\section{单阵列 CRB 汇总}
\label{sec:singleArrayCrb}

\begin{mdquote}
\noindent\textbf{本附录设定}：单阵列模型下三种 \gls{crb} 的汇总——确定信号 \gls{doa}、确定信号 \gls{doa}--Doppler、随机信号 \gls{doa}，共享 \gls{fim} 构造 + Schur 补框架，集中便于交叉对照。
\begin{itemize}[leftmargin=1.5em,itemindent=0pt]
  \item \emph{主参数} \gls{doa} 角（含 Doppler 模型再加 $\nu$）；\emph{干扰参数} 确定信号模型为复增益与噪声方差、随机信号模型为信号与噪声协方差。
  \item \emph{本附录给出} 三种模型的 \gls{fim} 逐元构造与 Schur 补消去干扰参数的闭式 \gls{crb}（通用复 Gauss \gls{crb} 与 Slepian--Bangs 公式见 \cite{kayFundamentalsStatisticalSignal1993,stoicaMusicMaximumLikelihood1989,stoicaPerformanceStudyConditional1990}）；前两者是多星主线的直接基础，随机信号 \gls{doa} 作对照支线保留。
  \item \emph{本附录局部符号} $\mathcal I$：\gls{fim}；$\mathbf I$：单位阵；$\mathcal P$：投影矩阵。完整索引见\appref{sec:assumptionsAndNotation}。
\end{itemize}
\end{mdquote}

\subsection{确定信号 DoA CRB}
\label{sec:det_doa_crb}
本附录对应第~\ref{sec:det_doa_est} 节的单阵列确定信号 \gls{doa} 模型。根据 \gls{fim} 的定义 $\eqref{eq:fisher_element}$，需要先求出对数似然函数 $\eqref{eq:det_ml_log_likelihood}$ 对各类未知量的一阶偏导，再构造 \gls{fim}并通过 Schur 补消去确定信号快拍等干扰参数。

\subsubsection{一阶偏导求取}

\paragraph{对噪声方差的一阶偏导}

\begin{equation}
\frac{\partial \ln \mathcal{L}}{\partial \sigma} = -\frac{MT}{\sigma}+\frac{1}{\sigma^2} \sum_{t=1}^T \mathbf{n}^\Herm _t\mathbf{n}_t.
\end{equation}

\paragraph{对信源的一阶偏导}

\begin{mdquote}
复向量的偏导数（Wirtinger 微分）：令复数 $z=x+jy$，则其 Wirtinger 微分定义为
%
\begin{equation}
    \label{eq:wirtinger_derivative}
    \begin{cases}
    \frac{\partial}{\partial z} = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial x} - j\frac{\partial}{\partial y} \right)
    \\
    \frac{\partial}{\partial z^*} = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial x} + j\frac{\partial}{\partial y} \right)
    \end{cases}
    \quad\Rightarrow\quad
    \begin{cases}
    \frac{\partial}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial z} + \frac{\partial}{\partial z^*}
    \\
    \frac{\partial}{\partial y} = j\left(\frac{\partial}{\partial z} - \frac{\partial}{\partial z^*} \right)
    \end{cases},
\end{equation}
%
且有
\begin{subequations}
  \begin{equation}
  \frac{\partial z^*}{\partial z}
  = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial x} - j\frac{\partial}{\partial y} \right) (x - jy)
  = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial x}{\partial x} - j\frac{\partial (-jy)}{\partial y} \right) = 0,
  \end{equation}
  %
  \begin{equation}
  \frac{\partial z}{\partial z^*}
  = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial x} + j\frac{\partial}{\partial y} \right) (x + jy)
  = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial x}{\partial x} + j\frac{\partial (jy)}{\partial y} \right) = 0,
  \end{equation}
\end{subequations}
%
也即在 Wirtinger 微分定义下，复变量 $z$ 及其复共轭 $z^*$ 可以看做看作两个不相关的变量，对其中一个求导时，将另一项看作常量即可。
\end{mdquote}

首先按 Wirtinger 微分求取信源 $\mathbf{x}_t$ 的偏导
%
\begin{align*}
\frac{\partial \ln \mathcal{L}}{\partial \mathbf{x}_t} &= - \frac{\partial }{\partial \mathbf{x}_t} \left[\frac{1}{\sigma} \left( \mathbf{y}_t-\mathbf{A}\mathbf{x}_t \right)^\Herm \left( \mathbf{y}_t-\mathbf{A}\mathbf{x}_t \right) \right] \nonumber
= - \frac{\partial }{\partial \mathbf{x}_t} \left[\frac{1}{\sigma} \left( \mathbf{y}_t^\Herm  - \mathbf{x}_t^\Herm  \mathbf{A}^\Herm  \right)\left( \mathbf{y}_t-\mathbf{A}\mathbf{x}_t \right) \right] \nonumber
\\
&= \frac{1}{\sigma} \left( \mathbf{y}_t^\Herm  \mathbf{A} - \mathbf{x}_t^\Herm  \mathbf{A}^\Herm \mathbf{A} \right)
= \frac{1}{\sigma} \left( \mathbf{y}_t-\mathbf{A}\mathbf{x}_t \right)^\Herm \mathbf{A} = \frac{1}{\sigma} \mathbf{n}_t^\Herm \mathbf{A}.
\end{align*}
%
对其进行维度修正（取转置）\footnote{%
由于按 Jacobian 定义对列向量 $\mathbf{x}_t$ 求导得到的是 $1\times K$ 的行向量，而后续推导采用列向量形式的梯度表示，因此对结果取转置以统一维度。该转置仅源于导数布局的不同约定，不影响最终结果。}，得到列向量
%
\begin{equation}
\label{eq:first_order_derivative_source}
\frac{\partial \ln \mathcal{L}}{\partial \mathbf{x}_t} = \frac{1}{\sigma} \left(\mathbf{n}_t^\Herm \mathbf{A} \right)^\Tran = \frac{1}{\sigma} \mathbf{A}^\Tran\mathbf{n}_t^*.
\end{equation}
%
然后类似求取信源的共轭转置  $\mathbf{x}_t^\Herm $ 的偏导，得
%
\begin{equation}
\label{eq:first_order_derivative_source_hermit}
\frac{\partial \ln \mathcal{L}}{\partial \mathbf{x}_t^\Herm } = \frac{1}{\sigma} \mathbf{A}^\Herm \mathbf{n}_t.
\end{equation}
%
然后将式 $\eqref{eq:first_order_derivative_source}$ 和 $\eqref{eq:first_order_derivative_source_hermit}$ 代入 Writinger 微分 $\eqref{eq:wirtinger_derivative}$，可得信源实部 $\mathbf{x}_t^{(r)}$ 和虚部 $\mathbf{x}_t^{(i)}$ 的一阶偏导
%
\begin{equation}
\frac{\partial \ln \mathcal{L}}{\partial \mathbf{x}_t^{(r)}}
= \frac{1}{\sigma} \left( \mathbf{A}^\Tran\mathbf{n}_t^* + \mathbf{A}^\Herm \mathbf{n}_t \right)
= \frac{2}{\sigma} \Re\{\mathbf{A}^\Herm \mathbf{n}_t\},
\end{equation}%
%
\begin{equation}
\frac{\partial \ln \mathcal{L}}{\partial \mathbf{x}_t^{(i)}}
= \frac{1}{\sigma} j\left( \mathbf{A}^\Tran\mathbf{n}_t^* - \mathbf{A}^\Herm \mathbf{n}_t \right)
= \frac{2}{\sigma} \Im\{\mathbf{A}^\Herm \mathbf{n}_t\}.
\end{equation}

\paragraph{对角度的一阶偏导}
% align 不走 $$，紧贴标题会多出一行空白；保留 align 以让编号贴末行，\tightalign 抵消之。
\tightalign
\begin{align}
\frac{\partial\ln \mathcal{L}}{\partial \theta_k} &= -\frac{1}{\sigma} \sum_{t=1}^T \left[ - \mathbf{x}_t^\Herm  \frac{\mathrm{d}\mathbf{A}^\Herm }{\mathrm{d}\theta_k }   (\mathbf{y}_t - \mathbf{A} \mathbf{x}_t) - (\mathbf{y}_t - \mathbf{A} \mathbf{x}_t)^\Herm  \frac{\mathrm{d}\mathbf{A}}{\mathrm{d}\theta_k } \mathbf{x}_t \right] \nonumber
\\
&= \frac{1}{\sigma} \sum_{t=1}^T \left[ \mathbf{x}_t^\Herm  \frac{\mathrm{d}\mathbf{A}^\Herm }{\mathrm{d}\theta_k } \mathbf{n}_t + \mathbf{n}_t^\Herm  \frac{\mathrm{d}\mathbf{A}}{\mathrm{d}\theta_k } \mathbf{x}_t \right] \nonumber
\\
&= \frac{2}{\sigma} \sum_{t=1}^T \Re\left[ \mathbf{x}^\Herm _t \frac{\mathrm{d}\mathbf{A}^\Herm }{\mathrm{d}\theta_k } \mathbf{n}_t \right].
\end{align}
%
令 $\mathbf{d}(\theta_k) \triangleq \dfrac{\diff}{\diff\theta_k} \mathbf{a} (\theta_k) \in \mathbb{C}^{M\times 1}$，$\mathbf{d}^\Herm(\theta_k) \triangleq \dfrac{\diff}{\diff\theta_k} \mathbf{a}^\Herm (\theta_k)$，$\mathbf{D} = [\mathbf{d}(\theta_1), \ldots, \mathbf{d}(\theta_K)] \in \mathbb{C}^{M\times K}$，$\mathbf{X}_t \triangleq \diag ( x_1(t), \allowbreak \ldots, \allowbreak x_K (t) ) \in \mathbb{C}^{K\times K}$，则~\footnote{对于多维 \gls{doa} 参数，需要将 $\mathbf{D}$ 扩展为关于所有角度分量的 Jacobian。此时仍可通过相同的 Schur 补思想得到 \gls{efim}，但最终矩阵维度和 Hadamard 表达需要按角度分量重新展开。}
%
\begin{equation}
\frac{\partial\ln \mathcal{L}}{\partial \bm{\theta}}
= \begin{bmatrix}
  \frac{\partial}{\partial \theta_1}
  \\
  \vdots
  \\
  \frac{\partial}{\partial \theta_K}
\end{bmatrix} \ln \mathcal{L}
= \frac{2}{\sigma} \sum_{t=1}^T \Re\left[ \mathbf{X}^\Herm _t \mathbf{D}^\Herm  \mathbf{n}_t \right].
\end{equation}


\subsubsection{二阶偏导及其均值}

\paragraph{噪声方差的二阶偏导及均值}

\begin{mdquote}
\vspace{-1em}
%
\begin{equation*}
  \mathbb{E} \left[ \mathbf{n}^\Herm_t \mathbf{n}_t \right] = M \sigma.
\end{equation*}
%
\begin{equation*}
  \mathbb{E} \left[ \mathbf{n}^\Herm_t \mathbf{n}_t \mathbf{n}^\Herm_s \mathbf{n}_s \right] = \begin{cases}
  M^2 \sigma^2, & \text{for}\ t\ne s \\
  M(M+1)\sigma^2, & \text{for}\ t = s
  \end{cases}.
\end{equation*}
\end{mdquote}
%
\begin{align}
\mathbb{E}\left\{\left[\frac{\partial \ln \mathcal{L}}{\partial \sigma}\right]^2\right\}
=& \mathbb{E}\left[\left(-\frac{MT}{\sigma}+\frac{1}{\sigma^2} \sum_{t=1}^T \mathbf{n}^\Herm _t\mathbf{n}_t\right)^2 \right]
\nonumber \\
=& \frac{M^2T^2}{\sigma^2} - \frac{2MT}{\sigma^3} \sum_{t=1}^T \mathbb{E}\left[\mathbf{n}^\Herm _t\mathbf{n}_t\right] + \frac{1}{\sigma^4} \sum_{t=1}^T \sum_{s=1}^T \mathbb{E}\left[ \mathbf{n}^\Herm _t\mathbf{n}_t\mathbf{n}^\Herm _s\mathbf{n}_s \right]
\nonumber \\
=& \frac{M^2T^2}{\sigma^2} - \frac{2M^2T^2}{\sigma^2} + \frac{1}{\sigma^4}[(T^2-T)M^2\sigma^2 + TM(M+1)\sigma^2]
\nonumber \\
=& \frac{MT}{\sigma^2}.
\end{align}

\paragraph{噪声方差和其他参量的二阶混合偏导及均值}

由于不同时刻（$t\ne s$）的噪声不相关，相同时刻（$t=s$）高斯变量的三阶矩为零，因此有
%
\begin{equation}
\mathbb{E}\left[ \mathbf{n}_t^\Herm  \mathbf{n}_t \mathbf{n}_s^\Tran \right] = \mathbf{0},
\end{equation}
%
因此，噪声方差和其他参量的混合二阶偏导均为零。

\paragraph{信源实虚部的二阶偏导、二阶混合偏导及均值}

\begin{mdquote}
\begin{enumerate}
    \item 关于噪声的结论：噪声是时间平稳的圆对称复高斯随机过程，也即
    %
    \begin{equation*}
    \mathbb{E}\left[\mathbf{n}_t\mathbf{n}_s^\Herm \right]
    = \sigma \mathbf I_M \delta_{ts},
    \end{equation*}
    %
    \begin{equation*}
    \mathbb{E}[\mathbf{n}_t\mathbf{n}_s^\Tran] = 0,\quad \forall t,s.
    \end{equation*}

    \item 关于实虚部乘法运算的结论（将复数按实虚部展开后可得）
    \begin{align*}
    &\Re\{\mathbf{x}\} \Re\{\mathbf{y}^\Tran\} = \frac{1}{2}[\Re\{\mathbf{x} \mathbf{y}^\Tran\} + \Re\{\mathbf{x} \mathbf{y}^\Herm \}],
    \\
    &\Im\{\mathbf{x}\} \Im\{\mathbf{y}^\Tran\} = -\frac{1}{2}[\Re\{\mathbf{x} \mathbf{y}^\Tran\} - \Re\{\mathbf{x} \mathbf{y}^\Herm \}],
    \\
    &\Re\{\mathbf{x}\} \Im\{\mathbf{y}^\Tran\} = \frac{1}{2}[\Im\{\mathbf{x} \mathbf{y}^\Tran\} - \Im\{\mathbf{x} \mathbf{y}^\Herm \}].
    \end{align*}
\end{enumerate}
\end{mdquote}
%
\begin{subequations}
  \begin{align}
  %信源实部的二阶偏导
  \mathbb{E}\left\{\left[\frac{\partial \ln \mathcal{L}}{\partial \mathbf{x}_t^{(r)}}\right]\left[\frac{\partial \ln \mathcal{L}}{\partial \mathbf{x}_s^{(r)}}\right]^\Tran\right\}
  &= \frac{1}{\sigma^2} \mathbb{E} \left[ \left( \mathbf{A}^\Tran \mathbf{n}_t^* + \mathbf{A}^\Herm \mathbf{n}_t \right)\left( \mathbf{A}^\Tran\mathbf{n}_s^* + \mathbf{A}^\Herm \mathbf{n}_s \right)^\Tran  \right] \nonumber
  \\
  =& \frac{1}{\sigma^2} \mathbb{E}\left[\left( \mathbf{A}^\Tran \mathbf{n}_t^* \mathbf{n}_s^\Herm \mathbf{A} + \mathbf{A}^\Tran \mathbf{n}_t^* \mathbf{n}_s^\Tran \mathbf{A}^\ast + \mathbf{A}^\Herm \mathbf{n}_t \mathbf{n}_s^\Herm \mathbf{A} + \mathbf{A}^\Herm \mathbf{n}_t \mathbf{n}_s^\Tran \mathbf{A}^\ast \right)\right] \nonumber
  \\
  =& \frac{1}{\sigma^2} \mathbb{E} \left[ \left( \mathbf{A}^\Tran \mathbf{n}_t^* \mathbf{n}_s^\Tran \mathbf{A}^\ast + \mathbf{A}^\Herm  \mathbf{n}_t \mathbf{n}_s^\Herm  \mathbf{A} \right) \right]
  = \frac{2}{\sigma^2}\Re\left\{\mathbf{A}^\Herm \mathbb{E}\left[ \mathbf{n}_t \mathbf{n}_s^\Herm  \right] \mathbf{A}\right\} \nonumber
  \\
  =& \frac{2}{\sigma} \Re\left[\mathbf{A}^\Herm \mathbf{A}\right]\delta(t-s).
  \end{align}
  %信源实虚部的混合二阶偏导
  \begin{equation}
  \mathbb{E}\left\{\left[\frac{\partial \ln \mathcal{L}}{\partial \mathbf{x}_t^{(r)}}\right]\left[\frac{\partial \ln \mathcal{L}}{\partial \mathbf{x}_s^{(i)}}\right]^\Tran\right\}
  = \frac{4}{\sigma^2} \left(-\frac{1}{2}\right)\Im\left\{\mathbb{E}\left[\mathbf{A}^\Herm  \mathbf{n}_t \mathbf{n}_s^\Herm  \mathbf{A} \right]\right\}
  = -\frac{2}{\sigma} \Im\left[\mathbf{A}^\Herm \mathbf{A}\right]\delta(t-s).
  \end{equation}
  %信源虚部的二阶偏导
  \begin{equation}
  \mathbb{E}\left\{\left[\frac{\partial \ln \mathcal{L}}{\partial \mathbf{x}_t^{(i)}}\right]\left[\frac{\partial \ln \mathcal{L}}{\partial \mathbf{x}_s^{(i)}}\right]^\Tran\right\}
  = \frac{4}{\sigma^2} \frac{1}{2}\Re\left\{\mathbb{E}\left[\mathbf{A}^\Herm  \mathbf{n}_t \mathbf{n}_s^\Herm  \mathbf{A} \right]\right\}
  = \frac{2}{\sigma} \Re\left[\mathbf{A}^\Herm \mathbf{A}\right]\delta(t-s).
  \end{equation}
\end{subequations}


\paragraph{信源实虚部与角度的混合二阶偏导及均值}

\begin{subequations}
  \begin{equation}
  \mathbb{E}\left\{\left[\frac{\partial \ln \mathcal{L}}{\partial \mathbf{x}_t^{(r)}}\right]\left[\frac{\partial\ln \mathcal{L}}{\partial \bm{\theta}}\right]^\Tran\right\}
  = \frac{4}{\sigma^2} \sum_{t=1}^T\frac{1}{2}\Re\{\mathbf{A}^\Herm  \mathbb{E}\left[ \mathbf{n}_t\mathbf{n}_t^\Herm  \right] \mathbf{D} \mathbf{X}_t\}
  = \frac{2}{\sigma}\Re\left[ \mathbf{A}^\Herm \mathbf{D} \mathbf{X}_t \right].
  \end{equation}
  %
  \begin{equation}
  \mathbb{E}\left\{\left[\frac{\partial \ln \mathcal{L}}{\partial \mathbf{x}_t^{(i)}}\right]\left[\frac{\partial\ln \mathcal{L}}{\partial \bm{\theta}}\right]^\Tran\right\}
  = \frac{4}{\sigma^2} \sum_{t=1}^T\left(-\frac{1}{2}\right)\Im\{\mathbf{A}^\Herm  \mathbb{E}\left[ \mathbf{n}_t\mathbf{n}_s^\Herm \right] \mathbf{D} \mathbf{X}_t\}
  = \frac{2}{\sigma}\Im\left[ \mathbf{A}^\Herm \mathbf{D} \mathbf{X}_t \right].
  \end{equation}
\end{subequations}


\paragraph{角度的二阶偏导及均值}

\begin{equation}
\mathbb{E}\left\{\left[\frac{\partial\ln \mathcal{L}}{\partial \bm{\theta}}\right]\left[\frac{\partial\ln \mathcal{L}}{\partial \bm{\theta}}\right]^\Tran\right\}
= \frac{4}{\sigma^2} \sum_{t=1}^T \sum_{s=1}^T \frac{1}{2} \Re\{\mathbf{X}_t^\Herm  \mathbf{D}^\Herm  \mathbb{E}\left[ \mathbf{n}_t\mathbf{n}_s^\Herm  \right] \mathbf{D} \mathbf{X}_s\}
= \frac{2}{\sigma} \sum_{t=1}^T \Re\left[ \mathbf{X}_t^\Herm \mathbf{D}^\Herm \mathbf{D} \mathbf{X}_t \right].
\end{equation}

\subsubsection{Fisher 信息矩阵/CRB 协方差矩阵构造}

\begin{mdquote}
  \begin{enumerate}
    \item 复矩阵求逆法则：令 $\mathbf{H}$ 是非奇异矩阵，且有 $\mathbf{G}\triangleq\mathbf{H}^{-1}$，则
    \begin{equation}
      \left[ \begin{matrix}
        \Re\{\mathbf{H}\} & -\Im\{\mathbf{H}\} \\
        \Im\{\mathbf{H}\} & \Re\{\mathbf{H}\} \\
      \end{matrix}\right] ^{-1} = \left[ \begin{matrix}
        \Re\{\mathbf{G}\} & -\Im\{\mathbf{G}\} \\
        \Im\{\mathbf{G}\} & \Re\{\mathbf{G}\} \\
      \end{matrix}\right].
    \end{equation}

    \item Schur 补在 \gls{fim} 中的应用：当 \gls{fim} 被分块为
    %
    \begin{equation}
      \mathcal{I} = \left[ \begin{matrix}
        \mathcal{I}_{\theta\theta} & \mathcal{I}_{\theta\psi} \\
        \mathcal{I}_{\psi\theta} & \mathcal{I}_{\psi\psi}
      \end{matrix} \right],
    \end{equation}
    %
    其中 $\bm{\theta}$ 为目标参数，$\bm{\psi}$ 为扰动（nuisance）参数，可以通过 Schur 补获得 \gls{crb}
    %
    \begin{equation}
      \label{eq:schur_complement}
      \mathrm{CRB}^{-1}(\bm{\theta})
      = \mathcal{I}_{\mathrm e}
      = \mathcal{I}_{\theta\theta} - \mathcal{I}_{\theta\psi} \mathcal{I}_{\psi\psi}^{-1} \mathcal{I}_{\psi\theta}.
    \end{equation}
  \end{enumerate}
\end{mdquote}

\Gls{fim} 可以写为
%
\begin{align}
  &\mathcal{I} \left( \sigma, \mathbf{x}_{1}^{{(r)}}, \mathbf{x}_{1}^{{(i)}}, \ldots, \mathbf{x}_{T}^{{(r)}}, \mathbf{x}_{T}^{{(i)}},\bm{\theta } \right) \nonumber
  \\
  =& \left[ \begin{array}{c:c:c}
    \text{CRB}^{-1}(\sigma) & 0 & 0 \\ \hdashline
    0 & \begin{array}{c:c:c}
      \begin{matrix}
        \Re\{\mathbf{H}\}\quad & -\Im\{\mathbf{H}\}\quad \\
        \Im\{\mathbf{H}\}\quad & \Re\{\mathbf{H}\}\quad \\
      \end{matrix} & & 0 \\
      \hdashline
      & \ddots & \\
      \hdashline
      0 & & \begin{matrix}
        \Re\{\mathbf{H}\}\quad & -\Im\{\mathbf{H}\}\quad\,\, \\
        \Im\{\mathbf{H}\}\quad & \Re\{\mathbf{H}\}\quad \\
    \end{matrix} \\
    \end{array} & \begin{matrix}
      \Re\{\bm{\Delta}_1\} \\ \Im\{\bm{\Delta}_1\} \\ \hdashline \vdots \\ \hdashline \Re\{\bm{\Delta}_T\} \\ \Im\{\bm{\Delta}_T\}
    \end{matrix}  \\
    \hdashline
    0 & \begin{array}{cc:c:cc}
        \Re\{\bm{\Delta}_1\}^\Tran &
        \Im\{\bm{\Delta}_1\}^\Tran &
        \cdots &
        \Re\{\bm{\Delta}_T\}^\Tran &
        \Im\{\bm{\Delta}_T\}^\Tran
      \end{array} &\mathcal{I}_{\theta\theta}
  \end{array}
  \right],
  \label{eq:single_det_fim_full}
\end{align}
%
其中 $\text{CRB}(\sigma) = \dfrac{\sigma^2}{MT}$，$\mathbf{H} = \dfrac{2}{\sigma}\mathbf{A}^\Herm \mathbf{A}$，$\bm{\Delta}_t = \dfrac{2}{\sigma} \mathbf{A}^\Herm \mathbf{D} \mathbf{X}_t$，$\mathcal{I}_{\theta\theta} = \dfrac{2}{\sigma}\displaystyle\sum_{t=1}^T \Re\left[ \mathbf{X}_t^\Herm \mathbf{D}^\Herm \mathbf{D} \mathbf{X}_t \right]$。注意到，由于噪声方差和其他各参量的联合二阶偏导数为零，因此噪声方差这个参量不会通过 Schur 补影响 $\bm{\theta}$，也即可以只考虑除噪声方差之外的参量构成的 \gls{fim}。

目标是通过 Schur 补消去确定信号快拍 $\{\mathbf x_t\}_{t=1}^T$，得到关于 $\bm\theta$ 的 \gls{efim}；随后对该 \gls{efim} 求逆，得到 $\bm\theta$ 的 \gls{crb} 协方差矩阵。将 \eqref{eq:single_det_fim_full} 按 $(\bm\theta,\{\mathbf x_t\})$ 重新分块，对应的 \gls{fim} 子块为
%
\begin{equation*}
  \mathcal{I}_{\psi\psi}=\left[ \begin{array}{c:c:c}
    \begin{matrix}
      \Re\{\mathbf{H}\} & -\Im\{\mathbf{H}\} \\
      \Im\{\mathbf{H}\} & \Re\{\mathbf{H}\} \\
    \end{matrix}
    & & 0 \\
    \hdashline
    & \ddots & \\
    \hdashline
    0 & & \begin{matrix}
        \Re\{\mathbf{H}\} & -\Im\{\mathbf{H}\} \\
        \Im\{\mathbf{H}\} & \Re\{\mathbf{H}\} \\
      \end{matrix} \\
    \end{array} \right],\quad
  %
  \mathcal{I}_{\psi\theta} = \left[ \begin{array}{c}
    \Re\{\bm{\Delta}_1\} \\
    \Im\{\bm{\Delta}_1\} \\
    \hdashline
    \vdots \\
    \hdashline
    \Re\{\bm{\Delta}_T\} \\
    \Im\{\bm{\Delta}_T\}
  \end{array}\right],
\end{equation*}
%
\begin{equation*}
  \mathcal{I}_{\theta\psi} = \left[
    \begin{array}{c:c:c}
      \begin{matrix}
        \Re\{\bm{\Delta}_1\}^\Tran & \Im\{\bm{\Delta}_1\}^\Tran
      \end{matrix}
      &
      \cdots
      &
      \begin{matrix}
        \Re\{\bm{\Delta}_T\}^\Tran & \Im\{\bm{\Delta}_T\}^\Tran
      \end{matrix}
    \end{array} \right].
\end{equation*}
%
因此有
%
\begin{align}
  \mathrm{CRB}^{-1}(\bm{\theta}) = \mathcal{I}_{\theta\theta}-\mathcal{I}_{\theta\psi}\mathcal{I}_{\psi\psi}^{-1}\mathcal{I}_{\psi\theta}
\end{align}
%
观察矩阵结构，通过分块矩阵乘法，令 $\mathbf{G} = \mathbf{H}^{-1}$，可以有~\footnote{将右侧按照复数乘法展开即可得到。}
%
\begin{equation*}
  \left[ \begin{matrix}
    \Re\{\mathbf{G}\} & -\Im\{\mathbf{G}\} \\
    \Im\{\mathbf{G}\} & \Re\{\mathbf{G}\} \\
  \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix}
    \Re\{\bm{\Delta}_t\}  \\
    \Im\{\bm{\Delta}_t\}  \\
  \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix}
    \Re\{\mathbf{G}\}\Re\{\bm{\Delta}_t\} - \Im\{\mathbf{G}\}\Im\{\bm{\Delta}_t\} \\
    \Im\{\mathbf{G}\}\Re\{\bm{\Delta}_t\} + \Re\{\mathbf{G}\}\Im\{\bm{\Delta}_t\} \\
  \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix}
    \Re\{\mathbf{G}\bm{\Delta}_t\}  \\
    \Im\{\mathbf{G}\bm{\Delta}_t\}  \\
  \end{matrix} \right],
\end{equation*}
%
以及~\footnote{将右侧展开，$\Re\{\bm{\Delta}_t^\Herm \mathbf{G}\bm{\Delta}_t\} = (\Re\{\bm{\Delta}_t\} - j \Im\{\bm{\Delta}_t\})^\Tran (\Re\{\mathbf{G}\bm{\Delta}_t\} + j \Im\{\mathbf{G}\bm{\Delta}_t\}) $，即可得到。}
%
\begin{equation*}
\left[ \begin{matrix}
    \Re\{\bm{\Delta}_t\}^\Tran & \Im\{\bm{\Delta}_t\}^\Tran  \\
  \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix}
    \Re\{\mathbf{G}\bm{\Delta}_t\}  \\
    \Im\{\mathbf{G}\bm{\Delta}_t\}  \\
  \end{matrix} \right] = \Re\{\bm{\Delta}_t^\Herm \mathbf{G}\bm{\Delta}_t\},
\end{equation*}
%
因此，角度的 \gls{crb} 可以表示为
%
\begin{align}
  \mathrm{CRB}^{-1}(\bm{\theta}) &= \mathcal{I}_{\theta\theta} - \sum_{t=1}^T \Re\{\bm{\Delta}_t^\Herm \mathbf{G}\bm{\Delta}_t\} \nonumber
  = \frac{2}{\sigma} \sum_{t=1}^T \Re\left\{ \mathbf{X}_t^\Herm \mathbf{D}^\Herm \mathbf{D} \mathbf{X}_t - \mathbf{X}_t^\Herm \mathbf{D}^\Herm  \mathbf{A}(\mathbf{A}^\Herm  \mathbf{A})^{-1}\mathbf{A}^\Herm \mathbf{D} \mathbf{X}_t \right\} \nonumber
  \\
  &= \frac{2}{\sigma} \sum_{t=1}^T \Re\left\{ \mathbf{X}_t^\Herm \mathbf{D}^\Herm  \left[ \mathbf{I} - \mathbf{A}(\mathbf{A}^\Herm \mathbf{A})^{-1}\mathbf{A}^\Herm \right] \mathbf{D} \mathbf{X}_t \right\}.
\end{align}

参考 \cite{stoicaMusicMaximumLikelihood1989} 进一步定义阵列导向矩阵的列空间的投影矩阵 $\mathcal{P}_{\mathbf{A}} = \mathbf{A}(\mathbf{A}^\Herm \mathbf{A})^{-1}\mathbf{A}^\Herm$，及其正交补空间的投影矩阵 $\mathcal{P}_{\mathbf{A}}^\perp = \mathbf{I} -\mathcal{P}_{\mathbf{A}}$，投影矩阵下的等效信息矩阵 $\mathcal{H} = \mathbf{D}^\Herm \mathcal{P}_{\mathbf{A}}^\perp \mathbf{D}$，确定信号的经验协方差 $\mathbf R_{x,\mathrm{det}} = \dfrac{1}{T} \displaystyle\sum_{t=1}^T \mathbf{x}_t \mathbf{x}_t^\Herm$，则关于角度的 \gls{efim} 可以表示为
%
\begin{align}
  \mathcal I_{\mathrm e}(\bm\theta)
  = \mathrm{CRB}^{-1}(\bm{\theta})
  = \frac{2T}{\sigma} \Re\left\{ \mathcal{H} \odot \mathbf R_{x,\mathrm{det}}^\Tran \right\}.
\end{align}
%
因此，条件（conditional）\gls{crb} 或确定（deterministic）\gls{crb} 为
%
\begin{align}
  \mathcal{B}_c
  := \mathrm{CRB}(\bm{\theta})
  = \frac{\sigma}{2T}
  \left[\Re\left\{ \mathcal{H} \odot \mathbf R_{x,\mathrm{det}}^\Tran \right\}\right]^{-1},
\end{align}
%
其中 $\odot$ 表示 Hadamard 积。

该结果是单阵列确定信号 \gls{doa} 的条件 \gls{crb} 基线。后续单阵列 \gls{doa}--Doppler 和多星 \gls{doa}--Doppler 的 \gls{crb} 推导会沿用``先构造完整 Fisher 信息，再对干扰参数做 Schur 补''的处理方式。

\subsection{确定信号 DoA--Doppler CRB}
\label{sec:det_doa_doppler_crb}
本附录对应第~\ref{sec:det_doa_doppler_est} 节的单阵列确定信号 \gls{doa}--Doppler 模型，是从纯空间 \gls{crb} 过渡到空时 \gls{crb} 的中间层。由式~\eqref{eq:vec_det_doa_doppler_recv_sig}，向量化观测满足
%
\begin{equation}
  \tilde{\mathbf y}
  =
  \mathbf B_{\mathrm{st}}(\bm\Theta,\boldsymbol\nu)\boldsymbol\zeta
  +
  \tilde{\mathbf n},
  \qquad
  \tilde{\mathbf n}\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma\mathbf I_{MT}),
\end{equation}
%
其中 $\sigma$ 为噪声方差。因此
%
\begin{equation}
  \tilde{\mathbf y}\sim\mathcal{CN}\big(\boldsymbol\mu(\boldsymbol\kappa),\sigma\mathbf I_{MT}\big),
  \qquad
  \boldsymbol\mu(\boldsymbol\kappa)
  =
  \mathbf B_{\mathrm{st}}\boldsymbol\zeta.
\end{equation}
%
本附录使用完整参数向量
%
\begin{equation}
  \boldsymbol\kappa
  =
  \begin{bmatrix}
    \sigma,
    (\boldsymbol\zeta^{(r)})^\Tran,
    (\boldsymbol\zeta^{(i)})^\Tran,
    \boldsymbol\nu^\Tran,
    \bm\theta^\Tran
  \end{bmatrix}^\Tran,
\end{equation}
%
其中 $\boldsymbol\zeta^{(r)}=\Re\{\boldsymbol\zeta\}$、$\boldsymbol\zeta^{(i)}=\Im\{\boldsymbol\zeta\}$。这里的 $\bm\theta$ 表示单阵列一维 \gls{doa} 情形下的角度向量；若使用二维 \gls{doa} 参数，可将相应导数矩阵按同样方式扩展。


\subsubsection{FIM 元素的通式}

由于协方差 $\sigma\mathbf I_{MT}$ 只依赖噪声方差，而其他参数只通过均值向量进入，因此均值参数之间的 Fisher 信息为
%
\begin{equation}
  [\mathcal I(\boldsymbol\kappa)]_{ij}
  =
  \frac{2}{\sigma}
  \Re\left\{
    \left(\frac{\partial\boldsymbol\mu}{\partial\kappa_i}\right)^\Herm
    \left(\frac{\partial\boldsymbol\mu}{\partial\kappa_j}\right)
  \right\},
\end{equation}
%
噪声方差自身的信息为
%
\begin{equation}
  [\mathcal I(\boldsymbol\kappa)]_{\sigma\sigma}
  =
  \frac{MT}{\sigma^2},
\end{equation}
%
且噪声方差与均值参数的 Fisher 交叉项为零。因此后续只需构造均值参数部分的 \gls{fim}。

\subsubsection{偏导数求取}

定义时间索引向量和对角矩阵
%
\begin{equation}
  \mathbf t
  \triangleq
  [0,1,\ldots,T-1]^\Tran,
  \qquad
  \mathbf T_d
  \triangleq
  \diag(0,1,\ldots,T-1).
\end{equation}
%
由 $[\mathbf q_k(\nu_k)]_t=s_k(t)e^{j\nu_k t}$ 可得
%
\begin{equation}
  \frac{\partial\mathbf q_k(\nu_k)}{\partial\nu_k}
  =
  j\mathbf T_d\mathbf q_k(\nu_k).
\end{equation}
%
空时导向列向量对各源自身角度 $\theta_k$ 与 Doppler $\nu_k$ 的一阶导数为
%
\begin{equation}
  \frac{\partial\mathbf b_{\mathrm{st},k}}{\partial\theta_k}
  =
  \mathbf q_k(\nu_k)\otimes\frac{\partial\mathbf a(\theta_k)}{\partial\theta_k},
  \qquad
  \frac{\partial\mathbf b_{\mathrm{st},k}}{\partial\nu_k}
  =
  \frac{\partial\mathbf q_k(\nu_k)}{\partial\nu_k}\otimes\mathbf a(\theta_k).
\end{equation}
%
进一步写成矩阵形式
%
\begin{equation}
  \mathbf B_{\mathrm{st},\theta}
  \triangleq
  \left[
    \frac{\partial\mathbf b_{\mathrm{st},1}}{\partial\theta_1},\ldots,
    \frac{\partial\mathbf b_{\mathrm{st},K}}{\partial\theta_K}
  \right]
  \in\mathbb C^{MT\times K},
\end{equation}
\begin{equation}
  \mathbf B_{\mathrm{st},\nu}
  \triangleq
  \left[
    \frac{\partial\mathbf b_{\mathrm{st},1}}{\partial\nu_1},\ldots,
    \frac{\partial\mathbf b_{\mathrm{st},K}}{\partial\nu_K}
  \right]
  \in\mathbb C^{MT\times K}.
\end{equation}
%
由此，对复增益、Doppler 和角度的一阶偏导为
%
\begin{equation}
  \mathbf J_{\boldsymbol\zeta^{(r)}}
  =
  \mathbf B_{\mathrm{st}},
  \qquad
  \mathbf J_{\boldsymbol\zeta^{(i)}}
  =
  j\mathbf B_{\mathrm{st}},
\end{equation}
\begin{equation}
  \mathbf J_{\boldsymbol\nu}
  =
  \mathbf B_{\mathrm{st},\nu}\mathbf D_{\zeta},
  \qquad
  \mathbf J_{\bm\theta}
  =
  \mathbf B_{\mathrm{st},\theta}\mathbf D_{\zeta},
\end{equation}
%
其中 $\mathbf D_\zeta=\diag(\zeta_1,\ldots,\zeta_K)$。

\subsubsection{消去复增益后的 DoA--Doppler EFIM}

令
%
\begin{equation}
  \boldsymbol\eta_{\theta\nu}
  \triangleq
  \left[\bm\theta^\Tran,\boldsymbol\nu^\Tran\right]^\Tran,
  \qquad
  \mathbf J_{\boldsymbol\eta}
  \triangleq
  \left[
    \mathbf J_{\bm\theta},
    \mathbf J_{\boldsymbol\nu}
  \right].
\end{equation}
%
完整均值参数 Jacobian 可写为
%
\begin{equation}
  \mathbf J_{\mathrm{mean}}
  =
  \left[
    \mathbf B_{\mathrm{st}},
    j\mathbf B_{\mathrm{st}},
    \mathbf J_{\boldsymbol\eta}
  \right],
  \qquad
  \mathcal I_{\mathrm{mean}}
  =
  \frac{2}{\sigma}\Re\{\mathbf J_{\mathrm{mean}}^\Herm\mathbf J_{\mathrm{mean}}\}.
\end{equation}
%
由于 $\mathbf B_{\mathrm{st}}$ 与 $j\mathbf B_{\mathrm{st}}$ 对应未知复增益的实部和虚部，消去复增益后，$\boldsymbol\eta_{\theta\nu}$ 的 \gls{efim} 为
%
\begin{equation}
  \label{eq:single_det_doa_doppler_efim_theta_nu}
  \mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\theta\nu})
  =
  \frac{2}{\sigma}\Re\left\{
  \begin{bmatrix}
    \mathbf D_\zeta^\Herm\mathbf B_{\mathrm{st},\theta}^\Herm \\
    \mathbf D_\zeta^\Herm\mathbf B_{\mathrm{st},\nu}^\Herm
  \end{bmatrix}
  \mathcal P_{\mathbf B_{\mathrm{st}}}^\perp
  \begin{bmatrix}
    \mathbf B_{\mathrm{st},\theta}\mathbf D_\zeta &
    \mathbf B_{\mathrm{st},\nu}\mathbf D_\zeta
  \end{bmatrix}
  \right\},
\end{equation}
%
其中
%
\begin{equation}
  \mathcal P_{\mathbf B_{\mathrm{st}}}^\perp
  =
  \mathbf I_{MT}
  -
  \mathbf B_{\mathrm{st}}
  (\mathbf B_{\mathrm{st}}^\Herm\mathbf B_{\mathrm{st}})^{-1}
  \mathbf B_{\mathrm{st}}^\Herm.
\end{equation}
%
将式~\eqref{eq:single_det_doa_doppler_efim_theta_nu} 分块写为
%
\begin{equation}
  \mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\theta\nu})
  =
  \begin{bmatrix}
    \mathcal I_{\theta\theta} & \mathcal I_{\theta\nu} \\
    \mathcal I_{\nu\theta} & \mathcal I_{\nu\nu}
  \end{bmatrix}.
\end{equation}

\subsubsection{仅关心 DoA 或 Doppler 时的 CRB}

若同时估计 \gls{doa} 和 Doppler，则
%
\begin{equation}
  \operatorname{CRB}(\boldsymbol\eta_{\theta\nu})
  =
  \mathcal I_{\mathrm e}^{-1}(\boldsymbol\eta_{\theta\nu}).
\end{equation}
%
若只关心 \gls{doa}，并把 Doppler 视为实值干扰参数，则应在式~\eqref{eq:single_det_doa_doppler_efim_theta_nu} 的实值 \gls{efim} 上对 $\boldsymbol\nu$ 做 Schur 补：
%
\begin{equation}
  \operatorname{CRB}(\bm\theta)
  =
  \left(
    \mathcal I_{\theta\theta}
    -
    \mathcal I_{\theta\nu}\mathcal I_{\nu\nu}^{-1}\mathcal I_{\nu\theta}
  \right)^{-1}.
  \label{eq:single_det_doa_crb_schur}
\end{equation}
%
类似地，若只关心 Doppler，并把 \gls{doa} 视为实值干扰参数，则
%
\begin{equation}
  \operatorname{CRB}(\boldsymbol\nu)
  =
  \left(
    \mathcal I_{\nu\nu}
    -
    \mathcal I_{\nu\theta}\mathcal I_{\theta\theta}^{-1}\mathcal I_{\theta\nu}
  \right)^{-1}.
\end{equation}
%
需要注意，$\boldsymbol\nu$ 是实值干扰参数，因此不能把
$\mathbf B_{\mathrm{st},\nu}\mathbf D_\zeta$ 当作具有任意复系数的未知子空间并直接写成复投影
$\mathcal P_{[\mathbf B_{\mathrm{st}},\mathbf B_{\mathrm{st},\nu}\mathbf D_\zeta]}^\perp$。
正确做法是先消去复增益，再在实值参数 \gls{efim} 中对 Doppler 做 Schur 补。
若 Doppler 已知，则 \gls{doa} 的 \gls{crb} 为 $\mathcal I_{\theta\theta}^{-1}$；若 Doppler 未知，则 \eqref{eq:single_det_doa_crb_schur} 中的 Schur 补体现了 \gls{doa}--Doppler 耦合带来的信息损失。

当 $\boldsymbol\nu$ 已知且固定为 $\mathbf0$ 时，本模型退化为带已知时间导频权重的确定信号 \gls{doa} 模型；若 $\boldsymbol\nu$ 未知，即使在真实值 $\boldsymbol\nu=\mathbf0$ 处，Doppler 仍会通过导数 $\dfrac{\partial\mathbf q_k}{\partial\nu_k}=j\mathbf T_d\mathbf q_k$ 作为干扰参数影响 \gls{doa} 的 \gls{crb}。

该单阵列空时 \gls{crb} 说明 \gls{doa} 与 Doppler 的耦合会通过 Schur 补造成信息损失。多星静态和动态 \gls{crb} 在结构上延续这一思想，但将独立的 $\nu_k$ 替换为参考星参数化下的 $\nu_{\mathrm{ref}}$，并进一步处理多星复增益、连续相位和 Doppler rate 等干扰参数。

\subsection{随机信号 DoA CRB（对照支线）}
\label{sec:sto_doa_crb}
本附录对应第~\ref{sec:det_doa_est} 节末尾第~\ref{subsec:sml_contrast} 小节的随机信号 \gls{doa} 对照支线。由\appref{subsubsec:general_gauss_crb} 可知，零均值圆对称复高斯随机过程的 \gls{crb} 可以表示为
%
\begin{equation}
  [\mathcal I(\boldsymbol\kappa)]_{ij}
  = T\Re\left\{\tr \left[
  \mathbf{R}^{-1} (\boldsymbol\kappa) \frac{\partial \mathbf{R} (\boldsymbol\kappa)}{\partial \kappa_i} \mathbf{R}^{-1} (\boldsymbol\kappa) \frac{\partial \mathbf{R} (\boldsymbol\kappa)}{\partial \kappa_j}
  \right]\right\}.
\end{equation}
%
因此可以通过类似\appref{sec:det_doa_crb} 的方式，按照第~\ref{subsec:sml_contrast} 小节中给出的随机信号建模方式，求出接收信号协方差矩阵 $\mathbf{R} = \mathbf{A} \mathbf{R}_x \mathbf{A}^\Herm + \sigma \mathbf{I}_M$ 对各个参量的一阶导数，构建 \gls{fim}。
随机信号 \gls{doa} 估计问题的参数向量可以写为
%
\begin{equation*}
  \boldsymbol\kappa = \begin{bmatrix}
    \boldsymbol\theta \\ \boldsymbol\psi
  \end{bmatrix},
  \quad
  \boldsymbol\psi = \begin{bmatrix}
    \operatorname{vech}_{\mathbb R}(\mathbf{R}_x) \\ \sigma
  \end{bmatrix},
\end{equation*}
%
其中 $\boldsymbol\theta$ 为待估 \gls{doa} 参数向量。严格地说，$\mathbf R_x=\mathbf R_x^\Herm$ 应采用非冗余实参数化；为避免引入额外记号，下文仅用 $\boldsymbol\psi$ 表示信源协方差与噪声方差组成的干扰参数集合，$\sigma$ 为噪声方差。
由 $\eqref{eq:schur_complement}$ 的 Schur 补可得 \gls{doa} 的 \gls{efim} 为
%
\begin{equation*}
  \mathcal{I}_{\mathrm e}
  = \mathcal{I}_{\theta\theta} - \mathcal{I}_{\theta\psi} \mathcal{I}_{\psi\psi}^{-1} \mathcal{I}_{\psi\theta}.
\end{equation*}
%
但是在随机信号模型中，直接计算 Fisher 块需要显式处理 $\mathbf{R}^{-1}$ 与各导数的耦合项，代数推导代价很高，因此参考 \cite{stoicaPerformanceStudyConditional1990}，通过协方差扰动子空间的结构，将干扰参数 $\boldsymbol\psi$ 所能引起的协方差扰动张成一个线性子空间，并将 $\mathbf{R}_i \triangleq \dfrac{\partial \mathbf{R} (\boldsymbol\kappa)}{\partial \kappa_i}$ 中落在该子空间内的分量投影消去，从而得到与 Schur 补等价的投影消元形式。

\subsubsection{干扰参数扰动子空间}

在随机信号模型下，接收信号协方差矩阵为
%
\begin{equation*}
  \mathbf{R} = \mathbf{A} \mathbf{R}_x \mathbf{A}^\Herm + \sigma \mathbf{I}_M.
\end{equation*}
%
目标参数为 \gls{doa} 参数 $\bm{\theta}$，但协方差矩阵不仅依赖 $\bm{\theta}$，还依赖信源协方差 $\mathbf{R}_x$ 和噪声功率 $\sigma$。
因此，当接收信号协方差发生微小变化时，这种变化可能来自 \gls{doa} 的变化、信源功率或源相关性的变化、噪声功率的变化。
\emph{为了区分这些不同来源的变化，有必要分析对于不同参数的微小扰动，会使协方差矩阵沿哪些方向发生变化。}

设参数发生一个小扰动，即
%
\begin{equation*}
  \mathbf{R}_x \to \mathbf{R}_x + \Delta \mathbf{R}_x,
  \quad
  \sigma \to \sigma + \Delta \sigma,
\end{equation*}
%
则协方差的变化为
%
\begin{equation*}
  \Delta \mathbf{R} = \mathbf{A} (\Delta\mathbf{R}_x) \mathbf{A}^\Herm + (\Delta\sigma) \mathbf{I}_M.
\end{equation*}
%
可以看出，协方差的扰动具有固定的结构，包括第一类扰动 $\mathbf{A}(\ \cdot \ )\mathbf{A}^\Herm$ 和第二类扰动 $\mathbf{I}_M$。
也即干扰参数 $(\mathbf{R}_x, \sigma)$ 只能使协方差沿某些\emph{特定方向}变化，而不可能产生任意形式的矩阵变化。

将所有由干扰参数产生的协方差扰动集合定义为
%
\begin{equation}
  \mathcal{S}_{\boldsymbol\psi}
  = \left\{ \mathbf{A} \mathbf{X} \mathbf{A}^\Herm + \mu \mathbf{I}_M \mid \mathbf{X} = \mathbf{X}^\Herm, \mu \in \mathbb{R} \right\}
  \subseteq \mathrm{span}_{\mathbb R} \left\{ \mathbf{a}_i \mathbf{a}_j^\Herm,\; j\le i,\; \mathbf I_M \right\},
  \label{eq:single_sml_perturbation_set}
\end{equation}
%
这个集合包含了所有可能由信源协方差和噪声功率变化引起的接收信号协方差变化。由于 $\Delta\mathbf R_x$ 必须保持 Hermitian，\eqref{eq:single_sml_perturbation_set} 中的张成应理解为 Hermitian 矩阵集合上的实线性张成，本文称该集合为\emph{干扰参数扰动子空间}。
它描述了协方差矩阵由于干扰参数变化所能移动的所有方向。

Schur 补 $\mathcal{I}_{\mathrm e}
= \mathcal{I}_{\theta\theta} - \mathcal{I}_{\theta\psi} \mathcal{I}_{\psi\psi}^{-1} \mathcal{I}_{\psi\theta}$ 的本质是从 $\mathcal{I}_{\theta\theta}$ 中剔除可以被干扰参数``解释''的变化部分，从而获得关于 \gls{doa} 的独立信息。
因此 Schur 补在几何上等价于将 $\mathbf{R}_{\theta_i}$ 在扰动子空间 $\mathcal{S}_{\boldsymbol\psi}$ 上的分量消除，只保留与该子空间正交的部分。

\subsubsection{Fisher 块构建}

考虑等式
%
\begin{equation*}
  \tr (\mathbf{X}^\Herm \mathbf{Y}) = \vect  (\mathbf{X})^\Herm \vect  (\mathbf{Y}),
\end{equation*}
%
\begin{equation*}
  \tr (\mathbf{R}^{-1} \mathbf{X} \mathbf{R}^{-1} \mathbf{Y})
  = \vect  (\mathbf{X})^\Herm (\mathbf{R}^{-\Tran} \otimes \mathbf{R}^{-1}) \vect  (\mathbf{Y})
  = \vect  (\mathbf{X})^\Herm \mathbf{W} \vect  (\mathbf{Y}),
\end{equation*}
%
其中 $\otimes$ 表示 Kronecker 积，$\mathbf{W} \triangleq \mathbf{R}^{-\Tran} \otimes \mathbf{R}^{-1}$。由于这里所有参数均为实参数，且各协方差导数为 Hermitian，迹项理论上为实数；下文显式保留 $\Re\{\cdot\}$ 以避免复数数值舍入误差。则考虑 $T$ 个快拍时，Fisher 信息
%
\begin{align}
  [\mathcal{I}]_{ij}
  &= T\Re\left\{\tr (\mathbf{R}^{-1} \mathbf{R}_i \mathbf{R}^{-1} \mathbf{R}_j)\right\}
  \nonumber \\
  &= T\Re\left\{\vect  (\mathbf{R}_i)^\Herm (\mathbf{R}^{-\Tran} \otimes \mathbf{R}^{-1}) \vect (\mathbf{R}_j)\right\}
  = T\Re\left\{\vect  (\mathbf{R}_i)^\Herm \mathbf{W} \vect (\mathbf{R}_j)\right\}.
\end{align}

定义 $\mathbf{G}_{\bm{\theta}} \triangleq [\vect (\mathbf{R}_{\theta_1}), \ldots, \vect (\mathbf{R}_{\theta_K})]$，$\mathbf{G}_{\boldsymbol\psi} \triangleq [\vect (\mathbf{R}_{\psi_1}), \ldots, \vect (\mathbf{R}_{\psi_q})]$，则 \gls{fim} 的各项可以写为
%
\begin{subequations}
\begin{equation}
  [\mathcal{I}_{\theta\theta}]_{ij}
  = T\Re\left\{\tr (\mathbf{R}^{-1} \mathbf{R}_{\theta_i} \mathbf{R}^{-1} \mathbf{R}_{\theta_j})\right\}
  = T\Re\left\{\vect  (\mathbf{R}_{\theta_i})^\Herm \mathbf{W} \vect  (\mathbf{R}_{\theta_j})\right\},
\end{equation}
%
\begin{equation}
  [\mathcal{I}_{\theta\psi}]_{ij}
  = T\Re\left\{\tr (\mathbf{R}^{-1} \mathbf{R}_{\theta_i} \mathbf{R}^{-1} \mathbf{R}_{\psi_j})\right\}
  = T\Re\left\{\vect  (\mathbf{R}_{\theta_i})^\Herm \mathbf{W} \vect  (\mathbf{R}_{\psi_j})\right\},
\end{equation}
%
\begin{equation}
  [\mathcal{I}_{\psi\psi}]_{ij}
  = T\Re\left\{\tr (\mathbf{R}^{-1} \mathbf{R}_{\psi_i} \mathbf{R}^{-1} \mathbf{R}_{\psi_j})\right\}
  = T\Re\left\{\vect  (\mathbf{R}_{\psi_i})^\Herm \mathbf{W} \vect  (\mathbf{R}_{\psi_j})\right\},
\end{equation}
\end{subequations}
%
写成矩阵形式，有
%
\begin{subequations}
\begin{equation}
  \mathcal{I}_{\theta\theta} = T\Re\left\{\mathbf{G}_{\bm{\theta}}^\Herm \mathbf{W} \mathbf{G}_{\bm{\theta}}\right\},
\end{equation}
%
\begin{equation}
  \mathcal{I}_{\theta\psi} = T\Re\left\{\mathbf{G}_{\bm{\theta}}^\Herm \mathbf{W} \mathbf{G}_{\boldsymbol\psi}\right\},
\end{equation}
%
\begin{equation}
  \mathcal{I}_{\psi\psi} = T\Re\left\{\mathbf{G}_{\boldsymbol\psi}^\Herm \mathbf{W} \mathbf{G}_{\boldsymbol\psi}\right\},
\end{equation}
\end{subequations}
%
代入 Schur 补，有
%
\begin{equation}
  \mathcal{I}_{\mathrm e}
  = \mathcal{I}_{\theta\theta} - \mathcal{I}_{\theta\psi} \mathcal{I}_{\psi\psi}^{-1} \mathcal{I}_{\psi\theta}
  = T \mathbf{G}_{\bm{\theta}}^\Herm \mathbf{W} \left( \mathbf{I} - \mathcal{P}^{(\mathbf{W})}_{\boldsymbol\psi} \right) \mathbf{G}_{\bm{\theta}},
\end{equation}
%
其中 $\mathcal{P}^{(\mathbf{W})}_{\boldsymbol\psi} \triangleq \mathbf{G}_{\boldsymbol\psi} (\mathbf{G}_{\boldsymbol\psi}^\Herm \mathbf{W} \mathbf{G}_{\boldsymbol\psi})^{-1} \mathbf{G}_{\boldsymbol\psi}^\Herm \mathbf{W}$ 是干扰空间的 $\mathbf{W}$ 加权投影矩阵。

\subsubsection{\texorpdfstring{\gls{efim} 求取}{EFIM 求取}}

下面先给出每个信源对应一个标量角参数 $\theta_k$ 的标准 stochastic \gls{crb} 形式。若某个信源使用二维或更高维方向参数，只需将下文的单索引 $k$ 扩展为参数索引 $(k,r)$，并把 $\mathbf d_k$ 替换为 $\dfrac{\partial\mathbf a(\bm\theta_k)}{\partial[\bm\theta_k]_r}$；\gls{fim}的元素级表达保持相同。

接收信号协方差矩阵对角度的一阶偏导为
%
\begin{equation*}
  \mathbf{R}_{\theta_k}
  \triangleq \frac{\partial\mathbf{R}}{\partial\theta_k}
  = \frac{\diff \mathbf{A}}{\diff \theta_k} \mathbf{R}_x \mathbf{A}^\Herm + \mathbf{A} \mathbf{R}_x \left( \frac{\diff \mathbf{A}}{\diff \theta_k} \right)^\Herm.
\end{equation*}
%
令 $\mathbf{d}_k := \mathbf{d}(\theta_k) \triangleq \dfrac{\diff}{\diff\theta_k} \mathbf{a} (\theta_k) \in \mathbb{C}^{M\times 1}$，$\mathbf{d}_k^\Herm \triangleq \dfrac{\diff}{\diff\theta_k} \mathbf{a}^\Herm (\theta_k)$，$\mathbf{R}_x = [\mathbf r_{x,1}, \ldots, \mathbf r_{x,K}]$，则
%
\begin{equation}
  \label{eq:par_recv_cov_angle}
  \mathbf{R}_{\theta_k}
  = \mathbf{d}_k \mathbf r_{x,k}^\Herm \mathbf{A}^\Herm + \mathbf{A} \mathbf r_{x,k} \mathbf{d}_k^\Herm.
\end{equation}

令阵列流形矩阵的列向量（也即导向矢量）张成的信号子空间为 $\mathrm{span}(\mathbf{A})$，则其投影矩阵和其正交补空间的投影矩阵分别为
%
\begin{equation*}
  \mathcal{P}_\mathbf{A} = \mathbf{A} \left( \mathbf{A}^\Herm \mathbf{A} \right)^{-1} \mathbf{A}^\Herm,
  \quad
  \mathcal{P}_\mathbf{A}^\perp = \mathbf{I} - \mathbf{A} \left( \mathbf{A}^\Herm \mathbf{A} \right)^{-1} \mathbf{A}^\Herm,
\end{equation*}
%
则 $\mathbf{d}_k$ 可以正交投影分解为
%
\begin{equation}
  \label{eq:steering_vec_diff_orth_decompose}
  \mathbf{d}_k
  = \mathcal{P}_\mathbf{A} \mathbf{d}_k + \mathcal{P}_\mathbf{A}^\perp \mathbf{d}_k
  = \mathbf{A} \mathbf c_k + \mathbf{d}_k^\perp,
\end{equation}
%
其中 $\mathbf c_k \triangleq \left( \mathbf{A}^\Herm \mathbf{A} \right)^{-1} \mathbf{A}^\Herm \mathbf{d}_k$，$\mathbf{d}_k^\perp = \mathcal{P}_\mathbf{A}^\perp \mathbf{d}_k$。

将 $\eqref{eq:steering_vec_diff_orth_decompose}$ 代入 $\eqref{eq:par_recv_cov_angle}$，有
%
\begin{equation}
  \mathbf{R}_{\theta_k}
  = \underset{\in \mathrm{span}\{ \mathbf{A}(\ \cdot \ )\mathbf{A}^\Herm \} \subset \mathcal{S}_{\boldsymbol\psi}}{\underbrace{\mathbf{A} \left( \mathbf c_k \mathbf r_{x,k}^\Herm + \mathbf r_{x,k} \mathbf c_k^\Herm \right) \mathbf{A}^\Herm}}
  +
  \underset{\triangleq \mathbf{R}_{\theta_k}^{\mathrm{eff}}}{\underbrace{\mathbf{d}_k^\perp \mathbf r_{x,k}^\Herm \mathbf{A}^\Herm + \mathbf{A} \mathbf r_{x,k} \left( \mathbf{d}_k^\perp \right)^\Herm}},
\end{equation}
%
第一项位于干扰参数扰动子空间 $\mathcal{S}_{\boldsymbol\psi}$ 中，会被加权投影意义下的 $\mathcal P_{\boldsymbol\psi}^{(\mathbf W),\perp}$ 消去，也即
%
\begin{equation}
  \mathcal P_{\boldsymbol\psi}^{(\mathbf W),\perp} \vect  (\mathbf{R}_{\theta_k})
  = \vect  \left( \mathbf{R}_{\theta_k}^{\mathrm{eff}} \right),
\end{equation}
%
因此，\gls{efim} 可以写作
%
\begin{equation}
  \label{eq:sto_doa_eff_fisher_info}
  [\mathcal{I}_{\mathrm e}]_{ij}
  = T\Re\left\{\left[\vect  \left( \mathbf{R}_{\theta_i}^{\mathrm{eff}} \right) \right]^\Herm \mathbf{W} \vect  \left( \mathbf{R}_{\theta_j}^{\mathrm{eff}} \right)\right\}
  = T\Re\left\{\tr \left( \mathbf{R}^{-1} \mathbf{R}_{\theta_i}^{\mathrm{eff}} \mathbf{R}^{-1} \mathbf{R}_{\theta_j}^{\mathrm{eff}} \right)\right\}.
\end{equation}
%
令 $\mathbf{R}_k^{(1)} = \mathbf{d}_k^\perp \mathbf r_{x,k}^\Herm \mathbf{A}^\Herm$，$\mathbf{R}_k^{(2)} = \mathbf{A} \mathbf r_{x,k} \left( \mathbf{d}_k^\perp \right)^\Herm$，则
%
\begin{equation}
  \mathbf{R}_{\theta_k}^{\mathrm{eff}} = \mathbf{R}_k^{(1)} + \mathbf{R}_k^{(2)}.
\end{equation}
%
按此形式对 $\eqref{eq:sto_doa_eff_fisher_info}$ 进行展开，有
%
\begin{align}
  [\mathcal{I}_{\mathrm e}]_{ij}
  =& T \tr \left( \mathbf{R}^{-1} \mathbf{R}_{\theta_i}^{\mathrm{eff}} \mathbf{R}^{-1} \mathbf{R}_{\theta_j}^{\mathrm{eff}} \right)
  = T \tr \left( \mathbf{R}^{-1} \left( \mathbf{R}_i^{(1)} + \mathbf{R}_i^{(2)} \right) \mathbf{R}^{-1} \left( \mathbf{R}_j^{(1)} + \mathbf{R}_j^{(2)} \right) \right)
  \nonumber \\
  =& \underset{\triangleq T_{11}}{\underbrace{T \tr \left( \mathbf{R}^{-1} \mathbf{R}_i^{(1)} \mathbf{R}^{-1} \mathbf{R}_j^{(1)} \right)}}
  + \underset{\triangleq T_{12}}{\underbrace{T \tr \left( \mathbf{R}^{-1} \mathbf{R}_i^{(1)} \mathbf{R}^{-1} \mathbf{R}_j^{(2)} \right)}}
  + \underset{\triangleq T_{21}}{\underbrace{T \tr \left( \mathbf{R}^{-1} \mathbf{R}_i^{(2)} \mathbf{R}^{-1} \mathbf{R}_j^{(1)} \right)}}
  \nonumber \\
  &+ \underset{\triangleq T_{22}}{\underbrace{T \tr \left( \mathbf{R}^{-1} \mathbf{R}_i^{(2)} \mathbf{R}^{-1} \mathbf{R}_j^{(2)} \right)}}
\end{align}

由 Woodbury 公式 $(\mathbf{A} + \mathbf{UBV})^{-1} = \mathbf{A}^{-1} - \mathbf{A}^{-1} \mathbf{U} \left( \mathbf{B}^{-1} + \mathbf{VA}^{-1} \mathbf{U} \right)^{-1} \mathbf{VA}^{-1}$，接收信号协方差矩阵 $\mathbf{R} = \mathbf{A} \mathbf{R}_x \mathbf{A}^\Herm + \sigma \mathbf{I}_M$ 的逆可以写为
%
\begin{equation}
  \mathbf{R}^{-1} = \frac{1}{\sigma} \mathbf{I}_M - \frac{1}{\sigma^2} \mathbf{A} \left( \mathbf{R}_x^{-1} + \frac{1}{\sigma} \mathbf{A}^\Herm \mathbf{A} \right)^{-1} \mathbf{A}^\Herm.
\end{equation}
%
由于 $\mathbf{A}^\Herm \mathcal{P}_\mathbf{A}^\perp = 0$，$\mathcal{P}_\mathbf{A}^\perp \mathbf{A} = 0$，因此
%
\begin{equation}
  \mathbf{A}^\Herm \mathbf{R}^{-1} \mathcal{P}_\mathbf{A}^\perp = 0,
  \quad
  \mathcal{P}_\mathbf{A}^\perp \mathbf{R}^{-1} \mathbf{A} = 0.
\end{equation}
%
接下来计算 $[\mathcal{I}_{\mathrm e}]_{ij}$ 的各分量。令 $\mathbf{U} = \mathbf{R}_x \mathbf{A}^\Herm \mathbf{R}^{-1} \mathbf{A}\mathbf{R}_x$，则
%
\begin{subequations}
\begin{align}
  T_{11}
  &= T \tr \left( \mathbf{R}^{-1} \mathbf{R}_i^{(1)} \mathbf{R}^{-1} \mathbf{R}_j^{(1)} \right)
  = T \tr \left( \mathbf{R}^{-1} \left( \mathbf{d}_i^\perp \mathbf r_{x,i}^\Herm \mathbf{A}^\Herm \right) \mathbf{R}^{-1} \left( \mathbf{d}_j^\perp \mathbf r_{x,j}^\Herm \mathbf{A}^\Herm \right) \right)
  \nonumber \\
  &= T \tr \left( \mathbf r_{x,j}^\Herm \mathbf{A}^\Herm \mathbf{R}^{-1} \mathbf{d}_i^\perp \mathbf r_{x,i}^\Herm \mathbf{A}^\Herm \mathbf{R}^{-1} \mathbf{d}_j^\perp \right)
  = T \tr \left( \mathbf r_{x,j}^\Herm \mathbf{A}^\Herm \mathbf{R}^{-1} \mathcal{P}_\mathbf{A}^\perp \mathbf{d}_i \mathbf r_{x,i}^\Herm \mathbf{A}^\Herm \mathbf{R}^{-1} \mathcal{P}_\mathbf{A}^\perp \mathbf{d}_j \right) = 0,
  \\
  T_{12}
  &= T \tr \left( \mathbf{R}^{-1} \mathbf{R}_i^{(1)} \mathbf{R}^{-1} \mathbf{R}_j^{(2)} \right)
  = T \tr \left( \mathbf{R}^{-1} \left( \mathbf{d}_i^\perp \mathbf r_{x,i}^\Herm \mathbf{A}^\Herm \right) \mathbf{R}^{-1} \left( \mathbf{A} \mathbf r_{x,j} \left( \mathbf{d}_j^\perp \right)^\Herm \right) \right)
  \nonumber \\
  &= T \left( \left( \mathbf{d}_j^\perp \right)^\Herm \mathbf{R}^{-1} \mathbf{d}_i^\perp \mathbf r_{x,i}^\Herm \mathbf{A}^\Herm \mathbf{R}^{-1} \mathbf{A} \mathbf r_{x,j} \right)
  = T \left( \mathbf{d}_j^\perp \right)^\Herm \mathbf{R}^{-1} \mathbf{d}_i^\perp [\mathbf{U}]_{ij},
  \\
  T_{21}
  &= T \tr \left( \mathbf{R}^{-1} \mathbf{R}_i^{(2)} \mathbf{R}^{-1} \mathbf{R}_j^{(1)} \right)
  = T \left( \mathbf{d}_i^\perp \right)^\Herm \mathbf{R}^{-1} \mathbf{d}_j^\perp [\mathbf{U}]_{ji},
  \\
  T_{22}
  &= T \tr \left( \mathbf{R}^{-1} \mathbf{R}_i^{(2)} \mathbf{R}^{-1} \mathbf{R}_j^{(2)} \right)
  = 0,
\end{align}
\end{subequations}
%
因此，\gls{efim} 可以进一步写作
%
\begin{align}
  [\mathcal{I}_{\mathrm e}]_{ij}
  &= T_{11} + T_{12} + T_{21} + T_{22}
  = 2 T \Re \left\{ \left( \mathbf{d}_i^\perp \right)^\Herm \mathbf{R}^{-1} \mathbf{d}_j^\perp [\mathbf{U}]_{ji} \right\}
  \nonumber \\
  &= 2 T \Re \left\{ \left( \mathcal{P}_\mathbf{A}^\perp \mathbf{d}_i \right)^\Herm \mathbf{R}^{-1} \mathcal{P}_\mathbf{A}^\perp \mathbf{d}_j [\mathbf{U}]_{ji} \right\}
  = \frac{2 T}{\sigma} \Re \left\{ \mathbf{d}_i^\Herm \mathcal{P}_\mathbf{A}^\perp \mathbf{d}_j [\mathbf{U}]_{ji} \right\}.
\end{align}
%
令 $\mathcal{H} = \mathbf{D}^\Herm \mathcal{P}_\mathbf{A}^\perp \mathbf{D}$，$\mathbf{D} = [\mathbf{d}_1, \ldots, \mathbf{d}_K]$，则
%
\begin{equation}
  [\mathcal{I}_{\mathrm e}]_{ij} = \frac{2T}{\sigma} \Re \left\{ [\mathcal{H}]_{ij} [\mathbf{U}]_{ji} \right\},
\end{equation}
%
用矩阵形式表示为
%
\begin{equation}
  \mathcal{I}_{\mathrm e} = \frac{2T}{\sigma} \Re \left\{ \mathcal{H} \odot \mathbf{U}^\Tran \right\}.
\end{equation}
%
其中 $\odot$ 表示 Hadamard 积。因此，无条件（unconditional）\gls{crb} 或随机（stochastic）\gls{crb} 可以表示为
%
\begin{align}
  \mathcal{B}_u := \mathcal{I}_{\mathrm e}^{-1} = \frac{\sigma}{2T} \left(\Re \left\{ \mathcal{H} \odot \mathbf{U}^\Tran \right\}\right)^{-1}.
\end{align}
%

该随机信号 \gls{crb} 与\appref{sec:det_doa_crb} 的确定信号 \gls{crb} 共同给出单阵列 \gls{doa} 的两类性能基线。多星主线后续采用确定信号/导频化模型，因此其 \gls{crb} 推导更接近\appref{sec:det_doa_crb} 和\appref{sec:det_doa_doppler_crb} 的处理方式。