content(sec,app): 撰写 sec4/sec5 与附录 E.2/F 实质推导
sec4 给出多用户 K 推广：信号模型、η_mu、集中似然投影准则、
用户分离可辨识性的几何刻画。sec5 引入时间戳误差 δ_ℓ 作为
部分相干干扰参数，扰动信号模型、相位耦合与导频偏移两条
途径、小/大误差区适用性分析、EFIM 框架概览。
附录 E.2 把 E.1 复增益 Schur 补框架扩展到多用户，给出 3K×3K
EFIM 与用户分离可辨识性的秩条件；附录 F 给出 FIM 三段分块、
逐星 Schur 消去 δ_ℓ 的 EFIM 解析形式、数值评估流程，以及
K=1,L=2 最简情形的闭式 EFIM。F.3 离散化精度与 K≥2,L≥3
的解析推导留 % TODO 注释。
符号注册：η_mu、ν_{ref,k}、ζ_{ℓ,k}、δ 并入附录 A 符号表；
下标 mu/te 加入模型标记表。
This commit is contained in:
+237
-1
@@ -1,4 +1,240 @@
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\section{时间戳误差下的 EFIM 分析}
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\label{sec:timestampErrCrb}
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% TODO: 阶段 5 content commit 填入实质内容
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本附录沿用正文第~\ref{sec:timestampError} 节的部分相干观测模型，补充关于主参数 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}\in\mathbb R^{3K}$ 的 EFIM 分块结构、Schur complement 消去 $\boldsymbol\delta$ 的解析形式、数值评估框架，以及 $K=1, L=2$ 最简情形的解析推导。
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小误差区与大误差区的划分仍按正文 \S\ref{subsec:timestampApplicability} 的定义；下文若无特别说明，默认在小误差区作 Taylor 展开。
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\subsection{Fisher 信息矩阵分块结构}
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\label{subsec:F1_fimBlockStruct}
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记第 $\ell$ 颗卫星观测均值向量为
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\begin{equation}
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\boldsymbol\mu_\ell(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}},\delta_\ell,\boldsymbol\zeta_\ell)
|
||||
=
|
||||
\sum_{k=1}^{K}
|
||||
\zeta_{\ell,k}\,
|
||||
\mathbf g_{\ell,k}(\boldsymbol\xi_k,\nu_{\mathrm{ref},k},\delta_\ell),
|
||||
\end{equation}
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||||
其中
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\begin{equation}
|
||||
\mathbf g_{\ell,k}(\boldsymbol\xi_k,\nu_{\mathrm{ref},k},\delta_\ell)
|
||||
=
|
||||
\mathbf q_{\ell,k}(\nu_{\mathrm{ref},k},\delta_\ell)
|
||||
\otimes
|
||||
\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi_k),
|
||||
\qquad
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||||
[\mathbf q_{\ell,k}]_t
|
||||
=
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||||
s_k(t-\delta_\ell)\,
|
||||
e^{j\nu_{\ell,k}(\boldsymbol\xi_k,\nu_{\mathrm{ref},k})(t-\delta_\ell)}.
|
||||
\end{equation}
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参考星 $\ell_{\mathrm{ref}}$ 有 $\delta_{\ell_{\mathrm{ref}}}\equiv 0$，仅 $L-1$ 个非参考星贡献 $\delta_\ell$ 自由度。
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按 \S\ref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb} 的 Slepian--Bangs 公式，各星条件独立的圆对称复高斯模型下 Fisher 信息矩阵元素为
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\begin{equation}
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||||
\big[\mathcal I(\boldsymbol\kappa_{\mathrm{te}})\big]_{ij}
|
||||
=
|
||||
\sum_{\ell=0}^{L-1}
|
||||
\frac{2}{\sigma_{n,\ell}^2}
|
||||
\Re\!\left\{
|
||||
\frac{\partial\boldsymbol\mu_\ell^\Herm}{\partial\kappa_i}
|
||||
\frac{\partial\boldsymbol\mu_\ell}{\partial\kappa_j}
|
||||
\right\}.
|
||||
\end{equation}
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||||
按 $(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}},\boldsymbol\delta,\boldsymbol\psi_\zeta)$ 三段分块为
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\begin{equation}
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\label{eq:F1_three_block}
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||||
\mathcal I
|
||||
=
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
\mathcal I_{\eta\eta} & \mathcal I_{\eta\delta} & \mathcal I_{\eta\psi}\\
|
||||
\mathcal I_{\delta\eta} & \mathcal I_{\delta\delta} & \mathcal I_{\delta\psi}\\
|
||||
\mathcal I_{\psi\eta} & \mathcal I_{\psi\delta} & \mathcal I_{\psi\psi}
|
||||
\end{bmatrix}.
|
||||
\end{equation}
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||||
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||||
由于不同卫星之间噪声独立、$\delta_\ell$ 仅出现在第 $\ell$ 颗卫星的均值向量中，$\mathcal I_{\delta\delta}$ 是 $(L-1)\times(L-1)$ 的\emph{对角矩阵}（参考星对应行/列已去除）：
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\begin{equation}
|
||||
\big[\mathcal I_{\delta\delta}\big]_{\ell\ell'}
|
||||
=
|
||||
\frac{2}{\sigma_{n,\ell}^2}
|
||||
\Re\!\left\{
|
||||
\frac{\partial\boldsymbol\mu_\ell^\Herm}{\partial\delta_\ell}
|
||||
\frac{\partial\boldsymbol\mu_\ell}{\partial\delta_\ell}
|
||||
\right\}
|
||||
\cdot
|
||||
\mathbb 1\{\ell=\ell'\},
|
||||
\qquad
|
||||
\ell,\ell'\neq\ell_{\mathrm{ref}}.
|
||||
\end{equation}
|
||||
$\mathcal I_{\delta\psi}$ 同样具有按 $\ell$ 的块对角结构：第 $\ell$ 个 $\delta$ 行只与本星复增益 $\{\zeta_{\ell,k}^{(r)},\zeta_{\ell,k}^{(i)}\}_{k=1}^K$ 列有非零分块。这两个性质使下文 Schur 消去可逐星独立完成。
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\subsection{Schur complement 消去 \texorpdfstring{$\boldsymbol\delta$}{δ}}
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\label{subsec:F2_schurDelta}
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先消复增益。沿用 \S\ref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb} 的复增益投影做法，对每颗卫星定义对其 $K$ 列空时模板 $\mathbf G_\ell=[\mathbf g_{\ell,1},\ldots,\mathbf g_{\ell,K}]$ 的正交投影
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\begin{equation}
|
||||
\mathcal P_{\mathbf G_\ell}
|
||||
=
|
||||
\mathbf G_\ell\big(\mathbf G_\ell^\Herm\mathbf G_\ell\big)^{-1}\mathbf G_\ell^\Herm,
|
||||
\qquad
|
||||
\mathcal P_{\mathbf G_\ell}^\perp
|
||||
=
|
||||
\mathbf I_{M_\ell T}-\mathcal P_{\mathbf G_\ell}.
|
||||
\end{equation}
|
||||
\eqref{eq:F1_three_block} 关于复增益块的 Schur 补可写为
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||||
\begin{equation}
|
||||
\label{eq:F2_after_psi}
|
||||
\mathcal I^{(\psi)}
|
||||
\triangleq
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
\mathcal I_{\eta\eta}' & \mathcal I_{\eta\delta}'\\
|
||||
\mathcal I_{\delta\eta}' & \mathcal I_{\delta\delta}'
|
||||
\end{bmatrix},
|
||||
\qquad
|
||||
\begin{aligned}
|
||||
\mathcal I_{\eta\eta}'
|
||||
&=
|
||||
2\sum_{\ell}\frac{1}{\sigma_{n,\ell}^2}
|
||||
\Re\!\left\{
|
||||
\mathbf J_{\eta,\ell}^\Herm
|
||||
\big(\mathbf I-\mathcal P_{\mathbf G_\ell}\big)
|
||||
\mathbf J_{\eta,\ell}
|
||||
\right\}\big|_{\delta_\ell=0},\\
|
||||
\mathcal I_{\delta\delta}'
|
||||
&=
|
||||
\operatorname{diag}\!\Big(
|
||||
\tfrac{2}{\sigma_{n,\ell}^2}
|
||||
\Re\!\big\{\mathbf j_{\delta,\ell}^\Herm
|
||||
(\mathbf I-\mathcal P_{\mathbf G_\ell})
|
||||
\mathbf j_{\delta,\ell}\big\}\big|_{\delta_\ell=0}
|
||||
\Big)_{\ell\neq\ell_{\mathrm{ref}}},\\
|
||||
\mathcal I_{\eta\delta}'
|
||||
&=
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
\cdots\quad
|
||||
\tfrac{2}{\sigma_{n,\ell}^2}
|
||||
\Re\!\big\{\mathbf J_{\eta,\ell}^\Herm
|
||||
(\mathbf I-\mathcal P_{\mathbf G_\ell})\mathbf j_{\delta,\ell}\big\}\big|_{\delta_\ell=0}
|
||||
\quad\cdots
|
||||
\end{bmatrix},
|
||||
\end{aligned}
|
||||
\end{equation}
|
||||
其中 $\mathbf J_{\eta,\ell}=\partial\boldsymbol\mu_\ell/\partial\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$、$\mathbf j_{\delta,\ell}=\partial\boldsymbol\mu_\ell/\partial\delta_\ell$ 均在小误差区于 $\delta_\ell=0$ 处展开。Jacobian $\mathbf J_{\eta,\ell}$ 的列结构与 \S\ref{subsec:E2_multiUserMultiSatCrb} 完全一致；只需在 $\mathbf j_{\delta,\ell}$ 处显式展开 $\delta_\ell$ 进入的两条途径——相位偏移 $-\nu_{\ell,k}\delta_\ell$ 与导频时间偏移 $s_k(t-\delta_\ell)$：
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||||
\begin{equation}
|
||||
\label{eq:F2_jdelta}
|
||||
\frac{\partial\mathbf g_{\ell,k}}{\partial\delta_\ell}\bigg|_{\delta_\ell=0}
|
||||
=
|
||||
\dot{\mathbf q}_{\ell,k}^{\,\mathrm{te}}
|
||||
\otimes
|
||||
\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi_k),
|
||||
\qquad
|
||||
\big[\dot{\mathbf q}_{\ell,k}^{\,\mathrm{te}}\big]_t
|
||||
=
|
||||
\big[\dot s_k(t)-j\nu_{\ell,k}s_k(t)\big]e^{j\nu_{\ell,k}t},
|
||||
\end{equation}
|
||||
其中 $\dot s_k(t)\triangleq -\partial s_k(t-\delta_\ell)/\partial\delta_\ell\big|_{\delta_\ell=0}$ 为导频的时间导数（离散场景下取差分近似）。$\mathbf j_{\delta,\ell}=\sum_k\zeta_{\ell,k}\,\partial\mathbf g_{\ell,k}/\partial\delta_\ell$。
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||||
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||||
由于 $\mathcal I_{\delta\delta}'$ 对角，对 $\boldsymbol\delta$ 的 Schur 消去逐星可写
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||||
\begin{equation}
|
||||
\label{eq:F2_efim_final}
|
||||
\mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}})
|
||||
=
|
||||
\mathcal I_{\eta\eta}'
|
||||
-
|
||||
\sum_{\ell\neq\ell_{\mathrm{ref}}}
|
||||
\frac{1}{[\mathcal I_{\delta\delta}']_{\ell\ell}}
|
||||
\mathbf v_{\eta\delta,\ell}'\,
|
||||
\mathbf v_{\eta\delta,\ell}'^{\,\Tran},
|
||||
\end{equation}
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||||
其中 $\mathbf v_{\eta\delta,\ell}'$ 为 $\mathcal I_{\eta\delta}'$ 中第 $\ell$ 列。这就是``逐星扣除 $\delta_\ell$ 引入的信息损失''的解析形式。
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||||
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||||
特别地，参考星 $\ell_{\mathrm{ref}}$ 不贡献 $\delta$ 自由度，对 EFIM 的贡献保持与完全相干情形相同；信息损失完全来自其余 $L-1$ 颗带时间戳误差的卫星。
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\subsection{数值 EFIM 评估框架}
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\label{subsec:F3_numericalEfim}
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大误差区下 \eqref{eq:F2_efim_final} 的一阶展开失效。此时把 EFIM 视为关于 $\boldsymbol\delta$ 真值的函数，按下列流程逐场景数值评估：
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\begin{enumerate}
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||||
\item 给定真值 $(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}},\boldsymbol\delta)$ 与各星 $\sigma_{n,\ell}^2$、$\{\zeta_{\ell,k}\}$；
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||||
\item 对每颗卫星 $\ell$，按 \eqref{eq:sec5_signal_model} 计算 $\mathbf g_{\ell,k}(\delta_\ell)$ 及其关于 $(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}},\delta_\ell)$ 的数值 Jacobian——其中 $\partial/\partial\delta_\ell$ 不再用 \eqref{eq:F2_jdelta} 一阶近似，而是用中心差分直接评估 $s_k(t-\delta_\ell)$ 与 $e^{j\nu_{\ell,k}(t-\delta_\ell)}$；
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||||
\item 组装 \eqref{eq:F1_three_block} 各分块，按 \S\ref{subsec:F2_schurDelta} 的顺序先消复增益、再消 $\boldsymbol\delta$；
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\item 输出 $\mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}};\boldsymbol\delta)$ 并取逆得到 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ 的 CRB。
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||||
\end{enumerate}
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||||
$\boldsymbol\delta$ 在导频自相关半宽 $T_{\mathrm{ac}}$ 处的非线性会让 $\mathcal I_{\delta\delta}'$ 显著偏离对角形式（不同 $\ell$ 之间通过导频互相关项耦合），此时\eqref{eq:F2_efim_final} 的``逐星扣除''形式不再适用，需要对 $\boldsymbol\delta$ 块整体求逆。
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% TODO: 实际数值评估的离散化精度（差分步长选取、导频上采样系数）与新论文仿真结果对齐后补充
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\subsection{特殊情形：\texorpdfstring{$K=1$, $L=2$}{K=1, L=2} 解析推导}
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\label{subsec:F4_K1L2}
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最简非平凡情形：单用户（$K=1$）、双星（$L=2$，参考星 $\ell_{\mathrm{ref}}=0$、非参考星 $\ell=1$、唯一时间戳误差 $\delta_1$）。主参数 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}=\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}}=[\alpha,\beta,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran\in\mathbb R^3$，干扰参数包含 $\delta_1$ 与两颗星的复增益、噪声方差。
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\paragraph{投影简化}
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单用户下每颗卫星 $\mathbf G_\ell$ 退化为单列 $\mathbf g_\ell=\mathbf q_\ell\otimes\mathbf a_\ell$，复增益投影 $\mathcal P_{\mathbf G_\ell}$ 退化为 $\mathbf g_\ell\mathbf g_\ell^\Herm/\|\mathbf g_\ell\|^2$，与 \S\ref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb} 的单用户基线一致。\eqref{eq:F2_after_psi} 中
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\begin{equation}
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||||
\mathcal I_{\eta\eta}'
|
||||
=
|
||||
\mathcal I_{\mathrm e}^{(\mathrm{stat})}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}})
|
||||
=
|
||||
\frac{2|\zeta_0|^2}{\sigma_{n,0}^2}
|
||||
\Re\!\big\{\mathbf D_0^\Herm\mathcal P_{\mathbf g_0}^\perp\mathbf D_0\big\}
|
||||
+
|
||||
\frac{2|\zeta_1|^2}{\sigma_{n,1}^2}
|
||||
\Re\!\big\{\mathbf D_1^\Herm\mathcal P_{\mathbf g_1}^\perp\mathbf D_1\big\}\bigg|_{\delta_1=0},
|
||||
\end{equation}
|
||||
其中 $\mathbf D_\ell$ 沿用 \eqref{eq:A6_Dl} 定义，$\delta_1=0$ 处求值即得到完全相干情形的 EFIM。
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||||
|
||||
\paragraph{$\delta_1$ 块}
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$\boldsymbol\delta=[\delta_1]$ 退化为标量，\eqref{eq:F2_jdelta} 中
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||||
\begin{equation}
|
||||
\big[\dot{\mathbf q}_1^{\,\mathrm{te}}\big]_t
|
||||
=
|
||||
\big[\dot s(t)-j\nu_1 s(t)\big]e^{j\nu_1 t},
|
||||
\qquad
|
||||
\mathbf j_{\delta,1}
|
||||
=
|
||||
\zeta_1\,\dot{\mathbf q}_1^{\,\mathrm{te}}\otimes\mathbf a_1(\boldsymbol\xi).
|
||||
\end{equation}
|
||||
对应的标量 Fisher 信息为
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\mathcal I_{\delta\delta}'
|
||||
=
|
||||
\frac{2|\zeta_1|^2}{\sigma_{n,1}^2}
|
||||
\big\|\mathbf a_1(\boldsymbol\xi)\big\|_2^2
|
||||
\cdot
|
||||
\Re\!\big\{(\dot{\mathbf q}_1^{\,\mathrm{te}})^\Herm\mathcal P_{\mathbf q_1}^\perp\dot{\mathbf q}_1^{\,\mathrm{te}}\big\},
|
||||
\end{equation}
|
||||
其中 $\mathcal P_{\mathbf q_1}^\perp=\mathbf I_T-\mathbf q_1\mathbf q_1^\Herm/\|\mathbf q_1\|^2$。化简利用了 Kronecker 内积关系 $(\mathbf u_1\otimes\mathbf v_1)^\Herm(\mathbf u_2\otimes\mathbf v_2)=(\mathbf u_1^\Herm\mathbf u_2)(\mathbf v_1^\Herm\mathbf v_2)$，并把空间部分因式 $\|\mathbf a_1\|^2$ 提出。
|
||||
|
||||
\paragraph{交叉项与 EFIM 闭式}
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||||
对 $(\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}},\delta_1)$ 的交叉项类似可写为
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\mathbf v'_{\eta\delta,1}
|
||||
=
|
||||
\frac{2}{\sigma_{n,1}^2}
|
||||
\Re\!\Big\{
|
||||
\zeta_1^*\mathbf D_1^\Herm
|
||||
\big(\mathbf I-\mathcal P_{\mathbf g_1}\big)
|
||||
\big[\zeta_1\,\dot{\mathbf q}_1^{\,\mathrm{te}}\otimes\mathbf a_1\big]
|
||||
\Big\}\in\mathbb R^3.
|
||||
\end{equation}
|
||||
代入 \eqref{eq:F2_efim_final} 得到 $K=1, L=2$ 情形下的闭式 EFIM
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\label{eq:F4_efim_K1L2}
|
||||
\mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}})\bigg|_{K=1,L=2}
|
||||
=
|
||||
\mathcal I_{\eta\eta}'
|
||||
-
|
||||
\frac{\mathbf v'_{\eta\delta,1}\,\mathbf v'^{\Tran}_{\eta\delta,1}}{\mathcal I_{\delta\delta}'},
|
||||
\end{equation}
|
||||
即在双星基线的 EFIM 上扣除一个秩一信息损失项，损失大小由非参考星上 $\delta_1$ 与主参数的 score 重叠决定。
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||||
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||||
\paragraph{特例：导频为单音常包络}
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若进一步取 $s(t)\equiv 1$（常包络单音导频），则 $\dot s(t)\equiv 0$，\eqref{eq:F2_jdelta} 退化为 $\dot{\mathbf q}_1^{\,\mathrm{te}}=-j\nu_1\mathbf q_1$，故 $\delta_1$ 进入似然只通过相位偏移 $-\nu_1\delta_1$ 一项；它与 $\partial/\partial\nu_{\mathrm{ref}}$ 完全共线（同为 $\dot{\mathbf q}_1$ 方向），$\delta_1$ 与 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 不可分辨——EFIM 在 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 方向变得奇异。此即 ``纯相位扰动下时间戳误差与 Doppler 完全耦合''的退化情形，说明可辨识性依赖导频带宽 $\dot s(t)\not\equiv 0$。
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% TODO: $K=1, L\ge 3$ 与 $K\ge 2, L=2$ 的解析中间结果——前者需引入 $L-1$ 个 δ_ℓ 联合处理（仍对角，但 v'_{ηδ} 维度变为 3×(L-1)）；后者多用户耦合让 $\mathcal P_{\mathbf G_\ell}$ 不再因式化，闭式较繁。本附录暂留为数值评估。
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\medskip
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至此，附录 F 给出了时间戳误差作为干扰参数时关于 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ 的 EFIM 结构与最简情形的闭式。多用户情形与一般 $L$ 的 EFIM 由 \S\ref{subsec:F3_numericalEfim} 的数值流程评估，作为新论文方法与 CRB 对比的基础。
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Reference in New Issue
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