\section{门限区界：Barankin 与 Ziv--Zakai}
\label{sec:thresholdBounds}

\begin{mdquote}
\noindent\textbf{本附录设定}：在局部信息分析之外，用相距有限的参数点考察大误差。
\begin{itemize}[leftmargin=1.5em,itemindent=0pt]
  \item \emph{Barankin 型界} 在参考点和检验点施加无偏约束，给出确定参数的协方差下界。
  \item \emph{Ziv--Zakai 界} 指定参数先验，通过二元检验错误率给出贝叶斯均方误差下界。
  \item \emph{高斯闭式} 两个假设均为圆对称复高斯且具有相同的已知协方差；其他情形须重新计算似然比矩或检验错误率。
\end{itemize}
\end{mdquote}

\gls{crb} 由真值附近的导数构造，\gls{efim} 则是消去干扰参数后的信息矩阵，其逆才是相应的协方差下界。局部界的成立不要求整个似然单峰，但它可能无法紧密描述跳入远处模糊峰所造成的大误差~\cite{athleyThresholdRegionPerformance2005}。本附录先给出匹配模型的有限检验点界，再说明模型误指定时需要改变的条件。

\subsection{有限检验点的 Barankin 型界}
\label{subsec:J1_barankin}

设 $\boldsymbol\eta$ 是实值参数向量，参考点为 $\boldsymbol\eta_{\mathrm r}$，检验点为 $\boldsymbol\eta_1,\ldots,\boldsymbol\eta_q$。密度在这些点有共同支撑，似然比二阶矩有限。定义
%
\begin{equation}
  \label{eq:J_likelihood_ratio}
  L_i(\mathbf y)=\frac{p(\mathbf y;\boldsymbol\eta_i)}
                       {p(\mathbf y;\boldsymbol\eta_{\mathrm r})},
  \qquad
  \boldsymbol\Delta=
  [\boldsymbol\eta_1-\boldsymbol\eta_{\mathrm r},\ldots,
   \boldsymbol\eta_q-\boldsymbol\eta_{\mathrm r}],
  \qquad
  [\mathbf M]_{ij}=\mathbb E_{\mathrm r}[L_iL_j].
\end{equation}
%
若估计器在参考点及全部检验点无偏，则 $\mathbb E_{\mathrm r}[L_i]=1$，且
%
\begin{equation}
  \label{eq:J_cross_moment}
  \mathbb E_{\mathrm r}\!\left[
    (\widehat{\boldsymbol\eta}-\boldsymbol\eta_{\mathrm r})(L_i-1)
  \right]=\boldsymbol\eta_i-\boldsymbol\eta_{\mathrm r}.
\end{equation}
%
令 $\mathbf B_{\mathrm{test}}=\mathbf M-\mathbf1\mathbf1^\Tran$。当它正定时，对估计误差和中心化似然比的联合协方差取 Schur 补，得到
%
\begin{equation}
  \label{eq:J_barankin}
  \operatorname{Cov}_{\mathrm r}(\widehat{\boldsymbol\eta})
    \succeq\boldsymbol\Delta\mathbf B_{\mathrm{test}}^{-1}
                        \boldsymbol\Delta^\Tran .
\end{equation}
%
有限检验点给出 Barankin 型下界；沿任一标量方向对所有有限检验点集合取上确界，才得到该方向的 Barankin 界。若 $\mathbf B_{\mathrm{test}}$ 奇异，须检查无偏约束是否相容，再在其有效子空间使用广义逆。例如，两个不同目标参数具有完全相同的分布时，不存在同时在两点无偏的估计器。正则条件下，令检验点沿完整的局部参数方向趋近参考点，可恢复相应的 \gls{crb}。

\paragraph{复高斯似然比的二阶矩}
设 $\mathbf y\sim\mathcal{CN}(\boldsymbol\mu_{\mathrm r},\mathbf R)$，$\mathbf R\succ0$ 在所有检验点相同，记 $\mathbf d_i=\boldsymbol\mu_i-\boldsymbol\mu_{\mathrm r}$。展开二次型可得
%
\begin{equation}
  \label{eq:J_gaussian_moment}
  \begin{aligned}
  \log L_i
    &=2\Re\{\mathbf d_i^\Herm\mathbf R^{-1}
               (\mathbf y-\boldsymbol\mu_{\mathrm r})\}
       -\mathbf d_i^\Herm\mathbf R^{-1}\mathbf d_i,\\
  [\mathbf M]_{ij}
    &=\exp\!\left(2\Re\{\mathbf d_i^\Herm\mathbf R^{-1}\mathbf d_j\}\right).
  \end{aligned}
\end{equation}
%
第二行利用了实高斯变量的矩母函数：第一行随机项的交叉协方差为 $2\Re\{\mathbf d_i^\Herm\mathbf R^{-1}\mathbf d_j\}$。所得 $\mathbf M$ 为实对称矩阵。单个检验点时，分母为 $\exp(2D_i^2)-1$，其中 $D_i^2=\mathbf d_i^\Herm\mathbf R^{-1}\mathbf d_i$；远处参数若仍具有较小的白化均值距离，就会给出较强的大误差约束。具体门限需结合检验点优化及所采用的估计器分析，不能仅由 $D_i^2$ 的数量级确定。

\paragraph{模型误指定的适用边界}
误指定模型的性能界还需规定真实分布、假设分布及估计器的无偏性或矩约束~\cite{richmondParameterBoundsEstimation2015}。若数据服从真实密度，却把 \eqref{eq:J_likelihood_ratio} 中的两项换成假设同步模型，则一般既没有 $\mathbb E_{\mathrm r}[L_i]=1$，也没有 \eqref{eq:J_cross_moment}。因此，不能通过这一替换把 \eqref{eq:J_barankin} 直接改成误指定界，也不能据此宣称其局部极限就是 \gls{mcrb}。这里的有限点公式用于匹配模型；忽略时间戳的局部失配分析仍使用\appref{subsec:F5_mcrb} 中明确给定的真实与假设模型。
% TODO: 在给定估计器矩约束后，推导含时间戳真实模型与假设同步模型之间的误指定有限检验点界。

\subsection{Ziv--Zakai 界与二元检验}
\label{subsec:J2_zzb}

取实值标量目标 $a$，先验密度为 $\pi(a)$，观测条件密度为 $p(\mathbf y\mid a)$。如果 $a=\mathbf c^\Tran\mathbf p$ 是位置投影，$p(\mathbf y\mid a)$ 应按给定条件先验对其余位置分量与干扰参数积分；若把它们固定为已知量，则得到的是条件子模型。标量 Ziv--Zakai 界可写为~\cite{tsangZivZakai2023}
%
\begin{equation}
  \label{eq:J_zzb}
  \begin{aligned}
  \mathbb E[(\widehat a-a)^2]
    &\geq\frac12\int_0^\infty h\,\mathcal V\{g\}(h)\,\diff h,\\
  g(h)&=\int_{\mathbb R}[\pi(a)+\pi(a+h)]P_{\min}(a,a+h)\,\diff a,\\
  \mathcal V\{g\}(h)&=\sup_{u\geq h}g(u).
  \end{aligned}
\end{equation}
%
这里的二元检验先验为 $\rho_0=\dfrac{\pi(a)}{\pi(a)+\pi(a+h)}$ 与 $\rho_1=\dfrac{\pi(a+h)}{\pi(a)+\pi(a+h)}$；权重和为零的点对积分贡献为零。$P_{\min}$ 使用这些先验，而非一律使用等先验。填谷算子取非增上包络，利用误差尾概率的单调性加强下界。

其依据是恒等式 $\mathbb E[(\widehat a-a)^2]=\dfrac12\int_0^\infty h\,\Pr(|\widehat a-a|\geq h/2)\,\diff h$。用估计值与两个假设的中点比较可构造二元判决；它的错误概率不小于最优二元检验错误概率。对点对积分便得到尾概率的下界 $g(h)$，再利用单调性得到 \eqref{eq:J_zzb}。

\paragraph{等协方差复高斯检验}
当两个条件分布为 $\mathcal{CN}(\boldsymbol\mu_0,\mathbf R)$ 与 $\mathcal{CN}(\boldsymbol\mu_1,\mathbf R)$ 时，令
%
\begin{equation}
  \label{eq:J_distance}
  D^2=(\boldsymbol\mu_1-\boldsymbol\mu_0)^\Herm
       \mathbf R^{-1}(\boldsymbol\mu_1-\boldsymbol\mu_0).
\end{equation}
%
在两个假设下，对数似然比分别服从均值为 $-D^2$、$D^2$，方差同为 $2D^2$ 的实高斯分布。以 $\log(\rho_0/\rho_1)$ 为判决阈值，得到
%
\begin{equation}
  \label{eq:J_pmin}
  \begin{aligned}
  P_{\min}
    &=\rho_0 Q\!\left(\frac{D^2+\log(\rho_0/\rho_1)}{\sqrt{2D^2}}\right)
      +\rho_1 Q\!\left(\frac{D^2-\log(\rho_0/\rho_1)}{\sqrt{2D^2}}\right),\\
  P_{\min}\big|_{\rho_0=\rho_1=1/2}
    &=Q\!\left(\sqrt{D^2/2}\right).
  \end{aligned}
\end{equation}
%
其中 $Q$ 为标准正态右尾函数。$D=0$ 时，直接取 $P_{\min}=\min(\rho_0,\rho_1)$。对干扰参数积分后，条件密度通常成为混合分布，此时 \eqref{eq:J_pmin} 的高斯闭式不再直接适用。

\paragraph{近似模糊与误差地板}
在独立星噪声模型下，$D^2=\sum_\ell\|\boldsymbol\mu_{1,\ell}-\boldsymbol\mu_{0,\ell}\|_2^2/\sigma_\ell$，因此白化距离跨星可加。若两组固定参数的均值差非零，降低噪声方差会使 $D^2$ 增大，检验错误率趋于零；很小的均值差可推迟门限转折，却不必产生高信噪比地板。若不同参数有相同均值，则该点对始终不可区分；要使贝叶斯均方误差保持非零地板，还需这种模糊对先验积分具有非零贡献。

多用户均值是各用户信号之和，其差的平方范数一般含用户间交叉项。只有相应差向量正交时，白化距离才可再按用户相加。增加用户既提供观测结构，也引入未知参数，其效果应结合\appref{subsec:F6_tauDeltaConfound} 的投影秩判据与有限距离检验判断，不存在仅由用户数决定的统一门限或地板结论。

局部满秩与全局唯一性是两个不同条件：前者支持有限的局部协方差界，后者还要求排除搜索域内的远距离模糊。Barankin 型界和 Ziv--Zakai 界分别在无偏约束与先验平均的框架下补充这一分析。