\section{确定信号 DoA--Doppler 估计}
\label{sec:det_doa_doppler_est}

本节在单阵列确定信号 DoA 模板上加入归一化角 Doppler $\nu_k$，是从纯空间阵列模型过渡到空时导向模型的桥梁。若仍把发送信号 $x_k(t)$ 在每一时刻都视为自由未知量，则 Doppler 项 $e^{j\nu_k t}$ 会被吸收进未知的 $x_k(t)$ 中，从而使 $\nu_k$ 不可辨识并导致 \gls{crb} 奇异。因此，本节沿用第~\ref{subsec:single_arr_doa_doppler_est} 小节的归一化 Doppler 约定，并显式引入已知导频序列 $s_k(t)$。当 $s_k(t)\equiv1$ 时，下面模型退化为常包络导频或单音模型。

\subsection{似然函数求取}

定义第 $k$ 个信源的导频加权时间模板为
\begin{equation}
  \mathbf q_k(\nu_k)
  \triangleq
  \begin{bmatrix}
    s_k(0)e^{j\nu_k\cdot0} \\
    s_k(1)e^{j\nu_k\cdot1} \\
    \vdots \\
    s_k(T-1)e^{j\nu_k(T-1)}
  \end{bmatrix}
  \in\mathbb C^{T\times1}.
\end{equation}
令 $\mathbf a_k\triangleq\mathbf a(\bm\theta_k)$，并将第 $k$ 个信源的未知复增益记为 $\zeta_k$，则所有快拍可写为
\begin{equation}
  \mathbf Y
  =
  \sum_{k=1}^{K}\zeta_k\mathbf a(\bm\theta_k)\mathbf q_k^\Tran(\nu_k)
  +
  \mathbf N,
\end{equation}
其中 $\mathbf Y=[\mathbf y_0,\ldots,\mathbf y_{T-1}]\in\mathbb C^{M\times T}$，$\mathbf N=[\mathbf n_0,\ldots,\mathbf n_{T-1}]\in\mathbb C^{M\times T}$。

进一步定义第 $k$ 个信源的空时导向列向量和整体空时字典为
\begin{equation}
  \mathbf b_{\mathrm{st},k}(\bm\theta_k,\nu_k)
  \triangleq
  \mathbf q_k(\nu_k)\otimes\mathbf a(\bm\theta_k)
  \in\mathbb C^{MT\times1},
\end{equation}
\begin{equation}
  \mathbf B_{\mathrm{st}}(\bm\Theta,\boldsymbol\nu)
  \triangleq
  \left[
    \mathbf b_{\mathrm{st},1},\ldots,\mathbf b_{\mathrm{st},K}
  \right]
  \in\mathbb C^{MT\times K}.
\end{equation}
定义信源复增益向量 $\boldsymbol\zeta=[\zeta_1,\ldots,\zeta_K]^\Tran$，则接收信号可以进一步表示为
\begin{equation}
  \label{eq:vec_det_doa_doppler_recv_sig}
  \tilde{\mathbf y}
  \triangleq
  \vect(\mathbf Y)
  =
  \mathbf B_{\mathrm{st}}(\bm\Theta,\boldsymbol\nu)\boldsymbol\zeta
  +
  \tilde{\mathbf n},
  \qquad
  \tilde{\mathbf n}\triangleq\vect(\mathbf N).
\end{equation}

由于噪声在时间和空间上均不相关，且 $\tilde{\mathbf n}\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma\mathbf I_{MT})$，其中 $\sigma\triangleq\sigma_n^2$，有
\begin{equation}
  \tilde{\mathbf y}
  \sim
  \mathcal{CN}\big(\mathbf B_{\mathrm{st}}\boldsymbol\zeta,\sigma\mathbf I_{MT}\big).
\end{equation}
因此，观测似然函数为
\begin{equation}
  L(\sigma,\boldsymbol\zeta,\boldsymbol\nu,\bm\Theta)
  =
  (\pi\sigma)^{-MT}
  \exp\left[
    -\frac{1}{\sigma}
    \left\|\tilde{\mathbf y}-\mathbf B_{\mathrm{st}}\boldsymbol\zeta\right\|_2^2
  \right],
\end{equation}
对应对数似然函数为
\begin{equation}
  \label{eq:singlelog_likelihood}
  \ln\mathcal L(\sigma,\boldsymbol\zeta,\boldsymbol\nu,\bm\Theta)
  =
  \mathrm{Const}
  -MT\ln\sigma
  -\frac{1}{\sigma}
  \left\|\tilde{\mathbf y}-\mathbf B_{\mathrm{st}}\boldsymbol\zeta\right\|_2^2.
\end{equation}

\subsection{确定/条件最大似然}

\subsubsection{原始问题建模}

\Gls{dml}/\gls{cml} 优化问题可以表述为
\begin{alignat}{2}
  \label{eq:det_ml_doa_doppler_opt}
  &\minimize_{\boldsymbol\zeta,\boldsymbol\nu,\bm\Theta,\sigma} \quad &&
  MT\ln\sigma
  +
  \frac{1}{\sigma}\left\|\tilde{\mathbf y}-\mathbf B_{\mathrm{st}}\boldsymbol\zeta\right\|_2^2
  \nonumber\\
  &\text{subject to} && \bm\Theta\in\varTheta.
\end{alignat}

\subsubsection{集中似然表达}

我们关心的是信号来向 $\bm\Theta$ 和 Doppler $\boldsymbol\nu$。假设 $\mathbf B_{\mathrm{st}}(\bm\Theta,\boldsymbol\nu)$ 列满秩，则对固定的 $(\bm\Theta,\boldsymbol\nu)$，复增益和噪声方差的极大似然估计为
\begin{subequations}
\begin{equation}
  \widehat{\boldsymbol\zeta}(\bm\Theta,\boldsymbol\nu)
  =
  \left(\mathbf B_{\mathrm{st}}^\Herm\mathbf B_{\mathrm{st}}\right)^{-1}
  \mathbf B_{\mathrm{st}}^\Herm\tilde{\mathbf y},
\end{equation}
\begin{equation}
  \widehat\sigma(\bm\Theta,\boldsymbol\nu)
  =
  \frac{1}{MT}\tilde{\mathbf y}^\Herm
  \left(\mathbf I_{MT}-\mathcal P_{\mathbf B_{\mathrm{st}}}\right)
  \tilde{\mathbf y},
\end{equation}
\end{subequations}
其中
\begin{equation}
  \mathcal P_{\mathbf B_{\mathrm{st}}}
  \triangleq
  \mathbf B_{\mathrm{st}}
  \left(\mathbf B_{\mathrm{st}}^\Herm\mathbf B_{\mathrm{st}}\right)^{-1}
  \mathbf B_{\mathrm{st}}^\Herm.
\end{equation}
代入式~\eqref{eq:det_ml_doa_doppler_opt} 后，可以得到 $\bm\Theta$ 和 $\boldsymbol\nu$ 的集中确定最大似然估计
\begin{equation}
  \label{eq:con_det_ml_doa_doppler_opt}
  \left(\widehat{\bm\Theta}_{\mathrm{CDML}},\widehat{\boldsymbol\nu}_{\mathrm{CDML}}\right)
  =
  \argmin_{\bm\Theta,\boldsymbol\nu}
  \tilde{\mathbf y}^\Herm
  \left(\mathbf I_{MT}-\mathcal P_{\mathbf B_{\mathrm{st}}}\right)
  \tilde{\mathbf y}.
\end{equation}
也即 $(\bm\Theta,\boldsymbol\nu)$ 的估计可以通过最小化
\begin{equation}
  \mathcal J(\bm\Theta,\boldsymbol\nu)
  \triangleq
  \tilde{\mathbf y}^\Herm
  \left(\mathbf I_{MT}-\mathcal P_{\mathbf B_{\mathrm{st}}(\bm\Theta,\boldsymbol\nu)}\right)
  \tilde{\mathbf y}
\end{equation}
得到。

若不关心 Doppler，可将其视为干扰参数并先做 profile 处理：
\begin{equation}
  \widehat{\bm\Theta}_{\mathrm{CDML}}
  =
  \argmin_{\bm\Theta}
  \min_{\boldsymbol\nu}
  \tilde{\mathbf y}^\Herm
  \left(\mathbf I_{MT}-\mathcal P_{\mathbf B_{\mathrm{st}}}\right)
  \tilde{\mathbf y}.
\end{equation}

由此可见，Doppler 不是简单附加在 DoA 估计之后的独立标量，而是通过时间模板与空间导向矢量共同形成空时子空间。多星静态 DoA--Doppler 模型将在这一思想上进一步加入卫星几何约束：各链路 Doppler 不再独立搜索，而由同一个 $\boldsymbol\xi$ 和参考星参数 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 统一诱导。