\section{多星协作——单用户全局参数化}
\label{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst}

第~\ref{sec:det_doa_doppler_est} 节的根本限制在于：单阵列只有单一孔径，\gls{doa} 估计精度的尺度由该孔径决定（孔径越大、\gls{doa} 的 \gls{crb} 越低；超分辨算法可突破经典瑞利分辨极限，但其精度仍受该 \gls{crb} 约束），单链路 Doppler 只提供一个标量约束。
当 $L$ 颗卫星从不同轨道位置同时观测同一用户时，几何多样性给出了新的信息维度。以 $\ell$ 索引卫星/链路，同一用户信号在第 $\ell$ 条链路上的 Doppler 记为 $\nu_\ell$（不同于第~\ref{sec:det_doa_doppler_est} 节按信源索引、各自独立的 $\nu_k$）。但若把这 $L$ 个 $\nu_\ell$ 都视为独立参数，主参数维度会从 $2$ 膨胀到 $2+L$，无谓地放大搜索空间。
本节的关键观察是：这 $L$ 个链路 Doppler 受卫星轨道几何约束（\gls{leo} 链路的 Doppler 由轨道相对运动决定，参见~\cite{aliDopplerCharacterizationLEO1998}），并\emph{不}独立——一旦给定全局方向 $\boldsymbol\xi$ 和任意一条参考链路上的 $\nu_{\mathrm{ref}}$，其余链路的 $\nu_\ell$ 由已知几何唯一诱导。
\emph{参考星参数化}正是利用这一约束把主参数维度压回 $3$ 维的工具。下面先建立全局/局部几何映射与参考星参数化（第~\ref{subsec:globalLocalDoaMap}--\ref{subsec:refSatParameterization} 小节），再给出多星静态 \gls{doa}--Doppler 联合似然与集中似然准则；详细 \gls{crb} 与 \gls{fim} 推导见\appref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb}。本节限定单用户（$K=1$）作为多星静态基线，多用户（$K\ge1$）推广见第~\ref{sec:multiSatMultiUser} 节。

\subsection{全局/局部 DoA 映射}
\label{subsec:globalLocalDoaMap}

后文统一采用全局方向参数
%
\begin{equation}
  \boldsymbol\xi
  \triangleq
  \begin{bmatrix}
    \alpha\\
    \beta
  \end{bmatrix},
  \qquad
  \mathbf u(\boldsymbol\xi)
  =
  \begin{bmatrix}
    \cos\beta\cos\alpha\\
    \cos\beta\sin\alpha\\
    \sin\beta
  \end{bmatrix},
  \qquad
  \|\mathbf u(\boldsymbol\xi)\|_2=1.
\end{equation}
%
其中 $\alpha$ 为全局方位角，$\beta$ 为全局俯仰角；多用户场景下可写为 $\boldsymbol\xi_k$，本节单用户主线中省略下标。

设第 $\ell$ 颗卫星在参考时刻的位置与速度分别为 $\mathbf s_\ell$ 和 $\mathbf v_\ell$。其本地阵列坐标基为
%
\begin{equation}
  \mathbf e_{3,\ell}=-\frac{\mathbf s_\ell}{\|\mathbf s_\ell\|_2},
  \qquad
  \mathbf e_{2,\ell}=\frac{\mathbf s_\ell\times\mathbf v_\ell}{\|\mathbf s_\ell\times\mathbf v_\ell\|_2},
  \qquad
  \mathbf e_{1,\ell}=\mathbf e_{2,\ell}\times\mathbf e_{3,\ell}.
\end{equation}
%
从本地坐标系到全局坐标系的旋转矩阵记为
%
\begin{equation}
  \boldsymbol{\Omega}_\ell
  \triangleq
  \begin{bmatrix}
    \mathbf e_{1,\ell},\mathbf e_{2,\ell},\mathbf e_{3,\ell}
  \end{bmatrix}
  \in\mathbb R^{3\times 3}.
\end{equation}
%
第 $\ell$ 颗卫星本地坐标系下的来向向量为
%
\begin{equation}
  \mathbf u_\ell^{\mathrm{loc}}
  =
  \boldsymbol{\Omega}_\ell^\Tran\mathbf u(\boldsymbol\xi)
  =
  \begin{bmatrix}
    u^{\mathrm{loc}}_{\ell,1},u^{\mathrm{loc}}_{\ell,2},u^{\mathrm{loc}}_{\ell,3}
  \end{bmatrix}^\Tran,
\end{equation}
%
对应的局部方位角与俯仰角统一记为
%
\begin{equation}
  \alpha_\ell^{\mathrm{loc}}
  =
  \operatorname{atan2}\big(u^{\mathrm{loc}}_{\ell,2},u^{\mathrm{loc}}_{\ell,1}\big),
  \qquad
  \beta_\ell^{\mathrm{loc}}
  =
  \arcsin\big(u^{\mathrm{loc}}_{\ell,3}\big).
\end{equation}
%
第 $\ell$ 颗卫星的阵列导向矢量统一定义为
%
\begin{equation}
  \mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi)
  \triangleq
  \mathbf a_\ell\big(\alpha_\ell^{\mathrm{loc}},\beta_\ell^{\mathrm{loc}}\big)
  \in\mathbb C^{M_\ell\times 1},
\end{equation}
%
其中 $\mathbf a_\ell(\cdot)$ 的具体形式按第~\ref{subsec:single_arr_array_model} 小节的 \gls{ula}/\gls{upa} 模板代入即可。后续静态与多帧模型均统一使用该记号；$\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi)$ 始终只表示\emph{阵列导向矢量}，不再用于轨道动力学中的加速度量。

这里的共享全局方向是远场窄带近似：信源到星座的距离应显著大于星间基线，且在一个观测块内方向、卫星姿态和轨道状态可视为冻结。因此，各卫星共享的是全局方向向量 $\mathbf u(\boldsymbol\xi)$，而不是共享同一组本地方位角与俯仰角；本地角度由各自的已知旋转 $\boldsymbol\Omega_\ell$ 映射得到。上式用由位置和速度构造的轨道坐标基表示一种已知姿态选择；若实际阵列坐标系与该轨道基不重合，应将 $\boldsymbol\Omega_\ell$ 换成已标定的 ``阵列本地系到全局系'' 旋转，后续 Jacobian 结构不变。有限距离或明显视差下不应强行使用共同 $\mathbf u(\boldsymbol\xi)$，而应采用第~\ref{sec:userPositioning} 节的位置参数化。

\subsection{参考卫星参数化}
\label{subsec:refSatParameterization}

固定选择一颗卫星作为\emph{参考卫星}，其索引记为 $\ell_{\mathrm{ref}}$，除特别说明外默认取 $\ell_{\mathrm{ref}}=0$。后文中涉及 ``ref'' 的 Doppler 参数，均指\emph{参考卫星链路}上的参数，而不再使用星群质心或星群平均速度定义参考 Doppler。

静态 \gls{doa}--Doppler 主参数统一写为
%
\begin{equation}
  \label{eq:eta_main}
  \boldsymbol\eta
  =
  \begin{bmatrix}
    \boldsymbol\xi\\
    \nu_{\mathrm{ref}}
  \end{bmatrix}
  \in\mathbb R^{3},
\end{equation}
%
其中 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 为参考时刻、参考卫星链路上的归一化 Doppler。多帧动态模型中主估计目标默认仍是同一个 $\boldsymbol\eta$，而参考链路 Doppler rate $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 放入干扰参数侧。

在远场公共方向模型下，相对 Doppler 的几何含义可以显式写出。令 $\lambda_{\mathrm c}$ 为载波波长，$\epsilon_D\in\{+1,-1\}$ 表示所采用的上行/下行传播方向符号约定，则第 $\ell$ 条链路相对于参考链路的物理 FDOA 为
%
\begin{equation}
  \Delta f_\ell(\boldsymbol\xi)
  \triangleq
  \frac{\epsilon_D}{\lambda_{\mathrm c}}
  \big(\mathbf v_\ell-\mathbf v_{\ell_{\mathrm{ref}}}\big)^\Tran
  \mathbf u(\boldsymbol\xi),
  \qquad
  \Delta f_{\ell_{\mathrm{ref}}}(\boldsymbol\xi)\equiv0,
  \label{eq:sec3_fdoa_projection}
\end{equation}
%
其中公共的用户速度投影以及参考链路的绝对 Doppler 已被相减或吸收到 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 中。换算到正文使用的 rad/sample 参数，
%
\begin{equation}
  \Delta\nu_\ell(\boldsymbol\xi)
  \triangleq
  2\pi T_{\mathrm s}\Delta f_\ell(\boldsymbol\xi)
  \;=\;
  \frac{2\pi T_{\mathrm s}\epsilon_D}{\lambda_{\mathrm c}}
  \big(\mathbf v_\ell-\mathbf v_{\ell_{\mathrm{ref}}}\big)^\Tran
  \mathbf u(\boldsymbol\xi).
  \label{eq:sec3_dnu_projection}
\end{equation}
%
因此，$\Delta\nu_\ell(\boldsymbol\xi)$ 是已知相对速度在共享全局方向上的投影，而不是额外独立的 Doppler 参数。该映射要求相对星历和频率标定可用；若每条链路还含未标定的独立频率偏置，应将该偏置另列为干扰参数，不能继续把 $\Delta\nu_\ell$ 视为已知几何量。有限距离时应将共同方向替换为逐星视线，所需的 FDOA 表达式见式~\eqref{eq:sec7_dnu_pos}。

给定 $(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}},\dot\nu_{\mathrm{ref}})$ 后，其余卫星的链路参数统一通过几何映射表示为
%
\begin{equation}
  \nu_\ell
  =
  \nu_{\mathrm{ref}}+\Delta\nu_\ell(\boldsymbol\xi),
  \qquad
  \dot\nu_\ell
  =
  \dot\nu_{\mathrm{ref}}+\Delta\dot\nu_\ell(\boldsymbol\xi),
  \qquad
  \ell=0,1,\ldots,L-1,
\end{equation}
%
其中 $\Delta\nu_\ell(\boldsymbol\xi)$ 由式~\eqref{eq:sec3_dnu_projection} 的相对速度投影给出；在动态模型中，$\Delta\dot\nu_\ell(\boldsymbol\xi)$ 还需由同一局部线性化下的相对加速度或等价星历导数给出。二者均满足 $\Delta\nu_{\ell_{\mathrm{ref}}}\equiv\Delta\dot\nu_{\ell_{\mathrm{ref}}}\equiv0$。这一组几何映射正是把 $L$ 个原本 ``独立'' 的链路 Doppler 压回到一个标量 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 的结构来源。

\subsection{静态多星信号模型}
\label{subsec:staticBlockModel}

考虑单用户上行已知训练序列 $s(t)$，在单个观测块内做如下假设：
\begin{enumerate}
  \item \gls{doa} 在整个观测块内保持不变；
  \item 每条链路的归一化 Doppler 在该观测块内近似为常数；
  \item 每颗卫星对应一个未知复干扰系数 $\zeta_\ell\in\mathbb C$；
  \item 不同卫星的噪声方差允许不同（\emph{星间异方差}），但同一颗卫星在该观测块内保持不变。
\end{enumerate}
第 $\ell$ 颗卫星在第 $t$ 个采样点的接收向量为
%
\begin{equation}
  \mathbf y_\ell(t)
  =
  \zeta_\ell
  \mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi)
  s(t)
  e^{j\nu_\ell(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})t}
  +
  \mathbf n_\ell(t),
  \qquad
  \mathbf n_\ell(t)\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma_\ell\mathbf I_{M_\ell}),
\end{equation}
%
其中 $\nu_\ell(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})\triangleq \nu_{\mathrm{ref}}+\Delta\nu_\ell(\boldsymbol\xi)$。

定义时间模板
%
\begin{equation}
  \mathbf q_\ell(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})
  \triangleq
  \begin{bmatrix}
    s(0)e^{j\nu_\ell\cdot 0},
    s(1)e^{j\nu_\ell\cdot 1},
    \cdots,
    s(T-1)e^{j\nu_\ell(T-1)}
  \end{bmatrix}^\Tran
  \in\mathbb C^{T\times 1},
\end{equation}
%
与空时导向向量
%
\begin{equation}
  \mathbf g_\ell(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})
  \triangleq
  \mathbf q_\ell(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})
  \otimes
  \mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi)
  \in\mathbb C^{M_\ell T\times 1}.
\end{equation}
%
将第 $\ell$ 颗卫星在该观测块内 $T$ 个采样点的接收向量按列堆叠为观测矩阵 $\mathbf Y_\ell\triangleq[\mathbf y_\ell(0),\ldots,\mathbf y_\ell(T-1)]\in\mathbb C^{M_\ell\times T}$，再按列向量化为 $\tilde{\mathbf y}_\ell\triangleq\vect(\mathbf Y_\ell)\in\mathbb C^{M_\ell T}$，则有
%
\begin{equation}
  \tilde{\mathbf y}_\ell
  =
  \zeta_\ell\mathbf g_\ell(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})
  +
  \tilde{\mathbf n}_\ell,
  \qquad
  \tilde{\mathbf n}_\ell\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma_\ell\mathbf I_{M_\ell T}).
\end{equation}
%
本节的干扰参数为
%
\begin{equation}
  \boldsymbol\psi
  =
  \Big[
    \{\zeta_\ell\}_{\ell=0}^{L-1},
    \{\sigma_\ell\}_{\ell=0}^{L-1}
  \Big]^\Tran.
\end{equation}

\subsection{联合似然与集中似然}

各星观测条件独立，圆对称复高斯，联合负对数似然为
%
\begin{equation}
  \mathcal L(\boldsymbol\eta,\boldsymbol\psi)
  =
  \sum_{\ell=0}^{L-1}
  \left[
    M_\ell T\log\sigma_\ell
    +
    \frac{1}{\sigma_\ell}
    \left\|
      \tilde{\mathbf y}_\ell
      -
      \zeta_\ell\mathbf g_\ell(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})
    \right\|_2^2
  \right].
\end{equation}

对干扰参数 $\boldsymbol\psi$ 的逐项闭式消元——先消 $\zeta_\ell$、再消 $\sigma_\ell$——与第~\ref{sec:det_doa_est} 节单阵列情形完全平行；详细矩阵代入见\appref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb}。集中似然估计准则为
%
\begin{equation}
  \widehat{\boldsymbol\eta}
  =
  \argmin_{\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}}}
  \sum_{\ell=0}^{L-1}
  M_\ell T
  \log \mathcal E_\ell(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}}),
  \qquad
  \mathcal E_\ell
  \triangleq
  \|\tilde{\mathbf y}_\ell\|_2^2
  -
  \frac{\left|\mathbf g_\ell^\Herm\tilde{\mathbf y}_\ell\right|^2}
       {\|\mathbf g_\ell\|_2^2}.
\end{equation}
%
若实际中 $\sigma_\ell$ 已知或由预处理获得，可退化为加权集中似然形式
%
\begin{equation}
  \widehat{\boldsymbol\eta}
  =
  \argmax_{\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}}}
  \sum_{\ell=0}^{L-1}
  \frac{1}{\sigma_\ell}
  \frac{\left|\mathbf g_\ell^\Herm\tilde{\mathbf y}_\ell\right|^2}
       {\|\mathbf g_\ell\|_2^2}.
\end{equation}
%
该表达式说明：在多星协作条件下，联合估计等价于在统一的 $(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})$ 下，对各卫星空时匹配输出按几何与噪声水平进行加权融合。

上述两式是同一残差最小化的两面：由 $\mathcal E_\ell$ 的定义，残差能量与匹配能量之和恒为与主参数无关的总能量 $\|\tilde{\mathbf y}_\ell\|_2^2$，因此 $\sigma_\ell$ 已知时``最小化残差''与``最大化加权匹配能量''等价，二者只差这一常数。两式的对数则源于\emph{星间异方差}：$\sigma_\ell$ 未知时须逐星轮廓化，得到各星残差能量的对数之和 $\sum_\ell M_\ell T\log\mathcal E_\ell$，无法再合并；而第~\ref{sec:det_doa_est}、\ref{sec:det_doa_doppler_est} 节只有单一噪声方差，该对数因单调性可直接略去，故写成不带对数的残差最小化。

\subsection{仿真结果说明}

图~\ref{fig:dualSatSingleSourceScene} 使用 STK 给出了双星单用户场景，用户位于两颗卫星的交叠覆盖区中，卫星视角为 $\pm 55^\circ$。

图~\ref{fig:doaDopplerEciDualSatSingleSourceUpa2048Snap} 给出了在存在 Doppler 的情况下，发送导频信号并采用上述 \gls{mle} 方法时，仅进行 \gls{doa} 估计与联合进行 \gls{doa}--Doppler 估计的二维地表坐标估计结果。结果表明，在经度和纬度两个维度上，\gls{doa}--Doppler 联合估计均优于仅 \gls{doa} 估计，但与 \gls{crb} 之间仍存在一定差距，这一差距可能与地面坐标到卫星局部角度的非线性映射有关。对于 Doppler 参数估计，其结果基本达到 \gls{crb}。

图~\ref{fig:multiSatSingleSourceScene} 使用 STK，按照用户仰角 $15^\circ$ 和卫星视角 $\pm 55^\circ$ 给出了多星单用户场景。在此基础上，可进一步针对不同卫星组合计算 \gls{crb}，从而实现基于 \gls{crb} 的选星。

\begin{figure}[!h]
  \centering
  \includegraphics[width=0.9\textwidth]{fig/dualSatSingleSourceScene.bmp}
  \caption{静态多星 \gls{doa}--Doppler 主线基线：双星单源几何场景示意}
  \label{fig:dualSatSingleSourceScene}
\end{figure}

\begin{figure}[!h]
  \centering
  \includegraphics[width=0.95\textwidth]{fig/doaDopplerEciDualSatSingleSourceUpa2048Snap.pdf}
  \caption{静态多星 \gls{doa}--Doppler 主线基线：ECI 坐标系下双星 UPA、单信源场景中，单独估计 \gls{doa} 与联合估计 \gls{doa}--Doppler 的 MSE 对比}
  \label{fig:doaDopplerEciDualSatSingleSourceUpa2048Snap}
\end{figure}

\begin{figure}[!h]
  \centering
  \includegraphics[width=0.85\textwidth]{fig/multiSatSingleSourceScene.bmp}
  \caption{静态多星 \gls{doa}--Doppler 主线基线：多星单源几何场景示意}
  \label{fig:multiSatSingleSourceScene}
\end{figure}

本节完成了多星主线中的静态基线：同一个全局方向 $\boldsymbol\xi$ 同时决定各星局部导向矢量，而参考星 Doppler $\nu_{\mathrm{ref}}$ 通过几何映射决定各星链路 Doppler。