymbol\eta_{\mathrm r},\ldots, + \boldsymbol\eta_q-\boldsymbol\eta_{\mathrm r}], + \qquad + [\mathbf M]_{ij}=\mathbb E_{\mathrm r}[L_iL_j]. +\end{equation} +% +若估计器在参考点及全部检验点无偏，则 $\mathbb E_{\mathrm r}[L_i]=1$，且 +% +\begin{equation} + \label{eq:J_cross_moment} + \mathbb E_{\mathrm r}\!\left[ + (\widehat{\boldsymbol\eta}-\boldsymbol\eta_{\mathrm r})(L_i-1) + \right]=\boldsymbol\eta_i-\boldsymbol\eta_{\mathrm r}. +\end{equation} +% +令 $\mathbf B_{\mathrm{test}}=\mathbf M-\mathbf1\mathbf1^\Tran$。当它正定时，对估计误差和中心化似然比的联合协方差取 Schur 补，得到 % \begin{equation} \label{eq:J_barankin} - \operatorname{Cov}(\widehat{\boldsymbol\eta}) - \succeq - \boldsymbol\Delta\, - \big(\mathbf M-\mathbf 1\mathbf 1^\Tran\big)^{-1} - \boldsymbol\Delta^\Tran, - \qquad - \boldsymbol\Delta=[\boldsymbol\eta_1-\boldsymbol\eta_{\mathrm r},\ldots,\boldsymbol\eta_q-\boldsymbol\eta_{\mathrm r}], - \quad - [\mathbf M]_{ij}=\mathbb E_{\boldsymbol\eta_{\mathrm r}}\{L_iL_j\}, + \operatorname{Cov}_{\mathrm r}(\widehat{\boldsymbol\eta}) + \succeq\boldsymbol\Delta\mathbf B_{\mathrm{test}}^{-1} + \boldsymbol\Delta^\Tran . \end{equation} % -其中 $\mathbf 1$ 为全一向量。检验点趋近 $\boldsymbol\eta_{\mathrm r}$ 时 \eqref{eq:J_barankin} 退回 \gls{crb}；远检验点则捕获门限区——当某个远检验点 $\boldsymbol\eta_{i^\star}$（对应一个\emph{模糊}的参数值，如错误的延时--Doppler 网格点或几何近简并位置）的似然比二阶矩 $\mathbb E\{L_{i^\star}^2\}$ 仍可观时，\eqref{eq:J_barankin} 较 \gls{crb} 显著抬升，预示该模糊方向上的大误差。 +有限检验点给出 Barankin 型下界；沿任一标量方向对所有有限检验点集合取上确界，才得到该方向的 Barankin 界。若 $\mathbf B_{\mathrm{test}}$ 奇异，须检查无偏约束是否相容，再在其有效子空间使用广义逆。例如，两个不同目标参数具有完全相同的分布时，不存在同时在两点无偏的估计器。正则条件下，令检验点沿完整的局部参数方向趋近参考点，可恢复相应的 \gls{crb}。 -\emph{阈值}即由此定出：圆对称复高斯下 $\mathbb E\{L_iL_j\}=\exp\!\big\{\tfrac{1}{2}(\boldsymbol\mu_i-\boldsymbol\mu_{\mathrm r})^\Herm\mathbf R^{-1}(\boldsymbol\mu_j-\boldsymbol\mu_{\mathrm r})\big\}$ 之类的均值相关项（$\boldsymbol\mu_i$ 为检验点处的均值）；门限信噪比是``主导模糊检验点的去相关度 $\|\boldsymbol\mu_{i^\star}-\boldsymbol\mu_{\mathrm r}\|^2_{\mathbf R^{-1}}$ 降到 $O(1)$''之处——高于它各模糊点被压住、界贴 \gls{crb}，低于它模糊点竞争、界跳起。 +\paragraph{复高斯似然比的二阶矩} +设 $\mathbf y\sim\mathcal{CN}(\boldsymbol\mu_{\mathrm r},\mathbf R)$，$\mathbf R\succ0$ 在所有检验点相同，记 $\mathbf d_i=\boldsymbol\mu_i-\boldsymbol\mu_{\mathrm r}$。展开二次型可得 +% +\begin{equation} + \label{eq:J_gaussian_moment} + \begin{aligned} + \log L_i + &=2\Re\{\mathbf d_i^\Herm\mathbf R^{-1} + (\mathbf y-\boldsymbol\mu_{\mathrm r})\} + -\mathbf d_i^\Herm\mathbf R^{-1}\mathbf d_i,\\ + [\mathbf M]_{ij} + &=\exp\!\left(2\Re\{\mathbf d_i^\Herm\mathbf R^{-1}\mathbf d_j\}\right). + \end{aligned} +\end{equation} +% +第二行利用了实高斯变量的矩母函数：第一行随机项的交叉协方差为 $2\Re\{\mathbf d_i^\Herm\mathbf R^{-1}\mathbf d_j\}$。所得 $\mathbf M$ 为实对称矩阵。单个检验点时，分母为 $\exp(2D_i^2)-1$，其中 $D_i^2=\mathbf d_i^\Herm\mathbf R^{-1}\mathbf d_i$；远处参数若仍具有较小的白化均值距离，就会给出较强的大误差约束。具体门限需结合检验点优化及所采用的估计器分析，不能仅由 $D_i^2$ 的数量级确定。 -把上述\emph{误指定}化（承\appref{subsec:F5_mcrb}）：数据由真模型（含 $\boldsymbol\delta^\star$）生成，而似然比 $L_i$ 取\emph{假设同步}（$\delta=0$）模型、参考点取伪真值 $\boldsymbol\eta^{\mathrm{pt}}$~\cite{richmondParameterBoundsEstimation2015}。于是 \gls{mcrb} 是其检验点趋近 $\boldsymbol\eta^{\mathrm{pt}}$ 的局部极限，而误指定 Barankin 在此之上预测门限以下的大误差——\gls{mml} 估计器不仅有\appref{subsec:F5_mcrb} 的偏置，门限以下还叠加模糊跳变。 +\paragraph{模型误指定的适用边界} +误指定模型的性能界还需规定真实分布、假设分布及估计器的无偏性或矩约束~\cite{richmondParameterBoundsEstimation2015}。若数据服从真实密度，却把 \eqref{eq:J_likelihood_ratio} 中的两项换成假设同步模型，则一般既没有 $\mathbb E_{\mathrm r}[L_i]=1$，也没有 \eqref{eq:J_cross_moment}。因此，不能通过这一替换把 \eqref{eq:J_barankin} 直接改成误指定界，也不能据此宣称其局部极限就是 \gls{mcrb}。这里的有限点公式用于匹配模型；忽略时间戳的局部失配分析仍使用\appref{subsec:F5_mcrb} 中明确给定的真实与假设模型。 +% TODO: 在给定估计器矩约束后，推导含时间戳真实模型与假设同步模型之间的误指定有限检验点界。 -\subsection{Ziv--Zakai 界与模糊地板} +\subsection{Ziv--Zakai 界与二元检验} \label{subsec:J2_zzb} -Ziv--Zakai 界（ZZB，Bellini--Tartara 扩展形式）把估计误差与一族\emph{二元假设检验}的错误概率联系起来，从而内禀地捕获模糊。对位置的任一标量投影 $a=\mathbf c^\Tran\mathbf p$， +取实值标量目标 $a$，先验密度为 $\pi(a)$，观测条件密度为 $p(\mathbf y\mid a)$。如果 $a=\mathbf c^\Tran\mathbf p$ 是位置投影，$p(\mathbf y\mid a)$ 应按给定条件先验对其余位置分量与干扰参数积分；若把它们固定为已知量，则得到的是条件子模型。标量 Ziv--Zakai 界可写为~\cite{tsangZivZakai2023} % \begin{equation} \label{eq:J_zzb} - \mathbb E\big[(\widehat a-a)^2\big] - \ge - \frac{1}{2}\int_0^\infty h\, - \mathcal V\!\Big\{ - \int \big[w(\mathbf p)+w(\mathbf p+h\,\mathbf c)\big]\, - P_{\min}(\mathbf p,\mathbf p+h\,\mathbf c)\,\diff\mathbf p - \Big\}\,\diff h, + \begin{aligned} + \mathbb E[(\widehat a-a)^2] + &\geq\frac12\int_0^\infty h\,\mathcal V\{g\}(h)\,\diff h,\\ + g(h)&=\int_{\mathbb R}[\pi(a)+\pi(a+h)]P_{\min}(a,a+h)\,\diff a,\\ + \mathcal V\{g\}(h)&=\sup_{u\geq h}g(u). + \end{aligned} \end{equation} % -其中 $w(\cdot)$ 为位置先验，$\mathcal V\{\cdot\}$ 是\emph{填谷}（valley-filling）算子（取非增上包络，处理模糊旁瓣），$P_{\min}(\mathbf p,\mathbf p')$ 为等先验二元检验 $\mathrm H_0\!:\mathbf p$ 与 $\mathrm H_1\!:\mathbf p'$ 的最小错误概率。圆对称复高斯下 +这里的二元检验先验为 $\rho_0=\dfrac{\pi(a)}{\pi(a)+\pi(a+h)}$ 与 $\rho_1=\dfrac{\pi(a+h)}{\pi(a)+\pi(a+h)}$；权重和为零的点对积分贡献为零。$P_{\min}$ 使用这些先验，而非一律使用等先验。填谷算子取非增上包络，利用误差尾概率的单调性加强下界。 + +其依据是恒等式 $\mathbb E[(\widehat a-a)^2]=\dfrac12\int_0^\infty h\,\Pr(|\widehat a-a|\geq h/2)\,\diff h$。用估计值与两个假设的中点比较可构造二元判决；它的错误概率不小于最优二元检验错误概率。对点对积分便得到尾概率的下界 $g(h)$，再利用单调性得到 \eqref{eq:J_zzb}。 + +\paragraph{等协方差复高斯检验} +当两个条件分布为 $\mathcal{CN}(\boldsymbol\mu_0,\mathbf R)$ 与 $\mathcal{CN}(\boldsymbol\mu_1,\mathbf R)$ 时，令 +% +\begin{equation} + \label{eq:J_distance} + D^2=(\boldsymbol\mu_1-\boldsymbol\mu_0)^\Herm + \mathbf R^{-1}(\boldsymbol\mu_1-\boldsymbol\mu_0). +\end{equation} +% +在两个假设下，对数似然比分别服从均值为 $-D^2$、$D^2$，方差同为 $2D^2$ 的实高斯分布。以 $\log(\rho_0/\rho_1)$ 为判决阈值，得到 % \begin{equation} \label{eq:J_pmin} - P_{\min}(\mathbf p,\mathbf p') - =Q\!\Big(\tfrac{1}{2}\sqrt{D^2(\mathbf p,\mathbf p')}\Big), - \qquad - D^2(\mathbf p,\mathbf p') - =\big\|\boldsymbol\mu(\mathbf p')-\boldsymbol\mu(\mathbf p)\big\|^2_{\mathbf R^{-1}} - =\sum_{\ell}\frac{1}{\sigma_\ell}\big\|\boldsymbol\mu_\ell(\mathbf p')-\boldsymbol\mu_\ell(\mathbf p)\big\|_2^2, + \begin{aligned} + P_{\min} + &=\rho_0 Q\!\left(\frac{D^2+\log(\rho_0/\rho_1)}{\sqrt{2D^2}}\right) + +\rho_1 Q\!\left(\frac{D^2-\log(\rho_0/\rho_1)}{\sqrt{2D^2}}\right),\\ + P_{\min}\big|_{\rho_0=\rho_1=1/2} + &=Q\!\left(\sqrt{D^2/2}\right). + \end{aligned} \end{equation} % -即\emph{去相关度}（白化均值分离），跨星可加（与 C6 的信息可加同源）。两端行为清晰： -\begin{itemize} - \item \textbf{高信噪比}：对 $h\neq 0$ 有 $D^2$ 大、$P_{\min}$ 迅速衰减，\eqref{eq:J_zzb} 退回投影 \gls{crb}； - \item \textbf{门限区 / 模糊}：若存在位移 $h^\star\mathbf c$ 使两位置的均值近乎不可分（$\boldsymbol\mu(\mathbf p+h^\star\mathbf c)\approx\boldsymbol\mu(\mathbf p)$，即模糊方向），则该处 $D^2$ 不随信噪比增长、$P_{\min}\!\to\!\tfrac12$，填谷后在 \eqref{eq:J_zzb} 留下一个 $\sim (h^\star)^2$ 量级的\emph{地板}，\gls{crb} 无法预测。 -\end{itemize} +其中 $Q$ 为标准正态右尾函数。$D=0$ 时，直接取 $P_{\min}=\min(\rho_0,\rho_1)$。对干扰参数积分后，条件密度通常成为混合分布，此时 \eqref{eq:J_pmin} 的高斯闭式不再直接适用。 -\paragraph{少用户的基本极限} -在含时间戳的位置模型里，最危险的模糊方向正是\appref{subsec:F6_tauDeltaConfound} 的``位置--时间戳同轴''方向：位移 $\Delta\mathbf p$ 配上一组星钟偏移 $\Delta\boldsymbol\delta$ 可使各星到达时间几乎不变。其去相关度按 \eqref{eq:J_pmin} 是\emph{对用户求和}的——每个用户在该方向贡献一份均值分离，而共享的 $\delta_\ell$ 须同时解释该星上\emph{所有}用户。于是用户数 $K$ 越大，混淆方向上的 $D^2$ 越大、$P_{\min}$ 越早衰减、ZZB 地板越低；反之当 $K$ 太小（典型 $K\le 3$），共享 $\delta_\ell$ 与位置的混淆\emph{欠定}（承\appref{subsec:F6_tauDeltaConfound}：单用户被吃光、双用户仅部分救回），$D^2$ 在该方向始终偏小、$P_{\min}\!\approx\!\tfrac12$，ZZB 地板不随信噪比下降——这是\emph{几何/可辨识层面的基本极限}，非估计器之过，无论何种估计器都受其约束。多用户超定（$K$ 足够大）把混淆方向的 $D^2$ 抬起，才使地板随信噪比下沉。 +\paragraph{近似模糊与误差地板} +在独立星噪声模型下，$D^2=\sum_\ell\|\boldsymbol\mu_{1,\ell}-\boldsymbol\mu_{0,\ell}\|_2^2/\sigma_\ell$，因此白化距离跨星可加。若两组固定参数的均值差非零，降低噪声方差会使 $D^2$ 增大，检验错误率趋于零；很小的均值差可推迟门限转折，却不必产生高信噪比地板。若不同参数有相同均值，则该点对始终不可区分；要使贝叶斯均方误差保持非零地板，还需这种模糊对先验积分具有非零贡献。 -\medskip +多用户均值是各用户信号之和，其差的平方范数一般含用户间交叉项。只有相应差向量正交时，白化距离才可再按用户相加。增加用户既提供观测结构，也引入未知参数，其效果应结合\appref{subsec:F6_tauDeltaConfound} 的投影秩判据与有限距离检验判断，不存在仅由用户数决定的统一门限或地板结论。 -\gls{crb}/\gls{efim}（局部、信息级）给可达精度的标尺，\gls{mcrb}（\appref{subsec:F5_mcrb}）给忽略时间戳的失配代价，三者构成主线界谱系。本附录的误指定 Barankin 与 Ziv--Zakai 界作为其外的扩展，给门限以下的大误差与模糊地板；少用户下的信息极限在主线已由 \gls{efim} 的 $\delta$-边缘化惩罚承载，这里的门限地板是同一现象在门限区的另一种呈现，主线不依赖。 +局部满秩与全局唯一性是两个不同条件：前者支持有限的局部协方差界，后者还要求排除搜索域内的远距离模糊。Barankin 型界和 Ziv--Zakai 界分别在无偏约束与先验平均的框架下补充这一分析。 diff --git a/parts/sec7_timestampError.tex b/parts/sec7_timestampError.tex index 6f260e4..71207c2 100644 --- a/parts/sec7_timestampError.tex +++ b/parts/sec7_timestampError.tex @@ -201,22 +201,22 @@ \subsection{忽略时间戳误差时的 MCRB} \label{subsec:mcrbIgnoreDelta} -\eqref{eq:sec5_efim} 的 \gls{efim} 对应``把 $\boldsymbol\delta$ 当未知干扰参数一并估计''的情形，代价是主参数信息被 Schur 补扣减、\gls{crb} 抬高。与之互补的是另一种工程上常见的处理：估计器\emph{假设星间已同步}（令 $\delta_\ell\equiv 0$）、不把 $\boldsymbol\delta$ 纳入模型以省去这部分参数。此时真值含 $\boldsymbol\delta^\star\neq\mathbf 0$、估计器却以 $\delta=0$ 的似然拟合，构成\emph{模型误指定}，其性能由 \gls{mcrb}~\cite{richmondParameterBoundsEstimation2015} 而非 \gls{crb} 刻画。误指定最大似然（\gls{mml}）估计器不再收敛到真值 $\boldsymbol\eta^\star$，而是收敛到使 \gls{kl} 散度最小的\emph{伪真值} $\boldsymbol\eta^{\mathrm{pt}}$，其绕真值的均方误差由两部分组成 +\eqref{eq:sec5_efim} 的 \gls{efim} 对应``把 $\boldsymbol\delta$ 当未知干扰参数一并估计''的情形，代价是主参数信息被 Schur 补扣减、\gls{crb} 抬高。与之互补的是另一种工程上常见的处理：估计器\emph{假设星间已同步}（令 $\delta_\ell\equiv 0$）、不把 $\boldsymbol\delta$ 纳入模型以省去这部分参数。此时真值含 $\boldsymbol\delta^\star\neq\mathbf 0$、估计器却以 $\delta=0$ 的似然拟合，构成\emph{模型误指定}，其性能由 \gls{mcrb}~\cite{richmondParameterBoundsEstimation2015} 而非 \gls{crb} 刻画。误指定最大似然（\gls{mml}）估计器不再收敛到真值 $\boldsymbol\eta^\star$，而是收敛到使 \gls{kl} 散度最小的\emph{伪真值} $\boldsymbol\eta^{\mathrm{pt}}$，以下沿用\appref{subsec:F5_mcrb} 的已知且匹配噪声协方差设定。在该附录所述正则性和无偏约束下，绕真值的均方误差满足 % \begin{equation} \label{eq:sec5_mcrb} \mathbb E\big[(\widehat{\boldsymbol\eta}-\boldsymbol\eta^\star)(\widehat{\boldsymbol\eta}-\boldsymbol\eta^\star)^\Tran\big] \succeq - \underbrace{\mathbf A^{-1}\mathbf B\,\mathbf A^{-1}}_{\text{绕 }\boldsymbol\eta^{\mathrm{pt}}\text{ 的方差}} + \underbrace{[\mathbf A^{-1}\mathbf B\,\mathbf A^{-1}]_{\eta\eta}}_{\text{主参数协方差下界}} + \underbrace{(\boldsymbol\eta^{\mathrm{pt}}-\boldsymbol\eta^\star)(\boldsymbol\eta^{\mathrm{pt}}-\boldsymbol\eta^\star)^\Tran}_{\text{忽略 }\boldsymbol\delta\text{ 引入的偏置}}. \end{equation} % -与 \gls{efim} 路线``估计 $\boldsymbol\delta$ 而损失方差''相对，\gls{mcrb} 路线是``忽略 $\boldsymbol\delta$ 而换来偏置''；两者孰优取决于 $\boldsymbol\delta^\star$ 的量级。sandwich（夹心型，指 $\mathbf A^{-1}\mathbf B\mathbf A^{-1}$ 形式）矩阵 $\mathbf A$、$\mathbf B$ 的 Slepian--Bangs 闭式、伪真值与偏置的一阶表达，以及 $\boldsymbol\delta^\star\to\mathbf 0$ 退回 \gls{crb} 的一致性，见\appref{subsec:F5_mcrb}。 +其中 $[\cdot]_{\eta\eta}$ 表示完整均值参数矩阵中主参数对应的子块，实际 \gls{mml} 误差的 sandwich 近似使用大样本条件。与 \gls{efim} 路线``估计 $\boldsymbol\delta$ 而损失方差''相对，\gls{mcrb} 路线是``忽略 $\boldsymbol\delta$ 而换来偏置''；两者孰优取决于 $\boldsymbol\delta^\star$ 的量级。sandwich（夹心型，指 $\mathbf A^{-1}\mathbf B\mathbf A^{-1}$ 形式）矩阵 $\mathbf A$、$\mathbf B$ 的 Slepian--Bangs 闭式、伪真值与偏置的一阶表达，以及 $\boldsymbol\delta^\star\to\mathbf 0$ 退回 \gls{crb} 的一致性，见\appref{subsec:F5_mcrb}。 在位置模型中，偏置由时间戳有效导数与位置有效导数的交叉信息决定。传播时延是误差进入几何估计的一条途径，但经过联合求逆后，位置偏置通常不局限于某个径向方向。角度观测本身不含时间戳，也不意味着联合位置估计的横向分量必然无偏。 -需要强调，上述 \gls{crb}、\gls{efim} 与 \gls{mcrb} 都是局部（小误差）刻画：少用户下``位置--时间戳''模糊带来的信息损失已由 \gls{efim} 的 $\delta$-边缘化惩罚承载（\appref{sec:timestampErrCrb}），无需另立界；门限以下的大误差则属失效区行为。作为主线之外的扩展，误指定 Barankin 与 Ziv--Zakai 门限界见\appref{sec:thresholdBounds}，主线不依赖它们。 +上述局部分析区分了未知时间戳带来的信息损失与忽略时间戳产生的失配偏置。相距较远的参数还可能对应相近的观测分布，形成局部导数难以刻画的大误差。匹配模型下的有限检验点界、Ziv--Zakai 界及其误指定适用边界见\appref{sec:thresholdBounds}。 本节给出了时间戳误差下的联合模型与局部信息分析。自由复增益吸收恒定相位，包络时移决定剩余信息损失；忽略可观测的包络时移时，还可能产生模型失配偏置。在位置模型中，自由逐星时间戳可吸收单用户的差分时延信息，多用户共享结构则可能保留用户间的相对时延约束。 至此，多星主线从单阵列 \gls{doa} 递进到含时延、Doppler 与时间戳的多用户协同定位模型；亚波长载波相位干涉与移动用户测速作为更强但要求更苛的通道，可正交叠加于此。 diff --git a/ref.bib b/ref.bib index f23eb38..a1a358b 100644 --- a/ref.bib +++ b/ref.bib @@ -9109,6 +9109,27 @@ langid = {english} } +@article{hannakPerformanceAnalysisAMP2018, + title = {Performance Analysis of Approximate Message Passing for Distributed Compressed Sensing}, + author = {Hannak, Gabor and Perelli, Alessandro and Goertz, Norbert and Matz, Gerald and Davies, Mike E.}, + date = {2018}, + journaltitle = {IEEE Journal of Selected Topics in Signal Processing}, + volume = {12}, + number = {5}, + pages = {857--870}, + doi = {10.1109/JSTSP.2018.2850754} +} + +@online{tsangZivZakai2023, + title = {Ziv-Zakai-type error bounds for general statistical models}, + author = {Tsang, Mankei}, + date = {2023}, + eprint = {2306.08660}, + eprinttype = {arxiv}, + doi = {10.48550/arXiv.2306.08660}, + url = {https://arxiv.org/abs/2306.08660} +} + @article{richmondParameterBoundsEstimation2015, title = {Parameter {{Bounds}} on {{Estimation Accuracy Under Model Misspecification}}}, author = {Richmond, Christ D. and Horowitz, Larry L.},