diff --git a/doa_doppler_est.tex b/doa_doppler_est.tex index 1174318..69ca563 100644 --- a/doa_doppler_est.tex +++ b/doa_doppler_est.tex @@ -27,8 +27,8 @@ \newcommand{\Tran}{\mathsf{T}} \newcommand{\Herm}{\mathsf{H}} \newcommand{\diff}{\mathop{}\!\mathrm{d}} -\newcommand{\secref}[1]{\unskip 第~\ref{#1}~节} -\newcommand{\appref}[1]{\unskip 附录~\ref{#1}} +\newcommand{\secref}[1]{第~\ref{#1}~节} +\newcommand{\appref}[1]{附录~\ref{#1}} \usepackage{arydshln} diff --git a/parts/A-symbolIndex.tex b/parts/A-symbolIndex.tex index 17133da..5146253 100644 --- a/parts/A-symbolIndex.tex +++ b/parts/A-symbolIndex.tex @@ -196,7 +196,7 @@ 若必须给出物理 Hz 单位，应显式写为 $\nu^{\mathrm{Hz}}$，避免与归一化模型参数混淆。 下标区分两类 Doppler：$\nu_k$ 为单阵列多信源场景中第 $k$ 个信源的独立 Doppler（$K$ 个自由待估量）；$\nu_\ell$ 为多星单用户场景中第 $\ell$ 条链路的 Doppler，由参考链路 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 经几何映射 $\nu_\ell=\nu_{\mathrm{ref}}+\Delta\nu_\ell(\boldsymbol\xi)$ 诱导，仅 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 为自由标量。 相关符号汇总于表~\ref{tab:signalDopplerDelayNotation}。 -其中带时延下标 $\tau$ 的符号（$\tau_\ell$、$\tau_{\mathrm{ref}}$、$f_{\tau,\ell}$、$\boldsymbol\eta_\tau$、$\mathcal E_{\tau,\ell}$）为 \gls{doa}--Doppler--delay 扩展预留，本版本正文不展开，与 \appref{subsec:beamformingSymbols} 的波束成形符号同属预留命名空间。 +其中带时延下标 $\tau$ 的符号（$\tau_\ell$、$\tau_{\mathrm{ref}}$、$f_{\tau,\ell}$、$\boldsymbol\eta_\tau$、$\mathcal E_{\tau,\ell}$）为 \gls{doa}--Doppler--delay 扩展预留，本版本正文不展开，与\appref{subsec:beamformingSymbols} 的波束成形符号同属预留命名空间。 \begingroup \small diff --git a/parts/D-singleArrayCrb.tex b/parts/D-singleArrayCrb.tex index b0bb33f..d289a20 100644 --- a/parts/D-singleArrayCrb.tex +++ b/parts/D-singleArrayCrb.tex @@ -693,7 +693,7 @@ $\mathcal P_{[\mathbf B_{\mathrm{st}},\mathbf B_{\mathrm{st},\nu}\mathbf D_\zeta \subsection{随机信号 DoA CRB（对照支线）} \label{sec:sto_doa_crb} -本附录对应第~\ref{sec:det_doa_est} 节末尾 \S\ref{subsec:sml_contrast} 的随机信号 \gls{doa} 对照支线。由 \appref{subsubsec:general_gauss_crb} 可知，零均值圆对称复高斯随机过程的 \gls{crb} 可以表示为 +本附录对应第~\ref{sec:det_doa_est} 节末尾 \S\ref{subsec:sml_contrast} 的随机信号 \gls{doa} 对照支线。由\appref{subsubsec:general_gauss_crb} 可知，零均值圆对称复高斯随机过程的 \gls{crb} 可以表示为 % \begin{equation} [\mathcal I(\boldsymbol\kappa)]_{ij} @@ -702,7 +702,7 @@ $\mathcal P_{[\mathbf B_{\mathrm{st}},\mathbf B_{\mathrm{st},\nu}\mathbf D_\zeta \right]\right\}. \end{equation} % -因此可以通过类似 \appref{sec:det_doa_crb} 的方式，按照 \S\ref{subsec:sml_contrast} 中给出的随机信号建模方式，求出接收信号协方差矩阵 $\mathbf{R} = \mathbf{A} \mathbf{R}_x \mathbf{A}^\Herm + \sigma \mathbf{I}_M$ 对各个参量的一阶导数，构建 \gls{fim}。 +因此可以通过类似\appref{sec:det_doa_crb} 的方式，按照 \S\ref{subsec:sml_contrast} 中给出的随机信号建模方式，求出接收信号协方差矩阵 $\mathbf{R} = \mathbf{A} \mathbf{R}_x \mathbf{A}^\Herm + \sigma \mathbf{I}_M$ 对各个参量的一阶导数，构建 \gls{fim}。 随机信号 \gls{doa} 估计问题的参数向量可以写为 % \begin{equation*} diff --git a/parts/F-timestampErrCrb.tex b/parts/F-timestampErrCrb.tex index b22ca59..2da2573 100644 --- a/parts/F-timestampErrCrb.tex +++ b/parts/F-timestampErrCrb.tex @@ -34,7 +34,7 @@ % 参考星 $\ell_{\mathrm{ref}}$ 有 $\delta_{\ell_{\mathrm{ref}}}\equiv 0$，仅 $L-1$ 个非参考星贡献 $\delta_\ell$ 自由度。 -按 \appref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb} 的 Slepian--Bangs 公式，各星条件独立的圆对称复高斯模型下 Fisher 信息矩阵元素为 +按\appref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb} 的 Slepian--Bangs 公式，各星条件独立的圆对称复高斯模型下 Fisher 信息矩阵元素为 % \begin{equation} \big[\mathcal I(\boldsymbol\kappa_{\mathrm{te}})\big]_{ij} @@ -81,7 +81,7 @@ $\mathcal I_{\delta\psi}$ 同样具有按 $\ell$ 的块对角结构：第 $\ell$ \subsection{Schur complement 消去 \texorpdfstring{$\boldsymbol\delta$}{δ}} \label{subsec:F2_schurDelta} -先消复增益。沿用 \appref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb} 的复增益投影做法，对每颗卫星定义对其 $K$ 列空时模板 $\mathbf G_\ell=[\mathbf g_{\ell,1},\ldots,\mathbf g_{\ell,K}]$ 的正交投影 +先消复增益。沿用\appref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb} 的复增益投影做法，对每颗卫星定义对其 $K$ 列空时模板 $\mathbf G_\ell=[\mathbf g_{\ell,1},\ldots,\mathbf g_{\ell,K}]$ 的正交投影 % \begin{equation} \mathcal P_{\mathbf G_\ell} @@ -133,7 +133,7 @@ $\mathcal I_{\delta\psi}$ 同样具有按 $\ell$ 的块对角结构：第 $\ell$ \end{aligned} \end{equation} % -其中 $\mathbf J_{\eta,\ell}=\partial\boldsymbol\mu_\ell/\partial\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$、$\mathbf j_{\delta,\ell}=\partial\boldsymbol\mu_\ell/\partial\delta_\ell$ 均在小误差区于 $\delta_\ell=0$ 处展开。Jacobian $\mathbf J_{\eta,\ell}$ 的列结构与 \appref{subsec:E2_multiUserMultiSatCrb} 完全一致；只需在 $\mathbf j_{\delta,\ell}$ 处显式展开 $\delta_\ell$ 进入的两条途径——相位偏移 $-\nu_{\ell,k}\delta_\ell$ 与导频时间偏移 $s_k(t-\delta_\ell)$： +其中 $\mathbf J_{\eta,\ell}=\partial\boldsymbol\mu_\ell/\partial\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$、$\mathbf j_{\delta,\ell}=\partial\boldsymbol\mu_\ell/\partial\delta_\ell$ 均在小误差区于 $\delta_\ell=0$ 处展开。Jacobian $\mathbf J_{\eta,\ell}$ 的列结构与\appref{subsec:E2_multiUserMultiSatCrb} 完全一致；只需在 $\mathbf j_{\delta,\ell}$ 处显式展开 $\delta_\ell$ 进入的两条途径——相位偏移 $-\nu_{\ell,k}\delta_\ell$ 与导频时间偏移 $s_k(t-\delta_\ell)$： % \begin{equation} \label{eq:F2_jdelta} @@ -175,7 +175,7 @@ $\mathcal I_{\delta\psi}$ 同样具有按 $\ell$ 的块对角结构：第 $\ell$ \begin{enumerate} \item 给定真值 $(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}},\boldsymbol\delta)$ 与各星 $\sigma_\ell$、$\{\zeta_{\ell,k}\}$； \item 对每颗卫星 $\ell$，按 \eqref{eq:sec5_signal_model} 计算 $\mathbf g_{\ell,k}(\delta_\ell)$ 及其关于 $(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}},\delta_\ell)$ 的数值 Jacobian——其中 $\partial/\partial\delta_\ell$ 不再用 \eqref{eq:F2_jdelta} 一阶近似，而是用中心差分直接评估 $s_k(t-\delta_\ell)$ 与 $e^{j\nu_{\ell,k}(t-\delta_\ell)}$； - \item 组装 \eqref{eq:F1_three_block} 各分块，按 \appref{subsec:F2_schurDelta} 的顺序先消复增益、再消 $\boldsymbol\delta$； + \item 组装 \eqref{eq:F1_three_block} 各分块，按\appref{subsec:F2_schurDelta} 的顺序先消复增益、再消 $\boldsymbol\delta$； \item 输出 $\mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}};\boldsymbol\delta)$ 并取逆得到 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ 的 \gls{crb}。 \end{enumerate} $\boldsymbol\delta$ 在导频自相关半宽 $T_{\mathrm{ac}}$ 处的非线性会让 $\mathcal I_{\delta\delta}'$ 显著偏离对角形式（不同 $\ell$ 之间通过导频互相关项耦合），此时\eqref{eq:F2_efim_final} 的``逐星扣除''形式不再适用，需要对 $\boldsymbol\delta$ 块整体求逆。 @@ -188,7 +188,7 @@ $\boldsymbol\delta$ 在导频自相关半宽 $T_{\mathrm{ac}}$ 处的非线性 最简非平凡情形：单用户（$K=1$）、双星（$L=2$，参考星 $\ell_{\mathrm{ref}}=0$、非参考星 $\ell=1$、唯一时间戳误差 $\delta_1$）。主参数 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}=\boldsymbol\eta=[\alpha,\beta,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran\in\mathbb R^3$，干扰参数包含 $\delta_1$ 与两颗星的复增益、噪声方差。 \paragraph{投影简化} -单用户下每颗卫星 $\mathbf G_\ell$ 退化为单列 $\mathbf g_\ell=\mathbf q_\ell\otimes\mathbf a_\ell$，复增益投影 $\mathcal P_{\mathbf G_\ell}$ 退化为 $\mathbf g_\ell\mathbf g_\ell^\Herm/\|\mathbf g_\ell\|^2$，与 \appref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb} 的单用户基线一致。\eqref{eq:F2_after_psi} 中 +单用户下每颗卫星 $\mathbf G_\ell$ 退化为单列 $\mathbf g_\ell=\mathbf q_\ell\otimes\mathbf a_\ell$，复增益投影 $\mathcal P_{\mathbf G_\ell}$ 退化为 $\mathbf g_\ell\mathbf g_\ell^\Herm/\|\mathbf g_\ell\|^2$，与\appref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb} 的单用户基线一致。\eqref{eq:F2_after_psi} 中 % \begin{equation} \mathcal I_{\eta\eta}' @@ -264,4 +264,4 @@ $\boldsymbol\delta=[\delta_1]$ 退化为标量，\eqref{eq:F2_jdelta} 中 \medskip -至此，附录 F 给出了时间戳误差作为干扰参数时关于 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ 的 \gls{efim} 结构与最简情形的闭式。多用户情形与一般 $L$ 的 \gls{efim} 由 \appref{subsec:F3_numericalEfim} 的数值流程评估，作为后续数据驱动方法与 \gls{crb} 对比的基础。 +至此，附录 F 给出了时间戳误差作为干扰参数时关于 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ 的 \gls{efim} 结构与最简情形的闭式。多用户情形与一般 $L$ 的 \gls{efim} 由\appref{subsec:F3_numericalEfim} 的数值流程评估，作为后续数据驱动方法与 \gls{crb} 对比的基础。 diff --git a/parts/G-multiFrameCrb.tex b/parts/G-multiFrameCrb.tex index 43f1441..9a5d2d8 100644 --- a/parts/G-multiFrameCrb.tex +++ b/parts/G-multiFrameCrb.tex @@ -1058,11 +1058,11 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则 % 因此，无论在连续相位模型还是 relaxed 连续相位模型下，将 $\sigma_\ell$ 视为未知量都只会在 \gls{fim} 中附加与其他参数解耦的对角块，不改变式~\eqref{eq:A7_Ieff_cp}、\eqref{eq:A7_Ieff_rel_ext} 和 \eqref{eq:A7_Ieff_rel_eta} 的形式。 -因此，本小节给出的不是新的动态模型，而是正文连续相位模型和 relaxed 连续相位处理的 Fisher 信息表达。它与 \appref{sec:A8_dynIndependentPhaseCrb} 的比较应围绕``是否保留跨帧绝对相位连续性''展开，而不是围绕不同的主参数定义展开。 +因此，本小节给出的不是新的动态模型，而是正文连续相位模型和 relaxed 连续相位处理的 Fisher 信息表达。它与\appref{sec:A8_dynIndependentPhaseCrb} 的比较应围绕``是否保留跨帧绝对相位连续性''展开，而不是围绕不同的主参数定义展开。 \subsection{独立相位 IP 基线 EFIM} \label{sec:A8_dynIndependentPhaseCrb} -本附录仅对应第~\ref{subsec:independentPhaseModel} 小节中的独立相位基线模型。这里的``独立相位''是指：每个观测块 $(\ell,p)$ 具有各自的\emph{独立未知初始相位} $\vartheta_{\ell,p}$，这些相位不再受同一颗卫星公共相位的结构约束；但它们仍是\emph{确定性未知参数}，而不是按某个先验分布生成的随机变量。因此，本附录与正文及 \appref{sec:A7_dynDoaDopplerCrb} 一样，采用\emph{确定性参数 \gls{crb}}，而不再引入 hybrid \gls{crb}。 +本附录仅对应第~\ref{subsec:independentPhaseModel} 小节中的独立相位基线模型。这里的``独立相位''是指：每个观测块 $(\ell,p)$ 具有各自的\emph{独立未知初始相位} $\vartheta_{\ell,p}$，这些相位不再受同一颗卫星公共相位的结构约束；但它们仍是\emph{确定性未知参数}，而不是按某个先验分布生成的随机变量。因此，本附录与正文及\appref{sec:A7_dynDoaDopplerCrb} 一样，采用\emph{确定性参数 \gls{crb}}，而不再引入 hybrid \gls{crb}。 主参数统一定义为 % @@ -1078,7 +1078,7 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则 \boldsymbol\eta\in\mathbb R^3, \end{equation} % -并继续将 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 作为干扰参数处理。为避免与正文和 \appref{sec:A7_dynDoaDopplerCrb} 重复，这里只保留独立相位模型对应的最小定义、导数记号与 \gls{efim} 结构。 +并继续将 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 作为干扰参数处理。为避免与正文和\appref{sec:A7_dynDoaDopplerCrb} 重复，这里只保留独立相位模型对应的最小定义、导数记号与 \gls{efim} 结构。 \subsubsection{沿用正文独立相位模型的最小定义与导数记号} @@ -1452,7 +1452,7 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则 \subsubsection{与 A7 中 relaxed 连续相位结果的关系} -式~\eqref{eq:A8_IP_FIM_etadotnu} 给出的扩展 Fisher 信息矩阵的投影型结构与 \appref{sec:A7_dynDoaDopplerCrb} 中 relaxed 连续相位模型的结果形式一致，但两者对应的\emph{时间模板不同}： +式~\eqref{eq:A8_IP_FIM_etadotnu} 给出的扩展 Fisher 信息矩阵的投影型结构与\appref{sec:A7_dynDoaDopplerCrb} 中 relaxed 连续相位模型的结果形式一致，但两者对应的\emph{时间模板不同}： \begin{itemize} \item \appref{sec:A7_dynDoaDopplerCrb} 使用的是连续相位模板 $\mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}$，其中通过 $t_{p,t}=\tau_p+t$ 保留了跨帧绝对相位连续性； \item 本附录使用的是独立相位模板 $\mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}$，其中帧间常相位项已被 $\vartheta_{\ell,p}$ 吸收，只保留帧内局部相位演化。 diff --git a/parts/preface.tex b/parts/preface.tex index e049c3a..ae02e17 100644 --- a/parts/preface.tex +++ b/parts/preface.tex @@ -17,4 +17,4 @@ \appref{sec:background}、\appref{sec:doa_methods} 收纳数学基础与经典 \gls{doa} 方法；\appref{sec:singleArrayCrb} 把单阵列三种 \gls{crb}（确定信号 \gls{doa}、确定信号 \gls{doa}--Doppler、随机信号 \gls{doa}）合并整理，便于对比；\appref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb} 处理多星静态模型（单用户与多用户）；\appref{sec:timestampErrCrb} 是新增的时间戳误差 \gls{fim} 分析；\appref{sec:multiFrameCrb} 处理多帧动态模型的连续相位与独立相位 \gls{crb} 对比；\appref{sec:userPositionCrb} 给出用户三维位置的 \gls{crb}，复用多星静态框架的 Jacobian 与 Schur 补。 正文遇到``详细推导见附录~X''时，可循此跳读。 -后续方向上，波束成形与安全通信的鲁棒设计是这份笔记的自然延伸（参见 \appref{sec:assumptionsAndNotation} 末尾预留的接口符号），但本版本不展开波束成形相关章节，仅在符号层面与正文估计侧保持接口一致。 +后续方向上，波束成形与安全通信的鲁棒设计是这份笔记的自然延伸（参见\appref{sec:assumptionsAndNotation} 末尾预留的接口符号），但本版本不展开波束成形相关章节，仅在符号层面与正文估计侧保持接口一致。