\section{时间戳误差与部分相干观测}
\label{sec:timestampError}

前四节均假设 $L$ 颗卫星之间完全相干——它们以共同的离散时间基记录采样、并共享同一时间原点。实际系统中各星本振与采样时钟独立，星间时钟同步不可能精确到亚采样级别，残余的未知\emph{时间戳误差}使 ``参考时刻 $t=0$'' 在不同卫星上落到不同的物理瞬时。
本节沿\emph{同步条件}维度推进一步：把第~\ref{sec:multiSatMultiUser} 节多用户模型中的``完全相干''放宽为``参考星完全可信、其余卫星时间戳带未知误差 $\delta_\ell$'' 的\emph{部分相干}观测，其余维度（单帧、已知导频、无星间频偏）保持最简。
关键现象是：$\delta_\ell$ 与 $\nu_{\ell,k}$ 在似然中以乘积形式耦合，产生未知相位偏移 $-\nu_{\ell,k}\delta_\ell$ 与导频时间偏移 $s_k(t-\delta_\ell)$。当 $|\delta_\ell|$ 很小时可作一阶近似并通过 Schur 补消去；当 $|\delta_\ell|$ 大到一个导频符号宽度时必须显式数值搜索。本节按这一切换刻画模型接口与方法适用边界；具体方法选择留给后续工作。详细 \gls{efim} 推导与数值框架见\ref{sec:timestampErrCrb}。

\subsection{时间戳误差与扰动信号模型}
\label{subsec:perturbedSignalModel}

把\emph{时间戳误差}定义为``某颗卫星实际采样时刻相对其名义采样时刻的偏移''。以参考星 $\ell_{\mathrm{ref}}$ 为基准并令 $\delta_{\ell_{\mathrm{ref}}}\equiv 0$，其余卫星的时间戳误差以采样点数为单位记为
%
\begin{equation}
  \delta_\ell\in\mathbb R,
  \qquad
  \ell\neq\ell_{\mathrm{ref}},
\end{equation}
%
对应的物理时间误差为 $\delta\tau_\ell=\delta_\ell T_{\mathrm{s}}$（秒）。$\delta_\ell$ 可正可负，不要求为整数采样。所有非参考星时间戳误差堆叠为
%
\begin{equation}
  \boldsymbol\delta
  \triangleq
  \big[\delta_\ell\big]_{\ell\neq\ell_{\mathrm{ref}}}
  \in\mathbb R^{L-1}.
\end{equation}

在第~\ref{sec:multiSatMultiUser} 节的多用户基线上引入 $\delta_\ell$，第 $\ell$ 颗卫星接收到的连续时间基带信号被替换为``在偏移 $\delta_\ell$ 后的瞬时上采样''：
%
\begin{equation}
  \label{eq:sec5_signal_model}
  \mathbf y_\ell(t)
  =
  \sum_{k=1}^{K}
  \zeta_{\ell,k}
  \mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi_k)
  s_k(t-\delta_\ell)
  e^{j\nu_{\ell,k}(\boldsymbol\xi_k,\nu_{\mathrm{ref},k})(t-\delta_\ell)}
  +
  \mathbf n_\ell(t).
\end{equation}
%
即采样网格保持 $t=0,1,\ldots,T-1$，但被采样的连续时间标记从 $t$ 变为 $t-\delta_\ell$。
窄带阵列假设下 $\mathbf a_\ell$ 与瞬时时间无关，故 $\delta_\ell$ 不进入空间导向矢量；它只通过\emph{导频时间偏移}与\emph{Doppler 相位偏移}两条途径出现在均值向量中。

\subsection{相位偏移耦合与导频时间偏移}

将\eqref{eq:sec5_signal_model} 中复指数项展开
%
\begin{equation}
  \label{eq:sec5_phase_decomp}
  e^{j\nu_{\ell,k}(t-\delta_\ell)}
  =
  e^{-j\nu_{\ell,k}\delta_\ell}
  \cdot
  e^{j\nu_{\ell,k}t},
\end{equation}
%
可见 $\delta_\ell$ 与 $\nu_{\ell,k}$ 以乘积形式产生一个与时间无关的相位常数 $-\nu_{\ell,k}\delta_\ell$。
若把该常数吸入复增益，定义\emph{等效复增益}
%
\begin{equation}
  \tilde\zeta_{\ell,k}(\boldsymbol\xi_k,\nu_{\mathrm{ref},k},\delta_\ell)
  \triangleq
  \zeta_{\ell,k}e^{-j\nu_{\ell,k}\delta_\ell},
\end{equation}
%
则模型可改写为
%
\begin{equation}
  \label{eq:sec5_absorbed_model}
  \mathbf y_\ell(t)
  =
  \sum_{k=1}^{K}
  \tilde\zeta_{\ell,k}
  \mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi_k)
  s_k(t-\delta_\ell)
  e^{j\nu_{\ell,k}t}
  +
  \mathbf n_\ell(t).
\end{equation}
%
这是部分相干模型的核心结构。两点观察：
\begin{enumerate}
  \item \emph{相位耦合}已被 $\tilde\zeta_{\ell,k}$ 吸收，但代价是：原本各星独立的 $\{\zeta_{\ell,k}\}$ 与几何参数 $(\boldsymbol\xi_k,\nu_{\mathrm{ref},k})$ \emph{解耦}的良好性质消失。$\tilde\zeta_{\ell,k}$ 显式依赖 $\delta_\ell$ 与 $\nu_{\ell,k}$，把 $\delta_\ell$ 的不确定性以 ``$|\nu_{\ell,k}|\cdot\mathrm{Var}(\delta_\ell)$'' 的形式注入主参数；这是部分相干观测对 Doppler 估计精度的主要恶化来源。
  \item \emph{导频时间偏移} $s_k(t-\delta_\ell)$ 不能被吸入复增益。它通过导频的自相关 $R_{s_k}(\delta_\ell)$ 进入似然，且对 $\delta_\ell$ 高度非线性。当 $\delta_\ell$ 远小于一个导频符号宽度时，可作一阶 Taylor 近似 $s_k(t-\delta_\ell)\approx s_k(t)-\delta_\ell\dot s_k(t)$，并把 $\delta_\ell$ 作为光滑干扰参数处理；当 $|\delta_\ell|$ 接近或超过导频符号宽度时，这一近似失效，必须显式数值搜索。
\end{enumerate}

\subsection{适用性边界：小误差 vs.\ 大误差}
\label{subsec:timestampApplicability}

记导频自相关的有效宽度为 $T_{\mathrm{ac}}$（以采样点数计），即 $R_{s_k}(\delta)$ 衰减到 $1/2$ 的特征尺度。本节方法的适用性按 $|\delta_\ell|$ 相对于 $T_{\mathrm{ac}}$ 与 $1/|\nu_{\ell,k}|$ 的量级分两段：

\begin{itemize}
  \item \textbf{小误差区}（$|\delta_\ell|\ll T_{\mathrm{ac}}$ 且 $|\nu_{\ell,k}\delta_\ell|\ll\pi$）：导频时间偏移可一阶 Taylor 展开；相位偏移 $-\nu_{\ell,k}\delta_\ell$ 把均值向量改写为关于 $\delta_\ell$ 的近似线性扰动。$\boldsymbol\delta$ 进入似然的 Fisher 信息块光滑可逆，可在 EFIM 框架内通过 Schur 补\emph{解析}消去。详细推导见附录~\ref{subsec:F2_schurDelta}。
  \item \textbf{大误差区}（$|\delta_\ell|$ 接近或超过 $T_{\mathrm{ac}}$）：导频自相关衰减导致似然对 $\delta_\ell$ 高度非线性，一阶近似失效；同时若 $|\nu_{\ell,k}\delta_\ell|\gtrsim\pi$，相位偏移引入整周模糊。EFIM 不再可用，必须将 $\delta_\ell$ 作为离散+连续混合参数显式数值搜索；细网格上的局部 Fisher 信息可由\eqref{eq:sec5_absorbed_model} 直接数值评估，见附录~\ref{subsec:F3_numericalEfim}。
\end{itemize}

新论文场景的物理量级一般落在小误差区与大误差区之间的过渡带：实测残差的具体数值取决于平台本振稳定度与所采用的星间同步协议，本笔记不展开。当残差换算到采样点后跨越导频自相关半宽 $T_{\mathrm{ac}}$，就需要从小误差解析方案切换到大误差数值方案；该过渡带是后续数据驱动 nuisance 补偿方法的目标工作点，相关物理量级与仿真工作点留待新论文实验部分讨论。

\subsection{联合似然与 EFIM 结构概览}

把第~\ref{sec:multiSatMultiUser} 节的主参数与干扰参数集合扩展为
%
\begin{equation}
  \boldsymbol\eta
  =
  \boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}
  \in\mathbb R^{3K},
  \qquad
  \boldsymbol\psi_{\mathrm{te}}
  =
  \Big[
    \boldsymbol\delta^\Tran,
    \big\{\zeta_{\ell,k}\big\}_{\ell,k},
    \big\{\sigma_{n,\ell}^2\big\}_{\ell=0}^{L-1}
  \Big]^\Tran,
\end{equation}
%
其中下标 $\mathrm{te}$ 表示 timestamp-error。需要强调：本节\emph{不}把 $\delta_\ell$ 升格为主参数——任务目标仍是估计 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$，$\delta_\ell$ 只是因星间时钟不可信而引入的干扰参数。各星条件独立的圆对称复高斯负对数似然
%
\begin{equation}
  \mathcal L_{\mathrm{te}}(\boldsymbol\eta,\boldsymbol\psi_{\mathrm{te}})
  =
  \sum_{\ell=0}^{L-1}
  \left[
    M_\ell T\log\sigma_{n,\ell}^2
    +
    \frac{1}{\sigma_{n,\ell}^2}
    \sum_{t=0}^{T-1}
    \left\|
      \mathbf y_\ell(t)
      -
      \sum_{k=1}^{K}\zeta_{\ell,k}\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi_k)s_k(t-\delta_\ell)e^{j\nu_{\ell,k}(t-\delta_\ell)}
    \right\|_2^2
  \right]
\end{equation}
%
关于 $(\boldsymbol\zeta,\sigma_{n,\ell}^2)$ 的闭式消元与第~\ref{sec:multiSatMultiUser} 节平行，差别仅在 $\mathbf g_{\ell,k}$ 现在依赖 $\delta_\ell$。

记完整实参数向量
%
\begin{equation}
  \boldsymbol\kappa_{\mathrm{te}}
  =
  \big[
    \boldsymbol\eta^\Tran,\,
    \boldsymbol\delta^\Tran,\,
    \boldsymbol\psi_{\zeta}^\Tran
  \big]^\Tran,
\end{equation}
%
其中 $\boldsymbol\psi_\zeta$ 为各 $\zeta_{\ell,k}$ 的实部/虚部堆叠（噪声方差仅进入协方差、与均值参数解耦，下同第~\ref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb} 节）。Fisher 信息矩阵按 $(\boldsymbol\eta,\boldsymbol\delta,\boldsymbol\psi_\zeta)$ 分块为
%
\begin{equation}
  \mathcal I(\boldsymbol\kappa_{\mathrm{te}})
  =
  \begin{bmatrix}
    \mathcal I_{\eta\eta} & \mathcal I_{\eta\delta} & \mathcal I_{\eta\psi}\\
    \mathcal I_{\delta\eta} & \mathcal I_{\delta\delta} & \mathcal I_{\delta\psi}\\
    \mathcal I_{\psi\eta} & \mathcal I_{\psi\delta} & \mathcal I_{\psi\psi}
  \end{bmatrix}.
\end{equation}
%
小误差区下 $\boldsymbol\delta$ 与 $\boldsymbol\psi_\zeta$ 可依次 Schur 消去，得到关于 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ 的 EFIM
%
\begin{equation}
  \label{eq:sec5_efim}
  \mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}})
  =
  \mathcal I_{\eta\eta}'
  -
  \mathcal I_{\eta\delta}'\,
  (\mathcal I_{\delta\delta}')^{-1}\,
  \mathcal I_{\delta\eta}',
\end{equation}
%
其中 $\mathcal I'_{\cdot\cdot}$ 表示在复增益块消去后剩余的中间 Fisher 块。
\eqref{eq:sec5_efim} 的解析形式只在小误差区可写完整闭式；大误差区下右端各项需逐 $\delta_\ell$ 取值数值评估。详细分块表达、数值评估流程与 $K=1, L=2$ 最简情形的闭式结果见\ref{sec:timestampErrCrb}。

本节完成了部分相干观测下的扰动模型与适用性边界刻画：$\delta_\ell$ 通过相位耦合 $-\nu_{\ell,k}\delta_\ell$ 与导频时间偏移 $s_k(t-\delta_\ell)$ 两条途径污染主参数估计，量级落在小误差区时可借 EFIM 解析消去，落在大误差区时必须数值处理。
回到完全相干假设下的另一类扩展——多帧观测窗口与跨帧绝对相位结构——构成下一节的内容。