josh/doa_doppler_est
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content(sec,app): 撰写 sec4/sec5 与附录 E.2/F 实质推导

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sec4 给出多用户 K 推广：信号模型、η_mu、集中似然投影准则、
用户分离可辨识性的几何刻画。sec5 引入时间戳误差 δ_ℓ 作为
部分相干干扰参数，扰动信号模型、相位耦合与导频偏移两条
途径、小/大误差区适用性分析、EFIM 框架概览。

附录 E.2 把 E.1 复增益 Schur 补框架扩展到多用户，给出 3K×3K
EFIM 与用户分离可辨识性的秩条件；附录 F 给出 FIM 三段分块、
逐星 Schur 消去 δ_ℓ 的 EFIM 解析形式、数值评估流程，以及
K=1,L=2 最简情形的闭式 EFIM。F.3 离散化精度与 K≥2,L≥3
的解析推导留 % TODO 注释。

符号注册：η_mu、ν_{ref,k}、ζ_{ℓ,k}、δ 并入附录 A 符号表；
下标 mu/te 加入模型标记表。
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josh
2026-06-14 22:28:39 +08:00
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+7 -1
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@@ -287,6 +287,9 @@
$\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}}$ & 静态多星 DoA--Doppler 主参数，统一写为 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}}=[\boldsymbol\xi^\Tran,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$。\\
$\boldsymbol\eta_{\tau}$ & DoA--Doppler--delay 扩展模型主参数，可写为 $\boldsymbol\eta_{\tau}=[\boldsymbol\xi^\Tran,\tau_{\mathrm{ref}},\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$。\\
$\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}$ & 动态多帧模型中作为主估计目标的参数，默认与 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}}$ 相同；$\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 放入干扰参数侧。\\
$\nu_{\mathrm{ref},k}$ & 多用户场景中第 $k$ 个用户的参考星归一化 Doppler；$K=1$ 时退化为 $\nu_{\mathrm{ref}}$。\\
$\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ & 多用户多星静态主参数，定义为 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}=[\boldsymbol\xi_1^\Tran,\nu_{\mathrm{ref},1},\ldots,\boldsymbol\xi_K^\Tran,\nu_{\mathrm{ref},K}]^\Tran\in\mathbb R^{3K}$；$K=1$ 时退化为 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}}$。下标 $\mathrm{mu}$ 表示 multi-user。\\
$\boldsymbol\delta$ & 部分相干观测模型中非参考星的时间戳误差堆叠向量，$\boldsymbol\delta=[\delta_\ell]_{\ell\neq\ell_{\mathrm{ref}}}\in\mathbb R^{L-1}$；作为干扰参数处理。\\
$\boldsymbol\kappa$ & 完整实参数向量，专用于把主参数 $\boldsymbol\eta$ 与干扰参数 $\boldsymbol\psi$ 一起堆叠的场合，例如 $\boldsymbol\kappa=[\boldsymbol\eta^\Tran,\boldsymbol\psi^\Tran]^\Tran$。全文不再用 $\boldsymbol\eta$ 表示完整参数向量。\\
\end{longtable}
\endgroup
@@ -349,7 +352,8 @@
$\vartheta_{\ell,p}$ & 独立相位模型中第 $\ell$ 颗卫星第 $p$ 帧的独立未知相位。 它是确定性未知参数，而不是 Bayesian 随机相位先验。\\
$\rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}$ 和 $\rho_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}$ & CP 与 IP 模型中第 $(\ell,p)$ 个复增益极坐标分解下的非负实幅度；它们分别属于不同模型，不表示额外的自由复参数。\\
$\rho$ & 通用极坐标分解下的非负实幅度符号；在具体 CP/IP 模型中分别写为 $\rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}$ 与 $\rho_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}$，不再单独使用无上标的 $\rho_{\ell,p}$ 表示模型参数。\\
$\zeta_\ell$ & 静态单块模型或 delay 扩展模型中第 $\ell$ 条链路的未知复干扰系数；新写内容不使用 $h_\ell$，以避免与信道响应混淆。\\
$\zeta_\ell$ & 静态单块单用户模型中第 $\ell$ 条链路的未知复干扰系数；新写内容不使用 $h_\ell$，以避免与信道响应混淆。\\
$\zeta_{\ell,k}$ & 多用户场景中第 $\ell$ 颗卫星对第 $k$ 个用户的未知复干扰系数；$K=1$ 时退化为 $\zeta_\ell$。\\
$\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}$ & structured continuous-phase 模型中第 $(\ell,p)$ 个观测块的结构化复增益简写，定义为 $\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}\triangleq \rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}e^{j\chi_\ell}$；它不作为自由复参数估计，其相位部分在同一颗卫星的不同帧之间共享。\\
$\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp,rel}}$ & relaxed continuous-phase 模型中第 $(\ell,p)$ 个观测块的自由复增益。 relaxed 版本应显式保留上标 $\mathrm{cp,rel}$，以区别于结构化 CP 和 IP 模型。\\
$\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}$ & 独立相位模型中第 $(\ell,p)$ 个观测块的自由复增益。CRB 推导中可写为极坐标分解 $\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}\triangleq \rho_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}e^{j\vartheta_{\ell,p}}$。\\
@@ -513,6 +517,8 @@
上标 $\mathrm{loc}$ & 卫星本地坐标系中的量。\\
上标 $\mathrm{cp}$ & continuous-phase，即连续相位模型。\\
上标 $\mathrm{ip}$ & independent-phase，即独立相位基线模型。\\
下标 $\mathrm{mu}$ & multi-user，多用户场景下的主参数或干扰参数分组。\\
下标 $\mathrm{te}$ & timestamp-error，部分相干观测模型中包含时间戳误差 $\delta_\ell$ 的干扰参数分组。\\
上标 $\mathrm{str}$ & structured，即保留结构化公共相位或幅度约束后的模型或残差。\\
上标 $\mathrm{rel}$ & relaxed，即放松块复干扰系数 结构后的模型或残差。\\
上标 $\mathrm{pro}$ & profiled，即已经对部分干扰参数作轮廓化处理的似然或目标函数。\\
parts/E-multiSatStaticCrb.tex
+160 -2
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@@ -551,6 +551,164 @@ $\begin{bmatrix}\mathbf g_\ell & j\mathbf g_\ell\end{bmatrix}$。虽然这两个
\subsection{多用户多星 CRB（扩展）}
\label{subsec:E2_multiUserMultiSatCrb}
% TODO: 阶段 5 content commit 填入实质内容
本小节对应正文第~\ref{sec:multiSatMultiUser} 节，把 E.1 的复增益 Schur 补框架扩展到 $K\ge 1$ 个用户。主参数堆叠为
\begin{equation}
\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}
=
\big[
\boldsymbol\xi_1^\Tran,\nu_{\mathrm{ref},1},
\ldots,
\boldsymbol\xi_K^\Tran,\nu_{\mathrm{ref},K}
\big]^\Tran
\in\mathbb R^{3K}.
\end{equation}
均值干扰参数为各星各用户的复增益
\begin{equation}
\boldsymbol\psi_{\zeta,\mathrm{mu}}
=
\big[
\zeta_{0,1}^{(r)},\zeta_{0,1}^{(i)},\ldots,
\zeta_{L-1,K}^{(r)},\zeta_{L-1,K}^{(i)}
\big]^\Tran
\in\mathbb R^{2LK}.
\end{equation}
噪声方差参与协方差但与均值参数解耦，同 E.1 不显式出现在 Schur 补中。
动态模型的连续相位和独立相位 CRB 在附录~\ref{sec:multiFrameCrb} 中继续展开。
\subsubsection{多用户 Jacobian}
第 $\ell$ 颗卫星均值向量
\begin{equation}
\boldsymbol\mu_\ell(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}},\boldsymbol\zeta_\ell)
=
\mathbf G_\ell(\boldsymbol\Xi,\boldsymbol\nu_{\mathrm{ref}})\boldsymbol\zeta_\ell
=
\sum_{k=1}^{K}\zeta_{\ell,k}\mathbf g_{\ell,k},
\end{equation}
其中 $\mathbf g_{\ell,k}=\mathbf q_{\ell,k}\otimes\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi_k)$。
关于第 $k$ 个用户的主参数子向量 $\boldsymbol\eta_k\triangleq[\boldsymbol\xi_k^\Tran,\nu_{\mathrm{ref},k}]^\Tran\in\mathbb R^3$，由于 $\mathbf g_{\ell,k'}$ 在 $k'\neq k$ 时与 $\boldsymbol\eta_k$ 无关，Jacobian 只通过本用户的 $\mathbf g_{\ell,k}$ 列出现：
\begin{equation}
\mathbf J_{\eta_k,\ell}
\triangleq
\frac{\partial\boldsymbol\mu_\ell}{\partial\boldsymbol\eta_k}
=
\zeta_{\ell,k}\,
\mathbf D_{\ell,k}
\in\mathbb C^{M_\ell T\times 3},
\end{equation}
其中 $\mathbf D_{\ell,k}\triangleq[\partial\mathbf g_{\ell,k}/\partial\alpha_k,\,\partial\mathbf g_{\ell,k}/\partial\beta_k,\,\partial\mathbf g_{\ell,k}/\partial\nu_{\mathrm{ref},k}]$，三列的具体表达完全平行于 \eqref{eq:A6_Dl}，只需把 $\boldsymbol\xi$、$\nu_{\mathrm{ref}}$ 替换为 $\boldsymbol\xi_k$、$\nu_{\mathrm{ref},k}$。
将所有用户的 Jacobian 横向拼接为
\begin{equation}
\mathbf J_{\eta,\ell}
=
\big[
\mathbf J_{\eta_1,\ell},\ldots,\mathbf J_{\eta_K,\ell}
\big]
\in\mathbb C^{M_\ell T\times 3K}.
\end{equation}
关于本星复增益 $[\zeta_{\ell,1}^{(r)},\zeta_{\ell,1}^{(i)},\ldots,\zeta_{\ell,K}^{(r)},\zeta_{\ell,K}^{(i)}]^\Tran$ 的 Jacobian 为
\begin{equation}
\mathbf J_{\psi,\ell}
=
\big[
\mathbf g_{\ell,1},j\mathbf g_{\ell,1},\ldots,\mathbf g_{\ell,K},j\mathbf g_{\ell,K}
\big]
\in\mathbb C^{M_\ell T\times 2K}.
\end{equation}
$\mathbf J_{\psi,\ell}$ 的实参数化二维实子空间与复矩阵 $\mathbf G_\ell$ 的 $K$ 维复列空间等价。
\subsubsection{Fisher 信息矩阵分块与 Schur 补}
按各星条件独立性，Fisher 信息矩阵分块同 \eqref{eq:A6_Itt}--\eqref{eq:A6_Ibb}，只是块尺寸调整为 $\mathcal I_{\eta\eta}\in\mathbb R^{3K\times 3K}$、$\mathcal I_{\psi\psi}\in\mathbb R^{2LK\times 2LK}$（块对角，每星 $2K\times 2K$ 块）：
\begin{equation}
\mathcal I_{\eta\eta}
=
\sum_{\ell=0}^{L-1}
\frac{2}{\sigma_{n,\ell}^2}
\Re\!\big\{\mathbf J_{\eta,\ell}^\Herm\mathbf J_{\eta,\ell}\big\}.
\end{equation}
由于 $\mathbf J_{\psi,\ell}$ 的实子空间等价于 $\mathbf G_\ell$ 的复列空间，关于复增益块的 Schur 补化为对 $\mathbf G_\ell$ 列空间正交补的投影。定义
\begin{equation}
\mathcal P_{\mathbf G_\ell}
\triangleq
\mathbf G_\ell(\mathbf G_\ell^\Herm\mathbf G_\ell)^{-1}\mathbf G_\ell^\Herm,
\qquad
\mathcal P_{\mathbf G_\ell}^\perp
\triangleq
\mathbf I_{M_\ell T}-\mathcal P_{\mathbf G_\ell},
\end{equation}
则消去复增益后的等效 Fisher 信息矩阵为
\begin{equation}
\label{eq:E2_Ieff_proj}
\mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}})
=
2\sum_{\ell=0}^{L-1}
\frac{1}{\sigma_{n,\ell}^2}
\Re\!\big\{
\mathbf J_{\eta,\ell}^\Herm
\mathcal P_{\mathbf G_\ell}^\perp
\mathbf J_{\eta,\ell}
\big\}
\in\mathbb R^{3K\times 3K}.
\end{equation}
按用户分块写出，第 $(k,k')$ 个对角/非对角 $3\times 3$ 子块为
\begin{equation}
\big[\mathcal I_{\mathrm e}\big]_{kk'}
=
2\sum_{\ell=0}^{L-1}
\frac{1}{\sigma_{n,\ell}^2}
\Re\!\Big\{
\zeta_{\ell,k}^*\zeta_{\ell,k'}\,
\mathbf D_{\ell,k}^\Herm
\mathcal P_{\mathbf G_\ell}^\perp
\mathbf D_{\ell,k'}
\Big\}.
\end{equation}
复系数 $\zeta_{\ell,k}^*\zeta_{\ell,k'}$ 必须保留在 $\Re\{\cdot\}$ 内，因为它和右侧厄米积都是一般复值，不能逐因子取实部。$K=1$ 时 $\zeta_\ell^*\zeta_\ell=|\zeta_\ell|^2$ 退化为实数，可提到 $\Re\{\cdot\}$ 外，此时上式即回到 \eqref{eq:A6_Ieff_final} 的单用户基线。
\subsubsection{用户分离的可辨识性条件}
\eqref{eq:E2_Ieff_proj} 给出的 EFIM 非奇异性等价于多用户主参数 score 在复增益干扰参数 score 正交补上的投影列空间 ``在所有 $L$ 颗卫星上联合满秩''。具体地，记每颗卫星上的``白化主参数 Jacobian''
\begin{equation}
\bar{\mathbf J}_{\eta,\ell}
\triangleq
\frac{1}{\sigma_{n,\ell}}\mathcal P_{\mathbf G_\ell}^\perp\mathbf J_{\eta,\ell},
\end{equation}
EFIM 非奇异 $\Leftrightarrow$ 联合矩阵 $[\bar{\mathbf J}_{\eta,0}^\Tran,\ldots,\bar{\mathbf J}_{\eta,L-1}^\Tran]^\Tran$ 列满秩，即 ``$3K\le \sum_\ell M_\ell T$ 且不同用户的白化 score 之间不存在跨星全局共线性''。
正文 \S\ref{subsec:userSeparability} 给出的几何陈述——``两个用户在所有 $L$ 颗星上相干度 $\rho_{\ell,kk'}\to 1$ 时分离失效''——可由此式严格化：当某对 $(k,k')$ 满足
\begin{equation}
\mathcal P_{\mathbf G_\ell}^\perp\mathbf g_{\ell,k}
\approx
c_\ell\,
\mathcal P_{\mathbf G_\ell}^\perp\mathbf g_{\ell,k'},
\qquad\forall\ell,
\end{equation}
对应 $\boldsymbol\eta_k$ 与 $\boldsymbol\eta_{k'}$ 方向上的 EFIM 块趋于秩亏，集中似然在该方向出现伪极值。多星几何提供的缓解机制——只要存在一颗星 $\ell$ 上述等式严重违反——也直接由这一秩条件读出。
\subsubsection{CRB 表达式}
多用户主参数 CRB 为
\begin{equation}
\operatorname{CRB}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}})
=
\mathcal I_{\mathrm e}^{-1}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}})
\in\mathbb R^{3K\times 3K}.
\end{equation}
若只关心第 $k$ 个用户的 DoA $\boldsymbol\xi_k$，先把上式按 $(\boldsymbol\xi_k,\text{其余})$ 分块再取 Schur 补
\begin{equation}
\operatorname{CRB}(\boldsymbol\xi_k)
=
\mathbf C_{\xi,k}
=
\big[
\mathcal I_{\mathrm e}^{-1}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}})
\big]_{\boldsymbol\xi_k,\boldsymbol\xi_k}
\in\mathbb R^{2\times 2},
\end{equation}
即 $\mathcal I_{\mathrm e}^{-1}$ 中对应 $\boldsymbol\xi_k$ 行/列的 $2\times 2$ 子块。$\mathbf C_{\xi,k}$ 同时被后续波束成形章节作为鲁棒设计的理论上界使用。
\medskip
附录 E 完成了多星静态模型从单用户到多用户的 \gls{crb} 推导。带时间戳误差的部分相干 EFIM 在附录~\ref{sec:timestampErrCrb} 中继续展开；动态多帧模型的连续相位和独立相位 CRB 在附录~\ref{sec:multiFrameCrb} 中继续展开。
parts/F-timestampErrCrb.tex
+237 -1
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@@ -1,4 +1,240 @@
\section{时间戳误差下的 EFIM 分析}
\label{sec:timestampErrCrb}
% TODO: 阶段 5 content commit 填入实质内容
本附录沿用正文第~\ref{sec:timestampError} 节的部分相干观测模型，补充关于主参数 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}\in\mathbb R^{3K}$ 的 EFIM 分块结构、Schur complement 消去 $\boldsymbol\delta$ 的解析形式、数值评估框架，以及 $K=1, L=2$ 最简情形的解析推导。
小误差区与大误差区的划分仍按正文 \S\ref{subsec:timestampApplicability} 的定义；下文若无特别说明，默认在小误差区作 Taylor 展开。
\subsection{Fisher 信息矩阵分块结构}
\label{subsec:F1_fimBlockStruct}
记第 $\ell$ 颗卫星观测均值向量为
\begin{equation}
\boldsymbol\mu_\ell(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}},\delta_\ell,\boldsymbol\zeta_\ell)
=
\sum_{k=1}^{K}
\zeta_{\ell,k}\,
\mathbf g_{\ell,k}(\boldsymbol\xi_k,\nu_{\mathrm{ref},k},\delta_\ell),
\end{equation}
其中
\begin{equation}
\mathbf g_{\ell,k}(\boldsymbol\xi_k,\nu_{\mathrm{ref},k},\delta_\ell)
=
\mathbf q_{\ell,k}(\nu_{\mathrm{ref},k},\delta_\ell)
\otimes
\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi_k),
\qquad
[\mathbf q_{\ell,k}]_t
=
s_k(t-\delta_\ell)\,
e^{j\nu_{\ell,k}(\boldsymbol\xi_k,\nu_{\mathrm{ref},k})(t-\delta_\ell)}.
\end{equation}
参考星 $\ell_{\mathrm{ref}}$ 有 $\delta_{\ell_{\mathrm{ref}}}\equiv 0$，仅 $L-1$ 个非参考星贡献 $\delta_\ell$ 自由度。
按 \S\ref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb} 的 Slepian--Bangs 公式，各星条件独立的圆对称复高斯模型下 Fisher 信息矩阵元素为
\begin{equation}
\big[\mathcal I(\boldsymbol\kappa_{\mathrm{te}})\big]_{ij}
=
\sum_{\ell=0}^{L-1}
\frac{2}{\sigma_{n,\ell}^2}
\Re\!\left\{
\frac{\partial\boldsymbol\mu_\ell^\Herm}{\partial\kappa_i}
\frac{\partial\boldsymbol\mu_\ell}{\partial\kappa_j}
\right\}.
\end{equation}
按 $(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}},\boldsymbol\delta,\boldsymbol\psi_\zeta)$ 三段分块为
\begin{equation}
\label{eq:F1_three_block}
\mathcal I
=
\begin{bmatrix}
\mathcal I_{\eta\eta} & \mathcal I_{\eta\delta} & \mathcal I_{\eta\psi}\\
\mathcal I_{\delta\eta} & \mathcal I_{\delta\delta} & \mathcal I_{\delta\psi}\\
\mathcal I_{\psi\eta} & \mathcal I_{\psi\delta} & \mathcal I_{\psi\psi}
\end{bmatrix}.
\end{equation}
由于不同卫星之间噪声独立、$\delta_\ell$ 仅出现在第 $\ell$ 颗卫星的均值向量中，$\mathcal I_{\delta\delta}$ 是 $(L-1)\times(L-1)$ 的\emph{对角矩阵}（参考星对应行/列已去除）：
\begin{equation}
\big[\mathcal I_{\delta\delta}\big]_{\ell\ell'}
=
\frac{2}{\sigma_{n,\ell}^2}
\Re\!\left\{
\frac{\partial\boldsymbol\mu_\ell^\Herm}{\partial\delta_\ell}
\frac{\partial\boldsymbol\mu_\ell}{\partial\delta_\ell}
\right\}
\cdot
\mathbb 1\{\ell=\ell'\},
\qquad
\ell,\ell'\neq\ell_{\mathrm{ref}}.
\end{equation}
$\mathcal I_{\delta\psi}$ 同样具有按 $\ell$ 的块对角结构：第 $\ell$ 个 $\delta$ 行只与本星复增益 $\{\zeta_{\ell,k}^{(r)},\zeta_{\ell,k}^{(i)}\}_{k=1}^K$ 列有非零分块。这两个性质使下文 Schur 消去可逐星独立完成。
\subsection{Schur complement 消去 \texorpdfstring{$\boldsymbol\delta$}{δ}}
\label{subsec:F2_schurDelta}
先消复增益。沿用 \S\ref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb} 的复增益投影做法，对每颗卫星定义对其 $K$ 列空时模板 $\mathbf G_\ell=[\mathbf g_{\ell,1},\ldots,\mathbf g_{\ell,K}]$ 的正交投影
\begin{equation}
\mathcal P_{\mathbf G_\ell}
=
\mathbf G_\ell\big(\mathbf G_\ell^\Herm\mathbf G_\ell\big)^{-1}\mathbf G_\ell^\Herm,
\qquad
\mathcal P_{\mathbf G_\ell}^\perp
=
\mathbf I_{M_\ell T}-\mathcal P_{\mathbf G_\ell}.
\end{equation}
\eqref{eq:F1_three_block} 关于复增益块的 Schur 补可写为
\begin{equation}
\label{eq:F2_after_psi}
\mathcal I^{(\psi)}
\triangleq
\begin{bmatrix}
\mathcal I_{\eta\eta}' & \mathcal I_{\eta\delta}'\\
\mathcal I_{\delta\eta}' & \mathcal I_{\delta\delta}'
\end{bmatrix},
\qquad
\begin{aligned}
\mathcal I_{\eta\eta}'
&=
2\sum_{\ell}\frac{1}{\sigma_{n,\ell}^2}
\Re\!\left\{
\mathbf J_{\eta,\ell}^\Herm
\big(\mathbf I-\mathcal P_{\mathbf G_\ell}\big)
\mathbf J_{\eta,\ell}
\right\}\big|_{\delta_\ell=0},\\
\mathcal I_{\delta\delta}'
&=
\operatorname{diag}\!\Big(
\tfrac{2}{\sigma_{n,\ell}^2}
\Re\!\big\{\mathbf j_{\delta,\ell}^\Herm
(\mathbf I-\mathcal P_{\mathbf G_\ell})
\mathbf j_{\delta,\ell}\big\}\big|_{\delta_\ell=0}
\Big)_{\ell\neq\ell_{\mathrm{ref}}},\\
\mathcal I_{\eta\delta}'
&=
\begin{bmatrix}
\cdots\quad
\tfrac{2}{\sigma_{n,\ell}^2}
\Re\!\big\{\mathbf J_{\eta,\ell}^\Herm
(\mathbf I-\mathcal P_{\mathbf G_\ell})\mathbf j_{\delta,\ell}\big\}\big|_{\delta_\ell=0}
\quad\cdots
\end{bmatrix},
\end{aligned}
\end{equation}
其中 $\mathbf J_{\eta,\ell}=\partial\boldsymbol\mu_\ell/\partial\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$、$\mathbf j_{\delta,\ell}=\partial\boldsymbol\mu_\ell/\partial\delta_\ell$ 均在小误差区于 $\delta_\ell=0$ 处展开。Jacobian $\mathbf J_{\eta,\ell}$ 的列结构与 \S\ref{subsec:E2_multiUserMultiSatCrb} 完全一致；只需在 $\mathbf j_{\delta,\ell}$ 处显式展开 $\delta_\ell$ 进入的两条途径——相位偏移 $-\nu_{\ell,k}\delta_\ell$ 与导频时间偏移 $s_k(t-\delta_\ell)$：
\begin{equation}
\label{eq:F2_jdelta}
\frac{\partial\mathbf g_{\ell,k}}{\partial\delta_\ell}\bigg|_{\delta_\ell=0}
=
\dot{\mathbf q}_{\ell,k}^{\,\mathrm{te}}
\otimes
\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi_k),
\qquad
\big[\dot{\mathbf q}_{\ell,k}^{\,\mathrm{te}}\big]_t
=
\big[\dot s_k(t)-j\nu_{\ell,k}s_k(t)\big]e^{j\nu_{\ell,k}t},
\end{equation}
其中 $\dot s_k(t)\triangleq -\partial s_k(t-\delta_\ell)/\partial\delta_\ell\big|_{\delta_\ell=0}$ 为导频的时间导数（离散场景下取差分近似）。$\mathbf j_{\delta,\ell}=\sum_k\zeta_{\ell,k}\,\partial\mathbf g_{\ell,k}/\partial\delta_\ell$。
由于 $\mathcal I_{\delta\delta}'$ 对角，对 $\boldsymbol\delta$ 的 Schur 消去逐星可写
\begin{equation}
\label{eq:F2_efim_final}
\mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}})
=
\mathcal I_{\eta\eta}'
-
\sum_{\ell\neq\ell_{\mathrm{ref}}}
\frac{1}{[\mathcal I_{\delta\delta}']_{\ell\ell}}
\mathbf v_{\eta\delta,\ell}'\,
\mathbf v_{\eta\delta,\ell}'^{\,\Tran},
\end{equation}
其中 $\mathbf v_{\eta\delta,\ell}'$ 为 $\mathcal I_{\eta\delta}'$ 中第 $\ell$ 列。这就是``逐星扣除 $\delta_\ell$ 引入的信息损失''的解析形式。
特别地，参考星 $\ell_{\mathrm{ref}}$ 不贡献 $\delta$ 自由度，对 EFIM 的贡献保持与完全相干情形相同；信息损失完全来自其余 $L-1$ 颗带时间戳误差的卫星。
\subsection{数值 EFIM 评估框架}
\label{subsec:F3_numericalEfim}
大误差区下 \eqref{eq:F2_efim_final} 的一阶展开失效。此时把 EFIM 视为关于 $\boldsymbol\delta$ 真值的函数，按下列流程逐场景数值评估：
\begin{enumerate}
\item 给定真值 $(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}},\boldsymbol\delta)$ 与各星 $\sigma_{n,\ell}^2$、$\{\zeta_{\ell,k}\}$；
\item 对每颗卫星 $\ell$，按 \eqref{eq:sec5_signal_model} 计算 $\mathbf g_{\ell,k}(\delta_\ell)$ 及其关于 $(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}},\delta_\ell)$ 的数值 Jacobian——其中 $\partial/\partial\delta_\ell$ 不再用 \eqref{eq:F2_jdelta} 一阶近似，而是用中心差分直接评估 $s_k(t-\delta_\ell)$ 与 $e^{j\nu_{\ell,k}(t-\delta_\ell)}$；
\item 组装 \eqref{eq:F1_three_block} 各分块，按 \S\ref{subsec:F2_schurDelta} 的顺序先消复增益、再消 $\boldsymbol\delta$；
\item 输出 $\mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}};\boldsymbol\delta)$ 并取逆得到 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ 的 CRB。
\end{enumerate}
$\boldsymbol\delta$ 在导频自相关半宽 $T_{\mathrm{ac}}$ 处的非线性会让 $\mathcal I_{\delta\delta}'$ 显著偏离对角形式（不同 $\ell$ 之间通过导频互相关项耦合），此时\eqref{eq:F2_efim_final} 的``逐星扣除''形式不再适用，需要对 $\boldsymbol\delta$ 块整体求逆。
% TODO: 实际数值评估的离散化精度（差分步长选取、导频上采样系数）与新论文仿真结果对齐后补充
\subsection{特殊情形：\texorpdfstring{$K=1$, $L=2$}{K=1, L=2} 解析推导}
\label{subsec:F4_K1L2}
最简非平凡情形：单用户（$K=1$）、双星（$L=2$，参考星 $\ell_{\mathrm{ref}}=0$、非参考星 $\ell=1$、唯一时间戳误差 $\delta_1$）。主参数 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}=\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}}=[\alpha,\beta,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran\in\mathbb R^3$，干扰参数包含 $\delta_1$ 与两颗星的复增益、噪声方差。
\paragraph{投影简化}
单用户下每颗卫星 $\mathbf G_\ell$ 退化为单列 $\mathbf g_\ell=\mathbf q_\ell\otimes\mathbf a_\ell$，复增益投影 $\mathcal P_{\mathbf G_\ell}$ 退化为 $\mathbf g_\ell\mathbf g_\ell^\Herm/\|\mathbf g_\ell\|^2$，与 \S\ref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb} 的单用户基线一致。\eqref{eq:F2_after_psi} 中
\begin{equation}
\mathcal I_{\eta\eta}'
=
\mathcal I_{\mathrm e}^{(\mathrm{stat})}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}})
=
\frac{2|\zeta_0|^2}{\sigma_{n,0}^2}
\Re\!\big\{\mathbf D_0^\Herm\mathcal P_{\mathbf g_0}^\perp\mathbf D_0\big\}
+
\frac{2|\zeta_1|^2}{\sigma_{n,1}^2}
\Re\!\big\{\mathbf D_1^\Herm\mathcal P_{\mathbf g_1}^\perp\mathbf D_1\big\}\bigg|_{\delta_1=0},
\end{equation}
其中 $\mathbf D_\ell$ 沿用 \eqref{eq:A6_Dl} 定义，$\delta_1=0$ 处求值即得到完全相干情形的 EFIM。
\paragraph{$\delta_1$ 块}
$\boldsymbol\delta=[\delta_1]$ 退化为标量，\eqref{eq:F2_jdelta} 中
\begin{equation}
\big[\dot{\mathbf q}_1^{\,\mathrm{te}}\big]_t
=
\big[\dot s(t)-j\nu_1 s(t)\big]e^{j\nu_1 t},
\qquad
\mathbf j_{\delta,1}
=
\zeta_1\,\dot{\mathbf q}_1^{\,\mathrm{te}}\otimes\mathbf a_1(\boldsymbol\xi).
\end{equation}
对应的标量 Fisher 信息为
\begin{equation}
\mathcal I_{\delta\delta}'
=
\frac{2|\zeta_1|^2}{\sigma_{n,1}^2}
\big\|\mathbf a_1(\boldsymbol\xi)\big\|_2^2
\cdot
\Re\!\big\{(\dot{\mathbf q}_1^{\,\mathrm{te}})^\Herm\mathcal P_{\mathbf q_1}^\perp\dot{\mathbf q}_1^{\,\mathrm{te}}\big\},
\end{equation}
其中 $\mathcal P_{\mathbf q_1}^\perp=\mathbf I_T-\mathbf q_1\mathbf q_1^\Herm/\|\mathbf q_1\|^2$。化简利用了 Kronecker 内积关系 $(\mathbf u_1\otimes\mathbf v_1)^\Herm(\mathbf u_2\otimes\mathbf v_2)=(\mathbf u_1^\Herm\mathbf u_2)(\mathbf v_1^\Herm\mathbf v_2)$，并把空间部分因式 $\|\mathbf a_1\|^2$ 提出。
\paragraph{交叉项与 EFIM 闭式}
对 $(\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}},\delta_1)$ 的交叉项类似可写为
\begin{equation}
\mathbf v'_{\eta\delta,1}
=
\frac{2}{\sigma_{n,1}^2}
\Re\!\Big\{
\zeta_1^*\mathbf D_1^\Herm
\big(\mathbf I-\mathcal P_{\mathbf g_1}\big)
\big[\zeta_1\,\dot{\mathbf q}_1^{\,\mathrm{te}}\otimes\mathbf a_1\big]
\Big\}\in\mathbb R^3.
\end{equation}
代入 \eqref{eq:F2_efim_final} 得到 $K=1, L=2$ 情形下的闭式 EFIM
\begin{equation}
\label{eq:F4_efim_K1L2}
\mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}})\bigg|_{K=1,L=2}
=
\mathcal I_{\eta\eta}'
-
\frac{\mathbf v'_{\eta\delta,1}\,\mathbf v'^{\Tran}_{\eta\delta,1}}{\mathcal I_{\delta\delta}'},
\end{equation}
即在双星基线的 EFIM 上扣除一个秩一信息损失项，损失大小由非参考星上 $\delta_1$ 与主参数的 score 重叠决定。
\paragraph{特例：导频为单音常包络}
若进一步取 $s(t)\equiv 1$（常包络单音导频），则 $\dot s(t)\equiv 0$，\eqref{eq:F2_jdelta} 退化为 $\dot{\mathbf q}_1^{\,\mathrm{te}}=-j\nu_1\mathbf q_1$，故 $\delta_1$ 进入似然只通过相位偏移 $-\nu_1\delta_1$ 一项；它与 $\partial/\partial\nu_{\mathrm{ref}}$ 完全共线（同为 $\dot{\mathbf q}_1$ 方向），$\delta_1$ 与 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 不可分辨——EFIM 在 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 方向变得奇异。此即 ``纯相位扰动下时间戳误差与 Doppler 完全耦合''的退化情形，说明可辨识性依赖导频带宽 $\dot s(t)\not\equiv 0$。
% TODO: $K=1, L\ge 3$ 与 $K\ge 2, L=2$ 的解析中间结果——前者需引入 $L-1$ 个 δ_ℓ 联合处理（仍对角，但 v'_{ηδ} 维度变为 3×(L-1)）；后者多用户耦合让 $\mathcal P_{\mathbf G_\ell}$ 不再因式化，闭式较繁。本附录暂留为数值评估。
\medskip
至此，附录 F 给出了时间戳误差作为干扰参数时关于 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ 的 EFIM 结构与最简情形的闭式。多用户情形与一般 $L$ 的 EFIM 由 \S\ref{subsec:F3_numericalEfim} 的数值流程评估，作为新论文方法与 CRB 对比的基础。
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\section{多用户扩展}
\label{sec:multiSatMultiUser}
% TODO: 阶段 5 content commit 填入实质内容
第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst} 节假设单用户：所有 $L$ 颗卫星看到的来向与 Doppler 都由同一个 $(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})$ 决定。本节沿\emph{参数空间}维度推进一步：把用户数从 $K=1$ 推广到一般 $K\ge1$，其余维度（单帧静态、各星完全相干、已知导频）保持最简。
数学上这只是把每个用户的参数 $(\boldsymbol\xi_k,\nu_{\mathrm{ref},k})$ 独立堆叠；但物理上引入了第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst} 节不存在的新问题——\emph{用户分离的可辨识性}。当两个用户的 $(\boldsymbol\xi_k,\nu_{\mathrm{ref},k})$ 在所有 $L$ 条链路上同时接近时，集中似然曲面会出现伪极值，这是后续引入 AI 方法补偿 nuisance 的重要动机之一。本节用几何直觉指出这一现象，不展开严格证明；详细 \gls{crb} 与多用户 \gls{fim} 分块推导见附录~\ref{subsec:E2_multiUserMultiSatCrb}。
\subsection{多用户信号模型}
\label{subsec:multiUserSignalModel}
设 $K$ 个单天线用户与 $L$ 颗卫星在同一观测块内并发上行已知导频，第 $k$ 个用户的全局 DoA 为 $\boldsymbol\xi_k=[\alpha_k,\beta_k]^\Tran$，对应的参考星归一化 Doppler 记为 $\nu_{\mathrm{ref},k}$。沿用 \S\ref{subsec:globalLocalDoaMap}--\S\ref{subsec:refSatParameterization} 的全局/局部映射与参考星参数化，第 $\ell$ 颗卫星对第 $k$ 个用户的本地导向矢量记为 $\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi_k)$，其链路 Doppler 由几何映射给出
\begin{equation}
\nu_{\ell,k}(\boldsymbol\xi_k,\nu_{\mathrm{ref},k})
\triangleq
\nu_{\mathrm{ref},k}+\Delta\nu_\ell(\boldsymbol\xi_k),
\qquad
\Delta\nu_{\ell_{\mathrm{ref}}}(\boldsymbol\xi_k)\equiv 0.
\end{equation}
注意 $\Delta\nu_\ell(\cdot)$ 由卫星几何决定，不依赖用户索引 $k$；$k$ 只通过 $\boldsymbol\xi_k$ 与 $\nu_{\mathrm{ref},k}$ 进入。
每个用户对每颗卫星都有一个未知复干扰系数 $\zeta_{\ell,k}\in\mathbb C$。第 $\ell$ 颗卫星在采样点 $t$ 的接收向量为各用户贡献的叠加：
\begin{equation}
\mathbf y_\ell(t)
=
\sum_{k=1}^{K}
\zeta_{\ell,k}
\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi_k)
s_k(t)
e^{j\nu_{\ell,k}(\boldsymbol\xi_k,\nu_{\mathrm{ref},k})t}
+
\mathbf n_\ell(t),
\qquad
\mathbf n_\ell(t)\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma_{n,\ell}^2\mathbf I_{M_\ell}).
\end{equation}
其中 $s_k(t)$ 为第 $k$ 个用户的已知导频，可逐用户彼此不同；噪声仍假设星间异方差、星内同方差。
定义第 $(\ell,k)$ 对的时间模板与空时导向向量
\begin{equation}
\mathbf q_{\ell,k}(\boldsymbol\xi_k,\nu_{\mathrm{ref},k})
\triangleq
\begin{bmatrix}
s_k(0)e^{j\nu_{\ell,k}\cdot 0},
\cdots,
s_k(T-1)e^{j\nu_{\ell,k}(T-1)}
\end{bmatrix}^\Tran
\in\mathbb C^{T\times 1},
\qquad
\mathbf g_{\ell,k}
\triangleq
\mathbf q_{\ell,k}\otimes\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi_k)
\in\mathbb C^{M_\ell T\times 1}.
\end{equation}
将第 $\ell$ 颗卫星观测按列向量化为 $\tilde{\mathbf y}_\ell=\vect(\mathbf Y_\ell)$，则
\begin{equation}
\label{eq:sec4_vec_model}
\tilde{\mathbf y}_\ell
=
\sum_{k=1}^{K}
\zeta_{\ell,k}\mathbf g_{\ell,k}
+
\tilde{\mathbf n}_\ell
=
\mathbf G_\ell\boldsymbol\zeta_\ell
+
\tilde{\mathbf n}_\ell,
\end{equation}
其中
\begin{equation}
\mathbf G_\ell(\boldsymbol\Xi,\boldsymbol\nu_{\mathrm{ref}})
\triangleq
\big[
\mathbf g_{\ell,1},\ldots,\mathbf g_{\ell,K}
\big]
\in\mathbb C^{M_\ell T\times K},
\qquad
\boldsymbol\zeta_\ell
\triangleq
\big[\zeta_{\ell,1},\ldots,\zeta_{\ell,K}\big]^\Tran,
\end{equation}
$\boldsymbol\Xi\triangleq[\boldsymbol\xi_1,\ldots,\boldsymbol\xi_K]$，$\boldsymbol\nu_{\mathrm{ref}}\triangleq[\nu_{\mathrm{ref},1},\ldots,\nu_{\mathrm{ref},K}]^\Tran$。
\subsection{多用户主参数与干扰参数}
主参数堆叠为
\begin{equation}
\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}
\triangleq
\big[
\boldsymbol\xi_1^\Tran,\nu_{\mathrm{ref},1},
\ldots,
\boldsymbol\xi_K^\Tran,\nu_{\mathrm{ref},K}
\big]^\Tran
\in\mathbb R^{3K}.
\end{equation}
干扰参数为各星各用户的复增益与噪声方差
\begin{equation}
\boldsymbol\psi_{\mathrm{mu}}
=
\Big[
\{\zeta_{\ell,k}\}_{\ell,k},
\{\sigma_{n,\ell}^2\}_{\ell=0}^{L-1}
\Big]^\Tran.
\end{equation}
当 $K=1$ 时 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ 退化为 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}}$，对应正文第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst} 节。
\subsection{联合似然与集中似然}
各星条件独立，圆对称复高斯，多用户联合负对数似然为
\begin{equation}
\mathcal L_{\mathrm{mu}}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}},\boldsymbol\psi_{\mathrm{mu}})
=
\sum_{\ell=0}^{L-1}
\left[
M_\ell T\log\sigma_{n,\ell}^2
+
\frac{1}{\sigma_{n,\ell}^2}
\left\|
\tilde{\mathbf y}_\ell
-
\mathbf G_\ell(\boldsymbol\Xi,\boldsymbol\nu_{\mathrm{ref}})\boldsymbol\zeta_\ell
\right\|_2^2
\right].
\end{equation}
在 $\mathbf G_\ell$ 列满秩的假设下（要求 $K\le M_\ell T$ 且各列方向充分分离），对 $\boldsymbol\zeta_\ell$ 的闭式消元给出
\begin{equation}
\widehat{\boldsymbol\zeta}_\ell(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}})
=
\big(\mathbf G_\ell^\Herm\mathbf G_\ell\big)^{-1}
\mathbf G_\ell^\Herm
\tilde{\mathbf y}_\ell.
\end{equation}
代回并再对 $\sigma_{n,\ell}^2$ 轮廓化（与第~\ref{sec:det_doa_est} 节完全平行），得到多用户集中似然准则
\begin{equation}
\label{eq:sec4_concentrated}
\widehat{\boldsymbol\eta}_{\mathrm{mu}}
=
\arg\min_{\boldsymbol\Xi,\boldsymbol\nu_{\mathrm{ref}}}
\sum_{\ell=0}^{L-1}
M_\ell T
\log
\left[
\tilde{\mathbf y}_\ell^\Herm
\mathcal P_{\mathbf G_\ell}^{\perp}
\tilde{\mathbf y}_\ell
\right],
\end{equation}
其中 $\mathcal P_{\mathbf G_\ell}\triangleq\mathbf G_\ell(\mathbf G_\ell^\Herm\mathbf G_\ell)^{-1}\mathbf G_\ell^\Herm$，$\mathcal P_{\mathbf G_\ell}^{\perp}=\mathbf I_{M_\ell T}-\mathcal P_{\mathbf G_\ell}$。详细矩阵代入见附录~\ref{subsec:E2_multiUserMultiSatCrb}。
若噪声方差已知，可退化为加权空时匹配形式
\begin{equation}
\widehat{\boldsymbol\eta}_{\mathrm{mu}}
=
\arg\max_{\boldsymbol\Xi,\boldsymbol\nu_{\mathrm{ref}}}
\sum_{\ell=0}^{L-1}
\frac{1}{\sigma_{n,\ell}^2}
\tilde{\mathbf y}_\ell^\Herm
\mathcal P_{\mathbf G_\ell}
\tilde{\mathbf y}_\ell.
\end{equation}
与第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst} 节的单用户加权融合相比，差别在于每颗卫星的匹配子空间从一维 $\mathbf g_\ell$ 升级为 $K$ 维 $\mathbf G_\ell$ 列空间；多用户的耦合\emph{在每颗卫星内部}通过 $\mathbf G_\ell^\Herm\mathbf G_\ell$ 的非对角元体现。
\subsection{用户分离的可辨识性}
\label{subsec:userSeparability}
\eqref{eq:sec4_concentrated} 的目标函数依赖于矩阵 $\mathbf G_\ell$ 是否列满秩。考虑两个用户 $(k,k')$，其空时导向向量在第 $\ell$ 颗卫星上的内积
\begin{equation}
\rho_{\ell,kk'}
\triangleq
\frac{\big|\mathbf g_{\ell,k}^\Herm\mathbf g_{\ell,k'}\big|}
{\|\mathbf g_{\ell,k}\|_2\,\|\mathbf g_{\ell,k'}\|_2}
\end{equation}
描述了二者在该卫星空时维度上的相干度。$\rho_{\ell,kk'}$ 由三个因素共同决定：
\begin{enumerate}
\item 局部导向矢量相干 $|\mathbf a_\ell^\Herm(\boldsymbol\xi_k)\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi_{k'})|/(\|\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi_k)\|\|\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi_{k'})\|)$，反映两个用户在该星本地角度域的分离；
\item 时间模板相干 $|\mathbf q_{\ell,k}^\Herm\mathbf q_{\ell,k'}|/(\|\mathbf q_{\ell,k}\|\|\mathbf q_{\ell,k'}\|)$，由 Doppler 差 $\nu_{\ell,k}-\nu_{\ell,k'}$ 与导频互相关共同决定；
\item 二者通过 Kronecker 积联立后的乘积形式。
\end{enumerate}
当所有 $L$ 颗星上 $\rho_{\ell,kk'}\to 1$ 时，$\mathbf G_\ell$ 趋于秩亏，\eqref{eq:sec4_concentrated} 的 Hessian 在 $(\boldsymbol\xi_k,\nu_{\mathrm{ref},k})\leftrightarrow(\boldsymbol\xi_{k'},\nu_{\mathrm{ref},k'})$ 方向变得平坦，集中似然曲面在该方向出现伪极值，用户分离的可辨识性丧失。
多星几何对这一可辨识性提供了关键缓解：即便某颗卫星上 $\rho_{\ell,kk'}\approx 1$（例如两个用户在该星本地角域内距离小于一个 beamwidth），只要存在另一颗卫星 $\ell'$ 使 $\rho_{\ell',kk'}$ 显著小于 1，多星联合的 $\sum_\ell\mathbf G_\ell^\Herm\mathbf G_\ell$ 块仍可保持非奇异。这是多星扩展相对单星多用户最直接的几何收益。
严格可辨识性可写成对所有用户对 $(k,k')$ 的多星联合分离条件，其与 EFIM 非奇异性的等价关系由附录~\ref{subsec:E2_multiUserMultiSatCrb} 中多用户 \gls{fim} 分块给出。本节只用上述几何直觉刻画用户分离失效的结构来源，作为后续引入 AI 辅助 nuisance 补偿的物理动机。
本节完成了多用户主线静态基线：用户索引 $k$ 进入 $\boldsymbol\xi_k$、$\nu_{\mathrm{ref},k}$、$\zeta_{\ell,k}$、$s_k(t)$，集中似然仍可写为对各星 $\mathbf G_\ell$ 列空间投影的加权和，但矩阵 $\mathbf G_\ell$ 的良态性约束了用户分离的可辨识性。
下一节将进一步沿\emph{同步条件}维度推进，把星间完全相干放宽为带未知时间戳误差 $\delta_\ell$ 的部分相干观测。
parts/sec5_timestampError.tex
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\section{时间戳误差与部分相干观测}
\label{sec:timestampError}
% TODO: 阶段 5 content commit 填入实质内容
前四节均假设 $L$ 颗卫星之间完全相干——它们以共同的离散时间基记录采样、并共享同一时间原点。实际系统中各星本振与采样时钟独立，星间时钟同步不可能精确到亚采样级别，残余的未知\emph{时间戳误差}使 ``参考时刻 $t=0$'' 在不同卫星上落到不同的物理瞬时。
本节沿\emph{同步条件}维度推进一步：把第~\ref{sec:multiSatMultiUser} 节多用户模型中的``完全相干''放宽为``参考星完全可信、其余卫星时间戳带未知误差 $\delta_\ell$'' 的\emph{部分相干}观测，其余维度（单帧、已知导频、无星间频偏）保持最简。
关键现象是：$\delta_\ell$ 与 $\nu_{\ell,k}$ 在似然中以乘积形式耦合，产生未知相位偏移 $-\nu_{\ell,k}\delta_\ell$ 与导频时间偏移 $s_k(t-\delta_\ell)$。当 $|\delta_\ell|$ 很小时可作一阶近似并通过 Schur 补消去；当 $|\delta_\ell|$ 大到一个导频符号宽度时必须显式数值搜索，这正是新论文方向中``方法适用边界''的核心。详细 \gls{efim} 推导与数值框架见附录~\ref{sec:timestampErrCrb}。
\subsection{时间戳误差与扰动信号模型}
\label{subsec:perturbedSignalModel}
把\emph{时间戳误差}定义为``某颗卫星实际采样时刻相对其名义采样时刻的偏移''。以参考星 $\ell_{\mathrm{ref}}$ 为基准并令 $\delta_{\ell_{\mathrm{ref}}}\equiv 0$，其余卫星的时间戳误差以采样点数为单位记为
\begin{equation}
\delta_\ell\in\mathbb R,
\qquad
\ell\neq\ell_{\mathrm{ref}},
\end{equation}
对应的物理时间误差为 $\delta\tau_\ell=\delta_\ell T_{\mathrm{s}}$（秒）。$\delta_\ell$ 可正可负，不要求为整数采样。所有非参考星时间戳误差堆叠为
\begin{equation}
\boldsymbol\delta
\triangleq
\big[\delta_\ell\big]_{\ell\neq\ell_{\mathrm{ref}}}
\in\mathbb R^{L-1}.
\end{equation}
在第~\ref{sec:multiSatMultiUser} 节的多用户基线上引入 $\delta_\ell$，第 $\ell$ 颗卫星接收到的连续时间基带信号被替换为``在偏移 $\delta_\ell$ 后的瞬时上采样''：
\begin{equation}
\label{eq:sec5_signal_model}
\mathbf y_\ell(t)
=
\sum_{k=1}^{K}
\zeta_{\ell,k}
\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi_k)
s_k(t-\delta_\ell)
e^{j\nu_{\ell,k}(\boldsymbol\xi_k,\nu_{\mathrm{ref},k})(t-\delta_\ell)}
+
\mathbf n_\ell(t).
\end{equation}
即采样网格保持 $t=0,1,\ldots,T-1$，但被采样的连续时间标记从 $t$ 变为 $t-\delta_\ell$。
窄带阵列假设下 $\mathbf a_\ell$ 与瞬时时间无关，故 $\delta_\ell$ 不进入空间导向矢量；它只通过\emph{导频时间偏移}与\emph{Doppler 相位偏移}两条途径出现在均值向量中。
\subsection{相位偏移耦合与导频时间偏移}
将\eqref{eq:sec5_signal_model} 中复指数项展开
\begin{equation}
\label{eq:sec5_phase_decomp}
e^{j\nu_{\ell,k}(t-\delta_\ell)}
=
e^{-j\nu_{\ell,k}\delta_\ell}
\cdot
e^{j\nu_{\ell,k}t},
\end{equation}
可见 $\delta_\ell$ 与 $\nu_{\ell,k}$ 以乘积形式产生一个与时间无关的相位常数 $-\nu_{\ell,k}\delta_\ell$。
若把该常数吸入复增益，定义\emph{等效复增益}
\begin{equation}
\tilde\zeta_{\ell,k}(\boldsymbol\xi_k,\nu_{\mathrm{ref},k},\delta_\ell)
\triangleq
\zeta_{\ell,k}e^{-j\nu_{\ell,k}\delta_\ell},
\end{equation}
则模型可改写为
\begin{equation}
\label{eq:sec5_absorbed_model}
\mathbf y_\ell(t)
=
\sum_{k=1}^{K}
\tilde\zeta_{\ell,k}
\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi_k)
s_k(t-\delta_\ell)
e^{j\nu_{\ell,k}t}
+
\mathbf n_\ell(t).
\end{equation}
这是部分相干模型的核心结构。两点观察：
\begin{enumerate}
\item \emph{相位耦合}已被 $\tilde\zeta_{\ell,k}$ 吸收，但代价是：原本各星独立的 $\{\zeta_{\ell,k}\}$ 与几何参数 $(\boldsymbol\xi_k,\nu_{\mathrm{ref},k})$ \emph{解耦}的良好性质消失。$\tilde\zeta_{\ell,k}$ 显式依赖 $\delta_\ell$ 与 $\nu_{\ell,k}$，把 $\delta_\ell$ 的不确定性以 ``$|\nu_{\ell,k}|\cdot\mathrm{Var}(\delta_\ell)$'' 的形式注入主参数；这是部分相干观测对 Doppler 估计精度的主要恶化来源。
\item \emph{导频时间偏移} $s_k(t-\delta_\ell)$ 不能被吸入复增益。它通过导频的自相关 $R_{s_k}(\delta_\ell)$ 进入似然，且对 $\delta_\ell$ 高度非线性。当 $\delta_\ell$ 远小于一个导频符号宽度时，可作一阶 Taylor 近似 $s_k(t-\delta_\ell)\approx s_k(t)-\delta_\ell\dot s_k(t)$，并把 $\delta_\ell$ 作为光滑干扰参数处理；当 $|\delta_\ell|$ 接近或超过导频符号宽度时，这一近似失效，必须显式数值搜索。
\end{enumerate}
\subsection{适用性边界：小误差 vs.\ 大误差}
\label{subsec:timestampApplicability}
记导频自相关的有效宽度为 $T_{\mathrm{ac}}$（以采样点数计），即 $R_{s_k}(\delta)$ 衰减到 $1/2$ 的特征尺度。本节方法的适用性按 $|\delta_\ell|$ 相对于 $T_{\mathrm{ac}}$ 与 $1/|\nu_{\ell,k}|$ 的量级分两段：
\begin{itemize}
\item \textbf{小误差区}（$|\delta_\ell|\ll T_{\mathrm{ac}}$ 且 $|\nu_{\ell,k}\delta_\ell|\ll\pi$）：导频时间偏移可一阶 Taylor 展开；相位偏移 $-\nu_{\ell,k}\delta_\ell$ 把均值向量改写为关于 $\delta_\ell$ 的近似线性扰动。$\boldsymbol\delta$ 进入似然的 Fisher 信息块光滑可逆，可在 EFIM 框架内通过 Schur 补\emph{解析}消去。详细推导见附录~\ref{subsec:F2_schurDelta}。
\item \textbf{大误差区}（$|\delta_\ell|$ 接近或超过 $T_{\mathrm{ac}}$）：导频自相关衰减导致似然对 $\delta_\ell$ 高度非线性，一阶近似失效；同时若 $|\nu_{\ell,k}\delta_\ell|\gtrsim\pi$，相位偏移引入整周模糊。EFIM 不再可用，必须将 $\delta_\ell$ 作为离散+连续混合参数显式数值搜索；细网格上的局部 Fisher 信息可由\eqref{eq:sec5_absorbed_model} 直接数值评估，见附录~\ref{subsec:F3_numericalEfim}。
\end{itemize}
新论文场景的物理量级落在小误差区与大误差区之间的过渡带：典型 LEO 平台的星间时钟同步残差落在毫秒到数十毫秒量级，对短导频（采样率 $T_{\mathrm{s}}^{-1}$ 在 MHz 量级时）可能跨越数十至数千采样点。这是后续 AI 辅助 nuisance 补偿方法的目标工作点。
\subsection{联合似然与 EFIM 结构概览}
把第~\ref{sec:multiSatMultiUser} 节的主参数与干扰参数集合扩展为
\begin{equation}
\boldsymbol\eta
=
\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}
\in\mathbb R^{3K},
\qquad
\boldsymbol\psi_{\mathrm{te}}
=
\Big[
\boldsymbol\delta^\Tran,
\big\{\zeta_{\ell,k}\big\}_{\ell,k},
\big\{\sigma_{n,\ell}^2\big\}_{\ell=0}^{L-1}
\Big]^\Tran,
\end{equation}
其中下标 $\mathrm{te}$ 表示 timestamp-error。需要强调：本节\emph{不}把 $\delta_\ell$ 升格为主参数——任务目标仍是估计 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$，$\delta_\ell$ 只是因星间时钟不可信而引入的干扰参数。各星条件独立的圆对称复高斯负对数似然
\begin{equation}
\mathcal L_{\mathrm{te}}(\boldsymbol\eta,\boldsymbol\psi_{\mathrm{te}})
=
\sum_{\ell=0}^{L-1}
\left[
M_\ell T\log\sigma_{n,\ell}^2
+
\frac{1}{\sigma_{n,\ell}^2}
\sum_{t=0}^{T-1}
\left\|
\mathbf y_\ell(t)
-
\sum_{k=1}^{K}\zeta_{\ell,k}\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi_k)s_k(t-\delta_\ell)e^{j\nu_{\ell,k}(t-\delta_\ell)}
\right\|_2^2
\right]
\end{equation}
关于 $(\boldsymbol\zeta,\sigma_{n,\ell}^2)$ 的闭式消元与第~\ref{sec:multiSatMultiUser} 节平行，差别仅在 $\mathbf g_{\ell,k}$ 现在依赖 $\delta_\ell$。
记完整实参数向量
\begin{equation}
\boldsymbol\kappa_{\mathrm{te}}
=
\big[
\boldsymbol\eta^\Tran,\,
\boldsymbol\delta^\Tran,\,
\boldsymbol\psi_{\zeta}^\Tran
\big]^\Tran,
\end{equation}
其中 $\boldsymbol\psi_\zeta$ 为各 $\zeta_{\ell,k}$ 的实部/虚部堆叠（噪声方差仅进入协方差、与均值参数解耦，下同第~\ref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb} 节）。Fisher 信息矩阵按 $(\boldsymbol\eta,\boldsymbol\delta,\boldsymbol\psi_\zeta)$ 分块为
\begin{equation}
\mathcal I(\boldsymbol\kappa_{\mathrm{te}})
=
\begin{bmatrix}
\mathcal I_{\eta\eta} & \mathcal I_{\eta\delta} & \mathcal I_{\eta\psi}\\
\mathcal I_{\delta\eta} & \mathcal I_{\delta\delta} & \mathcal I_{\delta\psi}\\
\mathcal I_{\psi\eta} & \mathcal I_{\psi\delta} & \mathcal I_{\psi\psi}
\end{bmatrix}.
\end{equation}
小误差区下 $\boldsymbol\delta$ 与 $\boldsymbol\psi_\zeta$ 可依次 Schur 消去，得到关于 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ 的 EFIM
\begin{equation}
\label{eq:sec5_efim}
\mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}})
=
\mathcal I_{\eta\eta}'
-
\mathcal I_{\eta\delta}'\,
(\mathcal I_{\delta\delta}')^{-1}\,
\mathcal I_{\delta\eta}',
\end{equation}
其中 $\mathcal I'_{\cdot\cdot}$ 表示在复增益块消去后剩余的中间 Fisher 块。
\eqref{eq:sec5_efim} 的解析形式只在小误差区可写完整闭式；大误差区下右端各项需逐 $\delta_\ell$ 取值数值评估。详细分块表达、数值评估流程与 $K=1, L=2$ 最简情形的闭式结果见附录~\ref{sec:timestampErrCrb}。
本节完成了部分相干观测下的扰动模型与适用性边界刻画：$\delta_\ell$ 通过相位耦合 $-\nu_{\ell,k}\delta_\ell$ 与导频时间偏移 $s_k(t-\delta_\ell)$ 两条途径污染主参数估计，量级落在小误差区时可借 EFIM 解析消去，落在大误差区时必须数值处理。
回到完全相干假设下的另一类扩展——多帧观测窗口与跨帧绝对相位结构——构成下一节的内容。