diff --git a/parts/A-symbolIndex.tex b/parts/A-symbolIndex.tex index 986181d..4cd25d4 100644 --- a/parts/A-symbolIndex.tex +++ b/parts/A-symbolIndex.tex @@ -237,11 +237,13 @@ \endgroup 物理 Doppler 与归一化角 Doppler 的关系统一写为 +% \begin{equation} \nu = 2\pi\nu^{\mathrm{Hz}} T_{\mathrm{s}}, \qquad \dot\nu = 2\pi\dot\nu^{\mathrm{Hz}} T_{\mathrm{s}}^2. \end{equation} +% 因此，正文估计参数默认使用 $(\nu,\dot\nu)$，而 $(\nu^{\mathrm{Hz}},\dot\nu^{\mathrm{Hz}})$ 仅用于物理单位解释。 \subsection{参考星参数化与参数分组} @@ -295,6 +297,7 @@ \endgroup 对应映射统一写为 +% \begin{equation} \nu_\ell = @@ -304,7 +307,9 @@ = f_{\dot\nu,\ell}(\boldsymbol\xi,\dot\nu_{\mathrm{ref}}). \end{equation} +% 等价地，在仅需强调相对偏差时，可写为 +% \begin{equation} \nu_\ell = @@ -316,6 +321,7 @@ \dot\nu_{\mathrm{ref}}+ \Delta\dot\nu_\ell(\boldsymbol\xi). \end{equation} +% 动态多帧模型中，$\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 默认作为干扰参数，而不是主估计目标。 \subsection{连续相位、独立相位与增益参数} @@ -361,6 +367,7 @@ \endgroup 连续相位与独立相位模板分别统一写为 +% \begin{equation} \phi_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}(t) = @@ -369,7 +376,9 @@ \qquad t_{p,t}=\tau_p+t, \end{equation} +% 以及 +% \begin{equation} \phi_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}(t) = @@ -472,6 +481,7 @@ \endgroup 若将完整参数分为主参数 $\boldsymbol\eta$ 与干扰参数 $\boldsymbol\psi$，则 \gls{efim} 通常可写为 Schur complement 形式 +% \begin{equation} \mathcal I_{\mathrm{e}} = @@ -481,6 +491,7 @@ \mathcal I_{\psi\psi}^{-1} \mathcal I_{\psi\eta}. \end{equation} +% 在动态连续相位模型中，若专门分析未知 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 带来的主参数信息损失，则 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 应放在干扰参数侧，而不是重新并入主参数向量。 \subsection{上下标、模型标记与阅读规则} diff --git a/parts/C-classicalDoa.tex b/parts/C-classicalDoa.tex index ced0879..3db02ac 100644 --- a/parts/C-classicalDoa.tex +++ b/parts/C-classicalDoa.tex @@ -8,6 +8,7 @@ \label{subsec:mvdr} Consider a narrowband far-field source model impinging on an $M$-element array. The received signal at snapshot $t$ is given by +% \begin{equation} \mathbf{y}_t = @@ -20,9 +21,11 @@ Consider a narrowband far-field source model impinging on an $M$-element array. \qquad t = 1,\dots,T, \label{eq:mvdr_signal_model} \end{equation} +% where $\mathbf{y}_t \in \mathbb{C}^{M \times 1}$ is the received array snapshot, $\mathbf{s}_t \in \mathbb{C}^{K \times 1}$ is the source signal vector, $\mathbf{n}_t \in \mathbb{C}^{M \times 1}$ is the additive noise vector, and $\mathbf{a}(\theta) \in \mathbb{C}^{M \times 1}$ denotes the array steering vector corresponding to angle $\theta$. For a uniform linear array (ULA), the steering vector can be expressed as +% \begin{equation} \mathbf{a}(\theta) = @@ -34,9 +37,11 @@ e^{-j 2\pi \frac{d}{\lambda_{\mathrm{c}}}(M-1)\sin\theta} \right]^{\Tran}, \label{eq:mvdr_steering_vector} \end{equation} +% where $d$ is the inter-element spacing and $\lambda_{\mathrm{c}}$ is the carrier wavelength. The covariance matrix of the received data is defined as +% \begin{equation} \mathbf{R}_y = @@ -45,7 +50,9 @@ The covariance matrix of the received data is defined as \right\}. \label{eq:mvdr_covariance} \end{equation} +% In practice, $\mathbf{R}_y$ is replaced by the sample covariance matrix +% \begin{equation} \widehat{\mathbf{R}}_y = @@ -56,13 +63,16 @@ In practice, $\mathbf{R}_y$ is replaced by the sample covariance matrix \end{equation} For a given look direction $\theta$, the output of a linear beamformer with weight vector $\mathbf{w}(\theta) \in \mathbb{C}^{M \times 1}$ is +% \begin{equation} z_t(\theta) = \mathbf{w}^{\Herm}(\theta)\mathbf{y}_t. \label{eq:mvdr_output} \end{equation} +% The MVDR beamformer minimizes the output power while maintaining a distortionless response in the look direction. Accordingly, the weight vector is obtained by solving +% \begin{equation} \min_{\mathbf{w}(\theta)} \quad @@ -73,7 +83,9 @@ The MVDR beamformer minimizes the output power while maintaining a distortionles \mathbf{w}^{\Herm}(\theta)\mathbf{a}(\theta)=1. \label{eq:mvdr_optimization} \end{equation} +% Using the method of Lagrange multipliers, the optimal solution is given by +% \begin{equation} \mathbf{w}_{\mathrm{MVDR}}(\theta) = @@ -86,6 +98,7 @@ Using the method of Lagrange multipliers, the optimal solution is given by \end{equation} Substituting \eqref{eq:mvdr_weight} into the beamformer output power yields +% \begin{equation} P_{\mathrm{MVDR}}(\theta) = @@ -94,7 +107,9 @@ P_{\mathrm{MVDR}}(\theta) }. \label{eq:mvdr_spectrum} \end{equation} +% In practical implementation, the sample covariance matrix is used, leading to +% \begin{equation} \widehat{P}_{\mathrm{MVDR}}(\theta) = @@ -103,7 +118,9 @@ In practical implementation, the sample covariance matrix is used, leading to }. \label{eq:mvdr_sample_spectrum} \end{equation} +% The \gls{doa} estimates are then obtained by locating the $K$ dominant peaks of the MVDR spatial spectrum, namely, +% \begin{equation} \hat{\theta}_k = @@ -120,6 +137,7 @@ The MVDR algorithm adaptively suppresses interference and noise by minimizing th \label{subsec:music} Consider the same narrowband far-field array signal model as in \eqref{eq:mvdr_signal_model}. The received signal at snapshot $t$ can be expressed as +% \begin{equation} \mathbf{y}_t = @@ -132,7 +150,9 @@ Consider the same narrowband far-field array signal model as in \eqref{eq:mvdr_s \qquad t = 1,\dots,T, \label{eq:music_signal_model} \end{equation} +% where $\mathbf{y}_t \in \mathbb{C}^{M \times 1}$ is the received array snapshot, $\mathbf{s}_t = [s_1(t),\dots,s_K(t)]^{\Tran} \in \mathbb{C}^{K \times 1}$ is the source signal vector, $\mathbf{n}_t \in \mathbb{C}^{M \times 1}$ is the additive noise vector, and +% \begin{equation} \mathbf{A}(\boldsymbol{\theta}) = @@ -142,9 +162,11 @@ where $\mathbf{y}_t \in \mathbb{C}^{M \times 1}$ is the received array snapshot, \in \mathbb{C}^{M \times K} \label{eq:music_array_manifold} \end{equation} +% is the array manifold matrix. For a uniform linear array (ULA), the steering vector corresponding to the angle $\theta_k$ is given by +% \begin{equation} \mathbf{a}(\theta_k) = @@ -156,9 +178,11 @@ e^{-j 2\pi \frac{d}{\lambda_{\mathrm{c}}}(M-1)\sin\theta_k} \right]^{\Tran}, \label{eq:music_steering_vector} \end{equation} +% where $d$ denotes the inter-element spacing and $\lambda_{\mathrm{c}}$ is the carrier wavelength. Assuming that the source signals are mutually uncorrelated and that the noise is spatially white with variance $\sigma_n^2$, the array covariance matrix is +% \begin{equation} \mathbf{R}_y = @@ -169,16 +193,20 @@ Assuming that the source signals are mutually uncorrelated and that the noise is \sigma_n^2 \mathbf{I}_M, \label{eq:music_covariance} \end{equation} +% where +% \begin{equation} \mathbf{R}_s = \mathbb{E}\{\mathbf{s}_t \mathbf{s}_t^{\Herm}\} \label{eq:music_source_covariance} \end{equation} +% is the source covariance matrix. In practice, $\mathbf{R}_y$ is approximated by the sample covariance matrix +% \begin{equation} \widehat{\mathbf{R}}_y = @@ -187,7 +215,9 @@ In practice, $\mathbf{R}_y$ is approximated by the sample covariance matrix \mathbf{y}_t \mathbf{y}_t^{\Herm}. \label{eq:music_sample_covariance} \end{equation} +% By performing eigenvalue decomposition, one obtains +% \begin{equation} \widehat{\mathbf{R}}_y = @@ -196,9 +226,11 @@ By performing eigenvalue decomposition, one obtains \mathbf{U}_n \boldsymbol{\Lambda}_n \mathbf{U}_n^{\Herm}, \label{eq:music_evd} \end{equation} +% where $\mathbf{U}_s \in \mathbb{C}^{M \times K}$ and $\mathbf{U}_n \in \mathbb{C}^{M \times (M-K)}$ denote the signal subspace and the noise subspace, respectively. Under ideal conditions, the steering vectors associated with the true source directions lie in the signal subspace and are therefore orthogonal to the noise subspace, namely, +% \begin{equation} \mathbf{U}_n^{\Herm} \mathbf{a}(\theta_k) = @@ -206,7 +238,9 @@ Under ideal conditions, the steering vectors associated with the true source dir \qquad k=1,\dots,K. \label{eq:music_orthogonality} \end{equation} +% Based on this orthogonality property, the MUSIC pseudospectrum is constructed as +% \begin{equation} P_{\mathrm{MUSIC}}(\theta) = @@ -216,7 +250,9 @@ P_{\mathrm{MUSIC}}(\theta) \mathbf{a}(\theta)}. \label{eq:music_spectrum} \end{equation} +% The \gls{doa} estimates are then obtained by locating the $K$ dominant peaks of the pseudospectrum, i.e., +% \begin{equation} \hat{\theta}_k = @@ -233,6 +269,7 @@ The MUSIC algorithm achieves high-resolution \gls{doa} estimation by exploiting \label{subsec:esprit} Consider the same narrowband far-field array signal model as in \eqref{eq:mvdr_signal_model}, i.e., +% \begin{equation} \mathbf{y}_t = @@ -245,7 +282,9 @@ Consider the same narrowband far-field array signal model as in \eqref{eq:mvdr_s \qquad t = 1,\dots,T, \label{eq:esprit_signal_model} \end{equation} +% where $\mathbf{A}(\boldsymbol{\theta}) = [\mathbf{a}(\theta_1), \dots, \mathbf{a}(\theta_K)] \in \mathbb{C}^{M \times K}$ is the array manifold matrix. For a uniform linear array (ULA), the steering vector is given by +% \begin{equation} \mathbf{a}(\theta_k) = @@ -257,16 +296,20 @@ e^{-j (M-1)\mu_k} \right]^{\Tran}, \label{eq:esprit_steering_vector} \end{equation} +% where +% \begin{equation} \mu_k = 2\pi \frac{d}{\lambda_{\mathrm{c}}} \sin\theta_k, \label{eq:esprit_spatial_frequency} \end{equation} +% with $d$ denoting the inter-element spacing and $\lambda_{\mathrm{c}}$ the carrier wavelength. The ESPRIT algorithm exploits the translational invariance structure of the array. To this end, two maximally overlapped subarrays are constructed from the original ULA. Define the selection matrices +% \begin{equation} \mathbf{J}_1 = @@ -283,21 +326,27 @@ The ESPRIT algorithm exploits the translational invariance structure of the arra \in \mathbb{C}^{(M-1)\times M}. \label{eq:esprit_selection_matrices} \end{equation} +% Then the corresponding subarray manifold matrices are +% \begin{equation} \mathbf{A}_1 = \mathbf{J}_1 \mathbf{A}, \qquad \mathbf{A}_2 = \mathbf{J}_2 \mathbf{A}. \label{eq:esprit_subarray_manifolds} \end{equation} +% Due to the shift invariance of the ULA, $\mathbf{A}_1$ and $\mathbf{A}_2$ satisfy +% \begin{equation} \mathbf{A}_2 = \mathbf{A}_1 \bm{\Phi}, \label{eq:esprit_shift_invariance} \end{equation} +% where +% \begin{equation} \bm{\Phi} = @@ -307,9 +356,11 @@ e^{-j\mu_1},\dots,e^{-j\mu_K} \right) \label{eq:esprit_phi} \end{equation} +% is the rotational invariance matrix. As in subspace-based methods, the sample covariance matrix is first formed as +% \begin{equation} \widehat{\mathbf{R}}_y = @@ -318,7 +369,9 @@ As in subspace-based methods, the sample covariance matrix is first formed as \mathbf{y}_t \mathbf{y}_t^{\Herm}. \label{eq:esprit_sample_covariance} \end{equation} +% By eigenvalue decomposition, +% \begin{equation} \widehat{\mathbf{R}}_y = @@ -327,12 +380,16 @@ By eigenvalue decomposition, \mathbf{U}_n \boldsymbol{\Lambda}_n \mathbf{U}_n^{\Herm}, \label{eq:esprit_evd} \end{equation} +% where $\mathbf{U}_s \in \mathbb{C}^{M \times K}$ denotes the estimated signal subspace. Since the signal subspace spans the same column space as $\mathbf{A}$, there exists a nonsingular matrix $\mathbf{T} \in \mathbb{C}^{K \times K}$ such that +% \begin{equation} \mathbf{U}_s = \mathbf{A} \mathbf{T}. \label{eq:esprit_subspace_relation} \end{equation} +% Applying the selection matrices to $\mathbf{U}_s$ yields +% \begin{equation} \mathbf{U}_{s,1} = @@ -343,7 +400,9 @@ Applying the selection matrices to $\mathbf{U}_s$ yields \mathbf{J}_2 \mathbf{U}_s. \label{eq:esprit_subspace_partitions} \end{equation} +% Substituting \eqref{eq:esprit_subspace_relation} into \eqref{eq:esprit_subspace_partitions} and using \eqref{eq:esprit_shift_invariance}, one obtains +% \begin{equation} \mathbf{U}_{s,2} = @@ -351,16 +410,20 @@ Substituting \eqref{eq:esprit_subspace_relation} into \eqref{eq:esprit_subspace_ \bm{\Psi}, \label{eq:esprit_invariance_subspace} \end{equation} +% where +% \begin{equation} \bm{\Psi} = \mathbf{T}^{-1} \bm{\Phi} \mathbf{T}. \label{eq:esprit_psi} \end{equation} +% Therefore, $\bm{\Psi}$ is similar to $\bm{\Phi}$ and has the same eigenvalues $\{e^{-j\mu_k}\}_{k=1}^{K}$. In practice, $\bm{\Psi}$ can be estimated by solving the least-squares problem +% \begin{equation} \widehat{\bm{\Psi}} = @@ -370,22 +433,28 @@ In practice, $\bm{\Psi}$ can be estimated by solving the least-squares problem \right\|_{\mathrm{F}}^2, \label{eq:esprit_ls_problem} \end{equation} +% whose closed-form solution is +% \begin{equation} \widehat{\bm{\Psi}} = \mathbf{U}_{s,1}^{\dagger}\mathbf{U}_{s,2}, \label{eq:esprit_ls_solution} \end{equation} +% where $(\cdot)^{\dagger}$ denotes the Moore--Penrose pseudoinverse. Let $\hat{\kappa}_k$ denote the $k$th eigenvalue of $\widehat{\bm{\Psi}}$. Then the spatial frequency is estimated as +% \begin{equation} \hat{\mu}_k = -\angle(\hat{\kappa}_k), \qquad k = 1,\dots,K, \label{eq:esprit_mu_estimate} \end{equation} +% where $\angle(\cdot)$ denotes the phase angle of a complex number. Finally, the \gls{doa} estimate is obtained from +% \begin{equation} \hat{\theta}_k = @@ -403,6 +472,7 @@ Compared with MUSIC, the ESPRIT algorithm avoids explicit spectral search and di \label{subsec:st_music} Consider a narrowband far-field source model observed by an $M$-element array over $T$ temporal samples within each data block. Let $\mathbf{Y}_{\ell} \in \mathbb{C}^{M \times T}$ denote the $\ell$th received data block, where $\ell = 1, \dots, L$. For $K$ uncorrelated sources, the received signal can be written as +% \begin{equation} \mathbf{Y}_{\ell} = @@ -415,7 +485,9 @@ Consider a narrowband far-field source model observed by an $M$-element array ov \qquad \ell = 1,\dots,L, \label{eq:st_music_block_model} \end{equation} +% where $\zeta_{k,\ell} \in \mathbb{C}$ is the complex gain of the $k$th source in the $\ell$th block, $\mathbf{a}(\theta_k) \in \mathbb{C}^{M \times 1}$ is the spatial steering vector associated with the direction of arrival (\gls{doa}) $\theta_k$, $\mathbf q_k(\nu_k) \in \mathbb{C}^{T \times 1}$ is the temporal steering vector associated with the normalized angular Doppler $\nu_k$, and $\mathbf{N}_{\ell}$ is the additive noise matrix. For a uniform linear array (ULA), the spatial steering vector is given by +% \begin{equation} \mathbf{a}(\theta_k) = @@ -427,7 +499,9 @@ e^{-j 2\pi \frac{d}{\lambda_{\mathrm{c}}}(M-1)\sin\theta_k} \right]^\Tran, \label{eq:spatial_steering} \end{equation} +% where $d$ is the inter-element spacing and $\lambda_{\mathrm{c}}$ is the carrier wavelength. The temporal steering vector is defined as +% \begin{equation} \mathbf q_k(\nu_k) = @@ -439,9 +513,11 @@ e^{j(T-1)\nu_k} \right]^\Tran, \label{eq:temporal_steering} \end{equation} +% where $\nu_k$ denotes the normalized angular Doppler in rad/sample. By vectorizing \eqref{eq:st_music_block_model}, one obtains +% \begin{equation} \mathbf{y}_{\ell} \triangleq @@ -454,7 +530,9 @@ By vectorizing \eqref{eq:st_music_block_model}, one obtains \mathbf{n}_{\ell}, \label{eq:vec_model} \end{equation} +% where $\mathbf{n}_{\ell} \triangleq \vect(\mathbf{N}_{\ell})$ and +% \begin{equation} \mathbf b_{\mathrm{st},k}(\theta_k,\nu_k) \triangleq @@ -462,9 +540,11 @@ where $\mathbf{n}_{\ell} \triangleq \vect(\mathbf{N}_{\ell})$ and \in \mathbb{C}^{MT \times 1} \label{eq:st_steering_vector} \end{equation} +% is the spatio-temporal steering vector, with $\otimes$ denoting the Kronecker product. Hence, the joint angle-Doppler estimation problem can be recast as a standard subspace estimation problem in the augmented spatio-temporal domain. Assuming that the source signals are mutually uncorrelated and the noise is spatially and temporally white with variance $\sigma_n^2$, the covariance matrix of $\mathbf{y}_{\ell}$ is given by +% \begin{equation} \mathbf{R}_y = @@ -475,7 +555,9 @@ Assuming that the source signals are mutually uncorrelated and the noise is spat \sigma_n^2 \mathbf{I}_{MT}, \label{eq:covariance_st} \end{equation} +% where +% \begin{equation} \mathbf{B}_{\mathrm{st}} = @@ -487,9 +569,11 @@ where \in \mathbb{C}^{MT \times K} \label{eq:Bst_matrix} \end{equation} +% and $\mathbf{R}_{\zeta} = \mathbb{E}\{\boldsymbol{\zeta}_{\ell}\boldsymbol{\zeta}_{\ell}^\Herm\}$ is the source covariance matrix, with $\boldsymbol{\zeta}_{\ell} = [\zeta_{1,\ell},\dots,\zeta_{K,\ell}]^\Tran$. In practice, $\mathbf{R}_y$ is estimated from $L$ data blocks as +% \begin{equation} \widehat{\mathbf{R}}_y = @@ -498,7 +582,9 @@ In practice, $\mathbf{R}_y$ is estimated from $L$ data blocks as \mathbf{y}_{\ell}\mathbf{y}_{\ell}^\Herm. \label{eq:sample_covariance} \end{equation} +% Performing eigenvalue decomposition yields +% \begin{equation} \widehat{\mathbf{R}}_y = @@ -507,13 +593,17 @@ Performing eigenvalue decomposition yields \mathbf{U}_n \boldsymbol{\Lambda}_n \mathbf{U}_n^\Herm, \label{eq:eig_decomp} \end{equation} +% where $\mathbf{U}_s \in \mathbb{C}^{MT \times K}$ and $\mathbf{U}_n \in \mathbb{C}^{MT \times (MT-K)}$ denote the signal and noise subspaces, respectively. Under ideal conditions, each true spatio-temporal steering vector lies in the signal subspace and is therefore orthogonal to the noise subspace, i.e., +% \begin{equation} \mathbf{U}_n^\Herm\mathbf b_{\mathrm{st},k}(\theta_k,\nu_k) = \mathbf{0}, \qquad k=1,\dots,K. \label{eq:orthogonality_condition} \end{equation} +% Based on this orthogonality property, the spatio-temporal MUSIC pseudospectrum is constructed as +% \begin{equation} P_{\mathrm{ST\text{-}MUSIC}}(\theta,\nu) = @@ -523,7 +613,9 @@ P_{\mathrm{ST\text{-}MUSIC}}(\theta,\nu) \mathbf b_{\mathrm{st}}(\theta,\nu)}. \label{eq:st_music_spectrum} \end{equation} +% The joint estimates of \gls{doa} and Doppler are then obtained by searching for the $K$ dominant peaks of \eqref{eq:st_music_spectrum}, namely, +% \begin{equation} (\hat{\theta}_k,\hat{\nu}_k) = @@ -540,6 +632,7 @@ Compared with conventional MUSIC, the spatio-temporal MUSIC algorithm exploits b \label{subsec:st_esprit} Consider the same spatio-temporal signal model as in \eqref{eq:st_music_block_model}. For the $\ell$th data block, the received signal matrix is given by +% \begin{equation} \mathbf{Y}_{\ell} = @@ -552,7 +645,9 @@ Consider the same spatio-temporal signal model as in \eqref{eq:st_music_block_mo \qquad \ell = 1,\dots,L, \label{eq:st_esprit_block_model} \end{equation} +% where $\mathbf{a}(\theta_k)\in\mathbb{C}^{M\times 1}$ and $\mathbf q_k(\nu_k)\in\mathbb{C}^{T\times 1}$ denote the spatial and temporal steering vectors, respectively. For a uniform linear array (ULA), the spatial steering vector is +% \begin{equation} \mathbf{a}(\theta_k) = @@ -564,14 +659,18 @@ e^{-j(M-1)\mu_k} \right]^{\Tran}, \label{eq:st_esprit_spatial_steering} \end{equation} +% where +% \begin{equation} \mu_k = 2\pi \frac{d}{\lambda_{\mathrm{c}}}\sin\theta_k, \label{eq:st_esprit_spatial_freq} \end{equation} +% and the temporal steering vector is +% \begin{equation} \mathbf q_k(\nu_k) = @@ -583,9 +682,11 @@ e^{j(T-1)\nu_k} \right]^{\Tran}, \label{eq:st_esprit_temporal_steering} \end{equation} +% where $\nu_k$ denotes the normalized angular Doppler in rad/sample. By vectorizing \eqref{eq:st_esprit_block_model}, one obtains +% \begin{equation} \mathbf{y}_{\ell} \triangleq @@ -598,7 +699,9 @@ By vectorizing \eqref{eq:st_esprit_block_model}, one obtains \mathbf{n}_{\ell}, \label{eq:st_esprit_vec_model} \end{equation} +% where +% \begin{equation} \mathbf b_{\mathrm{st},k}(\theta_k,\nu_k) = @@ -606,7 +709,9 @@ where \in \mathbb{C}^{MT\times 1}, \label{eq:st_esprit_st_steering} \end{equation} +% and $\mathbf{n}_{\ell}=\vect(\mathbf{N}_{\ell})$. Define the spatio-temporal manifold matrix as +% \begin{equation} \mathbf{B}_{\mathrm{st}} = @@ -620,6 +725,7 @@ and $\mathbf{n}_{\ell}=\vect(\mathbf{N}_{\ell})$. Define the spatio-temporal man \end{equation} The sample covariance matrix is estimated as +% \begin{equation} \widehat{\mathbf{R}}_y = @@ -628,7 +734,9 @@ The sample covariance matrix is estimated as \mathbf{y}_{\ell}\mathbf{y}_{\ell}^{\Herm}. \label{eq:st_esprit_sample_covariance} \end{equation} +% Performing eigenvalue decomposition yields +% \begin{equation} \widehat{\mathbf{R}}_y = @@ -637,13 +745,16 @@ Performing eigenvalue decomposition yields \mathbf{U}_n \boldsymbol{\Lambda}_n \mathbf{U}_n^{\Herm}, \label{eq:st_esprit_evd} \end{equation} +% where $\mathbf{U}_s\in\mathbb{C}^{MT\times K}$ denotes the estimated signal subspace. Since $\mathbf{U}_s$ and $\mathbf{B}_{\mathrm{st}}$ span the same column space, there exists a nonsingular matrix $\mathbf{T}\in\mathbb{C}^{K\times K}$ such that +% \begin{equation} \mathbf{U}_s = \mathbf{B}_{\mathrm{st}}\mathbf{T}. \label{eq:st_esprit_subspace_relation} \end{equation} The spatio-temporal ESPRIT algorithm exploits the shift invariance structure in both the spatial and temporal dimensions. First, define the spatial selection matrices +% \begin{equation} \mathbf{J}_{s,1} = @@ -660,7 +771,9 @@ The spatio-temporal ESPRIT algorithm exploits the shift invariance structure in \in\mathbb{C}^{(M-1)\times M}, \label{eq:st_esprit_spatial_selection} \end{equation} +% and the temporal selection matrices +% \begin{equation} \mathbf{J}_{t,1} = @@ -679,6 +792,7 @@ and the temporal selection matrices \end{equation} Correspondingly, the augmented selection matrices acting on the vectorized spatio-temporal observation are constructed as +% \begin{equation} \widetilde{\mathbf{J}}_{s,1} = @@ -689,7 +803,9 @@ Correspondingly, the augmented selection matrices acting on the vectorized spati \mathbf{I}_T \otimes \mathbf{J}_{s,2}, \label{eq:st_esprit_augmented_spatial_selection} \end{equation} +% and +% \begin{equation} \widetilde{\mathbf{J}}_{t,1} = @@ -702,13 +818,16 @@ and \end{equation} Using the Kronecker product structure in \eqref{eq:st_esprit_st_steering}, the spatio-temporal manifold matrix satisfies the spatial shift invariance relation +% \begin{equation} \widetilde{\mathbf{J}}_{s,2}\mathbf{B}_{\mathrm{st}} = \widetilde{\mathbf{J}}_{s,1}\mathbf{B}_{\mathrm{st}}\bm{\Phi}_s, \label{eq:st_esprit_spatial_invariance} \end{equation} +% where +% \begin{equation} \bm{\Phi}_s = @@ -718,14 +837,18 @@ e^{-j\mu_1},\dots,e^{-j\mu_K} \right), \label{eq:st_esprit_Phi_s} \end{equation} +% and the temporal shift invariance relation +% \begin{equation} \widetilde{\mathbf{J}}_{t,2}\mathbf{B}_{\mathrm{st}} = \widetilde{\mathbf{J}}_{t,1}\mathbf{B}_{\mathrm{st}}\bm{\Phi}_t, \label{eq:st_esprit_temporal_invariance} \end{equation} +% where +% \begin{equation} \bm{\Phi}_t = @@ -737,6 +860,7 @@ e^{j\nu_1},\dots,e^{j\nu_K} \end{equation} Applying the same selection operations to the signal subspace $\mathbf{U}_s$ gives +% \begin{equation} \mathbf{U}_{s,1}^{(s)} = @@ -747,7 +871,9 @@ Applying the same selection operations to the signal subspace $\mathbf{U}_s$ giv \widetilde{\mathbf{J}}_{s,2}\mathbf{U}_s, \label{eq:st_esprit_spatial_subspace_partitions} \end{equation} +% and +% \begin{equation} \mathbf{U}_{s,1}^{(t)} = @@ -758,28 +884,36 @@ and \widetilde{\mathbf{J}}_{t,2}\mathbf{U}_s. \label{eq:st_esprit_temporal_subspace_partitions} \end{equation} +% Substituting \eqref{eq:st_esprit_subspace_relation} into \eqref{eq:st_esprit_spatial_subspace_partitions} and \eqref{eq:st_esprit_temporal_subspace_partitions}, and using \eqref{eq:st_esprit_spatial_invariance}--\eqref{eq:st_esprit_temporal_invariance}, one obtains +% \begin{equation} \mathbf{U}_{s,2}^{(s)} = \mathbf{U}_{s,1}^{(s)} \bm{\Psi}_s, \label{eq:st_esprit_Psi_s_relation} \end{equation} +% with +% \begin{equation} \bm{\Psi}_s = \mathbf{T}^{-1}\bm{\Phi}_s\mathbf{T}, \label{eq:st_esprit_Psi_s} \end{equation} +% and +% \begin{equation} \mathbf{U}_{s,2}^{(t)} = \mathbf{U}_{s,1}^{(t)} \bm{\Psi}_t, \label{eq:st_esprit_Psi_t_relation} \end{equation} +% with +% \begin{equation} \bm{\Psi}_t = @@ -788,6 +922,7 @@ with \end{equation} The matrices $\bm{\Psi}_s$ and $\bm{\Psi}_t$ can be estimated in the least-squares sense as +% \begin{equation} \widehat{\bm{\Psi}}_s = @@ -800,7 +935,9 @@ The matrices $\bm{\Psi}_s$ and $\bm{\Psi}_t$ can be estimated in the least-squar \mathbf{U}_{s,2}^{(t)}, \label{eq:st_esprit_LS_solution} \end{equation} +% where $(\cdot)^{\dagger}$ denotes the Moore--Penrose pseudoinverse. Let $\hat{\kappa}_{s,k}$ and $\hat{\kappa}_{t,k}$ denote the paired eigenvalues of $\widehat{\bm{\Psi}}_s$ and $\widehat{\bm{\Psi}}_t$, respectively. Then the spatial and temporal frequencies are estimated as +% \begin{equation} \hat{\mu}_k = @@ -812,7 +949,9 @@ where $(\cdot)^{\dagger}$ denotes the Moore--Penrose pseudoinverse. Let $\hat{\k \qquad k=1,\dots,K, \label{eq:st_esprit_mu_nu_estimation} \end{equation} +% where $\angle(\cdot)$ denotes the phase angle of a complex number. Finally, the \gls{doa} estimate and, if needed, the corresponding physical Doppler conversion are given by +% \begin{equation} \hat{\theta}_k = diff --git a/parts/D-singleArrayCrb.tex b/parts/D-singleArrayCrb.tex index c5080ea..63aa591 100644 --- a/parts/D-singleArrayCrb.tex +++ b/parts/D-singleArrayCrb.tex @@ -125,6 +125,7 @@ \begin{mdquote} \vspace{-1em} +% \begin{equation*} \mathbb{E} \left[ \mathbf{n}^\Herm_t \mathbf{n}_t \right] = M \sigma_n^2 = M \sigma. \end{equation*} @@ -420,6 +421,7 @@ \subsection{确定信号 DoA--Doppler CRB} \label{sec:det_doa_doppler_crb} 本附录对应第~\ref{sec:det_doa_doppler_est} 节的单阵列确定信号 \gls{doa}--Doppler 模型，是从纯空间 CRB 过渡到空时 CRB 的中间层。由式~\eqref{eq:vec_det_doa_doppler_recv_sig}，向量化观测满足 +% \begin{equation} \tilde{\mathbf y} = @@ -429,7 +431,9 @@ \qquad \tilde{\mathbf n}\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma\mathbf I_{MT}), \end{equation} +% 其中 $\sigma\triangleq\sigma_n^2$。因此 +% \begin{equation} \tilde{\mathbf y}\sim\mathcal{CN}\big(\boldsymbol\mu(\boldsymbol\kappa),\sigma\mathbf I_{MT}\big), \qquad @@ -437,7 +441,9 @@ = \mathbf B_{\mathrm{st}}\boldsymbol\zeta. \end{equation} +% 本附录使用完整参数向量 +% \begin{equation} \boldsymbol\kappa = @@ -449,12 +455,14 @@ \bm\theta^\Tran \end{bmatrix}^\Tran, \end{equation} +% 其中 $\boldsymbol\zeta^{(r)}=\Re\{\boldsymbol\zeta\}$、$\boldsymbol\zeta^{(i)}=\Im\{\boldsymbol\zeta\}$。这里的 $\bm\theta$ 表示单阵列一维 \gls{doa} 情形下的角度向量；若使用二维 \gls{doa} 参数，可将相应导数矩阵按同样方式扩展。 \subsubsection{FIM 元素的通式} 由于协方差 $\sigma\mathbf I_{MT}$ 只依赖噪声方差，而其他参数只通过均值向量进入，因此均值参数之间的 Fisher 信息为 +% \begin{equation} [\mathcal I(\boldsymbol\kappa)]_{ij} = @@ -464,17 +472,21 @@ \left(\frac{\partial\boldsymbol\mu}{\partial\kappa_j}\right) \right\}, \end{equation} +% 噪声方差自身的信息为 +% \begin{equation} [\mathcal I(\boldsymbol\kappa)]_{\sigma\sigma} = \frac{MT}{\sigma^2}, \end{equation} +% 且噪声方差与均值参数的 Fisher 交叉项为零。因此后续只需构造均值参数部分的 FIM。 \subsubsection{偏导数求取} 定义时间索引向量和对角矩阵 +% \begin{equation} \mathbf t \triangleq @@ -484,7 +496,9 @@ \triangleq \diag(0,1,\ldots,T-1). \end{equation} +% 由 $[\mathbf q_k(\nu_k)]_t=s_k(t)e^{j\nu_k t}$ 可得 +% \begin{equation} \dot{\mathbf q}_k \triangleq @@ -492,7 +506,9 @@ = j\mathbf T_d\mathbf q_k(\nu_k). \end{equation} +% 再定义空间导向矢量和空时导向列向量的一阶导数为 +% \begin{equation} \dot{\mathbf a}_k \triangleq @@ -511,7 +527,9 @@ = \dot{\mathbf q}_k\otimes\mathbf a(\theta_k). \end{equation} +% 进一步写成矩阵形式 +% \begin{equation} \mathbf B_{\mathrm{st},\theta} \triangleq @@ -530,7 +548,9 @@ \right] \in\mathbb C^{MT\times K}. \end{equation} +% 由此，对复增益、Doppler 和角度的一阶偏导为 +% \begin{equation} \mathbf J_{\boldsymbol\zeta^{(r)}} = @@ -549,11 +569,13 @@ = \mathbf B_{\mathrm{st},\theta}\mathbf D_{\zeta}, \end{equation} +% 其中 $\mathbf D_\zeta=\diag(\zeta_1,\ldots,\zeta_K)$。 \subsubsection{消去复增益后的 DoA--Doppler EFIM} 令 +% \begin{equation} \boldsymbol\eta_{\theta\nu} \triangleq @@ -566,7 +588,9 @@ \mathbf J_{\boldsymbol\nu} \right]. \end{equation} +% 完整均值参数 Jacobian 可写为 +% \begin{equation} \mathbf J_{\mathrm{mean}} = @@ -580,7 +604,9 @@ = \frac{2}{\sigma}\Re\{\mathbf J_{\mathrm{mean}}^\Herm\mathbf J_{\mathrm{mean}}\}. \end{equation} +% 由于 $\mathbf B_{\mathrm{st}}$ 与 $j\mathbf B_{\mathrm{st}}$ 对应未知复增益的实部和虚部，消去复增益后，$\boldsymbol\eta_{\theta\nu}$ 的 EFIM 为 +% \begin{equation} \label{eq:single_det_doa_doppler_efim_theta_nu} \mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\theta\nu}) @@ -597,7 +623,9 @@ \end{bmatrix} \right\}, \end{equation} +% 其中 +% \begin{equation} \mathcal P_{\mathbf B_{\mathrm{st}}}^\perp = @@ -607,7 +635,9 @@ (\mathbf B_{\mathrm{st}}^\Herm\mathbf B_{\mathrm{st}})^{-1} \mathbf B_{\mathrm{st}}^\Herm. \end{equation} +% 将式~\eqref{eq:single_det_doa_doppler_efim_theta_nu} 分块写为 +% \begin{equation} \mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\theta\nu}) = @@ -620,12 +650,15 @@ \subsubsection{仅关心 DoA 或 Doppler 时的 CRB} 若同时估计 \gls{doa} 和 Doppler，则 +% \begin{equation} \operatorname{CRB}(\boldsymbol\eta_{\theta\nu}) = \mathcal I_{\mathrm e}^{-1}(\boldsymbol\eta_{\theta\nu}). \end{equation} +% 若只关心 \gls{doa}，并把 Doppler 视为实值干扰参数，则应在式~\eqref{eq:single_det_doa_doppler_efim_theta_nu} 的实值 EFIM 上对 $\boldsymbol\nu$ 做 Schur 补： +% \begin{equation} \operatorname{CRB}(\bm\theta) = @@ -635,7 +668,9 @@ \mathcal I_{\theta\nu}\mathcal I_{\nu\nu}^{-1}\mathcal I_{\nu\theta} \right)^{-1}. \end{equation} +% 类似地，若只关心 Doppler，并把 \gls{doa} 视为实值干扰参数，则 +% \begin{equation} \operatorname{CRB}(\boldsymbol\nu) = @@ -645,6 +680,7 @@ \mathcal I_{\nu\theta}\mathcal I_{\theta\theta}^{-1}\mathcal I_{\theta\nu} \right)^{-1}. \end{equation} +% 需要注意，$\boldsymbol\nu$ 是实值干扰参数，因此不能把 $\mathbf B_{\mathrm{st},\nu}\mathbf D_\zeta$ 当作具有任意复系数的未知子空间并直接写成复投影 $\mathcal P_{[\mathbf B_{\mathrm{st}},\mathbf B_{\mathrm{st},\nu}\mathbf D_\zeta]}^\perp$。 @@ -949,6 +985,7 @@ Schur 补 $\mathcal{I}_{\mathrm e} \end{equation} % 用矩阵形式表示为 +% \begin{equation} \mathcal{I}_{\mathrm e} = \frac{2T}{\sigma} \Re \left\{ \mathcal{H} \odot \mathbf{U}^\Tran \right\}. \end{equation} diff --git a/parts/E-multiSatStaticCrb.tex b/parts/E-multiSatStaticCrb.tex index bcf8863..2f5c687 100644 --- a/parts/E-multiSatStaticCrb.tex +++ b/parts/E-multiSatStaticCrb.tex @@ -10,6 +10,7 @@ \label{subsec:E1_singleUserMultiSatCrb} 本小节对应正文第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst} 节，主参数仍记为 +% \begin{equation} \boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}} = @@ -20,6 +21,7 @@ \end{bmatrix} \in \mathbb R^{3}. \end{equation} +% 与\ref{sec:det_doa_doppler_crb} 的单阵列情形相比，这里需要先联合堆叠 $L$ 颗协作卫星的观测，再将各星复干扰系数视为干扰参数并通过 Schur 补得到 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}}$ 的 \gls{efim}。 \subsubsection{联合观测模型与 Fisher 信息矩阵通式} @@ -27,6 +29,7 @@ 沿用第~\ref{subsec:staticBlockModel} 小节中的向量化观测模型，第 $\ell$ 颗卫星的均值向量可写为 $\zeta_\ell \mathbf g_\ell(\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}})$。为便于后续统一构造 \gls{fim}，本小节先将所有卫星观测按块联合堆叠。 对于第 $\ell$ 颗卫星，向量化后的观测模型为 +% \begin{equation} \tilde{\mathbf y}_\ell = @@ -37,16 +40,20 @@ \tilde{\mathbf n}_\ell \sim \mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma_{n,\ell}^2 \mathbf I_{M_\ell T}), \quad \ell=0,1,\ldots,L-1, \end{equation} +% 其中 +% \begin{equation} \mathbf g_\ell(\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}}) \triangleq \mathbf q_\ell(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}}) \otimes \mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi) \in \mathbb C^{M_\ell T \times 1}, \end{equation} +% $\zeta_\ell\in\mathbb C$ 为第 $\ell$ 条链路的未知复干扰系数，$\sigma_{n,\ell}^2$ 为第 $\ell$ 颗卫星对应的噪声方差。 将所有卫星的观测联合堆叠，定义 +% \begin{equation} \tilde{\mathbf y} \triangleq @@ -72,13 +79,17 @@ $\zeta_\ell\in\mathbb C$ 为第 $\ell$ 条链路的未知复干扰系数，$\sig \tilde{\mathbf n}_{L-1} \end{bmatrix}, \end{equation} +% 则有 +% \begin{equation} \tilde{\mathbf y} = \boldsymbol\mu(\boldsymbol\kappa_{\mathrm{stat}}) + \tilde{\mathbf n}, \qquad \tilde{\mathbf n} \sim \mathcal{CN}(\mathbf 0,\mathbf R_n), \end{equation} +% 其中 +% \begin{equation} \mathbf R_n = @@ -91,10 +102,13 @@ $\zeta_\ell\in\mathbb C$ 为第 $\ell$ 条链路的未知复干扰系数，$\sig \end{equation} 将各星复干扰系数按实部和虚部分解为 +% \begin{equation} \zeta_\ell = \zeta_\ell^{(r)} + j\zeta_\ell^{(i)}, \end{equation} +% 并定义实参数化后的均值干扰参数向量 +% \begin{equation} \boldsymbol\psi_{\zeta,\mathrm{stat}} \triangleq @@ -103,7 +117,9 @@ $\zeta_\ell\in\mathbb C$ 为第 $\ell$ 条链路的未知复干扰系数，$\sig \end{bmatrix}^{\Tran} \in \mathbb R^{2L}. \end{equation} +% 于是总实参数向量可写为 +% \begin{equation} \boldsymbol\kappa_{\mathrm{stat}} \triangleq @@ -114,6 +130,7 @@ $\zeta_\ell\in\mathbb C$ 为第 $\ell$ 条链路的未知复干扰系数，$\sig \end{equation} 由于当前均值参数仅通过均值项 $\boldsymbol\mu(\boldsymbol\kappa_{\mathrm{stat}})$ 进入，而协方差矩阵 $\mathbf R_n$ 与 $\boldsymbol\kappa_{\mathrm{stat}}$ 无关，由复 Gauss 模型的 Slepian--Bangs 公式~\cite{kayFundamentalsStatisticalSignal1993,vantreesOptimumArrayProcessing2002}，对任意两个实参数 $\kappa_i,\kappa_j$，Fisher 信息矩阵元素满足 +% \begin{equation} [\mathcal I(\boldsymbol\kappa_{\mathrm{stat}})]_{ij} = @@ -128,6 +145,7 @@ $\zeta_\ell\in\mathbb C$ 为第 $\ell$ 条链路的未知复干扰系数，$\sig \subsubsection{\texorpdfstring{关于 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}}$ 的导数}{关于主参数 eta-stat 的导数}} 由第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst} 节，单位方向向量为 +% \begin{equation} \mathbf u(\boldsymbol\xi) = @@ -137,7 +155,9 @@ $\zeta_\ell\in\mathbb C$ 为第 $\ell$ 条链路的未知复干扰系数，$\sig \sin\beta \end{bmatrix}, \end{equation} +% 其关于全局角度参数的一阶导数为 +% \begin{equation} \mathbf u_{\alpha} \triangleq @@ -161,6 +181,7 @@ $\zeta_\ell\in\mathbb C$ 为第 $\ell$ 条链路的未知复干扰系数，$\sig \end{equation} 根据第~\ref{subsec:refSatParameterization} 小节的参考星参数化，静态模型中第 $\ell$ 颗卫星对应的归一化 Doppler 统一写成 +% \begin{equation} \nu_\ell(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}}) = @@ -168,13 +189,17 @@ $\zeta_\ell\in\mathbb C$ 为第 $\ell$ 条链路的未知复干扰系数，$\sig = \nu_{\mathrm{ref}}+\Delta\nu_\ell(\boldsymbol\xi), \end{equation} +% 其中 $\Delta\nu_\ell(\boldsymbol\xi)$ 由已知几何、速度与姿态关系确定，且对参考星 $\ell_{\mathrm{ref}}$ 有 +% \begin{equation} f_{\nu,\ell_{\mathrm{ref}}}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}}) = \nu_{\mathrm{ref}}. \end{equation} +% 因此其一阶导数统一写为 +% \begin{equation} \frac{\partial \nu_\ell}{\partial \alpha} = @@ -187,6 +212,7 @@ $\zeta_\ell\in\mathbb C$ 为第 $\ell$ 条链路的未知复干扰系数，$\sig \frac{\partial \nu_\ell}{\partial \nu_{\mathrm{ref}}}=1. \label{eq:A6_domega} \end{equation} +% 上式利用了正文中采用的 $\nu_\ell=\nu_{\mathrm{ref}}+\Delta\nu_\ell(\boldsymbol\xi)$ 这一参考星链路参数化形式。特别地，对参考星有 @@ -195,6 +221,7 @@ $\partial\nu_{\ell_{\mathrm{ref}}}/\partial\alpha=0$、 $\partial\nu_{\ell_{\mathrm{ref}}}/\partial\beta=0$。若改用别的等价参数化，只需将上述三个 Doppler 链式导数替换为对应结果即可。 再定义第 $\ell$ 颗卫星本地坐标系下的来向向量 +% \begin{equation} \mathbf u_\ell^{\mathrm{loc}} = @@ -204,7 +231,9 @@ $\partial\nu_{\ell_{\mathrm{ref}}}/\partial\beta=0$。若改用别的等价参 u_{\ell,1}^{\mathrm{loc}} & u_{\ell,2}^{\mathrm{loc}} & u_{\ell,3}^{\mathrm{loc}} \end{bmatrix}^{\Tran}. \end{equation} +% 相应的局部角度为 +% \begin{equation} \alpha_\ell^{\mathrm{loc}} = @@ -216,12 +245,15 @@ $\partial\nu_{\ell_{\mathrm{ref}}}/\partial\beta=0$。若改用别的等价参 \end{equation} 对任意 $x\in\{\alpha,\beta\}$，有 +% \begin{equation} \frac{\partial \mathbf u_\ell^{\mathrm{loc}}}{\partial x} = \boldsymbol{\Omega}_\ell^{\Tran}\mathbf u_x. \end{equation} +% 进一步可得 +% \begin{equation} \frac{\partial \alpha_\ell^{\mathrm{loc}}}{\partial x} = @@ -240,6 +272,7 @@ $\partial\nu_{\ell_{\mathrm{ref}}}/\partial\beta=0$。若改用别的等价参 \end{equation} 记局部阵列导向矢量关于局部方位角和局部俯仰角的一阶导数分别为 +% \begin{equation} \dot{\mathbf a}_{\ell,\alpha} \triangleq @@ -249,7 +282,9 @@ $\partial\nu_{\ell_{\mathrm{ref}}}/\partial\beta=0$。若改用别的等价参 \triangleq \frac{\partial \mathbf a_\ell}{\partial \beta_\ell^{\mathrm{loc}}}. \end{equation} +% 则对任意 $x\in\{\alpha,\beta\}$，根据链式法则有 +% \begin{equation} \mathbf a_{\ell,x} \triangleq @@ -262,13 +297,16 @@ $\partial\nu_{\ell_{\mathrm{ref}}}/\partial\beta=0$。若改用别的等价参 \end{equation} 由第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst} 节的离散时间模板定义， +% \begin{equation} [\mathbf q_\ell(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})]_t = s(t)e^{j\nu_\ell(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})t}, \qquad t=0,1,\ldots,T-1. \end{equation} +% 因此其关于 $\nu_\ell$ 的导数为 +% \begin{equation} \dot{\mathbf q}_\ell \triangleq @@ -277,7 +315,9 @@ $\partial\nu_{\ell_{\mathrm{ref}}}/\partial\beta=0$。若改用别的等价参 j\,\operatorname{diag}(0,1,\ldots,T-1)\,\mathbf q_\ell. \label{eq:A6_qdot} \end{equation} +% 从而对任意 $x\in\{\alpha,\beta\}$，有 +% \begin{equation} \mathbf q_{\ell,x} \triangleq @@ -294,12 +334,14 @@ $\partial\nu_{\ell_{\mathrm{ref}}}/\partial\beta=0$。若改用别的等价参 \dot{\mathbf q}_\ell. \label{eq:A6_dq} \end{equation} +% 其中最后一步同样利用了 $\partial \nu_\ell/\partial \nu_{\mathrm{ref}}=1$。 对空时导向向量 $\mathbf g_\ell=\mathbf q_\ell\otimes \mathbf a_\ell$ 应用 Kronecker 积求导法则，可得 +% \begin{equation} \mathbf d_{\ell,\alpha} \triangleq @@ -327,7 +369,9 @@ $\mathbf g_\ell=\mathbf q_\ell\otimes \mathbf a_\ell$ = \dot{\mathbf q}_\ell \otimes \mathbf a_\ell. \end{equation} +% 进一步定义 +% \begin{equation} \mathbf D_\ell \triangleq @@ -341,12 +385,15 @@ $\mathbf g_\ell=\mathbf q_\ell\otimes \mathbf a_\ell$ \subsubsection{Fisher 信息矩阵的分块构造} 对第 $\ell$ 颗卫星，其均值向量为 +% \begin{equation} \boldsymbol\mu_\ell(\boldsymbol\kappa_{\mathrm{stat}}) = \zeta_\ell\mathbf g_\ell(\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}}). \end{equation} +% 因此，其关于主参数向量 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}}$ 的 Jacobian 为 +% \begin{equation} \mathbf J_{\eta,\ell} \triangleq @@ -356,7 +403,9 @@ $\mathbf g_\ell=\mathbf q_\ell\otimes \mathbf a_\ell$ \in \mathbb C^{M_\ell T \times 3}, \label{eq:A6_Jeta} \end{equation} +% 而其关于本星复干扰系数实部与虚部的 Jacobian 为 +% \begin{equation} \mathbf J_{\psi,\ell} \triangleq @@ -373,6 +422,7 @@ $\mathbf g_\ell=\mathbf q_\ell\otimes \mathbf a_\ell$ \end{equation} 由于不同卫星噪声相互独立，总 Fisher 信息矩阵可按卫星求和。记总 Fisher 信息矩阵关于 $(\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}},\boldsymbol\psi_{\zeta,\mathrm{stat}})$ 的分块形式为 +% \begin{equation} \mathcal I(\boldsymbol\kappa_{\mathrm{stat}}) = @@ -381,7 +431,9 @@ $\mathbf g_\ell=\mathbf q_\ell\otimes \mathbf a_\ell$ \mathcal I_{\psi\eta} & \mathcal I_{\psi\psi} \end{bmatrix}, \end{equation} +% 则根据 \eqref{eq:A6_fim_general} 有 +% \begin{equation} \mathcal I_{\eta\eta} = @@ -417,6 +469,7 @@ $\mathbf g_\ell=\mathbf q_\ell\otimes \mathbf a_\ell$ \subsubsection{\texorpdfstring{消去复干扰系数后的 \gls{efim}}{消去复干扰系数后的 EFIM}} 由于 $\boldsymbol\psi_{\zeta,\mathrm{stat}}$ 是均值干扰参数，主参数向量 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}}$ 的 \gls{efim} 为 +% \begin{equation} \mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}}) = @@ -430,6 +483,7 @@ $\mathbf g_\ell=\mathbf q_\ell\otimes \mathbf a_\ell$ 对每颗卫星，复增益实部和虚部对应的 Jacobian 为 $\begin{bmatrix}\mathbf g_\ell & j\mathbf g_\ell\end{bmatrix}$。虽然这两个列向量对应的是实参数化下的二维实线性干扰子空间，但其等价于由 $\mathbf g_\ell$ 张成的复一维子空间；相应的 Schur 补可以写成对该复一维子空间的正交投影形式。定义投影矩阵及其正交补为 +% \begin{equation} \mathcal P_{\mathbf g_\ell} \triangleq @@ -440,7 +494,9 @@ $\begin{bmatrix}\mathbf g_\ell & j\mathbf g_\ell\end{bmatrix}$。虽然这两个 \mathbf I_{M_\ell T} - \mathcal P_{\mathbf g_\ell}. \label{eq:A6_proj} \end{equation} +% 将 \eqref{eq:A6_Jeta}--\eqref{eq:A6_proj} 代入 \eqref{eq:A6_schur} 并整理，可得 +% \begin{equation} \mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}}) = @@ -453,7 +509,9 @@ $\begin{bmatrix}\mathbf g_\ell & j\mathbf g_\ell\end{bmatrix}$。虽然这两个 \right\}. \label{eq:A6_Ieff_proj} \end{equation} +% 再利用 $\mathbf J_{\eta,\ell}=\zeta_\ell\mathbf D_\ell$，得到紧凑形式 +% \begin{equation} \mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}}) = @@ -466,11 +524,13 @@ $\begin{bmatrix}\mathbf g_\ell & j\mathbf g_\ell\end{bmatrix}$。虽然这两个 \right\}. \label{eq:A6_Ieff_final} \end{equation} +% 式~\eqref{eq:A6_Ieff_final} 即为静态多阵列确定信号 \gls{doa}--Doppler 联合估计的 \gls{efim}。 \subsubsection{CRB 表达式} 因此，联合参数向量 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}}=[\alpha,\beta,\nu_{\mathrm{ref}}]^{\Tran}$ 的 \gls{crb} 为 +% \begin{equation} \operatorname{CRB}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}}) = @@ -479,6 +539,7 @@ $\begin{bmatrix}\mathbf g_\ell & j\mathbf g_\ell\end{bmatrix}$。虽然这两个 \end{equation} 若仅关心角度参数 +% \begin{equation} \boldsymbol\xi \triangleq @@ -487,7 +548,9 @@ $\begin{bmatrix}\mathbf g_\ell & j\mathbf g_\ell\end{bmatrix}$。虽然这两个 \beta \end{bmatrix}, \end{equation} +% 则将 \eqref{eq:A6_Ieff_final} 按 $(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})$ 分块为 +% \begin{equation} \mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}}) = @@ -496,7 +559,9 @@ $\begin{bmatrix}\mathbf g_\ell & j\mathbf g_\ell\end{bmatrix}$。虽然这两个 \mathcal I_{\nu,\mathrm{ang}} & \mathcal I_{\nu\nu} \end{bmatrix}, \end{equation} +% 其中 $\mathcal I_{\mathrm{ang},\mathrm{ang}}\in\mathbb R^{2\times 2}$，$\mathcal I_{\mathrm{ang},\nu}\in\mathbb R^{2\times 1}$，则 \gls{doa} 参数的等效 \gls{crb} 为 +% \begin{equation} \operatorname{CRB}(\boldsymbol\xi) = @@ -507,7 +572,9 @@ $\begin{bmatrix}\mathbf g_\ell & j\mathbf g_\ell\end{bmatrix}$。虽然这两个 \right)^{-1}. \label{eq:A6_crb_ang} \end{equation} +% 类似地，仅参考归一化 Doppler 参数 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 的 \gls{crb} 为 +% \begin{equation} \operatorname{CRB}(\nu_{\mathrm{ref}}) = @@ -543,6 +610,7 @@ $\begin{bmatrix}\mathbf g_\ell & j\mathbf g_\ell\end{bmatrix}$。虽然这两个 [\mathcal I(\boldsymbol\kappa_{\mathrm{stat}})]_{\sigma_{n,\ell}^2,i}=0, \quad i\neq \sigma_{n,\ell}^2, \end{equation} +% 因此不会改变 \eqref{eq:A6_Ieff_final} 给出的 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}}$ 的 \gls{efim}。 \end{enumerate} @@ -552,6 +620,7 @@ $\begin{bmatrix}\mathbf g_\ell & j\mathbf g_\ell\end{bmatrix}$。虽然这两个 \label{subsec:E2_multiUserMultiSatCrb} 本小节对应正文第~\ref{sec:multiSatMultiUser} 节，把 E.1 的复增益 Schur 补框架扩展到 $K\ge 1$ 个用户。主参数堆叠为 +% \begin{equation} \boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}} = @@ -562,7 +631,9 @@ $\begin{bmatrix}\mathbf g_\ell & j\mathbf g_\ell\end{bmatrix}$。虽然这两个 \big]^\Tran \in\mathbb R^{3K}. \end{equation} +% 均值干扰参数为各星各用户的复增益 +% \begin{equation} \boldsymbol\psi_{\zeta,\mathrm{mu}} = @@ -572,11 +643,13 @@ $\begin{bmatrix}\mathbf g_\ell & j\mathbf g_\ell\end{bmatrix}$。虽然这两个 \big]^\Tran \in\mathbb R^{2LK}. \end{equation} +% 噪声方差参与协方差但与均值参数解耦，同 E.1 不显式出现在 Schur 补中。 \subsubsection{多用户 Jacobian} 第 $\ell$ 颗卫星均值向量 +% \begin{equation} \boldsymbol\mu_\ell(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}},\boldsymbol\zeta_\ell) = @@ -584,9 +657,11 @@ $\begin{bmatrix}\mathbf g_\ell & j\mathbf g_\ell\end{bmatrix}$。虽然这两个 = \sum_{k=1}^{K}\zeta_{\ell,k}\mathbf g_{\ell,k}, \end{equation} +% 其中 $\mathbf g_{\ell,k}=\mathbf q_{\ell,k}\otimes\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi_k)$。 关于第 $k$ 个用户的主参数子向量 $\boldsymbol\eta_k\triangleq[\boldsymbol\xi_k^\Tran,\nu_{\mathrm{ref},k}]^\Tran\in\mathbb R^3$，由于 $\mathbf g_{\ell,k'}$ 在 $k'\neq k$ 时与 $\boldsymbol\eta_k$ 无关，Jacobian 只通过本用户的 $\mathbf g_{\ell,k}$ 列出现： +% \begin{equation} \mathbf J_{\eta_k,\ell} \triangleq @@ -596,9 +671,11 @@ $\begin{bmatrix}\mathbf g_\ell & j\mathbf g_\ell\end{bmatrix}$。虽然这两个 \mathbf D_{\ell,k} \in\mathbb C^{M_\ell T\times 3}, \end{equation} +% 其中 $\mathbf D_{\ell,k}\triangleq[\partial\mathbf g_{\ell,k}/\partial\alpha_k,\,\partial\mathbf g_{\ell,k}/\partial\beta_k,\,\partial\mathbf g_{\ell,k}/\partial\nu_{\mathrm{ref},k}]$，三列的具体表达完全平行于 \eqref{eq:A6_Dl}，只需把 $\boldsymbol\xi$、$\nu_{\mathrm{ref}}$ 替换为 $\boldsymbol\xi_k$、$\nu_{\mathrm{ref},k}$。 将所有用户的 Jacobian 横向拼接为 +% \begin{equation} \mathbf J_{\eta,\ell} = @@ -607,7 +684,9 @@ $\begin{bmatrix}\mathbf g_\ell & j\mathbf g_\ell\end{bmatrix}$。虽然这两个 \big] \in\mathbb C^{M_\ell T\times 3K}. \end{equation} +% 关于本星复增益 $[\zeta_{\ell,1}^{(r)},\zeta_{\ell,1}^{(i)},\ldots,\zeta_{\ell,K}^{(r)},\zeta_{\ell,K}^{(i)}]^\Tran$ 的 Jacobian 为 +% \begin{equation} \mathbf J_{\psi,\ell} = @@ -616,11 +695,13 @@ $\begin{bmatrix}\mathbf g_\ell & j\mathbf g_\ell\end{bmatrix}$。虽然这两个 \big] \in\mathbb C^{M_\ell T\times 2K}. \end{equation} +% $\mathbf J_{\psi,\ell}$ 的实参数化二维实子空间与复矩阵 $\mathbf G_\ell$ 的 $K$ 维复列空间等价。 \subsubsection{Fisher 信息矩阵分块与 Schur 补} 按各星条件独立性，Fisher 信息矩阵分块同 \eqref{eq:A6_Itt}--\eqref{eq:A6_Ibb}，只是块尺寸调整为 $\mathcal I_{\eta\eta}\in\mathbb R^{3K\times 3K}$、$\mathcal I_{\psi\psi}\in\mathbb R^{2LK\times 2LK}$（块对角，每星 $2K\times 2K$ 块）： +% \begin{equation} \mathcal I_{\eta\eta} = @@ -628,7 +709,9 @@ $\mathbf J_{\psi,\ell}$ 的实参数化二维实子空间与复矩阵 $\mathbf G \frac{2}{\sigma_{n,\ell}^2} \Re\!\big\{\mathbf J_{\eta,\ell}^\Herm\mathbf J_{\eta,\ell}\big\}. \end{equation} +% 由于 $\mathbf J_{\psi,\ell}$ 的实子空间等价于 $\mathbf G_\ell$ 的复列空间，关于复增益块的 Schur 补化为对 $\mathbf G_\ell$ 列空间正交补的投影。定义 +% \begin{equation} \mathcal P_{\mathbf G_\ell} \triangleq @@ -638,7 +721,9 @@ $\mathbf J_{\psi,\ell}$ 的实参数化二维实子空间与复矩阵 $\mathbf G \triangleq \mathbf I_{M_\ell T}-\mathcal P_{\mathbf G_\ell}, \end{equation} +% 则消去复增益后的 \gls{efim} 为 +% \begin{equation} \label{eq:E2_Ieff_proj} \mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}) @@ -652,7 +737,9 @@ $\mathbf J_{\psi,\ell}$ 的实参数化二维实子空间与复矩阵 $\mathbf G \big\} \in\mathbb R^{3K\times 3K}. \end{equation} +% 按用户分块写出，第 $(k,k')$ 个对角/非对角 $3\times 3$ 子块为 +% \begin{equation} \big[\mathcal I_{\mathrm e}\big]_{kk'} = @@ -665,19 +752,23 @@ $\mathbf J_{\psi,\ell}$ 的实参数化二维实子空间与复矩阵 $\mathbf G \mathbf D_{\ell,k'} \Big\}. \end{equation} +% 复系数 $\zeta_{\ell,k}^*\zeta_{\ell,k'}$ 必须保留在 $\Re\{\cdot\}$ 内，因为它和右侧厄米积都是一般复值，不能逐因子取实部。$K=1$ 时 $\zeta_\ell^*\zeta_\ell=|\zeta_\ell|^2$ 退化为实数，可提到 $\Re\{\cdot\}$ 外，此时上式即回到 \eqref{eq:A6_Ieff_final} 的单用户基线。 \subsubsection{用户分离的可辨识性条件} \eqref{eq:E2_Ieff_proj} 给出的 EFIM 非奇异性等价于多用户主参数 score 在复增益干扰参数 score 正交补上的投影列空间 ``在所有 $L$ 颗卫星上联合满秩''。具体地，记每颗卫星上的``白化主参数 Jacobian'' +% \begin{equation} \bar{\mathbf J}_{\eta,\ell} \triangleq \frac{1}{\sigma_{n,\ell}}\mathcal P_{\mathbf G_\ell}^\perp\mathbf J_{\eta,\ell}, \end{equation} +% EFIM 非奇异 $\Leftrightarrow$ 联合矩阵 $[\bar{\mathbf J}_{\eta,0}^\Tran,\ldots,\bar{\mathbf J}_{\eta,L-1}^\Tran]^\Tran$ 列满秩，即 ``$3K\le \sum_\ell M_\ell T$ 且不同用户的白化 score 之间不存在跨星全局共线性''。 正文 \S\ref{subsec:userSeparability} 给出的几何陈述——``两个用户在所有 $L$ 颗星上相干度 $\rho_{\ell,kk'}\to 1$ 时分离失效''——可由此式严格化：当某对 $(k,k')$ 满足 +% \begin{equation} \mathcal P_{\mathbf G_\ell}^\perp\mathbf g_{\ell,k} \approx @@ -685,18 +776,22 @@ EFIM 非奇异 $\Leftrightarrow$ 联合矩阵 $[\bar{\mathbf J}_{\eta,0}^\Tran,\ \mathcal P_{\mathbf G_\ell}^\perp\mathbf g_{\ell,k'}, \qquad\forall\ell, \end{equation} +% 对应 $\boldsymbol\eta_k$ 与 $\boldsymbol\eta_{k'}$ 方向上的 EFIM 块趋于秩亏，集中似然在该方向出现伪极值。多星几何提供的缓解机制——只要存在一颗星 $\ell$ 上述等式严重违反——也直接由这一秩条件读出。 \subsubsection{CRB 表达式} 多用户主参数 CRB 为 +% \begin{equation} \operatorname{CRB}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}) = \mathcal I_{\mathrm e}^{-1}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}) \in\mathbb R^{3K\times 3K}. \end{equation} +% 若只关心第 $k$ 个用户的 \gls{doa} $\boldsymbol\xi_k$，先把上式按 $(\boldsymbol\xi_k,\text{其余})$ 分块再取 Schur 补 +% \begin{equation} \operatorname{CRB}(\boldsymbol\xi_k) = @@ -707,6 +802,7 @@ EFIM 非奇异 $\Leftrightarrow$ 联合矩阵 $[\bar{\mathbf J}_{\eta,0}^\Tran,\ \big]_{\boldsymbol\xi_k,\boldsymbol\xi_k} \in\mathbb R^{2\times 2}, \end{equation} +% 即 $\mathcal I_{\mathrm e}^{-1}$ 中对应 $\boldsymbol\xi_k$ 行/列的 $2\times 2$ 子块。$\mathbf C_{\xi,k}$ 同时被后续波束成形章节作为鲁棒设计的理论上界使用。 \medskip diff --git a/parts/F-timestampErrCrb.tex b/parts/F-timestampErrCrb.tex index 6e260f7..e63c1a8 100644 --- a/parts/F-timestampErrCrb.tex +++ b/parts/F-timestampErrCrb.tex @@ -8,6 +8,7 @@ \label{subsec:F1_fimBlockStruct} 记第 $\ell$ 颗卫星观测均值向量为 +% \begin{equation} \boldsymbol\mu_\ell(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}},\delta_\ell,\boldsymbol\zeta_\ell) = @@ -15,7 +16,9 @@ \zeta_{\ell,k}\, \mathbf g_{\ell,k}(\boldsymbol\xi_k,\nu_{\mathrm{ref},k},\delta_\ell), \end{equation} +% 其中 +% \begin{equation} \mathbf g_{\ell,k}(\boldsymbol\xi_k,\nu_{\mathrm{ref},k},\delta_\ell) = @@ -28,9 +31,11 @@ s_k(t-\delta_\ell)\, e^{j\nu_{\ell,k}(\boldsymbol\xi_k,\nu_{\mathrm{ref},k})(t-\delta_\ell)}. \end{equation} +% 参考星 $\ell_{\mathrm{ref}}$ 有 $\delta_{\ell_{\mathrm{ref}}}\equiv 0$，仅 $L-1$ 个非参考星贡献 $\delta_\ell$ 自由度。 按 \S\ref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb} 的 Slepian--Bangs 公式，各星条件独立的圆对称复高斯模型下 Fisher 信息矩阵元素为 +% \begin{equation} \big[\mathcal I(\boldsymbol\kappa_{\mathrm{te}})\big]_{ij} = @@ -41,7 +46,9 @@ \frac{\partial\boldsymbol\mu_\ell}{\partial\kappa_j} \right\}. \end{equation} +% 按 $(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}},\boldsymbol\delta,\boldsymbol\psi_\zeta)$ 三段分块为 +% \begin{equation} \label{eq:F1_three_block} \mathcal I @@ -54,6 +61,7 @@ \end{equation} 由于不同卫星之间噪声独立、$\delta_\ell$ 仅出现在第 $\ell$ 颗卫星的均值向量中，$\mathcal I_{\delta\delta}$ 是 $(L-1)\times(L-1)$ 的\emph{对角矩阵}（参考星对应行/列已去除）： +% \begin{equation} \big[\mathcal I_{\delta\delta}\big]_{\ell\ell'} = @@ -67,12 +75,14 @@ \qquad \ell,\ell'\neq\ell_{\mathrm{ref}}. \end{equation} +% $\mathcal I_{\delta\psi}$ 同样具有按 $\ell$ 的块对角结构：第 $\ell$ 个 $\delta$ 行只与本星复增益 $\{\zeta_{\ell,k}^{(r)},\zeta_{\ell,k}^{(i)}\}_{k=1}^K$ 列有非零分块。这两个性质使下文 Schur 消去可逐星独立完成。 \subsection{Schur complement 消去 \texorpdfstring{$\boldsymbol\delta$}{δ}} \label{subsec:F2_schurDelta} 先消复增益。沿用 \S\ref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb} 的复增益投影做法，对每颗卫星定义对其 $K$ 列空时模板 $\mathbf G_\ell=[\mathbf g_{\ell,1},\ldots,\mathbf g_{\ell,K}]$ 的正交投影 +% \begin{equation} \mathcal P_{\mathbf G_\ell} = @@ -82,7 +92,9 @@ $\mathcal I_{\delta\psi}$ 同样具有按 $\ell$ 的块对角结构：第 $\ell$ = \mathbf I_{M_\ell T}-\mathcal P_{\mathbf G_\ell}. \end{equation} +% \eqref{eq:F1_three_block} 关于复增益块的 Schur 补可写为 +% \begin{equation} \label{eq:F2_after_psi} \mathcal I^{(\psi)} @@ -120,7 +132,9 @@ $\mathcal I_{\delta\psi}$ 同样具有按 $\ell$ 的块对角结构：第 $\ell$ \end{bmatrix}, \end{aligned} \end{equation} +% 其中 $\mathbf J_{\eta,\ell}=\partial\boldsymbol\mu_\ell/\partial\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$、$\mathbf j_{\delta,\ell}=\partial\boldsymbol\mu_\ell/\partial\delta_\ell$ 均在小误差区于 $\delta_\ell=0$ 处展开。Jacobian $\mathbf J_{\eta,\ell}$ 的列结构与 \S\ref{subsec:E2_multiUserMultiSatCrb} 完全一致；只需在 $\mathbf j_{\delta,\ell}$ 处显式展开 $\delta_\ell$ 进入的两条途径——相位偏移 $-\nu_{\ell,k}\delta_\ell$ 与导频时间偏移 $s_k(t-\delta_\ell)$： +% \begin{equation} \label{eq:F2_jdelta} \frac{\partial\mathbf g_{\ell,k}}{\partial\delta_\ell}\bigg|_{\delta_\ell=0} @@ -133,9 +147,11 @@ $\mathcal I_{\delta\psi}$ 同样具有按 $\ell$ 的块对角结构：第 $\ell$ = \big[\dot s_k(t)-j\nu_{\ell,k}s_k(t)\big]e^{j\nu_{\ell,k}t}, \end{equation} +% 其中 $\dot s_k(t)\triangleq -\partial s_k(t-\delta_\ell)/\partial\delta_\ell\big|_{\delta_\ell=0}$ 为导频的时间导数（离散场景下取差分近似）。$\mathbf j_{\delta,\ell}=\sum_k\zeta_{\ell,k}\,\partial\mathbf g_{\ell,k}/\partial\delta_\ell$。 由于 $\mathcal I_{\delta\delta}'$ 对角，对 $\boldsymbol\delta$ 的 Schur 消去逐星可写 +% \begin{equation} \label{eq:F2_efim_final} \mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}) @@ -147,6 +163,7 @@ $\mathcal I_{\delta\psi}$ 同样具有按 $\ell$ 的块对角结构：第 $\ell$ \mathbf v_{\eta\delta,\ell}'\, \mathbf v_{\eta\delta,\ell}'^{\,\Tran}, \end{equation} +% 其中 $\mathbf v_{\eta\delta,\ell}'$ 为 $\mathcal I_{\eta\delta}'$ 中第 $\ell$ 列。这就是``逐星扣除 $\delta_\ell$ 引入的信息损失''的解析形式。 特别地，参考星 $\ell_{\mathrm{ref}}$ 不贡献 $\delta$ 自由度，对 EFIM 的贡献保持与完全相干情形相同；信息损失完全来自其余 $L-1$ 颗带时间戳误差的卫星。 @@ -172,6 +189,7 @@ $\boldsymbol\delta$ 在导频自相关半宽 $T_{\mathrm{ac}}$ 处的非线性 \paragraph{投影简化} 单用户下每颗卫星 $\mathbf G_\ell$ 退化为单列 $\mathbf g_\ell=\mathbf q_\ell\otimes\mathbf a_\ell$，复增益投影 $\mathcal P_{\mathbf G_\ell}$ 退化为 $\mathbf g_\ell\mathbf g_\ell^\Herm/\|\mathbf g_\ell\|^2$，与 \S\ref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb} 的单用户基线一致。\eqref{eq:F2_after_psi} 中 +% \begin{equation} \mathcal I_{\eta\eta}' = @@ -183,10 +201,12 @@ $\boldsymbol\delta$ 在导频自相关半宽 $T_{\mathrm{ac}}$ 处的非线性 \frac{2|\zeta_1|^2}{\sigma_{n,1}^2} \Re\!\big\{\mathbf D_1^\Herm\mathcal P_{\mathbf g_1}^\perp\mathbf D_1\big\}\bigg|_{\delta_1=0}, \end{equation} +% 其中 $\mathbf D_\ell$ 沿用 \eqref{eq:A6_Dl} 定义，$\delta_1=0$ 处求值即得到完全相干情形的 EFIM。 \paragraph{$\delta_1$ 块} $\boldsymbol\delta=[\delta_1]$ 退化为标量，\eqref{eq:F2_jdelta} 中 +% \begin{equation} \big[\dot{\mathbf q}_1^{\,\mathrm{te}}\big]_t = @@ -196,7 +216,9 @@ $\boldsymbol\delta=[\delta_1]$ 退化为标量，\eqref{eq:F2_jdelta} 中 = \zeta_1\,\dot{\mathbf q}_1^{\,\mathrm{te}}\otimes\mathbf a_1(\boldsymbol\xi). \end{equation} +% 对应的标量 Fisher 信息为 +% \begin{equation} \mathcal I_{\delta\delta}' = @@ -205,10 +227,12 @@ $\boldsymbol\delta=[\delta_1]$ 退化为标量，\eqref{eq:F2_jdelta} 中 \cdot \Re\!\big\{(\dot{\mathbf q}_1^{\,\mathrm{te}})^\Herm\mathcal P_{\mathbf q_1}^\perp\dot{\mathbf q}_1^{\,\mathrm{te}}\big\}, \end{equation} +% 其中 $\mathcal P_{\mathbf q_1}^\perp=\mathbf I_T-\mathbf q_1\mathbf q_1^\Herm/\|\mathbf q_1\|^2$。化简利用了 Kronecker 内积关系 $(\mathbf u_1\otimes\mathbf v_1)^\Herm(\mathbf u_2\otimes\mathbf v_2)=(\mathbf u_1^\Herm\mathbf u_2)(\mathbf v_1^\Herm\mathbf v_2)$，并把空间部分因式 $\|\mathbf a_1\|^2$ 提出。 \paragraph{交叉项与 EFIM 闭式} 对 $(\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}},\delta_1)$ 的交叉项类似可写为 +% \begin{equation} \mathbf v'_{\eta\delta,1} = @@ -219,7 +243,9 @@ $\boldsymbol\delta=[\delta_1]$ 退化为标量，\eqref{eq:F2_jdelta} 中 \big[\zeta_1\,\dot{\mathbf q}_1^{\,\mathrm{te}}\otimes\mathbf a_1\big] \Big\}\in\mathbb R^3. \end{equation} +% 代入 \eqref{eq:F2_efim_final} 得到 $K=1, L=2$ 情形下的闭式 EFIM +% \begin{equation} \label{eq:F4_efim_K1L2} \mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}})\bigg|_{K=1,L=2} @@ -228,6 +254,7 @@ $\boldsymbol\delta=[\delta_1]$ 退化为标量，\eqref{eq:F2_jdelta} 中 - \frac{\mathbf v'_{\eta\delta,1}\,\mathbf v'^{\Tran}_{\eta\delta,1}}{\mathcal I_{\delta\delta}'}, \end{equation} +% 即在双星基线的 EFIM 上扣除一个秩一信息损失项，损失大小由非参考星上 $\delta_1$ 与主参数的 score 重叠决定。 \paragraph{特例：导频为单音常包络} diff --git a/parts/G-multiFrameCrb.tex b/parts/G-multiFrameCrb.tex index e1417c9..673ea04 100644 --- a/parts/G-multiFrameCrb.tex +++ b/parts/G-multiFrameCrb.tex @@ -13,6 +13,7 @@ \item 第~\ref{subsec:dynamicRelaxedModel} 小节中的 relaxed 连续相位模型，即保留连续相位模板，但将每个观测块的复干扰系数 $\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp,rel}}$ 视为自由参数。 \end{enumerate} 主参数统一定义为 +% \begin{equation} \boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}} = @@ -24,11 +25,13 @@ \qquad \boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}\in\mathbb R^3, \end{equation} +% 并将 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 作为干扰参数处理。为避免重复建模，这里只保留 \gls{crb} 推导所需的最小定义、导数记号与 \gls{fim}/EFIM 结构。 \subsubsection{沿用正文模型的最小定义与导数记号} 沿用第~\ref{subsec:dynamicCpModel} 小节中的连续相位模板与块级向量化方式。对任意卫星 $\ell=0,\ldots,L-1$ 与帧 $p=0,\ldots,P-1$，定义连续相位模板 +% \begin{equation} \phi^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}(t) = @@ -38,13 +41,17 @@ \qquad t=0,\ldots,T-1, \end{equation} +% 其中 +% \begin{equation} \nu_\ell = f_{\nu,\ell}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}}), \qquad \dot\nu_\ell = f_{\dot\nu,\ell}(\boldsymbol\xi,\dot\nu_{\mathrm{ref}}). \end{equation} +% 按时间堆叠后定义 +% \begin{equation} \mathbf q^{\mathrm{cp}}_{\ell,p} \triangleq @@ -56,7 +63,9 @@ \end{bmatrix} \in\mathbb C^{T\times 1}, \end{equation} +% 以及向量化后的空时模板 +% \begin{equation} \mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p} \triangleq @@ -65,12 +74,15 @@ \end{equation} 对角度参数 $x\in\{\alpha,\beta\}$，记导向矢量导数为 +% \begin{equation} \mathbf a_{\ell,x} \triangleq \frac{\partial \mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi)}{\partial x}. \end{equation} +% 由链式法则可得时间模板导数 +% \begin{equation} \frac{\partial \mathbf q^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}}{\partial x} = @@ -85,7 +97,9 @@ \mathbf q^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}, \label{eq:A7_qx_cp} \end{equation} +% 并且 +% \begin{equation} \frac{\partial \mathbf q^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}}{\partial \nu_{\mathrm{ref}}} = @@ -98,9 +112,11 @@ \frac{j}{2}\operatorname{diag}(t_{p,0}^2,\ldots,t_{p,T-1}^2)\mathbf q^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}, \label{eq:A7_qgamma_cp} \end{equation} +% 其中已利用正文中的几何参数化：$\partial \nu_\ell/\partial \nu_{\mathrm{ref}}=1$，$\partial \dot\nu_\ell/\partial \dot\nu_{\mathrm{ref}}=1$。这里的显式导数采用正文中的加性参考星参数化，$\nu_\ell=\nu_{\mathrm{ref}}+\Delta\nu_\ell(\boldsymbol\xi)$ 且 $\dot\nu_\ell=\dot\nu_{\mathrm{ref}}+\Delta\dot\nu_\ell(\boldsymbol\xi)$；若改用一般映射，只需将上述两个导数替换为对应链式法则项。 于是空时模板对主参数与 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 的导数分别为 +% \begin{equation} \mathbf d^{\mathrm{cp}}_{\ell,p,\alpha} \triangleq @@ -133,7 +149,9 @@ = \frac{\partial \mathbf q^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}}{\partial \dot\nu_{\mathrm{ref}}}\otimes \mathbf a_\ell. \end{equation} +% 记 +% \begin{equation} \mathbf D^{\mathrm{cp}}_{\eta,\ell,p} \triangleq @@ -144,7 +162,9 @@ \end{bmatrix} \in\mathbb C^{M_\ell T\times 3}, \end{equation} +% 以及 +% \begin{equation} \mathbf d^{\mathrm{cp}}_{\dot\nu,\ell,p} \triangleq @@ -153,13 +173,16 @@ \end{equation} 将所有 $(\ell,p)$ 的向量化观测按任意固定顺序堆叠为 $\tilde{\mathbf y}$。为避免块顺序引起歧义，记 +% \begin{equation} \mathcal B \triangleq \{(\ell,p):\ell=0,\ldots,L-1, \ p=0,\ldots,P-1\}, \end{equation} +% 则对应噪声协方差为 +% \begin{equation} \mathbf R_n = @@ -169,8 +192,10 @@ \Big), \label{eq:A7_Rn_cp_stack} \end{equation} +% 其中每个 $(\ell,p)$ 观测块对应一个 $M_\ell T\times M_\ell T$ 的对角噪声协方差块；同一卫星的不同帧共享同一 $\sigma_{n,\ell}^2$。 由于这里所有待估参数仅通过均值向量进入，而 $\mathbf R_n$ 与这些参数无关，因此对任意实参数 $\kappa_i,\kappa_j$，Fisher 信息矩阵元素统一写为 +% \begin{equation} [\mathcal I(\boldsymbol\kappa)]_{ij} = @@ -185,6 +210,7 @@ \subsubsection{连续相位模型下的 CRB} 连续相位模型写为 +% \begin{equation} \tilde{\mathbf y}^{\mathrm{cp}}_{\ell,p} = @@ -194,12 +220,16 @@ \qquad \tilde{\mathbf n}_{\ell,p}\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma_{n,\ell}^2\mathbf I_{M_\ell T}). \end{equation} +% 记 +% \begin{equation} \zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}\triangleq \rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}e^{j\chi_\ell},\qquad \rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}\in\mathbb R_{\ge0}. \end{equation} +% 在常规局部 \gls{crb} 推导中默认真实工作点满足 $\rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}>0$，从而幅度--相位参数化在该点局部可微且相位参数可辨识；若某些块的幅度为零，则对应相位不可辨识，应在数值实现中删除该相位列或采用广义逆形式的 EFIM。 则第 $(\ell,p)$ 个观测块的均值为 +% \begin{equation} \boldsymbol\mu^{\mathrm{cp}}_{\ell,p} = @@ -207,6 +237,7 @@ \end{equation} 定义连续相位模型的干扰参数向量为 +% \begin{equation} \boldsymbol\psi_{\mathrm{cp},\mu} = @@ -216,7 +247,9 @@ \{\rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}:\ell=0,\ldots,L-1,\ p=0,\ldots,P-1\} \Big]^{\Tran}, \end{equation} +% 并令总参数向量为 +% \begin{equation} \boldsymbol\kappa_{\mathrm{cp}} = @@ -226,6 +259,7 @@ \end{equation} 对单个观测块，有 +% \begin{equation} \frac{\partial \boldsymbol\mu^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}}{\partial \boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}} = @@ -238,7 +272,9 @@ \zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}\mathbf d^{\mathrm{cp}}_{\dot\nu,\ell,p}, \label{eq:A7_Jgamma_cp_block} \end{equation} +% 以及对任意 $m\in\{0,\ldots,L-1\}$ 与任意 $(m,n)$， +% \begin{equation} \frac{\partial \boldsymbol\mu^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}}{\partial \chi_m} = @@ -259,6 +295,7 @@ \end{equation} 将所有观测块联合堆叠后，记相应 Jacobian 为 +% \begin{equation} \mathbf J^{\mathrm{cp}}_{\eta} \triangleq @@ -268,7 +305,9 @@ \triangleq \frac{\partial \boldsymbol\mu^{\mathrm{cp}}}{\partial \boldsymbol\psi_{\mathrm{cp},\mu}}. \end{equation} +% 于是根据 \eqref{eq:A7_FIM_general}，连续相位模型的 FIM 分块为 +% \begin{equation} \mathcal I_{\eta\eta}^{\mathrm{cp}} = @@ -296,7 +335,9 @@ \mathbf J^{\mathrm{cp}}_{\psi} \right\}. \end{equation} +% 因此，主参数 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}$ 在连续相位模型下的 \gls{efim} 为 +% \begin{equation} \mathcal I_{\mathrm e}^{\mathrm{cp}}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}) = @@ -307,8 +348,10 @@ \mathcal I_{\psi\eta}^{\mathrm{cp}}, \label{eq:A7_Ieff_cp} \end{equation} +% 其中上式默认 $\mathcal I_{\psi\psi}^{\mathrm{cp}}$ 在考虑的局部工作点非奇异。若由于低信噪比、零幅度块或几何退化导致干扰参数块秩亏，则数值仿真中应将 $\big(\mathcal I_{\psi\psi}^{\mathrm{cp}}\big)^{-1}$ 替换为 Moore--Penrose 广义逆 $\big(\mathcal I_{\psi\psi}^{\mathrm{cp}}\big)^{\dagger}$，并将所得结果解释为广义 EFIM。 从而其 CRB 为 +% \begin{equation} \operatorname{CRB}_{\mathrm{cp}}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}) = @@ -323,6 +366,7 @@ 为解释 known-rate 与 unknown-rate 下 \gls{doa} bound 可能重合的现象，本小节把 Doppler-rate 干扰参数从其他幅度/相位干扰参数中单独分离出来。 记 +% \begin{equation} \boldsymbol\psi_{\mathrm{cp},0} = @@ -331,8 +375,10 @@ \{\rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}:\ell=0,\ldots,L-1,\ p=0,\ldots,P-1\} \Big]^\Tran \end{equation} +% 为不含 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 的幅度/相位干扰参数。 若 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 已知，则先消去 $\boldsymbol\psi_{\mathrm{cp},0}$ 后，主参数 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}$ 的 known-rate EFIM 可写为 +% \begin{equation} \mathcal I_{\mathrm e}^{\mathrm{cp,K}} = @@ -343,8 +389,10 @@ \mathcal I_{\psi_0\eta}^{(0)}, \label{eq:A7_CP_K_EFIM} \end{equation} +% 其中上标 $(0)$ 表示只按参数 $(\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}},\boldsymbol\psi_{\mathrm{cp},0})$ 构造的 FIM 分块。 若进一步把 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 作为干扰参数，则可在消去 $\boldsymbol\psi_{\mathrm{cp},0}$ 后，将扩展 EFIM 按 $(\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}},\dot\nu_{\mathrm{ref}})$ 分块为 +% \begin{equation} \mathcal I_{\mathrm e}^{\mathrm{cp,ext}} = @@ -354,7 +402,9 @@ \end{bmatrix}. \label{eq:A7_CP_ext_EFIM_partition} \end{equation} +% 于是 unknown-rate EFIM 为 +% \begin{equation} \mathcal I_{\mathrm e}^{\mathrm{cp,U}} = @@ -365,10 +415,12 @@ \mathbf i_{\dot\nu\eta}. \label{eq:A7_CP_U_EFIM_from_K} \end{equation} +% 式~\eqref{eq:A7_CP_U_EFIM_from_K} 中的第二项不是一个必然很大的性能退化项，而是对 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}$ 的 residualized score 与 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 的 residualized nuisance score 之间耦合程度的 accounting。 若该残差耦合很弱，则 known-rate 与 unknown-rate bound 可以非常接近。 进一步将 known-rate EFIM 和 rate-coupling 向量按 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}=[\boldsymbol\xi^\Tran,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$ 分块： +% \begin{equation} \mathcal I_{\eta\eta}^{\mathrm K} = @@ -385,17 +437,21 @@ \end{bmatrix}. \label{eq:A7_CP_K_partition_xi_nu_rate} \end{equation} +% 如果 +% \begin{equation} \mathbf i_{\xi\dot\nu}=\mathbf 0, \qquad \mathbf a_{\xi\nu}^{\mathrm K}=\mathbf 0, \label{eq:A7_SS_xi_rate_orthogonality_condition} \end{equation} +% 则消去 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 只会改变 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 对应的标量块，而不会改变 \gls{doa} 的 CRB 子块。 换言之，\gls{doa} 的 known-rate 与 unknown-rate CRB 完全一致。 在 single-satellite multi-frame case 中，若唯一卫星即 reference satellite，则 +% \begin{equation} f_{\nu,\ell_{\mathrm{ref}}}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}}) = @@ -406,6 +462,7 @@ \dot\nu_{\mathrm{ref}}. \label{eq:A7_ref_link_mapping_no_xi} \end{equation} +% 因此 $\partial \nu_{\ell_{\mathrm{ref}}}/\partial x=0$ 且 $\partial \dot\nu_{\ell_{\mathrm{ref}}}/\partial x=0$ 对 $x\in\{\alpha,\beta\}$ 成立。 由式~\eqref{eq:A7_qx_cp} 可知，reference-link 的 \gls{doa} 导数不含 Doppler-mapping-induced temporal phase derivative，而只含空间阵列导向导数。 在幅度和公共相位干扰方向被投影消去后，该 \gls{doa} score 的残差部分是与 $\mathbf a_{\ell_{\mathrm{ref}}}(\boldsymbol\xi)$ 正交的空间切向量；相反，$\nu_{\mathrm{ref}}$ 和 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 的残差 score 仍具有沿 reference steering vector 的时间相位结构。 @@ -413,6 +470,7 @@ 这解释了 single-satellite multi-frame known-rate 与 unknown-rate \gls{doa} CRB 的严格重合。 在 multi-satellite case 中，非参考星通常满足 +% \begin{equation} \nu_\ell = @@ -424,6 +482,7 @@ \qquad \ell\neq\ell_{\mathrm{ref}}. \end{equation} +% 此时 \gls{doa} 导数包含由 $\partial\Delta\nu_\ell/\partial x$ 与 $\partial\Delta\dot\nu_\ell/\partial x$ 诱导的时间相位分量。 因此，$\mathbf i_{\xi\dot\nu}$ 和 $\mathbf a_{\xi\nu}^{\mathrm K}$ 一般不再严格为零，known-rate 与 unknown-rate \gls{doa} CRB 的完全相等性也不应被作为一般结论。 若数值上 multi-satellite \gls{doa} bound 仍与 known-rate benchmark 基本重合，更稳妥的解释是：在所选 representative geometry 下，\gls{doa} residual score 与 residualized Doppler-rate nuisance direction 的耦合较弱。 @@ -432,6 +491,7 @@ \subsubsection{relaxed 连续相位模型下的 CRB} 沿用第~\ref{subsec:dynamicRelaxedModel} 小节中的 relaxed 连续相位处理，每个观测块的复干扰系数 $\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp,rel}}$ 视为自由参数，即 +% \begin{equation} \tilde{\mathbf y}^{\mathrm{cp}}_{\ell,p} = @@ -441,9 +501,11 @@ \qquad \zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp,rel}}=\zeta^{(r)}_{\ell,p}+j\zeta^{(i)}_{\ell,p}. \end{equation} +% 这里模板仍然是 $\mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}$，因此该模型只是放松了块复系数结构，并未放弃跨帧连续相位模板。 令扩展参数向量为 +% \begin{equation} \boldsymbol\eta_{\mathrm{ext}} \triangleq @@ -459,7 +521,9 @@ \dot\nu_{\mathrm{ref}} \end{bmatrix}, \end{equation} +% 并记 +% \begin{equation} \mathbf D^{\mathrm{rel}}_{\mathrm{ext},\ell,p} \triangleq @@ -471,13 +535,17 @@ \end{bmatrix} \in\mathbb C^{M_\ell T\times 4}. \end{equation} +% 则单个观测块均值 +% \begin{equation} \boldsymbol\mu^{\mathrm{rel}}_{\ell,p} = \zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp,rel}}\mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{ext}}) \end{equation} +% 对 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{ext}}$ 的 Jacobian 为 +% \begin{equation} \mathbf J^{\mathrm{rel}}_{\mathrm{ext},\ell,p} \triangleq @@ -485,7 +553,9 @@ = \zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp,rel}}\mathbf D^{\mathrm{rel}}_{\mathrm{ext},\ell,p}, \end{equation} +% 对块复干扰系数的实部与虚部的 Jacobian 为 +% \begin{equation} \mathbf J^{\mathrm{rel}}_{\zeta,\ell,p} \triangleq @@ -500,6 +570,7 @@ \end{equation} 由此构造对应的 FIM 分块，并对所有块复系数执行 Schur 补，可得扩展参数 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{ext}}$ 的 \gls{efim} +% \begin{equation} \mathcal I_{\mathrm e}^{\mathrm{rel}}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{ext}}) = @@ -512,7 +583,9 @@ \right\}, \label{eq:A7_Ieff_rel_ext} \end{equation} +% 其中 +% \begin{equation} \mathcal P_{\mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}} \triangleq @@ -527,6 +600,7 @@ \end{equation} 若关心的是联合参数 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{ext}}=[\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}^{\Tran},\dot\nu_{\mathrm{ref}}]^{\Tran}$ 的 CRB，则直接有 +% \begin{equation} \operatorname{CRB}_{\mathrm{rel}}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{ext}}) = @@ -535,6 +609,7 @@ \end{equation} 若进一步仍只把 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}$ 视为感兴趣参数，而将 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 作为干扰参数，则将 \eqref{eq:A7_Ieff_rel_ext} 按 +% \begin{equation} \mathcal I_{\mathrm e}^{\mathrm{rel}}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{ext}}) = @@ -543,7 +618,9 @@ \mathcal I_{\dot\nu\eta}^{\mathrm{rel}} & \mathcal I_{\dot\nu\dot\nu}^{\mathrm{rel}} \end{bmatrix} \end{equation} +% 分块，则对应的主参数 \gls{efim} 为 +% \begin{equation} \mathcal I_{\mathrm e,\eta}^{\mathrm{rel}}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}) = @@ -554,7 +631,9 @@ \mathcal I_{\dot\nu\eta}^{\mathrm{rel}}, \label{eq:A7_Ieff_rel_eta} \end{equation} +% 于是 +% \begin{equation} \operatorname{CRB}_{\mathrm{rel}}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}) = @@ -575,6 +654,7 @@ 变大的原因。 将所有观测块堆叠后的均值 Jacobian 写为 +% \begin{equation} \mathbf J = @@ -590,8 +670,10 @@ \triangleq \frac{\partial\boldsymbol\mu}{\partial\boldsymbol\psi_\mu}. \end{equation} +% 这里 $\boldsymbol\psi_\mu$ 表示只影响均值向量的干扰参数子集；噪声方差参数若并入完整参数， 由于与均值参数 Fisher 块解耦，不影响下面的投影解释。令 +% \begin{equation} \bar{\mathbf J}_{\eta} \triangleq @@ -601,7 +683,9 @@ \triangleq \mathbf R_n^{-1/2}\mathbf J_{\psi} \end{equation} +% 为白化 Jacobian。则 Schur 补可写成 +% \begin{equation} \mathcal I_{\mathrm{e}} = @@ -619,7 +703,9 @@ \bar{\mathbf J}_{\psi}^{\Herm}. \label{eq:A7_efim_projection_interpret} \end{equation} +% 因此，对任意实扰动 $\delta\boldsymbol\eta$，有 +% \begin{equation} \delta\boldsymbol\eta^\Tran \mathcal I_{\mathrm{e}} @@ -631,7 +717,9 @@ \right\|_2^2. \label{eq:A7_efim_quadratic_projection} \end{equation} +% 由此得到如下判据： +% \begin{equation} \mathcal I_{\mathrm{e}}\ \text{奇异} \quad\Longleftrightarrow\quad @@ -643,23 +731,29 @@ \mathbf 0, \label{eq:A7_exact_absorbed_direction} \end{equation} +% 也即 +% \begin{equation} \bar{\mathbf J}_{\eta}\delta\boldsymbol\eta \in \operatorname{range}(\bar{\mathbf J}_{\psi}). \label{eq:A7_range_absorbed_direction} \end{equation} +% 近奇异情形对应于 +% \begin{equation} \bar{\mathbf J}_{\eta}\delta\boldsymbol\eta \approx \bar{\mathbf J}_{\psi}\delta\boldsymbol\psi, \label{eq:A7_near_nuisance_absorption} \end{equation} +% 即主参数扰动产生的一阶均值变化可以由干扰参数扰动近似表示。 为了把这种近似表示写成可度量的量，定义最小投影角 +% \begin{equation} \sin^2\theta_{\min} \triangleq @@ -676,6 +770,7 @@ }. \label{eq:A7_min_projection_angle} \end{equation} +% 式~\eqref{eq:A7_efim_quadratic_projection} 表明，EFIM 在某个方向上的有效信息正比于该方向 score 在干扰子空间正交补上的残余能量。因此，当 $\theta_{\min}\approx0$ 时， $\mathcal I_{\mathrm{e}}$ 会出现小特征值；若同时多星几何使其他方向的信息快速增加， @@ -683,6 +778,7 @@ $\mathcal I_{\mathrm{e}}$ 会出现小特征值；若同时多星几何使其他 接下来把上述投影解释专门用于 \gls{doa}--Doppler 耦合。将 EFIM 按 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}=[\boldsymbol\xi^\Tran,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$ 分块为 +% \begin{equation} \mathcal I_{\mathrm{e}} = @@ -692,14 +788,18 @@ $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}=[\boldsymbol\xi^\Tran,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$ \end{bmatrix}. \label{eq:A7_efim_xi_nu_partition} \end{equation} +% 若 $\boldsymbol\xi$ 已知，则参考 Doppler 的 scalar bound 为 +% \begin{equation} C_{\nu}^{\mathrm{sc}} = \mathcal I_{\nu\nu}^{-1}. \label{eq:A7_nu_scalar_bound} \end{equation} +% 若 $\boldsymbol\xi$ 未知，则 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 的边际 Fisher 信息为 +% \begin{equation} \mathcal I_{\nu|\xi} = @@ -710,15 +810,19 @@ $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}=[\boldsymbol\xi^\Tran,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$ \mathcal I_{\xi\nu}, \label{eq:A7_nu_given_xi_schur} \end{equation} +% 对应边际 CRB 为 +% \begin{equation} C_{\nu}^{\mathrm{mar}} = \mathcal I_{\nu|\xi}^{-1}. \label{eq:A7_nu_marginal_bound} \end{equation} +% 为遵守第~\ref{sec:assumptionsAndNotation} 节中 $\rho$ 只表示幅度的约定，这里不用 $\rho$ 表示相关系数， 而定义局部 \gls{doa}--Doppler 耦合比例 +% \begin{equation} \gamma_{\xi,\nu}^{2} \triangleq @@ -731,8 +835,10 @@ $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}=[\boldsymbol\xi^\Tran,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$ }. \label{eq:A7_xi_nu_coupling_fraction} \end{equation} +% 在 $\mathcal I_{\mathrm{e}}$ 半正定且 $\mathcal I_{\nu\nu}>0$ 的正则情形下， $0\leq\gamma_{\xi,\nu}^{2}\leq1$，并且 +% \begin{equation} \mathcal I_{\nu|\xi} = @@ -743,7 +849,9 @@ $0\leq\gamma_{\xi,\nu}^{2}\leq1$，并且 \frac{1}{\mathcal I_{\nu\nu}(1-\gamma_{\xi,\nu}^{2})}. \label{eq:A7_nu_info_after_coupling} \end{equation} +% 于是边际化 \gls{doa} 所造成的 Doppler 标准差放大量为 +% \begin{equation} \frac{\sqrt{C_{\nu}^{\mathrm{mar}}}} {\sqrt{C_{\nu}^{\mathrm{sc}}}} @@ -751,11 +859,13 @@ $0\leq\gamma_{\xi,\nu}^{2}\leq1$，并且 \frac{1}{\sqrt{1-\gamma_{\xi,\nu}^{2}}}. \label{eq:A7_nu_std_inflation} \end{equation} +% 这说明即使多星使 $\mathcal I_{\nu\nu}$ 增大，只要 $\mathcal I_{\nu\xi}\mathcal I_{\xi\xi}^{\dagger}\mathcal I_{\xi\nu}$ 同时较大， Schur 补后的 $\mathcal I_{\nu|\xi}$ 仍然可能增长缓慢。 若用上标 $(L)$ 表示 $L$ 颗协作卫星下的量，则参考 Doppler 的多星边际增益可写为 +% \begin{equation} G_{\nu}(L) = @@ -773,6 +883,7 @@ Schur 补后的 $\mathcal I_{\nu|\xi}$ 仍然可能增长缓慢。 }. \label{eq:A7_multisat_nu_gain} \end{equation} +% 因此，$\nu_{\mathrm{ref}}$ 的多星增益由两个因子共同决定：一个是 scalar 信息 $\mathcal I_{\nu\nu}^{(L)}$ 的能量叠加，另一个是耦合惩罚 $1-\gamma_{\xi,\nu}^{2,(L)}$。这解释了为什么两星或少数多星情形中，角度 CRB 可能因 @@ -805,6 +916,7 @@ $\sqrt{C_{\nu}^{\mathrm{mar}}}$ 改善有限，同时 $\gamma_{\xi,\nu}^{2}$ 较 为了描述全局 profile likelihood 的离散多峰结构，需要单独分析帧起始时刻集合所诱导的谱窗口。 按照表~\ref{tab:indexDimensionNotation} 的约定，$\tau_p$ 表示第 $p$ 帧起始点相对于参考时刻的离散采样偏移， 归一化角 Doppler 偏移记为 $\Delta\nu$。若只保留由帧起始时刻造成的公共相位项，则跨帧相干项可写为 +% \begin{equation} W_{\mathcal P}(\Delta\nu) \triangleq @@ -812,8 +924,10 @@ $\sqrt{C_{\nu}^{\mathrm{mar}}}$ 改善有限，同时 $\gamma_{\xi,\nu}^{2}$ 较 \qquad w_p\geq0. \label{eq:A7_frame_window_general} \end{equation} +% 这里 $w_p$ 可以看作在局部线性化和幅度消元后，第 $p$ 帧对 Doppler 匹配统计量的等效权重。 对于周期帧，$\tau_p=p\Delta\tau_{\mathrm{f}}$。若 $w_p$ 在短窗口内近似常数，则 +% \begin{equation} W_{\mathcal P}(\Delta\nu) \propto @@ -827,7 +941,9 @@ $\sqrt{C_{\nu}^{\mathrm{mar}}}$ 改善有限，同时 $\gamma_{\xi,\nu}^{2}$ 较 }. \label{eq:A7_frame_window_dirichlet} \end{equation} +% 因此所有满足 +% \begin{equation} \Delta\nu = @@ -839,18 +955,22 @@ $\sqrt{C_{\nu}^{\mathrm{mar}}}$ 改善有限，同时 $\gamma_{\xi,\nu}^{2}$ 较 \qquad k\in\mathbb Z, \label{eq:A7_tooth_spacing_discrete} \end{equation} +% 的 Doppler 偏移在帧起始点上具有相同相位。换算到物理 Doppler，利用 $\nu=2\pi\nu^{\mathrm{Hz}}T_{\mathrm s}$，可得 +% \begin{equation} \Delta\nu_{\mathrm{tooth}}^{\mathrm{Hz}} = \frac{1}{\Delta\tau_{\mathrm{f}}T_{\mathrm s}}. \label{eq:A7_tooth_spacing_hz} \end{equation} +% 这解释了为什么周期多帧目标函数会出现以 $1/(\Delta\tau_{\mathrm{f}}T_{\mathrm s})$ 为间隔的 Doppler comb branches。 有限长度的 pilot block 破坏了这种完全等价性。令每帧保留 $T$ 个采样点，块内相关因子为 +% \begin{equation} R_T(\Delta\nu) \triangleq @@ -860,7 +980,9 @@ Doppler comb branches。 \frac{\sin(T\Delta\nu/2)}{\sin(\Delta\nu/2)}. \label{eq:A7_block_dirichlet_corr} \end{equation} +% 于是相邻 tooth 的可分离性可由 +% \begin{equation} D_{\mathrm{blk}} \triangleq @@ -868,7 +990,9 @@ Doppler comb branches。 \left|R_T(\Delta\nu_{\mathrm{tooth}})\right|^2 \label{eq:A7_block_tooth_separation} \end{equation} +% 度量。若 $T/\Delta\tau_{\mathrm{f}}\ll1$，则 +% \begin{equation} D_{\mathrm{blk}} \approx @@ -880,17 +1004,20 @@ Doppler comb branches。 \operatorname{sinc}(x)=\frac{\sin(\pi x)}{\pi x}. \label{eq:A7_block_small_ratio_approx} \end{equation} +% 因此，增加块长主要增强的是相邻 Doppler tooth 的块内区分度，而不是必然依赖 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 在单块内部产生可观测的二次相位曲率。 该分析也解释了周期窗口与非周期 subset 的不同作用。若采用非周期子集 $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则 +% \begin{equation} W_{\mathrm{sub}}(\Delta\nu) = \sum_{q=1}^{Q}w_q\exp\{j\Delta\nu\tau_{p_q}\}. \label{eq:A7_subset_frame_window} \end{equation} +% 当 $\mathcal T_{\mathrm{sub}}$ 不再满足严格等间隔结构时，式~\eqref{eq:A7_tooth_spacing_discrete} 给出的候选偏移不再必然同时对齐所有帧相位，因而可压低周期 comb 的旁瓣。由此可将实际求解分解为两类问题： 非周期 subset 更适合执行 tooth acquisition，完整周期窗口则更适合在 tooth 已选对时执行同 tooth 内相干 refine。 @@ -900,6 +1027,7 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则 \subsubsection{数值实现中的一致性检查} 为了直接指导后续仿真，建议在实现 A7 的 CRB 时按如下顺序检查：首先按照式~\eqref{eq:A7_qx_cp}--\eqref{eq:A7_qgamma_cp} 构造每个 $(\ell,p)$ 块的解析 Jacobian，并用中心差分验证 +% \begin{equation} \frac{\partial\boldsymbol\mu^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}}{\partial x} \approx @@ -907,22 +1035,27 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则 \qquad x\in\{\alpha,\beta,\nu_{\mathrm{ref}},\dot\nu_{\mathrm{ref}},\chi_\ell,\rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}\}. \end{equation} +% 其次，先由完整实参数 Jacobian 构造 +% \begin{equation} \mathcal I_{\mathrm{full}}^{\mathrm{cp}} = 2\Re\{(\mathbf J_{\mathrm{full}}^{\mathrm{cp}})^{\Herm}\mathbf R_n^{-1}\mathbf J_{\mathrm{full}}^{\mathrm{cp}}\}, \end{equation} +% 再按 $[\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}^{\Tran},\boldsymbol\psi_{\mathrm{cp},\mu}^{\Tran}]^{\Tran}$ 分块执行 Schur 补得到式~\eqref{eq:A7_Ieff_cp}。最后，对 relaxed 连续相位模型，应同时用完整 FIM 消元和投影式~\eqref{eq:A7_Ieff_rel_ext} 计算一次，两者应在数值精度内一致；该检查可以有效排除 $\mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}$、$\mathbf D^{\mathrm{rel}}_{\mathrm{ext},\ell,p}$、噪声方差系数和 Kronecker 堆叠顺序的实现错误。 \subsubsection{关于噪声方差参数的说明} 上面的推导默认 $\{\sigma_{n,\ell}^2\}$ 已知，或者已通过预估获得。若将 $\{\sigma_{n,\ell}^2\}$ 也并入待估参数，由于本附录中的确定信号模型只通过均值向量依赖于 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}$、$\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 及各类增益/相位参数，而协方差只依赖于 $\{\sigma_{n,\ell}^2\}$，因此噪声方差参数与均值参数在 Fisher 信息矩阵中是正交的。对第 $\ell$ 颗卫星，有 +% \begin{equation} \big[\mathcal I(\boldsymbol\kappa)\big]_{\sigma_{n,\ell}^2,\sigma_{n,\ell}^2} = \frac{M_\ell P T}{\sigma_{n,\ell}^4}. \end{equation} +% 因此，无论在连续相位模型还是 relaxed 连续相位模型下，将 $\sigma_{n,\ell}^2$ 视为未知量都只会在 FIM 中附加与其他参数解耦的对角块，不改变式~\eqref{eq:A7_Ieff_cp}、\eqref{eq:A7_Ieff_rel_ext} 和 \eqref{eq:A7_Ieff_rel_eta} 的形式。 因此，本小节给出的不是新的动态模型，而是正文连续相位模型和 relaxed 连续相位处理的 Fisher 信息表达。它与 \S\ref{sec:A8_dynIndependentPhaseCrb} 的比较应围绕``是否保留跨帧绝对相位连续性''展开，而不是围绕不同的主参数定义展开。 @@ -932,6 +1065,7 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则 本附录仅对应第~\ref{subsec:independentPhaseModel} 小节中的独立相位基线模型。这里的``独立相位''是指：每个观测块 $(\ell,p)$ 具有各自的\emph{独立未知初始相位} $\vartheta_{\ell,p}$，这些相位不再受同一颗卫星公共相位的结构约束；但它们仍是\emph{确定性未知参数}，而不是按某个先验分布生成的随机变量。因此，本附录与正文及 \ref{sec:A7_dynDoaDopplerCrb} 一样，采用\emph{确定性参数 CRB}，而不再引入 hybrid CRB。 主参数统一定义为 +% \begin{equation} \boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}} = @@ -943,25 +1077,31 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则 \qquad \boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}\in\mathbb R^3, \end{equation} +% 并继续将 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 作为干扰参数处理。为避免与正文和 \ref{sec:A7_dynDoaDopplerCrb} 重复，这里只保留独立相位模型对应的最小定义、导数记号与 EFIM 结构。 \subsubsection{沿用正文独立相位模型的最小定义与导数记号} 沿用第~\ref{subsec:independentPhaseModel} 小节中的块级独立相位建模。对任意卫星 $\ell=0,\ldots,L-1$ 与帧 $p=0,\ldots,P-1$，定义局部归一化 Doppler 为 +% \begin{equation} \bar\nu_{\ell,p} \triangleq \nu_\ell + \dot\nu_\ell\tau_p, \label{eq:A8_IP_baromega} \end{equation} +% 其中 +% \begin{equation} \nu_\ell = f_{\nu,\ell}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}}), \qquad \dot\nu_\ell = f_{\dot\nu,\ell}(\boldsymbol\xi,\dot\nu_{\mathrm{ref}}). \label{eq:A8_IP_omegagamma_map} \end{equation} +% 于是独立相位模板写为 +% \begin{equation} \phi^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}(t) = @@ -970,7 +1110,9 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则 t=0,\ldots,T-1. \label{eq:A8_IP_phase_template} \end{equation} +% 对应的时间模板与空时模板分别定义为 +% \begin{equation} \mathbf q^{\mathrm{ip}}_{\ell,p} \triangleq @@ -990,7 +1132,9 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则 \in\mathbb C^{M_\ell T\times 1}. \label{eq:A8_IP_gdef} \end{equation} +% 于是向量化观测模型为 +% \begin{equation} \tilde{\mathbf y}^{\mathrm{ip}}_{\ell,p} = @@ -999,14 +1143,18 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则 + \tilde{\mathbf n}_{\ell,p}, \label{eq:A8_IP_model} \end{equation} +% 其中 +% \begin{equation} \tilde{\mathbf n}_{\ell,p}\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma_{n,\ell}^2\mathbf I_{M_\ell T}), \qquad \ell=0,\ldots,L-1,\qquad p=0,\ldots,P-1. \end{equation} +% 正文 MLE 中可直接把 $\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}$ 作为自由复增益消元；本附录为了构造实参数 Fisher 信息矩阵，将其写作极坐标形式 +% \begin{equation} \zeta_{\ell,p}^{\mathrm{ip}} = @@ -1014,15 +1162,19 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则 \qquad \rho_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}\in\mathbb R_{\ge0}. \end{equation} +% 这里的 $\vartheta_{\ell,p}$ 是第 $(\ell,p)$ 个观测块的独立未知初始相位；与连续相位模型相比，跨帧绝对相位连续性已经被这些块级相位参数吸收。 对角度参数 $x\in\{\alpha,\beta\}$，记 +% \begin{equation} \mathbf a_{\ell,x} \triangleq \frac{\partial \mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi)}{\partial x}. \end{equation} +% 由链式法则可得 +% \begin{equation} \frac{\partial \mathbf q^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}}{\partial x} = @@ -1041,14 +1193,18 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则 \mathbf q^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}. \label{eq:A8_IP_qx} \end{equation} +% 又由于 +% \begin{equation} \frac{\partial \nu_\ell}{\partial \nu_{\mathrm{ref}}}=1, \qquad \frac{\partial \dot\nu_\ell}{\partial \dot\nu_{\mathrm{ref}}}=1, \end{equation} +% 这里同样采用正文中的加性参考星参数化；若改用一般映射，则 $\partial\nu_\ell/\partial\nu_{\mathrm{ref}}$ 与 $\partial\dot\nu_\ell/\partial\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 应替换为对应的链式法则结果。 因此 +% \begin{equation} \frac{\partial \mathbf q^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}}{\partial \nu_{\mathrm{ref}}} = @@ -1068,6 +1224,7 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则 \end{equation} 于是模板导数可统一写为 +% \begin{equation} \mathbf d^{\mathrm{ip}}_{\ell,p,\alpha} \triangleq @@ -1100,7 +1257,9 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则 = \frac{\partial \mathbf q^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}}{\partial \dot\nu_{\mathrm{ref}}}\otimes \mathbf a_\ell. \end{equation} +% 为后续紧凑书写，定义 +% \begin{equation} \mathbf D^{\mathrm{ip}}_{\eta\dot\nu,\ell,p} \triangleq @@ -1117,6 +1276,7 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则 \subsubsection{完整参数的 Fisher 信息矩阵} 定义独立相位模型的干扰参数向量为 +% \begin{equation} \boldsymbol\psi_{\mathrm{ip},\mu} = @@ -1126,7 +1286,9 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则 \{\rho_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}:\ell=0,\ldots,L-1,\ p=0,\ldots,P-1\} \Big]^{\Tran}, \end{equation} +% 并令总参数向量为 +% \begin{equation} \boldsymbol\kappa_{\mathrm{ip}} = @@ -1134,9 +1296,11 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则 \boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}^{\Tran} & \boldsymbol\psi_{\mathrm{ip},\mu}^{\Tran} \end{bmatrix}^{\Tran}. \end{equation} +% 为简化书写，这里先假定 $\{\sigma_{n,\ell}^2\}$ 已知；关于未知噪声方差的情形将在附录末尾补充说明。 对任意实参数 $\kappa_i$ 与 $\kappa_j$，Fisher 信息矩阵元素统一写为 +% \begin{equation} [\mathcal I(\boldsymbol\kappa_{\mathrm{ip}})]_{ij} = @@ -1147,15 +1311,19 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则 \right\}, \label{eq:A8_IP_FIM_general} \end{equation} +% 其中 $\boldsymbol\mu(\boldsymbol\kappa_{\mathrm{ip}})$ 为联合均值向量，$\mathbf R_n$ 为联合噪声协方差矩阵。 对单个观测块 $(\ell,p)$，其均值为 +% \begin{equation} \boldsymbol\mu^{\mathrm{ip}}_{\ell,p} = \rho_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}e^{j\vartheta_{\ell,p}}\mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}. \end{equation} +% 于是有 +% \begin{equation} \frac{\partial \boldsymbol\mu^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}}{\partial \begin{bmatrix} @@ -1180,12 +1348,15 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则 \end{equation} 注意到式~\eqref{eq:A8_IP_Jphase_block} 与式~\eqref{eq:A8_IP_Jamp_block} 在实参数意义下所张成的干扰子空间，等价于复向量 $\mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}$ 所张成的一维复子空间。因此，对每个观测块的 $(\vartheta_{\ell,p},\rho_{\ell,p}^{\mathrm{ip}})$ 执行 Schur 补后，可直接得到关于联合参数 +% \begin{equation} \begin{bmatrix} \boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}^{\Tran} & \dot\nu_{\mathrm{ref}} \end{bmatrix}^{\Tran} \end{equation} +% 的块级 \gls{efim}： +% \begin{equation} \mathcal I^{\mathrm{ip}}_{\mathrm{ext},\ell,p} = @@ -1197,7 +1368,9 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则 \right\}, \label{eq:A8_IP_FIM_block_eff} \end{equation} +% 其中 +% \begin{equation} \mathcal P_{\mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}} \triangleq @@ -1212,6 +1385,7 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则 \end{equation} 对全部卫星与全部帧求和，可得 +% \begin{equation} \mathcal I^{\mathrm{ip}}_{\mathrm{ext}} = @@ -1231,6 +1405,7 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则 \subsubsection{\texorpdfstring{主参数 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}$ 的 \gls{efim} 与 CRB}{主参数 eta-dyn 的 EFIM 与 CRB}} 若把 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 也视为感兴趣参数，则 +% \begin{equation} \operatorname{CRB}_{\mathrm{ip}}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}},\dot\nu_{\mathrm{ref}}) = @@ -1240,6 +1415,7 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则 若仍只把 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}$ 作为主参数，而把 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 作为干扰参数，则将 \eqref{eq:A8_IP_FIM_etadotnu} 按如下方式分块： +% \begin{equation} \mathcal I^{\mathrm{ip}}_{\mathrm{ext}} = @@ -1249,7 +1425,9 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则 \end{bmatrix}, \label{eq:A8_IP_FIM_partition} \end{equation} +% 于是主参数 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}$ 的 \gls{efim} 为 +% \begin{equation} \mathcal I^{\mathrm{ip}}_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}) = @@ -1260,7 +1438,9 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则 \mathcal I^{\mathrm{ip}}_{\dot\nu\eta}, \label{eq:A8_IP_EFIM_eta} \end{equation} +% 从而 +% \begin{equation} \operatorname{CRB}_{\mathrm{ip}}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}) = @@ -1280,6 +1460,7 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则 因此，两类模型的差异不在 Schur 补的代数形式本身，而在模板里是否保留跨帧连续相位结构。这也正是正文中``连续相位 vs.~独立相位''对比的统计本质。 从 EFIM 病态的角度看，独立相位模型与 relaxed 连续相位模型共享同一类投影解释。若定义白化 Jacobian +% \begin{equation} \bar{\mathbf J}^{\mathrm{ip}}_{\eta} \triangleq @@ -1291,7 +1472,9 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则 \mathbf R_n^{-1/2} \frac{\partial\boldsymbol\mu^{\mathrm{ip}}}{\partial\boldsymbol\psi_{\mathrm{ip},\mu}}, \end{equation} +% 则式~\eqref{eq:A8_IP_EFIM_eta} 等价于 +% \begin{equation} \mathcal I^{\mathrm{ip}}_{\mathrm{e}} = @@ -1302,6 +1485,7 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则 \right\}. \label{eq:A8_IP_EFIM_projection} \end{equation} +% 因此，独立相位模型下的弱可辨识方向仍由 $\mathcal P^{\perp}_{\bar{\mathbf J}^{\mathrm{ip}}_{\psi}}\bar{\mathbf J}^{\mathrm{ip}}_{\eta}$ 的秩和最小奇异方向决定。与 A7 中的 relaxed 连续相位模型相比，二者的主要区别不在 @@ -1313,11 +1497,13 @@ Doppler 截距信息，因此通常不会缓解 \gls{doa}--Doppler--rate 耦合 \subsubsection{关于噪声方差参数的说明} 若进一步将 $\{\sigma_{n,\ell}^2\}$ 也并入待估参数，由于它们只进入协方差矩阵而不进入均值函数，因此与前述均值参数在 Fisher 信息矩阵中仍然解耦。对第 $\ell$ 颗卫星，有 +% \begin{equation} \big[\mathcal I(\cdot)\big]_{\sigma_{n,\ell}^2,\sigma_{n,\ell}^2} = \frac{M_\ell P T}{\sigma_{n,\ell}^4}. \end{equation} +% 因此，将 $\sigma_{n,\ell}^2$ 视为未知量不会改变式~\eqref{eq:A8_IP_FIM_etadotnu} 与式~\eqref{eq:A8_IP_EFIM_eta} 的形式，只是在完整 Fisher 信息矩阵中附加一个与其他参数解耦的对角块。 至此，动态多帧主线的两类性能界已经形成闭环： \ref{sec:A7_dynDoaDopplerCrb} 对应连续相位/relaxed 连续相位模型，本附录对应独立相位基线模型。二者共享同一主参数 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}$，因而可以直接比较相位连续性对 \gls{doa}--Doppler 信息保留能力的影响。 \ No newline at end of file diff --git a/parts/H-userPositionCrb.tex b/parts/H-userPositionCrb.tex index 674a158..8976034 100644 --- a/parts/H-userPositionCrb.tex +++ b/parts/H-userPositionCrb.tex @@ -6,13 +6,16 @@ \subsection{位置对视线与本地角的链式导数} 单位视线 $\mathbf u_\ell(\mathbf p)=\mathbf r_\ell/\|\mathbf r_\ell\|_2$（$\mathbf r_\ell=\mathbf p-\mathbf s_\ell$）对位置的 Jacobian 为 +% \begin{equation} \frac{\partial\mathbf u_\ell}{\partial\mathbf p} =\frac{1}{\|\mathbf r_\ell\|_2}\big(\mathbf I_3-\mathbf u_\ell\mathbf u_\ell^\Tran\big)\in\mathbb R^{3\times3}. \label{eq:H_dudp} \end{equation} +% 两点结构性读法：因子 $1/\|\mathbf r_\ell\|_2$ 表明角灵敏度随距离衰减——这正是远场极限下位置不可由角度观测的根源；投影 $\mathbf I_3-\mathbf u_\ell\mathbf u_\ell^\Tran$（秩 $2$）表明沿视线方向（径向）平移不改变该星方向，只有横向平移可观测，故单星无法定距，必须靠多星视差把各秩 $2$ 投影补成满秩 $3$。 本地视线 $\mathbf u_\ell^{\mathrm{loc}}=\boldsymbol\Omega_\ell^\Tran\mathbf u_\ell$ 给出 $\partial\mathbf u_\ell^{\mathrm{loc}}/\partial\mathbf p=\boldsymbol\Omega_\ell^\Tran\,\partial\mathbf u_\ell/\partial\mathbf p$，再按与\eqref{eq:A6_local_angle_chain} 同样的 atan2/arcsin 链式法则得到行向量 $\partial\alpha_\ell^{\mathrm{loc}}/\partial\mathbf p$、$\partial\beta_\ell^{\mathrm{loc}}/\partial\mathbf p\in\mathbb R^{1\times3}$，从而 +% \begin{equation} \frac{\partial\mathbf a_\ell}{\partial\mathbf p} =\dot{\mathbf a}_{\ell,\alpha}\frac{\partial\alpha_\ell^{\mathrm{loc}}}{\partial\mathbf p} @@ -20,8 +23,10 @@ \in\mathbb C^{M_\ell\times3}, \label{eq:H_dadp} \end{equation} +% 其中 $\dot{\mathbf a}_{\ell,\alpha},\dot{\mathbf a}_{\ell,\beta}$ 同\eqref{eq:A6_da_chain}。 Doppler 部分，由 $\nu_\ell=\nu_{\mathrm{ref}}+\Delta\nu_\ell(\mathbf p)$ 与位置诱导差分\eqref{eq:sec7_dnu_pos}，有 +% \begin{equation} \frac{\partial\nu_\ell}{\partial\mathbf p} =\frac{\partial\Delta\nu_\ell}{\partial\mathbf p} @@ -32,25 +37,31 @@ Doppler 部分，由 $\nu_\ell=\nu_{\mathrm{ref}}+\Delta\nu_\ell(\mathbf p)$ 与 \frac{\partial\nu_\ell}{\partial\nu_{\mathrm{ref}}}=1, \label{eq:H_dnudp} \end{equation} +% 其中 $\partial\mathbf u_\ell/\partial\mathbf p$ 正是\eqref{eq:H_dudp}。可见\emph{差分 Doppler 与本地角对位置的灵敏度共用同一个有限距离投影} $(\mathbf I_3-\mathbf u_\ell\mathbf u_\ell^\Tran)/\|\mathbf r_\ell\|_2$——AoA 视差与差分 Doppler 这两条定位信息在 Jacobian 层面同源，且同样随距离增大而衰减。时间模板导数沿用\eqref{eq:A6_qdot}，即 $\partial\mathbf q_\ell/\partial p_i=\dot{\mathbf q}_\ell\,(\partial\nu_\ell/\partial p_i)$、$\partial\mathbf q_\ell/\partial\nu_{\mathrm{ref}}=\dot{\mathbf q}_\ell$。 \subsection{位置 EFIM 与 CRB} 按 Kronecker 求导法则（同\eqref{eq:A6_Dl}）组装空时模板对 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{pos}}=[\mathbf p^\Tran,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$ 的 Jacobian +% \begin{equation} \mathbf D_\ell^{\mathrm{pos}} =\big[\, \partial\mathbf g_\ell/\partial p_x,\ \partial\mathbf g_\ell/\partial p_y,\ \partial\mathbf g_\ell/\partial p_z,\ \partial\mathbf g_\ell/\partial\nu_{\mathrm{ref}} \,\big]\in\mathbb C^{M_\ell T\times4}, \end{equation} +% 其中位置列 $\partial\mathbf g_\ell/\partial p_i=\mathbf q_\ell\otimes(\partial\mathbf a_\ell/\partial p_i)+(\partial\mathbf q_\ell/\partial p_i)\otimes\mathbf a_\ell$、Doppler 列 $\partial\mathbf g_\ell/\partial\nu_{\mathrm{ref}}=\dot{\mathbf q}_\ell\otimes\mathbf a_\ell$，$\partial\mathbf a_\ell/\partial p_i$ 取\eqref{eq:H_dadp} 的第 $i$ 列。消去复增益后的 EFIM 与\eqref{eq:A6_Ieff_final} 同形： +% \begin{equation} \mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{pos}}) =2\sum_{\ell=0}^{L-1}\frac{|\zeta_\ell|^2}{\sigma_{n,\ell}^2} \Re\!\big\{(\mathbf D_\ell^{\mathrm{pos}})^\Herm\mathcal P_{\mathbf g_\ell}^\perp\mathbf D_\ell^{\mathrm{pos}}\big\}\in\mathbb R^{4\times4}. \label{eq:H_efim} \end{equation} +% 将\eqref{eq:H_efim} 按 $(\mathbf p,\nu_{\mathrm{ref}})$ 分块为 +% \begin{equation} \mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{pos}}) =\begin{bmatrix} @@ -58,11 +69,14 @@ Doppler 部分，由 $\nu_\ell=\nu_{\mathrm{ref}}+\Delta\nu_\ell(\mathbf p)$ 与 \mathcal I_{\nu\mathrm p} & \mathcal I_{\nu\nu} \end{bmatrix}, \end{equation} +% 则把参考 Doppler 视为干扰参数、对其取 Schur 补，得位置 \gls{crb} +% \begin{equation} \operatorname{CRB}(\mathbf p) =\big(\mathcal I_{\mathrm{pp}}-\mathcal I_{\mathrm p\nu}\,\mathcal I_{\nu\nu}^{-1}\,\mathcal I_{\nu\mathrm p}\big)^{-1}\in\mathbb R^{3\times3}. \end{equation} +% 几何精度因子（GDOP）即 $\sqrt{\operatorname{tr}\operatorname{CRB}(\mathbf p)}$ 随星座几何的变化。 \begin{mdquote} diff --git a/parts/sec1_singleArrayDoa.tex b/parts/sec1_singleArrayDoa.tex index a1a91dd..c3de2e2 100644 --- a/parts/sec1_singleArrayDoa.tex +++ b/parts/sec1_singleArrayDoa.tex @@ -9,12 +9,15 @@ \label{subsec:single_arr_doa_est} 假设 $K$ 个信源的来向参数收集为 +% \begin{equation} \bm{\Theta} \triangleq \left[\bm{\theta}_1,\ldots,\bm{\theta}_K\right], \end{equation} +% $M$ 元阵列在第 $t$ 个快拍的接收向量记为 +% \begin{equation} \label{eq:single_arr_doa_model} \mathbf y_t @@ -22,6 +25,7 @@ $M$ 元阵列在第 $t$ 个快拍的接收向量记为 \mathbf A(\bm{\Theta})\mathbf x_t + \mathbf n_t, \qquad t=0,1,\ldots,T-1, \end{equation} +% 其中： \begin{itemize} \item 观测向量 $\mathbf y_t \in \mathbb C^{M\times 1}$； @@ -37,11 +41,14 @@ $M$ 元阵列在第 $t$ 个快拍的接收向量记为 \end{itemize} 将所有快拍按列堆叠得到矩阵形式 +% \begin{equation} \mathbf Y = \mathbf A(\bm{\Theta})\mathbf X + \mathbf N, \end{equation} +% 其中 $\mathbf Y\in\mathbb C^{M\times T}$、$\mathbf X\in\mathbb C^{K\times T}$、$\mathbf N\in\mathbb C^{M\times T}$ 为相应的堆叠矩阵。 本节待估主参数为 +% \begin{equation*} \boldsymbol\eta \triangleq @@ -49,6 +56,7 @@ $M$ 元阵列在第 $t$ 个快拍的接收向量记为 = \left[\bm\theta_1^\Tran,\ldots,\bm\theta_K^\Tran\right]^\Tran, \end{equation*} +% 干扰参数为信源快拍 $\{\mathbf x_t\}$ 与噪声方差 $\sigma_n^2$。 \subsection{阵列模型：ULA 与 UPA} @@ -60,6 +68,7 @@ $M$ 元阵列在第 $t$ 个快拍的接收向量记为 \label{subsubsec:single_arr_ula_model} 对于 \gls{ula}，阵元间距为 $d$，工作波长为 $\lambda_{\mathrm{c}}$，第 $k$ 个信源的到达角为标量 $\theta_k$。导向矢量为 +% \begin{equation} \mathbf a_{\mathrm{ULA}}(\theta_k) = @@ -76,6 +85,7 @@ $M$ 元阵列在第 $t$ 个快拍的接收向量记为 \label{subsubsec:single_arr_upa_model} 对于 \gls{upa}，阵列位于 $xOy$ 平面内，沿 $x$ 轴和 $y$ 轴分别等间距排布，阵元数为 $M_x$ 与 $M_y$，间距为 $d_x$ 与 $d_y$，总阵元数 $M=M_xM_y$。统一采用与全局方向一致的二维角度 +% \begin{equation} \bm\theta_k \triangleq @@ -88,6 +98,7 @@ $M$ 元阵列在第 $t$ 个快拍的接收向量记为 \qquad u_{y,k}\triangleq\cos\beta_k\sin\alpha_k, \end{equation} +% 则两个方向的一维导向矢量分别为 \begin{subequations} \begin{align} @@ -114,6 +125,7 @@ $M$ 元阵列在第 $t$ 个快拍的接收向量记为 \subsection{对数似然与确定最大似然准则} 记 $\sigma\triangleq\sigma_n^2$。由 $\mathbf n_t\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma\mathbf I_M)$ 及 $\mathbf x_t$ 的确定性假设，有 $\mathbf y_t\sim\mathcal{CN}(\mathbf A(\bm\Theta)\mathbf x_t,\sigma\mathbf I_M)$。各快拍独立，对数似然为 +% \begin{equation} \label{eq:det_ml_log_likelihood} \ln \mathcal L(\sigma,\{\mathbf x_t\},\bm\Theta) @@ -122,6 +134,7 @@ $M$ 元阵列在第 $t$ 个快拍的接收向量记为 -MT\ln\sigma -\frac{1}{\sigma}\sum_{t=0}^{T-1}\left\|\mathbf y_t-\mathbf A(\bm\Theta)\mathbf x_t\right\|_2^2. \end{equation} +% 对应的 \gls{dml}/\gls{cml} 优化问题为 \begin{alignat}{2} \label{eq:det_ml_doa_opt} @@ -134,6 +147,7 @@ $M$ 元阵列在第 $t$ 个快拍的接收向量记为 \subsection{集中似然与投影残差准则} 这里关心的是 $\bm\Theta$，因此把信源快拍 $\{\mathbf x_t\}$ 与噪声方差 $\sigma$ 视为干扰参数集中消去。对固定的 $\bm\Theta$，逐一最小化得到的闭式解为 +% \begin{equation} \widehat{\mathbf x}_t(\bm\Theta) = @@ -143,7 +157,9 @@ $M$ 元阵列在第 $t$ 个快拍的接收向量记为 = \frac{1}{M}\tr\!\left[\left(\mathbf I_M-\mathcal P_{\mathbf A}\right)\widehat{\mathbf R}\right], \end{equation} +% 其中 +% \begin{equation} \mathcal P_{\mathbf A} \triangleq @@ -153,13 +169,16 @@ $M$ 元阵列在第 $t$ 个快拍的接收向量记为 \triangleq \frac{1}{T}\sum_{t=0}^{T-1}\mathbf y_t\mathbf y_t^\Herm. \end{equation} +% $\mathcal P_{\mathbf A}$ 是导向矩阵列空间的正交投影算子，将贯穿后续所有章节作为消去信号/复增益干扰参数的核心工具；$\widehat{\mathbf R}$ 为样本协方差矩阵。代回式~\eqref{eq:det_ml_log_likelihood} 并忽略与 $\bm\Theta$ 无关的项后，$\bm\Theta$ 的 \gls{cdml} 化为 +% \begin{equation} \widehat{\bm\Theta}_{\mathrm{CDML}} = \argmin_{\bm\Theta} \tr\!\left[\left(\mathbf I_M-\mathcal P_{\mathbf A(\bm\Theta)}\right)\widehat{\mathbf R}\right]. \end{equation} +% 也即把 $\bm\Theta$ 的来向估计等价为最小化投影残差能量。集中似然的逐步矩阵代入与对应的 \gls{crb}/\gls{fim} 推导见附录~\ref{sec:det_doa_crb}。 本节得到的结构性结论是：当信源快拍被视为确定性干扰参数时，\gls{doa} 信息体现为阵列导向子空间的投影残差能量；上述投影模板与集中似然将在后续每一节中复用。 diff --git a/parts/sec2_singleArrayDoaDoppler.tex b/parts/sec2_singleArrayDoaDoppler.tex index 0e97735..6488213 100644 --- a/parts/sec2_singleArrayDoaDoppler.tex +++ b/parts/sec2_singleArrayDoaDoppler.tex @@ -9,6 +9,7 @@ \label{subsec:single_arr_doa_doppler_est} 本节默认 $\nu_k$ 表示第 $k$ 个信源的\emph{归一化角 Doppler}，单位为 rad/sample；若需要物理 Hz 单位，应显式写作 $\nu_k^{\mathrm{Hz}}$，二者通过采样周期 $T_{\mathrm{s}}$ 一次性换算。Doppler 向量记为 +% \begin{equation} \boldsymbol\nu \triangleq @@ -16,6 +17,7 @@ \end{equation} 将每个信源的导频 $s_k(t)$ 视为已知，复增益 $\zeta_k\in\mathbb C$ 与归一化 Doppler $\nu_k$ 视为待估。第 $k$ 个信源的导频加权时间模板为 +% \begin{equation} \mathbf q_k(\nu_k) \triangleq @@ -27,7 +29,9 @@ \end{bmatrix}^\Tran \in\mathbb C^{T\times1}. \end{equation} +% 所有快拍写成矩阵形式 +% \begin{equation} \mathbf Y = @@ -37,6 +41,7 @@ \end{equation} 进一步定义第 $k$ 个信源的空时导向向量与整体空时字典 +% \begin{equation} \mathbf b_{\mathrm{st},k}(\bm\theta_k,\nu_k) \triangleq @@ -50,7 +55,9 @@ \right] \in\mathbb C^{MT\times K}, \end{equation} +% 并记复增益向量 $\boldsymbol\zeta=[\zeta_1,\ldots,\zeta_K]^\Tran$。则向量化观测模型为 +% \begin{equation} \label{eq:vec_det_doa_doppler_recv_sig} \tilde{\mathbf y} @@ -63,11 +70,13 @@ \qquad \tilde{\mathbf n}\triangleq\vect(\mathbf N)\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma\mathbf I_{MT}). \end{equation} +% $\mathbf b_{\mathrm{st},k}$ 的 Kronecker 结构把空间维度的 $\mathbf a(\bm\theta_k)$ 与时间维度的 $\mathbf q_k(\nu_k)$ 解耦在两个因子上，是本节相比于第~\ref{sec:det_doa_est} 节的核心新结构。 \subsection{对数似然} 由于 $\tilde{\mathbf y}\sim\mathcal{CN}(\mathbf B_{\mathrm{st}}\boldsymbol\zeta,\sigma\mathbf I_{MT})$，对数似然为 +% \begin{equation} \label{eq:singlelog_likelihood} \ln\mathcal L(\sigma,\boldsymbol\zeta,\boldsymbol\nu,\bm\Theta) @@ -77,7 +86,9 @@ $\mathbf b_{\mathrm{st},k}$ 的 Kronecker 结构把空间维度的 $\mathbf a(\b -\frac{1}{\sigma} \left\|\tilde{\mathbf y}-\mathbf B_{\mathrm{st}}\boldsymbol\zeta\right\|_2^2. \end{equation} +% 对应的 \gls{dml}/\gls{cml} 优化问题为（确定信号叠加模型的精确 \gls{mle} 处理可参见~\cite{breslerExactMaximumLikelihood1986}） +% \begin{equation} \label{eq:det_ml_doa_doppler_opt} \minimize_{\boldsymbol\zeta,\boldsymbol\nu,\bm\Theta,\sigma} @@ -90,6 +101,7 @@ $\mathbf b_{\mathrm{st},k}$ 的 Kronecker 结构把空间维度的 $\mathbf a(\b \subsection{集中似然与联合 DoA--Doppler 准则} 待估主参数为 $(\bm\Theta,\boldsymbol\nu)$，干扰参数为 $(\boldsymbol\zeta,\sigma)$。在 $\mathbf B_{\mathrm{st}}(\bm\Theta,\boldsymbol\nu)$ 列满秩的假设下，沿用与第~\ref{sec:det_doa_est} 节相同的投影模板消元，可得集中似然准则 +% \begin{equation} \label{eq:con_det_ml_doa_doppler_opt} \big(\widehat{\bm\Theta}_{\mathrm{CDML}},\widehat{\boldsymbol\nu}_{\mathrm{CDML}}\big) @@ -99,10 +111,12 @@ $\mathbf b_{\mathrm{st},k}$ 的 Kronecker 结构把空间维度的 $\mathbf a(\b \left(\mathbf I_{MT}-\mathcal P_{\mathbf B_{\mathrm{st}}(\bm\Theta,\boldsymbol\nu)}\right) \tilde{\mathbf y}, \end{equation} +% 其中 $\mathcal P_{\mathbf B_{\mathrm{st}}}\triangleq\mathbf B_{\mathrm{st}}\!\left(\mathbf B_{\mathrm{st}}^\Herm\mathbf B_{\mathrm{st}}\right)^{-1}\mathbf B_{\mathrm{st}}^\Herm$ 为空时字典列空间的投影算子。 对 $\boldsymbol\zeta$ 与 $\sigma$ 的闭式消元过程与第~\ref{sec:det_doa_est} 节的单阵列 \gls{doa} 完全平行，详细矩阵代入见附录~\ref{sec:det_doa_doppler_crb}。 若 Doppler 本身不感兴趣、仅作为干扰参数，可先做 profile 处理： +% \begin{equation} \widehat{\bm\Theta}_{\mathrm{CDML}} = diff --git a/parts/sec3_multiSatSingleUser.tex b/parts/sec3_multiSatSingleUser.tex index 202f0bc..f11cd10 100644 --- a/parts/sec3_multiSatSingleUser.tex +++ b/parts/sec3_multiSatSingleUser.tex @@ -10,6 +10,7 @@ \label{subsec:globalLocalDoaMap} 后文统一采用全局方向参数 +% \begin{equation} \boldsymbol\xi \triangleq @@ -28,9 +29,11 @@ \qquad \|\mathbf u(\boldsymbol\xi)\|_2=1. \end{equation} +% 其中 $\alpha$ 为全局方位角，$\beta$ 为全局俯仰角；多用户场景下可写为 $\boldsymbol\xi_k$，本节单用户主线中省略下标。 设第 $\ell$ 颗卫星在参考时刻的位置与速度分别为 $\mathbf s_\ell$ 和 $\mathbf v_\ell$。其本地阵列坐标基为 +% \begin{equation} \mathbf e_{3,\ell}=-\frac{\mathbf s_\ell}{\|\mathbf s_\ell\|_2}, \qquad @@ -38,7 +41,9 @@ \qquad \mathbf e_{1,\ell}=\mathbf e_{2,\ell}\times\mathbf e_{3,\ell}. \end{equation} +% 从本地坐标系到全局坐标系的旋转矩阵记为 +% \begin{equation} \boldsymbol{\Omega}_\ell \triangleq @@ -47,7 +52,9 @@ \end{bmatrix} \in\mathbb R^{3\times 3}. \end{equation} +% 第 $\ell$ 颗卫星本地坐标系下的来向向量为 +% \begin{equation} \mathbf u_\ell^{\mathrm{loc}} = @@ -57,7 +64,9 @@ u^{\mathrm{loc}}_{\ell,1},u^{\mathrm{loc}}_{\ell,2},u^{\mathrm{loc}}_{\ell,3} \end{bmatrix}^\Tran, \end{equation} +% 对应的局部方位角与俯仰角统一记为 +% \begin{equation} \alpha_\ell^{\mathrm{loc}} = @@ -67,27 +76,33 @@ = \arcsin\!\big(u^{\mathrm{loc}}_{\ell,3}\big). \end{equation} +% 第 $\ell$ 颗卫星的阵列导向矢量统一定义为 +% \begin{equation} \mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi) \triangleq \mathbf a_\ell\!\big(\alpha_\ell^{\mathrm{loc}},\beta_\ell^{\mathrm{loc}}\big) \in\mathbb C^{M_\ell\times 1}, \end{equation} +% 其中 $\mathbf a_\ell(\cdot)$ 的具体形式按第~\ref{subsec:single_arr_array_model} 小节的 ULA/UPA 模板代入即可。后续静态与多帧模型均统一使用该记号；$\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi)$ 始终只表示\emph{阵列导向矢量}，不再用于轨道动力学中的加速度量。 \subsection{归一化 Doppler、Doppler rate 与时间索引} \label{subsec:dopplerNormalization} 物理解释层使用实际 Doppler 与 Doppler rate $(\nu^{\mathrm{Hz}},\dot\nu^{\mathrm{Hz}})$（单位 Hz 与 Hz/s）；信号模型与 \gls{crb} 推导统一使用归一化角量 $(\nu,\dot\nu)$（单位 rad/sample 与 rad/sample$^2$），二者关系为 +% \begin{equation} \nu = 2\pi\nu^{\mathrm{Hz}} T_{\mathrm{s}}, \qquad \dot\nu = 2\pi\dot\nu^{\mathrm{Hz}} T_{\mathrm{s}}^2. \end{equation} +% 后续模型若未显式带有上标 $\mathrm{Hz}$，均默认使用归一化量。 单观测块静态模型中，块内离散采样索引为 $t=0,1,\ldots,T-1$。多帧动态模型（第~\ref{sec:dynamicDoaDopplerEst} 节）引入帧索引 $p=0,\ldots,P-1$，第 $p$ 帧起始点相对参考时刻的离散偏移记为 $\tau_p$（约定 $\tau_0=0$），并定义全局离散时间索引 +% \begin{equation} t_{p,t} \triangleq @@ -100,6 +115,7 @@ 固定选择一颗卫星作为\emph{参考卫星}，其索引记为 $\ell_{\mathrm{ref}}$，除特别说明外默认取 $\ell_{\mathrm{ref}}=0$。后文中涉及 ``ref'' 的 Doppler 参数，均指\emph{参考卫星链路}上的参数，而不再使用星群质心或星群平均速度定义参考 Doppler。 静态 \gls{doa}--Doppler 主参数统一写为 +% \begin{equation} \boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}} = @@ -109,9 +125,11 @@ \end{bmatrix} \in\mathbb R^{3}, \end{equation} +% 其中 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 为参考时刻、参考卫星链路上的归一化 Doppler。多帧动态模型中主估计目标默认仍为 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}=\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}}$，而参考链路 Doppler rate $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 放入干扰参数侧。 给定 $(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}},\dot\nu_{\mathrm{ref}})$ 后，其余卫星的链路参数统一通过几何映射表示为 +% \begin{equation} \nu_\ell = @@ -123,6 +141,7 @@ \qquad \ell=0,1,\ldots,L-1, \end{equation} +% 其中 $\Delta\nu_\ell(\boldsymbol\xi)$ 与 $\Delta\dot\nu_\ell(\boldsymbol\xi)$ 由已知卫星位置、速度、姿态确定，且 $\Delta\nu_{\ell_{\mathrm{ref}}}\equiv\Delta\dot\nu_{\ell_{\mathrm{ref}}}\equiv0$。这一组几何映射正是把 $L$ 个原本 ``独立'' 的链路 Doppler 压回到一个标量 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 的结构来源。 \subsection{静态多星信号模型} @@ -136,6 +155,7 @@ \item 不同卫星的噪声方差允许不同（\emph{星间异方差}），但同一颗卫星在该观测块内保持不变。 \end{enumerate} 第 $\ell$ 颗卫星在第 $t$ 个采样点的接收向量为 +% \begin{equation} \mathbf y_\ell(t) = @@ -148,9 +168,11 @@ \qquad \mathbf n_\ell(t)\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma_{n,\ell}^2\mathbf I_{M_\ell}), \end{equation} +% 其中 $\nu_\ell(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})\triangleq \nu_{\mathrm{ref}}+\Delta\nu_\ell(\boldsymbol\xi)$。 定义时间模板 +% \begin{equation} \mathbf q_\ell(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}}) \triangleq @@ -162,7 +184,9 @@ \end{bmatrix}^\Tran \in\mathbb C^{T\times 1}, \end{equation} +% 与空时导向向量 +% \begin{equation} \mathbf g_\ell(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}}) \triangleq @@ -171,7 +195,9 @@ \mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi) \in\mathbb C^{M_\ell T\times 1}. \end{equation} +% 将第 $\ell$ 颗卫星的观测堆叠并向量化为 $\tilde{\mathbf y}_\ell\triangleq\vect(\mathbf Y_\ell)$，则有 +% \begin{equation} \tilde{\mathbf y}_\ell = @@ -181,7 +207,9 @@ \qquad \tilde{\mathbf n}_\ell\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma_{n,\ell}^2\mathbf I_{M_\ell T}). \end{equation} +% 本节的干扰参数为 +% \begin{equation} \boldsymbol\psi_{\mathrm{stat}} = @@ -194,6 +222,7 @@ \subsection{联合似然与集中似然} 各星观测条件独立，圆对称复高斯，联合负对数似然为 +% \begin{equation} \mathcal L_{\mathrm{stat}}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}},\boldsymbol\psi_{\mathrm{stat}}) = @@ -211,6 +240,7 @@ \end{equation} 对干扰参数 $\boldsymbol\psi_{\mathrm{stat}}$ 的逐项闭式消元——先消 $\zeta_\ell$、再消 $\sigma_{n,\ell}^2$——与第~\ref{sec:det_doa_est} 节单阵列情形完全平行；详细矩阵代入见\ref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb}。集中后的轮廓似然估计准则为 +% \begin{equation} \widehat{\boldsymbol\eta}_{\mathrm{stat}} = @@ -226,7 +256,9 @@ \frac{\left|\mathbf g_\ell^\Herm\tilde{\mathbf y}_\ell\right|^2} {\|\mathbf g_\ell\|_2^2}. \end{equation} +% 若实际中 $\sigma_{n,\ell}^2$ 已知或由预处理获得，可退化为加权集中似然形式 +% \begin{equation} \widehat{\boldsymbol\eta}_{\mathrm{stat}} = @@ -236,6 +268,7 @@ \frac{\left|\mathbf g_\ell^\Herm\tilde{\mathbf y}_\ell\right|^2} {\|\mathbf g_\ell\|_2^2}. \end{equation} +% 该表达式说明：在多星协作条件下，联合估计等价于在统一的 $(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})$ 下，对各卫星空时匹配输出按几何与噪声水平进行加权融合。 \subsection{仿真结果说明} diff --git a/parts/sec4_multiSatMultiUser.tex b/parts/sec4_multiSatMultiUser.tex index 3e734d8..370e9f2 100644 --- a/parts/sec4_multiSatMultiUser.tex +++ b/parts/sec4_multiSatMultiUser.tex @@ -8,6 +8,7 @@ \label{subsec:multiUserSignalModel} 设 $K$ 个单天线用户与 $L$ 颗卫星在同一观测块内并发上行已知导频，第 $k$ 个用户的全局 \gls{doa} 为 $\boldsymbol\xi_k=[\alpha_k,\beta_k]^\Tran$，对应的参考星归一化 Doppler 记为 $\nu_{\mathrm{ref},k}$。沿用 \S\ref{subsec:globalLocalDoaMap}--\S\ref{subsec:refSatParameterization} 的全局/局部映射与参考星参数化，第 $\ell$ 颗卫星对第 $k$ 个用户的本地导向矢量记为 $\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi_k)$，其链路 Doppler 由几何映射给出 +% \begin{equation} \nu_{\ell,k}(\boldsymbol\xi_k,\nu_{\mathrm{ref},k}) \triangleq @@ -15,9 +16,11 @@ \qquad \Delta\nu_{\ell_{\mathrm{ref}}}(\boldsymbol\xi_k)\equiv 0. \end{equation} +% 注意 $\Delta\nu_\ell(\cdot)$ 由卫星几何决定，不依赖用户索引 $k$；$k$ 只通过 $\boldsymbol\xi_k$ 与 $\nu_{\mathrm{ref},k}$ 进入。 每个用户对每颗卫星都有一个未知复干扰系数 $\zeta_{\ell,k}\in\mathbb C$。第 $\ell$ 颗卫星在采样点 $t$ 的接收向量为各用户贡献的叠加： +% \begin{equation} \mathbf y_\ell(t) = @@ -31,9 +34,11 @@ \qquad \mathbf n_\ell(t)\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma_{n,\ell}^2\mathbf I_{M_\ell}). \end{equation} +% 其中 $s_k(t)$ 为第 $k$ 个用户的已知导频，可逐用户彼此不同；噪声仍假设星间异方差、星内同方差。 定义第 $(\ell,k)$ 对的时间模板与空时导向向量 +% \begin{equation} \mathbf q_{\ell,k}(\boldsymbol\xi_k,\nu_{\mathrm{ref},k}) \triangleq @@ -49,7 +54,9 @@ \mathbf q_{\ell,k}\otimes\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi_k) \in\mathbb C^{M_\ell T\times 1}. \end{equation} +% 将第 $\ell$ 颗卫星观测按列向量化为 $\tilde{\mathbf y}_\ell=\vect(\mathbf Y_\ell)$，则 +% \begin{equation} \label{eq:sec4_vec_model} \tilde{\mathbf y}_\ell @@ -63,7 +70,9 @@ + \tilde{\mathbf n}_\ell, \end{equation} +% 其中 +% \begin{equation} \mathbf G_\ell(\boldsymbol\Xi,\boldsymbol\nu_{\mathrm{ref}}) \triangleq @@ -76,11 +85,13 @@ \triangleq \big[\zeta_{\ell,1},\ldots,\zeta_{\ell,K}\big]^\Tran, \end{equation} +% $\boldsymbol\Xi\triangleq[\boldsymbol\xi_1,\ldots,\boldsymbol\xi_K]$，$\boldsymbol\nu_{\mathrm{ref}}\triangleq[\nu_{\mathrm{ref},1},\ldots,\nu_{\mathrm{ref},K}]^\Tran$。 \subsection{多用户主参数与干扰参数} 主参数堆叠为 +% \begin{equation} \boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}} \triangleq @@ -91,7 +102,9 @@ $\boldsymbol\Xi\triangleq[\boldsymbol\xi_1,\ldots,\boldsymbol\xi_K]$，$\boldsym \big]^\Tran \in\mathbb R^{3K}. \end{equation} +% 干扰参数为各星各用户的复增益与噪声方差 +% \begin{equation} \boldsymbol\psi_{\mathrm{mu}} = @@ -100,11 +113,13 @@ $\boldsymbol\Xi\triangleq[\boldsymbol\xi_1,\ldots,\boldsymbol\xi_K]$，$\boldsym \{\sigma_{n,\ell}^2\}_{\ell=0}^{L-1} \Big]^\Tran. \end{equation} +% 当 $K=1$ 时 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ 退化为 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}}$，对应正文第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst} 节。 \subsection{联合似然与集中似然} 各星条件独立，圆对称复高斯，多用户联合负对数似然为 +% \begin{equation} \mathcal L_{\mathrm{mu}}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}},\boldsymbol\psi_{\mathrm{mu}}) = @@ -120,7 +135,9 @@ $\boldsymbol\Xi\triangleq[\boldsymbol\xi_1,\ldots,\boldsymbol\xi_K]$，$\boldsym \right\|_2^2 \right]. \end{equation} +% 在 $\mathbf G_\ell$ 列满秩的假设下（要求 $K\le M_\ell T$ 且各列方向充分分离），对 $\boldsymbol\zeta_\ell$ 的闭式消元给出 +% \begin{equation} \widehat{\boldsymbol\zeta}_\ell(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}) = @@ -128,7 +145,9 @@ $\boldsymbol\Xi\triangleq[\boldsymbol\xi_1,\ldots,\boldsymbol\xi_K]$，$\boldsym \mathbf G_\ell^\Herm \tilde{\mathbf y}_\ell. \end{equation} +% 代回并再对 $\sigma_{n,\ell}^2$ 轮廓化（与第~\ref{sec:det_doa_est} 节完全平行），得到多用户集中似然准则 +% \begin{equation} \label{eq:sec4_concentrated} \widehat{\boldsymbol\eta}_{\mathrm{mu}} @@ -143,9 +162,11 @@ $\boldsymbol\Xi\triangleq[\boldsymbol\xi_1,\ldots,\boldsymbol\xi_K]$，$\boldsym \tilde{\mathbf y}_\ell \right], \end{equation} +% 其中 $\mathcal P_{\mathbf G_\ell}\triangleq\mathbf G_\ell(\mathbf G_\ell^\Herm\mathbf G_\ell)^{-1}\mathbf G_\ell^\Herm$，$\mathcal P_{\mathbf G_\ell}^{\perp}=\mathbf I_{M_\ell T}-\mathcal P_{\mathbf G_\ell}$。详细矩阵代入见附录~\ref{subsec:E2_multiUserMultiSatCrb}。 若噪声方差已知，可退化为加权空时匹配形式 +% \begin{equation} \widehat{\boldsymbol\eta}_{\mathrm{mu}} = @@ -156,18 +177,21 @@ $\boldsymbol\Xi\triangleq[\boldsymbol\xi_1,\ldots,\boldsymbol\xi_K]$，$\boldsym \mathcal P_{\mathbf G_\ell} \tilde{\mathbf y}_\ell. \end{equation} +% 与第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst} 节的单用户加权融合相比，差别在于每颗卫星的匹配子空间从一维 $\mathbf g_\ell$ 升级为 $K$ 维 $\mathbf G_\ell$ 列空间；多用户的耦合\emph{在每颗卫星内部}通过 $\mathbf G_\ell^\Herm\mathbf G_\ell$ 的非对角元体现。 \subsection{用户分离的可辨识性} \label{subsec:userSeparability} \eqref{eq:sec4_concentrated} 的目标函数依赖于矩阵 $\mathbf G_\ell$ 是否列满秩。考虑两个用户 $(k,k')$，其空时导向向量在第 $\ell$ 颗卫星上的内积 +% \begin{equation} \rho_{\ell,kk'} \triangleq \frac{\big|\mathbf g_{\ell,k}^\Herm\mathbf g_{\ell,k'}\big|} {\|\mathbf g_{\ell,k}\|_2\,\|\mathbf g_{\ell,k'}\|_2} \end{equation} +% 描述了二者在该卫星空时维度上的相干度。$\rho_{\ell,kk'}$ 由三个因素共同决定： \begin{enumerate} \item 局部导向矢量相干 $|\mathbf a_\ell^\Herm(\boldsymbol\xi_k)\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi_{k'})|/(\|\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi_k)\|\|\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi_{k'})\|)$，反映两个用户在该星本地角度域的分离； diff --git a/parts/sec5_timestampError.tex b/parts/sec5_timestampError.tex index dc9e114..cb10011 100644 --- a/parts/sec5_timestampError.tex +++ b/parts/sec5_timestampError.tex @@ -9,12 +9,15 @@ \label{subsec:perturbedSignalModel} 把\emph{时间戳误差}定义为``某颗卫星实际采样时刻相对其名义采样时刻的偏移''。以参考星 $\ell_{\mathrm{ref}}$ 为基准并令 $\delta_{\ell_{\mathrm{ref}}}\equiv 0$，其余卫星的时间戳误差以采样点数为单位记为 +% \begin{equation} \delta_\ell\in\mathbb R, \qquad \ell\neq\ell_{\mathrm{ref}}, \end{equation} +% 对应的物理时间误差为 $\delta\tau_\ell=\delta_\ell T_{\mathrm{s}}$（秒）。$\delta_\ell$ 可正可负，不要求为整数采样。所有非参考星时间戳误差堆叠为 +% \begin{equation} \boldsymbol\delta \triangleq @@ -23,6 +26,7 @@ \end{equation} 在第~\ref{sec:multiSatMultiUser} 节的多用户基线上引入 $\delta_\ell$，第 $\ell$ 颗卫星接收到的连续时间基带信号被替换为``在偏移 $\delta_\ell$ 后的瞬时上采样''： +% \begin{equation} \label{eq:sec5_signal_model} \mathbf y_\ell(t) @@ -35,12 +39,14 @@ + \mathbf n_\ell(t). \end{equation} +% 即采样网格保持 $t=0,1,\ldots,T-1$，但被采样的连续时间标记从 $t$ 变为 $t-\delta_\ell$。 窄带阵列假设下 $\mathbf a_\ell$ 与瞬时时间无关，故 $\delta_\ell$ 不进入空间导向矢量；它只通过\emph{导频时间偏移}与\emph{Doppler 相位偏移}两条途径出现在均值向量中。 \subsection{相位偏移耦合与导频时间偏移} 将\eqref{eq:sec5_signal_model} 中复指数项展开 +% \begin{equation} \label{eq:sec5_phase_decomp} e^{j\nu_{\ell,k}(t-\delta_\ell)} @@ -49,14 +55,18 @@ \cdot e^{j\nu_{\ell,k}t}, \end{equation} +% 可见 $\delta_\ell$ 与 $\nu_{\ell,k}$ 以乘积形式产生一个与时间无关的相位常数 $-\nu_{\ell,k}\delta_\ell$。 若把该常数吸入复增益，定义\emph{等效复增益} +% \begin{equation} \tilde\zeta_{\ell,k}(\boldsymbol\xi_k,\nu_{\mathrm{ref},k},\delta_\ell) \triangleq \zeta_{\ell,k}e^{-j\nu_{\ell,k}\delta_\ell}, \end{equation} +% 则模型可改写为 +% \begin{equation} \label{eq:sec5_absorbed_model} \mathbf y_\ell(t) @@ -69,6 +79,7 @@ + \mathbf n_\ell(t). \end{equation} +% 这是部分相干模型的核心结构。两点观察： \begin{enumerate} \item \emph{相位耦合}已被 $\tilde\zeta_{\ell,k}$ 吸收，但代价是：原本各星独立的 $\{\zeta_{\ell,k}\}$ 与几何参数 $(\boldsymbol\xi_k,\nu_{\mathrm{ref},k})$ \emph{解耦}的良好性质消失。$\tilde\zeta_{\ell,k}$ 显式依赖 $\delta_\ell$ 与 $\nu_{\ell,k}$，把 $\delta_\ell$ 的不确定性以 ``$|\nu_{\ell,k}|\cdot\mathrm{Var}(\delta_\ell)$'' 的形式注入主参数；这是部分相干观测对 Doppler 估计精度的主要恶化来源。 @@ -90,6 +101,7 @@ \subsection{联合似然与 EFIM 结构概览} 把第~\ref{sec:multiSatMultiUser} 节的主参数与干扰参数集合扩展为 +% \begin{equation} \boldsymbol\eta = @@ -104,7 +116,9 @@ \big\{\sigma_{n,\ell}^2\big\}_{\ell=0}^{L-1} \Big]^\Tran, \end{equation} +% 其中下标 $\mathrm{te}$ 表示 timestamp-error。需要强调：本节\emph{不}把 $\delta_\ell$ 升格为主参数——任务目标仍是估计 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$，$\delta_\ell$ 只是因星间时钟不可信而引入的干扰参数。各星条件独立的圆对称复高斯负对数似然 +% \begin{equation} \mathcal L_{\mathrm{te}}(\boldsymbol\eta,\boldsymbol\psi_{\mathrm{te}}) = @@ -121,9 +135,11 @@ \right\|_2^2 \right] \end{equation} +% 关于 $(\boldsymbol\zeta,\sigma_{n,\ell}^2)$ 的闭式消元与第~\ref{sec:multiSatMultiUser} 节平行，差别仅在 $\mathbf g_{\ell,k}$ 现在依赖 $\delta_\ell$。 记完整实参数向量 +% \begin{equation} \boldsymbol\kappa_{\mathrm{te}} = @@ -133,7 +149,9 @@ \boldsymbol\psi_{\zeta}^\Tran \big]^\Tran, \end{equation} +% 其中 $\boldsymbol\psi_\zeta$ 为各 $\zeta_{\ell,k}$ 的实部/虚部堆叠（噪声方差仅进入协方差、与均值参数解耦，下同第~\ref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb} 节）。Fisher 信息矩阵按 $(\boldsymbol\eta,\boldsymbol\delta,\boldsymbol\psi_\zeta)$ 分块为 +% \begin{equation} \mathcal I(\boldsymbol\kappa_{\mathrm{te}}) = @@ -143,7 +161,9 @@ \mathcal I_{\psi\eta} & \mathcal I_{\psi\delta} & \mathcal I_{\psi\psi} \end{bmatrix}. \end{equation} +% 小误差区下 $\boldsymbol\delta$ 与 $\boldsymbol\psi_\zeta$ 可依次 Schur 消去，得到关于 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ 的 EFIM +% \begin{equation} \label{eq:sec5_efim} \mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}) @@ -154,6 +174,7 @@ (\mathcal I_{\delta\delta}')^{-1}\, \mathcal I_{\delta\eta}', \end{equation} +% 其中 $\mathcal I'_{\cdot\cdot}$ 表示在复增益块消去后剩余的中间 Fisher 块。 \eqref{eq:sec5_efim} 的解析形式只在小误差区可写完整闭式；大误差区下右端各项需逐 $\delta_\ell$ 取值数值评估。详细分块表达、数值评估流程与 $K=1, L=2$ 最简情形的闭式结果见\ref{sec:timestampErrCrb}。 diff --git a/parts/sec6_multiFrameCp.tex b/parts/sec6_multiFrameCp.tex index 14cdf2e..cbe25f2 100644 --- a/parts/sec6_multiFrameCp.tex +++ b/parts/sec6_multiFrameCp.tex @@ -11,6 +11,7 @@ 设观测窗口含 $P$ 帧，帧索引 $p=0,\ldots,P-1$，单帧采样点数为 $T$，帧内局部索引 $t=0,\ldots,T-1$，第 $p$ 帧起始点的离散偏移记为 $\tau_p$，约定 $\tau_0=0$，全局时间索引 $t_{p,t}\triangleq\tau_p+t$（沿用 \S\ref{subsec:dopplerNormalization} 约定）。沿用 \S\ref{subsec:globalLocalDoaMap} 的全局/局部映射 $\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi)$，并将其视为在整个短观测窗口内保持不变。 参考链路上的归一化 Doppler 与 Doppler rate 分别定义为 $\nu_{\mathrm{ref}}\triangleq\nu_{\ell_{\mathrm{ref}}}$、$\dot\nu_{\mathrm{ref}}\triangleq\dot\nu_{\ell_{\mathrm{ref}}}$。其余卫星按 +% \begin{equation} \nu_\ell = @@ -20,12 +21,14 @@ = \dot\nu_{\mathrm{ref}}+\Delta\dot\nu_\ell(\boldsymbol\xi), \end{equation} +% 由已知几何唯一诱导，沿用 \S\ref{subsec:refSatParameterization} 的参考星参数化。 \subsection{连续相位多帧信号模型（CP）} \label{subsec:dynamicCpModel} 短观测窗口下，第 $\ell$ 颗卫星在第 $p$ 帧第 $t$ 个采样点的归一化相位采用二次相位近似： +% \begin{equation} \phi^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}(t) = @@ -35,7 +38,9 @@ \qquad t_{p,t}=\tau_p+t. \end{equation} +% 若第 $p$ 帧训练序列为 $s_p(t)$，并定义结构化连续相位复增益 +% \begin{equation} \zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp}} \triangleq @@ -43,7 +48,9 @@ \qquad \rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}\in\mathbb R_{\ge0}, \end{equation} +% 则 CP 模型接收向量为 +% \begin{equation} \mathbf y^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}(t) = @@ -54,10 +61,12 @@ + \mathbf n_{\ell,p}(t), \end{equation} +% 其中 $\mathbf n_{\ell,p}(t)\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma_{n,\ell}^2\mathbf I_{M_\ell})$。 $\chi_\ell$ 为第 $\ell$ 颗卫星在参考时刻的\emph{公共相位}，由同一颗卫星的不同帧共享——这是 CP 模型相比静态模型的核心新结构：它把 $L\times P$ 个块复增益的自由度从 ``$LP$ 个独立复数'' 压回为 ``$L$ 个公共相位 + $LP$ 个非负实幅度''，从而显式利用跨帧绝对时间信息。 定义 CP 模板与空时模板 +% \begin{equation} \mathbf q^{\mathrm{cp}}_{\ell,p} \triangleq @@ -73,7 +82,9 @@ $\chi_\ell$ 为第 $\ell$ 颗卫星在参考时刻的\emph{公共相位}，由 \otimes \mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi), \end{equation} +% 则向量化模型为 +% \begin{equation} \tilde{\mathbf y}^{\mathrm{cp}}_{\ell,p} = @@ -87,6 +98,7 @@ $\chi_\ell$ 为第 $\ell$ 颗卫星在参考时刻的\emph{公共相位}，由 \label{subsec:independentPhaseModel} 为量化跨帧绝对相位连续性的收益，引入独立相位基线模型作为对照。将 CP 相位项分解： +% \begin{equation} \nu_\ell t_{p,t}+\frac{1}{2}\dot\nu_\ell t_{p,t}^2 = @@ -94,7 +106,9 @@ $\chi_\ell$ 为第 $\ell$ 颗卫星在参考时刻的\emph{公共相位}，由 + \underbrace{(\nu_\ell+\dot\nu_\ell\tau_p)t+\frac{1}{2}\dot\nu_\ell t^2}_{\text{帧内局部相位演化}}. \end{equation} +% 若允许每一帧具有独立未知相位 $\vartheta_{\ell,p}$，则帧间常相位项可被块相位吸收。令第 $(\ell,p)$ 个观测块的自由复干扰系数记为 +% \begin{equation} \zeta_{\ell,p}^{\mathrm{ip}} = @@ -103,7 +117,9 @@ $\chi_\ell$ 为第 $\ell$ 颗卫星在参考时刻的\emph{公共相位}，由 \qquad \rho_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}\in\mathbb R_{\ge 0}, \end{equation} +% 对应的局部归一化 Doppler $\bar\nu_{\ell,p}\triangleq\nu_\ell+\dot\nu_\ell\tau_p$，则 IP 模型可写为 +% \begin{equation} \mathbf y^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}(t) = @@ -118,12 +134,14 @@ $\chi_\ell$ 为第 $\ell$ 颗卫星在参考时刻的\emph{公共相位}，由 + \mathbf n_{\ell,p}(t). \end{equation} +% 相应的 IP 模板与空时模板 $\mathbf q^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}$、$\mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}$ 按相同方式定义。 CP 与 IP 的差别集中在块复增益的自由度：CP 保留 $L$ 个跨帧公共相位 $\{\chi_\ell\}$，IP 则放弃跨帧绝对相位关系。后续 \gls{fim}/\gls{crb} 对比将量化保留公共相位 $\chi_\ell$ 带来的信息差异。 \subsection{联合似然与集中似然} CP 模型的干扰参数向量为 +% \begin{equation} \boldsymbol\psi_{\mathrm{cp}} = @@ -134,7 +152,9 @@ CP 模型的干扰参数向量为 \{\sigma_{n,\ell}^2\}_{\ell=0}^{L-1} \Big]^\Tran. \end{equation} +% 在 ``星间异方差、星内短窗同方差'' 假设下，联合负对数似然为 +% \begin{equation} \mathcal L_{\mathrm{cp}}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}},\boldsymbol\psi_{\mathrm{cp}}) = @@ -152,6 +172,7 @@ CP 模型的干扰参数向量为 \end{equation} 依次对 $\sigma_{n,\ell}^2$ 做轮廓化、对非负幅度 $\rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}$ 做正部最小二乘消元后，结构化 CP 集中似然估计准则可写为 +% \begin{equation} \widehat{\boldsymbol\eta}_{\mathrm{dyn}} = @@ -159,12 +180,14 @@ CP 模型的干扰参数向量为 \min_{\dot\nu_{\mathrm{ref}},\{\chi_\ell\}} \sum_{\ell=0}^{L-1}M_\ell PT\log \mathcal R^{\mathrm{cp,str}}_\ell. \end{equation} +% 其中 $\mathcal R^{\mathrm{cp,str}}_\ell$ 为第 $\ell$ 颗卫星在结构化幅度消元后聚合而成的每星残差，详细矩阵代入与正部投影的闭式表达见附录~\ref{sec:A7_dynDoaDopplerCrb}。 \subsection{relaxed 连续相位与 IP 集中准则} \label{subsec:dynamicRelaxedModel} 实际搜索时，可进一步把同星跨帧公共相位约束放松为每块自由复系数 $\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp,rel}}$（仅放松块复系数结构，相位模板仍为 CP），得到 \emph{relaxed} concentrated MLE： +% \begin{equation} \widehat{\boldsymbol\eta}_{\mathrm{dyn,rel}} = @@ -172,7 +195,9 @@ CP 模型的干扰参数向量为 \min_{\dot\nu_{\mathrm{ref}}} \sum_{\ell=0}^{L-1}M_\ell PT\log \mathcal R^{\mathrm{cp,rel}}_\ell. \end{equation} +% 相应地，IP 基线的 concentrated MLE 直接对自由复增益 $\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}$ 做闭式消元后得到 +% \begin{equation} \widehat{\boldsymbol\eta}_{\mathrm{dyn,ip}} = @@ -180,6 +205,7 @@ CP 模型的干扰参数向量为 \min_{\dot\nu_{\mathrm{ref}}} \sum_{\ell=0}^{L-1}M_\ell PT\log \mathcal R^{\mathrm{ip}}_\ell. \end{equation} +% 三种准则的差别在于复增益处理方式：CP-str 保留跨帧公共相位约束；CP-rel 放松为每块自由复系数（仍用 CP 相位模板）；IP 则放弃跨帧绝对相位、采用块独立相位模板。逐项闭式消元、匹配统计量 $z^{\mathrm{cp/ip}}_{\ell,p}$ 与归一化因子 $d^{\mathrm{cp/ip}}_{\ell,p}$ 的定义、各种残差 $\mathcal R^{\mathrm{cp,str/rel/ip}}_\ell$ 的具体表达见\ref{sec:multiFrameCrb}。 \subsection{Doppler rate 处理：CP-K 与 CP-U} @@ -198,6 +224,7 @@ CP 模型的干扰参数向量为 多星协作带来的增益并不是对 $\boldsymbol\xi$ 与 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 的等比例放大。 新增观测只增加主参数 score 在干扰参数 score 正交补上的投影长度。 若令 $\boldsymbol\psi_\mu$ 表示只影响均值向量的干扰参数（包含 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$、相位与幅度），白化均值 Jacobian 分别记为 $\bar{\mathbf J}_\eta,\bar{\mathbf J}_\psi$，则消去干扰参数后的 EFIM 写为投影 Gram 矩阵 +% \begin{equation} \mathcal I_{\mathrm{e}} = @@ -207,9 +234,11 @@ CP 模型的干扰参数向量为 \bar{\mathbf J}_{\eta} \right\}, \end{equation} +% 其奇异性由投影后主参数 Jacobian 的秩决定，而非 $\bar{\mathbf J}_\eta$ 本身。详细的投影解释、最小投影角 $\sin^2\theta_{\min}$ 定义、以及 $\boldsymbol\xi$/$\nu_{\mathrm{ref}}$ Schur 分块下的 \gls{doa}--Doppler 耦合比例 $\gamma_{\xi,\nu}^2$ 见附录~\ref{subsec:A7_efimIllConditioning}。 将 EFIM 按 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}=[\boldsymbol\xi^\Tran,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$ 分块后，$\boldsymbol\xi$ 未知条件下 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 的边际 \gls{crb} 满足 +% \begin{equation} \operatorname{CRB}_{\nu} = @@ -220,6 +249,7 @@ CP 模型的干扰参数向量为 = \frac{1}{\sqrt{1-\gamma_{\xi,\nu}^{2}}}. \end{equation} +% 因此 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 的多星增益受 \gls{doa}--Doppler 耦合比例约束：即使多星几何能放大 $\mathcal I_{\nu\nu}$，若 $\gamma_{\xi,\nu}^2$ 随 $L$ 增大而恶化，则边际 Doppler CRB 仍受限。 $\boldsymbol\xi$ 的增益主要来自空间视线与阵列流形几何多样性；$\nu_{\mathrm{ref}}$ 的增益主要来自能量叠加与跨帧相干结构，并受到 Schur 损失限制。 @@ -228,18 +258,22 @@ $\boldsymbol\xi$ 的增益主要来自空间视线与阵列流形几何多样性 上一小节的 EFIM 描述的是已落入正确局部 basin 后的 in-tooth 曲率；它不能解释 profile likelihood 在 Doppler 方向上的全局离散多峰结构——后者属于局部 CRB 失效的门限区现象~\cite{athleyThresholdRegionPerformance2005}。 若参与相干匹配的帧集合为 $\mathcal P$、第 $p$ 帧起始偏移为 $\tau_p$，则沿 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 方向的集中目标包含 frame-time spectral window +% \begin{equation} W_{\mathcal P}(\Delta\nu) \triangleq \sum_{p\in\mathcal P} w_p\exp\{j\Delta\nu\tau_p\}. \end{equation} +% 等间隔 $\tau_p=p\Delta\tau_{\mathrm{f}}$ 且 $w_p$ 近似一致时，$W_{\mathcal P}$ 退化为离散 Dirichlet 窗口，在 +% \begin{equation} \Delta\nu=k\Delta\nu_{\mathrm{tooth}}, \qquad \Delta\nu_{\mathrm{tooth}}\triangleq\frac{2\pi}{\Delta\tau_{\mathrm{f}}}, \qquad k\in\mathbb Z \end{equation} +% 处所有帧相位同时对齐，产生间隔为 $\Delta\nu_{\mathrm{tooth}}$ 的 comb-like objective branches。 换算到物理 Hz 即 $\Delta\nu_{\mathrm{tooth}}^{\mathrm{Hz}}=1/(\Delta\tau_{\mathrm{f}}T_{\mathrm s})$。 该 comb 是全局 profile likelihood 的周期窗口效应，与 EFIM 局部曲率并不矛盾——EFIM 只刻画某一个 tooth 内的二阶曲率，并不保证全局唯一 tooth。 @@ -248,6 +282,7 @@ $\boldsymbol\xi$ 的增益主要来自空间视线与阵列流形几何多样性 当 $T\ll\Delta\tau_{\mathrm{f}}$ 时，相邻 tooth 的块内相干损失约为 $\frac{\pi^2}{3}(T/\Delta\tau_{\mathrm{f}})^2$，因此增大 $T$ 可增强相邻 tooth 的分离度。 非周期 subset 更适合用于 tooth acquisition；完整周期数据在 tooth 选对之后由于保留更多相干能量，更适合同 tooth 内 refine。 若定义 tooth 可分离性为不同 $k$ 下 profile optimum 之间的目标差 +% \begin{equation} D_{\mathrm{tooth}} \triangleq @@ -256,6 +291,7 @@ $\boldsymbol\xi$ 的增益主要来自空间视线与阵列流形几何多样性 - \mathcal L^{\mathrm{pro}}_{\mathrm{cp}}(\widehat{\boldsymbol\eta}_{0}), \end{equation} +% 则 EFIM/CRB 只有在 $D_{\mathrm{tooth}}$ 足够大、tooth 选对后才能作为同 tooth 内估计误差的局部描述。Dirichlet 窗口的完整推导、块内相干损失的 sinc 近似与 tooth 可分离性的数值刻画均见附录~\ref{sec:A7_dynDoaDopplerCrb} 末尾的补充分析。 本节完成了多帧动态主线：CP 模型通过同星公共相位 $\chi_\ell$ 显式利用跨帧绝对时间信息，IP 模型作为对照基线放弃跨帧绝对相位；二者的 EFIM 差异量化了跨帧连续相位携带的信息量。 diff --git a/parts/sec7_userPositioning.tex b/parts/sec7_userPositioning.tex index dc10ae5..4333dcc 100644 --- a/parts/sec7_userPositioning.tex +++ b/parts/sec7_userPositioning.tex @@ -11,12 +11,15 @@ 设用户在参考时刻的三维位置为 $\mathbf p\in\mathbb R^3$（ECI 坐标系），在单观测块内视为常量（与第~\ref{subsec:staticBlockModel} 小节``\gls{doa} 块内不变''同级的假设；用户运动的 Doppler 效应仍按既有模型折叠进 $\nu_{\mathrm{ref}}$，不升格为显式速度参数）。 第 $\ell$ 颗卫星到用户的视线向量与单位视线方向为 +% \begin{equation} \mathbf r_\ell(\mathbf p)\triangleq\mathbf p-\mathbf s_\ell, \qquad \mathbf u_\ell(\mathbf p)=\frac{\mathbf r_\ell(\mathbf p)}{\|\mathbf r_\ell(\mathbf p)\|_2}\in\mathbb R^3. \end{equation} +% 与第~\ref{subsec:globalLocalDoaMap} 小节的关键区别是：这里的 $\mathbf u_\ell(\mathbf p)$ \emph{逐星不同}，而不再是同一个全局方向 $\mathbf u(\boldsymbol\xi)$。沿用同一组本地坐标基与旋转矩阵 $\boldsymbol\Omega_\ell$，本地来向与本地角度为 +% \begin{equation} \mathbf u_\ell^{\mathrm{loc}}(\mathbf p)=\boldsymbol\Omega_\ell^\Tran\mathbf u_\ell(\mathbf p), \qquad @@ -24,10 +27,13 @@ \qquad \beta_\ell^{\mathrm{loc}}=\arcsin\!\big(u^{\mathrm{loc}}_{\ell,3}\big), \end{equation} +% 并据此代入与第~\ref{subsec:single_arr_array_model} 小节完全相同的 ULA/UPA 阵列导向模板，得到本地导向矢量 +% \begin{equation} \mathbf a_\ell(\mathbf p)\triangleq\mathbf a_\ell\!\big(\alpha_\ell^{\mathrm{loc}}(\mathbf p),\beta_\ell^{\mathrm{loc}}(\mathbf p)\big)\in\mathbb C^{M_\ell\times1}. \end{equation} +% 也即\emph{每阵列内部仍是平面波模型，阵列导向 $\mathbf a_\ell$ 的形式一字不改}；变的只是``本地角由 $\mathbf p$ 而非 $\boldsymbol\xi$ 诱导''。 \begin{mdquote} @@ -37,33 +43,42 @@ \subsection{链路 Doppler 的位置诱导} 沿用第~\ref{subsec:refSatParameterization} 小节的参考星参数化，各链路归一化 Doppler 仍写为 +% \begin{equation} \nu_\ell(\mathbf p,\nu_{\mathrm{ref}})=\nu_{\mathrm{ref}}+\Delta\nu_\ell(\mathbf p), \qquad \Delta\nu_{\ell_{\mathrm{ref}}}(\mathbf p)\equiv0. \end{equation} +% 与第~\ref{subsec:staticBlockModel} 小节由方向 $\boldsymbol\xi$ 诱导不同，几何差分现在由\emph{用户位置}与已知星历诱导。每条链路的几何归一化 Doppler 正比于卫星沿视线的径向速度 $\mathbf u_\ell(\mathbf p)^\Tran\mathbf v_\ell$，取其相对参考链路之差，得 +% \begin{equation} \label{eq:sec7_dnu_pos} \Delta\nu_\ell(\mathbf p) =\frac{2\pi T_{\mathrm s}}{\lambda_{\mathrm c}} \big[\mathbf u_\ell(\mathbf p)^\Tran\mathbf v_\ell-\mathbf u_{\ell_{\mathrm{ref}}}(\mathbf p)^\Tran\mathbf v_{\ell_{\mathrm{ref}}}\big], \end{equation} +% 其中整体符号取决于上行/去向约定，不影响 \gls{crb}（Fisher 信息对此不变）。关键是 $\mathbf u_\ell(\mathbf p)$ 经 $\mathbf p-\mathbf s_\ell$ 依赖\emph{完整位置}（含距离），故 $\Delta\nu_\ell$ 不只约束方向、也约束距离。 参考链路总 Doppler $\nu_{\mathrm{ref}}$ 仍作自由标量，继续吸收参考链路绝对 range-rate 与用户载频/钟偏；与既有模型一致，用户自身运动只通过 $\nu_{\mathrm{ref}}$（多帧情形再加 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$）进入，其对差分 Doppler 的残余贡献按静态块近似忽略。由此绝对 Doppler 不进入几何，几何只通过差分 $\Delta\nu_\ell(\mathbf p)$ 约束 $\mathbf p$。 \subsection{信号模型、主参数与集中似然} 第 $\ell$ 颗卫星接收向量与第~\ref{subsec:staticBlockModel} 小节同构，仅将 $\boldsymbol\xi$ 替换为 $\mathbf p$： +% \begin{equation} \mathbf y_\ell(t)=\zeta_\ell\,\mathbf a_\ell(\mathbf p)\,s(t)\,e^{j\nu_\ell(\mathbf p,\nu_{\mathrm{ref}})t}+\mathbf n_\ell(t), \qquad \mathbf n_\ell(t)\sim\mathcal{CN}(\mathbf0,\sigma_{n,\ell}^2\mathbf I_{M_\ell}). \end{equation} +% 时间模板 $\mathbf q_\ell(\mathbf p,\nu_{\mathrm{ref}})$ 与空时模板 $\mathbf g_\ell=\mathbf q_\ell\otimes\mathbf a_\ell$ 按相同方式定义。主参数为 +% \begin{equation} \boldsymbol\eta_{\mathrm{pos}} =\begin{bmatrix}\mathbf p\\\nu_{\mathrm{ref}}\end{bmatrix}\in\mathbb R^4, \end{equation} +% 干扰参数仍为各星复增益与噪声方差 $\{\zeta_\ell,\sigma_{n,\ell}^2\}$。由于似然以及对 $\zeta_\ell$、$\sigma_{n,\ell}^2$ 的闭式消元与第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst} 节逐字平行（只是 $\mathbf g_\ell$ 现在依赖 $\mathbf p$），集中似然准则直接写为 +% \begin{equation} \widehat{\boldsymbol\eta}_{\mathrm{pos}} =\arg\min_{\mathbf p,\nu_{\mathrm{ref}}} @@ -71,6 +86,7 @@ \qquad \mathcal E_\ell\triangleq\|\tilde{\mathbf y}_\ell\|_2^2-\frac{\big|\mathbf g_\ell^\Herm\tilde{\mathbf y}_\ell\big|^2}{\|\mathbf g_\ell\|_2^2}. \end{equation} +% 形式与第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst} 节的集中似然完全一致，仍是``在统一的 $(\mathbf p,\nu_{\mathrm{ref}})$ 下，对各星空时匹配输出按几何与噪声水平加权融合''，只是匹配模板 $\mathbf g_\ell$ 由位置参数化。 \subsection{可辨识性与几何精度} @@ -82,10 +98,12 @@ \subsection{多用户堆叠} 推广到 $K$ 个单天线用户，只需把每个用户的位置与参考 Doppler 独立堆叠： +% \begin{equation} \boldsymbol\eta_{\mathrm{mu\text{-}pos}} =[\mathbf p_1^\Tran,\nu_{\mathrm{ref},1},\ldots,\mathbf p_K^\Tran,\nu_{\mathrm{ref},K}]^\Tran\in\mathbb R^{4K}. \end{equation} +% 第 $\ell$ 颗卫星对第 $k$ 个用户的空时模板 $\mathbf g_{\ell,k}=\mathbf q_{\ell,k}\otimes\mathbf a_\ell(\mathbf p_k)$、集中似然对各星 $\mathbf G_\ell=[\mathbf g_{\ell,1},\ldots,\mathbf g_{\ell,K}]$ 列空间的投影、以及用户分离可辨识性，全部与第~\ref{sec:multiSatMultiUser} 节及\ref{subsec:E2_multiUserMultiSatCrb} 逐字平行，只把 $\boldsymbol\xi_k$ 换成 $\mathbf p_k$。 本节完成了从全局方向到用户三维位置的输出参数化：阵列信号模型、参考星 Doppler、集中似然与 EFIM 框架全部继承自多星静态主线，唯一变动的是``位置经逐星视线映射诱导各星本地角与差分 Doppler''这一几何层；全局方向模型为其远场极限。这正是第二篇论文``多星阵列对多用户单天线定位''所需的模型接口；时间戳误差与多帧连续相位扩展可正交叠加于此。