\section{多帧动态模型 CRB} \label{sec:multiFrameCrb} \begin{mdquote} \noindent\textbf{本附录设定}：对应正文第~\ref{sec:dynamicDoaDopplerEst}~节的多帧动态多星模型，汇总 \gls{cp} 与 \gls{ip} 基线两类 \gls{crb}；二者差别在跨帧相位结构——\gls{cp} 保留同星公共相位约束、\gls{ip} 放弃之，对比二者可量化跨帧相位连续性携带的信息量。 \begin{itemize}[leftmargin=1.5em,itemindent=0pt] \item \emph{主参数} $\boldsymbol\eta=[\alpha,\beta,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$（全局角与参考 Doppler）；\emph{干扰参数} Doppler rate $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 与各观测块复增益 $\zeta_{\ell,p}$。 \item \emph{本附录给出} \gls{cp} 与 \gls{ip} 的 \gls{efim} 及其对比（含保留 \gls{cp} 模板、复系数放松的基线）。 \item \emph{本附录局部符号} $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$：参考 Doppler rate；$\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp,rel}}$：放松 \gls{cp} 模型中视为自由的复干扰系数。完整索引见\appref{sec:assumptionsAndNotation}。 \end{itemize} \end{mdquote} \subsection{连续相位 CP 模型 EFIM} \label{sec:A7_dynDoaDopplerCrb} 本附录沿用第~\ref{sec:dynamicDoaDopplerEst} 节中的动态多帧记号，只讨论两类与正文主线严格对应的模型： \begin{enumerate} \item 第~\ref{subsec:dynamicCpModel} 小节中的结构化\gls{cp} 模型； \item 第~\ref{subsec:dynamicRelaxedModel} 小节中的 放松 \gls{cp} 模型，即保留\gls{cp} 模板，但将每个观测块的复干扰系数 $\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp,rel}}$ 视为自由参数。 \end{enumerate} 主参数统一定义为 % \begin{equation} \boldsymbol\eta = \begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \\ \nu_{\mathrm{ref}} \end{bmatrix}, \qquad \boldsymbol\eta\in\mathbb R^3, \end{equation} % 并将 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 作为干扰参数处理。为避免重复建模，这里只保留 \gls{crb} 推导所需的最小定义、导数记号与 \gls{fim}/\gls{efim} 结构。 用 K/U 分别标记参考 Doppler rate 已知/未知，三种配置均保留相同的三维主参数。在幅度严格为正的局部工作点，影响均值的干扰参数与实维数为 % \begin{equation} \begin{array}{c|c|c} \text{配置} & \text{干扰参数} & \text{实维数}\\ \hline \text{CP-K} & \{\chi_\ell\},\{\rho_{\ell,p}\} & L+LP\\ \text{CP-U} & \dot\nu_{\mathrm{ref}},\{\chi_\ell\},\{\rho_{\ell,p}\} & 1+L+LP\\ \text{IP-U} & \dot\nu_{\mathrm{ref}},\{\vartheta_{\ell,p}\},\{\rho_{\ell,p}\} & 1+2LP \end{array} \label{eq:A7_parameter_dimensions} \end{equation} % 若各星噪声方差未知，完整干扰参数另增加 $L$ 维，与均值参数 Fisher 块解耦。复增益已由幅度与相位表示，不再额外引入一组独立复路径增益；K 配置固定的是参考 rate，各星相对 rate 仍通过全局方向变化。 \subsubsection{沿用正文模型的最小定义与导数记号} 沿用第~\ref{subsec:dynamicCpModel} 小节中的\gls{cp} 模板与块级向量化方式。对任意卫星 $\ell=0,\ldots,L-1$ 与帧 $p=0,\ldots,P-1$，定义\gls{cp} 模板 % \begin{equation} \phi^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}(t) = \nu_\ell t_{p,t} + \frac{1}{2}\dot\nu_\ell t_{p,t}^2, \qquad t_{p,t}=\tau_p+t, \qquad t=0,\ldots,T-1, \end{equation} % 其中 % \begin{equation} \nu_\ell = f_{\nu,\ell}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}}), \qquad \dot\nu_\ell = f_{\dot\nu,\ell}(\boldsymbol\xi,\dot\nu_{\mathrm{ref}}). \end{equation} % 按时间堆叠后定义 % \begin{equation} \mathbf q^{\mathrm{cp}}_{\ell,p} \triangleq \begin{bmatrix} s_p(0)e^{j\phi^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}(0)} \\ s_p(1)e^{j\phi^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}(1)} \\ \vdots \\ s_p(T-1)e^{j\phi^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}(T-1)} \end{bmatrix} \in\mathbb C^{T\times 1}, \end{equation} % 以及向量化后的空时模板 % \begin{equation} \mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p} \triangleq \mathbf q^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}\otimes \mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi) \in\mathbb C^{M_\ell T\times 1}. \end{equation} 对角度参数 $x\in\{\alpha,\beta\}$，由链式法则可得时间模板导数 % \begin{equation} \frac{\partial \mathbf q^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}}{\partial x} = j\left[ \frac{\partial \nu_\ell}{\partial x} \operatorname{diag}(t_{p,0},\ldots,t_{p,T-1}) + \frac{1}{2} \frac{\partial \dot\nu_\ell}{\partial x} \operatorname{diag}(t_{p,0}^2,\ldots,t_{p,T-1}^2) \right] \mathbf q^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}, \label{eq:A7_qx_cp} \end{equation} % 并且 % \begin{equation} \frac{\partial \mathbf q^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}}{\partial \nu_{\mathrm{ref}}} = j\operatorname{diag}(t_{p,0},\ldots,t_{p,T-1})\mathbf q^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}, \label{eq:A7_qomega_cp} \end{equation} \begin{equation} \frac{\partial \mathbf q^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}}{\partial \dot\nu_{\mathrm{ref}}} = \frac{j}{2}\operatorname{diag}(t_{p,0}^2,\ldots,t_{p,T-1}^2)\mathbf q^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}, \label{eq:A7_qgamma_cp} \end{equation} % 其中已利用正文中的几何参数化：$\dfrac{\partial \nu_\ell}{\partial \nu_{\mathrm{ref}}}=1$，$\dfrac{\partial \dot\nu_\ell}{\partial \dot\nu_{\mathrm{ref}}}=1$。这里的显式导数采用正文中的加性参考星参数化，$\nu_\ell=\nu_{\mathrm{ref}}+\Delta\nu_\ell(\boldsymbol\xi)$ 且 $\dot\nu_\ell=\dot\nu_{\mathrm{ref}}+\Delta\dot\nu_\ell(\boldsymbol\xi)$；若改用一般映射，只需将上述两个导数替换为对应链式法则项。 对固定方向模型，角度导数可直接由 \eqref{eq:sec3_dnu_projection} 与 \eqref{eq:sec5_relative_rate_fixed_direction} 给出： % \begin{equation} \begin{aligned} \frac{\partial\nu_\ell}{\partial x} &=\frac{2\pi T_{\mathrm s}\epsilon_D}{\lambda_{\mathrm c}} \Delta\mathbf v_\ell^\Tran\frac{\partial\mathbf u}{\partial x},\\ \frac{\partial\dot\nu_\ell}{\partial x} &=\frac{2\pi T_{\mathrm s}^2\epsilon_D}{\lambda_{\mathrm c}} (\Delta\mathbf a_\ell^{\mathrm{orb}})^\Tran \frac{\partial\mathbf u}{\partial x}, \qquad x\in\{\alpha,\beta\}. \end{aligned} \label{eq:A7_direction_doppler_derivatives} \end{equation} % 所有角度导数以弧度为自变量，$\epsilon_D=-1$；旋转矩阵及参考时刻星历在求参数导数时保持已知。空间导数由 \eqref{eq:A6_uloc_jac} 与 \eqref{eq:sec3_propagation_steering} 直接链式计算，可避免在局部角极点处使用 atan2/arcsin 导数。 于是空时模板对主参数与 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 的导数分别为 % \begin{equation} \mathbf d^{\mathrm{cp}}_{\ell,p,\alpha} \triangleq \frac{\partial \mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}}{\partial \alpha} = \mathbf q^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}\otimes \frac{\partial\mathbf a_\ell}{\partial\alpha} + \frac{\partial \mathbf q^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}}{\partial \alpha}\otimes \mathbf a_\ell, \end{equation} \begin{equation} \mathbf d^{\mathrm{cp}}_{\ell,p,\beta} \triangleq \frac{\partial \mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}}{\partial \beta} = \mathbf q^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}\otimes \frac{\partial\mathbf a_\ell}{\partial\beta} + \frac{\partial \mathbf q^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}}{\partial \beta}\otimes \mathbf a_\ell, \end{equation} \begin{equation} \mathbf d^{\mathrm{cp}}_{\ell,p,\nu} \triangleq \frac{\partial \mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}}{\partial \nu_{\mathrm{ref}}} = \frac{\partial \mathbf q^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}}{\partial \nu_{\mathrm{ref}}}\otimes \mathbf a_\ell, \end{equation} \begin{equation} \mathbf d^{\mathrm{cp}}_{\ell,p,\dot\nu} \triangleq \frac{\partial \mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}}{\partial \dot\nu_{\mathrm{ref}}} = \frac{\partial \mathbf q^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}}{\partial \dot\nu_{\mathrm{ref}}}\otimes \mathbf a_\ell. \end{equation} % 记 % \begin{equation} \mathbf D^{\mathrm{cp}}_{\eta,\ell,p} \triangleq \begin{bmatrix} \mathbf d^{\mathrm{cp}}_{\ell,p,\alpha} & \mathbf d^{\mathrm{cp}}_{\ell,p,\beta} & \mathbf d^{\mathrm{cp}}_{\ell,p,\nu} \end{bmatrix} \in\mathbb C^{M_\ell T\times 3}, \end{equation} % 以及 % \begin{equation} \mathbf d^{\mathrm{cp}}_{\dot\nu,\ell,p} \triangleq \mathbf d^{\mathrm{cp}}_{\ell,p,\dot\nu} \in\mathbb C^{M_\ell T\times 1}. \end{equation} 将所有 $(\ell,p)$ 的向量化观测按任意固定顺序堆叠为 $\tilde{\mathbf y}$。为避免块顺序引起歧义，记 % \begin{equation} \mathcal B \triangleq \{(\ell,p):\ell=0,\ldots,L-1, \ p=0,\ldots,P-1\}, \end{equation} % 则对应噪声协方差为 % \begin{equation} \mathbf R_n = \operatorname{blkdiag} \Big( \{\sigma_\ell\mathbf I_{M_\ell T}\}_{(\ell,p)\in\mathcal B} \Big), \label{eq:A7_Rn_cp_stack} \end{equation} % 其中每个 $(\ell,p)$ 观测块对应一个 $M_\ell T\times M_\ell T$ 的对角噪声协方差块；同一卫星的不同帧共享同一 $\sigma_\ell$。 由于这里所有待估参数仅通过均值向量进入，而 $\mathbf R_n$ 与这些参数无关，因此对任意实参数 $\kappa_i,\kappa_j$，\gls{fim}元素统一写为 % \begin{equation} [\mathcal I(\boldsymbol\kappa)]_{ij} = 2\Re\left\{ \frac{\partial \boldsymbol\mu^{\Herm}(\boldsymbol\kappa)}{\partial \kappa_i} \mathbf R_n^{-1} \frac{\partial \boldsymbol\mu(\boldsymbol\kappa)}{\partial \kappa_j} \right\}. \label{eq:A7_FIM_general} \end{equation} \subsubsection{连续相位模型下的 CRB} \gls{cp} 模型写为 % \begin{equation} \tilde{\mathbf y}^{\mathrm{cp}}_{\ell,p} = \zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp}} \mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}},\dot\nu_{\mathrm{ref}}) + \tilde{\mathbf n}_{\ell,p}, \qquad \tilde{\mathbf n}_{\ell,p}\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma_\ell\mathbf I_{M_\ell T}). \end{equation} % 记 % \begin{equation} \zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}\triangleq \rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}e^{j\chi_\ell},\qquad \rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}\in\mathbb R_{\ge0}. \end{equation} % 在常规局部 \gls{crb} 推导中默认真实工作点满足 $\rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}>0$，从而幅度参数位于非负约束的内部。同星公共相位仍可由该星其他非零幅度块提供信息，不能仅因一个块幅度为零就删除该星相位列；若该星所有块幅度均为零，其公共相位列才整体为零。零幅度边界须另行分析约束与可辨识性，不能仅靠广义逆恢复常规局部 \gls{crb}。 则第 $(\ell,p)$ 个观测块的均值为 % \begin{equation} \boldsymbol\mu^{\mathrm{cp}}_{\ell,p} = \zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}\mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}},\dot\nu_{\mathrm{ref}}). \end{equation} 定义\gls{cp} 模型的干扰参数向量为 % \begin{equation} \boldsymbol\psi^{\mathrm{cp}}_{\mu} = \Big[ \dot\nu_{\mathrm{ref}}, \{\chi_\ell\}_{\ell=0}^{L-1}, \{\rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}:\ell=0,\ldots,L-1,\ p=0,\ldots,P-1\} \Big]^{\Tran}, \end{equation} % 并令总参数向量为 % \begin{equation} \boldsymbol\kappa^{\mathrm{cp}} = \begin{bmatrix} \boldsymbol\eta^{\Tran} & (\boldsymbol\psi^{\mathrm{cp}}_{\mu})^{\Tran} \end{bmatrix}^{\Tran}. \end{equation} 对单个观测块，有 % \begin{equation} \frac{\partial \boldsymbol\mu^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}}{\partial \boldsymbol\eta} = \zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}\mathbf D^{\mathrm{cp}}_{\eta,\ell,p}, \label{eq:A7_Jeta_cp_block} \end{equation} \begin{equation} \frac{\partial \boldsymbol\mu^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}}{\partial \dot\nu_{\mathrm{ref}}} = \zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}\mathbf d^{\mathrm{cp}}_{\dot\nu,\ell,p}, \label{eq:A7_Jgamma_cp_block} \end{equation} % 以及对任意 $m\in\{0,\ldots,L-1\}$ 与任意 $(m,n)$， % \begin{equation} \frac{\partial \boldsymbol\mu^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}}{\partial \chi_m} = \begin{cases} j \zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}\mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}, & m=\ell,\\[0.4em] \mathbf 0, & m\neq \ell, \end{cases} \label{eq:A7_Jphi_cp_block} \end{equation} \begin{equation} \frac{\partial \boldsymbol\mu^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}}{\partial \rho_{m,n}^{\mathrm{cp}}} = \begin{cases} e^{j\chi_\ell}\mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}, & (m,n)=(\ell,p),\\[0.4em] \mathbf 0, & (m,n)\neq(\ell,p). \end{cases} \label{eq:A7_Jb_cp_block} \end{equation} 将所有观测块联合堆叠后，记相应 Jacobian 为 % \begin{equation} \mathbf J^{\mathrm{cp}}_{\eta} \triangleq \frac{\partial \boldsymbol\mu^{\mathrm{cp}}}{\partial \boldsymbol\eta}, \qquad \mathbf J^{\mathrm{cp}}_{\psi} \triangleq \frac{\partial \boldsymbol\mu^{\mathrm{cp}}}{\partial \boldsymbol\psi^{\mathrm{cp}}_{\mu}}. \end{equation} % 于是根据 \eqref{eq:A7_FIM_general}，\gls{cp} 模型的 \gls{fim} 分块为 % \begin{equation} \mathcal I_{\eta\eta}^{\mathrm{cp}} = 2\Re\left\{ (\mathbf J^{\mathrm{cp}}_{\eta})^{\Herm} \mathbf R_n^{-1} \mathbf J^{\mathrm{cp}}_{\eta} \right\}, \end{equation} \begin{equation} \mathcal I_{\eta\psi}^{\mathrm{cp}} = 2\Re\left\{ (\mathbf J^{\mathrm{cp}}_{\eta})^{\Herm} \mathbf R_n^{-1} \mathbf J^{\mathrm{cp}}_{\psi} \right\}, \end{equation} \begin{equation} \mathcal I_{\psi\psi}^{\mathrm{cp}} = 2\Re\left\{ (\mathbf J^{\mathrm{cp}}_{\psi})^{\Herm} \mathbf R_n^{-1} \mathbf J^{\mathrm{cp}}_{\psi} \right\}. \end{equation} % 因此，主参数 $\boldsymbol\eta$ 在\gls{cp} 模型下的 \gls{efim} 为 % \begin{equation} \mathcal I_{\mathrm e}^{\mathrm{cp}}(\boldsymbol\eta) = \mathcal I_{\eta\eta}^{\mathrm{cp}} - \mathcal I_{\eta\psi}^{\mathrm{cp}} \big(\mathcal I_{\psi\psi}^{\mathrm{cp}}\big)^{-1} \mathcal I_{\psi\eta}^{\mathrm{cp}}, \label{eq:A7_Ieff_cp} \end{equation} % 其中 \eqref{eq:A7_Ieff_cp} 默认 $\mathcal I_{\psi\psi}^{\mathrm{cp}}$ 在考虑的局部工作点非奇异。若内部工作点存在冗余干扰方向，可按实切空间投影使用 Moore--Penrose 广义逆构造广义 Schur 补，见 \eqref{eq:A7_efim_projection_interpret}。在正定噪声协方差下，有限信噪比降低本身不改变精确秩，数值病态须与结构性秩亏区分。从 \gls{efim} 求完整主参数的逆还须满足 \eqref{eq:A7_real_rank_condition}。 从而其 \gls{crb} 为 % \begin{equation} \operatorname{CRB}^{\mathrm{cp}}(\boldsymbol\eta) = \big(\mathcal I_{\mathrm e}^{\mathrm{cp}}(\boldsymbol\eta)\big)^{-1}. \label{eq:A7_CRB_cp} \end{equation} 需要强调的是，与放松情形不同，\gls{cp} 模型中的 $\{\chi_\ell\}$ 在同一卫星的多帧之间共享，而 $\{\rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}\}$ 为实参数，因此其 Schur 补一般不能进一步化成逐块独立的简单投影求和式。式~\eqref{eq:A7_Ieff_cp} 是与正文模型严格一致且最稳妥的写法。 \subsubsection{Doppler rate 已知/未知的 EFIM 关系与单星 DoA 正交性} \label{subsec:A7_knownUnknownRateOrthogonality} 为解释 Doppler rate 已知与未知下 \gls{doa} \gls{crb} 可能重合的现象，本小节把 Doppler rate 干扰参数从其他幅度/相位干扰参数中单独分离出来。 记 % \begin{equation} \boldsymbol\psi^{\mathrm{cp}}_{0} = \Big[ \{\chi_\ell\}_{\ell=0}^{L-1}, \{\rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}:\ell=0,\ldots,L-1,\ p=0,\ldots,P-1\} \Big]^\Tran \end{equation} % 为不含 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 的幅度/相位干扰参数。 若 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 已知，则先消去 $\boldsymbol\psi^{\mathrm{cp}}_{0}$ 后，主参数 $\boldsymbol\eta$ 的 Doppler rate 已知 \gls{efim} 可写为 % \begin{equation} \mathcal I_{\mathrm e}^{\mathrm{cp,K}} = \mathcal I_{\eta\eta}^{(0)} - \mathcal I_{\eta\psi_0}^{(0)} \big(\mathcal I_{\psi_0\psi_0}^{(0)}\big)^\dagger \mathcal I_{\psi_0\eta}^{(0)}, \label{eq:A7_CP_K_EFIM} \end{equation} % 其中上标 $(0)$ 表示只按参数 $(\boldsymbol\eta,\boldsymbol\psi^{\mathrm{cp}}_{0})$ 构造的 \gls{fim} 分块。 若进一步把 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 作为干扰参数，则可在消去 $\boldsymbol\psi^{\mathrm{cp}}_{0}$ 后，将扩展 \gls{efim} 按 $(\boldsymbol\eta,\dot\nu_{\mathrm{ref}})$ 分块为 % \begin{equation} \mathcal I_{\mathrm e}^{\mathrm{cp,ext}} = \begin{bmatrix} \mathcal I_{\eta\eta}^{\mathrm K} & \mathbf i_{\eta\dot\nu} \\ \mathbf i_{\dot\nu\eta} & i_{\dot\nu\dot\nu} \end{bmatrix}. \label{eq:A7_CP_ext_EFIM_partition} \end{equation} % 于是 Doppler rate 未知 \gls{efim} 为 % \begin{equation} \mathcal I_{\mathrm e}^{\mathrm{cp,U}} = \mathcal I_{\eta\eta}^{\mathrm K} - \mathbf i_{\eta\dot\nu} i_{\dot\nu\dot\nu}^{\dagger} \mathbf i_{\dot\nu\eta}. \label{eq:A7_CP_U_EFIM_from_K} \end{equation} % 式~\eqref{eq:A7_CP_U_EFIM_from_K} 中的第二项不是一个必然很大的性能退化项，而是对 $\boldsymbol\eta$ 的残差得分与 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 的残差干扰得分之间耦合程度的度量。 若该残差耦合很弱，则 Doppler rate 已知与未知的界可以非常接近。 进一步将 Doppler rate 已知 \gls{efim} 和 Doppler rate 耦合向量按 $\boldsymbol\eta=[\boldsymbol\xi^\Tran,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$ 分块： % \begin{equation} \mathcal I_{\eta\eta}^{\mathrm K} = \begin{bmatrix} \mathbf A_{\xi\xi}^{\mathrm K} & \mathbf a_{\xi\nu}^{\mathrm K} \\ \mathbf a_{\nu\xi}^{\mathrm K} & a_{\nu\nu}^{\mathrm K} \end{bmatrix}, \qquad \mathbf i_{\eta\dot\nu} = \begin{bmatrix} \mathbf i_{\xi\dot\nu} \\ i_{\nu\dot\nu} \end{bmatrix}. \label{eq:A7_CP_K_partition_xi_nu_rate} \end{equation} % 如果 % \begin{equation} \mathbf i_{\xi\dot\nu}=\mathbf 0, \qquad \mathbf a_{\xi\nu}^{\mathrm K}=\mathbf 0, \label{eq:A7_SS_xi_rate_orthogonality_condition} \end{equation} % 则消去 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 只会改变 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 对应的标量块，而不会改变 \gls{doa} 的 \gls{crb} 子块。 换言之，\gls{doa} 的 Doppler rate 已知与未知 \gls{crb} 完全一致。 在单星多帧情形中，若唯一卫星即参考星，则 % \begin{equation} f_{\nu,\ell_{\mathrm{ref}}}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}}) = \nu_{\mathrm{ref}}, \qquad f_{\dot\nu,\ell_{\mathrm{ref}}}(\boldsymbol\xi,\dot\nu_{\mathrm{ref}}) = \dot\nu_{\mathrm{ref}}. \label{eq:A7_ref_link_mapping_no_xi} \end{equation} % 因此 $\dfrac{\partial \nu_{\ell_{\mathrm{ref}}}}{\partial x}=0$ 且 $\dfrac{\partial \dot\nu_{\ell_{\mathrm{ref}}}}{\partial x}=0$ 对 $x\in\{\alpha,\beta\}$ 成立。 由式~\eqref{eq:A7_qx_cp} 可知，reference-link 的 \gls{doa} 导数不含 Doppler-mapping-induced temporal phase derivative，而只含空间阵列导向导数。 在幅度和公共相位干扰方向被投影消去后，该 \gls{doa} 得分的残差部分是与 $\mathbf a_{\ell_{\mathrm{ref}}}(\boldsymbol\xi)$ 正交的空间切向量；相反，$\nu_{\mathrm{ref}}$ 和 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 的残差得分仍具有沿参考导向矢量的时间相位结构。 在标准窄带阵列流形下，二者的 Fisher 内积为零，因此式~\eqref{eq:A7_SS_xi_rate_orthogonality_condition} 成立。 这解释了单星多帧下 Doppler rate 已知与未知 \gls{doa} \gls{crb} 的严格重合。 在多星情形中，非参考星通常满足 % \begin{equation} \nu_\ell = \nu_{\mathrm{ref}}+\Delta\nu_\ell(\boldsymbol\xi), \qquad \dot\nu_\ell = \dot\nu_{\mathrm{ref}}+\Delta\dot\nu_\ell(\boldsymbol\xi), \qquad \ell\neq\ell_{\mathrm{ref}}. \end{equation} % 此时 \gls{doa} 导数包含由 $\dfrac{\partial\Delta\nu_\ell}{\partial x}$ 与 $\dfrac{\partial\Delta\dot\nu_\ell}{\partial x}$ 诱导的时间相位分量。 因此，$\mathbf i_{\xi\dot\nu}$ 和 $\mathbf a_{\xi\nu}^{\mathrm K}$ 一般不再严格为零，Doppler rate 已知与未知 \gls{doa} \gls{crb} 的完全相等性也不应被作为一般结论。 若数值上多星 \gls{doa} \gls{crb} 仍与 Doppler rate 已知基准基本重合，更稳妥的解释是：在所选代表性几何下，\gls{doa} 残差得分与残差化的 Doppler rate 干扰方向的耦合较弱。 这一定量现象适合作为 \gls{efim} 度量的自洽性检查，而不应升级为主要理论贡献。 \subsubsection{放松连续相位模型下的 CRB} 沿用第~\ref{subsec:dynamicRelaxedModel} 小节中的 放松 \gls{cp} 处理，每个观测块的复干扰系数 $\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp,rel}}$ 视为自由参数，即 % \begin{equation} \tilde{\mathbf y}^{\mathrm{cp}}_{\ell,p} = \zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp,rel}} \mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}},\dot\nu_{\mathrm{ref}}) + \tilde{\mathbf n}_{\ell,p}, \qquad \zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp,rel}}=\zeta^{(r)}_{\ell,p}+j\zeta^{(i)}_{\ell,p}. \end{equation} % 这里模板仍然是 $\mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}$，但自由块复系数可以吸收每帧常相位；保留绝对时间模板不再保留结构化 \gls{cp} 的同星公共相位约束。该放松模型与 \gls{ip} 的参数对应见 \eqref{eq:A8_rel_ip_equivalence}。 令扩展参数向量为 % \begin{equation} \boldsymbol\eta_{\mathrm{ext}} \triangleq \begin{bmatrix} \boldsymbol\eta \\ \dot\nu_{\mathrm{ref}} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \\ \nu_{\mathrm{ref}} \\ \dot\nu_{\mathrm{ref}} \end{bmatrix}, \end{equation} % 并记 % \begin{equation} \mathbf D^{\mathrm{rel}}_{\mathrm{ext},\ell,p} \triangleq \begin{bmatrix} \mathbf d^{\mathrm{cp}}_{\ell,p,\alpha} & \mathbf d^{\mathrm{cp}}_{\ell,p,\beta} & \mathbf d^{\mathrm{cp}}_{\ell,p,\nu} & \mathbf d^{\mathrm{cp}}_{\dot\nu,\ell,p} \end{bmatrix} \in\mathbb C^{M_\ell T\times 4}. \end{equation} % 则单个观测块均值 % \begin{equation} \boldsymbol\mu^{\mathrm{rel}}_{\ell,p} = \zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp,rel}}\mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{ext}}) \end{equation} % 对 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{ext}}$ 的 Jacobian 为 % \begin{equation} \mathbf J^{\mathrm{rel}}_{\mathrm{ext},\ell,p} \triangleq \frac{\partial \boldsymbol\mu^{\mathrm{rel}}_{\ell,p}}{\partial \boldsymbol\eta_{\mathrm{ext}}} = \zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp,rel}}\mathbf D^{\mathrm{rel}}_{\mathrm{ext},\ell,p}, \end{equation} % 对块复干扰系数的实部与虚部的 Jacobian 为 % \begin{equation} \mathbf J^{\mathrm{rel}}_{\zeta,\ell,p} \triangleq \frac{\partial \boldsymbol\mu^{\mathrm{rel}}_{\ell,p}}{\partial \begin{bmatrix} \zeta^{(r)}_{\ell,p} & \zeta^{(i)}_{\ell,p} \end{bmatrix}^{\Tran}} = \begin{bmatrix} \mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p} & j\mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p} \end{bmatrix}. \end{equation} 由此构造对应的 \gls{fim} 分块，并对所有块复系数执行 Schur 补，可得扩展参数 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{ext}}$ 的 \gls{efim} % \begin{equation} \mathcal I_{\mathrm e}^{\mathrm{rel}}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{ext}}) = 2\sum_{\ell=0}^{L-1}\sum_{p=0}^{P-1} \frac{|\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp,rel}}|^2}{\sigma_\ell} \Re\left\{ \big(\mathbf D^{\mathrm{rel}}_{\mathrm{ext},\ell,p}\big)^{\Herm} \mathcal P^{\perp}_{\mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}} \mathbf D^{\mathrm{rel}}_{\mathrm{ext},\ell,p} \right\}, \label{eq:A7_Ieff_rel_ext} \end{equation} % 其中 % \begin{equation} \mathcal P_{\mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}} \triangleq \mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p} \big((\mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p})^{\Herm}\mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}\big)^{-1} (\mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p})^{\Herm}, \end{equation} \begin{equation} \mathcal P^{\perp}_{\mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}} \triangleq \mathbf I_{M_\ell T}-\mathcal P_{\mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}}. \end{equation} 若关心的是联合参数 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{ext}}=[\boldsymbol\eta^{\Tran},\dot\nu_{\mathrm{ref}}]^{\Tran}$ 的 \gls{crb}，则直接有 % \begin{equation} \operatorname{CRB}_{\mathrm{rel}}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{ext}}) = \big(\mathcal I_{\mathrm e}^{\mathrm{rel}}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{ext}})\big)^{-1}. \label{eq:A7_CRB_rel_ext} \end{equation} 若进一步仍只把 $\boldsymbol\eta$ 视为感兴趣参数，而将 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 作为干扰参数，则将 \eqref{eq:A7_Ieff_rel_ext} 按 % \begin{equation} \mathcal I_{\mathrm e}^{\mathrm{rel}}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{ext}}) = \begin{bmatrix} \mathcal I_{\eta\eta}^{\mathrm{rel}} & \mathcal I_{\eta\dot\nu}^{\mathrm{rel}} \\ \mathcal I_{\dot\nu\eta}^{\mathrm{rel}} & \mathcal I_{\dot\nu\dot\nu}^{\mathrm{rel}} \end{bmatrix} \end{equation} % 分块，则对应的主参数 \gls{efim} 为 % \begin{equation} \mathcal I_{\mathrm e,\eta}^{\mathrm{rel}}(\boldsymbol\eta) = \mathcal I_{\eta\eta}^{\mathrm{rel}} - \mathcal I_{\eta\dot\nu}^{\mathrm{rel}} \big(\mathcal I_{\dot\nu\dot\nu}^{\mathrm{rel}}\big)^{-1} \mathcal I_{\dot\nu\eta}^{\mathrm{rel}}, \label{eq:A7_Ieff_rel_eta} \end{equation} % 于是 % \begin{equation} \operatorname{CRB}_{\mathrm{rel}}(\boldsymbol\eta) = \big(\mathcal I_{\mathrm e,\eta}^{\mathrm{rel}}(\boldsymbol\eta)\big)^{-1}. \label{eq:A7_CRB_rel_eta} \end{equation} \subsubsection{EFIM 病态与 DoA--Doppler 耦合的投影机制} \label{subsec:A7_efimIllConditioning} 式~\eqref{eq:A7_Ieff_cp} 与式~\eqref{eq:A7_Ieff_rel_eta} 都是对完整 \gls{fim}中的 干扰参数执行 Schur 补后得到的 \gls{efim}。本小节给出一个与具体 \gls{cp}/\gls{ip} 模型无关的局部线性解释， 用于说明多星场景中角度 \gls{crb} 显著改善但 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 边际 \gls{crb} 改善有限、同时 \gls{efim} 条件数 变大的原因。 将所有观测块堆叠后的均值 Jacobian 写为 % \begin{equation} \mathbf J = \begin{bmatrix} \mathbf J_{\eta} & \mathbf J_{\psi} \end{bmatrix}, \qquad \mathbf J_{\eta} \triangleq \frac{\partial\boldsymbol\mu}{\partial\boldsymbol\eta}, \qquad \mathbf J_{\psi} \triangleq \frac{\partial\boldsymbol\mu}{\partial\boldsymbol\psi_\mu}. \end{equation} % 这里 $\boldsymbol\psi_\mu$ 表示只影响均值向量的干扰参数子集；噪声方差参数若并入完整参数， 由于与均值参数 Fisher 块解耦，不影响下面的投影解释。令 % \begin{equation} \bar{\mathbf J}_{\eta} \triangleq \mathbf R_n^{-1/2}\mathbf J_{\eta}, \qquad \bar{\mathbf J}_{\psi} \triangleq \mathbf R_n^{-1/2}\mathbf J_{\psi} \end{equation} % 为白化 Jacobian。由于主参数与干扰参数均为实参数，先定义实化矩阵 % \begin{equation} \mathbf A\triangleq \begin{bmatrix}\Re\{\bar{\mathbf J}_{\eta}\}\\\Im\{\bar{\mathbf J}_{\eta}\}\end{bmatrix}, \qquad \mathbf B\triangleq \begin{bmatrix}\Re\{\bar{\mathbf J}_{\psi}\}\\\Im\{\bar{\mathbf J}_{\psi}\}\end{bmatrix}. \label{eq:A7_realified_jacobians} \end{equation} % 完整均值参数的 Fisher 信息为 $2[\mathbf A,\mathbf B]^\Tran[\mathbf A,\mathbf B]$。对干扰参数执行 Schur 补得到 % \begin{equation} \mathcal I_{\mathrm{e}} = 2\mathbf A^\Tran\mathcal P_{\mathbf B}^{\perp}\mathbf A, \qquad \mathcal P_{\mathbf B}^{\perp} = \mathbf I-\mathbf B\mathbf B^\dagger. \label{eq:A7_efim_projection_interpret} \end{equation} % 实化保证干扰扰动的系数为实数。直接向 $\bar{\mathbf J}_{\psi}$ 的复列空间正交补投影，一般会扩大可消去的干扰空间；只有被消去的实切空间本身对乘以 $j$ 封闭时，才可改用复投影，例如逐块自由复增益的实部与虚部成对消元。结构化 \gls{cp} 的实幅度、共享相位及实值 Doppler rate 须按 \eqref{eq:A7_efim_projection_interpret} 处理。 一个最小检验是已知方向与 rate 的单星两帧模型：各帧仅在时间索引 $0,1$ 处观测一个样本，幅度真值均为 $1$，公共相位及参考 Doppler 真值均为 $0$，噪声复方差为 $1$。对参数 $(\nu,\rho_0,\rho_1,\chi)$ 的均值 Jacobian 为 % \begin{equation} \mathbf J=\begin{bmatrix}0&1&0&j\\j&0&1&j\end{bmatrix}, \qquad \mathcal I_{\nu,\mathrm e}=2-\frac{2^2}{4}=1. \label{eq:A7_real_projection_counterexample} \end{equation} % 若错误地将两个实幅度列按复系数投影，它们已张成整个 $\mathbb C^2$，会得到零信息，丢失两帧相位差对 Doppler 的约束。 因此，对任意实扰动 $\delta\boldsymbol\eta$，有 % \begin{equation} \delta\boldsymbol\eta^\Tran \mathcal I_{\mathrm{e}} \delta\boldsymbol\eta = 2\left\| \mathcal P_{\mathbf B}^{\perp}\mathbf A\delta\boldsymbol\eta \right\|_2^2. \label{eq:A7_efim_quadratic_projection} \end{equation} % 由此得到如下判据： % \begin{equation} \mathcal I_{\mathrm{e}}\ \text{奇异} \quad\Longleftrightarrow\quad \exists\ \delta\boldsymbol\eta\neq\mathbf 0, \quad \mathcal P_{\mathbf B}^{\perp}\mathbf A\delta\boldsymbol\eta = \mathbf 0, \label{eq:A7_exact_absorbed_direction} \end{equation} % 也即 % \begin{equation} \mathbf A\delta\boldsymbol\eta \in \operatorname{range}_{\mathbb R}(\mathbf B). \label{eq:A7_range_absorbed_direction} \end{equation} % 近奇异情形对应于 % \begin{equation} \mathbf A\delta\boldsymbol\eta \approx \mathbf B\delta\boldsymbol\psi, \qquad \delta\boldsymbol\psi\in\mathbb R^{\dim\boldsymbol\psi_\mu}, \label{eq:A7_near_nuisance_absorption} \end{equation} % 即主参数扰动产生的一阶均值变化可以由实干扰参数扰动近似表示。对本节三个主参数，常规局部 \gls{crb} 存在的条件为 % \begin{equation} \operatorname{rank}\big(\mathcal P_{\mathbf B}^{\perp}\mathbf A\big)=3. \label{eq:A7_real_rank_condition} \end{equation} % 只有满足 \eqref{eq:A7_real_rank_condition} 才能将 $\mathcal I_{\mathrm e}^{-1}$ 解释为完整主参数的局部无偏协方差下界。若秩亏，应报告不可辨识方向；$\mathcal I_{\mathrm e}^{\dagger}$ 只用于满足相应可估条件的函数或已声明约束下的子空间，不能把零特征值方向解释为零误差界。 为了把这种近似表示写成可度量的量，定义最小投影角 % \begin{equation} \sin^2\theta_{\min} \triangleq \min_{\mathbf A\delta\boldsymbol\eta\neq\mathbf 0} \frac{ \left\| \mathcal P_{\mathbf B}^{\perp}\mathbf A\delta\boldsymbol\eta \right\|_2^2 }{ \left\| \mathbf A\delta\boldsymbol\eta \right\|_2^2 }. \label{eq:A7_min_projection_angle} \end{equation} % 式~\eqref{eq:A7_efim_quadratic_projection} 表明，\gls{efim} 在某个方向上的有效信息正比于该方向 得分在实干扰子空间正交补上的残余能量。定义域排除了零原始得分；若存在非零 $\delta\boldsymbol\eta$ 使 $\mathbf A\delta\boldsymbol\eta=\mathbf0$，则已直接违反 \eqref{eq:A7_real_rank_condition}。$\theta_{\min}$ 衡量相对于原始得分能量的信息损失比例，实际小特征值还取决于得分尺度；比较条件数时应先统一参数单位并声明尺度归一化。 接下来把上述投影解释专门用于 \gls{doa}--Doppler 耦合。将 \gls{efim} 按 $\boldsymbol\eta=[\boldsymbol\xi^\Tran,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$ 分块为 % \begin{equation} \mathcal I_{\mathrm{e}} = \begin{bmatrix} \mathcal I_{\xi\xi} & \mathcal I_{\xi\nu} \\ \mathcal I_{\nu\xi} & \mathcal I_{\nu\nu} \end{bmatrix}. \label{eq:A7_efim_xi_nu_partition} \end{equation} % 若 $\boldsymbol\xi$ 已知，则参考 Doppler 的标量界为 % \begin{equation} C_{\nu}^{\mathrm{sc}} = \mathcal I_{\nu\nu}^{-1}. \label{eq:A7_nu_scalar_bound} \end{equation} % 若 $\boldsymbol\xi$ 未知，则 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 的边际 Fisher 信息为 % \begin{equation} \mathcal I_{\nu|\xi} = \mathcal I_{\nu\nu} - \mathcal I_{\nu\xi} \mathcal I_{\xi\xi}^{\dagger} \mathcal I_{\xi\nu}, \label{eq:A7_nu_given_xi_schur} \end{equation} % 对应边际 \gls{crb} 为 % \begin{equation} C_{\nu}^{\mathrm{mar}} = \mathcal I_{\nu|\xi}^{-1}. \label{eq:A7_nu_marginal_bound} \end{equation} % 为遵守\appref{sec:assumptionsAndNotation}中 $\rho$ 只表示幅度的约定，这里不用 $\rho$ 表示相关系数， 而定义局部 \gls{doa}--Doppler 耦合比例 % \begin{equation} \gamma_{\xi,\nu}^{2} \triangleq \frac{ \mathcal I_{\nu\xi} \mathcal I_{\xi\xi}^{\dagger} \mathcal I_{\xi\nu} }{ \mathcal I_{\nu\nu} }. \label{eq:A7_xi_nu_coupling_fraction} \end{equation} % 在 $\mathcal I_{\mathrm{e}}$ 半正定且 $\mathcal I_{\nu\nu}>0$ 的正则情形下， $0\leq\gamma_{\xi,\nu}^{2}\leq1$，并且 % \begin{equation} \mathcal I_{\nu|\xi} = \mathcal I_{\nu\nu}(1-\gamma_{\xi,\nu}^{2}), \qquad C_{\nu}^{\mathrm{mar}} = \frac{1}{\mathcal I_{\nu\nu}(1-\gamma_{\xi,\nu}^{2})}. \label{eq:A7_nu_info_after_coupling} \end{equation} % 于是边际化 \gls{doa} 所造成的 Doppler 标准差放大量为 % \begin{equation} \frac{\sqrt{C_{\nu}^{\mathrm{mar}}}} {\sqrt{C_{\nu}^{\mathrm{sc}}}} = \frac{1}{\sqrt{1-\gamma_{\xi,\nu}^{2}}}. \label{eq:A7_nu_std_inflation} \end{equation} % 这说明即使多星使 $\mathcal I_{\nu\nu}$ 增大，只要 $\mathcal I_{\nu\xi}\mathcal I_{\xi\xi}^{\dagger}\mathcal I_{\xi\nu}$ 同时较大， Schur 补后的 $\mathcal I_{\nu|\xi}$ 仍然可能增长缓慢。 若用上标 $(L)$ 表示 $L$ 颗协作卫星下的量，则参考 Doppler 的多星边际增益可写为 % \begin{equation} G_{\nu}(L) = \frac{\sqrt{C_{\nu}^{\mathrm{mar},(1)}}} {\sqrt{C_{\nu}^{\mathrm{mar},(L)}}} = \sqrt{ \frac{ \mathcal I_{\nu\nu}^{(L)} \left(1-\gamma_{\xi,\nu}^{2,(L)}\right) }{ \mathcal I_{\nu\nu}^{(1)} \left(1-\gamma_{\xi,\nu}^{2,(1)}\right) } }. \label{eq:A7_multisat_nu_gain} \end{equation} % 因此，$\nu_{\mathrm{ref}}$ 的多星增益由两个因子共同决定：一个是 scalar 信息 $\mathcal I_{\nu\nu}^{(L)}$ 的能量叠加，另一个是耦合惩罚 $1-\gamma_{\xi,\nu}^{2,(L)}$。这解释了为什么两星或少数多星情形中，角度 \gls{crb} 可能因 $\mathcal I_{\xi\xi}$ 增强而明显降低，而 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 的边际 \gls{crb} 只出现温和改善。 对本文的动态\gls{cp} 模型，造成 $\gamma_{\xi,\nu}^{2}$ 较大的主要来源有三类。第一，幅度与相位 干扰参数张成了与 $\mathbf g_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}$ 和 $j\mathbf g_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}$ 相关的局部子空间，主参数导数中落在该子空间的分量会被 式~\eqref{eq:A7_efim_projection_interpret} 投影掉。第二，短观测窗口内 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 和 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 都表现为低阶时间相位项， $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 被作为干扰参数消去后会削弱公共 Doppler 截距方向。第三， $\boldsymbol\xi$ 不仅通过 $\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi)$ 改变阵列流形，也通过 $\Delta\nu_\ell(\boldsymbol\xi)$ 和 $\Delta\dot\nu_\ell(\boldsymbol\xi)$ 改变各星相对 Doppler， 这些几何差分项可以与公共 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 扰动形成近线性组合。 在数值实现中，建议同时报告 $\sqrt{C_{\nu}^{\mathrm{mar}}}$、$\sqrt{C_{\nu}^{\mathrm{sc}}}$、 $\gamma_{\xi,\nu}^{2}$、$\theta_{\min}$ 以及尺度归一化后的条件数。若 $\sqrt{C_{\nu}^{\mathrm{sc}}}$ 随星数增加而改善，但 $\sqrt{C_{\nu}^{\mathrm{mar}}}$ 改善有限，同时 $\gamma_{\xi,\nu}^{2}$ 较大， 则应解释为 \gls{doa}--Doppler Schur 补损失，而不是 Doppler 模板本身没有信息。 \subsubsection{周期帧窗口与 Doppler 齿间模糊} \label{subsec:A7_frameTimeCombTooth} 本附录前面得到的 \gls{efim} 是局部二阶量；它默认估计点位于同一个 Doppler 梳齿（tooth）的局部邻域内。 为了描述全局轮廓似然（profile likelihood）的离散多峰结构，需要单独分析帧起始时刻集合所诱导的谱窗口。 按照表~\ref{tab:indexDimensionNotation} 的约定，$\tau_p$ 表示第 $p$ 帧起始点相对于参考时刻的离散采样偏移， 归一化角 Doppler 偏移记为 $\Delta\nu$。若只保留由帧起始时刻造成的公共相位项，则跨帧相干项可写为 % \begin{equation} W_{\mathcal P}(\Delta\nu) \triangleq \sum_{p\in\mathcal P}w_p\exp\{j\Delta\nu\tau_p\}, \qquad w_p\geq0. \label{eq:A7_frame_window_general} \end{equation} % 这里 $w_p$ 可以看作在局部线性化和幅度消元后，第 $p$ 帧对 Doppler 匹配统计量的等效权重。 对于周期帧，$\tau_p=p\Delta\tau_{\mathrm{f}}$。若 $w_p$ 在短窗口内近似常数，则 % \begin{equation} W_{\mathcal P}(\Delta\nu) \propto \sum_{p=0}^{P-1}\exp\{j\Delta\nu p\Delta\tau_{\mathrm{f}}\} = \exp\left\{j\frac{(P-1)\Delta\nu\Delta\tau_{\mathrm{f}}}{2}\right\} \frac{ \sin(P\Delta\nu\Delta\tau_{\mathrm{f}}/2) }{ \sin(\Delta\nu\Delta\tau_{\mathrm{f}}/2) }. \label{eq:A7_frame_window_dirichlet} \end{equation} % 因此所有满足 % \begin{equation} \Delta\nu = k\Delta\nu_{\mathrm{tooth}}, \qquad \Delta\nu_{\mathrm{tooth}} \triangleq \frac{2\pi}{\Delta\tau_{\mathrm{f}}}, \qquad k\in\mathbb Z, \label{eq:A7_tooth_spacing_discrete} \end{equation} % 的 Doppler 偏移在帧起始点上具有相同相位。换算到物理 Doppler，利用 $\nu=2\pi\nu^{\mathrm{Hz}}T_{\mathrm s}$，可得 % \begin{equation} \Delta\nu_{\mathrm{tooth}}^{\mathrm{Hz}} = \frac{1}{\Delta\tau_{\mathrm{f}}T_{\mathrm s}}. \label{eq:A7_tooth_spacing_hz} \end{equation} % 这解释了为什么周期多帧目标函数会出现以 $1/(\Delta\tau_{\mathrm{f}}T_{\mathrm s})$ 为间隔的 Doppler 梳状分支（comb）。 有限长度的导频块破坏了这种完全等价性。令每帧保留 $T$ 个采样点，块内相关因子为 % \begin{equation} R_T(\Delta\nu) \triangleq \frac{1}{T}\sum_{t=0}^{T-1}\exp\{j\Delta\nu t\} = \frac{\exp\{j(T-1)\Delta\nu/2\}}{T} \frac{\sin(T\Delta\nu/2)}{\sin(\Delta\nu/2)}. \label{eq:A7_block_dirichlet_corr} \end{equation} % 于是相邻梳齿的可分离性可由 % \begin{equation} D_{\mathrm{blk}} \triangleq 1- \left|R_T(\Delta\nu_{\mathrm{tooth}})\right|^2 \label{eq:A7_block_tooth_separation} \end{equation} % 度量。若 $T/\Delta\tau_{\mathrm{f}}\ll1$，则 % \begin{equation} D_{\mathrm{blk}} \approx 1-\operatorname{sinc}^{2}\left(\frac{T}{\Delta\tau_{\mathrm{f}}}\right) \approx \frac{\pi^2}{3} \left(\frac{T}{\Delta\tau_{\mathrm{f}}}\right)^2, \qquad \operatorname{sinc}(x)=\frac{\sin(\pi x)}{\pi x}. \label{eq:A7_block_small_ratio_approx} \end{equation} % 因此，增加块长主要增强的是相邻 Doppler 梳齿的块内区分度，而不是必然依赖 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 在单块内部产生可观测的二次相位曲率。 该分析也解释了周期窗口与非周期子集的不同作用。若采用非周期子集 $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则 % \begin{equation} W_{\mathrm{sub}}(\Delta\nu) = \sum_{q=1}^{Q}w_q\exp\{j\Delta\nu\tau_{p_q}\}. \label{eq:A7_subset_frame_window} \end{equation} % 当 $\mathcal T_{\mathrm{sub}}$ 不再满足严格等间隔结构时，式~\eqref{eq:A7_tooth_spacing_discrete} 给出的候选偏移不再必然同时对齐所有帧相位，因而可压低周期梳状结构的旁瓣。由此可将实际求解分解为两类问题： 非周期子集更适合执行梳齿捕获，完整周期窗口则更适合在梳齿已选对时执行同一梳齿内的相干精化。 这也说明，选错梳齿的误差是全局轮廓似然的分支选择问题；而 式~\eqref{eq:A7_efim_projection_interpret}--\eqref{eq:A7_nu_info_after_coupling} 描述的是给定分支内的局部可辨识性。 \subsubsection{数值实现中的一致性检查} 为了直接指导后续仿真，建议在实现 A7 的 \gls{crb} 时按如下顺序检查：首先按照式~\eqref{eq:A7_qx_cp}--\eqref{eq:A7_qgamma_cp} 构造每个 $(\ell,p)$ 块的解析 Jacobian，并用中心差分验证 % \begin{equation} \frac{\partial\boldsymbol\mu^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}}{\partial x} \approx \frac{\boldsymbol\mu^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}(x+\epsilon)-\boldsymbol\mu^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}(x-\epsilon)}{2\epsilon}, \qquad x\in\{\alpha,\beta,\nu_{\mathrm{ref}},\dot\nu_{\mathrm{ref}},\chi_\ell,\rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}\}. \end{equation} % 其次，先由完整实参数 Jacobian 构造 % \begin{equation} \mathcal I_{\mathrm{full}}^{\mathrm{cp}} = 2\Re\{(\mathbf J_{\mathrm{full}}^{\mathrm{cp}})^{\Herm}\mathbf R_n^{-1}\mathbf J_{\mathrm{full}}^{\mathrm{cp}}\}, \end{equation} % 再按 $[\boldsymbol\eta^{\Tran},(\boldsymbol\psi^{\mathrm{cp}}_{\mu})^{\Tran}]^{\Tran}$ 分块执行 Schur 补得到式~\eqref{eq:A7_Ieff_cp}。最后，对 放松 \gls{cp} 模型，应同时用完整 \gls{fim} 消元和投影式~\eqref{eq:A7_Ieff_rel_ext} 计算一次，两者应在数值精度内一致；该检查可以有效排除 $\mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}$、$\mathbf D^{\mathrm{rel}}_{\mathrm{ext},\ell,p}$、噪声方差系数和 Kronecker 堆叠顺序的实现错误。 \subsubsection{关于噪声方差参数的说明} 上面的推导默认 $\{\sigma_\ell\}$ 已知，或者已通过预估获得。若将 $\{\sigma_\ell\}$ 也并入待估参数，由于本附录中的确定信号模型只通过均值向量依赖于 $\boldsymbol\eta$、$\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 及各类增益/相位参数，而协方差只依赖于 $\{\sigma_\ell\}$，因此噪声方差参数与均值参数在 \gls{fim}中是正交的。对第 $\ell$ 颗卫星，有 % \begin{equation} \big[\mathcal I(\boldsymbol\kappa)\big]_{\sigma_\ell,\sigma_\ell} = \frac{M_\ell P T}{\sigma_\ell^2}. \end{equation} % 因此，无论在\gls{cp} 模型还是 放松 \gls{cp} 模型下，将 $\sigma_\ell$ 视为未知量都只会在 \gls{fim} 中附加与其他参数解耦的对角块，不改变式~\eqref{eq:A7_Ieff_cp}、\eqref{eq:A7_Ieff_rel_ext} 和 \eqref{eq:A7_Ieff_rel_eta} 的形式。 因此，本小节给出的不是新的动态模型，而是正文\gls{cp} 模型和 放松 \gls{cp} 处理的 Fisher 信息表达。它与\appref{sec:A8_dynIndependentPhaseCrb} 的比较应围绕``是否保留跨帧绝对相位连续性''展开，而不是围绕不同的主参数定义展开。 \subsection{独立相位 IP 基线 EFIM} \label{sec:A8_dynIndependentPhaseCrb} 本附录仅对应第~\ref{subsec:independentPhaseModel} 小节中的\gls{ip} 基线模型。这里的``独立相位''是指：每个观测块 $(\ell,p)$ 具有各自的\emph{独立未知初始相位} $\vartheta_{\ell,p}$，这些相位不再受同一颗卫星公共相位的结构约束；但它们仍是\emph{确定性未知参数}，而不是按某个先验分布生成的随机变量。因此，本附录与正文及\appref{sec:A7_dynDoaDopplerCrb} 一样，采用\emph{确定性参数 \gls{crb}}，而不再引入 hybrid \gls{crb}。 主参数统一定义为 % \begin{equation} \boldsymbol\eta = \begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \\ \nu_{\mathrm{ref}} \end{bmatrix}, \qquad \boldsymbol\eta\in\mathbb R^3, \end{equation} % 并继续将 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 作为干扰参数处理。为避免与正文和\appref{sec:A7_dynDoaDopplerCrb} 重复，这里只保留\gls{ip} 模型对应的最小定义、导数记号与 \gls{efim} 结构。 \subsubsection{沿用正文独立相位模型的最小定义与导数记号} 沿用第~\ref{subsec:independentPhaseModel} 小节中的块级\gls{ip} 建模。对任意卫星 $\ell=0,\ldots,L-1$ 与帧 $p=0,\ldots,P-1$，定义局部归一化 Doppler 为 % \begin{equation} \bar\nu_{\ell,p} \triangleq \nu_\ell + \dot\nu_\ell\tau_p, \label{eq:A8_IP_baromega} \end{equation} % 其中 % \begin{equation} \nu_\ell = f_{\nu,\ell}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}}), \qquad \dot\nu_\ell = f_{\dot\nu,\ell}(\boldsymbol\xi,\dot\nu_{\mathrm{ref}}). \label{eq:A8_IP_omegagamma_map} \end{equation} % 于是\gls{ip} 模板写为 % \begin{equation} \phi^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}(t) = \bar\nu_{\ell,p} t + \frac{1}{2}\dot\nu_\ell t^2, \qquad t=0,\ldots,T-1. \label{eq:A8_IP_phase_template} \end{equation} % 对应的时间模板与空时模板分别定义为 % \begin{equation} \mathbf q^{\mathrm{ip}}_{\ell,p} \triangleq \begin{bmatrix} s_p(0)e^{j\phi^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}(0)} \\ s_p(1)e^{j\phi^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}(1)} \\ \vdots \\ s_p(T-1)e^{j\phi^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}(T-1)} \end{bmatrix} \in\mathbb C^{T\times 1}, \label{eq:A8_IP_qdef} \end{equation} \begin{equation} \mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p} \triangleq \mathbf q^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}\otimes \mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi) \in\mathbb C^{M_\ell T\times 1}. \label{eq:A8_IP_gdef} \end{equation} % 于是向量化观测模型为 % \begin{equation} \tilde{\mathbf y}^{\mathrm{ip}}_{\ell,p} = \zeta_{\ell,p}^{\mathrm{ip}} \mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}},\dot\nu_{\mathrm{ref}}) + \tilde{\mathbf n}_{\ell,p}, \label{eq:A8_IP_model} \end{equation} % 其中 % \begin{equation} \tilde{\mathbf n}_{\ell,p}\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma_\ell\mathbf I_{M_\ell T}), \qquad \ell=0,\ldots,L-1,\qquad p=0,\ldots,P-1. \end{equation} % 正文 \gls{mle} 中可直接把 $\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}$ 作为自由复增益消元；本附录为了构造实参数 \gls{fim}，将其写作极坐标形式 % \begin{equation} \zeta_{\ell,p}^{\mathrm{ip}} = \rho_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}e^{j\vartheta_{\ell,p}}, \qquad \rho_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}\in\mathbb R_{\ge0}. \end{equation} % 这里的 $\vartheta_{\ell,p}$ 是第 $(\ell,p)$ 个观测块的独立未知初始相位；与\gls{cp} 模型相比，跨帧绝对相位连续性已经被这些块级相位参数吸收。 对角度参数 $x\in\{\alpha,\beta\}$，由链式法则可得 % \begin{equation} \frac{\partial \mathbf q^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}}{\partial x} = j\left[ \left( \frac{\partial \nu_\ell}{\partial x} + \tau_p\frac{\partial \dot\nu_\ell}{\partial x} \right) \operatorname{diag}(0,1,\ldots,T-1) + \frac{1}{2} \frac{\partial \dot\nu_\ell}{\partial x} \operatorname{diag}(0^2,1^2,\ldots,(T-1)^2) \right] \mathbf q^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}. \label{eq:A8_IP_qx} \end{equation} % 又由于 % \begin{equation} \frac{\partial \nu_\ell}{\partial \nu_{\mathrm{ref}}}=1, \qquad \frac{\partial \dot\nu_\ell}{\partial \dot\nu_{\mathrm{ref}}}=1, \end{equation} % 这里同样采用正文中的加性参考星参数化；若改用一般映射，则 $\dfrac{\partial\nu_\ell}{\partial\nu_{\mathrm{ref}}}$ 与 $\dfrac{\partial\dot\nu_\ell}{\partial\dot\nu_{\mathrm{ref}}}$ 应替换为对应的链式法则结果。 因此 % \begin{equation} \frac{\partial \mathbf q^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}}{\partial \nu_{\mathrm{ref}}} = j\operatorname{diag}(0,1,\ldots,T-1)\mathbf q^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}, \label{eq:A8_IP_qomega} \end{equation} \begin{equation} \frac{\partial \mathbf q^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}}{\partial \dot\nu_{\mathrm{ref}}} = j\left[ \tau_p\operatorname{diag}(0,1,\ldots,T-1) + \frac{1}{2}\operatorname{diag}(0^2,1^2,\ldots,(T-1)^2) \right] \mathbf q^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}. \label{eq:A8_IP_qgamma} \end{equation} 于是模板导数可统一写为 % \begin{equation} \mathbf d^{\mathrm{ip}}_{\ell,p,\alpha} \triangleq \frac{\partial \mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}}{\partial \alpha} = \mathbf q^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}\otimes \frac{\partial\mathbf a_\ell}{\partial\alpha} + \frac{\partial \mathbf q^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}}{\partial \alpha}\otimes \mathbf a_\ell, \end{equation} \begin{equation} \mathbf d^{\mathrm{ip}}_{\ell,p,\beta} \triangleq \frac{\partial \mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}}{\partial \beta} = \mathbf q^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}\otimes \frac{\partial\mathbf a_\ell}{\partial\beta} + \frac{\partial \mathbf q^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}}{\partial \beta}\otimes \mathbf a_\ell, \end{equation} \begin{equation} \mathbf d^{\mathrm{ip}}_{\ell,p,\nu} \triangleq \frac{\partial \mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}}{\partial \nu_{\mathrm{ref}}} = \frac{\partial \mathbf q^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}}{\partial \nu_{\mathrm{ref}}}\otimes \mathbf a_\ell, \end{equation} \begin{equation} \mathbf d^{\mathrm{ip}}_{\ell,p,\dot\nu} \triangleq \frac{\partial \mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}}{\partial \dot\nu_{\mathrm{ref}}} = \frac{\partial \mathbf q^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}}{\partial \dot\nu_{\mathrm{ref}}}\otimes \mathbf a_\ell. \end{equation} % 为后续紧凑书写，定义 % \begin{equation} \mathbf D^{\mathrm{ip}}_{\eta\dot\nu,\ell,p} \triangleq \begin{bmatrix} \mathbf d^{\mathrm{ip}}_{\ell,p,\alpha} & \mathbf d^{\mathrm{ip}}_{\ell,p,\beta} & \mathbf d^{\mathrm{ip}}_{\ell,p,\nu} & \mathbf d^{\mathrm{ip}}_{\ell,p,\dot\nu} \end{bmatrix} \in\mathbb C^{M_\ell T\times 4}. \label{eq:A8_IP_Detadotnu} \end{equation} \subsubsection{完整参数的 Fisher 信息矩阵} 定义\gls{ip} 模型的干扰参数向量为 % \begin{equation} \boldsymbol\psi^{\mathrm{ip}}_{\mu} = \Big[ \dot\nu_{\mathrm{ref}}, \{\vartheta_{\ell,p}:\ell=0,\ldots,L-1,\ p=0,\ldots,P-1\}, \{\rho_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}:\ell=0,\ldots,L-1,\ p=0,\ldots,P-1\} \Big]^{\Tran}, \end{equation} % 并令总参数向量为 % \begin{equation} \boldsymbol\kappa^{\mathrm{ip}} = \begin{bmatrix} \boldsymbol\eta^{\Tran} & (\boldsymbol\psi^{\mathrm{ip}}_{\mu})^{\Tran} \end{bmatrix}^{\Tran}. \end{equation} % 为简化书写，这里先假定 $\{\sigma_\ell\}$ 已知；关于未知噪声方差的情形将在附录末尾补充说明。 对任意实参数 $\kappa_i$ 与 $\kappa_j$，\gls{fim}元素统一写为 % \begin{equation} [\mathcal I(\boldsymbol\kappa^{\mathrm{ip}})]_{ij} = 2\Re\left\{ \frac{\partial \boldsymbol\mu^{\Herm}(\boldsymbol\kappa^{\mathrm{ip}})}{\partial \kappa_i} \mathbf R_n^{-1} \frac{\partial \boldsymbol\mu(\boldsymbol\kappa^{\mathrm{ip}})}{\partial \kappa_j} \right\}, \label{eq:A8_IP_FIM_general} \end{equation} % 其中 $\boldsymbol\mu(\boldsymbol\kappa^{\mathrm{ip}})$ 为联合均值向量，$\mathbf R_n$ 为联合噪声协方差矩阵。 对单个观测块 $(\ell,p)$，其均值为 % \begin{equation} \boldsymbol\mu^{\mathrm{ip}}_{\ell,p} = \rho_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}e^{j\vartheta_{\ell,p}}\mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}. \end{equation} % 于是有 % \begin{equation} \frac{\partial \boldsymbol\mu^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}}{\partial \begin{bmatrix} \alpha & \beta & \nu_{\mathrm{ref}} & \dot\nu_{\mathrm{ref}} \end{bmatrix}^{\Tran}} = \rho_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}e^{j\vartheta_{\ell,p}} \mathbf D^{\mathrm{ip}}_{\eta\dot\nu,\ell,p}, \label{eq:A8_IP_Jetadotnu_block} \end{equation} \begin{equation} \frac{\partial \boldsymbol\mu^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}}{\partial \vartheta_{\ell,p}} = j\rho_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}e^{j\vartheta_{\ell,p}}\mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}, \label{eq:A8_IP_Jphase_block} \end{equation} \begin{equation} \frac{\partial \boldsymbol\mu^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}}{\partial \rho_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}} = e^{j\vartheta_{\ell,p}}\mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}. \label{eq:A8_IP_Jamp_block} \end{equation} 注意到式~\eqref{eq:A8_IP_Jphase_block} 与式~\eqref{eq:A8_IP_Jamp_block} 在实参数意义下所张成的干扰子空间，等价于复向量 $\mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}$ 所张成的一维复子空间。因此，对每个观测块的 $(\vartheta_{\ell,p},\rho_{\ell,p}^{\mathrm{ip}})$ 执行 Schur 补后，可直接得到关于联合参数 % \begin{equation} \begin{bmatrix} \boldsymbol\eta^{\Tran} & \dot\nu_{\mathrm{ref}} \end{bmatrix}^{\Tran} \end{equation} % 的块级 \gls{efim}： % \begin{equation} \mathcal I^{\mathrm{ip}}_{\mathrm{ext},\ell,p} = 2\frac{(\rho_{\ell,p}^{\mathrm{ip}})^2}{\sigma_\ell} \Re\left\{ \big(\mathbf D^{\mathrm{ip}}_{\eta\dot\nu,\ell,p}\big)^{\Herm} \mathcal P^{\perp}_{\mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}} \mathbf D^{\mathrm{ip}}_{\eta\dot\nu,\ell,p} \right\}, \label{eq:A8_IP_FIM_block_eff} \end{equation} % 其中 % \begin{equation} \mathcal P_{\mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}} \triangleq \mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p} \big((\mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p})^{\Herm}\mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}\big)^{-1} (\mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p})^{\Herm}, \end{equation} \begin{equation} \mathcal P^{\perp}_{\mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}} \triangleq \mathbf I_{M_\ell T}-\mathcal P_{\mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}}. \end{equation} 对全部卫星与全部帧求和，可得 % \begin{equation} \mathcal I^{\mathrm{ip}}_{\mathrm{ext}} = \sum_{\ell=0}^{L-1}\sum_{p=0}^{P-1} \mathcal I^{\mathrm{ip}}_{\mathrm{ext},\ell,p} = 2\sum_{\ell=0}^{L-1}\sum_{p=0}^{P-1} \frac{(\rho_{\ell,p}^{\mathrm{ip}})^2}{\sigma_\ell} \Re\left\{ \big(\mathbf D^{\mathrm{ip}}_{\eta\dot\nu,\ell,p}\big)^{\Herm} \mathcal P^{\perp}_{\mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}} \mathbf D^{\mathrm{ip}}_{\eta\dot\nu,\ell,p} \right\}. \label{eq:A8_IP_FIM_etadotnu} \end{equation} \subsubsection{\texorpdfstring{主参数 $\boldsymbol\eta$ 的 \gls{efim} 与 CRB}{主参数 eta 的 EFIM 与 CRB}} 若把 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 也视为感兴趣参数，则 % \begin{equation} \operatorname{CRB}^{\mathrm{ip}}(\boldsymbol\eta,\dot\nu_{\mathrm{ref}}) = \big(\mathcal I^{\mathrm{ip}}_{\mathrm{ext}}\big)^{-1}. \label{eq:A8_IP_CRB_etadotnu} \end{equation} 若仍只把 $\boldsymbol\eta$ 作为主参数，而把 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 作为干扰参数，则将 \eqref{eq:A8_IP_FIM_etadotnu} 按如下方式分块： % \begin{equation} \mathcal I^{\mathrm{ip}}_{\mathrm{ext}} = \begin{bmatrix} \mathcal I^{\mathrm{ip}}_{\eta\eta} & \mathcal I^{\mathrm{ip}}_{\eta\dot\nu} \\ \mathcal I^{\mathrm{ip}}_{\dot\nu\eta} & \mathcal I^{\mathrm{ip}}_{\dot\nu\dot\nu} \end{bmatrix}, \label{eq:A8_IP_FIM_partition} \end{equation} % 于是主参数 $\boldsymbol\eta$ 的 \gls{efim} 为 % \begin{equation} \mathcal I^{\mathrm{ip}}_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta) = \mathcal I^{\mathrm{ip}}_{\eta\eta} - \mathcal I^{\mathrm{ip}}_{\eta\dot\nu} \big(\mathcal I^{\mathrm{ip}}_{\dot\nu\dot\nu}\big)^{-1} \mathcal I^{\mathrm{ip}}_{\dot\nu\eta}, \label{eq:A8_IP_EFIM_eta} \end{equation} % 从而 % \begin{equation} \operatorname{CRB}^{\mathrm{ip}}(\boldsymbol\eta) = \big(\mathcal I^{\mathrm{ip}}_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta)\big)^{-1}. \label{eq:A8_IP_CRB_eta} \end{equation} 式~\eqref{eq:A8_IP_EFIM_eta} 给出的正是\gls{ip} 模型下，未知 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 对主参数 $(\alpha,\beta,\nu_{\mathrm{ref}})$ 的信息损失形式。与正文研究主线一致，这里的关键不在于再引入更高维动态状态，而在于比较：在相同短窗条件下，\gls{cp} 模型和\gls{ip} 模型分别能为主参数保留多少有效信息。 \subsubsection{与 A7 中放松连续相位结果的关系} 在相同 Doppler/rate 映射、噪声和采样配置下，放松 \gls{cp} 与 \gls{ip} 的模板只相差块常相位： % \begin{equation} \begin{aligned} c_{\ell,p}&\triangleq\nu_\ell\tau_p+\frac{1}{2}\dot\nu_\ell\tau_p^2,\\ \mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}&=e^{jc_{\ell,p}}\mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}, \qquad \zeta^{\mathrm{ip}}_{\ell,p} =\zeta^{\mathrm{cp,rel}}_{\ell,p}e^{jc_{\ell,p}}. \end{aligned} \label{eq:A8_rel_ip_equivalence} \end{equation} % 自由复增益使 \eqref{eq:A8_rel_ip_equivalence} 成为可逆的干扰参数重参数化。对主参数求导产生的附加项 $j\left(\dfrac{\partial c_{\ell,p}}{\partial x}\right)\mathbf g_{\ell,p}$ 落在块复增益的干扰切空间内，消元后两种写法给出相同的扩展 \gls{efim}，进一步消去 rate 后也相同。结构化 \gls{cp} 则限制同星各帧共享相位，不能逐块吸收这些常相位；其与 \gls{ip} 的信息差异来自这一约束。 从 \gls{efim} 病态的角度看，\gls{ip} 模型与 放松 \gls{cp} 模型共享同一类投影解释。若定义白化 Jacobian % \begin{equation} \bar{\mathbf J}^{\mathrm{ip}}_{\eta} \triangleq \mathbf R_n^{-1/2} \frac{\partial\boldsymbol\mu^{\mathrm{ip}}}{\partial\boldsymbol\eta}, \qquad \bar{\mathbf J}^{\mathrm{ip}}_{\psi} \triangleq \mathbf R_n^{-1/2} \frac{\partial\boldsymbol\mu^{\mathrm{ip}}}{\partial\boldsymbol\psi^{\mathrm{ip}}_{\mu}}, \end{equation} % 将这些矩阵按 \eqref{eq:A7_realified_jacobians} 实化为 $\mathbf A^{\mathrm{ip}}$ 与 $\mathbf B^{\mathrm{ip}}$，则式~\eqref{eq:A8_IP_EFIM_eta} 的广义 Schur 补形式为 % \begin{equation} \mathcal I^{\mathrm{ip}}_{\mathrm{e}} = 2(\mathbf A^{\mathrm{ip}})^\Tran \big(\mathbf I-\mathbf B^{\mathrm{ip}}(\mathbf B^{\mathrm{ip}})^\dagger\big) \mathbf A^{\mathrm{ip}}. \label{eq:A8_IP_EFIM_projection} \end{equation} % 因此，\gls{ip} 模型下的弱可辨识方向仍由 $\mathcal P^{\perp}_{\mathbf B^{\mathrm{ip}}}\mathbf A^{\mathrm{ip}}$ 的实秩和最小奇异方向决定。仅消去逐块自由复增益时，式~\eqref{eq:A8_IP_FIM_block_eff} 的复投影是合法简化；将实值 rate 一并消去时须使用实 Schur 补或 \eqref{eq:A8_IP_EFIM_projection}，完整主参数求逆仍需满足 \eqref{eq:A7_real_rank_condition}。在相同工作点，放开结构化 \gls{cp} 的公共相位约束只会减少或保持有效信息；这不意味着每个归一化耦合系数都会单调增大。 \subsubsection{关于噪声方差参数的说明} 若进一步将 $\{\sigma_\ell\}$ 也并入待估参数，由于它们只进入协方差矩阵而不进入均值函数，因此与前述均值参数在 \gls{fim}中仍然解耦。对第 $\ell$ 颗卫星，有 % \begin{equation} \big[\mathcal I(\cdot)\big]_{\sigma_\ell,\sigma_\ell} = \frac{M_\ell P T}{\sigma_\ell^2}. \end{equation} % 因此，将 $\sigma_\ell$ 视为未知量不会改变式~\eqref{eq:A8_IP_FIM_etadotnu} 与式~\eqref{eq:A8_IP_EFIM_eta} 的形式，只是在完整 \gls{fim}中附加一个与其他参数解耦的对角块。 至此，动态多帧主线的两类性能界已经形成闭环： \appref{sec:A7_dynDoaDopplerCrb} 对应\gls{cp}/放松 \gls{cp} 模型，本附录对应\gls{ip} 基线模型。二者共享同一主参数 $\boldsymbol\eta$，因而可以直接比较相位连续性对 \gls{doa}--Doppler 信息保留能力的影响。 \subsection{全局方向与参考 Doppler 的局部误差指标} \label{subsec:globalDirectionErrorMetrics} 上述信息矩阵以弧度及归一化 Doppler 为参数单位。为将局部界与误差指标对应，设 \eqref{eq:A7_real_rank_condition} 成立，记 $\mathbf C_\eta=\mathcal I_{\mathrm e}^{-1}$，其角度子块为 $\mathbf C_\xi$。对局部无偏估计，角度分量方差界为 $[\mathbf C_\eta]_{11}$ 与 $[\mathbf C_\eta]_{22}$；周期方位角误差须先在真值附近展开。标准差界取方差界的平方根，度单位的方差界再乘 $(180/\pi)^2$。 公共方向夹角定义为 $\theta=\arccos(\mathbf u^\Tran\widehat{\mathbf u})$。在零误差处 $\arccos$ 的普通一阶导数不可用；由单位向量的切向变化得到局部二阶度量。令 $\mathbf U=\partial\mathbf u/\partial\boldsymbol\xi^\Tran$，则 % \begin{equation} \mathbf U^\Tran\mathbf U =\begin{bmatrix}\cos^2\beta&0\\0&1\end{bmatrix} \triangleq\mathbf W_\xi, \qquad \theta^2 =\delta\boldsymbol\xi^\Tran\mathbf W_\xi\delta\boldsymbol\xi +o(\|\delta\boldsymbol\xi\|_2^2). \label{eq:A7_direction_local_metric} \end{equation} % 因此，小误差、局部无偏条件下，夹角均方误差的局部二阶下界为 % \begin{equation} B_\theta \triangleq\operatorname{tr}(\mathbf W_\xi\mathbf C_\xi) =\cos^2\beta[\mathbf C_\eta]_{11}+[\mathbf C_\eta]_{22}. \label{eq:A7_direction_mse_bound} \end{equation} % $B_\theta$ 的单位为 rad$^2$，对应的夹角均方根误差界为 $\sqrt{B_\theta}$；这不是对任意有限误差或有偏估计器的全局界。有偏估计的局部角度均方误差还含偏差二次项，须使用相应有偏界。在 $\beta=\pm\pi/2$ 处方位角坐标退化，应在二维正交切平面基下重新参数化并构造信息，不能用退化角坐标的伪逆解释完整方向精度。 参考 Doppler 的物理单位界由 \eqref{eq:sec5_physical_normalized_rates} 换算： % \begin{equation} B_{f_{\mathrm{ref}}} =\frac{[\mathbf C_\eta]_{33}}{(2\pi T_{\mathrm s})^2}, \qquad \sqrt{B_{f_{\mathrm{ref}}}} =\frac{\sqrt{[\mathbf C_\eta]_{33}}}{2\pi T_{\mathrm s}}. \label{eq:A7_physical_doppler_bound} \end{equation} % 两者单位分别为 Hz$^2$ 与 Hz。若另报告未知参考 rate 的精度，应从消去幅相干扰后的扩展四维协方差 $\mathbf C_{\mathrm{ext}}$ 取第 $4$ 个对角元，再除以 $(2\pi T_{\mathrm s}^2)^2$；rate 已知时不报告其估计方差。 导数实现若采用度、Hz 与 Hz/s，可用一次参数变换统一核对。令 % \begin{equation} \begin{aligned} \boldsymbol z &=[\alpha_{\mathrm{deg}},\beta_{\mathrm{deg}},f_{\mathrm{ref}},\dot f_{\mathrm{ref}}]^\Tran,\\ \boldsymbol\eta_{\mathrm{ext}}&=\mathbf S\boldsymbol z,\qquad \mathbf S=\operatorname{diag}\left(\frac{\pi}{180},\frac{\pi}{180}, 2\pi T_{\mathrm s},2\pi T_{\mathrm s}^2\right),\\ \mathbf J_z&=\mathbf J_{\eta_{\mathrm{ext}}}\mathbf S,\qquad \mathcal I_z=\mathbf S^\Tran\mathcal I_{\eta_{\mathrm{ext}}}\mathbf S,\qquad \mathbf C_z=\mathbf S^{-1}\mathbf C_{\mathrm{ext}}\mathbf S^{-\Tran}. \end{aligned} \label{eq:A7_parameter_unit_transform} \end{equation} % K 配置删除 rate 行列即可；这些关系要求比较同一均值模型、同一工作点和同一干扰参数配置。