\section{多星静态模型 CRB} \label{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb} \begin{mdquote} \noindent\textbf{本附录设定}：对应正文第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst}~节与第~\ref{sec:multiSatMultiUser}~节的多星静态 \gls{doa}--Doppler 联合估计 \gls{crb}（E.1 单用户多星基线、E.2 多用户扩展），共享``联合堆叠 + 复增益 Schur 补''框架，差别仅在均值参数化与 Jacobian 维度。 \begin{itemize}[leftmargin=1.5em,itemindent=0pt] \item \emph{主参数} 各用户 \gls{doa}--Doppler（E.2 为 $K$ 用户堆叠）；\emph{干扰参数} $\boldsymbol\psi$ 含各星复增益与噪声方差，构造 \gls{efim} 时只显式保留影响均值的复增益，噪声方差只进入协方差、与均值 Fisher 块解耦，不改 Schur 补形式。 \item \emph{本附录给出} 主参数 \gls{efim} 的投影--Gram 形式与单/多用户 \gls{crb}。 \item \emph{本附录局部符号} $\mathcal I$：\gls{fim}；$\mathbf I$：单位阵；$\mathcal P$：投影矩阵。完整索引见\appref{sec:assumptionsAndNotation}。 \end{itemize} \end{mdquote} \subsection{单用户多星 CRB} \label{subsec:E1_singleUserMultiSatCrb} 本小节对应正文第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst} 节，主参数仍记为 % \begin{equation} \boldsymbol\eta = \begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \\ \nu_{\mathrm{ref}} \end{bmatrix} \in \mathbb R^{3}. \end{equation} % 与\appref{sec:det_doa_doppler_crb} 的单阵列情形相比，这里需要先联合堆叠 $L$ 颗协作卫星的观测，再将各星复干扰系数视为干扰参数并通过 Schur 补得到 $\boldsymbol\eta$ 的 \gls{efim}。 \subsubsection{联合观测模型与 Fisher 信息矩阵通式} 沿用第~\ref{subsec:staticBlockModel} 小节中的向量化观测模型，第 $\ell$ 颗卫星的均值向量可写为 $\zeta_\ell \mathbf g_\ell(\boldsymbol\eta)$。为便于后续统一构造 \gls{fim}，本小节先将所有卫星观测按块联合堆叠。 对于第 $\ell$ 颗卫星，向量化后的观测模型为 % \begin{equation} \tilde{\mathbf y}_\ell = \zeta_\ell \mathbf g_\ell(\boldsymbol\eta) + \tilde{\mathbf n}_\ell, \qquad \tilde{\mathbf n}_\ell \sim \mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma_\ell \mathbf I_{M_\ell T}), \quad \ell=0,1,\ldots,L-1, \end{equation} % 其中 % \begin{equation} \mathbf g_\ell(\boldsymbol\eta) \triangleq \mathbf q_\ell(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}}) \otimes \mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi) \in \mathbb C^{M_\ell T \times 1}, \end{equation} % $\zeta_\ell\in\mathbb C$ 为第 $\ell$ 条链路的未知复干扰系数，$\sigma_\ell$ 为第 $\ell$ 颗卫星对应的噪声方差。 将所有卫星的观测联合堆叠，定义 % \begin{equation} \tilde{\mathbf y} \triangleq \begin{bmatrix} \tilde{\mathbf y}_0 \\ \vdots \\ \tilde{\mathbf y}_{L-1} \end{bmatrix}, \qquad \boldsymbol\mu(\boldsymbol\kappa) \triangleq \begin{bmatrix} \zeta_0 \mathbf g_0(\boldsymbol\eta) \\ \vdots \\ \zeta_{L-1} \mathbf g_{L-1}(\boldsymbol\eta) \end{bmatrix}, \qquad \tilde{\mathbf n} \triangleq \begin{bmatrix} \tilde{\mathbf n}_0 \\ \vdots \\ \tilde{\mathbf n}_{L-1} \end{bmatrix}, \end{equation} % 则有 % \begin{equation} \tilde{\mathbf y} = \boldsymbol\mu(\boldsymbol\kappa) + \tilde{\mathbf n}, \qquad \tilde{\mathbf n} \sim \mathcal{CN}(\mathbf 0,\mathbf R_n), \end{equation} % 其中 % \begin{equation} \mathbf R_n = \operatorname{blkdiag} \big( \sigma_0 \mathbf I_{M_0 T}, \ldots, \sigma_{L-1} \mathbf I_{M_{L-1} T} \big). \end{equation} 将各星复干扰系数按实部和虚部分解为 % \begin{equation} \zeta_\ell = \zeta_\ell^{(r)} + j\zeta_\ell^{(i)}, \end{equation} % 并定义实参数化后的均值干扰参数向量 % \begin{equation} \boldsymbol\psi_{\zeta} \triangleq \begin{bmatrix} \zeta_0^{(r)} & \zeta_0^{(i)} & \cdots & \zeta_{L-1}^{(r)} & \zeta_{L-1}^{(i)} \end{bmatrix}^{\Tran} \in \mathbb R^{2L}. \end{equation} % 于是总实参数向量可写为 % \begin{equation} \boldsymbol\kappa \triangleq \begin{bmatrix} \boldsymbol\eta^{\Tran} & \boldsymbol\psi_{\zeta}^{\Tran} \end{bmatrix}^{\Tran} \in \mathbb R^{2L+3}. \end{equation} 由于当前均值参数仅通过均值项 $\boldsymbol\mu(\boldsymbol\kappa)$ 进入，而协方差矩阵 $\mathbf R_n$ 与 $\boldsymbol\kappa$ 无关，由复 Gauss 模型的 Slepian--Bangs 公式~\cite{kayFundamentalsStatisticalSignal1993,vantreesOptimumArrayProcessing2002}，对任意两个实参数 $\kappa_i,\kappa_j$，\gls{fim}元素满足 % \begin{equation} [\mathcal I(\boldsymbol\kappa)]_{ij} = 2\Re\left\{ \frac{\partial \boldsymbol\mu^{\Herm}(\boldsymbol\kappa)}{\partial \kappa_i} \mathbf R_n^{-1} \frac{\partial \boldsymbol\mu(\boldsymbol\kappa)}{\partial \kappa_j} \right\}. \label{eq:A6_fim_general} \end{equation} \subsubsection{\texorpdfstring{关于 $\boldsymbol\eta$ 的导数}{关于主参数 eta-stat 的导数}} 由第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst} 节，单位方向向量为 % \begin{equation} \mathbf u(\boldsymbol\xi) = \begin{bmatrix} \cos\beta\cos\alpha \\ \cos\beta\sin\alpha \\ \sin\beta \end{bmatrix}, \end{equation} % 本小节采用分子布局的 Jacobian 记号：对向量值函数 $\mathbf f$ 与参数向量 $\mathbf x$，$\dfrac{\partial\mathbf f}{\partial\mathbf x^\Tran}$ 的行随 $\mathbf f$ 分量、列随 $\mathbf x$ 分量，链式法则即对应 Jacobian 的矩阵相乘；角度部分记 $\boldsymbol\xi=[\alpha,\beta]^\Tran$。其关于全局角度的 Jacobian 为 % \begin{equation} \frac{\partial \mathbf u}{\partial \boldsymbol\xi^\Tran} = \begin{bmatrix} -\cos\beta\sin\alpha & -\sin\beta\cos\alpha \\ \cos\beta\cos\alpha & -\sin\beta\sin\alpha \\ 0 & \cos\beta \end{bmatrix} \in\mathbb R^{3\times2}. \end{equation} 根据第~\ref{subsec:refSatParameterization} 小节的参考星参数化，静态模型中第 $\ell$ 颗卫星对应的归一化 Doppler 统一写成 % \begin{equation} \nu_\ell(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}}) = f_{\nu,\ell}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}}) = \nu_{\mathrm{ref}}+\Delta\nu_\ell(\boldsymbol\xi), \end{equation} % 其中 $\Delta\nu_\ell(\boldsymbol\xi)$ 由已知几何、速度与姿态关系确定，且对参考星 $\ell_{\mathrm{ref}}$ 有 % \begin{equation} f_{\nu,\ell_{\mathrm{ref}}}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}}) = \nu_{\mathrm{ref}}. \end{equation} % 因此其关于主参数 $\boldsymbol\eta=[\boldsymbol\xi^\Tran,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$ 的 Jacobian（行向量）为 % \begin{equation} \frac{\partial \nu_\ell}{\partial \boldsymbol\eta^\Tran} = \begin{bmatrix} \frac{\partial \Delta\nu_\ell(\boldsymbol\xi)}{\partial \boldsymbol\xi^\Tran} & 1 \end{bmatrix} \in\mathbb R^{1\times3}, \label{eq:A6_domega} \end{equation} % 其中末元 $\dfrac{\partial\nu_\ell}{\partial\nu_{\mathrm{ref}}}=1$ 来自参考星链路参数化 $\nu_\ell=\nu_{\mathrm{ref}}+\Delta\nu_\ell(\boldsymbol\xi)$。特别地，对参考星 $\Delta\nu_{\ell_{\mathrm{ref}}}(\boldsymbol\xi)=0$，故其角度部分 $\dfrac{\partial\Delta\nu_{\ell_{\mathrm{ref}}}}{\partial\boldsymbol\xi^\Tran}=\mathbf 0$。若改用别的等价参数化，只需替换该 Doppler Jacobian 即可。 再定义第 $\ell$ 颗卫星本地坐标系下的来向向量 % \begin{equation} \mathbf u_\ell^{\mathrm{loc}} = \boldsymbol{\Omega}_\ell^{\Tran}\mathbf u = \begin{bmatrix} u_{\ell,1}^{\mathrm{loc}} & u_{\ell,2}^{\mathrm{loc}} & u_{\ell,3}^{\mathrm{loc}} \end{bmatrix}^{\Tran}. \end{equation} % 相应的局部角度为 % \begin{equation} \alpha_\ell^{\mathrm{loc}} = \operatorname{atan2}\big(u_{\ell,2}^{\mathrm{loc}},u_{\ell,1}^{\mathrm{loc}}\big), \qquad \beta_\ell^{\mathrm{loc}} = \arcsin\big(u_{\ell,3}^{\mathrm{loc}}\big). \end{equation} 记本地角向量 $\boldsymbol\xi_\ell^{\mathrm{loc}}=[\alpha_\ell^{\mathrm{loc}},\beta_\ell^{\mathrm{loc}}]^\Tran$。本地来向对全局角的 Jacobian 为 % \begin{equation} \frac{\partial \mathbf u_\ell^{\mathrm{loc}}}{\partial \boldsymbol\xi^\Tran} = \boldsymbol{\Omega}_\ell^{\Tran}\frac{\partial \mathbf u}{\partial \boldsymbol\xi^\Tran} \in\mathbb R^{3\times2}. \label{eq:A6_uloc_jac} \end{equation} % 对其第 $i$ 行 $\dfrac{\partial u_{\ell,i}^{\mathrm{loc}}}{\partial \boldsymbol\xi^\Tran}$ 应用 atan2/arcsin 链式法则，得本地角对全局角的 Jacobian % \begin{equation} \frac{\partial \boldsymbol\xi_\ell^{\mathrm{loc}}}{\partial \boldsymbol\xi^\Tran} = \begin{bmatrix} \frac{ u_{\ell,1}^{\mathrm{loc}}\,\frac{\partial u_{\ell,2}^{\mathrm{loc}}}{\partial \boldsymbol\xi^\Tran} - u_{\ell,2}^{\mathrm{loc}}\,\frac{\partial u_{\ell,1}^{\mathrm{loc}}}{\partial \boldsymbol\xi^\Tran} }{ \big(u_{\ell,1}^{\mathrm{loc}}\big)^2 + \big(u_{\ell,2}^{\mathrm{loc}}\big)^2 } \\[1.2em] \frac{\partial u_{\ell,3}^{\mathrm{loc}}/\partial \boldsymbol\xi^\Tran}{\sqrt{1-\big(u_{\ell,3}^{\mathrm{loc}}\big)^2}} \end{bmatrix} \in\mathbb R^{2\times2}, \label{eq:A6_local_angle_chain} \end{equation} % 其中 $\dfrac{\partial u_{\ell,i}^{\mathrm{loc}}}{\partial\boldsymbol\xi^\Tran}$ 为 \eqref{eq:A6_uloc_jac} 的第 $i$ 行。 阵列导向矢量 $\mathbf a_\ell$ 仅通过本地角 $\boldsymbol\xi_\ell^{\mathrm{loc}}$ 进入，其关于本地角的 Jacobian（阵列流形 Jacobian）为 % \begin{equation} \frac{\partial \mathbf a_\ell}{\partial (\boldsymbol\xi_\ell^{\mathrm{loc}})^\Tran} = \begin{bmatrix} \frac{\partial \mathbf a_\ell}{\partial \alpha_\ell^{\mathrm{loc}}} & \frac{\partial \mathbf a_\ell}{\partial \beta_\ell^{\mathrm{loc}}} \end{bmatrix} \in\mathbb C^{M_\ell\times2}. \label{eq:A6_a_local_jac} \end{equation} % 由链式法则，$\mathbf a_\ell$ 关于全局角的 Jacobian 为 % \begin{equation} \frac{\partial \mathbf a_\ell}{\partial \boldsymbol\xi^\Tran} = \frac{\partial \mathbf a_\ell}{\partial (\boldsymbol\xi_\ell^{\mathrm{loc}})^\Tran} \, \frac{\partial \boldsymbol\xi_\ell^{\mathrm{loc}}}{\partial \boldsymbol\xi^\Tran} \in\mathbb C^{M_\ell\times2}. \label{eq:A6_da_chain} \end{equation} 由第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst} 节的离散时间模板定义， % \begin{equation} [\mathbf q_\ell(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})]_t = s(t)e^{j\nu_\ell(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})t}, \qquad t=0,1,\ldots,T-1. \end{equation} % 因此其关于链路 Doppler $\nu_\ell$ 的导数为 % \begin{equation} \frac{\partial \mathbf q_\ell}{\partial \nu_\ell} = j\,\operatorname{diag}(0,1,\ldots,T-1)\,\mathbf q_\ell \in\mathbb C^{T\times1}. \label{eq:A6_qdot} \end{equation} % 由 Doppler 链 $\nu_\ell=\nu_{\mathrm{ref}}+\Delta\nu_\ell(\boldsymbol\xi)$，$\mathbf q_\ell$ 关于主参数的 Jacobian 为 % \begin{equation} \frac{\partial \mathbf q_\ell}{\partial \boldsymbol\eta^\Tran} = \frac{\partial \mathbf q_\ell}{\partial \nu_\ell} \, \frac{\partial \nu_\ell}{\partial \boldsymbol\eta^\Tran} \in\mathbb C^{T\times3}, \label{eq:A6_dq} \end{equation} % 其中 $\dfrac{\partial\nu_\ell}{\partial\boldsymbol\eta^\Tran}$ 取 \eqref{eq:A6_domega}；其角度部分记 $\dfrac{\partial\mathbf q_\ell}{\partial\boldsymbol\xi^\Tran}=\left(\dfrac{\partial\mathbf q_\ell}{\partial\nu_\ell}\right)\,\left(\dfrac{\partial\nu_\ell}{\partial\boldsymbol\xi^\Tran}\right)\in\mathbb C^{T\times2}$，$\nu_{\mathrm{ref}}$ 列因 $\dfrac{\partial\nu_\ell}{\partial\nu_{\mathrm{ref}}}=1$ 即 $\dfrac{\partial\mathbf q_\ell}{\partial\nu_\ell}$。 对空时导向向量 $\mathbf g_\ell=\mathbf q_\ell\otimes \mathbf a_\ell$ 应用 Kronecker 积求导法则。注意 $\mathbf a_\ell$ 不依赖 $\nu_{\mathrm{ref}}$、$\mathbf q_\ell$ 不依赖角度，其关于主参数 $\boldsymbol\eta$ 的 Jacobian 按角度块与 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 列分块为 % \begin{equation} \mathbf D_\ell \triangleq \frac{\partial \mathbf g_\ell}{\partial \boldsymbol\eta^\Tran} = \begin{bmatrix} \mathbf q_\ell\otimes\frac{\partial \mathbf a_\ell}{\partial \boldsymbol\xi^\Tran} + \frac{\partial \mathbf q_\ell}{\partial \boldsymbol\xi^\Tran}\otimes\mathbf a_\ell & \frac{\partial \mathbf q_\ell}{\partial \nu_\ell}\otimes\mathbf a_\ell \end{bmatrix} \in \mathbb C^{M_\ell T \times 3}, \label{eq:A6_Dl} \end{equation} % 其中角度块（前两列）由 \eqref{eq:A6_da_chain} 与 \eqref{eq:A6_dq} 的角度部分给出，$\nu_{\mathrm{ref}}$ 列（第三列）因 $\partial\mathbf a_\ell/\partial\nu_{\mathrm{ref}}=\mathbf 0$ 简化为 $(\partial\mathbf q_\ell/\partial\nu_\ell)\otimes\mathbf a_\ell$。此处用到 Kronecker 混合积：$\mathbf q_\ell\otimes(\partial\mathbf a_\ell/\partial\boldsymbol\xi^\Tran)$ 的第 $k$ 列为 $\mathbf q_\ell\otimes[\partial\mathbf a_\ell/\partial\boldsymbol\xi^\Tran]_{:,k}$，$(\partial\mathbf q_\ell/\partial\boldsymbol\xi^\Tran)\otimes\mathbf a_\ell$ 同理。 \subsubsection{Fisher 信息矩阵的分块构造} 对第 $\ell$ 颗卫星，其均值向量为 % \begin{equation} \boldsymbol\mu_\ell(\boldsymbol\kappa) = \zeta_\ell\mathbf g_\ell(\boldsymbol\eta). \end{equation} % 因此，其关于主参数向量 $\boldsymbol\eta$ 的 Jacobian 为 % \begin{equation} \mathbf J_{\eta,\ell} \triangleq \frac{\partial \boldsymbol\mu_\ell}{\partial \boldsymbol\eta} = \zeta_\ell \mathbf D_\ell \in \mathbb C^{M_\ell T \times 3}, \label{eq:A6_Jeta} \end{equation} % 而其关于本星复干扰系数实部与虚部的 Jacobian 为 % \begin{equation} \mathbf J_{\psi,\ell} \triangleq \frac{\partial \boldsymbol\mu_\ell}{\partial \begin{bmatrix} \zeta_\ell^{(r)} & \zeta_\ell^{(i)} \end{bmatrix}^{\Tran}} = \begin{bmatrix} \mathbf g_\ell & j\mathbf g_\ell \end{bmatrix} \in \mathbb C^{M_\ell T \times 2}. \label{eq:A6_Jpsi} \end{equation} 由于不同卫星噪声相互独立，总 \gls{fim}可按卫星求和。记总 \gls{fim}关于 $(\boldsymbol\eta,\boldsymbol\psi_{\zeta})$ 的分块形式为 % \begin{equation} \mathcal I(\boldsymbol\kappa) = \begin{bmatrix} \mathcal I_{\eta\eta} & \mathcal I_{\eta\psi} \\ \mathcal I_{\psi\eta} & \mathcal I_{\psi\psi} \end{bmatrix}, \end{equation} % 则根据 \eqref{eq:A6_fim_general} 有 % \begin{equation} \mathcal I_{\eta\eta} = \sum_{\ell=0}^{L-1} \frac{2}{\sigma_\ell} \Re\left\{ \mathbf J_{\eta,\ell}^{\Herm}\mathbf J_{\eta,\ell} \right\}, \label{eq:A6_Itt} \end{equation} \begin{equation} \mathcal I_{\eta\psi} = \begin{bmatrix} \frac{2}{\sigma_0}\Re\left\{\mathbf J_{\eta,0}^{\Herm}\mathbf J_{\psi,0}\right\} & \cdots & \frac{2}{\sigma_{L-1}}\Re\left\{\mathbf J_{\eta,L-1}^{\Herm}\mathbf J_{\psi,L-1}\right\} \end{bmatrix}, \label{eq:A6_Itb} \end{equation} \begin{equation} \mathcal I_{\psi\psi} = \operatorname{blkdiag} \left( \frac{2}{\sigma_0}\Re\left\{\mathbf J_{\psi,0}^{\Herm}\mathbf J_{\psi,0}\right\}, \ldots, \frac{2}{\sigma_{L-1}}\Re\left\{\mathbf J_{\psi,L-1}^{\Herm}\mathbf J_{\psi,L-1}\right\} \right). \label{eq:A6_Ibb} \end{equation} \subsubsection{\texorpdfstring{消去复干扰系数后的 \gls{efim}}{消去复干扰系数后的 EFIM}} 由于 $\boldsymbol\psi_{\zeta}$ 是均值干扰参数，主参数向量 $\boldsymbol\eta$ 的 \gls{efim} 为 % \begin{equation} \mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta) = \mathcal I_{\eta\eta} - \mathcal I_{\eta\psi} \mathcal I_{\psi\psi}^{-1} \mathcal I_{\psi\eta}. \label{eq:A6_schur} \end{equation} 对每颗卫星，复增益实部和虚部对应的 Jacobian 为 $\begin{bmatrix}\mathbf g_\ell & j\mathbf g_\ell\end{bmatrix}$。虽然这两个列向量对应的是实参数化下的二维实线性干扰子空间，但其等价于由 $\mathbf g_\ell$ 张成的复一维子空间；相应的 Schur 补可以写成对该复一维子空间的正交投影形式。定义投影矩阵及其正交补为 % \begin{equation} \mathcal P_{\mathbf g_\ell} \triangleq \mathbf g_\ell(\mathbf g_\ell^{\Herm}\mathbf g_\ell)^{-1}\mathbf g_\ell^{\Herm}, \qquad \mathcal P_{\mathbf g_\ell}^{\perp} \triangleq \mathbf I_{M_\ell T} - \mathcal P_{\mathbf g_\ell}. \label{eq:A6_proj} \end{equation} % 将 \eqref{eq:A6_Jeta}--\eqref{eq:A6_proj} 代入 \eqref{eq:A6_schur} 并整理，可得 % \begin{equation} \mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta) = 2\sum_{\ell=0}^{L-1} \frac{1}{\sigma_\ell} \Re\left\{ \mathbf J_{\eta,\ell}^{\Herm} \mathcal P_{\mathbf g_\ell}^{\perp} \mathbf J_{\eta,\ell} \right\}. \label{eq:A6_Ieff_proj} \end{equation} % 再利用 $\mathbf J_{\eta,\ell}=\zeta_\ell\mathbf D_\ell$，得到紧凑形式 % \begin{equation} \mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta) = 2\sum_{\ell=0}^{L-1} \frac{|\zeta_\ell|^2}{\sigma_\ell} \Re\left\{ \mathbf D_\ell^{\Herm} \mathcal P_{\mathbf g_\ell}^{\perp} \mathbf D_\ell \right\}. \label{eq:A6_Ieff_final} \end{equation} % 式~\eqref{eq:A6_Ieff_final} 即为静态多阵列确定信号 \gls{doa}--Doppler 联合估计的 \gls{efim}。 \subsubsection{CRB 表达式} 因此，联合参数向量 $\boldsymbol\eta=[\alpha,\beta,\nu_{\mathrm{ref}}]^{\Tran}$ 的 \gls{crb} 为 % \begin{equation} \operatorname{CRB}(\boldsymbol\eta) = \mathcal I_{\mathrm e}^{-1}(\boldsymbol\eta). \label{eq:A6_crb_joint} \end{equation} 若仅关心角度参数 % \begin{equation} \boldsymbol\xi \triangleq \begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \end{bmatrix}, \end{equation} % 则将 \eqref{eq:A6_Ieff_final} 按 $(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})$ 分块为 % \begin{equation} \mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta) = \begin{bmatrix} \mathcal I_{\mathrm{ang},\mathrm{ang}} & \mathcal I_{\mathrm{ang},\nu} \\ \mathcal I_{\nu,\mathrm{ang}} & \mathcal I_{\nu\nu} \end{bmatrix}, \end{equation} % 其中 $\mathcal I_{\mathrm{ang},\mathrm{ang}}\in\mathbb R^{2\times 2}$，$\mathcal I_{\mathrm{ang},\nu}\in\mathbb R^{2\times 1}$，则 \gls{doa} 参数的等效 \gls{crb} 为 % \begin{equation} \operatorname{CRB}(\boldsymbol\xi) = \left( \mathcal I_{\mathrm{ang},\mathrm{ang}} - \mathcal I_{\mathrm{ang},\nu}\,\mathcal I_{\nu\nu}^{-1}\,\mathcal I_{\nu,\mathrm{ang}} \right)^{-1}. \label{eq:A6_crb_ang} \end{equation} % 类似地，仅参考归一化 Doppler 参数 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 的 \gls{crb} 为 % \begin{equation} \operatorname{CRB}(\nu_{\mathrm{ref}}) = \left( \mathcal I_{\nu\nu} - \mathcal I_{\nu,\mathrm{ang}}\,\mathcal I_{\mathrm{ang},\mathrm{ang}}^{-1}\,\mathcal I_{\mathrm{ang},\nu} \right)^{-1}. \label{eq:A6_crb_omega} \end{equation} \subsubsection{备注} \begin{enumerate} \item 若所有卫星噪声方差相同，即 $\sigma_\ell=\sigma$，则 \eqref{eq:A6_Ieff_final} 退化为 \begin{equation} \mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta) = \frac{2}{\sigma} \sum_{\ell=0}^{L-1} |\zeta_\ell|^2 \Re\left\{ \mathbf D_\ell^{\Herm}\mathcal P_{\mathbf g_\ell}^{\perp}\mathbf D_\ell \right\}. \end{equation} \item 若进一步将噪声方差 $\{\sigma_\ell\}_{\ell=0}^{L-1}$ 也并入待估参数，则协方差项仅对这些方差参数自身有贡献，且与均值参数块解耦。具体而言，若把第 $\ell$ 条链路的方差参数取为 $\sigma_\ell$，则有 \begin{equation} [\mathcal I(\boldsymbol\kappa)]_{\sigma_\ell,\sigma_\ell} = \frac{M_\ell T}{\sigma_\ell^2}, \qquad [\mathcal I(\boldsymbol\kappa)]_{\sigma_\ell,i}=0, \quad i\neq \sigma_\ell, \end{equation} % 因此不会改变 \eqref{eq:A6_Ieff_final} 给出的 $\boldsymbol\eta$ 的 \gls{efim}。 \end{enumerate} 至此，单用户多星静态基线与正文静态模型一一对应：正文负责给出观测模型、参数分组和集中似然，本文附录负责给出 Jacobian、Fisher 信息分块与 Schur 补形式。 \subsection{多用户多星 CRB（扩展）} \label{subsec:E2_multiUserMultiSatCrb} 本小节对应正文第~\ref{sec:multiSatMultiUser} 节，把 E.1 的复增益 Schur 补框架扩展到 $K\ge 1$ 个用户。主参数堆叠为 % \begin{equation} \boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}} = \big[ \boldsymbol\xi_1^\Tran,\nu_{\mathrm{ref},1}, \ldots, \boldsymbol\xi_K^\Tran,\nu_{\mathrm{ref},K} \big]^\Tran \in\mathbb R^{3K}. \end{equation} % 均值干扰参数为各星各用户的复增益 % \begin{equation} \boldsymbol\psi_{\zeta,\mathrm{mu}} = \big[ \zeta_{0,1}^{(r)},\zeta_{0,1}^{(i)},\ldots, \zeta_{L-1,K}^{(r)},\zeta_{L-1,K}^{(i)} \big]^\Tran \in\mathbb R^{2LK}. \end{equation} % 噪声方差参与协方差但与均值参数解耦，同 E.1 不显式出现在 Schur 补中。 \subsubsection{多用户 Jacobian} 第 $\ell$ 颗卫星均值向量 % \begin{equation} \boldsymbol\mu_\ell(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}},\boldsymbol\zeta_\ell) = \mathbf G_\ell(\boldsymbol\Xi,\boldsymbol\nu_{\mathrm{ref}})\boldsymbol\zeta_\ell = \sum_{k=1}^{K}\zeta_{\ell,k}\mathbf g_{\ell,k}, \end{equation} % 其中 $\mathbf g_{\ell,k}=\mathbf q_{\ell,k}\otimes\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi_k)$。 关于第 $k$ 个用户的主参数子向量 $\boldsymbol\eta_k\triangleq[\boldsymbol\xi_k^\Tran,\nu_{\mathrm{ref},k}]^\Tran\in\mathbb R^3$，由于 $\mathbf g_{\ell,k'}$ 在 $k'\neq k$ 时与 $\boldsymbol\eta_k$ 无关，Jacobian 只通过本用户的 $\mathbf g_{\ell,k}$ 列出现： % \begin{equation} \mathbf J_{\eta_k,\ell} \triangleq \frac{\partial\boldsymbol\mu_\ell}{\partial\boldsymbol\eta_k} = \zeta_{\ell,k}\, \mathbf D_{\ell,k} \in\mathbb C^{M_\ell T\times 3}, \end{equation} % 其中 $\mathbf D_{\ell,k}\triangleq[\partial\mathbf g_{\ell,k}/\partial\alpha_k,\,\partial\mathbf g_{\ell,k}/\partial\beta_k,\,\partial\mathbf g_{\ell,k}/\partial\nu_{\mathrm{ref},k}]$，三列的具体表达完全平行于 \eqref{eq:A6_Dl}，只需把 $\boldsymbol\xi$、$\nu_{\mathrm{ref}}$ 替换为 $\boldsymbol\xi_k$、$\nu_{\mathrm{ref},k}$。 将所有用户的 Jacobian 横向拼接为 % \begin{equation} \mathbf J_{\eta,\ell} = \big[ \mathbf J_{\eta_1,\ell},\ldots,\mathbf J_{\eta_K,\ell} \big] \in\mathbb C^{M_\ell T\times 3K}. \end{equation} % 关于本星复增益 $[\zeta_{\ell,1}^{(r)},\zeta_{\ell,1}^{(i)},\ldots,\zeta_{\ell,K}^{(r)},\zeta_{\ell,K}^{(i)}]^\Tran$ 的 Jacobian 为 % \begin{equation} \mathbf J_{\psi,\ell} = \big[ \mathbf g_{\ell,1},j\mathbf g_{\ell,1},\ldots,\mathbf g_{\ell,K},j\mathbf g_{\ell,K} \big] \in\mathbb C^{M_\ell T\times 2K}. \end{equation} % $\mathbf J_{\psi,\ell}$ 的实参数化二维实子空间与复矩阵 $\mathbf G_\ell$ 的 $K$ 维复列空间等价。 \subsubsection{Fisher 信息矩阵分块与 Schur 补} 按各星条件独立性，\gls{fim}分块同 \eqref{eq:A6_Itt}--\eqref{eq:A6_Ibb}，只是块尺寸调整为 $\mathcal I_{\eta\eta}\in\mathbb R^{3K\times 3K}$、$\mathcal I_{\psi\psi}\in\mathbb R^{2LK\times 2LK}$（块对角，每星 $2K\times 2K$ 块）： % \begin{equation} \mathcal I_{\eta\eta} = \sum_{\ell=0}^{L-1} \frac{2}{\sigma_\ell} \Re\big\{\mathbf J_{\eta,\ell}^\Herm\mathbf J_{\eta,\ell}\big\}. \end{equation} % 由于 $\mathbf J_{\psi,\ell}$ 的实子空间等价于 $\mathbf G_\ell$ 的复列空间，关于复增益块的 Schur 补化为对 $\mathbf G_\ell$ 列空间正交补的投影。定义 % \begin{equation} \mathcal P_{\mathbf G_\ell} \triangleq \mathbf G_\ell(\mathbf G_\ell^\Herm\mathbf G_\ell)^{-1}\mathbf G_\ell^\Herm, \qquad \mathcal P_{\mathbf G_\ell}^\perp \triangleq \mathbf I_{M_\ell T}-\mathcal P_{\mathbf G_\ell}, \end{equation} % 则消去复增益后的 \gls{efim} 为 % \begin{equation} \label{eq:E2_Ieff_proj} \mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}) = 2\sum_{\ell=0}^{L-1} \frac{1}{\sigma_\ell} \Re\big\{ \mathbf J_{\eta,\ell}^\Herm \mathcal P_{\mathbf G_\ell}^\perp \mathbf J_{\eta,\ell} \big\} \in\mathbb R^{3K\times 3K}. \end{equation} % 按用户分块写出，第 $(k,k')$ 个对角/非对角 $3\times 3$ 子块为 % \begin{equation} \big[\mathcal I_{\mathrm e}\big]_{kk'} = 2\sum_{\ell=0}^{L-1} \frac{1}{\sigma_\ell} \Re\Big\{ \zeta_{\ell,k}^*\zeta_{\ell,k'}\, \mathbf D_{\ell,k}^\Herm \mathcal P_{\mathbf G_\ell}^\perp \mathbf D_{\ell,k'} \Big\}. \label{eq:E2_Ieff_block} \end{equation} % 复系数 $\zeta_{\ell,k}^*\zeta_{\ell,k'}$ 必须保留在 $\Re\{\cdot\}$ 内，因为它和右侧厄米积都是一般复值，不能逐因子取实部。$K=1$ 时 $\zeta_\ell^*\zeta_\ell=|\zeta_\ell|^2$ 退化为实数，可提到 $\Re\{\cdot\}$ 外，此时 \eqref{eq:E2_Ieff_block} 即回到 \eqref{eq:A6_Ieff_final} 的单用户基线。 \paragraph{逐星投影之和即联合投影} \eqref{eq:E2_Ieff_proj} 对卫星\emph{求和}的形式并非近似，而是干扰参数块对角性的直接后果，值得单独点明：它意味着``各星先各自消干扰''与``联合消干扰''给出同一个界。各星增益与噪声相互独立，故复增益块 $\mathcal I_{\psi\psi}$ 按卫星块对角，对全体增益的联合 Schur 补\emph{逐星分解}。以 $\mathbf A_\ell$、$\mathbf B_\ell$、$\mathbf C_\ell$ 分别记第 $\ell$ 星的主参数块、主参数--增益交叉块与增益块，则 $\mathcal I_{\eta\eta}=\sum_\ell\mathbf A_\ell$、$\mathcal I_{\eta\psi}=[\mathbf B_0,\ldots,\mathbf B_{L-1}]$、$\mathcal I_{\psi\psi}=\operatorname{blkdiag}(\mathbf C_0,\ldots,\mathbf C_{L-1})$，于是 % \begin{equation} \label{eq:E2_perSatDecomp} \mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}) =\sum_\ell\mathbf A_\ell-\sum_\ell\mathbf B_\ell\mathbf C_\ell^{-1}\mathbf B_\ell^\Tran =\sum_\ell\big(\mathbf A_\ell-\mathbf B_\ell\mathbf C_\ell^{-1}\mathbf B_\ell^\Tran\big), \end{equation} % 而右端每一项恰是 \eqref{eq:E2_Ieff_proj} 的被加项 $2\sigma_\ell^{-1}\Re\{\mathbf J_{\eta,\ell}^\Herm\mathcal P_{\mathbf G_\ell}^\perp\mathbf J_{\eta,\ell}\}$——\emph{每颗星各自消去本星增益（向 $\mathbf G_\ell$ 列空间正交补投影）所得的 \gls{efim}}。故``逐星投影之和''恒等于``联合投影''：在本模型（干扰逐星、噪声独立）下，集中式联合处理与``各星报告自身对主参数的 Fisher 贡献再相加''给出同一个界，二者无精度差。这正是``\gls{fim} 跨星可加''在界级的代数来源。 由此也读出\emph{何时}集中式才严格优于分布式——仅当突破上述两个前提之一： \begin{itemize} \item \emph{压缩}：若各星回传的统计量弱于本星对主参数的完整 Fisher 贡献（例如只回传本地 \gls{doa} 估计而非空时投影），则由数据处理不等式得到一个非负的压缩损失 $\mathcal I_{\mathrm e}-\mathcal I_{\mathrm e}^{\mathrm{DoA}}\succeq\mathbf 0$，其位置模型实例与序关系见\appref{subsec:H4_doaFusion}； \item \emph{共享干扰}：若某干扰参数跨星共享（如星间时间戳 $\delta_\ell$、公共参考时延 $\tau_{\mathrm{ref}}$），则 $\mathcal I_{\psi\psi}$ 不再块对角、\eqref{eq:E2_perSatDecomp} 的分解失效，联合 \gls{efim} 在逐星和之上再扣一个对共享干扰方向的 Schur 投影损失，见\appref{sec:timestampErrCrb}。 \end{itemize} 衡量这一差距时，最完整的是 Loewner 序 $\mathcal I_{\mathrm e}^{\text{联合}}\succeq\mathcal I_{\mathrm e}^{\text{分布}}$（等价 $\operatorname{CRB}^{\text{分布}}\succeq\operatorname{CRB}^{\text{联合}}$），其差矩阵的秩与值域指明损失发生在几维、沿哪个参数方向；需要标量时再用 $\operatorname{tr}\operatorname{CRB}$、$\det\operatorname{CRB}$ 或单方向 $\mathbf e^\Tran\operatorname{CRB}\mathbf e$（典型为距离/\gls{tdoa} 方向）。 \subsubsection{用户分离的可辨识性条件} \eqref{eq:E2_Ieff_proj} 给出的 \gls{efim} 非奇异性等价于多用户主参数得分（对数似然对参数的梯度）在复增益干扰参数得分所张子空间的正交补上的投影列空间 ``在所有 $L$ 颗卫星上联合满秩''。具体地，记每颗卫星上的``白化主参数 Jacobian'' % \begin{equation} \bar{\mathbf J}_{\eta,\ell} \triangleq \frac{1}{\sqrt{\sigma_\ell}}\mathcal P_{\mathbf G_\ell}^\perp\mathbf J_{\eta,\ell}, \end{equation} % \gls{efim} 非奇异 $\Leftrightarrow$ 联合矩阵 $[\bar{\mathbf J}_{\eta,0}^\Tran,\ldots,\bar{\mathbf J}_{\eta,L-1}^\Tran]^\Tran$ 列满秩，即 ``$3K\le \sum_\ell M_\ell T$ 且不同用户的白化得分之间不存在跨星全局共线性''。 正文第~\ref{subsec:userSeparability} 小节给出的几何陈述——``两个用户在所有 $L$ 颗星上相干度 $\rho_{\ell,kk'}\to 1$ 时分离失效''——可严格化为：当某对 $(k,k')$ 满足 % \begin{equation} \mathcal P_{\mathbf G_\ell}^\perp\mathbf g_{\ell,k} \approx c_\ell\, \mathcal P_{\mathbf G_\ell}^\perp\mathbf g_{\ell,k'}, \qquad\forall\ell, \end{equation} % 对应 $\boldsymbol\eta_k$ 与 $\boldsymbol\eta_{k'}$ 方向上的 \gls{efim} 块趋于秩亏，集中似然在该方向退化为平坦脊（最优不再孤立）。多星几何提供的缓解机制——只要存在一颗星 $\ell$ 上述等式严重违反——也直接由这一秩条件读出。 \subsubsection{CRB 表达式} 多用户主参数 \gls{crb} 为 % \begin{equation} \operatorname{CRB}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}) = \mathcal I_{\mathrm e}^{-1}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}) \in\mathbb R^{3K\times 3K}. \label{eq:E2_crb_mu} \end{equation} % 若只关心第 $k$ 个用户的 \gls{doa} $\boldsymbol\xi_k$，先把 \eqref{eq:E2_crb_mu} 按 $(\boldsymbol\xi_k,\text{其余})$ 分块再取 Schur 补 % \begin{equation} \operatorname{CRB}(\boldsymbol\xi_k) = \mathbf C_{\xi,k} = \big[ \mathcal I_{\mathrm e}^{-1}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}) \big]_{\boldsymbol\xi_k,\boldsymbol\xi_k} \in\mathbb R^{2\times 2}, \end{equation} % 即 $\mathcal I_{\mathrm e}^{-1}$ 中对应 $\boldsymbol\xi_k$ 行/列的 $2\times 2$ 子块。$\mathbf C_{\xi,k}$ 同时被后续波束成形章节作为鲁棒设计的理论上界使用。 \subsection{非正交码分下的多用户 CRB（多址干扰）} \label{subsec:E3_maiCrb} E.2 的多用户 \gls{efim} \eqref{eq:E2_Ieff_proj} 已含用户间耦合：非对角块 \eqref{eq:E2_Ieff_block} 里的投影空时交叠 $\mathbf D_{\ell,k}^\Herm\mathcal P_{\mathbf G_\ell}^\perp\mathbf D_{\ell,k'}$（$k\neq k'$）正是\emph{多址干扰}（multiple-access interference，MAI）。正文第~\ref{subsec:perSatSufficientStat} 小节的逐用户充分统计量 $\widehat{\mathbf h}_{\ell,k}$ 建立在``近正交码分''之上；本小节放开这一理想化，把码互相关显式代入，给出边缘化其余用户后的单用户有效界及其闭式替代。含码 Gram 的多用户参数 \gls{crb} 是标准的码分多用户估计理论~\cite{verduMultiuserDetection1998}（其空时模板 $\mathbf q\otimes\mathbf a$ 即联合角--延时估计，移不变解法见~\cite{vanderveenJointAngleDelay1998}）；此处不引入新界，只把 E.2 中隐含的耦合拎明。 \paragraph{码 Gram 与耦合的因子结构} 空时模板 $\mathbf g_{\ell,k}=\mathbf q_{\ell,k}\otimes\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi_k)$ 的用户间内积按 Kronecker 分解为``码''与``空间''两因子 % \begin{equation} \mathbf g_{\ell,k}^\Herm\mathbf g_{\ell,k'} =\big(\mathbf q_{\ell,k}^\Herm\mathbf q_{\ell,k'}\big) \big(\mathbf a_\ell^\Herm(\boldsymbol\xi_k)\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi_{k'})\big), \qquad \mathbf R_\ell\triangleq\mathbf Q_\ell^\Herm\mathbf Q_\ell, \quad \mathbf Q_\ell=[\mathbf q_{\ell,1},\ldots,\mathbf q_{\ell,K}], \label{eq:E3_gram_factor} \end{equation} % 其中 $r_{\ell,kk'}\triangleq\mathbf q_{\ell,k}^\Herm\mathbf q_{\ell,k'}$ 为码互相关、$\mathbf R_\ell$ 为码 Gram。两个用户只要\emph{码}或\emph{空间}之一充分正交即可分离。码正交（$\mathbf R_\ell=\mathbf I$，$r_{\ell,kk'}=0$，$k\neq k'$）时 $\{\mathbf g_{\ell,k}\}$ 逐用户正交，$\mathcal P_{\mathbf G_\ell}^\perp$ 逐用户作用、\eqref{eq:E2_Ieff_block} 的非对角块消失，多用户 \gls{efim} 块对角，退回第~\ref{subsec:perSatSufficientStat} 小节的逐用户充分统计量与 \eqref{eq:A6_Ieff_final} 的单用户界。短通信导频下 $K$ 个码不可能两两正交，$r_{\ell,kk'}\neq 0$、非对角块非零，留下正比于码互相关的 MAI 耦合项。但对峰值互相关低的码（如长度 $L_c$ 的 Zadoff--Chu 码不同根，峰值互相关 $\sim 1/\sqrt{L_c}$），$\mathbf R_\ell\approx\mathbf I$，该耦合很小、界的抬升按互相关平方量级、通常可忽略——故\emph{码正交假设下的干净界即准确主线}，本小节只界定放开该假设后界的（很小的）抬升，并给出高负载病态时的替代读数。 \paragraph{边缘化其余用户的单用户有效界} 把 \eqref{eq:E2_Ieff_proj} 的 $\mathcal I_{\mathrm e}$ 按``用户 $k$''与``其余 $K-1$ 个用户''两组行列分块，记对角块 $\mathcal I_{kk}\in\mathbb R^{3\times 3}$、$\mathcal I_{\bar k\bar k}$ 与交叉块 $\mathcal I_{k\bar k}$；对其余用户取 Schur 补得用户 $k$ 的有效 \gls{efim} % \begin{equation} \mathcal I_{\mathrm e,k}^{\mathrm{eff}} =\mathcal I_{kk}-\mathcal I_{k\bar k}\mathcal I_{\bar k\bar k}^{-1}\mathcal I_{\bar k k} \preceq\mathcal I_{kk}, \qquad \operatorname{CRB}(\boldsymbol\eta_k)=\big(\mathcal I_{\mathrm e,k}^{\mathrm{eff}}\big)^{-1}, \label{eq:E3_effFim} \end{equation} % 被扣的 $\mathcal I_{k\bar k}\mathcal I_{\bar k\bar k}^{-1}\mathcal I_{\bar k k}\succeq\mathbf 0$ 即\emph{MAI 惩罚}：把其余用户当未知参数一并估计所付的信息损失。码正交时交叉块 $\mathcal I_{k\bar k}=\mathbf 0$、惩罚为零，\eqref{eq:E3_effFim} 退回单用户界；码互相关越强、$K$ 越大，惩罚越重。 \paragraph{可达地板与估计器次优} \eqref{eq:E3_effFim} 是任何估计器都无法回避的\emph{基本极限}：MAI 惩罚源于码非正交这一物理事实、与算法无关。据此把估计器的实测误差分成两部分：(a) 界本身随码 Gram 抬升的部分（地板），(b) 估计器超出该界的部分（次优）。对上述低互相关码，(a) 很小（干净界与含 Gram 界相差在可忽略量级），故实测的估计器--界差距几乎全部归 (b)——联合分离器（如\appref{sec:dictSeparationAmp} 的 AMP/SBL 不动点）在残余 MAI 下的次优，可经更强分离缩小，而非界侧的 MAI 地板。 \paragraph{SINR 型有效 CRB（闭式替代）} 高负载下满 \gls{fim} 可能病态、\eqref{eq:E3_effFim} 难得紧解；此时可退到一个干净可算的替代——线性解相关前端。解相关器以 $\mathbf R_\ell^{-1}$ 分离用户、代价是噪声放大 $[\mathbf R_\ell^{-1}]_{kk}\ge 1$，用户 $k$ 在星 $\ell$ 上的有效信噪比降为 % \begin{equation} \mathrm{SNR}_{\ell,k}^{\mathrm{eff}} =\frac{\mathrm{SNR}_{\ell,k}}{[\mathbf R_\ell^{-1}]_{kk}}, \qquad \mathrm{SNR}_{\ell,k}=\frac{|\zeta_{\ell,k}|^2}{\sigma_\ell}, \label{eq:E3_effSnr} \end{equation} % 把单用户 \gls{efim} \eqref{eq:A6_Ieff_final} 在 $\mathrm{SNR}_{\ell,k}^{\mathrm{eff}}$ 处求值即得每用户的标量替代界。它刻画一个线性解相关接收机的有效信噪比（承有效干扰／有效带宽分析~\cite{tseLinearMultiuserReceivers1999}），恒可算，是 \eqref{eq:E3_effFim} 的一个便捷、一般偏松的读数（只用码域 $\mathbf R_\ell$、未计阵列的额外分离，故保守）；码正交时 $[\mathbf R_\ell^{-1}]_{kk}=1$、无退化。 \paragraph{位置与时间戳版本} 上述结构只改变 \gls{efim} 的\emph{用户--用户块}，其余机器不变：把主参数 Jacobian 换成位置 Jacobian（\appref{sec:userPositionCrb}）即得含 MAI 的位置界，再按\appref{sec:timestampErrCrb} 对共享 $\delta_\ell$ 取 Schur 补即得时间戳误差下的 MAI-aware 位置界。码 Gram 与共享 $\delta$ 是两条独立的耦合来源，分别落在用户--用户块与跨星共享干扰块上。 \medskip 附录 E 完成了多星静态模型从单用户、多用户到非正交码分（多址干扰）的 \gls{crb} 推导。带时间戳误差的部分相干 \gls{efim} 在\appref{sec:timestampErrCrb} 中继续展开；动态多帧模型的 \gls{cp} 和 \gls{ip} \gls{crb} 在\appref{sec:multiFrameCrb} 中继续展开。