\section{用户位置 CRB}
\label{sec:userPositionCrb}

\begin{mdquote}
\noindent\textbf{本附录设定}：对应正文第~\ref{sec:userPositioning}~节的有限距离位置模型。联合观测与复增益消元沿用\appref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb} 的方法，主参数 Jacobian 按位置诱导的角度、Doppler 和传播时延重新构造。
\begin{itemize}[leftmargin=1.5em,itemindent=0pt]
  \item \emph{主参数} $\boldsymbol\eta_{\mathrm{pos}}=[\mathbf p^\Tran,\tau_{\mathrm{ref}},\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran\in\mathbb R^5$（用户位置、参考时延与参考 Doppler）；\emph{干扰参数} 同\appref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb}（各星复增益与噪声方差）。
  \item \emph{本附录给出} 位置对视线与本地角、含地固用户速度的差分 Doppler、传播时延的链式 Jacobian，及由此的位置 \gls{crb}；其余直接引用\appref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb} 的结果。
  \item \emph{本附录局部符号} $\mathbf u_\ell$：星 $\ell$ 单位视线；$\mathbf r_\ell=\mathbf p-\mathbf s_\ell$：星--用户位移；$\mathbf q_\ell^{\mathrm{del}}$：时延模板。完整索引见\appref{sec:assumptionsAndNotation}。
\end{itemize}
\end{mdquote}

\subsection{位置对视线与本地角的链式导数}

单位视线 $\mathbf u_\ell(\mathbf p)=\mathbf r_\ell/\|\mathbf r_\ell\|_2$（$\mathbf r_\ell=\mathbf p-\mathbf s_\ell$）对位置的 Jacobian 为
%
\begin{equation}
  \frac{\partial\mathbf u_\ell}{\partial\mathbf p}
  =\frac{1}{\|\mathbf r_\ell\|_2}\big(\mathbf I_3-\mathbf u_\ell\mathbf u_\ell^\Tran\big)\in\mathbb R^{3\times3}.
  \label{eq:H_dudp}
\end{equation}
%
两点结构性读法：因子 $1/\|\mathbf r_\ell\|_2$ 表明角灵敏度随距离衰减——这正是远场极限下位置不可由角度观测的根源；投影 $\mathbf I_3-\mathbf u_\ell\mathbf u_\ell^\Tran$（秩 $2$）表明沿视线方向（径向）平移不改变该星方向，只有横向平移可观测，故单星无法定距，必须靠多星视差把各秩 $2$ 投影补成满秩 $3$。
本地传播方向为 $\mathbf u_\ell^{\mathrm{loc}}=-\boldsymbol\Omega_\ell^\Tran\mathbf u_\ell$，因此 $\dfrac{\partial\mathbf u_\ell^{\mathrm{loc}}}{\partial\mathbf p}=-\boldsymbol\Omega_\ell^\Tran\,\dfrac{\partial\mathbf u_\ell}{\partial\mathbf p}$。在该传播方向处应用 \eqref{eq:A6_local_angle_chain} 的 atan2/arcsin 链式法则，得到本地角对位置的 Jacobian，从而阵列导向矢量对位置的 Jacobian 为
%
\begin{equation}
  \frac{\partial\mathbf a_\ell}{\partial\mathbf p}
  =\frac{\partial\mathbf a_\ell}{\partial(\boldsymbol\xi_\ell^{\mathrm{loc}})^\Tran}
   \,\frac{\partial\boldsymbol\xi_\ell^{\mathrm{loc}}}{\partial\mathbf p}
  \in\mathbb C^{M_\ell\times3},
  \label{eq:H_dadp}
\end{equation}
%
其中阵列流形 Jacobian $\dfrac{\partial\mathbf a_\ell}{\partial(\boldsymbol\xi_\ell^{\mathrm{loc}})^\Tran}$ 取 \eqref{eq:A6_a_local_jac}。
Doppler 部分，由 $\nu_\ell=\nu_{\mathrm{ref}}+\Delta\nu_\ell(\mathbf p)$ 与位置诱导差分 \eqref{eq:sec7_dnu_pos}，并令 $\boldsymbol\Omega_{\mathrm E}=\partial\mathbf v_u/\partial\mathbf p$，有
%
\begin{equation}
  \frac{\partial\nu_\ell}{\partial\mathbf p}
  =\frac{\partial\Delta\nu_\ell}{\partial\mathbf p}
  =\frac{2\pi T_{\mathrm s}}{\lambda_{\mathrm c}}
  \left[(\mathbf v_\ell-\mathbf v_u(\mathbf p))^\Tran\frac{\partial\mathbf u_\ell}{\partial\mathbf p}
  -\mathbf u_\ell^\Tran\boldsymbol\Omega_{\mathrm E}
  -(\mathbf v_{\ell_{\mathrm{ref}}}-\mathbf v_u(\mathbf p))^\Tran\frac{\partial\mathbf u_{\ell_{\mathrm{ref}}}}{\partial\mathbf p}
  +\mathbf u_{\ell_{\mathrm{ref}}}^\Tran\boldsymbol\Omega_{\mathrm E}\right]\in\mathbb R^{1\times3},
  \qquad
  \frac{\partial\nu_\ell}{\partial\nu_{\mathrm{ref}}}=1,
  \label{eq:H_dnudp}
\end{equation}
%
其中 $\dfrac{\partial\mathbf u_\ell}{\partial\mathbf p}$ 正是 \eqref{eq:H_dudp}，而 $\partial\mathbf v_u/\partial\mathbf p=\boldsymbol\Omega_{\mathrm E}$ 来自地固用户的 ECI 速度映射。第一、第三项由卫星--用户相对速度加权，因而同时包含视线随位置变化时用户速度投影的导数；显式的地固用户速度映射项则贡献 $-(\mathbf u_\ell-\mathbf u_{\ell_{\mathrm{ref}}})^\Tran\boldsymbol\Omega_{\mathrm E}$。当两条视线趋于共同方向且有限距离投影退化时，这两类项分别退化或抵消。传播时延通道由 $\tau_\ell=\tau_{\mathrm{ref}}+\Delta\tau_\ell(\mathbf p)$ 与 \eqref{eq:sec7_tau_pos} 给出，
%
\begin{equation}
  \frac{\partial\tau_\ell}{\partial\mathbf p}
  =\frac{\partial\Delta\tau_\ell}{\partial\mathbf p}
  =\frac{1}{c\,T_{\mathrm s}}\big(\mathbf u_\ell-\mathbf u_{\ell_{\mathrm{ref}}}\big)^\Tran\in\mathbb R^{1\times3},
  \qquad
  \frac{\partial\tau_\ell}{\partial\tau_{\mathrm{ref}}}=1,
  \label{eq:H_dtaudp}
\end{equation}
%
即差分时延对位置的灵敏度是两条视线\emph{单位向量之差}，远场 $\mathbf u_\ell\to\mathbf u_{\ell_{\mathrm{ref}}}$ 时同样趋零，与角度、Doppler 共享同一径向退化。导频包络对时延的导数记为时延模板 $[\mathbf q_\ell^{\mathrm{del}}]_t\triangleq\dfrac{\partial[\mathbf q_\ell]_t}{\partial\tau_\ell}=-\dot s(t-\tau_\ell)\,e^{j\nu_\ell t}$（$\dot s$ 为导频时间导数，与\appref{subsec:F2_schurDelta} 的 $\mathbf q^{\mathrm{te}}$ 共用同一包络导数）。这里 $\dot s$ 取导频的\emph{带限}时间导数：时延与 \gls{tdoa} 信息正源于导频导数能量 $\sum_t|\dot s(t)|^2$（即 RMS/Gabor 带宽的平方），故 $\dot s$（以及 \gls{mcrb} 曲率所需的二阶导数 $\ddot s$）须按导频真实带限谱评估，而不可把有限观测窗强当成一个周期、改用循环导数约定——后者会在窗边界注入非物理的导数奇异、虚增时延信息。时间模板现同时依赖时延与 Doppler，链式导数为
%
\begin{equation}
  \frac{\partial\mathbf q_\ell}{\partial p_i}
  =\mathbf q_\ell^{\mathrm{del}}\,\frac{\partial\tau_\ell}{\partial p_i}
  +\left(\frac{\partial\mathbf q_\ell}{\partial\nu_\ell}\right)\frac{\partial\nu_\ell}{\partial p_i},
  \qquad
  \frac{\partial\mathbf q_\ell}{\partial\tau_{\mathrm{ref}}}=\mathbf q_\ell^{\mathrm{del}},
  \qquad
  \frac{\partial\mathbf q_\ell}{\partial\nu_{\mathrm{ref}}}=\frac{\partial\mathbf q_\ell}{\partial\nu_\ell}.
\end{equation}

\subsection{位置 EFIM 与 CRB}

按 Kronecker 求导法则（同 \eqref{eq:A6_Dl}）组装空时模板对 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{pos}}=[\mathbf p^\Tran,\tau_{\mathrm{ref}},\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$ 的 Jacobian
%
\begin{equation}
  \mathbf D_\ell^{\mathrm{pos}}
  =\left[\,
    \frac{\partial\mathbf g_\ell}{\partial p_x},\ \frac{\partial\mathbf g_\ell}{\partial p_y},\ \frac{\partial\mathbf g_\ell}{\partial p_z},\ \frac{\partial\mathbf g_\ell}{\partial\tau_{\mathrm{ref}}},\ \frac{\partial\mathbf g_\ell}{\partial\nu_{\mathrm{ref}}}
  \,\right]\in\mathbb C^{M_\ell T\times5},
\end{equation}
%
其中位置列 $\dfrac{\partial\mathbf g_\ell}{\partial p_i}=\mathbf q_\ell\otimes\left(\dfrac{\partial\mathbf a_\ell}{\partial p_i}\right)+\left(\dfrac{\partial\mathbf q_\ell}{\partial p_i}\right)\otimes\mathbf a_\ell$ 现含角度、时延、Doppler 三项贡献（$\dfrac{\partial\mathbf q_\ell}{\partial p_i}$ 见上式）、时延列 $\dfrac{\partial\mathbf g_\ell}{\partial\tau_{\mathrm{ref}}}=\mathbf q_\ell^{\mathrm{del}}\otimes\mathbf a_\ell$、Doppler 列 $\dfrac{\partial\mathbf g_\ell}{\partial\nu_{\mathrm{ref}}}=\left(\dfrac{\partial\mathbf q_\ell}{\partial\nu_\ell}\right)\otimes\mathbf a_\ell$，$\dfrac{\partial\mathbf a_\ell}{\partial p_i}$ 取 \eqref{eq:H_dadp} 的第 $i$ 列。消去复增益后的 \gls{efim} 与 \eqref{eq:A6_Ieff_final} 同形：
%
\begin{equation}
  \mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{pos}})
  =2\sum_{\ell=0}^{L-1}\frac{|\zeta_\ell|^2}{\sigma_\ell}
  \Re\big\{(\mathbf D_\ell^{\mathrm{pos}})^\Herm\mathcal P_{\mathbf g_\ell}^\perp\mathbf D_\ell^{\mathrm{pos}}\big\}\in\mathbb R^{5\times5}.
  \label{eq:H_efim}
\end{equation}
%
将 \eqref{eq:H_efim} 按 $(\mathbf p,\boldsymbol\phi)$ 分块（$\boldsymbol\phi=[\tau_{\mathrm{ref}},\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$ 为吸收绝对发射时刻与绝对 Doppler 的两个自由标量）
%
\begin{equation}
  \mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{pos}})
  =\begin{bmatrix}
    \mathcal I_{\mathrm{pp}} & \mathcal I_{\mathrm p\phi}\\
    \mathcal I_{\phi\mathrm p} & \mathcal I_{\phi\phi}
  \end{bmatrix},
\end{equation}
%
则把 $\boldsymbol\phi$ 视为干扰参数、对其取 Schur 补，得位置 \gls{crb}
%
\begin{equation}
  \operatorname{CRB}(\mathbf p)
  =\big(\mathcal I_{\mathrm{pp}}-\mathcal I_{\mathrm p\phi}\,\mathcal I_{\phi\phi}^{-1}\,\mathcal I_{\phi\mathrm p}\big)^{-1}\in\mathbb R^{3\times3}.
\end{equation}
%
几何精度因子（GDOP）即 $\sqrt{\operatorname{tr}\operatorname{CRB}(\mathbf p)}$ 随星座几何的变化。

\begin{mdquote}
\textbf{远场退化（Fisher 信息层）。} 由 \eqref{eq:H_dudp} 与 \eqref{eq:H_dtaudp}，在各星视线趋于共同方向的远场极限中，$\dfrac{\partial\mathbf a_\ell}{\partial\mathbf p}\to\mathbf0$ 且 $\dfrac{\partial\tau_\ell}{\partial\mathbf p}\to\mathbf0$；FDOA 的用户速度项因 $\mathbf u_\ell-\mathbf u_{\ell_{\mathrm{ref}}}\to\mathbf0$ 而抵消，卫星相对运动项的有限距离投影也随之退化。于是角度、Doppler 与时延三条通道对位置的灵敏度同时径向退化，$\mathbf D_\ell^{\mathrm{pos}}$ 的位置导数失去距离方向上的独立性，$\mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{pos}})$ 在距离方向奇异——位置 \gls{crb} 在距离维发散，退化为\appref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb} 的二维方向 \gls{crb}（两个自由标量 $\tau_{\mathrm{ref}},\nu_{\mathrm{ref}}$ 仍作绝对量被 Schur 消去）。这与第~\ref{subsec:positionLosMap} 小节的远场退化命题在 Fisher 信息层面一致。
\end{mdquote}

\subsection{已知高度下的经纬度参数化与方向 CRB}
\label{subsec:A6_latlon_crb}

已知高度时，地表位置可用经纬度两个参数表示。本小节讨论这一约束下的位置模型，并与第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst}~节的公共方向模型比较。采用单用户、单观测块、已对齐导频和各星独立未知复增益，几何信息仅通过阵列方向与差分 Doppler 进入；前面位置模型中的传播时延通道在本小节不参与估计。

记经纬度为 $\boldsymbol\vartheta=[\lambda_{\mathrm g},\varphi_{\mathrm g}]^\Tran$，依次为经度和纬度，均以弧度计。给定高度 $h_0$、地表模型及参考时刻的地固系到惯性系旋转 $\mathbf R_0$，定义
%
\begin{equation}
  \mathbf p(\boldsymbol\vartheta)=\mathbf R_0\mathbf p_{\mathrm E}(\boldsymbol\vartheta,h_0),
  \qquad
  \mathbf P=\frac{\partial\mathbf p}{\partial\boldsymbol\vartheta^\Tran}\in\mathbb R^{3\times2}.
  \label{eq:A6_latlon_surface}
\end{equation}
%
这里 $\mathbf p_{\mathrm E}$ 是选定地表的地固坐标映射；椭球模型采用大地纬度及相应高度定义。作为球面特例，令地球半径为 $R_{\mathrm E}$，则
%
\begin{equation}
  \mathbf p_{\mathrm E}=(R_{\mathrm E}+h_0)
  \begin{bmatrix}
    \cos\varphi_{\mathrm g}\cos\lambda_{\mathrm g}\\
    \cos\varphi_{\mathrm g}\sin\lambda_{\mathrm g}\\
    \sin\varphi_{\mathrm g}
  \end{bmatrix},\qquad
  \mathbf P=\mathbf R_0(R_{\mathrm E}+h_0)
  \begin{bmatrix}
    -\cos\varphi_{\mathrm g}\sin\lambda_{\mathrm g} & -\sin\varphi_{\mathrm g}\cos\lambda_{\mathrm g}\\
    \cos\varphi_{\mathrm g}\cos\lambda_{\mathrm g} & -\sin\varphi_{\mathrm g}\sin\lambda_{\mathrm g}\\
    0 & \cos\varphi_{\mathrm g}
  \end{bmatrix}.
  \label{eq:A6_latlon_sphere}
\end{equation}

为沿用公共方向模型的传播约定，定义源到接收星的单位方向 $\mathbf w_\ell=(\mathbf s_\ell-\mathbf p)/r_\ell$，其中 $r_\ell=\|\mathbf s_\ell-\mathbf p\|_2$。它与 \eqref{eq:H_dudp} 使用的星到用户视线 $\mathbf u_\ell$ 互为相反数。由单位向量求导得到
%
\begin{equation}
  \mathbf W_\ell\triangleq\frac{\partial\mathbf w_\ell}{\partial\boldsymbol\vartheta^\Tran}
  =-\frac{1}{r_\ell}(\mathbf I_3-\mathbf w_\ell\mathbf w_\ell^\Tran)\mathbf P,
  \qquad
  \frac{\partial\mathbf w_\ell^{\mathrm{loc}}}{\partial\boldsymbol\vartheta^\Tran}
  =\boldsymbol\Omega_\ell^\Tran\mathbf W_\ell.
  \label{eq:A6_latlon_los_jac}
\end{equation}
%
采用 \eqref{eq:sec3_propagation_steering} 的负空间指数时，第 $m$ 个阵元的角度链式导数为
%
\begin{equation}
  \frac{\partial[\mathbf a_\ell]_m}{\partial\boldsymbol\vartheta^\Tran}
  =-j\frac{2\pi}{\lambda_{\mathrm c}}[\mathbf a_\ell]_m
  (\mathbf r_{\ell,m}^{\mathrm{loc}})^\Tran\boldsymbol\Omega_\ell^\Tran\mathbf W_\ell.
  \label{eq:A6_latlon_steering_jac}
\end{equation}
%
对地固静止用户，参考时刻的惯性速度为 $\mathbf v_u=\boldsymbol\Omega_{\mathrm E}\mathbf p$，其中 $\boldsymbol\Omega_{\mathrm E}$ 表示地球自转角速度的叉乘矩阵。定义几何链路频移 $b_\ell=-(\mathbf v_\ell-\mathbf v_u)^\Tran\mathbf w_\ell/\lambda_{\mathrm c}$，其导数与参考星差分为
%
\begin{equation}
  \begin{aligned}
    \mathbf b_{\ell,\vartheta}
    &\triangleq\frac{\partial b_\ell}{\partial\boldsymbol\vartheta^\Tran}
    =\frac{1}{\lambda_{\mathrm c}}\left[
      -(\mathbf v_\ell-\mathbf v_u)^\Tran\mathbf W_\ell
      +\mathbf w_\ell^\Tran\boldsymbol\Omega_{\mathrm E}\mathbf P\right],\\
    \nu_\ell&=\nu_{\mathrm{ref}}+2\pi T_{\mathrm s}(b_\ell-b_{\ell_{\mathrm{ref}}}),\qquad
    \frac{\partial\nu_\ell}{\partial\boldsymbol\vartheta^\Tran}
    =2\pi T_{\mathrm s}(\mathbf b_{\ell,\vartheta}-\mathbf b_{\ell_{\mathrm{ref}},\vartheta}).
  \end{aligned}
  \label{eq:A6_latlon_doppler_jac}
\end{equation}
%
参考 Doppler 仍为自由参数；地固用户速度的跨链路差分由几何保留。令本小节主参数为 $\boldsymbol\eta=[\boldsymbol\vartheta^\Tran,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$，按 \eqref{eq:A6_Dl} 的 Kronecker 链式法则组装 $\mathbf D_\ell=\partial\mathbf g_\ell/\partial\boldsymbol\eta^\Tran$，代入 \eqref{eq:A6_Ieff_final} 即得经纬度与参考 Doppler 的联合 \gls{efim}。其满秩时取逆，角度子块即经纬度 \gls{crb}；若仅保留经纬度为目标，则先对参考 Doppler 取 Schur 补。已知高度通过 \eqref{eq:A6_latlon_surface} 限制参数切空间，高度未知时须增加高度列并按目标选择保留或消元。

\paragraph{同一模型的坐标不变性}
若同一个均值、噪声及干扰参数模型同时以 $\boldsymbol\xi$ 和 $\boldsymbol\vartheta$ 表示，且 $\boldsymbol\xi=h(\boldsymbol\vartheta)$ 在工作点局部可逆，记 $\mathbf H=\partial\boldsymbol\xi/\partial\boldsymbol\vartheta^\Tran$、$\mathbf T=\operatorname{diag}(\mathbf H,1)$。由得分的链式法则及相同干扰切空间消元，有
%
\begin{equation}
  \mathcal I_{\mathrm e,\vartheta}=\mathbf T^\Tran\mathcal I_{\mathrm e,\xi}\mathbf T,
  \qquad
  \mathbf C_\xi=\mathbf T\mathbf C_\vartheta\mathbf T^\Tran,
  \qquad \mathbf C=\mathcal I_{\mathrm e}^{-1}.
  \label{eq:A6_latlon_reparameterization}
\end{equation}
%
此处下标仅区分两套坐标中的联合矩阵。相同物理量的局部无偏界在变换后相同。另一种等价比较是：在有限距离模型中，用参考星视线与已知地表的局部唯一、横截交点来定义方向坐标，再由该交点生成所有卫星的视线；此时仍满足 \eqref{eq:A6_latlon_reparameterization}。地平线切点、多交点分支及角坐标极点需要另选局部参数图。

\paragraph{公共方向近似与比较指标}
公共方向模型令各星共享 $\mathbf u(\boldsymbol\xi)$；有限距离模型则使用 \eqref{eq:A6_latlon_los_jac} 中逐星不同的 $\mathbf w_\ell$ 和 $\mathbf W_\ell$。二者一般不是 \eqref{eq:A6_latlon_reparameterization} 所描述的同一模型换坐标。比较时须统一观测通道、已知高度条件、参考时刻、噪声、干扰参数与输出物理量。若经纬度协方差界的角度块为 $\mathbf C_{\vartheta\vartheta}$，则局部位置均方误差界与参考星方向夹角均方误差界分别为
%
\begin{equation}
  B_{\mathrm p}=\operatorname{tr}(\mathbf P\mathbf C_{\vartheta\vartheta}\mathbf P^\Tran),
  \qquad
  B_{\mathrm{dir,ref}}=\operatorname{tr}(\mathbf W_{\ell_{\mathrm{ref}}}\mathbf C_{\vartheta\vartheta}\mathbf W_{\ell_{\mathrm{ref}}}^\Tran).
  \label{eq:A6_latlon_metrics}
\end{equation}
%
两者单位分别为长度平方与弧度平方，开方后才是均方根界。球面例子中
%
\begin{equation}
  B_{\mathrm p}=(R_{\mathrm E}+h_0)^2
  \left(\cos^2\varphi_{\mathrm g}[\mathbf C_{\vartheta\vartheta}]_{11}+[\mathbf C_{\vartheta\vartheta}]_{22}\right).
  \label{eq:A6_latlon_sphere_metric}
\end{equation}
%
公共方向的夹角界为 $\cos^2\beta[\mathbf C_{\xi\xi}]_{11}+[\mathbf C_{\xi\xi}]_{22}$。小视差使两类模型接近还需相应的投影后 Jacobian 接近；当最弱信息方向接近零时，小的信息扰动也可导致较大的逆矩阵差异。因此，公共方向与地表模型的界没有普遍的大小排序，接近程度须在统一指标及可辨识工作点上检验。

\subsection{DoA-融合基线的位置 CRB}
\label{subsec:H4_doaFusion}

正文第~\ref{subsec:doaFusionBaseline} 小节的 DoA-融合基线不做跨星数据级联合，而是各星本地估角、融合中心几何相交。其位置 \gls{crb} 由两块拼成：每颗星本地 \gls{doa} 的单阵列 \gls{crb}，与本地角对位置的 Jacobian。

每颗星 $\ell$ 仅用本星观测估计本地来向 $\boldsymbol\xi_\ell^{\mathrm{loc}}=[\alpha_\ell^{\mathrm{loc}},\beta_\ell^{\mathrm{loc}}]^\Tran$，本星复增益、链路 Doppler 与噪声方差作本地干扰参数；该单阵列 \gls{doa}--Doppler 估计的角度块 \gls{crb} 即\appref{sec:singleArrayCrb} 的结果，记为 $\mathbf C_{\boldsymbol\xi,\ell}\in\mathbb R^{2\times2}$。本地角对位置的 Jacobian 由本附录前文（\eqref{eq:H_dudp}--\eqref{eq:H_dadp} 所用的 atan2/arcsin 链式行向量）给出
%
\begin{equation}
  \label{eq:H4_Hl}
  \mathbf H_\ell
  =\frac{\partial\boldsymbol\xi_\ell^{\mathrm{loc}}}{\partial\mathbf p}
  =\begin{bmatrix}
    \frac{\partial\alpha_\ell^{\mathrm{loc}}}{\partial\mathbf p}\\
    \frac{\partial\beta_\ell^{\mathrm{loc}}}{\partial\mathbf p}
  \end{bmatrix}\in\mathbb R^{2\times3},
\end{equation}
%
其有限距离投影 $(\mathbf I_3-\mathbf u_\ell\mathbf u_\ell^\Tran)/\|\mathbf r_\ell\|_2$（\eqref{eq:H_dudp}）使单星 $\mathbf H_\ell$ 秩 $2$、沿视线方向不可观，须多星相交补成秩 $3$。

把各星本地角估计视为独立测量 $\widehat{\boldsymbol\xi}_\ell^{\mathrm{loc}}\sim\mathcal N(\boldsymbol\xi_\ell^{\mathrm{loc}}(\mathbf p),\mathbf C_{\boldsymbol\xi,\ell})$、星间独立，则位置的融合 Fisher 信息与 \gls{crb} 为
%
\begin{equation}
  \label{eq:H4_crb}
  \mathcal I_{\mathrm{DoA}}(\mathbf p)
  =\sum_{\ell=0}^{L-1}\mathbf H_\ell^\Tran\mathbf C_{\boldsymbol\xi,\ell}^{-1}\mathbf H_\ell,
  \qquad
  \operatorname{CRB}_{\mathrm{DoA}}(\mathbf p)=\mathcal I_{\mathrm{DoA}}^{-1}(\mathbf p)\in\mathbb R^{3\times3},
\end{equation}
%
即正文 \eqref{eq:sec7_doafusion}。

\paragraph{与集中式的序关系}
DoA-融合只保留各星本地角这一压缩统计量、丢弃差分时延与差分 Doppler 等跨星联合约束；由数据处理不等式，其位置 Fisher 信息不超过集中式 \eqref{eq:H_efim} 消去 $\boldsymbol\phi=(\tau_{\mathrm{ref}},\nu_{\mathrm{ref}})$ 后的位置块，故
%
\begin{equation}
  \label{eq:H4_ordering}
  \mathcal I_{\mathrm{DoA}}(\mathbf p)
  \preceq
  \mathcal I_{\mathrm{pp}}-\mathcal I_{\mathrm p\phi}\mathcal I_{\phi\phi}^{-1}\mathcal I_{\phi\mathrm p},
  \qquad
  \operatorname{CRB}_{\mathrm{DoA}}(\mathbf p)\succeq\operatorname{CRB}(\mathbf p).
\end{equation}
%
两者之差即跨星采样级信息（差分时延与差分 Doppler）的价值：差分 Doppler 一项在 Doppler 近常数时很小，但差分时延（\gls{tdoa}）携带的距离约束被一并舍弃，故 DoA-融合在角度维接近集中式、在距离维退回纯视差几何，回传量则大幅降低。多用户情形把各星本地角与 $\mathbf C_{\boldsymbol\xi,\ell}$ 按用户分别给出、逐用户相交即可，结构不变。

\subsection{多用户}

多用户位置 \gls{crb} 把 $\mathbf D_\ell^{\mathrm{pos}}$ 按用户横向拼接为 $\mathbf D_{\ell,k}^{\mathrm{pos}}$、对各星 $\mathbf G_\ell$ 列空间正交补投影，结构与\appref{subsec:E2_multiUserMultiSatCrb} 完全一致（把 $\boldsymbol\xi_k$、$\mathbf D_{\ell,k}$ 换成 $\mathbf p_k$、$\mathbf D_{\ell,k}^{\mathrm{pos}}$）；第 $k$ 个用户的位置 \gls{crb} 为 $\mathcal I_{\mathrm e}^{-1}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu\text{-}pos}})$ 中对应 $\mathbf p_k$ 的 $3\times3$ 子块，可作为定位精度与（预留）波束成形鲁棒设计的统一上界。