diff --git a/parts/A-symbolIndex.tex b/parts/A-symbolIndex.tex index 724987c..8624424 100644 --- a/parts/A-symbolIndex.tex +++ b/parts/A-symbolIndex.tex @@ -360,7 +360,7 @@ $\zeta_\ell$ & 静态单块单用户模型中第 $\ell$ 条链路的未知复干扰系数；新写内容不使用 $h_\ell$，以避免与信道响应混淆。\\ $\zeta_{\ell,k}$ & 多用户场景中第 $\ell$ 颗卫星对第 $k$ 个用户的未知复干扰系数；$K=1$ 时退化为 $\zeta_\ell$。\\ $\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}$ & structured continuous-phase 模型中第 $(\ell,p)$ 个观测块的结构化复增益简写，定义为 $\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}\triangleq \rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}e^{j\chi_\ell}$；它不作为自由复参数估计，其相位部分在同一颗卫星的不同帧之间共享。\\ - $\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp,rel}}$ & relaxed continuous-phase 模型中第 $(\ell,p)$ 个观测块的自由复增益。 relaxed 版本应显式保留上标 $\mathrm{cp,rel}$，以区别于结构化 CP 和 IP 模型。\\ + $\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp,rel}}$ & 放松连续相位（relaxed CP）模型中第 $(\ell,p)$ 个观测块的自由复增益。 放松版本应显式保留上标 $\mathrm{cp,rel}$，以区别于结构化 CP 和 IP 模型。\\ $\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}$ & 独立相位模型中第 $(\ell,p)$ 个观测块的自由复增益。\gls{crb} 推导中可写为极坐标分解 $\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}\triangleq \rho_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}e^{j\vartheta_{\ell,p}}$。\\ \end{longtable} \endgroup @@ -429,7 +429,7 @@ $\mathcal R_\ell$ & 第 $\ell$ 颗卫星的聚合残差。\\ $\mathcal R_\ell^{\mathrm{cp}}$ & 连续相位模型中第 $\ell$ 颗卫星的聚合残差。\\ $\mathcal R_\ell^{\mathrm{cp,str}}$ & 连续相位结构化模型在消去幅度后的每星聚合残差。\\ - $\mathcal R_\ell^{\mathrm{cp,rel}}$ & relaxed 连续相位模型的每星聚合残差。\\ + $\mathcal R_\ell^{\mathrm{cp,rel}}$ & 放松连续相位模型的每星聚合残差。\\ $\mathcal R_\ell^{\mathrm{ip}}$ & 独立相位模型的每星聚合残差。\\ $\mathcal E_{\ell,p}^{\mathrm{cp,str}}$、$\mathcal E_{\ell,p}^{\mathrm{cp,rel}}$ 和 $\mathcal E_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}$ & 第 $(\ell,p)$ 个观测块在相应集中模型下的块残差。\\ \end{longtable} @@ -531,7 +531,7 @@ 下标 $\mathrm{mu}$ & multi-user，多用户场景下的主参数或干扰参数分组。\\ 上标 $\mathrm{te}$ & timestamp-error，标记对时间戳误差 $\delta_\ell$ 求导（$\dfrac{\partial}{\partial\delta_\ell}$）得到的模板，如 $\mathbf q^{\mathrm{te}}$。\\ 上标 $\mathrm{str}$ & structured，即保留结构化公共相位或幅度约束后的模型或残差。\\ - 上标 $\mathrm{rel}$ & relaxed，即放松块复干扰系数 结构后的模型或残差。\\ + 上标 $\mathrm{rel}$ & relaxed（放松），即放松块复干扰系数结构后的模型或残差。\\ 上标 $\mathrm{pro}$ & profiled，即已经对部分干扰参数作轮廓化处理的似然或目标函数。\\ 帽号 $\hat{\cdot}$ & 估计量。\\ 横线 $\bar{\cdot}$ & 局部化或等效化后的量，例如 $\bar\nu_{\ell,p}$ 表示第 $p$ 帧内的局部归一化 Doppler。\\ @@ -572,7 +572,7 @@ 7 & 连续相位模型中的公共相位 $\chi_\ell$ 与独立相位模型中的块相位 $\vartheta_{\ell,p}$ 不能混用。\\ 8 & \gls{fim}使用 $\mathcal I$，其分块下标直接书写，例如 $\mathcal I_{\eta\psi}$；含增益的均值 Jacobian 用 $\mathbf J$、不含增益的空时模板导数矩阵用 $\mathbf D$（$\mathbf J_{\eta,\ell}=\zeta_\ell\mathbf D_\ell$）。\\ 9 & 投影算子使用 $\mathcal P$，例如 $\mathcal P_{\mathbf A}^{\perp}$。\\ - 10 & relaxed continuous-phase 相关目标、残差和复增益应保留上标 $\mathrm{cp,rel}$，避免与 structured CP 或 IP 混淆。\\ + 10 & 放松连续相位（relaxed CP）相关的目标、残差和复增益应保留上标 $\mathrm{cp,rel}$，避免与结构化 CP（structured CP）或 IP 混淆。\\ 11 & \gls{crb} 协方差矩阵保留 $\mathbf C$；空时导向矩阵不再使用 $\mathbf C$，统一写为 $\mathbf B_{\mathrm{st}}$。\\ 12 & 未知复标量增益统一使用 $\zeta$；$\rho$ 只表示极坐标分解下的非负实幅度，不表示额外的自由复幅度参数。CP 与 IP 的幅度分别写为 $\rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}$ 和 $\rho_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}$。\\ 13 & 旋转矩阵统一写为 $\boldsymbol{\Omega}_\ell$，不再使用 $\mathbf{Q}_\ell$；$\mathbf{Q}$ 保留给波束成形章节中的人工噪声协方差矩阵，避免符号冲突。\\ diff --git a/parts/E-multiSatStaticCrb.tex b/parts/E-multiSatStaticCrb.tex index 9edabc4..2b12594 100644 --- a/parts/E-multiSatStaticCrb.tex +++ b/parts/E-multiSatStaticCrb.tex @@ -713,7 +713,7 @@ $\mathbf J_{\psi,\ell}$ 的实参数化二维实子空间与复矩阵 $\mathbf G \subsubsection{用户分离的可辨识性条件} -\eqref{eq:E2_Ieff_proj} 给出的 \gls{efim} 非奇异性等价于多用户主参数 score 在复增益干扰参数 score 正交补上的投影列空间 ``在所有 $L$ 颗卫星上联合满秩''。具体地，记每颗卫星上的``白化主参数 Jacobian'' +\eqref{eq:E2_Ieff_proj} 给出的 \gls{efim} 非奇异性等价于多用户主参数得分（对数似然对参数的梯度）在复增益干扰参数得分所张子空间的正交补上的投影列空间 ``在所有 $L$ 颗卫星上联合满秩''。具体地，记每颗卫星上的``白化主参数 Jacobian'' % \begin{equation} \bar{\mathbf J}_{\eta,\ell} @@ -721,7 +721,7 @@ $\mathbf J_{\psi,\ell}$ 的实参数化二维实子空间与复矩阵 $\mathbf G \frac{1}{\sqrt{\sigma_\ell}}\mathcal P_{\mathbf G_\ell}^\perp\mathbf J_{\eta,\ell}, \end{equation} % -\gls{efim} 非奇异 $\Leftrightarrow$ 联合矩阵 $[\bar{\mathbf J}_{\eta,0}^\Tran,\ldots,\bar{\mathbf J}_{\eta,L-1}^\Tran]^\Tran$ 列满秩，即 ``$3K\le \sum_\ell M_\ell T$ 且不同用户的白化 score 之间不存在跨星全局共线性''。 +\gls{efim} 非奇异 $\Leftrightarrow$ 联合矩阵 $[\bar{\mathbf J}_{\eta,0}^\Tran,\ldots,\bar{\mathbf J}_{\eta,L-1}^\Tran]^\Tran$ 列满秩，即 ``$3K\le \sum_\ell M_\ell T$ 且不同用户的白化得分之间不存在跨星全局共线性''。 正文第~\ref{subsec:userSeparability} 小节给出的几何陈述——``两个用户在所有 $L$ 颗星上相干度 $\rho_{\ell,kk'}\to 1$ 时分离失效''——可严格化为：当某对 $(k,k')$ 满足 % diff --git a/parts/F-multiFrameCrb.tex b/parts/F-multiFrameCrb.tex index 2151c44..deb02d7 100644 --- a/parts/F-multiFrameCrb.tex +++ b/parts/F-multiFrameCrb.tex @@ -10,7 +10,7 @@ 本附录沿用第~\ref{sec:dynamicDoaDopplerEst} 节中的动态多帧记号，只讨论两类与正文主线严格对应的模型： \begin{enumerate} \item 第~\ref{subsec:dynamicCpModel} 小节中的结构化\gls{cp} 模型； - \item 第~\ref{subsec:dynamicRelaxedModel} 小节中的 relaxed \gls{cp} 模型，即保留\gls{cp} 模板，但将每个观测块的复干扰系数 $\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp,rel}}$ 视为自由参数。 + \item 第~\ref{subsec:dynamicRelaxedModel} 小节中的 放松 \gls{cp} 模型，即保留\gls{cp} 模板，但将每个观测块的复干扰系数 $\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp,rel}}$ 视为自由参数。 \end{enumerate} 主参数统一定义为 % @@ -359,12 +359,12 @@ \label{eq:A7_CRB_cp} \end{equation} -需要强调的是，与 relaxed 情形不同，\gls{cp} 模型中的 $\{\chi_\ell\}$ 在同一卫星的多帧之间共享，而 $\{\rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}\}$ 为实参数，因此其 Schur 补一般不能进一步化成逐块独立的简单投影求和式。式~\eqref{eq:A7_Ieff_cp} 是与正文模型严格一致且最稳妥的写法。 +需要强调的是，与放松情形不同，\gls{cp} 模型中的 $\{\chi_\ell\}$ 在同一卫星的多帧之间共享，而 $\{\rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}\}$ 为实参数，因此其 Schur 补一般不能进一步化成逐块独立的简单投影求和式。式~\eqref{eq:A7_Ieff_cp} 是与正文模型严格一致且最稳妥的写法。 -\subsubsection{Known-rate/unknown-rate EFIM 关系与单星 DoA 正交性} +\subsubsection{Doppler rate 已知/未知的 EFIM 关系与单星 DoA 正交性} \label{subsec:A7_knownUnknownRateOrthogonality} -为解释 known-rate 与 unknown-rate 下 \gls{doa} bound 可能重合的现象，本小节把 Doppler-rate 干扰参数从其他幅度/相位干扰参数中单独分离出来。 +为解释 Doppler rate 已知与未知下 \gls{doa} \gls{crb} 可能重合的现象，本小节把 Doppler rate 干扰参数从其他幅度/相位干扰参数中单独分离出来。 记 % \begin{equation} @@ -377,7 +377,7 @@ \end{equation} % 为不含 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 的幅度/相位干扰参数。 -若 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 已知，则先消去 $\boldsymbol\psi^{\mathrm{cp}}_{0}$ 后，主参数 $\boldsymbol\eta$ 的 known-rate \gls{efim} 可写为 +若 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 已知，则先消去 $\boldsymbol\psi^{\mathrm{cp}}_{0}$ 后，主参数 $\boldsymbol\eta$ 的 Doppler rate 已知 \gls{efim} 可写为 % \begin{equation} \mathcal I_{\mathrm e}^{\mathrm{cp,K}} @@ -403,7 +403,7 @@ \label{eq:A7_CP_ext_EFIM_partition} \end{equation} % -于是 unknown-rate \gls{efim} 为 +于是 Doppler rate 未知 \gls{efim} 为 % \begin{equation} \mathcal I_{\mathrm e}^{\mathrm{cp,U}} @@ -416,10 +416,10 @@ \label{eq:A7_CP_U_EFIM_from_K} \end{equation} % -式~\eqref{eq:A7_CP_U_EFIM_from_K} 中的第二项不是一个必然很大的性能退化项，而是对 $\boldsymbol\eta$ 的 residualized score 与 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 的 residualized nuisance score 之间耦合程度的 accounting。 -若该残差耦合很弱，则 known-rate 与 unknown-rate bound 可以非常接近。 +式~\eqref{eq:A7_CP_U_EFIM_from_K} 中的第二项不是一个必然很大的性能退化项，而是对 $\boldsymbol\eta$ 的残差得分与 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 的残差干扰得分之间耦合程度的度量。 +若该残差耦合很弱，则 Doppler rate 已知与未知的界可以非常接近。 -进一步将 known-rate \gls{efim} 和 rate-coupling 向量按 $\boldsymbol\eta=[\boldsymbol\xi^\Tran,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$ 分块： +进一步将 Doppler rate 已知 \gls{efim} 和 Doppler rate 耦合向量按 $\boldsymbol\eta=[\boldsymbol\xi^\Tran,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$ 分块： % \begin{equation} \mathcal I_{\eta\eta}^{\mathrm K} @@ -448,9 +448,9 @@ \end{equation} % 则消去 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 只会改变 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 对应的标量块，而不会改变 \gls{doa} 的 \gls{crb} 子块。 -换言之，\gls{doa} 的 known-rate 与 unknown-rate \gls{crb} 完全一致。 +换言之，\gls{doa} 的 Doppler rate 已知与未知 \gls{crb} 完全一致。 -在 single-satellite multi-frame case 中，若唯一卫星即 reference satellite，则 +在单星多帧情形中，若唯一卫星即参考星，则 % \begin{equation} f_{\nu,\ell_{\mathrm{ref}}}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}}) @@ -465,11 +465,11 @@ % 因此 $\dfrac{\partial \nu_{\ell_{\mathrm{ref}}}}{\partial x}=0$ 且 $\dfrac{\partial \dot\nu_{\ell_{\mathrm{ref}}}}{\partial x}=0$ 对 $x\in\{\alpha,\beta\}$ 成立。 由式~\eqref{eq:A7_qx_cp} 可知，reference-link 的 \gls{doa} 导数不含 Doppler-mapping-induced temporal phase derivative，而只含空间阵列导向导数。 -在幅度和公共相位干扰方向被投影消去后，该 \gls{doa} score 的残差部分是与 $\mathbf a_{\ell_{\mathrm{ref}}}(\boldsymbol\xi)$ 正交的空间切向量；相反，$\nu_{\mathrm{ref}}$ 和 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 的残差 score 仍具有沿 reference steering vector 的时间相位结构。 +在幅度和公共相位干扰方向被投影消去后，该 \gls{doa} 得分的残差部分是与 $\mathbf a_{\ell_{\mathrm{ref}}}(\boldsymbol\xi)$ 正交的空间切向量；相反，$\nu_{\mathrm{ref}}$ 和 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 的残差得分仍具有沿参考导向矢量的时间相位结构。 在标准窄带阵列流形下，二者的 Fisher 内积为零，因此式~\eqref{eq:A7_SS_xi_rate_orthogonality_condition} 成立。 -这解释了 single-satellite multi-frame known-rate 与 unknown-rate \gls{doa} \gls{crb} 的严格重合。 +这解释了单星多帧下 Doppler rate 已知与未知 \gls{doa} \gls{crb} 的严格重合。 -在 multi-satellite case 中，非参考星通常满足 +在多星情形中，非参考星通常满足 % \begin{equation} \nu_\ell @@ -484,13 +484,13 @@ \end{equation} % 此时 \gls{doa} 导数包含由 $\dfrac{\partial\Delta\nu_\ell}{\partial x}$ 与 $\dfrac{\partial\Delta\dot\nu_\ell}{\partial x}$ 诱导的时间相位分量。 -因此，$\mathbf i_{\xi\dot\nu}$ 和 $\mathbf a_{\xi\nu}^{\mathrm K}$ 一般不再严格为零，known-rate 与 unknown-rate \gls{doa} \gls{crb} 的完全相等性也不应被作为一般结论。 -若数值上 multi-satellite \gls{doa} bound 仍与 known-rate benchmark 基本重合，更稳妥的解释是：在所选 representative geometry 下，\gls{doa} residual score 与 residualized Doppler-rate nuisance direction 的耦合较弱。 -这一定量现象适合作为 \gls{efim} accounting 的 sanity check，而不应升级为主要理论贡献。 +因此，$\mathbf i_{\xi\dot\nu}$ 和 $\mathbf a_{\xi\nu}^{\mathrm K}$ 一般不再严格为零，Doppler rate 已知与未知 \gls{doa} \gls{crb} 的完全相等性也不应被作为一般结论。 +若数值上多星 \gls{doa} \gls{crb} 仍与 Doppler rate 已知基准基本重合，更稳妥的解释是：在所选代表性几何下，\gls{doa} 残差得分与残差化的 Doppler rate 干扰方向的耦合较弱。 +这一定量现象适合作为 \gls{efim} 度量的自洽性检查，而不应升级为主要理论贡献。 -\subsubsection{relaxed 连续相位模型下的 CRB} +\subsubsection{放松连续相位模型下的 CRB} -沿用第~\ref{subsec:dynamicRelaxedModel} 小节中的 relaxed \gls{cp} 处理，每个观测块的复干扰系数 $\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp,rel}}$ 视为自由参数，即 +沿用第~\ref{subsec:dynamicRelaxedModel} 小节中的 放松 \gls{cp} 处理，每个观测块的复干扰系数 $\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp,rel}}$ 视为自由参数，即 % \begin{equation} \tilde{\mathbf y}^{\mathrm{cp}}_{\ell,p} @@ -772,7 +772,7 @@ \end{equation} % 式~\eqref{eq:A7_efim_quadratic_projection} 表明，\gls{efim} 在某个方向上的有效信息正比于该方向 -score 在干扰子空间正交补上的残余能量。因此，当 $\theta_{\min}\approx0$ 时， +得分在干扰子空间正交补上的残余能量。因此，当 $\theta_{\min}\approx0$ 时， $\mathcal I_{\mathrm{e}}$ 会出现小特征值；若同时多星几何使其他方向的信息快速增加， 则 $\kappa(\mathcal I_{\mathrm{e}})$ 会显著变大。 @@ -789,7 +789,7 @@ $\boldsymbol\eta=[\boldsymbol\xi^\Tran,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$ 分块为 \label{eq:A7_efim_xi_nu_partition} \end{equation} % -若 $\boldsymbol\xi$ 已知，则参考 Doppler 的 scalar bound 为 +若 $\boldsymbol\xi$ 已知，则参考 Doppler 的标量界为 % \begin{equation} C_{\nu}^{\mathrm{sc}} @@ -909,11 +909,11 @@ $\sqrt{C_{\nu}^{\mathrm{mar}}}$ 改善有限，同时 $\gamma_{\xi,\nu}^{2}$ 较 -\subsubsection{周期帧窗口与 Doppler tooth ambiguity} +\subsubsection{周期帧窗口与 Doppler 齿间模糊} \label{subsec:A7_frameTimeCombTooth} -本附录前面得到的 \gls{efim} 是局部二阶量；它默认估计点位于同一个 Doppler tooth 的局部邻域内。 -为了描述全局 profile likelihood 的离散多峰结构，需要单独分析帧起始时刻集合所诱导的谱窗口。 +本附录前面得到的 \gls{efim} 是局部二阶量；它默认估计点位于同一个 Doppler 梳齿（tooth）的局部邻域内。 +为了描述全局轮廓似然（profile likelihood）的离散多峰结构，需要单独分析帧起始时刻集合所诱导的谱窗口。 按照表~\ref{tab:indexDimensionNotation} 的约定，$\tau_p$ 表示第 $p$ 帧起始点相对于参考时刻的离散采样偏移， 归一化角 Doppler 偏移记为 $\Delta\nu$。若只保留由帧起始时刻造成的公共相位项，则跨帧相干项可写为 % @@ -967,9 +967,9 @@ $\nu=2\pi\nu^{\mathrm{Hz}}T_{\mathrm s}$，可得 \end{equation} % 这解释了为什么周期多帧目标函数会出现以 $1/(\Delta\tau_{\mathrm{f}}T_{\mathrm s})$ 为间隔的 -Doppler comb branches。 +Doppler 梳状分支（comb）。 -有限长度的 pilot block 破坏了这种完全等价性。令每帧保留 $T$ 个采样点，块内相关因子为 +有限长度的导频块破坏了这种完全等价性。令每帧保留 $T$ 个采样点，块内相关因子为 % \begin{equation} R_T(\Delta\nu) @@ -981,7 +981,7 @@ Doppler comb branches。 \label{eq:A7_block_dirichlet_corr} \end{equation} % -于是相邻 tooth 的可分离性可由 +于是相邻梳齿的可分离性可由 % \begin{equation} D_{\mathrm{blk}} @@ -1005,10 +1005,10 @@ Doppler comb branches。 \label{eq:A7_block_small_ratio_approx} \end{equation} % -因此，增加块长主要增强的是相邻 Doppler tooth 的块内区分度，而不是必然依赖 +因此，增加块长主要增强的是相邻 Doppler 梳齿的块内区分度，而不是必然依赖 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 在单块内部产生可观测的二次相位曲率。 -该分析也解释了周期窗口与非周期 subset 的不同作用。若采用非周期子集 +该分析也解释了周期窗口与非周期子集的不同作用。若采用非周期子集 $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则 % \begin{equation} @@ -1019,10 +1019,10 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则 \end{equation} % 当 $\mathcal T_{\mathrm{sub}}$ 不再满足严格等间隔结构时，式~\eqref{eq:A7_tooth_spacing_discrete} -给出的候选偏移不再必然同时对齐所有帧相位，因而可压低周期 comb 的旁瓣。由此可将实际求解分解为两类问题： -非周期 subset 更适合执行 tooth acquisition，完整周期窗口则更适合在 tooth 已选对时执行同 tooth 内相干 refine。 -这也说明，wrong-tooth error 是全局 profile likelihood 的 branch 选择问题；而 -式~\eqref{eq:A7_efim_projection_interpret}--\eqref{eq:A7_nu_info_after_coupling} 描述的是给定 branch 内的局部可辨识性。 +给出的候选偏移不再必然同时对齐所有帧相位，因而可压低周期梳状结构的旁瓣。由此可将实际求解分解为两类问题： +非周期子集更适合执行梳齿捕获，完整周期窗口则更适合在梳齿已选对时执行同一梳齿内的相干精化。 +这也说明，选错梳齿的误差是全局轮廓似然的分支选择问题；而 +式~\eqref{eq:A7_efim_projection_interpret}--\eqref{eq:A7_nu_info_after_coupling} 描述的是给定分支内的局部可辨识性。 \subsubsection{数值实现中的一致性检查} @@ -1044,7 +1044,7 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则 2\Re\{(\mathbf J_{\mathrm{full}}^{\mathrm{cp}})^{\Herm}\mathbf R_n^{-1}\mathbf J_{\mathrm{full}}^{\mathrm{cp}}\}, \end{equation} % -再按 $[\boldsymbol\eta^{\Tran},(\boldsymbol\psi^{\mathrm{cp}}_{\mu})^{\Tran}]^{\Tran}$ 分块执行 Schur 补得到式~\eqref{eq:A7_Ieff_cp}。最后，对 relaxed \gls{cp} 模型，应同时用完整 \gls{fim} 消元和投影式~\eqref{eq:A7_Ieff_rel_ext} 计算一次，两者应在数值精度内一致；该检查可以有效排除 $\mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}$、$\mathbf D^{\mathrm{rel}}_{\mathrm{ext},\ell,p}$、噪声方差系数和 Kronecker 堆叠顺序的实现错误。 +再按 $[\boldsymbol\eta^{\Tran},(\boldsymbol\psi^{\mathrm{cp}}_{\mu})^{\Tran}]^{\Tran}$ 分块执行 Schur 补得到式~\eqref{eq:A7_Ieff_cp}。最后，对 放松 \gls{cp} 模型，应同时用完整 \gls{fim} 消元和投影式~\eqref{eq:A7_Ieff_rel_ext} 计算一次，两者应在数值精度内一致；该检查可以有效排除 $\mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}$、$\mathbf D^{\mathrm{rel}}_{\mathrm{ext},\ell,p}$、噪声方差系数和 Kronecker 堆叠顺序的实现错误。 \subsubsection{关于噪声方差参数的说明} @@ -1056,9 +1056,9 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则 \frac{M_\ell P T}{\sigma_\ell^2}. \end{equation} % -因此，无论在\gls{cp} 模型还是 relaxed \gls{cp} 模型下，将 $\sigma_\ell$ 视为未知量都只会在 \gls{fim} 中附加与其他参数解耦的对角块，不改变式~\eqref{eq:A7_Ieff_cp}、\eqref{eq:A7_Ieff_rel_ext} 和 \eqref{eq:A7_Ieff_rel_eta} 的形式。 +因此，无论在\gls{cp} 模型还是 放松 \gls{cp} 模型下，将 $\sigma_\ell$ 视为未知量都只会在 \gls{fim} 中附加与其他参数解耦的对角块，不改变式~\eqref{eq:A7_Ieff_cp}、\eqref{eq:A7_Ieff_rel_ext} 和 \eqref{eq:A7_Ieff_rel_eta} 的形式。 -因此，本小节给出的不是新的动态模型，而是正文\gls{cp} 模型和 relaxed \gls{cp} 处理的 Fisher 信息表达。它与\appref{sec:A8_dynIndependentPhaseCrb} 的比较应围绕``是否保留跨帧绝对相位连续性''展开，而不是围绕不同的主参数定义展开。 +因此，本小节给出的不是新的动态模型，而是正文\gls{cp} 模型和 放松 \gls{cp} 处理的 Fisher 信息表达。它与\appref{sec:A8_dynIndependentPhaseCrb} 的比较应围绕``是否保留跨帧绝对相位连续性''展开，而不是围绕不同的主参数定义展开。 \subsection{独立相位 IP 基线 EFIM} \label{sec:A8_dynIndependentPhaseCrb} @@ -1450,16 +1450,16 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则 式~\eqref{eq:A8_IP_EFIM_eta} 给出的正是\gls{ip} 模型下，未知 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 对主参数 $(\alpha,\beta,\nu_{\mathrm{ref}})$ 的信息损失形式。与正文研究主线一致，这里的关键不在于再引入更高维动态状态，而在于比较：在相同短窗条件下，\gls{cp} 模型和\gls{ip} 模型分别能为主参数保留多少有效信息。 -\subsubsection{与 A7 中 relaxed 连续相位结果的关系} +\subsubsection{与 A7 中放松连续相位结果的关系} -式~\eqref{eq:A8_IP_FIM_etadotnu} 给出的扩展 \gls{fim}的投影型结构与\appref{sec:A7_dynDoaDopplerCrb} 中 relaxed \gls{cp} 模型的结果形式一致，但两者对应的\emph{时间模板不同}： +式~\eqref{eq:A8_IP_FIM_etadotnu} 给出的扩展 \gls{fim}的投影型结构与\appref{sec:A7_dynDoaDopplerCrb} 中 放松 \gls{cp} 模型的结果形式一致，但两者对应的\emph{时间模板不同}： \begin{itemize} \item \appref{sec:A7_dynDoaDopplerCrb} 使用的是\gls{cp} 模板 $\mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}$，其中通过 $t_{p,t}=\tau_p+t$ 保留了跨帧绝对相位连续性； \item 本附录使用的是\gls{ip} 模板 $\mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}$，其中帧间常相位项已被 $\vartheta_{\ell,p}$ 吸收，只保留帧内局部相位演化。 \end{itemize} 因此，两类模型的差异不在 Schur 补的代数形式本身，而在模板里是否保留跨帧连续相位结构。这也正是正文中``\gls{cp} vs.~\gls{ip}''对比的统计本质。 -从 \gls{efim} 病态的角度看，\gls{ip} 模型与 relaxed \gls{cp} 模型共享同一类投影解释。若定义白化 Jacobian +从 \gls{efim} 病态的角度看，\gls{ip} 模型与 放松 \gls{cp} 模型共享同一类投影解释。若定义白化 Jacobian % \begin{equation} \bar{\mathbf J}^{\mathrm{ip}}_{\eta} @@ -1488,7 +1488,7 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则 % 因此，\gls{ip} 模型下的弱可辨识方向仍由 $\mathcal P^{\perp}_{\bar{\mathbf J}^{\mathrm{ip}}_{\psi}}\bar{\mathbf J}^{\mathrm{ip}}_{\eta}$ -的秩和最小奇异方向决定。与 A7 中的 relaxed \gls{cp} 模型相比，二者的主要区别不在 +的秩和最小奇异方向决定。与 A7 中的 放松 \gls{cp} 模型相比，二者的主要区别不在 Schur 补代数形式，而在 $\mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}$ 使用局部时间索引并允许每个 $(\ell,p)$ 块具有独立相位 $\vartheta_{\ell,p}$。这些自由相位会吸收跨帧绝对相位所携带的公共 Doppler 截距信息，因此通常不会缓解 \gls{doa}--Doppler--rate 耦合，而是构成一个更保守的相干性基线。 @@ -1506,4 +1506,4 @@ Doppler 截距信息，因此通常不会缓解 \gls{doa}--Doppler--rate 耦合 % 因此，将 $\sigma_\ell$ 视为未知量不会改变式~\eqref{eq:A8_IP_FIM_etadotnu} 与式~\eqref{eq:A8_IP_EFIM_eta} 的形式，只是在完整 \gls{fim}中附加一个与其他参数解耦的对角块。 -至此，动态多帧主线的两类性能界已经形成闭环： \appref{sec:A7_dynDoaDopplerCrb} 对应\gls{cp}/relaxed \gls{cp} 模型，本附录对应\gls{ip} 基线模型。二者共享同一主参数 $\boldsymbol\eta$，因而可以直接比较相位连续性对 \gls{doa}--Doppler 信息保留能力的影响。 \ No newline at end of file +至此，动态多帧主线的两类性能界已经形成闭环： \appref{sec:A7_dynDoaDopplerCrb} 对应\gls{cp}/放松 \gls{cp} 模型，本附录对应\gls{ip} 基线模型。二者共享同一主参数 $\boldsymbol\eta$，因而可以直接比较相位连续性对 \gls{doa}--Doppler 信息保留能力的影响。 \ No newline at end of file diff --git a/parts/H-timestampErrCrb.tex b/parts/H-timestampErrCrb.tex index b65f4c0..20d211e 100644 --- a/parts/H-timestampErrCrb.tex +++ b/parts/H-timestampErrCrb.tex @@ -255,7 +255,7 @@ $\boldsymbol\delta=[\delta_1]$ 退化为标量，\eqref{eq:F2_jdelta} 中 \frac{\mathbf v'_{\eta\delta,1}\,\mathbf v'^{\Tran}_{\eta\delta,1}}{\mathcal I_{\delta\delta}'}, \end{equation} % -即在双星基线的 \gls{efim} 上扣除一个秩一信息损失项，损失大小由非参考星上 $\delta_1$ 与主参数的 score 重叠决定。 +即在双星基线的 \gls{efim} 上扣除一个秩一信息损失项，损失大小由非参考星上 $\delta_1$ 与主参数的得分重叠决定。 \paragraph{特例：导频为单音常包络} 若进一步取 $s(t)\equiv 1$（常包络单音导频），则 $\dot s(t)\equiv 0$，\eqref{eq:F2_jdelta} 退化为 $\mathbf q_1^{\,\mathrm{te}}=-j\nu_1\mathbf q_1$，故 $\delta_1$ 进入似然只通过相位偏移 $-\nu_1\delta_1$ 一项；它与 $\dfrac{\partial}{\partial\nu_{\mathrm{ref}}}$ 完全共线（同为 $\dfrac{\partial\mathbf q_1}{\partial\nu_1}$ 方向），$\delta_1$ 与 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 不可分辨——\gls{efim} 在 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 方向变得奇异。此即 ``纯相位扰动下时间戳误差与 Doppler 完全耦合''的退化情形，说明可辨识性依赖导频带宽 $\dot s(t)\not\equiv 0$。 @@ -322,7 +322,7 @@ $\boldsymbol\delta=[\delta_1]$ 退化为标量，\eqref{eq:F2_jdelta} 中 % 其中 $\mathcal I_{\eta\eta}'$ 与 $\mathbf v_{\eta\delta,\ell}'$ 即 \eqref{eq:F2_after_psi} 中的同步基线 \gls{efim} 与 $\boldsymbol\eta$--$\delta$ 交叉信息列。即偏置复用了 \gls{efim} 推导里的同一批分块：它沿 $(\mathcal I_{\eta\eta}')^{-1}\mathbf v_{\eta\delta,\ell}'$ 方向、正比于真值时间戳 $\delta_{0,\ell}$。 -\paragraph{MCRB sandwich} +\paragraph{MCRB 的 sandwich 矩阵} 将均值参数堆叠为 $\boldsymbol\theta\triangleq[\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}^\Tran,\boldsymbol\psi_\zeta^\Tran]^\Tran$、其堆叠均值为 $\boldsymbol\mu(\boldsymbol\theta)$。圆对称复高斯下误指定对数似然的两个 sandwich 矩阵在伪真值 $\boldsymbol\theta^\star$ 处为 % \begin{align} @@ -352,20 +352,20 @@ $\boldsymbol\delta=[\delta_1]$ 退化为标量，\eqref{eq:F2_jdelta} 中 \boldsymbol\mu^0-\boldsymbol\mu(\boldsymbol\theta^\star). \end{align} % -$\mathbf B$ 即模型 \gls{fim}（\eqref{eq:A6_fim_general} 的 Slepian--Bangs 形式）在伪真值处求值——伪真值处的法方程使 score 的确定性部分为零，故 $\mathbf B$ 仅由随机部分贡献；$\mathbf A$ 在 $\mathbf B$ 上减去``曲率 $\times$ 残差''修正，残差 $\mathbf r^\star$ 是误指定流形拟合不到的那部分 $\boldsymbol\delta_0$ 扰动。任意对伪真值无偏的估计器满足 $\operatorname{Cov}(\widehat{\boldsymbol\theta})\succeq\mathbf A^{-1}\mathbf B\mathbf A^{-1}$，$\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ 的 \gls{mcrb} 取该矩阵对应 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ 的子块；叠加偏置 \eqref{eq:F5_bias} 即得正文绕真值的总误差界 \eqref{eq:sec5_mcrb}。 +$\mathbf B$ 即模型 \gls{fim}（\eqref{eq:A6_fim_general} 的 Slepian--Bangs 形式）在伪真值处求值——伪真值处的法方程使得分的确定性部分为零，故 $\mathbf B$ 仅由随机部分贡献；$\mathbf A$ 在 $\mathbf B$ 上减去``曲率 $\times$ 残差''修正，残差 $\mathbf r^\star$ 是误指定流形拟合不到的那部分 $\boldsymbol\delta_0$ 扰动。任意对伪真值无偏的估计器满足 $\operatorname{Cov}(\widehat{\boldsymbol\theta})\succeq\mathbf A^{-1}\mathbf B\mathbf A^{-1}$，$\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ 的 \gls{mcrb} 取该矩阵对应 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ 的子块；叠加偏置 \eqref{eq:F5_bias} 即得正文绕真值的总误差界 \eqref{eq:sec5_mcrb}。 \paragraph{一致性与稳健性} 当 $\boldsymbol\delta_0\to\mathbf 0$：残差 $\mathbf r^\star\to\mathbf 0$ 故 $\mathbf A\to\mathbf B=\mathcal I$、偏置 $\mathbf b\to\mathbf 0$，\eqref{eq:sec5_mcrb} 退回同步基线 \gls{crb} $(\mathcal I_{\eta\eta}')^{-1}$，与\appref{subsec:F2_schurDelta} 在 $\delta=0$ 处的结果一致。小误差区 $\mathbf r^\star=O(\boldsymbol\delta_0)$，故方差项 $\mathbf A^{-1}\mathbf B\mathbf A^{-1}=(\mathcal I_{\eta\eta}')^{-1}+O(\boldsymbol\delta_0)$、主导误差是偏置外积 $\mathbf b\mathbf b^\Tran=O(\|\boldsymbol\delta_0\|^2)$。两条路线由此对照清晰：估计 $\boldsymbol\delta$（\appref{subsec:F2_schurDelta}）以\emph{方差}为代价——\gls{efim} 被秩一项 $\mathbf v_{\eta\delta,\ell}'\mathbf v_{\eta\delta,\ell}'^{\,\Tran}/[\mathcal I_{\delta\delta}']_{\ell\ell}$ 扣减；忽略 $\boldsymbol\delta$（本小节）以\emph{偏置}为代价——方差几乎不变但叠加 $\mathbf b\mathbf b^\Tran$。 -偏置方向 $(\mathcal I_{\eta\eta}')^{-1}\mathbf v_{\eta\delta,\ell}'$ 与\appref{subsec:F4_K1L2} 中``$\delta_\ell$ 与 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 共线''的退化同源：当导频为单音常包络（$\dot s\equiv 0$）时 $\mathbf j_{\delta,\ell}$ 落入增益子空间、被 $\mathcal P_{\mathbf G_\ell}^\perp$ 投影为零，故 $\mathbf v_{\eta\delta,\ell}'\to\mathbf 0$、偏置消失——此模型对忽略时间戳误差\emph{稳健}，偏置仅经导频带宽 $\dot s\not\equiv 0$ 进入、且为 $O(\|\boldsymbol\delta_0\|^2)$ 小量。换言之，本模型的 \gls{mcrb} 主要说明``忽略小钟差近乎无损''；唯当某个主参数与 $\delta_\ell$ 的 score 在 $\mathcal P_{\mathbf G_\ell}^\perp$ 投影后强耦合（不再被复增益吸收）时，\eqref{eq:F5_bias} 的偏置才显著放大。 +偏置方向 $(\mathcal I_{\eta\eta}')^{-1}\mathbf v_{\eta\delta,\ell}'$ 与\appref{subsec:F4_K1L2} 中``$\delta_\ell$ 与 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 共线''的退化同源：当导频为单音常包络（$\dot s\equiv 0$）时 $\mathbf j_{\delta,\ell}$ 落入增益子空间、被 $\mathcal P_{\mathbf G_\ell}^\perp$ 投影为零，故 $\mathbf v_{\eta\delta,\ell}'\to\mathbf 0$、偏置消失——此模型对忽略时间戳误差\emph{稳健}，偏置仅经导频带宽 $\dot s\not\equiv 0$ 进入、且为 $O(\|\boldsymbol\delta_0\|^2)$ 小量。换言之，本模型的 \gls{mcrb} 主要说明``忽略小钟差近乎无损''；唯当某个主参数与 $\delta_\ell$ 的得分在 $\mathcal P_{\mathbf G_\ell}^\perp$ 投影后强耦合（不再被复增益吸收）时，\eqref{eq:F5_bias} 的偏置才显著放大。 \subsection{位置模型下的时延--时间戳同轴混淆} \label{subsec:F6_tauDeltaConfound} \appref{subsec:F1_fimBlockStruct}--\appref{subsec:F5_mcrb} 把 $\delta_\ell$ 加在多用户 \gls{doa} 基线、主参数取 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$。本小节把同一套 Schur 机器搬到第~\ref{sec:userPositioning} 节含传播时延的位置模型、主参数取 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu\text{-}pos}}$，量化正文第~\ref{subsec:tauDeltaConfound} 小节的混淆结论。 -\paragraph{score 共线} -群时延位置模型下载波相位吸入 $\zeta_\ell$，$\delta_\ell$ 只经导频包络 $s_k(t-\tau_{\ell,k}(\mathbf p_k)-\delta_\ell)$ 进入，其 score 退化为单一时延模板 +\paragraph{均值导数共线} +群时延位置模型下载波相位吸入 $\zeta_\ell$，$\delta_\ell$ 只经导频包络 $s_k(t-\tau_{\ell,k}(\mathbf p_k)-\delta_\ell)$ 进入，其对均值的导数退化为单一时延模板 % \begin{equation} \label{eq:F6_jdelta} @@ -375,7 +375,7 @@ $\mathbf B$ 即模型 \gls{fim}（\eqref{eq:A6_fim_general} 的 Slepian--Bangs \big[\mathbf q_{\ell,k}^{\mathrm{del}}\big]_t=-\dot s_k\big(t-\tau_{\ell,k}\big)e^{j\nu_{\ell,k}t}, \end{equation} % -它与附录 G 的时延列 $\partial\mathbf g_{\ell,k}/\partial\tau_{\mathrm{ref},k}=\mathbf q_{\ell,k}^{\mathrm{del}}\otimes\mathbf a_\ell$ 相同，并与位置列的时延贡献 $\big(\mathbf q_{\ell,k}^{\mathrm{del}}\,\partial\Delta\tau_{\ell,k}/\partial\mathbf p_k\big)\otimes\mathbf a_\ell$ 共线。即 $\delta_\ell$ 的 score 落在该星时延通道所张子空间内。对照 \eqref{eq:F2_jdelta}：\gls{doa} 基线上 $\delta_\ell$ 还经相位 $-j\nu s$ 进入、与 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 纠缠；位置模型把相位常数并入 $\zeta_\ell$ 后，$\delta_\ell$ 纯经包络、转而与时延/距离纠缠。 +它与附录 G 的时延列 $\partial\mathbf g_{\ell,k}/\partial\tau_{\mathrm{ref},k}=\mathbf q_{\ell,k}^{\mathrm{del}}\otimes\mathbf a_\ell$ 相同，并与位置列的时延贡献 $\big(\mathbf q_{\ell,k}^{\mathrm{del}}\,\partial\Delta\tau_{\ell,k}/\partial\mathbf p_k\big)\otimes\mathbf a_\ell$ 共线。即 $\delta_\ell$ 的均值导数落在该星时延通道所张子空间内。对照 \eqref{eq:F2_jdelta}：\gls{doa} 基线上 $\delta_\ell$ 还经相位 $-j\nu s$ 进入、与 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 纠缠；位置模型把相位常数并入 $\zeta_\ell$ 后，$\delta_\ell$ 纯经包络、转而与时延/距离纠缠。 \paragraph{单用户退化} 单用户（略去 $k$）下每颗非参考星贡献一个时延方向 $\mathbf q_\ell^{\mathrm{del}}\otimes\mathbf a_\ell$；位置经 $\Delta\tau_\ell(\mathbf p)$ 的距离信息恰沿这 $L-1$ 个方向进入 $\mathbf D_\ell^{\mathrm{pos}}$ 的位置列。对 $\boldsymbol\delta$ 的 Schur 边缘化 \eqref{eq:F2_efim_final} 在每颗星上正交投影掉 $\partial\mathbf g_\ell/\partial\delta_\ell$ 方向，恰好把位置列的时延贡献整条消去，$\boldsymbol\delta$-边缘化后的位置 \gls{efim} 只剩角度与差分 Doppler 两通道 @@ -389,7 +389,7 @@ $\mathbf B$ 即模型 \gls{fim}（\eqref{eq:A6_fim_general} 的 Slepian--Bangs 时延/\gls{tdoa} 通道净贡献为零。这是 \appref{subsec:F4_K1L2} 中``$\dot s\equiv0$ 时 $\delta$ 与 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 共线''退化的对偶：那里 $\delta$ 无包络信息、并入 Doppler；这里 $\delta$ 有包络信息、却与 $\tau_{\mathrm{ref}}$/距离共线，吃掉测距增益。 \paragraph{多用户恢复} -多用户下 $\delta_\ell$ per-sat、被该星 $K$ 个用户共享，其 score 为单一合成方向 +多用户下 $\delta_\ell$ 是逐星参数、被该星 $K$ 个用户共享，其对均值的导数为单一合成方向 % \begin{equation} \frac{\partial\boldsymbol\mu_\ell}{\partial\delta_\ell} diff --git a/parts/sec7_timestampError.tex b/parts/sec7_timestampError.tex index 215234d..870a678 100644 --- a/parts/sec7_timestampError.tex +++ b/parts/sec7_timestampError.tex @@ -212,7 +212,7 @@ \underbrace{(\boldsymbol\eta^\star-\boldsymbol\eta_0)(\boldsymbol\eta^\star-\boldsymbol\eta_0)^\Tran}_{\text{忽略 }\boldsymbol\delta\text{ 引入的偏置}}. \end{equation} % -与 \gls{efim} 路线``估计 $\boldsymbol\delta$ 而损失方差''相对，\gls{mcrb} 路线是``忽略 $\boldsymbol\delta$ 而换来偏置''；两者孰优取决于 $\boldsymbol\delta_0$ 的量级。sandwich 矩阵 $\mathbf A$、$\mathbf B$ 的 Slepian--Bangs 闭式、伪真值与偏置的一阶表达，以及 $\boldsymbol\delta_0\to\mathbf 0$ 退回 \gls{crb} 的一致性，见\appref{subsec:F5_mcrb}。 +与 \gls{efim} 路线``估计 $\boldsymbol\delta$ 而损失方差''相对，\gls{mcrb} 路线是``忽略 $\boldsymbol\delta$ 而换来偏置''；两者孰优取决于 $\boldsymbol\delta_0$ 的量级。sandwich（夹心型，指 $\mathbf A^{-1}\mathbf B\mathbf A^{-1}$ 形式）矩阵 $\mathbf A$、$\mathbf B$ 的 Slepian--Bangs 闭式、伪真值与偏置的一阶表达，以及 $\boldsymbol\delta_0\to\mathbf 0$ 退回 \gls{crb} 的一致性，见\appref{subsec:F5_mcrb}。 在第~\ref{sec:userPositioning} 节的位置模型上，这一偏置有明确的几何指向：偏置方向由 $\boldsymbol\eta$--$\delta$ 交叉信息决定（一阶表达见\appref{subsec:F5_mcrb}），而群时延模型下 $\delta_\ell$ 的均值导数与时延列共线（第~\ref{subsec:tauDeltaConfound} 小节），故偏置落在 \gls{tdoa} 通道方向上——沿\emph{距离}维、量级正比于时间戳 $\delta_{0,\ell}$，而对 $\delta$ 免疫的角度通道不受偏置。于是 \gls{efim} 与 \gls{mcrb} 是同一 $\tau$--$\delta$ 混淆的两面：估计 $\boldsymbol\delta$ 在 \gls{tdoa} 通道上损失\emph{方差}（\gls{efim} 被 Schur 补扣减），忽略 $\boldsymbol\delta$ 在同一通道上换来\emph{偏置}（位置距离维偏移 $\sim\delta_0$）。