\section{多帧动态模型 CRB}
\label{sec:multiFrameCrb}

本附录汇总多帧动态多星模型下的两类 \gls{crb} 推导：连续相位（CP）模型和独立相位（IP）基线模型。
两者共享主参数 $\boldsymbol\eta=[\alpha,\beta,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$ 与 Doppler rate $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 作为干扰参数的处理方式，差别在于跨帧相位结构：CP 模型保留同星公共相位约束，IP 模型放弃这一约束。
通过对比 CP 与 IP 的 \gls{efim} 可以量化跨帧相位连续性所携带的信息量。

\subsection{连续相位 CP 模型 EFIM}
\label{sec:A7_dynDoaDopplerCrb}
本附录沿用第~\ref{sec:dynamicDoaDopplerEst} 节中的动态多帧记号，只讨论两类与正文主线严格对应的模型：
\begin{enumerate}
  \item 第~\ref{subsec:dynamicCpModel} 小节中的连续相位模型（structured continuous-phase, CP）；
  \item 第~\ref{subsec:dynamicRelaxedModel} 小节中的 relaxed 连续相位模型，即保留连续相位模板，但将每个观测块的复干扰系数 $\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp,rel}}$ 视为自由参数。
\end{enumerate}
主参数统一定义为
%
\begin{equation}
  \boldsymbol\eta
  =
  \begin{bmatrix}
    \alpha \\
    \beta \\
    \nu_{\mathrm{ref}}
  \end{bmatrix},
  \qquad
  \boldsymbol\eta\in\mathbb R^3,
\end{equation}
%
并将 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 作为干扰参数处理。为避免重复建模，这里只保留 \gls{crb} 推导所需的最小定义、导数记号与 \gls{fim}/\gls{efim} 结构。

\subsubsection{沿用正文模型的最小定义与导数记号}

沿用第~\ref{subsec:dynamicCpModel} 小节中的连续相位模板与块级向量化方式。对任意卫星 $\ell=0,\ldots,L-1$ 与帧 $p=0,\ldots,P-1$，定义连续相位模板
%
\begin{equation}
  \phi^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}(t)
  =
  \nu_\ell t_{p,t} + \frac{1}{2}\dot\nu_\ell t_{p,t}^2,
  \qquad
  t_{p,t}=\tau_p+t,
  \qquad
  t=0,\ldots,T-1,
\end{equation}
%
其中
%
\begin{equation}
  \nu_\ell = f_{\nu,\ell}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}}),
  \qquad
  \dot\nu_\ell = f_{\dot\nu,\ell}(\boldsymbol\xi,\dot\nu_{\mathrm{ref}}).
\end{equation}
%
按时间堆叠后定义
%
\begin{equation}
  \mathbf q^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}
  \triangleq
  \begin{bmatrix}
    s_p(0)e^{j\phi^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}(0)} \\
    s_p(1)e^{j\phi^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}(1)} \\
    \vdots \\
    s_p(T-1)e^{j\phi^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}(T-1)}
  \end{bmatrix}
  \in\mathbb C^{T\times 1},
\end{equation}
%
以及向量化后的空时模板
%
\begin{equation}
  \mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}
  \triangleq
  \mathbf q^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}\otimes \mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi)
  \in\mathbb C^{M_\ell T\times 1}.
\end{equation}

对角度参数 $x\in\{\alpha,\beta\}$，记导向矢量导数为
%
\begin{equation}
  \mathbf a_{\ell,x}
  \triangleq
  \frac{\partial \mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi)}{\partial x}.
\end{equation}
%
由链式法则可得时间模板导数
%
\begin{equation}
  \frac{\partial \mathbf q^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}}{\partial x}
  =
  j\left[
    \frac{\partial \nu_\ell}{\partial x}
    \operatorname{diag}(t_{p,0},\ldots,t_{p,T-1})
    +
    \frac{1}{2}
    \frac{\partial \dot\nu_\ell}{\partial x}
    \operatorname{diag}(t_{p,0}^2,\ldots,t_{p,T-1}^2)
  \right]
  \mathbf q^{\mathrm{cp}}_{\ell,p},
  \label{eq:A7_qx_cp}
\end{equation}
%
并且
%
\begin{equation}
  \frac{\partial \mathbf q^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}}{\partial \nu_{\mathrm{ref}}}
  =
  j\operatorname{diag}(t_{p,0},\ldots,t_{p,T-1})\mathbf q^{\mathrm{cp}}_{\ell,p},
  \label{eq:A7_qomega_cp}
\end{equation}
\begin{equation}
  \frac{\partial \mathbf q^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}}{\partial \dot\nu_{\mathrm{ref}}}
  =
  \frac{j}{2}\operatorname{diag}(t_{p,0}^2,\ldots,t_{p,T-1}^2)\mathbf q^{\mathrm{cp}}_{\ell,p},
  \label{eq:A7_qgamma_cp}
\end{equation}
%
其中已利用正文中的几何参数化：$\partial \nu_\ell/\partial \nu_{\mathrm{ref}}=1$，$\partial \dot\nu_\ell/\partial \dot\nu_{\mathrm{ref}}=1$。这里的显式导数采用正文中的加性参考星参数化，$\nu_\ell=\nu_{\mathrm{ref}}+\Delta\nu_\ell(\boldsymbol\xi)$ 且 $\dot\nu_\ell=\dot\nu_{\mathrm{ref}}+\Delta\dot\nu_\ell(\boldsymbol\xi)$；若改用一般映射，只需将上述两个导数替换为对应链式法则项。

于是空时模板对主参数与 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 的导数分别为
%
\begin{equation}
  \mathbf d^{\mathrm{cp}}_{\ell,p,\alpha}
  \triangleq
  \frac{\partial \mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}}{\partial \alpha}
  =
  \mathbf q^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}\otimes \mathbf a_{\ell,\alpha}
  +
  \frac{\partial \mathbf q^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}}{\partial \alpha}\otimes \mathbf a_\ell,
\end{equation}
\begin{equation}
  \mathbf d^{\mathrm{cp}}_{\ell,p,\beta}
  \triangleq
  \frac{\partial \mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}}{\partial \beta}
  =
  \mathbf q^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}\otimes \mathbf a_{\ell,\beta}
  +
  \frac{\partial \mathbf q^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}}{\partial \beta}\otimes \mathbf a_\ell,
\end{equation}
\begin{equation}
  \mathbf d^{\mathrm{cp}}_{\ell,p,\nu}
  \triangleq
  \frac{\partial \mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}}{\partial \nu_{\mathrm{ref}}}
  =
  \frac{\partial \mathbf q^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}}{\partial \nu_{\mathrm{ref}}}\otimes \mathbf a_\ell,
\end{equation}
\begin{equation}
  \mathbf d^{\mathrm{cp}}_{\ell,p,\dot\nu}
  \triangleq
  \frac{\partial \mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}}{\partial \dot\nu_{\mathrm{ref}}}
  =
  \frac{\partial \mathbf q^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}}{\partial \dot\nu_{\mathrm{ref}}}\otimes \mathbf a_\ell.
\end{equation}
%
记
%
\begin{equation}
  \mathbf D^{\mathrm{cp}}_{\eta,\ell,p}
  \triangleq
  \begin{bmatrix}
    \mathbf d^{\mathrm{cp}}_{\ell,p,\alpha} &
    \mathbf d^{\mathrm{cp}}_{\ell,p,\beta} &
    \mathbf d^{\mathrm{cp}}_{\ell,p,\nu}
  \end{bmatrix}
  \in\mathbb C^{M_\ell T\times 3},
\end{equation}
%
以及
%
\begin{equation}
  \mathbf d^{\mathrm{cp}}_{\dot\nu,\ell,p}
  \triangleq
  \mathbf d^{\mathrm{cp}}_{\ell,p,\dot\nu}
  \in\mathbb C^{M_\ell T\times 1}.
\end{equation}

将所有 $(\ell,p)$ 的向量化观测按任意固定顺序堆叠为 $\tilde{\mathbf y}$。为避免块顺序引起歧义，记
%
\begin{equation}
  \mathcal B
  \triangleq
  \{(\ell,p):\ell=0,\ldots,L-1,
  \ p=0,\ldots,P-1\},
\end{equation}
%
则对应噪声协方差为
%
\begin{equation}
  \mathbf R_n
  =
  \operatorname{blkdiag}
  \Big(
    \{\sigma_\ell\mathbf I_{M_\ell T}\}_{(\ell,p)\in\mathcal B}
  \Big),
  \label{eq:A7_Rn_cp_stack}
\end{equation}
%
其中每个 $(\ell,p)$ 观测块对应一个 $M_\ell T\times M_\ell T$ 的对角噪声协方差块；同一卫星的不同帧共享同一 $\sigma_\ell$。
由于这里所有待估参数仅通过均值向量进入，而 $\mathbf R_n$ 与这些参数无关，因此对任意实参数 $\kappa_i,\kappa_j$，Fisher 信息矩阵元素统一写为
%
\begin{equation}
  [\mathcal I(\boldsymbol\kappa)]_{ij}
  =
  2\Re\left\{
    \frac{\partial \boldsymbol\mu^{\Herm}(\boldsymbol\kappa)}{\partial \kappa_i}
    \mathbf R_n^{-1}
    \frac{\partial \boldsymbol\mu(\boldsymbol\kappa)}{\partial \kappa_j}
  \right\}.
  \label{eq:A7_FIM_general}
\end{equation}

\subsubsection{连续相位模型下的 CRB}

连续相位模型写为
%
\begin{equation}
  \tilde{\mathbf y}^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}
  =
  \zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}
  \mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}},\dot\nu_{\mathrm{ref}})
  + \tilde{\mathbf n}_{\ell,p},
  \qquad
  \tilde{\mathbf n}_{\ell,p}\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma_\ell\mathbf I_{M_\ell T}).
\end{equation}
%
记
%
\begin{equation}
  \zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}\triangleq \rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}e^{j\chi_\ell},\qquad \rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}\in\mathbb R_{\ge0}.
\end{equation}
%
在常规局部 \gls{crb} 推导中默认真实工作点满足 $\rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}>0$，从而幅度--相位参数化在该点局部可微且相位参数可辨识；若某些块的幅度为零，则对应相位不可辨识，应在数值实现中删除该相位列或采用广义逆形式的 \gls{efim}。
则第 $(\ell,p)$ 个观测块的均值为
%
\begin{equation}
  \boldsymbol\mu^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}
  =
  \zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}\mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}},\dot\nu_{\mathrm{ref}}).
\end{equation}

定义连续相位模型的干扰参数向量为
%
\begin{equation}
  \boldsymbol\psi^{\mathrm{cp}}_{\mu}
  =
  \Big[
    \dot\nu_{\mathrm{ref}},
    \{\chi_\ell\}_{\ell=0}^{L-1},
    \{\rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}:\ell=0,\ldots,L-1,\ p=0,\ldots,P-1\}
  \Big]^{\Tran},
\end{equation}
%
并令总参数向量为
%
\begin{equation}
  \boldsymbol\kappa^{\mathrm{cp}}
  =
  \begin{bmatrix}
    \boldsymbol\eta^{\Tran} & (\boldsymbol\psi^{\mathrm{cp}}_{\mu})^{\Tran}
  \end{bmatrix}^{\Tran}.
\end{equation}

对单个观测块，有
%
\begin{equation}
  \frac{\partial \boldsymbol\mu^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}}{\partial \boldsymbol\eta}
  =
  \zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}\mathbf D^{\mathrm{cp}}_{\eta,\ell,p},
  \label{eq:A7_Jeta_cp_block}
\end{equation}
\begin{equation}
  \frac{\partial \boldsymbol\mu^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}}{\partial \dot\nu_{\mathrm{ref}}}
  =
  \zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}\mathbf d^{\mathrm{cp}}_{\dot\nu,\ell,p},
  \label{eq:A7_Jgamma_cp_block}
\end{equation}
%
以及对任意 $m\in\{0,\ldots,L-1\}$ 与任意 $(m,n)$，
%
\begin{equation}
  \frac{\partial \boldsymbol\mu^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}}{\partial \chi_m}
  =
  \begin{cases}
    j \zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}\mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}, & m=\ell,\\[0.4em]
    \mathbf 0, & m\neq \ell,
  \end{cases}
  \label{eq:A7_Jphi_cp_block}
\end{equation}
\begin{equation}
  \frac{\partial \boldsymbol\mu^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}}{\partial \rho_{m,n}^{\mathrm{cp}}}
  =
  \begin{cases}
    e^{j\chi_\ell}\mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}, & (m,n)=(\ell,p),\\[0.4em]
    \mathbf 0, & (m,n)\neq(\ell,p).
  \end{cases}
  \label{eq:A7_Jb_cp_block}
\end{equation}

将所有观测块联合堆叠后，记相应 Jacobian 为
%
\begin{equation}
  \mathbf J^{\mathrm{cp}}_{\eta}
  \triangleq
  \frac{\partial \boldsymbol\mu^{\mathrm{cp}}}{\partial \boldsymbol\eta},
  \qquad
  \mathbf J^{\mathrm{cp}}_{\psi}
  \triangleq
  \frac{\partial \boldsymbol\mu^{\mathrm{cp}}}{\partial \boldsymbol\psi^{\mathrm{cp}}_{\mu}}.
\end{equation}
%
于是根据 \eqref{eq:A7_FIM_general}，连续相位模型的 \gls{fim} 分块为
%
\begin{equation}
  \mathcal I_{\eta\eta}^{\mathrm{cp}}
  =
  2\Re\left\{
    (\mathbf J^{\mathrm{cp}}_{\eta})^{\Herm}
    \mathbf R_n^{-1}
    \mathbf J^{\mathrm{cp}}_{\eta}
  \right\},
\end{equation}
\begin{equation}
  \mathcal I_{\eta\psi}^{\mathrm{cp}}
  =
  2\Re\left\{
    (\mathbf J^{\mathrm{cp}}_{\eta})^{\Herm}
    \mathbf R_n^{-1}
    \mathbf J^{\mathrm{cp}}_{\psi}
  \right\},
\end{equation}
\begin{equation}
  \mathcal I_{\psi\psi}^{\mathrm{cp}}
  =
  2\Re\left\{
    (\mathbf J^{\mathrm{cp}}_{\psi})^{\Herm}
    \mathbf R_n^{-1}
    \mathbf J^{\mathrm{cp}}_{\psi}
  \right\}.
\end{equation}
%
因此，主参数 $\boldsymbol\eta$ 在连续相位模型下的 \gls{efim} 为
%
\begin{equation}
  \mathcal I_{\mathrm e}^{\mathrm{cp}}(\boldsymbol\eta)
  =
  \mathcal I_{\eta\eta}^{\mathrm{cp}}
  -
  \mathcal I_{\eta\psi}^{\mathrm{cp}}
  \big(\mathcal I_{\psi\psi}^{\mathrm{cp}}\big)^{-1}
  \mathcal I_{\psi\eta}^{\mathrm{cp}},
  \label{eq:A7_Ieff_cp}
\end{equation}
%
其中上式默认 $\mathcal I_{\psi\psi}^{\mathrm{cp}}$ 在考虑的局部工作点非奇异。若由于低信噪比、零幅度块或几何退化导致干扰参数块秩亏，则数值仿真中应将 $\big(\mathcal I_{\psi\psi}^{\mathrm{cp}}\big)^{-1}$ 替换为 Moore--Penrose 广义逆 $\big(\mathcal I_{\psi\psi}^{\mathrm{cp}}\big)^{\dagger}$，并将所得结果解释为广义 \gls{efim}。
从而其 \gls{crb} 为
%
\begin{equation}
  \operatorname{CRB}^{\mathrm{cp}}(\boldsymbol\eta)
  =
  \big(\mathcal I_{\mathrm e}^{\mathrm{cp}}(\boldsymbol\eta)\big)^{-1}.
  \label{eq:A7_CRB_cp}
\end{equation}

需要强调的是，与 relaxed 情形不同，连续相位模型中的 $\{\chi_\ell\}$ 在同一卫星的多帧之间共享，而 $\{\rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}\}$ 为实参数，因此其 Schur 补一般不能进一步化成逐块独立的简单投影求和式。式~\eqref{eq:A7_Ieff_cp} 是与正文模型严格一致且最稳妥的写法。

\subsubsection{Known-rate/unknown-rate EFIM 关系与单星 DoA 正交性}
\label{subsec:A7_knownUnknownRateOrthogonality}

为解释 known-rate 与 unknown-rate 下 \gls{doa} bound 可能重合的现象，本小节把 Doppler-rate 干扰参数从其他幅度/相位干扰参数中单独分离出来。
记
%
\begin{equation}
  \boldsymbol\psi^{\mathrm{cp}}_{0}
  =
  \Big[
    \{\chi_\ell\}_{\ell=0}^{L-1},
    \{\rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}:\ell=0,\ldots,L-1,\ p=0,\ldots,P-1\}
  \Big]^\Tran
\end{equation}
%
为不含 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 的幅度/相位干扰参数。
若 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 已知，则先消去 $\boldsymbol\psi^{\mathrm{cp}}_{0}$ 后，主参数 $\boldsymbol\eta$ 的 known-rate \gls{efim} 可写为
%
\begin{equation}
  \mathcal I_{\mathrm e}^{\mathrm{cp,K}}
  =
  \mathcal I_{\eta\eta}^{(0)}
  -
  \mathcal I_{\eta\psi_0}^{(0)}
  \big(\mathcal I_{\psi_0\psi_0}^{(0)}\big)^\dagger
  \mathcal I_{\psi_0\eta}^{(0)},
  \label{eq:A7_CP_K_EFIM}
\end{equation}
%
其中上标 $(0)$ 表示只按参数 $(\boldsymbol\eta,\boldsymbol\psi^{\mathrm{cp}}_{0})$ 构造的 \gls{fim} 分块。
若进一步把 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 作为干扰参数，则可在消去 $\boldsymbol\psi^{\mathrm{cp}}_{0}$ 后，将扩展 \gls{efim} 按 $(\boldsymbol\eta,\dot\nu_{\mathrm{ref}})$ 分块为
%
\begin{equation}
  \mathcal I_{\mathrm e}^{\mathrm{cp,ext}}
  =
  \begin{bmatrix}
    \mathcal I_{\eta\eta}^{\mathrm K} & \mathbf i_{\eta\dot\nu} \\
    \mathbf i_{\dot\nu\eta} & i_{\dot\nu\dot\nu}
  \end{bmatrix}.
  \label{eq:A7_CP_ext_EFIM_partition}
\end{equation}
%
于是 unknown-rate \gls{efim} 为
%
\begin{equation}
  \mathcal I_{\mathrm e}^{\mathrm{cp,U}}
  =
  \mathcal I_{\eta\eta}^{\mathrm K}
  -
  \mathbf i_{\eta\dot\nu}
  i_{\dot\nu\dot\nu}^{\dagger}
  \mathbf i_{\dot\nu\eta}.
  \label{eq:A7_CP_U_EFIM_from_K}
\end{equation}
%
式~\eqref{eq:A7_CP_U_EFIM_from_K} 中的第二项不是一个必然很大的性能退化项，而是对 $\boldsymbol\eta$ 的 residualized score 与 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 的 residualized nuisance score 之间耦合程度的 accounting。
若该残差耦合很弱，则 known-rate 与 unknown-rate bound 可以非常接近。

进一步将 known-rate \gls{efim} 和 rate-coupling 向量按 $\boldsymbol\eta=[\boldsymbol\xi^\Tran,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$ 分块：
%
\begin{equation}
  \mathcal I_{\eta\eta}^{\mathrm K}
  =
  \begin{bmatrix}
    \mathbf A_{\xi\xi}^{\mathrm K} & \mathbf a_{\xi\nu}^{\mathrm K} \\
    \mathbf a_{\nu\xi}^{\mathrm K} & a_{\nu\nu}^{\mathrm K}
  \end{bmatrix},
  \qquad
  \mathbf i_{\eta\dot\nu}
  =
  \begin{bmatrix}
    \mathbf i_{\xi\dot\nu} \\
    i_{\nu\dot\nu}
  \end{bmatrix}.
  \label{eq:A7_CP_K_partition_xi_nu_rate}
\end{equation}
%
如果
%
\begin{equation}
  \mathbf i_{\xi\dot\nu}=\mathbf 0,
  \qquad
  \mathbf a_{\xi\nu}^{\mathrm K}=\mathbf 0,
  \label{eq:A7_SS_xi_rate_orthogonality_condition}
\end{equation}
%
则消去 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 只会改变 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 对应的标量块，而不会改变 \gls{doa} 的 \gls{crb} 子块。
换言之，\gls{doa} 的 known-rate 与 unknown-rate \gls{crb} 完全一致。

在 single-satellite multi-frame case 中，若唯一卫星即 reference satellite，则
%
\begin{equation}
  f_{\nu,\ell_{\mathrm{ref}}}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})
  =
  \nu_{\mathrm{ref}},
  \qquad
  f_{\dot\nu,\ell_{\mathrm{ref}}}(\boldsymbol\xi,\dot\nu_{\mathrm{ref}})
  =
  \dot\nu_{\mathrm{ref}}.
  \label{eq:A7_ref_link_mapping_no_xi}
\end{equation}
%
因此 $\partial \nu_{\ell_{\mathrm{ref}}}/\partial x=0$ 且 $\partial \dot\nu_{\ell_{\mathrm{ref}}}/\partial x=0$ 对 $x\in\{\alpha,\beta\}$ 成立。
由式~\eqref{eq:A7_qx_cp} 可知，reference-link 的 \gls{doa} 导数不含 Doppler-mapping-induced temporal phase derivative，而只含空间阵列导向导数。
在幅度和公共相位干扰方向被投影消去后，该 \gls{doa} score 的残差部分是与 $\mathbf a_{\ell_{\mathrm{ref}}}(\boldsymbol\xi)$ 正交的空间切向量；相反，$\nu_{\mathrm{ref}}$ 和 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 的残差 score 仍具有沿 reference steering vector 的时间相位结构。
在标准窄带阵列流形下，二者的 Fisher 内积为零，因此式~\eqref{eq:A7_SS_xi_rate_orthogonality_condition} 成立。
这解释了 single-satellite multi-frame known-rate 与 unknown-rate \gls{doa} \gls{crb} 的严格重合。

在 multi-satellite case 中，非参考星通常满足
%
\begin{equation}
  \nu_\ell
  =
  \nu_{\mathrm{ref}}+\Delta\nu_\ell(\boldsymbol\xi),
  \qquad
  \dot\nu_\ell
  =
  \dot\nu_{\mathrm{ref}}+\Delta\dot\nu_\ell(\boldsymbol\xi),
  \qquad
  \ell\neq\ell_{\mathrm{ref}}.
\end{equation}
%
此时 \gls{doa} 导数包含由 $\partial\Delta\nu_\ell/\partial x$ 与 $\partial\Delta\dot\nu_\ell/\partial x$ 诱导的时间相位分量。
因此，$\mathbf i_{\xi\dot\nu}$ 和 $\mathbf a_{\xi\nu}^{\mathrm K}$ 一般不再严格为零，known-rate 与 unknown-rate \gls{doa} \gls{crb} 的完全相等性也不应被作为一般结论。
若数值上 multi-satellite \gls{doa} bound 仍与 known-rate benchmark 基本重合，更稳妥的解释是：在所选 representative geometry 下，\gls{doa} residual score 与 residualized Doppler-rate nuisance direction 的耦合较弱。
这一定量现象适合作为 \gls{efim} accounting 的 sanity check，而不应升级为主要理论贡献。

\subsubsection{relaxed 连续相位模型下的 CRB}

沿用第~\ref{subsec:dynamicRelaxedModel} 小节中的 relaxed 连续相位处理，每个观测块的复干扰系数 $\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp,rel}}$ 视为自由参数，即
%
\begin{equation}
  \tilde{\mathbf y}^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}
  =
  \zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp,rel}}
  \mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}},\dot\nu_{\mathrm{ref}})
  + \tilde{\mathbf n}_{\ell,p},
  \qquad
  \zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp,rel}}=\zeta^{(r)}_{\ell,p}+j\zeta^{(i)}_{\ell,p}.
\end{equation}
%
这里模板仍然是 $\mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}$，因此该模型只是放松了块复系数结构，并未放弃跨帧连续相位模板。

令扩展参数向量为
%
\begin{equation}
  \boldsymbol\eta_{\mathrm{ext}}
  \triangleq
  \begin{bmatrix}
    \boldsymbol\eta \\
    \dot\nu_{\mathrm{ref}}
  \end{bmatrix}
  =
  \begin{bmatrix}
    \alpha \\
    \beta \\
    \nu_{\mathrm{ref}} \\
    \dot\nu_{\mathrm{ref}}
  \end{bmatrix},
\end{equation}
%
并记
%
\begin{equation}
  \mathbf D^{\mathrm{rel}}_{\mathrm{ext},\ell,p}
  \triangleq
  \begin{bmatrix}
    \mathbf d^{\mathrm{cp}}_{\ell,p,\alpha} &
    \mathbf d^{\mathrm{cp}}_{\ell,p,\beta} &
    \mathbf d^{\mathrm{cp}}_{\ell,p,\nu} &
    \mathbf d^{\mathrm{cp}}_{\dot\nu,\ell,p}
  \end{bmatrix}
  \in\mathbb C^{M_\ell T\times 4}.
\end{equation}
%
则单个观测块均值
%
\begin{equation}
  \boldsymbol\mu^{\mathrm{rel}}_{\ell,p}
  =
  \zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp,rel}}\mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{ext}})
\end{equation}
%
对 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{ext}}$ 的 Jacobian 为
%
\begin{equation}
  \mathbf J^{\mathrm{rel}}_{\mathrm{ext},\ell,p}
  \triangleq
  \frac{\partial \boldsymbol\mu^{\mathrm{rel}}_{\ell,p}}{\partial \boldsymbol\eta_{\mathrm{ext}}}
  =
  \zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp,rel}}\mathbf D^{\mathrm{rel}}_{\mathrm{ext},\ell,p},
\end{equation}
%
对块复干扰系数的实部与虚部的 Jacobian 为
%
\begin{equation}
  \mathbf J^{\mathrm{rel}}_{\zeta,\ell,p}
  \triangleq
  \frac{\partial \boldsymbol\mu^{\mathrm{rel}}_{\ell,p}}{\partial
  \begin{bmatrix}
    \zeta^{(r)}_{\ell,p} & \zeta^{(i)}_{\ell,p}
  \end{bmatrix}^{\Tran}}
  =
  \begin{bmatrix}
    \mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p} & j\mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}
  \end{bmatrix}.
\end{equation}

由此构造对应的 \gls{fim} 分块，并对所有块复系数执行 Schur 补，可得扩展参数 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{ext}}$ 的 \gls{efim}
%
\begin{equation}
  \mathcal I_{\mathrm e}^{\mathrm{rel}}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{ext}})
  =
  2\sum_{\ell=0}^{L-1}\sum_{p=0}^{P-1}
  \frac{|\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp,rel}}|^2}{\sigma_\ell}
  \Re\left\{
    \big(\mathbf D^{\mathrm{rel}}_{\mathrm{ext},\ell,p}\big)^{\Herm}
    \mathcal P^{\perp}_{\mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}}
    \mathbf D^{\mathrm{rel}}_{\mathrm{ext},\ell,p}
  \right\},
  \label{eq:A7_Ieff_rel_ext}
\end{equation}
%
其中
%
\begin{equation}
  \mathcal P_{\mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}}
  \triangleq
  \mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}
  \big((\mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p})^{\Herm}\mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}\big)^{-1}
  (\mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p})^{\Herm},
\end{equation}
\begin{equation}
  \mathcal P^{\perp}_{\mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}}
  \triangleq
  \mathbf I_{M_\ell T}-\mathcal P_{\mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}}.
\end{equation}

若关心的是联合参数 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{ext}}=[\boldsymbol\eta^{\Tran},\dot\nu_{\mathrm{ref}}]^{\Tran}$ 的 \gls{crb}，则直接有
%
\begin{equation}
  \operatorname{CRB}_{\mathrm{rel}}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{ext}})
  =
  \big(\mathcal I_{\mathrm e}^{\mathrm{rel}}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{ext}})\big)^{-1}.
  \label{eq:A7_CRB_rel_ext}
\end{equation}

若进一步仍只把 $\boldsymbol\eta$ 视为感兴趣参数，而将 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 作为干扰参数，则将 \eqref{eq:A7_Ieff_rel_ext} 按
%
\begin{equation}
  \mathcal I_{\mathrm e}^{\mathrm{rel}}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{ext}})
  =
  \begin{bmatrix}
    \mathcal I_{\eta\eta}^{\mathrm{rel}} & \mathcal I_{\eta\dot\nu}^{\mathrm{rel}} \\
    \mathcal I_{\dot\nu\eta}^{\mathrm{rel}} & \mathcal I_{\dot\nu\dot\nu}^{\mathrm{rel}}
  \end{bmatrix}
\end{equation}
%
分块，则对应的主参数 \gls{efim} 为
%
\begin{equation}
  \mathcal I_{\mathrm e,\eta}^{\mathrm{rel}}(\boldsymbol\eta)
  =
  \mathcal I_{\eta\eta}^{\mathrm{rel}}
  -
  \mathcal I_{\eta\dot\nu}^{\mathrm{rel}}
  \big(\mathcal I_{\dot\nu\dot\nu}^{\mathrm{rel}}\big)^{-1}
  \mathcal I_{\dot\nu\eta}^{\mathrm{rel}},
  \label{eq:A7_Ieff_rel_eta}
\end{equation}
%
于是
%
\begin{equation}
  \operatorname{CRB}_{\mathrm{rel}}(\boldsymbol\eta)
  =
  \big(\mathcal I_{\mathrm e,\eta}^{\mathrm{rel}}(\boldsymbol\eta)\big)^{-1}.
  \label{eq:A7_CRB_rel_eta}
\end{equation}





\subsubsection{EFIM 病态与 DoA--Doppler 耦合的投影机制}
\label{subsec:A7_efimIllConditioning}

式~\eqref{eq:A7_Ieff_cp} 与式~\eqref{eq:A7_Ieff_rel_eta} 都是对完整 Fisher 信息矩阵中的
干扰参数执行 Schur 补后得到的 \gls{efim}。本小节给出一个与具体 CP/IP 模型无关的局部线性解释，
用于说明多星场景中角度 \gls{crb} 显著改善但 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 边际 \gls{crb} 改善有限、同时 \gls{efim} 条件数
变大的原因。

将所有观测块堆叠后的均值 Jacobian 写为
%
\begin{equation}
  \mathbf J
  =
  \begin{bmatrix}
    \mathbf J_{\eta} & \mathbf J_{\psi}
  \end{bmatrix},
  \qquad
  \mathbf J_{\eta}
  \triangleq
  \frac{\partial\boldsymbol\mu}{\partial\boldsymbol\eta},
  \qquad
  \mathbf J_{\psi}
  \triangleq
  \frac{\partial\boldsymbol\mu}{\partial\boldsymbol\psi_\mu}.
\end{equation}
%
这里 $\boldsymbol\psi_\mu$ 表示只影响均值向量的干扰参数子集；噪声方差参数若并入完整参数，
由于与均值参数 Fisher 块解耦，不影响下面的投影解释。令
%
\begin{equation}
  \bar{\mathbf J}_{\eta}
  \triangleq
  \mathbf R_n^{-1/2}\mathbf J_{\eta},
  \qquad
  \bar{\mathbf J}_{\psi}
  \triangleq
  \mathbf R_n^{-1/2}\mathbf J_{\psi}
\end{equation}
%
为白化 Jacobian。则 Schur 补可写成
%
\begin{equation}
  \mathcal I_{\mathrm{e}}
  =
  2\Re\left\{
    \bar{\mathbf J}_{\eta}^{\Herm}
    \mathcal P_{\bar{\mathbf J}_{\psi}}^{\perp}
    \bar{\mathbf J}_{\eta}
  \right\},
  \qquad
  \mathcal P_{\bar{\mathbf J}_{\psi}}^{\perp}
  =
  \mathbf I-
  \bar{\mathbf J}_{\psi}
  \left(\bar{\mathbf J}_{\psi}^{\Herm}\bar{\mathbf J}_{\psi}\right)^{\dagger}
  \bar{\mathbf J}_{\psi}^{\Herm}.
  \label{eq:A7_efim_projection_interpret}
\end{equation}
%
因此，对任意实扰动 $\delta\boldsymbol\eta$，有
%
\begin{equation}
  \delta\boldsymbol\eta^\Tran
  \mathcal I_{\mathrm{e}}
  \delta\boldsymbol\eta
  =
  2\left\|
    \mathcal P_{\bar{\mathbf J}_{\psi}}^{\perp}
    \bar{\mathbf J}_{\eta}\delta\boldsymbol\eta
  \right\|_2^2.
  \label{eq:A7_efim_quadratic_projection}
\end{equation}
%
由此得到如下判据：
%
\begin{equation}
  \mathcal I_{\mathrm{e}}\ \text{奇异}
  \quad\Longleftrightarrow\quad
  \exists\ \delta\boldsymbol\eta\neq\mathbf 0,
  \quad
  \mathcal P_{\bar{\mathbf J}_{\psi}}^{\perp}
  \bar{\mathbf J}_{\eta}\delta\boldsymbol\eta
  =
  \mathbf 0,
  \label{eq:A7_exact_absorbed_direction}
\end{equation}
%
也即
%
\begin{equation}
  \bar{\mathbf J}_{\eta}\delta\boldsymbol\eta
  \in
  \operatorname{range}(\bar{\mathbf J}_{\psi}).
  \label{eq:A7_range_absorbed_direction}
\end{equation}
%
近奇异情形对应于
%
\begin{equation}
  \bar{\mathbf J}_{\eta}\delta\boldsymbol\eta
  \approx
  \bar{\mathbf J}_{\psi}\delta\boldsymbol\psi,
  \label{eq:A7_near_nuisance_absorption}
\end{equation}
%
即主参数扰动产生的一阶均值变化可以由干扰参数扰动近似表示。

为了把这种近似表示写成可度量的量，定义最小投影角
%
\begin{equation}
  \sin^2\theta_{\min}
  \triangleq
  \min_{\delta\boldsymbol\eta\neq\mathbf 0}
  \frac{
    \left\|
      \mathcal P_{\bar{\mathbf J}_{\psi}}^{\perp}
      \bar{\mathbf J}_{\eta}\delta\boldsymbol\eta
    \right\|_2^2
  }{
    \left\|
      \bar{\mathbf J}_{\eta}\delta\boldsymbol\eta
    \right\|_2^2
  }.
  \label{eq:A7_min_projection_angle}
\end{equation}
%
式~\eqref{eq:A7_efim_quadratic_projection} 表明，\gls{efim} 在某个方向上的有效信息正比于该方向
score 在干扰子空间正交补上的残余能量。因此，当 $\theta_{\min}\approx0$ 时，
$\mathcal I_{\mathrm{e}}$ 会出现小特征值；若同时多星几何使其他方向的信息快速增加，
则 $\kappa(\mathcal I_{\mathrm{e}})$ 会显著变大。

接下来把上述投影解释专门用于 \gls{doa}--Doppler 耦合。将 \gls{efim} 按
$\boldsymbol\eta=[\boldsymbol\xi^\Tran,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$ 分块为
%
\begin{equation}
  \mathcal I_{\mathrm{e}}
  =
  \begin{bmatrix}
    \mathcal I_{\xi\xi} & \mathcal I_{\xi\nu} \\
    \mathcal I_{\nu\xi} & \mathcal I_{\nu\nu}
  \end{bmatrix}.
  \label{eq:A7_efim_xi_nu_partition}
\end{equation}
%
若 $\boldsymbol\xi$ 已知，则参考 Doppler 的 scalar bound 为
%
\begin{equation}
  C_{\nu}^{\mathrm{sc}}
  =
  \mathcal I_{\nu\nu}^{-1}.
  \label{eq:A7_nu_scalar_bound}
\end{equation}
%
若 $\boldsymbol\xi$ 未知，则 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 的边际 Fisher 信息为
%
\begin{equation}
  \mathcal I_{\nu|\xi}
  =
  \mathcal I_{\nu\nu}
  -
  \mathcal I_{\nu\xi}
  \mathcal I_{\xi\xi}^{\dagger}
  \mathcal I_{\xi\nu},
  \label{eq:A7_nu_given_xi_schur}
\end{equation}
%
对应边际 \gls{crb} 为
%
\begin{equation}
  C_{\nu}^{\mathrm{mar}}
  =
  \mathcal I_{\nu|\xi}^{-1}.
  \label{eq:A7_nu_marginal_bound}
\end{equation}
%
为遵守\appref{sec:assumptionsAndNotation}中 $\rho$ 只表示幅度的约定，这里不用 $\rho$ 表示相关系数，
而定义局部 \gls{doa}--Doppler 耦合比例
%
\begin{equation}
  \gamma_{\xi,\nu}^{2}
  \triangleq
  \frac{
    \mathcal I_{\nu\xi}
    \mathcal I_{\xi\xi}^{\dagger}
    \mathcal I_{\xi\nu}
  }{
    \mathcal I_{\nu\nu}
  }.
  \label{eq:A7_xi_nu_coupling_fraction}
\end{equation}
%
在 $\mathcal I_{\mathrm{e}}$ 半正定且 $\mathcal I_{\nu\nu}>0$ 的正则情形下，
$0\leq\gamma_{\xi,\nu}^{2}\leq1$，并且
%
\begin{equation}
  \mathcal I_{\nu|\xi}
  =
  \mathcal I_{\nu\nu}(1-\gamma_{\xi,\nu}^{2}),
  \qquad
  C_{\nu}^{\mathrm{mar}}
  =
  \frac{1}{\mathcal I_{\nu\nu}(1-\gamma_{\xi,\nu}^{2})}.
  \label{eq:A7_nu_info_after_coupling}
\end{equation}
%
于是边际化 \gls{doa} 所造成的 Doppler 标准差放大量为
%
\begin{equation}
  \frac{\sqrt{C_{\nu}^{\mathrm{mar}}}}
       {\sqrt{C_{\nu}^{\mathrm{sc}}}}
  =
  \frac{1}{\sqrt{1-\gamma_{\xi,\nu}^{2}}}.
  \label{eq:A7_nu_std_inflation}
\end{equation}
%
这说明即使多星使 $\mathcal I_{\nu\nu}$ 增大，只要
$\mathcal I_{\nu\xi}\mathcal I_{\xi\xi}^{\dagger}\mathcal I_{\xi\nu}$ 同时较大，
Schur 补后的 $\mathcal I_{\nu|\xi}$ 仍然可能增长缓慢。

若用上标 $(L)$ 表示 $L$ 颗协作卫星下的量，则参考 Doppler 的多星边际增益可写为
%
\begin{equation}
  G_{\nu}(L)
  =
  \frac{\sqrt{C_{\nu}^{\mathrm{mar},(1)}}}
       {\sqrt{C_{\nu}^{\mathrm{mar},(L)}}}
  =
  \sqrt{
    \frac{
      \mathcal I_{\nu\nu}^{(L)}
      \left(1-\gamma_{\xi,\nu}^{2,(L)}\right)
    }{
      \mathcal I_{\nu\nu}^{(1)}
      \left(1-\gamma_{\xi,\nu}^{2,(1)}\right)
    }
  }.
  \label{eq:A7_multisat_nu_gain}
\end{equation}
%
因此，$\nu_{\mathrm{ref}}$ 的多星增益由两个因子共同决定：一个是 scalar 信息
$\mathcal I_{\nu\nu}^{(L)}$ 的能量叠加，另一个是耦合惩罚
$1-\gamma_{\xi,\nu}^{2,(L)}$。这解释了为什么两星或少数多星情形中，角度 \gls{crb} 可能因
$\mathcal I_{\xi\xi}$ 增强而明显降低，而 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 的边际 \gls{crb} 只出现温和改善。

对本文的动态连续相位模型，造成 $\gamma_{\xi,\nu}^{2}$ 较大的主要来源有三类。第一，幅度与相位
干扰参数张成了与 $\mathbf g_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}$ 和
$j\mathbf g_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}$ 相关的局部子空间，主参数导数中落在该子空间的分量会被
式~\eqref{eq:A7_efim_projection_interpret} 投影掉。第二，短观测窗口内
$\nu_{\mathrm{ref}}$ 和 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 都表现为低阶时间相位项，
$\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 被作为干扰参数消去后会削弱公共 Doppler 截距方向。第三，
$\boldsymbol\xi$ 不仅通过 $\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi)$ 改变阵列流形，也通过
$\Delta\nu_\ell(\boldsymbol\xi)$ 和 $\Delta\dot\nu_\ell(\boldsymbol\xi)$ 改变各星相对 Doppler，
这些几何差分项可以与公共 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 扰动形成近线性组合。

在数值实现中，建议同时报告
$\sqrt{C_{\nu}^{\mathrm{mar}}}$、$\sqrt{C_{\nu}^{\mathrm{sc}}}$、
$\gamma_{\xi,\nu}^{2}$、$\theta_{\min}$ 以及尺度归一化后的条件数。若
$\sqrt{C_{\nu}^{\mathrm{sc}}}$ 随星数增加而改善，但
$\sqrt{C_{\nu}^{\mathrm{mar}}}$ 改善有限，同时 $\gamma_{\xi,\nu}^{2}$ 较大，
则应解释为 \gls{doa}--Doppler Schur 补损失，而不是 Doppler 模板本身没有信息。




\subsubsection{周期帧窗口与 Doppler tooth ambiguity}
\label{subsec:A7_frameTimeCombTooth}

本附录前面得到的 \gls{efim} 是局部二阶量；它默认估计点位于同一个 Doppler tooth 的局部邻域内。
为了描述全局 profile likelihood 的离散多峰结构，需要单独分析帧起始时刻集合所诱导的谱窗口。
按照表~\ref{tab:indexDimensionNotation} 的约定，$\tau_p$ 表示第 $p$ 帧起始点相对于参考时刻的离散采样偏移，
归一化角 Doppler 偏移记为 $\Delta\nu$。若只保留由帧起始时刻造成的公共相位项，则跨帧相干项可写为
%
\begin{equation}
  W_{\mathcal P}(\Delta\nu)
  \triangleq
  \sum_{p\in\mathcal P}w_p\exp\{j\Delta\nu\tau_p\},
  \qquad w_p\geq0.
  \label{eq:A7_frame_window_general}
\end{equation}
%
这里 $w_p$ 可以看作在局部线性化和幅度消元后，第 $p$ 帧对 Doppler 匹配统计量的等效权重。
对于周期帧，$\tau_p=p\Delta\tau_{\mathrm{f}}$。若 $w_p$ 在短窗口内近似常数，则
%
\begin{equation}
  W_{\mathcal P}(\Delta\nu)
  \propto
  \sum_{p=0}^{P-1}\exp\{j\Delta\nu p\Delta\tau_{\mathrm{f}}\}
  =
  \exp\left\{j\frac{(P-1)\Delta\nu\Delta\tau_{\mathrm{f}}}{2}\right\}
  \frac{
    \sin(P\Delta\nu\Delta\tau_{\mathrm{f}}/2)
  }{
    \sin(\Delta\nu\Delta\tau_{\mathrm{f}}/2)
  }.
  \label{eq:A7_frame_window_dirichlet}
\end{equation}
%
因此所有满足
%
\begin{equation}
  \Delta\nu
  =
  k\Delta\nu_{\mathrm{tooth}},
  \qquad
  \Delta\nu_{\mathrm{tooth}}
  \triangleq
  \frac{2\pi}{\Delta\tau_{\mathrm{f}}},
  \qquad k\in\mathbb Z,
  \label{eq:A7_tooth_spacing_discrete}
\end{equation}
%
的 Doppler 偏移在帧起始点上具有相同相位。换算到物理 Doppler，利用
$\nu=2\pi\nu^{\mathrm{Hz}}T_{\mathrm s}$，可得
%
\begin{equation}
  \Delta\nu_{\mathrm{tooth}}^{\mathrm{Hz}}
  =
  \frac{1}{\Delta\tau_{\mathrm{f}}T_{\mathrm s}}.
  \label{eq:A7_tooth_spacing_hz}
\end{equation}
%
这解释了为什么周期多帧目标函数会出现以 $1/(\Delta\tau_{\mathrm{f}}T_{\mathrm s})$ 为间隔的
Doppler comb branches。

有限长度的 pilot block 破坏了这种完全等价性。令每帧保留 $T$ 个采样点，块内相关因子为
%
\begin{equation}
  R_T(\Delta\nu)
  \triangleq
  \frac{1}{T}\sum_{t=0}^{T-1}\exp\{j\Delta\nu t\}
  =
  \frac{\exp\{j(T-1)\Delta\nu/2\}}{T}
  \frac{\sin(T\Delta\nu/2)}{\sin(\Delta\nu/2)}.
  \label{eq:A7_block_dirichlet_corr}
\end{equation}
%
于是相邻 tooth 的可分离性可由
%
\begin{equation}
  D_{\mathrm{blk}}
  \triangleq
  1-
  \left|R_T(\Delta\nu_{\mathrm{tooth}})\right|^2
  \label{eq:A7_block_tooth_separation}
\end{equation}
%
度量。若 $T/\Delta\tau_{\mathrm{f}}\ll1$，则
%
\begin{equation}
  D_{\mathrm{blk}}
  \approx
  1-\operatorname{sinc}^{2}\left(\frac{T}{\Delta\tau_{\mathrm{f}}}\right)
  \approx
  \frac{\pi^2}{3}
  \left(\frac{T}{\Delta\tau_{\mathrm{f}}}\right)^2,
  \qquad
  \operatorname{sinc}(x)=\frac{\sin(\pi x)}{\pi x}.
  \label{eq:A7_block_small_ratio_approx}
\end{equation}
%
因此，增加块长主要增强的是相邻 Doppler tooth 的块内区分度，而不是必然依赖
$\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 在单块内部产生可观测的二次相位曲率。

该分析也解释了周期窗口与非周期 subset 的不同作用。若采用非周期子集
$\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则
%
\begin{equation}
  W_{\mathrm{sub}}(\Delta\nu)
  =
  \sum_{q=1}^{Q}w_q\exp\{j\Delta\nu\tau_{p_q}\}.
  \label{eq:A7_subset_frame_window}
\end{equation}
%
当 $\mathcal T_{\mathrm{sub}}$ 不再满足严格等间隔结构时，式~\eqref{eq:A7_tooth_spacing_discrete}
给出的候选偏移不再必然同时对齐所有帧相位，因而可压低周期 comb 的旁瓣。由此可将实际求解分解为两类问题：
非周期 subset 更适合执行 tooth acquisition，完整周期窗口则更适合在 tooth 已选对时执行同 tooth 内相干 refine。
这也说明，wrong-tooth error 是全局 profile likelihood 的 branch 选择问题；而
式~\eqref{eq:A7_efim_projection_interpret}--\eqref{eq:A7_nu_info_after_coupling} 描述的是给定 branch 内的局部可辨识性。

\subsubsection{数值实现中的一致性检查}

为了直接指导后续仿真，建议在实现 A7 的 \gls{crb} 时按如下顺序检查：首先按照式~\eqref{eq:A7_qx_cp}--\eqref{eq:A7_qgamma_cp} 构造每个 $(\ell,p)$ 块的解析 Jacobian，并用中心差分验证
%
\begin{equation}
  \frac{\partial\boldsymbol\mu^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}}{\partial x}
  \approx
  \frac{\boldsymbol\mu^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}(x+\epsilon)-\boldsymbol\mu^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}(x-\epsilon)}{2\epsilon},
  \qquad
  x\in\{\alpha,\beta,\nu_{\mathrm{ref}},\dot\nu_{\mathrm{ref}},\chi_\ell,\rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}\}.
\end{equation}
%
其次，先由完整实参数 Jacobian 构造
%
\begin{equation}
  \mathcal I_{\mathrm{full}}^{\mathrm{cp}}
  =
  2\Re\{(\mathbf J_{\mathrm{full}}^{\mathrm{cp}})^{\Herm}\mathbf R_n^{-1}\mathbf J_{\mathrm{full}}^{\mathrm{cp}}\},
\end{equation}
%
再按 $[\boldsymbol\eta^{\Tran},(\boldsymbol\psi^{\mathrm{cp}}_{\mu})^{\Tran}]^{\Tran}$ 分块执行 Schur 补得到式~\eqref{eq:A7_Ieff_cp}。最后，对 relaxed 连续相位模型，应同时用完整 \gls{fim} 消元和投影式~\eqref{eq:A7_Ieff_rel_ext} 计算一次，两者应在数值精度内一致；该检查可以有效排除 $\mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}$、$\mathbf D^{\mathrm{rel}}_{\mathrm{ext},\ell,p}$、噪声方差系数和 Kronecker 堆叠顺序的实现错误。

\subsubsection{关于噪声方差参数的说明}

上面的推导默认 $\{\sigma_\ell\}$ 已知，或者已通过预估获得。若将 $\{\sigma_\ell\}$ 也并入待估参数，由于本附录中的确定信号模型只通过均值向量依赖于 $\boldsymbol\eta$、$\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 及各类增益/相位参数，而协方差只依赖于 $\{\sigma_\ell\}$，因此噪声方差参数与均值参数在 Fisher 信息矩阵中是正交的。对第 $\ell$ 颗卫星，有
%
\begin{equation}
  \big[\mathcal I(\boldsymbol\kappa)\big]_{\sigma_\ell,\sigma_\ell}
  =
  \frac{M_\ell P T}{\sigma_\ell^2}.
\end{equation}
%
因此，无论在连续相位模型还是 relaxed 连续相位模型下，将 $\sigma_\ell$ 视为未知量都只会在 \gls{fim} 中附加与其他参数解耦的对角块，不改变式~\eqref{eq:A7_Ieff_cp}、\eqref{eq:A7_Ieff_rel_ext} 和 \eqref{eq:A7_Ieff_rel_eta} 的形式。

因此，本小节给出的不是新的动态模型，而是正文连续相位模型和 relaxed 连续相位处理的 Fisher 信息表达。它与\appref{sec:A8_dynIndependentPhaseCrb} 的比较应围绕``是否保留跨帧绝对相位连续性''展开，而不是围绕不同的主参数定义展开。

\subsection{独立相位 IP 基线 EFIM}
\label{sec:A8_dynIndependentPhaseCrb}
本附录仅对应第~\ref{subsec:independentPhaseModel} 小节中的独立相位基线模型。这里的``独立相位''是指：每个观测块 $(\ell,p)$ 具有各自的\emph{独立未知初始相位} $\vartheta_{\ell,p}$，这些相位不再受同一颗卫星公共相位的结构约束；但它们仍是\emph{确定性未知参数}，而不是按某个先验分布生成的随机变量。因此，本附录与正文及\appref{sec:A7_dynDoaDopplerCrb} 一样，采用\emph{确定性参数 \gls{crb}}，而不再引入 hybrid \gls{crb}。

主参数统一定义为
%
\begin{equation}
  \boldsymbol\eta
  =
  \begin{bmatrix}
    \alpha \\
    \beta \\
    \nu_{\mathrm{ref}}
  \end{bmatrix},
  \qquad
  \boldsymbol\eta\in\mathbb R^3,
\end{equation}
%
并继续将 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 作为干扰参数处理。为避免与正文和\appref{sec:A7_dynDoaDopplerCrb} 重复，这里只保留独立相位模型对应的最小定义、导数记号与 \gls{efim} 结构。

\subsubsection{沿用正文独立相位模型的最小定义与导数记号}

沿用第~\ref{subsec:independentPhaseModel} 小节中的块级独立相位建模。对任意卫星 $\ell=0,\ldots,L-1$ 与帧 $p=0,\ldots,P-1$，定义局部归一化 Doppler 为
%
\begin{equation}
  \bar\nu_{\ell,p}
  \triangleq
  \nu_\ell + \dot\nu_\ell\tau_p,
  \label{eq:A8_IP_baromega}
\end{equation}
%
其中
%
\begin{equation}
  \nu_\ell = f_{\nu,\ell}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}}),
  \qquad
  \dot\nu_\ell = f_{\dot\nu,\ell}(\boldsymbol\xi,\dot\nu_{\mathrm{ref}}).
  \label{eq:A8_IP_omegagamma_map}
\end{equation}
%
于是独立相位模板写为
%
\begin{equation}
  \phi^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}(t)
  =
  \bar\nu_{\ell,p} t + \frac{1}{2}\dot\nu_\ell t^2,
  \qquad
  t=0,\ldots,T-1.
  \label{eq:A8_IP_phase_template}
\end{equation}
%
对应的时间模板与空时模板分别定义为
%
\begin{equation}
  \mathbf q^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}
  \triangleq
  \begin{bmatrix}
    s_p(0)e^{j\phi^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}(0)} \\
    s_p(1)e^{j\phi^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}(1)} \\
    \vdots \\
    s_p(T-1)e^{j\phi^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}(T-1)}
  \end{bmatrix}
  \in\mathbb C^{T\times 1},
  \label{eq:A8_IP_qdef}
\end{equation}
\begin{equation}
  \mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}
  \triangleq
  \mathbf q^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}\otimes \mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi)
  \in\mathbb C^{M_\ell T\times 1}.
  \label{eq:A8_IP_gdef}
\end{equation}
%
于是向量化观测模型为
%
\begin{equation}
  \tilde{\mathbf y}^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}
  =
  \zeta_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}
  \mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}},\dot\nu_{\mathrm{ref}})
  + \tilde{\mathbf n}_{\ell,p},
  \label{eq:A8_IP_model}
\end{equation}
%
其中
%
\begin{equation}
  \tilde{\mathbf n}_{\ell,p}\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma_\ell\mathbf I_{M_\ell T}),
  \qquad
  \ell=0,\ldots,L-1,\qquad
  p=0,\ldots,P-1.
\end{equation}
%
正文 \gls{mle} 中可直接把 $\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}$ 作为自由复增益消元；本附录为了构造实参数 Fisher 信息矩阵，将其写作极坐标形式
%
\begin{equation}
  \zeta_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}
  =
  \rho_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}e^{j\vartheta_{\ell,p}},
  \qquad
  \rho_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}\in\mathbb R_{\ge0}.
\end{equation}
%
这里的 $\vartheta_{\ell,p}$ 是第 $(\ell,p)$ 个观测块的独立未知初始相位；与连续相位模型相比，跨帧绝对相位连续性已经被这些块级相位参数吸收。

对角度参数 $x\in\{\alpha,\beta\}$，记
%
\begin{equation}
  \mathbf a_{\ell,x}
  \triangleq
  \frac{\partial \mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi)}{\partial x}.
\end{equation}
%
由链式法则可得
%
\begin{equation}
  \frac{\partial \mathbf q^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}}{\partial x}
  =
  j\left[
    \left(
      \frac{\partial \nu_\ell}{\partial x}
      +
      \tau_p\frac{\partial \dot\nu_\ell}{\partial x}
    \right)
    \operatorname{diag}(0,1,\ldots,T-1)
    +
    \frac{1}{2}
    \frac{\partial \dot\nu_\ell}{\partial x}
    \operatorname{diag}(0^2,1^2,\ldots,(T-1)^2)
  \right]
  \mathbf q^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}.
  \label{eq:A8_IP_qx}
\end{equation}
%
又由于
%
\begin{equation}
  \frac{\partial \nu_\ell}{\partial \nu_{\mathrm{ref}}}=1,
  \qquad
  \frac{\partial \dot\nu_\ell}{\partial \dot\nu_{\mathrm{ref}}}=1,
\end{equation}
%
这里同样采用正文中的加性参考星参数化；若改用一般映射，则 $\partial\nu_\ell/\partial\nu_{\mathrm{ref}}$ 与 $\partial\dot\nu_\ell/\partial\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 应替换为对应的链式法则结果。
因此
%
\begin{equation}
  \frac{\partial \mathbf q^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}}{\partial \nu_{\mathrm{ref}}}
  =
  j\operatorname{diag}(0,1,\ldots,T-1)\mathbf q^{\mathrm{ip}}_{\ell,p},
  \label{eq:A8_IP_qomega}
\end{equation}
\begin{equation}
  \frac{\partial \mathbf q^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}}{\partial \dot\nu_{\mathrm{ref}}}
  =
  j\left[
    \tau_p\operatorname{diag}(0,1,\ldots,T-1)
    +
    \frac{1}{2}\operatorname{diag}(0^2,1^2,\ldots,(T-1)^2)
  \right]
  \mathbf q^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}.
  \label{eq:A8_IP_qgamma}
\end{equation}

于是模板导数可统一写为
%
\begin{equation}
  \mathbf d^{\mathrm{ip}}_{\ell,p,\alpha}
  \triangleq
  \frac{\partial \mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}}{\partial \alpha}
  =
  \mathbf q^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}\otimes \mathbf a_{\ell,\alpha}
  +
  \frac{\partial \mathbf q^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}}{\partial \alpha}\otimes \mathbf a_\ell,
\end{equation}
\begin{equation}
  \mathbf d^{\mathrm{ip}}_{\ell,p,\beta}
  \triangleq
  \frac{\partial \mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}}{\partial \beta}
  =
  \mathbf q^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}\otimes \mathbf a_{\ell,\beta}
  +
  \frac{\partial \mathbf q^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}}{\partial \beta}\otimes \mathbf a_\ell,
\end{equation}
\begin{equation}
  \mathbf d^{\mathrm{ip}}_{\ell,p,\nu}
  \triangleq
  \frac{\partial \mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}}{\partial \nu_{\mathrm{ref}}}
  =
  \frac{\partial \mathbf q^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}}{\partial \nu_{\mathrm{ref}}}\otimes \mathbf a_\ell,
\end{equation}
\begin{equation}
  \mathbf d^{\mathrm{ip}}_{\ell,p,\dot\nu}
  \triangleq
  \frac{\partial \mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}}{\partial \dot\nu_{\mathrm{ref}}}
  =
  \frac{\partial \mathbf q^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}}{\partial \dot\nu_{\mathrm{ref}}}\otimes \mathbf a_\ell.
\end{equation}
%
为后续紧凑书写，定义
%
\begin{equation}
  \mathbf D^{\mathrm{ip}}_{\eta\dot\nu,\ell,p}
  \triangleq
  \begin{bmatrix}
    \mathbf d^{\mathrm{ip}}_{\ell,p,\alpha} &
    \mathbf d^{\mathrm{ip}}_{\ell,p,\beta} &
    \mathbf d^{\mathrm{ip}}_{\ell,p,\nu} &
    \mathbf d^{\mathrm{ip}}_{\ell,p,\dot\nu}
  \end{bmatrix}
  \in\mathbb C^{M_\ell T\times 4}.
  \label{eq:A8_IP_Detadotnu}
\end{equation}

\subsubsection{完整参数的 Fisher 信息矩阵}

定义独立相位模型的干扰参数向量为
%
\begin{equation}
  \boldsymbol\psi^{\mathrm{ip}}_{\mu}
  =
  \Big[
    \dot\nu_{\mathrm{ref}},
    \{\vartheta_{\ell,p}:\ell=0,\ldots,L-1,\ p=0,\ldots,P-1\},
    \{\rho_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}:\ell=0,\ldots,L-1,\ p=0,\ldots,P-1\}
  \Big]^{\Tran},
\end{equation}
%
并令总参数向量为
%
\begin{equation}
  \boldsymbol\kappa^{\mathrm{ip}}
  =
  \begin{bmatrix}
    \boldsymbol\eta^{\Tran} & (\boldsymbol\psi^{\mathrm{ip}}_{\mu})^{\Tran}
  \end{bmatrix}^{\Tran}.
\end{equation}
%
为简化书写，这里先假定 $\{\sigma_\ell\}$ 已知；关于未知噪声方差的情形将在附录末尾补充说明。

对任意实参数 $\kappa_i$ 与 $\kappa_j$，Fisher 信息矩阵元素统一写为
%
\begin{equation}
  [\mathcal I(\boldsymbol\kappa^{\mathrm{ip}})]_{ij}
  =
  2\Re\left\{
    \frac{\partial \boldsymbol\mu^{\Herm}(\boldsymbol\kappa^{\mathrm{ip}})}{\partial \kappa_i}
    \mathbf R_n^{-1}
    \frac{\partial \boldsymbol\mu(\boldsymbol\kappa^{\mathrm{ip}})}{\partial \kappa_j}
  \right\},
  \label{eq:A8_IP_FIM_general}
\end{equation}
%
其中 $\boldsymbol\mu(\boldsymbol\kappa^{\mathrm{ip}})$ 为联合均值向量，$\mathbf R_n$ 为联合噪声协方差矩阵。

对单个观测块 $(\ell,p)$，其均值为
%
\begin{equation}
  \boldsymbol\mu^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}
  =
  \rho_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}e^{j\vartheta_{\ell,p}}\mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}.
\end{equation}
%
于是有
%
\begin{equation}
  \frac{\partial \boldsymbol\mu^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}}{\partial
  \begin{bmatrix}
    \alpha & \beta & \nu_{\mathrm{ref}} & \dot\nu_{\mathrm{ref}}
  \end{bmatrix}^{\Tran}}
  =
  \rho_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}e^{j\vartheta_{\ell,p}}
  \mathbf D^{\mathrm{ip}}_{\eta\dot\nu,\ell,p},
  \label{eq:A8_IP_Jetadotnu_block}
\end{equation}
\begin{equation}
  \frac{\partial \boldsymbol\mu^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}}{\partial \vartheta_{\ell,p}}
  =
  j\rho_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}e^{j\vartheta_{\ell,p}}\mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p},
  \label{eq:A8_IP_Jphase_block}
\end{equation}
\begin{equation}
  \frac{\partial \boldsymbol\mu^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}}{\partial \rho_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}}
  =
  e^{j\vartheta_{\ell,p}}\mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}.
  \label{eq:A8_IP_Jamp_block}
\end{equation}

注意到式~\eqref{eq:A8_IP_Jphase_block} 与式~\eqref{eq:A8_IP_Jamp_block} 在实参数意义下所张成的干扰子空间，等价于复向量 $\mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}$ 所张成的一维复子空间。因此，对每个观测块的 $(\vartheta_{\ell,p},\rho_{\ell,p}^{\mathrm{ip}})$ 执行 Schur 补后，可直接得到关于联合参数
%
\begin{equation}
  \begin{bmatrix}
    \boldsymbol\eta^{\Tran} & \dot\nu_{\mathrm{ref}}
  \end{bmatrix}^{\Tran}
\end{equation}
%
的块级 \gls{efim}：
%
\begin{equation}
  \mathcal I^{\mathrm{ip}}_{\mathrm{ext},\ell,p}
  =
  2\frac{(\rho_{\ell,p}^{\mathrm{ip}})^2}{\sigma_\ell}
  \Re\left\{
    \big(\mathbf D^{\mathrm{ip}}_{\eta\dot\nu,\ell,p}\big)^{\Herm}
    \mathcal P^{\perp}_{\mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}}
    \mathbf D^{\mathrm{ip}}_{\eta\dot\nu,\ell,p}
  \right\},
  \label{eq:A8_IP_FIM_block_eff}
\end{equation}
%
其中
%
\begin{equation}
  \mathcal P_{\mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}}
  \triangleq
  \mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}
  \big((\mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p})^{\Herm}\mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}\big)^{-1}
  (\mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p})^{\Herm},
\end{equation}
\begin{equation}
  \mathcal P^{\perp}_{\mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}}
  \triangleq
  \mathbf I_{M_\ell T}-\mathcal P_{\mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}}.
\end{equation}

对全部卫星与全部帧求和，可得
%
\begin{equation}
  \mathcal I^{\mathrm{ip}}_{\mathrm{ext}}
  =
  \sum_{\ell=0}^{L-1}\sum_{p=0}^{P-1}
  \mathcal I^{\mathrm{ip}}_{\mathrm{ext},\ell,p}
  =
  2\sum_{\ell=0}^{L-1}\sum_{p=0}^{P-1}
  \frac{(\rho_{\ell,p}^{\mathrm{ip}})^2}{\sigma_\ell}
  \Re\left\{
    \big(\mathbf D^{\mathrm{ip}}_{\eta\dot\nu,\ell,p}\big)^{\Herm}
    \mathcal P^{\perp}_{\mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}}
    \mathbf D^{\mathrm{ip}}_{\eta\dot\nu,\ell,p}
  \right\}.
  \label{eq:A8_IP_FIM_etadotnu}
\end{equation}

\subsubsection{\texorpdfstring{主参数 $\boldsymbol\eta$ 的 \gls{efim} 与 CRB}{主参数 eta 的 EFIM 与 CRB}}

若把 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 也视为感兴趣参数，则
%
\begin{equation}
  \operatorname{CRB}^{\mathrm{ip}}(\boldsymbol\eta,\dot\nu_{\mathrm{ref}})
  =
  \big(\mathcal I^{\mathrm{ip}}_{\mathrm{ext}}\big)^{-1}.
  \label{eq:A8_IP_CRB_etadotnu}
\end{equation}

若仍只把 $\boldsymbol\eta$ 作为主参数，而把 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 作为干扰参数，则将
\eqref{eq:A8_IP_FIM_etadotnu} 按如下方式分块：
%
\begin{equation}
  \mathcal I^{\mathrm{ip}}_{\mathrm{ext}}
  =
  \begin{bmatrix}
    \mathcal I^{\mathrm{ip}}_{\eta\eta} & \mathcal I^{\mathrm{ip}}_{\eta\dot\nu} \\
    \mathcal I^{\mathrm{ip}}_{\dot\nu\eta} & \mathcal I^{\mathrm{ip}}_{\dot\nu\dot\nu}
  \end{bmatrix},
  \label{eq:A8_IP_FIM_partition}
\end{equation}
%
于是主参数 $\boldsymbol\eta$ 的 \gls{efim} 为
%
\begin{equation}
  \mathcal I^{\mathrm{ip}}_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta)
  =
  \mathcal I^{\mathrm{ip}}_{\eta\eta}
  -
  \mathcal I^{\mathrm{ip}}_{\eta\dot\nu}
  \big(\mathcal I^{\mathrm{ip}}_{\dot\nu\dot\nu}\big)^{-1}
  \mathcal I^{\mathrm{ip}}_{\dot\nu\eta},
  \label{eq:A8_IP_EFIM_eta}
\end{equation}
%
从而
%
\begin{equation}
  \operatorname{CRB}^{\mathrm{ip}}(\boldsymbol\eta)
  =
  \big(\mathcal I^{\mathrm{ip}}_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta)\big)^{-1}.
  \label{eq:A8_IP_CRB_eta}
\end{equation}

式~\eqref{eq:A8_IP_EFIM_eta} 给出的正是独立相位模型下，未知 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 对主参数 $(\alpha,\beta,\nu_{\mathrm{ref}})$ 的信息损失形式。与正文研究主线一致，这里的关键不在于再引入更高维动态状态，而在于比较：在相同短窗条件下，连续相位模型和独立相位模型分别能为主参数保留多少有效信息。

\subsubsection{与 A7 中 relaxed 连续相位结果的关系}

式~\eqref{eq:A8_IP_FIM_etadotnu} 给出的扩展 Fisher 信息矩阵的投影型结构与\appref{sec:A7_dynDoaDopplerCrb} 中 relaxed 连续相位模型的结果形式一致，但两者对应的\emph{时间模板不同}：
\begin{itemize}
  \item  \appref{sec:A7_dynDoaDopplerCrb} 使用的是连续相位模板 $\mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}$，其中通过 $t_{p,t}=\tau_p+t$ 保留了跨帧绝对相位连续性；
  \item 本附录使用的是独立相位模板 $\mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}$，其中帧间常相位项已被 $\vartheta_{\ell,p}$ 吸收，只保留帧内局部相位演化。
\end{itemize}
因此，两类模型的差异不在 Schur 补的代数形式本身，而在模板里是否保留跨帧连续相位结构。这也正是正文中``连续相位 vs.~独立相位''对比的统计本质。

从 \gls{efim} 病态的角度看，独立相位模型与 relaxed 连续相位模型共享同一类投影解释。若定义白化 Jacobian
%
\begin{equation}
  \bar{\mathbf J}^{\mathrm{ip}}_{\eta}
  \triangleq
  \mathbf R_n^{-1/2}
  \frac{\partial\boldsymbol\mu^{\mathrm{ip}}}{\partial\boldsymbol\eta},
  \qquad
  \bar{\mathbf J}^{\mathrm{ip}}_{\psi}
  \triangleq
  \mathbf R_n^{-1/2}
  \frac{\partial\boldsymbol\mu^{\mathrm{ip}}}{\partial\boldsymbol\psi^{\mathrm{ip}}_{\mu}},
\end{equation}
%
则式~\eqref{eq:A8_IP_EFIM_eta} 等价于
%
\begin{equation}
  \mathcal I^{\mathrm{ip}}_{\mathrm{e}}
  =
  2\Re\left\{
    (\bar{\mathbf J}^{\mathrm{ip}}_{\eta})^{\Herm}
    \mathcal P^{\perp}_{\bar{\mathbf J}^{\mathrm{ip}}_{\psi}}
    \bar{\mathbf J}^{\mathrm{ip}}_{\eta}
  \right\}.
  \label{eq:A8_IP_EFIM_projection}
\end{equation}
%
因此，独立相位模型下的弱可辨识方向仍由
$\mathcal P^{\perp}_{\bar{\mathbf J}^{\mathrm{ip}}_{\psi}}\bar{\mathbf J}^{\mathrm{ip}}_{\eta}$
的秩和最小奇异方向决定。与 A7 中的 relaxed 连续相位模型相比，二者的主要区别不在
Schur 补代数形式，而在 $\mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}$ 使用局部时间索引并允许每个
$(\ell,p)$ 块具有独立相位 $\vartheta_{\ell,p}$。这些自由相位会吸收跨帧绝对相位所携带的公共
Doppler 截距信息，因此通常不会缓解 \gls{doa}--Doppler--rate 耦合，而是构成一个更保守的相干性基线。


\subsubsection{关于噪声方差参数的说明}

若进一步将 $\{\sigma_\ell\}$ 也并入待估参数，由于它们只进入协方差矩阵而不进入均值函数，因此与前述均值参数在 Fisher 信息矩阵中仍然解耦。对第 $\ell$ 颗卫星，有
%
\begin{equation}
  \big[\mathcal I(\cdot)\big]_{\sigma_\ell,\sigma_\ell}
  =
  \frac{M_\ell P T}{\sigma_\ell^2}.
\end{equation}
%
因此，将 $\sigma_\ell$ 视为未知量不会改变式~\eqref{eq:A8_IP_FIM_etadotnu} 与式~\eqref{eq:A8_IP_EFIM_eta} 的形式，只是在完整 Fisher 信息矩阵中附加一个与其他参数解耦的对角块。

至此，动态多帧主线的两类性能界已经形成闭环： \appref{sec:A7_dynDoaDopplerCrb} 对应连续相位/relaxed 连续相位模型，本附录对应独立相位基线模型。二者共享同一主参数 $\boldsymbol\eta$，因而可以直接比较相位连续性对 \gls{doa}--Doppler 信息保留能力的影响。