\section{多星动态多帧连续相位 DoA--Doppler 估计问题模型}
\label{sec:dynamicDoaDopplerEst}

\subsection{离散时间统一符号与参考星参数化}

本节在第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst} 节静态多星模型的基础上引入多帧索引、Doppler rate 和跨帧连续相位结构。主估计目标仍为
\begin{equation}
  \boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}
  =
  \boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}}
  =
  \begin{bmatrix}
    \boldsymbol\xi\\
    \nu_{\mathrm{ref}}
  \end{bmatrix},
\end{equation}
而参考卫星链路上的归一化 Doppler rate $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 作为干扰参数处理。因此，动态模型并不改变主参数域，而是通过多帧相位结构增加可利用信息。

设共有 $L$ 颗协作卫星，卫星索引为 $\ell=0,1,\ldots,L-1$。观测窗口包含 $P$ 帧数据，帧索引为
\begin{equation}
  p=0,1,\ldots,P-1.
\end{equation}
第 $p$ 帧内的离散采样点索引为
\begin{equation}
  t=0,1,\ldots,T-1,
\end{equation}
其中 $T$ 为单帧采样点数。设第 $p$ 帧起始点相对于参考时刻的离散采样偏移为 $\tau_p$，并约定 $\tau_0=0$。为统一表示跨帧连续相位，定义第 $p$ 帧第 $t$ 个采样对应的全局离散时间索引为
\begin{equation}
  t_{p,t}\triangleq \tau_p+t,
  \qquad
  p=0,\ldots,P-1,\;t=0,\ldots,T-1.
\end{equation}
括号中的 $t$ 始终表示帧内局部采样索引，而 $t_{p,t}$ 表示对应的全局离散时间位置。

沿用第~\ref{subsec:globalLocalDoaMap} 小节的全局/局部 DoA 映射，第 $\ell$ 颗卫星的阵列导向矢量统一写为 $\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi)$。由于本文关注短观测窗口，后续将该导向矢量视为在整个窗口内保持不变。

参考卫星链路上的归一化 Doppler 与归一化 Doppler rate 分别定义为
\begin{equation}
  \nu_{\mathrm{ref}}\triangleq \nu_{\ell_{\mathrm{ref}}},
  \qquad
  \dot\nu_{\mathrm{ref}}\triangleq \dot\nu_{\ell_{\mathrm{ref}}}.
\end{equation}
基于多星几何关系，本文不把每颗卫星的 $(\nu_\ell,\dot\nu_\ell)$ 都作为独立待估参数，而是统一采用
\begin{equation}
  \nu_\ell
  =
  f_{\nu,\ell}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}}),
  \qquad
  \dot\nu_\ell
  =
  f_{\dot\nu,\ell}(\boldsymbol\xi,\dot\nu_{\mathrm{ref}}),
  \qquad
  \ell=0,\ldots,L-1,
\end{equation}
其中
\begin{equation}
  f_{\nu,\ell_{\mathrm{ref}}}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})=\nu_{\mathrm{ref}},
  \qquad
  f_{\dot\nu,\ell_{\mathrm{ref}}}(\boldsymbol\xi,\dot\nu_{\mathrm{ref}})=\dot\nu_{\mathrm{ref}}.
\end{equation}
等价地，也可写为
\begin{equation}
  \nu_\ell
  =
  \nu_{\mathrm{ref}}+\Delta\nu_\ell(\boldsymbol\xi),
  \qquad
  \dot\nu_\ell
  =
  \dot\nu_{\mathrm{ref}}+\Delta\dot\nu_\ell(\boldsymbol\xi),
\end{equation}
其中 $\Delta\nu_\ell(\boldsymbol\xi)$ 和 $\Delta\dot\nu_\ell(\boldsymbol\xi)$ 由已知几何状态计算得到。

\subsection{连续相位多帧离散信号模型}
\label{subsec:dynamicCpModel}

在短观测窗口下，本文采用如下动态近似：
\begin{enumerate}
  \item DoA 在整个观测窗口内近似保持不变，因此第 $\ell$ 颗卫星的导向矢量记为 $\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi)$；
  \item 第 $\ell$ 条链路在观测窗口内的归一化相位采用二次相位模型；
  \item 主参数为 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}=[\boldsymbol\xi^\Tran,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$，而 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 作为干扰参数处理；
  \item 各星链路参数 $(\nu_\ell,\dot\nu_\ell)$ 通过几何关系由 $(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}},\dot\nu_{\mathrm{ref}})$ 诱导得到。
\end{enumerate}

于是，第 $\ell$ 颗卫星在第 $p$ 帧第 $t$ 个采样点的归一化连续相位可写为
\begin{equation}
  \phi^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}(t)
  =
  \nu_\ell t_{p,t}
  +
  \frac{1}{2}\dot\nu_\ell t_{p,t}^2,
  \qquad
  t_{p,t}=\tau_p+t.
\end{equation}
若第 $p$ 帧所用已知训练序列记为 $s_p(t)$，并定义结构化连续相位复增益
\begin{equation}
  \zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}
  \triangleq
  \rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}e^{j\chi_\ell},
  \qquad
  \rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}\in\mathbb R_{\ge0},
\end{equation}
则连续相位模型下的接收向量为
\begin{equation}
  \mathbf y^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}(t)
  =
  \zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}
  \mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi)
  s_p(t)
  \exp\left\{
    j\left[
      \nu_\ell t_{p,t}
      +
      \frac{1}{2}\dot\nu_\ell t_{p,t}^2
    \right]
  \right\}
  +
  \mathbf n_{\ell,p}(t),
\end{equation}
其中 $\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}$ 只是结构化复增益的简写，并不作为自由复参数独立估计；其自由度由非负实幅度 $\rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}$ 和同星共享相位 $\chi_\ell$ 给出。$\chi_\ell$ 为第 $\ell$ 颗卫星在参考时刻的公共相位，因此同一颗卫星在不同帧之间共享该相位。噪声满足 $\mathbf n_{\ell,p}(t)\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma_{n,\ell}^2\mathbf I_{M_\ell})$。不同卫星的噪声方差允许不同，但对同一颗卫星，在短观测窗口内各帧各采样点共享同一个噪声方差 $\sigma_{n,\ell}^2$。

将单帧数据按时间堆叠，定义
\begin{equation}
  \mathbf q^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}},\dot\nu_{\mathrm{ref}})
  \triangleq
  \begin{bmatrix}
    s_p(0)e^{j\phi^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}(0)} \\
    s_p(1)e^{j\phi^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}(1)} \\
    \vdots \\
    s_p(T-1)e^{j\phi^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}(T-1)}
  \end{bmatrix}
  \in\mathbb C^{T\times 1}.
\end{equation}
则第 $\ell$ 颗卫星在第 $p$ 帧的矩阵观测可写为
\begin{equation}
  \mathbf Y^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}
  =
  \zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}
  \mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi)
  \big(\mathbf q^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}},\dot\nu_{\mathrm{ref}})\big)^\Tran
  +
  \mathbf N_{\ell,p},
\end{equation}
其中 $\mathbf Y^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}\in\mathbb C^{M_\ell\times T}$，$\mathbf N_{\ell,p}\in\mathbb C^{M_\ell\times T}$ 的各列独立满足 $\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma_{n,\ell}^2\mathbf I_{M_\ell})$。进一步向量化，定义
\begin{equation}
  \tilde{\mathbf y}^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}
  \triangleq
  \vect(\mathbf Y^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}),
  \qquad
  \tilde{\mathbf n}_{\ell,p}
  \triangleq
  \vect(\mathbf N_{\ell,p}),
\end{equation}
则有
\begin{equation}
  \tilde{\mathbf y}^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}
  =
  \zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}
  \mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}},\dot\nu_{\mathrm{ref}})
  +
  \tilde{\mathbf n}_{\ell,p},
\end{equation}
其中
\begin{equation}
  \mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}},\dot\nu_{\mathrm{ref}})
  \triangleq
  \mathbf q^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}},\dot\nu_{\mathrm{ref}})
  \otimes
  \mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi).
\end{equation}
该模型的关键在于：相位项通过 $t_{p,t}=\tau_p+t$ 显式保留了跨帧绝对时间信息，因此多帧处理带来的增益不仅来自能量叠加，也来自跨帧连续相位轨迹的一致性。

\subsection{独立相位基线模型}
\label{subsec:independentPhaseModel}

为量化跨帧绝对相位连续性带来的收益，本小节引入独立相位基线模型。该模型保留每帧内部的相干结构，但允许不同帧具有独立未知相位，因此不再利用连续相位模型中的同星跨帧公共相位 $\chi_\ell$。

将连续相位模型中的相位项展开，可得
\begin{equation}
  \nu_\ell t_{p,t}+\frac{1}{2}\dot\nu_\ell t_{p,t}^2
  =
  \underbrace{\nu_\ell\tau_p+\frac{1}{2}\dot\nu_\ell\tau_p^2}_{\text{帧间常相位项}}
  +
  \underbrace{(\nu_\ell+\dot\nu_\ell\tau_p)t+\frac{1}{2}\dot\nu_\ell t^2}_{\text{帧内局部相位演化}}.
\end{equation}
若允许每一帧具有独立未知相位，则上述帧间常相位项可被每帧相位吸收。定义第 $\ell$ 颗卫星在第 $p$ 帧的局部归一化 Doppler 为
\begin{equation}
  \bar\nu_{\ell,p}
  \triangleq
  \nu_\ell+\dot\nu_\ell\tau_p.
\end{equation}
令 $\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}\in\mathbb C$ 表示第 $(\ell,p)$ 个观测块的自由复增益，其相位吸收了帧间常相位项。于是独立相位模型可写为
\begin{equation}
  \mathbf y^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}(t)
  =
  \zeta_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}
  \mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi)
  s_p(t)
  \exp\left\{
    j\left[
      \bar\nu_{\ell,p}t+\frac{1}{2}\dot\nu_\ell t^2
    \right]
  \right\}
  +
  \mathbf n_{\ell,p}(t).
\end{equation}
其中 $\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}$ 是每个观测块的自由复干扰系数。若需要显式写出其实参数形式，可令 $\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}=\rho_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}e^{j\vartheta_{\ell,p}}$，其中 $\rho_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}\in\mathbb R_{\ge0}$，$\vartheta_{\ell,p}$ 为块独立相位。对应该模型的时间模板记为
\begin{equation}
  \mathbf q^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}},\dot\nu_{\mathrm{ref}})
  \triangleq
  \begin{bmatrix}
    s_p(0)e^{j\phi^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}(0)} \\
    s_p(1)e^{j\phi^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}(1)} \\
    \vdots \\
    s_p(T-1)e^{j\phi^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}(T-1)}
  \end{bmatrix},
\end{equation}
其中
\begin{equation}
  \phi^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}(t)
  \triangleq
  \bar\nu_{\ell,p}t+\frac{1}{2}\dot\nu_\ell t^2.
\end{equation}
并定义独立相位模型的空时模板
\begin{equation}
  \mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}},\dot\nu_{\mathrm{ref}})
  \triangleq
  \mathbf q^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}},\dot\nu_{\mathrm{ref}})
  \otimes
  \mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi).
\end{equation}
相应的向量化模型为
\begin{equation}
  \tilde{\mathbf y}^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}
  =
  \zeta_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}
  \mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}},\dot\nu_{\mathrm{ref}})
  +
  \tilde{\mathbf n}_{\ell,p}.
\end{equation}

\subsection{连续相位模型下的结构化最大似然估计}

本小节直接沿用第~\ref{subsec:dynamicCpModel} 小节的连续相位观测模型。其中 $\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}\triangleq\rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}e^{j\chi_\ell}$ 只是结构化复增益的简写；在 structured CP 模型中，$\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}$ 不作为自由复参数估计，其自由度由非负实幅度 $\rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}$ 与同星共享相位 $\chi_\ell$ 给出。

根据第~\ref{subsec:refSatParameterization} 小节的参数分工，定义连续相位模型的干扰参数向量为
\begin{equation}
  \boldsymbol\psi_{\mathrm{cp}}
  =
  \Big[
    \dot\nu_{\mathrm{ref}},
    \{\chi_\ell\}_{\ell=0}^{L-1},
    \{\rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}:\ell=0,\ldots,L-1,\ p=0,\ldots,P-1\},
    \{\sigma_{n,\ell}^2\}_{\ell=0}^{L-1}
  \Big]^\Tran.
\end{equation}
于是结构化连续相位模型对应的最大似然估计问题为
\begin{equation}
  (\widehat{\boldsymbol\eta}_{\mathrm{dyn}},\widehat{\boldsymbol\psi}_{\mathrm{cp}})
  =
  \arg\max_{\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}},\boldsymbol\psi_{\mathrm{cp}}}
  p\left(\{\mathbf Y^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}\}_{\ell,p};\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}},\boldsymbol\psi_{\mathrm{cp}}\right).
\end{equation}

在 ``不同卫星噪声方差不同，但同一卫星短窗内方差不变'' 的假设下，去掉与参数无关的常数项后，联合负对数似然函数可写为
\begin{equation}
  \mathcal L_{\mathrm{cp}}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}},\boldsymbol\psi_{\mathrm{cp}})
  =
  \sum_{\ell=0}^{L-1}M_\ell PT\log\sigma_{n,\ell}^2
  +
  \sum_{\ell=0}^{L-1}\frac{1}{\sigma_{n,\ell}^2}
  \sum_{p=0}^{P-1}
  \left\|
    \mathbf Y^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}
    -
    \rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}e^{j\chi_\ell}
    \mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi)
    \big(\mathbf q^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}},\dot\nu_{\mathrm{ref}})\big)^\Tran
  \right\|_{\mathrm{F}}^2.
\end{equation}

\subsubsection{对卫星噪声方差的轮廓化处理}

对固定的其余参数，第 $\ell$ 颗卫星噪声方差 $\sigma_{n,\ell}^2$ 的极大似然估计为
\begin{equation}
  \hat\sigma_{n,\ell}^2
  =
  \frac{1}{M_\ell PT}
  \sum_{p=0}^{P-1}
  \left\|
    \mathbf Y^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}
    -
    \rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}e^{j\chi_\ell}
    \mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi)
    \big(\mathbf q^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}},\dot\nu_{\mathrm{ref}})\big)^\Tran
  \right\|_{\mathrm{F}}^2.
\end{equation}
将其代回后，可得到对 $\{\sigma_{n,\ell}^2\}$ 轮廓化后的负对数似然：
\begin{equation}
  \mathcal L_{\mathrm{cp}}^{\mathrm{pro}}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}},\dot\nu_{\mathrm{ref}},\{\chi_\ell\},\{\rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}\})
  =
  \sum_{\ell=0}^{L-1}M_\ell PT
  \log \mathcal R^{\mathrm{cp}}_\ell(\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}},\dot\nu_{\mathrm{ref}},\chi_\ell,\{\rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}\}_{p=0}^{P-1}),
\end{equation}
其中
\begin{equation}
  \mathcal R^{\mathrm{cp}}_\ell(\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}},\dot\nu_{\mathrm{ref}},\chi_\ell,\{\rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}\}_{p=0}^{P-1})
  \triangleq
  \sum_{p=0}^{P-1}
  \left\|
    \mathbf Y^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}
    -
    \rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}e^{j\chi_\ell}
    \mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi)
    \big(\mathbf q^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}},\dot\nu_{\mathrm{ref}})\big)^\Tran
  \right\|_{\mathrm{F}}^2.
\end{equation}
因此，在异方差条件下，连续相位结构化 MLE 可等价写为
\begin{equation}
  (\widehat{\boldsymbol\eta}_{\mathrm{dyn}},\widehat{\dot\nu}_{\mathrm{ref}},\{\hat\chi_\ell\},\{\hat\rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}\})
  =
  \arg\min_{\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}},\dot\nu_{\mathrm{ref}},\{\chi_\ell\},\{\rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}\}}
  \sum_{\ell=0}^{L-1}M_\ell PT\log \mathcal R^{\mathrm{cp}}_\ell.
\end{equation}
若在实际实现中将 $\sigma_{n,\ell}^2$ 视为已知或预估量，则上式也可退化为按 $1/\sigma_{n,\ell}^2$ 加权的最小二乘形式。

\subsubsection{对幅度参数的闭式消元}

为进一步集中似然，定义匹配统计量
\begin{equation}
  z^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}},\dot\nu_{\mathrm{ref}})
  \triangleq
  \mathbf a_\ell^\Herm(\boldsymbol\xi)
  \mathbf Y^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}
  \big(\mathbf q^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}},\dot\nu_{\mathrm{ref}})\big)^*,
\end{equation}
以及归一化因子
\begin{equation}
  d^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}},\dot\nu_{\mathrm{ref}})
  \triangleq
  \|\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi)\|_2^2
  \big\|\mathbf q^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}},\dot\nu_{\mathrm{ref}})\big\|_2^2.
\end{equation}
则对固定的 $(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}},\dot\nu_{\mathrm{ref}},\chi_\ell)$，第 $(\ell,p)$ 个非负幅度模值的最优解为
\begin{equation}
  \hat\rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}
  =
  \left[
    \frac{\Re\left\{e^{-j\chi_\ell}z^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}},\dot\nu_{\mathrm{ref}})\right\}}
    {d^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}},\dot\nu_{\mathrm{ref}})}
  \right]_{+},
\end{equation}
其中 $[x]_{+}\triangleq \max\{x,0\}$。代回残差后，有
\begin{equation}
  \mathcal E^{\mathrm{cp,str}}_{\ell,p}
  \triangleq
  \|\mathbf Y^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}\|_{\mathrm{F}}^2
  -
  \frac{
    \left[
      \Re\left\{e^{-j\chi_\ell}z^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}},\dot\nu_{\mathrm{ref}})\right\}
    \right]_{+}^{2}
  }{d^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}},\dot\nu_{\mathrm{ref}})}.
\end{equation}
定义第 $\ell$ 颗卫星聚合残差为
\begin{equation}
  \mathcal R^{\mathrm{cp,str}}_\ell
  \triangleq
  \sum_{p=0}^{P-1}\mathcal E^{\mathrm{cp,str}}_{\ell,p}.
\end{equation}
于是，经过 $\{\sigma_{n,\ell}^2\}$ 和 $\{\rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}\}$ 集中后的结构化 MLE 可写为
\begin{equation}
  \widehat{\boldsymbol\eta}_{\mathrm{dyn}}
  =
  \arg\min_{\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}}}
  \min_{\dot\nu_{\mathrm{ref}},\{\chi_\ell\}}
  \sum_{\ell=0}^{L-1}M_\ell PT\log \mathcal R^{\mathrm{cp,str}}_\ell.
\end{equation}
该表达式体现了本文动态主线：$\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}=[\boldsymbol\xi^\Tran,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$ 为主参数，$\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 和 $\{\chi_\ell\}$ 为干扰参数，而 $\{\rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}\}$ 与 $\{\sigma_{n,\ell}^2\}$ 已被闭式或轮廓化消除。

\subsection{连续相位模型下的 relaxed concentrated MLE}
\label{subsec:dynamicRelaxedModel}

若仅关心主参数搜索的可实现性，也可进一步引入自由复干扰系数 $\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp,rel}}$，从而暂时放松 ``同一卫星跨帧共享公共相位'' 这一结构约束。模型可写为
\begin{equation}
  \mathbf Y^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}
  =
  \zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp,rel}}
  \mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi)
  \big(\mathbf q^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}},\dot\nu_{\mathrm{ref}})\big)^\Tran
  +
  \mathbf N_{\ell,p}.
\end{equation}
对固定的 $(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}},\dot\nu_{\mathrm{ref}})$，其最小二乘解为
\begin{equation}
  \hat\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp,rel}}
  =
  \frac{z^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}},\dot\nu_{\mathrm{ref}})}
       {d^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}},\dot\nu_{\mathrm{ref}})}.
\end{equation}
代回后得到块残差
\begin{equation}
  \mathcal E^{\mathrm{cp,rel}}_{\ell,p}
  \triangleq
  \|\mathbf Y^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}\|_{\mathrm{F}}^2
  -
  \frac{
    \left|z^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}},\dot\nu_{\mathrm{ref}})\right|^2
  }{d^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}},\dot\nu_{\mathrm{ref}})}.
\end{equation}
定义对应的每星聚合残差
\begin{equation}
  \mathcal R^{\mathrm{cp,rel}}_\ell
  \triangleq
  \sum_{p=0}^{P-1}\mathcal E^{\mathrm{cp,rel}}_{\ell,p}.
\end{equation}
于是，在异方差假设下的 relaxed concentrated MLE 可写为
\begin{equation}
  \widehat{\boldsymbol\eta}_{\mathrm{dyn,rel}}
  =
  \arg\min_{\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}}}
  \min_{\dot\nu_{\mathrm{ref}}}
  \sum_{\ell=0}^{L-1}M_\ell PT\log \mathcal R^{\mathrm{cp,rel}}_\ell.
\end{equation}
需要强调的是，relaxed concentrated MLE 只是放松了块复系数结构，并没有改变连续相位模板本身，因此它\emph{不是}独立相位模型。

\subsection{独立相位模型下的 concentrated MLE}

本小节沿用第~\ref{subsec:independentPhaseModel} 小节的独立相位基线模型。这里的
$\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}\in\mathbb C$ 是每个观测块的自由复系数，
它吸收了帧间常相位项，因此和 CP 模型中的共享公共相位 $\chi_\ell$ 不同。正文 MLE 直接对自由复增益进行闭式消元；只有在 CRB 附录构造实参数 Fisher 信息矩阵时，才将其写作
$\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}=\rho_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}e^{j\vartheta_{\ell,p}}$。

对于独立相位模型，可把 $\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}$ 视为每个观测块的自由复干扰系数，则对应模型可写为
\begin{equation}
  \mathbf Y^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}
  =
  \zeta_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}
  \mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi)
  \big(\mathbf q^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}},\dot\nu_{\mathrm{ref}})\big)^\Tran
  +
  \mathbf N_{\ell,p}.
\end{equation}
相应地，定义
\begin{equation}
  z^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}},\dot\nu_{\mathrm{ref}})
  \triangleq
  \mathbf a_\ell^\Herm(\boldsymbol\xi)
  \mathbf Y^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}
  \big(\mathbf q^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}},\dot\nu_{\mathrm{ref}})\big)^*,
\end{equation}
\begin{equation}
  d^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}},\dot\nu_{\mathrm{ref}})
  \triangleq
  \|\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi)\|_2^2
  \big\|\mathbf q^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}},\dot\nu_{\mathrm{ref}})\big\|_2^2.
\end{equation}
其自由复干扰系数的闭式解为
\begin{equation}
  \hat\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}
  =
  \frac{z^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}},\dot\nu_{\mathrm{ref}})}
       {d^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}},\dot\nu_{\mathrm{ref}})}.
\end{equation}
代回后得到块残差
\begin{equation}
  \mathcal E^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}
  \triangleq
  \|\mathbf Y^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}\|_{\mathrm{F}}^2
  -
  \frac{\left|z^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}},\dot\nu_{\mathrm{ref}})\right|^2}
       {d^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}},\dot\nu_{\mathrm{ref}})}.
\end{equation}
定义每星聚合残差
\begin{equation}
  \mathcal R^{\mathrm{ip}}_\ell
  \triangleq
  \sum_{p=0}^{P-1}\mathcal E^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}.
\end{equation}
则独立相位模型下的集中似然估计问题为
\begin{equation}
  \widehat{\boldsymbol\eta}_{\mathrm{dyn,ip}}
  =
  \arg\min_{\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}}}
  \min_{\dot\nu_{\mathrm{ref}}}
  \sum_{\ell=0}^{L-1}M_\ell PT\log \mathcal R^{\mathrm{ip}}_\ell.
\end{equation}
与连续相位模型相比，该准则不再利用跨帧绝对相位关系，因此更适合作为对比基线，而不宜作为本文主模型。

\subsection{模型与估计问题的几点说明}

为避免后续推导中的歧义，需要对本文建模方式进一步说明如下。
\begin{enumerate}
  \item 本文从信号模型到 MLE 全程采用归一化离散域表达。实际物理量 $(\nu^{\mathrm{Hz}},\dot\nu^{\mathrm{Hz}})$ 只在几何解释层面出现，而真正参与似然与估计的是归一化量 $(\nu,\dot\nu)$；
  \item 主参数是 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}=[\boldsymbol\xi^\Tran,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$，而 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 作为干扰参数处理。这与 ``先完成 DoA--参考 Doppler 联合估计，再分析 unknown rate 影响'' 的主线一致；
  \item 多星噪声建模采用 ``星间异方差、星内短窗同方差'' 假设，即每颗卫星有自己的噪声方差 $\sigma_{n,\ell}^2$。这比 ``全星同一噪声方差'' 更符合实际链路差异，又不会显著破坏后续 MLE 与 CRB 推导的可处理性；
  \item 连续相位模型、relaxed concentrated MLE 和独立相位模型是三个不同层面的对象：前者是本文的主信号模型；中者只是对块复系数结构的放松，仍保留连续相位模板；后者则真正放弃了跨帧绝对相位连续性，因此只能作为对比基线。
\end{enumerate}

与后续 known-rate/unknown-rate \gls{crb} 对比相关，还需要注意一个结构性现象。
在 single-satellite multi-frame 情形中，若该卫星即 reference satellite，则参考链路满足
\begin{equation}
  f_{\nu,\ell_{\mathrm{ref}}}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})
  =
  \nu_{\mathrm{ref}},
  \qquad
  f_{\dot\nu,\ell_{\mathrm{ref}}}(\boldsymbol\xi,\dot\nu_{\mathrm{ref}})
  =
  \dot\nu_{\mathrm{ref}}.
\end{equation}
因此，reference-link 的 Doppler 和 Doppler rate 不通过几何映射对 $\boldsymbol\xi$ 产生额外相位导数。
在幅度和公共相位干扰方向被消去后，DoA 导数主要保留为空间阵列流形的残差切向量，而 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 与 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 的导数是沿 reference steering vector 的时间相位切向量。
在标准窄带阵列模型下，这两个残差方向在 Fisher 内积意义下正交，因此 single-satellite multi-frame 的 DoA bound 在 known-rate 与 unknown-rate 设置下可以完全一致。
该结论应被理解为 reference-satellite parameterization 的 sanity check，而不是新的主要创新点。
在 multi-satellite 情形中，非参考星的 $\Delta\nu_\ell(\boldsymbol\xi)$ 和 $\Delta\dot\nu_\ell(\boldsymbol\xi)$ 会把时间相位导数引入 DoA score，因此严格正交性一般不再成立；若数值上 DoA bound 仍几乎重合，则说明该 representative geometry 下 DoA 方向与 residualized Doppler-rate nuisance 之间的耦合较弱。

因此，本文后续算法与性能分析都围绕如下统一问题展开：在短观测窗口下，基于多星多帧连续相位观测，利用结构化或 relaxed concentrated MLE 估计主参数 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}=[\boldsymbol\xi^\Tran,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$，并将 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 作为干扰参数进行 profile 处理和 calibrated information accounting；同时，以独立相位模型作为对比基线，定量说明保留跨帧连续相位的必要性。对应的 Fisher 信息和 CRB 推导分别放在 \ref{sec:A7_dynDoaDopplerCrb} 与 \ref{sec:A8_dynIndependentPhaseCrb} 中。


\subsection{多星增益与 Doppler 信息可辨识性的投影解释}
\label{subsec:multiSatGainFdIdentifiability}

从 Fisher 信息的角度看，多星协作带来的增益并不是对
$\boldsymbol\xi$ 与 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 的等比例放大。更精确地说，新增观测只增加主参数 score
在干扰参数 score 正交补上的投影长度。令
\begin{equation}
  \boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}
  =
  \begin{bmatrix}
    \boldsymbol\xi^\Tran & \nu_{\mathrm{ref}}
  \end{bmatrix}^\Tran,
  \qquad
  \boldsymbol\psi_\mu
  =
  \text{只影响均值向量的干扰参数},
\end{equation}
其中 $\boldsymbol\psi_\mu$ 可包含 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$、相位和幅度等局部参数。
设白化后的均值 Jacobian 为
\begin{equation}
  \bar{\mathbf J}_{\eta}
  \triangleq
  \mathbf R_n^{-1/2}
  \frac{\partial\boldsymbol\mu}{\partial\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}},
  \qquad
  \bar{\mathbf J}_{\psi}
  \triangleq
  \mathbf R_n^{-1/2}
  \frac{\partial\boldsymbol\mu}{\partial\boldsymbol\psi_\mu}.
\end{equation}
则消去干扰参数后的 EFIM 可写成投影 Gram 矩阵
\begin{equation}
  \mathcal I_{\mathrm{e}}
  =
  2\Re\left\{
    \bar{\mathbf J}_{\eta}^{\Herm}
    \mathcal P^{\perp}_{\bar{\mathbf J}_{\psi}}
    \bar{\mathbf J}_{\eta}
  \right\},
  \qquad
  \mathcal P^{\perp}_{\bar{\mathbf J}_{\psi}}
  =
  \mathbf I-
  \bar{\mathbf J}_{\psi}
  \left(\bar{\mathbf J}_{\psi}^{\Herm}\bar{\mathbf J}_{\psi}\right)^\dagger
  \bar{\mathbf J}_{\psi}^{\Herm}.
  \label{eq:main_dyn_efim_projection}
\end{equation}
因此，EFIM 奇异的判据不是 $\bar{\mathbf J}_{\eta}$ 本身是否满秩，而是投影后的主参数
Jacobian 是否满秩：
\begin{equation}
  \mathcal I_{\mathrm{e}}\ \text{奇异}
  \quad\Longleftrightarrow\quad
  \operatorname{rank}\left(
    \mathcal P^{\perp}_{\bar{\mathbf J}_{\psi}}\bar{\mathbf J}_{\eta}
  \right)
  <
  \dim(\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}).
  \label{eq:main_dyn_efim_rank_condition}
\end{equation}
等价地，存在非零方向 $\delta\boldsymbol\eta\neq\mathbf 0$，使得
\begin{equation}
  \bar{\mathbf J}_{\eta}\delta\boldsymbol\eta
  \in
  \operatorname{range}(\bar{\mathbf J}_{\psi}),
  \label{eq:main_dyn_exact_nuisance_range}
\end{equation}
或在近奇异情形下满足
\begin{equation}
  \bar{\mathbf J}_{\eta}\delta\boldsymbol\eta
  \approx
  \bar{\mathbf J}_{\psi}\delta\boldsymbol\psi .
  \label{eq:main_dyn_near_nuisance_range}
\end{equation}
这表明，某个主参数扰动的一阶均值变化若能被 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$、相位或幅度等干扰参数
近似吸收，则该方向在边际化后只保留很少有效信息。

为了刻画 ``近吸收'' 的程度，可定义局部最小投影角
\begin{equation}
  \sin^2\theta_{\min}
  \triangleq
  \min_{\delta\boldsymbol\eta\neq\mathbf 0}
  \frac{
    \left\|
      \mathcal P^{\perp}_{\bar{\mathbf J}_{\psi}}
      \bar{\mathbf J}_{\eta}\delta\boldsymbol\eta
    \right\|_2^2
  }{
    \left\|
      \bar{\mathbf J}_{\eta}\delta\boldsymbol\eta
    \right\|_2^2
  }.
  \label{eq:main_dyn_min_projection_angle}
\end{equation}
当 $\theta_{\min}\approx 0$ 时，说明主参数 score 子空间中存在接近干扰子空间的方向，
此时 $\lambda_{\min}(\mathcal I_{\mathrm{e}})$ 会很小。多星几何可以快速增大与
$\boldsymbol\xi$ 有关的主特征值，但若式~\eqref{eq:main_dyn_min_projection_angle} 中的最小投影角
仍然很小，则 EFIM 条件数
\begin{equation}
  \kappa(\mathcal I_{\mathrm{e}})
  =
  \frac{\lambda_{\max}(\mathcal I_{\mathrm{e}})}
       {\lambda_{\min}(\mathcal I_{\mathrm{e}})}
\end{equation}
仍可能随着多星几何增强而变大。

进一步，将 EFIM 按
$\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}=[\boldsymbol\xi^\Tran,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$ 分块：
\begin{equation}
  \mathcal I_{\mathrm{e}}
  =
  \begin{bmatrix}
    \mathcal I_{\xi\xi} & \mathcal I_{\xi\nu} \\
    \mathcal I_{\nu\xi} & \mathcal I_{\nu\nu}
  \end{bmatrix},
  \qquad
  \mathcal I_{\xi\xi}\in\mathbb R^{2\times2},\quad
  \mathcal I_{\nu\nu}\in\mathbb R .
  \label{eq:main_dyn_efim_xi_nu_partition}
\end{equation}
若 $\boldsymbol\xi$ 已知，则 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 的 scalar 信息为 $\mathcal I_{\nu\nu}$；
若 $\boldsymbol\xi$ 未知，则 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 的边际信息为 Schur 补
\begin{equation}
  \mathcal I_{\nu|\xi}
  =
  \mathcal I_{\nu\nu}
  -
  \mathcal I_{\nu\xi}
  \mathcal I_{\xi\xi}^{\dagger}
  \mathcal I_{\xi\nu}.
  \label{eq:main_dyn_nu_schur_after_xi}
\end{equation}
为避免与幅度符号 $\rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}$ 混淆，本文不用 $\rho$ 表示相关系数；在本小节中局部定义
DoA--Doppler 耦合比例
\begin{equation}
  \gamma_{\xi,\nu}^{2}
  \triangleq
  \frac{
    \mathcal I_{\nu\xi}
    \mathcal I_{\xi\xi}^{\dagger}
    \mathcal I_{\xi\nu}
  }{
    \mathcal I_{\nu\nu}
  },
  \qquad
  0\leq \gamma_{\xi,\nu}^{2}\leq 1,
  \label{eq:main_dyn_xi_nu_coupling_fraction}
\end{equation}
则
\begin{equation}
  \mathcal I_{\nu|\xi}
  =
  \mathcal I_{\nu\nu}(1-\gamma_{\xi,\nu}^{2}),
  \qquad
  \operatorname{CRB}_{\nu}
  =
  \frac{1}{\mathcal I_{\nu\nu}(1-\gamma_{\xi,\nu}^{2})}.
  \label{eq:main_dyn_nu_crb_coupling_fraction}
\end{equation}
式~\eqref{eq:main_dyn_nu_crb_coupling_fraction} 给出了更直接的解释：多星确实可能增加
$\mathcal I_{\nu\nu}$，但若同时使 $\gamma_{\xi,\nu}^{2}$ 较大，则 Schur 补后的
$\mathcal I_{\nu|\xi}$ 仍然增长有限。相对于 DoA 已知的 scalar bound，DoA 未知时的 Doppler
标准差放大量为
\begin{equation}
  \frac{\sqrt{\operatorname{CRB}_{\nu}}}
       {1/\sqrt{\mathcal I_{\nu\nu}}}
  =
  \frac{1}{\sqrt{1-\gamma_{\xi,\nu}^{2}}}.
  \label{eq:main_dyn_nu_std_inflation}
\end{equation}
因此，pair 场景中即使 scalar Doppler 信息有增加，只要 $\gamma_{\xi,\nu}^{2}$ 较大，
边际 Doppler CRB 仍会被显著放大。

若用上标 $(L)$ 表示 $L$ 颗协作卫星下的 EFIM 分块，则相对于单星的参考 Doppler 标准差增益可写为
\begin{equation}
  G_{\nu}(L)
  \triangleq
  \frac{\sqrt{\operatorname{CRB}_{\nu}^{(1)}}}
       {\sqrt{\operatorname{CRB}_{\nu}^{(L)}}}
  =
  \sqrt{
    \frac{
      \mathcal I_{\nu\nu}^{(L)}
      \left(1-\gamma_{\xi,\nu}^{2,(L)}\right)
    }{
      \mathcal I_{\nu\nu}^{(1)}
      \left(1-\gamma_{\xi,\nu}^{2,(1)}\right)
    }
  }.
  \label{eq:main_dyn_multisat_nu_gain}
\end{equation}
只有当 DoA--Doppler 耦合比例不随 $L$ 增大而恶化时，$G_{\nu}(L)$ 才会接近能量叠加所对应的
$\sqrt L$ 量级；若新增卫星主要增强 $\mathcal I_{\xi\xi}$ 的几何方向，而
$\gamma_{\xi,\nu}^{2,(L)}$ 仍然较大，则 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 的边际增益会明显小于
角度 CRB 的改善。由此可见，实际 \gls{leo} 多星场景中的多星收益应分开理解：
$\boldsymbol\xi$ 的收益主要来自空间视线和阵列流形几何的多样性；$\nu_{\mathrm{ref}}$ 的收益主要来自
能量叠加和跨帧相干结构，并受到式~\eqref{eq:main_dyn_nu_schur_after_xi} 中 DoA--Doppler
Schur 补损失的限制。

\subsection{周期多帧观测下的 Doppler comb 与 tooth ambiguity}
\label{subsec:fdCombToothAmbiguity}

上一小节的 EFIM 分析描述的是已落入正确局部 basin 后的 in-tooth 曲率；它不能解释
profile likelihood 在 Doppler 方向上的全局离散多峰结构。该多峰结构来自帧起始时刻集合
本身。令参与相干匹配的帧集合为 $\mathcal P$，并记第 $p$ 帧起始点的离散采样偏移为
$\tau_p$。若参考 Doppler 存在归一化角频率偏移 $\Delta\nu$，则跨帧公共相位因子为
\begin{equation}
  \exp\{j\Delta\nu\tau_p\}.
\end{equation}
因此，沿 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 方向的集中目标中自然包含 frame-time spectral window
\begin{equation}
  W_{\mathcal P}(\Delta\nu)
  \triangleq
  \sum_{p\in\mathcal P} w_p
  \exp\{j\Delta\nu\tau_p\},
  \label{eq:main_fd_comb_window}
\end{equation}
其中 $w_p\geq0$ 表示第 $p$ 帧在局部线性化下的等效权重。若使用等间隔周期帧，
\begin{equation}
  \tau_p=p\Delta\tau_{\mathrm{f}},
  \qquad p=0,\ldots,P-1,
\end{equation}
并且 $w_p$ 近似一致，则式~\eqref{eq:main_fd_comb_window} 退化为离散 Dirichlet 型窗口
\begin{equation}
  W_{\mathcal P}(\Delta\nu)
  \approx
  \exp\left\{j\frac{(P-1)\Delta\nu\Delta\tau_{\mathrm{f}}}{2}\right\}
  \frac{
    \sin\left(P\Delta\nu\Delta\tau_{\mathrm{f}}/2\right)
  }{
    \sin\left(\Delta\nu\Delta\tau_{\mathrm{f}}/2\right)
  }.
  \label{eq:main_fd_comb_dirichlet}
\end{equation}
于是当
\begin{equation}
  \Delta\nu
  =
  k\Delta\nu_{\mathrm{tooth}},
  \qquad
  \Delta\nu_{\mathrm{tooth}}
  \triangleq
  \frac{2\pi}{\Delta\tau_{\mathrm{f}}},
  \qquad k\in\mathbb Z,
  \label{eq:main_fd_comb_tooth_spacing_norm}
\end{equation}
有
\begin{equation}
  \exp\{j\Delta\nu\tau_p\}
  =
  \exp\{j2\pi kp\}
  =1,
  \qquad \forall p.
\end{equation}
因此，周期多帧观测会在参考 Doppler 方向上产生间隔为
$\Delta\nu_{\mathrm{tooth}}$ 的 comb-like objective branches。若换算成物理 Hz 单位，并记相邻帧
物理间隔为 $T_{\mathrm{f}}^{\mathrm{sec}}=\Delta\tau_{\mathrm{f}}T_{\mathrm s}$，则
\begin{equation}
  \Delta\nu_{\mathrm{tooth}}^{\mathrm{Hz}}
  =
  \frac{1}{T_{\mathrm{f}}^{\mathrm{sec}}}.
  \label{eq:main_fd_comb_tooth_spacing_hz}
\end{equation}
该 comb 是全局 profile likelihood 的周期窗口效应，与局部 EFIM 曲率并不矛盾：EFIM 只刻画
某一个 tooth 内的二阶曲率，而不保证全局唯一 tooth。

相邻 tooth 是否容易区分，还取决于单帧 pilot block 的有限长度。对于长度为 $T$ 个采样点的
块，归一化 Doppler 偏移 $\Delta\nu$ 在块内产生的归一化相关为
\begin{equation}
  R_T(\Delta\nu)
  \triangleq
  \frac{1}{T}\sum_{t=0}^{T-1}\exp\{j\Delta\nu t\}
  =
  \frac{\exp\{j(T-1)\Delta\nu/2\}}{T}
  \frac{\sin(T\Delta\nu/2)}{\sin(\Delta\nu/2)}.
  \label{eq:main_fd_block_corr}
\end{equation}
因此，相邻 tooth 的块内相干损失可用
\begin{equation}
  D_{\mathrm{blk}}
  \triangleq
  1-
  \left|R_T(\Delta\nu_{\mathrm{tooth}})\right|^2
  \label{eq:main_fd_block_tooth_loss}
\end{equation}
刻画。当 $T\ll\Delta\tau_{\mathrm{f}}$ 时，由
$\Delta\nu_{\mathrm{tooth}}=2\pi/\Delta\tau_{\mathrm{f}}$ 得到近似
\begin{equation}
  D_{\mathrm{blk}}
  \approx
  1-
  \operatorname{sinc}^{2}\left(\frac{T}{\Delta\tau_{\mathrm{f}}}\right)
  \approx
  \frac{\pi^2}{3}\left(\frac{T}{\Delta\tau_{\mathrm{f}}}\right)^2,
  \label{eq:main_fd_block_loss_small_ratio}
\end{equation}
其中 $\operatorname{sinc}(x)=\sin(\pi x)/(\pi x)$。因此，增大 pilot block length 可以增强相邻
Doppler tooth 的分离度；但这并不意味着单个块内的 Doppler-rate 二次相位已经提供了强曲率。
在短同步块 \,\gls{leo} 场景中，$\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 对可辨识性的主要影响仍来自跨帧相位演化
以及被作为干扰参数消去后的 Schur 补损失。

非周期帧子集可以用同一个窗口解释。若选取子集
\begin{equation}
  \mathcal T_{\mathrm{sub}}
  =
  \{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\},
\end{equation}
则对应窗口为
\begin{equation}
  W_{\mathrm{sub}}(\Delta\nu)
  =
  \sum_{q=1}^{Q}w_q
  \exp\{j\Delta\nu\tau_{p_q}\}.
  \label{eq:main_fd_subset_window}
\end{equation}
当 $\mathcal T_{\mathrm{sub}}$ 破坏严格等间隔结构时，
$\Delta\nu=k\Delta\nu_{\mathrm{tooth}}$ 不再必然使所有帧相位同时对齐，周期 comb sidelobes 会被压低。
因此，非周期 subset 更适合用于 tooth acquisition；而完整周期数据在 tooth 选对之后，由于保留了更多
相干能量，更适合同 tooth 内 refine。若定义第 $k$ 个 Doppler tooth 内的 profile optimum 为
$\widehat{\boldsymbol\eta}_k$，则 tooth 可分离性可写为
\begin{equation}
  D_{\mathrm{tooth}}
  \triangleq
  \min_{k\in\mathbb Z\setminus\{0\}}
  \mathcal L^{\mathrm{pro}}_{\mathrm{cp}}(\widehat{\boldsymbol\eta}_{k})
  -
  \mathcal L^{\mathrm{pro}}_{\mathrm{cp}}(\widehat{\boldsymbol\eta}_{0}).
  \label{eq:main_fd_tooth_discriminability}
\end{equation}
这里 $k=0$ 表示正确 tooth。若 $D_{\mathrm{tooth}}$ 较小或为负，则局部 CRB 即使很小，MLE 仍可能
落在错误 tooth；若 $D_{\mathrm{tooth}}$ 足够大，则后续的 EFIM/CRB 才能作为同 tooth 内估计误差的局部描述。