content(sec,app): 撰写 sec4/sec5 与附录 E.2/F 实质推导
sec4 给出多用户 K 推广：信号模型、η_mu、集中似然投影准则、
用户分离可辨识性的几何刻画。sec5 引入时间戳误差 δ_ℓ 作为
部分相干干扰参数，扰动信号模型、相位耦合与导频偏移两条
途径、小/大误差区适用性分析、EFIM 框架概览。
附录 E.2 把 E.1 复增益 Schur 补框架扩展到多用户，给出 3K×3K
EFIM 与用户分离可辨识性的秩条件；附录 F 给出 FIM 三段分块、
逐星 Schur 消去 δ_ℓ 的 EFIM 解析形式、数值评估流程，以及
K=1,L=2 最简情形的闭式 EFIM。F.3 离散化精度与 K≥2,L≥3
的解析推导留 % TODO 注释。
符号注册：η_mu、ν_{ref,k}、ζ_{ℓ,k}、δ 并入附录 A 符号表；
下标 mu/te 加入模型标记表。
This commit is contained in:
@@ -551,6 +551,164 @@ $\begin{bmatrix}\mathbf g_\ell & j\mathbf g_\ell\end{bmatrix}$。虽然这两个
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\subsection{多用户多星 CRB（扩展）}
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\label{subsec:E2_multiUserMultiSatCrb}
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% TODO: 阶段 5 content commit 填入实质内容
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本小节对应正文第~\ref{sec:multiSatMultiUser} 节，把 E.1 的复增益 Schur 补框架扩展到 $K\ge 1$ 个用户。主参数堆叠为
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\begin{equation}
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\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}
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=
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\big[
|
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\boldsymbol\xi_1^\Tran,\nu_{\mathrm{ref},1},
|
||||
\ldots,
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||||
\boldsymbol\xi_K^\Tran,\nu_{\mathrm{ref},K}
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\big]^\Tran
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\in\mathbb R^{3K}.
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\end{equation}
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均值干扰参数为各星各用户的复增益
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\begin{equation}
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\boldsymbol\psi_{\zeta,\mathrm{mu}}
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||||
=
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||||
\big[
|
||||
\zeta_{0,1}^{(r)},\zeta_{0,1}^{(i)},\ldots,
|
||||
\zeta_{L-1,K}^{(r)},\zeta_{L-1,K}^{(i)}
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||||
\big]^\Tran
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||||
\in\mathbb R^{2LK}.
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\end{equation}
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噪声方差参与协方差但与均值参数解耦，同 E.1 不显式出现在 Schur 补中。
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动态模型的连续相位和独立相位 CRB 在附录~\ref{sec:multiFrameCrb} 中继续展开。
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\subsubsection{多用户 Jacobian}
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第 $\ell$ 颗卫星均值向量
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\begin{equation}
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\boldsymbol\mu_\ell(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}},\boldsymbol\zeta_\ell)
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=
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\mathbf G_\ell(\boldsymbol\Xi,\boldsymbol\nu_{\mathrm{ref}})\boldsymbol\zeta_\ell
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=
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||||
\sum_{k=1}^{K}\zeta_{\ell,k}\mathbf g_{\ell,k},
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\end{equation}
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其中 $\mathbf g_{\ell,k}=\mathbf q_{\ell,k}\otimes\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi_k)$。
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关于第 $k$ 个用户的主参数子向量 $\boldsymbol\eta_k\triangleq[\boldsymbol\xi_k^\Tran,\nu_{\mathrm{ref},k}]^\Tran\in\mathbb R^3$，由于 $\mathbf g_{\ell,k'}$ 在 $k'\neq k$ 时与 $\boldsymbol\eta_k$ 无关，Jacobian 只通过本用户的 $\mathbf g_{\ell,k}$ 列出现：
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\begin{equation}
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\mathbf J_{\eta_k,\ell}
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\triangleq
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||||
\frac{\partial\boldsymbol\mu_\ell}{\partial\boldsymbol\eta_k}
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=
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||||
\zeta_{\ell,k}\,
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||||
\mathbf D_{\ell,k}
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||||
\in\mathbb C^{M_\ell T\times 3},
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\end{equation}
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其中 $\mathbf D_{\ell,k}\triangleq[\partial\mathbf g_{\ell,k}/\partial\alpha_k,\,\partial\mathbf g_{\ell,k}/\partial\beta_k,\,\partial\mathbf g_{\ell,k}/\partial\nu_{\mathrm{ref},k}]$，三列的具体表达完全平行于 \eqref{eq:A6_Dl}，只需把 $\boldsymbol\xi$、$\nu_{\mathrm{ref}}$ 替换为 $\boldsymbol\xi_k$、$\nu_{\mathrm{ref},k}$。
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将所有用户的 Jacobian 横向拼接为
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\begin{equation}
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\mathbf J_{\eta,\ell}
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=
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\big[
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||||
\mathbf J_{\eta_1,\ell},\ldots,\mathbf J_{\eta_K,\ell}
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||||
\big]
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||||
\in\mathbb C^{M_\ell T\times 3K}.
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||||
\end{equation}
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关于本星复增益 $[\zeta_{\ell,1}^{(r)},\zeta_{\ell,1}^{(i)},\ldots,\zeta_{\ell,K}^{(r)},\zeta_{\ell,K}^{(i)}]^\Tran$ 的 Jacobian 为
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\begin{equation}
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||||
\mathbf J_{\psi,\ell}
|
||||
=
|
||||
\big[
|
||||
\mathbf g_{\ell,1},j\mathbf g_{\ell,1},\ldots,\mathbf g_{\ell,K},j\mathbf g_{\ell,K}
|
||||
\big]
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||||
\in\mathbb C^{M_\ell T\times 2K}.
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||||
\end{equation}
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$\mathbf J_{\psi,\ell}$ 的实参数化二维实子空间与复矩阵 $\mathbf G_\ell$ 的 $K$ 维复列空间等价。
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\subsubsection{Fisher 信息矩阵分块与 Schur 补}
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按各星条件独立性，Fisher 信息矩阵分块同 \eqref{eq:A6_Itt}--\eqref{eq:A6_Ibb}，只是块尺寸调整为 $\mathcal I_{\eta\eta}\in\mathbb R^{3K\times 3K}$、$\mathcal I_{\psi\psi}\in\mathbb R^{2LK\times 2LK}$（块对角，每星 $2K\times 2K$ 块）：
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\begin{equation}
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||||
\mathcal I_{\eta\eta}
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||||
=
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||||
\sum_{\ell=0}^{L-1}
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||||
\frac{2}{\sigma_{n,\ell}^2}
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||||
\Re\!\big\{\mathbf J_{\eta,\ell}^\Herm\mathbf J_{\eta,\ell}\big\}.
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||||
\end{equation}
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||||
由于 $\mathbf J_{\psi,\ell}$ 的实子空间等价于 $\mathbf G_\ell$ 的复列空间，关于复增益块的 Schur 补化为对 $\mathbf G_\ell$ 列空间正交补的投影。定义
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\begin{equation}
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||||
\mathcal P_{\mathbf G_\ell}
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||||
\triangleq
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||||
\mathbf G_\ell(\mathbf G_\ell^\Herm\mathbf G_\ell)^{-1}\mathbf G_\ell^\Herm,
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\qquad
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||||
\mathcal P_{\mathbf G_\ell}^\perp
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||||
\triangleq
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||||
\mathbf I_{M_\ell T}-\mathcal P_{\mathbf G_\ell},
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||||
\end{equation}
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则消去复增益后的等效 Fisher 信息矩阵为
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\begin{equation}
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\label{eq:E2_Ieff_proj}
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||||
\mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}})
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||||
=
|
||||
2\sum_{\ell=0}^{L-1}
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||||
\frac{1}{\sigma_{n,\ell}^2}
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||||
\Re\!\big\{
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||||
\mathbf J_{\eta,\ell}^\Herm
|
||||
\mathcal P_{\mathbf G_\ell}^\perp
|
||||
\mathbf J_{\eta,\ell}
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||||
\big\}
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||||
\in\mathbb R^{3K\times 3K}.
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||||
\end{equation}
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按用户分块写出，第 $(k,k')$ 个对角/非对角 $3\times 3$ 子块为
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\begin{equation}
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\big[\mathcal I_{\mathrm e}\big]_{kk'}
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||||
=
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||||
2\sum_{\ell=0}^{L-1}
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||||
\frac{1}{\sigma_{n,\ell}^2}
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||||
\Re\!\Big\{
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||||
\zeta_{\ell,k}^*\zeta_{\ell,k'}\,
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||||
\mathbf D_{\ell,k}^\Herm
|
||||
\mathcal P_{\mathbf G_\ell}^\perp
|
||||
\mathbf D_{\ell,k'}
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||||
\Big\}.
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||||
\end{equation}
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复系数 $\zeta_{\ell,k}^*\zeta_{\ell,k'}$ 必须保留在 $\Re\{\cdot\}$ 内，因为它和右侧厄米积都是一般复值，不能逐因子取实部。$K=1$ 时 $\zeta_\ell^*\zeta_\ell=|\zeta_\ell|^2$ 退化为实数，可提到 $\Re\{\cdot\}$ 外，此时上式即回到 \eqref{eq:A6_Ieff_final} 的单用户基线。
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\subsubsection{用户分离的可辨识性条件}
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\eqref{eq:E2_Ieff_proj} 给出的 EFIM 非奇异性等价于多用户主参数 score 在复增益干扰参数 score 正交补上的投影列空间 ``在所有 $L$ 颗卫星上联合满秩''。具体地，记每颗卫星上的``白化主参数 Jacobian''
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\begin{equation}
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||||
\bar{\mathbf J}_{\eta,\ell}
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||||
\triangleq
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||||
\frac{1}{\sigma_{n,\ell}}\mathcal P_{\mathbf G_\ell}^\perp\mathbf J_{\eta,\ell},
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||||
\end{equation}
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EFIM 非奇异 $\Leftrightarrow$ 联合矩阵 $[\bar{\mathbf J}_{\eta,0}^\Tran,\ldots,\bar{\mathbf J}_{\eta,L-1}^\Tran]^\Tran$ 列满秩，即 ``$3K\le \sum_\ell M_\ell T$ 且不同用户的白化 score 之间不存在跨星全局共线性''。
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正文 \S\ref{subsec:userSeparability} 给出的几何陈述——``两个用户在所有 $L$ 颗星上相干度 $\rho_{\ell,kk'}\to 1$ 时分离失效''——可由此式严格化：当某对 $(k,k')$ 满足
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\begin{equation}
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||||
\mathcal P_{\mathbf G_\ell}^\perp\mathbf g_{\ell,k}
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\approx
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c_\ell\,
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\mathcal P_{\mathbf G_\ell}^\perp\mathbf g_{\ell,k'},
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\qquad\forall\ell,
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\end{equation}
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对应 $\boldsymbol\eta_k$ 与 $\boldsymbol\eta_{k'}$ 方向上的 EFIM 块趋于秩亏，集中似然在该方向出现伪极值。多星几何提供的缓解机制——只要存在一颗星 $\ell$ 上述等式严重违反——也直接由这一秩条件读出。
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\subsubsection{CRB 表达式}
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多用户主参数 CRB 为
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\begin{equation}
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\operatorname{CRB}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}})
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=
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\mathcal I_{\mathrm e}^{-1}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}})
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\in\mathbb R^{3K\times 3K}.
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||||
\end{equation}
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若只关心第 $k$ 个用户的 DoA $\boldsymbol\xi_k$，先把上式按 $(\boldsymbol\xi_k,\text{其余})$ 分块再取 Schur 补
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\begin{equation}
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||||
\operatorname{CRB}(\boldsymbol\xi_k)
|
||||
=
|
||||
\mathbf C_{\xi,k}
|
||||
=
|
||||
\big[
|
||||
\mathcal I_{\mathrm e}^{-1}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}})
|
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\big]_{\boldsymbol\xi_k,\boldsymbol\xi_k}
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||||
\in\mathbb R^{2\times 2},
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\end{equation}
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即 $\mathcal I_{\mathrm e}^{-1}$ 中对应 $\boldsymbol\xi_k$ 行/列的 $2\times 2$ 子块。$\mathbf C_{\xi,k}$ 同时被后续波束成形章节作为鲁棒设计的理论上界使用。
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\medskip
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附录 E 完成了多星静态模型从单用户到多用户的 \gls{crb} 推导。带时间戳误差的部分相干 EFIM 在附录~\ref{sec:timestampErrCrb} 中继续展开；动态多帧模型的连续相位和独立相位 CRB 在附录~\ref{sec:multiFrameCrb} 中继续展开。
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Reference in New Issue
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