\section{时间戳误差下的 EFIM 分析}
\label{sec:timestampErrCrb}

\begin{mdquote}
\noindent\textbf{本附录设定}：对应正文第~\ref{sec:timestampError}~节的时间戳误差模型。
\begin{itemize}[leftmargin=1.5em,itemindent=0pt]
  \item \emph{主参数} $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}\in\mathbb R^{3K}$（$K$ 个用户的 \gls{doa}--Doppler）；\emph{干扰参数} 每星时间戳偏移 $\delta_\ell$（参考星取 $\delta=0$）、复增益与噪声方差 $\boldsymbol\zeta_\ell$。
  \item \emph{本附录给出} $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ 的 \gls{efim} 分块结构、Schur 补消去 $\boldsymbol\delta$ 的解析形式、数值评估框架、$K{=}1,\,L{=}2$ 最简情形的解析推导，以及忽略 $\boldsymbol\delta$ 的 \gls{mcrb}；门限以下的大误差与模糊地板见\appref{sec:thresholdBounds}。
  \item \emph{本附录局部符号} $\delta_\ell$：星 $\ell$ 的时间戳偏移（采样单位）；$\boldsymbol\zeta_\ell$：星 $\ell$ 的复增益与噪声方差；上标 $\mathrm{pt}$：伪真值。完整索引见\appref{sec:assumptionsAndNotation}。
\end{itemize}
\end{mdquote}
小误差区与大误差区的划分仍按正文第~\ref{subsec:timestampApplicability} 小节的定义；下文若无特别说明，默认在小误差区作 Taylor 展开。

\subsection{Fisher 信息矩阵分块结构}
\label{subsec:F1_fimBlockStruct}

记第 $\ell$ 颗卫星观测均值向量为
%
\begin{equation}
  \boldsymbol\mu_\ell(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}},\delta_\ell,\boldsymbol\zeta_\ell)
  =
  \sum_{k=1}^{K}
  \zeta_{\ell,k}\,
  \mathbf g_{\ell,k}(\boldsymbol\xi_k,\nu_{\mathrm{ref},k},\delta_\ell),
\end{equation}
%
其中
%
\begin{equation}
  \mathbf g_{\ell,k}(\boldsymbol\xi_k,\nu_{\mathrm{ref},k},\delta_\ell)
  =
  \mathbf q_{\ell,k}(\nu_{\mathrm{ref},k},\delta_\ell)
  \otimes
  \mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi_k),
  \qquad
  [\mathbf q_{\ell,k}]_t
  =
  s_k(t-\delta_\ell)\,
  e^{j\nu_{\ell,k}(\boldsymbol\xi_k,\nu_{\mathrm{ref},k})(t-\delta_\ell)}.
\end{equation}
%
参考星 $\ell_{\mathrm{ref}}$ 有 $\delta_{\ell_{\mathrm{ref}}}\equiv 0$，仅 $L-1$ 个非参考星贡献 $\delta_\ell$ 自由度。

按\appref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb} 的 Slepian--Bangs 公式，各星条件独立的圆对称复高斯模型下 \gls{fim}元素为
%
\begin{equation}
  \big[\mathcal I(\boldsymbol\kappa)\big]_{ij}
  =
  \sum_{\ell=0}^{L-1}
  \frac{2}{\sigma_\ell}
  \Re\left\{
    \frac{\partial\boldsymbol\mu_\ell^\Herm}{\partial\kappa_i}
    \frac{\partial\boldsymbol\mu_\ell}{\partial\kappa_j}
  \right\}.
\end{equation}
%
按 $(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}},\boldsymbol\delta,\boldsymbol\psi_\zeta)$ 三段分块为
%
\begin{equation}
  \label{eq:F1_three_block}
  \mathcal I
  =
  \begin{bmatrix}
    \mathcal I_{\eta\eta} & \mathcal I_{\eta\delta} & \mathcal I_{\eta\psi}\\
    \mathcal I_{\delta\eta} & \mathcal I_{\delta\delta} & \mathcal I_{\delta\psi}\\
    \mathcal I_{\psi\eta} & \mathcal I_{\psi\delta} & \mathcal I_{\psi\psi}
  \end{bmatrix}.
\end{equation}

由于不同卫星之间噪声独立、$\delta_\ell$ 仅出现在第 $\ell$ 颗卫星的均值向量中，$\mathcal I_{\delta\delta}$ 是 $(L-1)\times(L-1)$ 的\emph{对角矩阵}（参考星对应行/列已去除）：
%
\begin{equation}
  \big[\mathcal I_{\delta\delta}\big]_{\ell\ell'}
  =
  \frac{2}{\sigma_\ell}
  \Re\left\{
    \frac{\partial\boldsymbol\mu_\ell^\Herm}{\partial\delta_\ell}
    \frac{\partial\boldsymbol\mu_\ell}{\partial\delta_\ell}
  \right\}
  \cdot
  \mathbb 1\{\ell=\ell'\},
  \qquad
  \ell,\ell'\neq\ell_{\mathrm{ref}}.
\end{equation}
%
$\mathcal I_{\delta\psi}$ 同样具有按 $\ell$ 的块对角结构：第 $\ell$ 个 $\delta$ 行只与本星复增益 $\{\zeta_{\ell,k}^{(r)},\zeta_{\ell,k}^{(i)}\}_{k=1}^K$ 列有非零分块。这两个性质使下文 Schur 消去可逐星独立完成。

\subsection{Schur complement 消去 \texorpdfstring{$\boldsymbol\delta$}{δ}}
\label{subsec:F2_schurDelta}

先消复增益。沿用\appref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb} 的复增益投影做法，对每颗卫星定义对其 $K$ 列空时模板 $\mathbf G_\ell=[\mathbf g_{\ell,1},\ldots,\mathbf g_{\ell,K}]$ 的正交投影
%
\begin{equation}
  \mathcal P_{\mathbf G_\ell}
  =
  \mathbf G_\ell\big(\mathbf G_\ell^\Herm\mathbf G_\ell\big)^{-1}\mathbf G_\ell^\Herm,
  \qquad
  \mathcal P_{\mathbf G_\ell}^\perp
  =
  \mathbf I_{M_\ell T}-\mathcal P_{\mathbf G_\ell}.
\end{equation}
%
\eqref{eq:F1_three_block} 关于复增益块的 Schur 补可写为
%
\begin{equation}
  \label{eq:F2_after_psi}
  \mathcal I^{(\psi)}
  \triangleq
  \begin{bmatrix}
    \mathcal I_{\eta\eta}' & \mathcal I_{\eta\delta}'\\
    \mathcal I_{\delta\eta}' & \mathcal I_{\delta\delta}'
  \end{bmatrix},
  \qquad
  \begin{aligned}
    \mathcal I_{\eta\eta}'
    &=
    2\sum_{\ell}\frac{1}{\sigma_\ell}
    \Re\left\{
      \mathbf J_{\eta,\ell}^\Herm
      \big(\mathbf I-\mathcal P_{\mathbf G_\ell}\big)
      \mathbf J_{\eta,\ell}
    \right\}\big|_{\delta_\ell=0},\\
    \mathcal I_{\delta\delta}'
    &=
    \operatorname{diag}\Big(
      \tfrac{2}{\sigma_\ell}
      \Re\big\{\mathbf j_{\delta,\ell}^\Herm
      (\mathbf I-\mathcal P_{\mathbf G_\ell})
      \mathbf j_{\delta,\ell}\big\}\big|_{\delta_\ell=0}
    \Big)_{\ell\neq\ell_{\mathrm{ref}}},\\
    \mathcal I_{\eta\delta}'
    &=
    \begin{bmatrix}
      \cdots\quad
      \tfrac{2}{\sigma_\ell}
      \Re\big\{\mathbf J_{\eta,\ell}^\Herm
      (\mathbf I-\mathcal P_{\mathbf G_\ell})\mathbf j_{\delta,\ell}\big\}\big|_{\delta_\ell=0}
      \quad\cdots
    \end{bmatrix},
  \end{aligned}
\end{equation}
%
其中 $\mathbf J_{\eta,\ell}=\dfrac{\partial\boldsymbol\mu_\ell}{\partial\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}}$、$\mathbf j_{\delta,\ell}=\dfrac{\partial\boldsymbol\mu_\ell}{\partial\delta_\ell}$ 均在小误差区于 $\delta_\ell=0$ 处展开。Jacobian $\mathbf J_{\eta,\ell}$ 的列结构与\appref{subsec:E2_multiUserMultiSatCrb} 完全一致；只需在 $\mathbf j_{\delta,\ell}$ 处显式展开 $\delta_\ell$ 进入的两条途径——相位偏移 $-\nu_{\ell,k}\delta_\ell$ 与导频时间偏移 $s_k(t-\delta_\ell)$：
%
\begin{equation}
  \label{eq:F2_jdelta}
  \frac{\partial\mathbf g_{\ell,k}}{\partial\delta_\ell}\bigg|_{\delta_\ell=0}
  =
  \mathbf q_{\ell,k}^{\,\mathrm{te}}
  \otimes
  \mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi_k),
  \qquad
  \big[\mathbf q_{\ell,k}^{\,\mathrm{te}}\big]_t
  =
  \big[-\dot s_k(t)-j\nu_{\ell,k}s_k(t)\big]e^{j\nu_{\ell,k}t},
\end{equation}
%
其中 $\dot s_k(t)$ 为导频对时间的导数，应按实际连续时间波形或其带限插值计算，$\mathbf j_{\delta,\ell}=\sum_k\zeta_{\ell,k}\,\dfrac{\partial\mathbf g_{\ell,k}}{\partial\delta_\ell}$。相位项 $-j\nu_{\ell,k}\mathbf g_{\ell,k}$ 落在 $\mathbf G_\ell$ 的列空间中，投影后为零。因此
%
\begin{equation}
  \mathcal P_{\mathbf G_\ell}^{\perp}\mathbf j_{\delta,\ell}
  =-\mathcal P_{\mathbf G_\ell}^{\perp}
    \sum_k\zeta_{\ell,k}
    \left(\left[\dot s_k(t)e^{j\nu_{\ell,k}t}\right]_{t=0}^{T-1}
    \otimes\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi_k)\right).
  \label{eq:F2_projected_timestamp}
\end{equation}
%
时间戳的有效信息来自包络导数在增益子空间之外的分量。

由于 $\mathcal I_{\delta\delta}'$ 对角，对 $\boldsymbol\delta$ 的 Schur 消去逐星可写
%
\begin{equation}
  \label{eq:F2_efim_final}
  \mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}})
  =
  \mathcal I_{\eta\eta}'
  -
  \sum_{\ell\neq\ell_{\mathrm{ref}}}
  \frac{1}{[\mathcal I_{\delta\delta}']_{\ell\ell}}
  \mathbf v_{\eta\delta,\ell}'\,
  \mathbf v_{\eta\delta,\ell}'^{\,\Tran},
\end{equation}
%
其中 $\mathbf v_{\eta\delta,\ell}'$ 为 $\mathcal I_{\eta\delta}'$ 的对应列，求和限于 $[\mathcal I_{\delta\delta}']_{\ell\ell}>0$ 的可辨识方向。若该对角元为零，相应有效导数及交叉列也为零，应删去冗余参数或作子空间投影，不作零除法。

参考星没有时间戳自由度。与在同一真值处将时间戳视为已知的模型相比，Schur 补的信息扣减来自非参考星。

\subsection{数值 EFIM 评估框架}
\label{subsec:F3_numericalEfim}

大误差区下 \eqref{eq:F2_efim_final} 的一阶展开失效。此时把 \gls{efim} 视为关于 $\boldsymbol\delta$ 真值的函数，按下列流程逐场景数值评估：
\begin{enumerate}
  \item 给定真值 $(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}},\boldsymbol\delta)$ 与各星 $\sigma_\ell$、$\{\zeta_{\ell,k}\}$；
  \item 对每颗卫星 $\ell$，按 \eqref{eq:sec5_signal_model} 计算 $\mathbf g_{\ell,k}(\delta_\ell)$ 及其关于 $(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}},\delta_\ell)$ 的数值 Jacobian——其中 $\dfrac{\partial}{\partial\delta_\ell}$ 不再用 \eqref{eq:F2_jdelta} 一阶近似，而是用中心差分直接评估 $s_k(t-\delta_\ell)$ 与 $e^{j\nu_{\ell,k}(t-\delta_\ell)}$；
  \item 组装 \eqref{eq:F1_three_block} 各分块，按\appref{subsec:F2_schurDelta} 的顺序先消复增益、再消 $\boldsymbol\delta$；
  \item 输出 $\mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}};\boldsymbol\delta)$ 并取逆得到 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ 的 \gls{crb}。
\end{enumerate}
在本模型中，各星噪声独立，时间戳和复增益均为逐星参数。因此，先消去复增益后，$\mathcal I_{\delta\delta}'$ 在任意时间戳真值处都保持对角，逐星 Schur 形式仍成立。大偏移要求在实际真值处重新计算导数，而不会自行产生星间信息块。

% TODO: 实际数值评估的离散化精度（差分步长选取、导频上采样系数）与后续仿真结果对齐后补充

\subsection{特殊情形：\texorpdfstring{$K=1$, $L=2$}{K=1, L=2} 解析推导}
\label{subsec:F4_K1L2}

最简非平凡情形：单用户（$K=1$）、双星（$L=2$，参考星 $\ell_{\mathrm{ref}}=0$、非参考星 $\ell=1$、唯一时间戳误差 $\delta_1$）。主参数 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}=\boldsymbol\eta=[\alpha,\beta,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran\in\mathbb R^3$，干扰参数包含 $\delta_1$ 与两颗星的复增益、噪声方差。

\paragraph{投影简化}
单用户下每颗卫星 $\mathbf G_\ell$ 退化为单列 $\mathbf g_\ell=\mathbf q_\ell\otimes\mathbf a_\ell$，复增益投影 $\mathcal P_{\mathbf G_\ell}$ 退化为 $\mathbf g_\ell\mathbf g_\ell^\Herm/\|\mathbf g_\ell\|^2$，与\appref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb} 的单用户基线一致。\eqref{eq:F2_after_psi} 中
%
\begin{equation}
  \mathcal I_{\eta\eta}'
  =
  \mathcal I_{\mathrm e}^{(\mathrm{stat})}(\boldsymbol\eta)
  =
  \frac{2|\zeta_0|^2}{\sigma_0}
  \Re\big\{\mathbf D_0^\Herm\mathcal P_{\mathbf g_0}^\perp\mathbf D_0\big\}
  +
  \frac{2|\zeta_1|^2}{\sigma_1}
  \Re\big\{\mathbf D_1^\Herm\mathcal P_{\mathbf g_1}^\perp\mathbf D_1\big\}\bigg|_{\delta_1=0},
\end{equation}
%
其中 $\mathbf D_\ell$ 沿用 \eqref{eq:A6_Dl} 定义。这里 $\mathcal I_{\eta\eta}'$ 对应时间戳已知为零的同步基线；将未知时间戳的真值取零，仍需进一步扣除相应的 Schur 项。

\paragraph{$\delta_1$ 块}
$\boldsymbol\delta=[\delta_1]$ 退化为标量，\eqref{eq:F2_jdelta} 中
%
\begin{equation}
  \big[\mathbf q_1^{\,\mathrm{te}}\big]_t
  =
  \big[-\dot s(t)-j\nu_1 s(t)\big]e^{j\nu_1 t},
  \qquad
  \mathbf j_{\delta,1}
  =
  \zeta_1\,\mathbf q_1^{\,\mathrm{te}}\otimes\mathbf a_1(\boldsymbol\xi).
\end{equation}
%
对应的标量 Fisher 信息为
%
\begin{equation}
  \mathcal I_{\delta\delta}'
  =
  \frac{2|\zeta_1|^2}{\sigma_1}
  \big\|\mathbf a_1(\boldsymbol\xi)\big\|_2^2
  \cdot
  \Re\big\{(\mathbf q_1^{\,\mathrm{te}})^\Herm\mathcal P_{\mathbf q_1}^\perp\mathbf q_1^{\,\mathrm{te}}\big\},
\end{equation}
%
其中 $\mathcal P_{\mathbf q_1}^\perp=\mathbf I_T-\mathbf q_1\mathbf q_1^\Herm/\|\mathbf q_1\|^2$。化简利用了 Kronecker 内积关系 $(\mathbf u_1\otimes\mathbf v_1)^\Herm(\mathbf u_2\otimes\mathbf v_2)=(\mathbf u_1^\Herm\mathbf u_2)(\mathbf v_1^\Herm\mathbf v_2)$，并把空间部分因式 $\|\mathbf a_1\|^2$ 提出。

\paragraph{交叉项与 EFIM 闭式}
对 $(\boldsymbol\eta,\delta_1)$ 的交叉项类似可写为
%
\begin{equation}
  \mathbf v'_{\eta\delta,1}
  =
  \frac{2}{\sigma_1}
  \Re\Big\{
    \zeta_1^*\mathbf D_1^\Herm
    \big(\mathbf I-\mathcal P_{\mathbf g_1}\big)
    \big[\zeta_1\,\mathbf q_1^{\,\mathrm{te}}\otimes\mathbf a_1\big]
  \Big\}\in\mathbb R^3.
\end{equation}
%
代入 \eqref{eq:F2_efim_final} 得到 $K=1, L=2$ 情形下的闭式 \gls{efim}
%
\begin{equation}
  \label{eq:F4_efim_K1L2}
  \mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta)\bigg|_{K=1,L=2}
  =
  \mathcal I_{\eta\eta}'
  -
  \frac{\mathbf v'_{\eta\delta,1}\,\mathbf v'^{\Tran}_{\eta\delta,1}}{\mathcal I_{\delta\delta}'},
\end{equation}
%
即在双星基线的 \gls{efim} 上扣除一个秩一信息损失项，损失大小由非参考星上 $\delta_1$ 与主参数的得分重叠决定。

\paragraph{特例：导频为单音常包络}
若 $s(t)\equiv1$，则 $\mathbf q_1^{\,\mathrm{te}}=-j\nu_1\mathbf q_1$，时间戳导数完全落在复增益子空间中。消去增益后，$\mathcal I_{\delta\delta}'=0$ 且 $\mathbf v'_{\eta\delta,1}=\mathbf0$。此时不可辨识的是时间戳与增益相位的分解；删除这一冗余时间戳参数即可。Doppler 导数含随采样时刻变化的因子 $t$，只要保留的采样时刻具有非零时间方差，仍可提供局部频率信息。

% TODO: $K=1, L\ge 3$ 与 $K\ge 2, L=2$ 的解析中间结果——前者需引入 $L-1$ 个 δ_ℓ 联合处理（仍对角，但 v'_{ηδ} 维度变为 3×(L-1)）；后者多用户耦合让 $\mathcal P_{\mathbf G_\ell}$ 不再因式化，闭式较繁。本附录暂留为数值评估。

\subsection{忽略时间戳误差的 MCRB}
\label{subsec:F5_mcrb}

\appref{subsec:F2_schurDelta} 给出了把 $\boldsymbol\delta$ 当未知干扰参数\emph{估计}时主参数 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ 的 \gls{efim}。本小节处理互补情形：估计器假设星间已同步、令 $\delta_\ell\equiv 0$ 而\emph{不}把 $\boldsymbol\delta$ 纳入模型，真值却含 $\boldsymbol\delta^\star\neq\mathbf 0$。这是一类均值模型误指定，其下界为 \gls{mcrb}~\cite{richmondParameterBoundsEstimation2015}。沿用\appref{subsec:F1_fimBlockStruct} 的记号，记 $\boldsymbol\eta^\star$、$\boldsymbol\eta^{\mathrm{pt}}$ 分别为 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ 的真值与伪真值（pseudo-truth）；噪声方差 $\{\sigma_\ell\}$ 在真值与假设模型中相同、仅进入协方差，按\appref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb} 与均值参数解耦，下文固定 $\mathbf R=\operatorname{blkdiag}(\sigma_\ell\mathbf I)$ 只分析均值参数。

\paragraph{误指定模型与伪真值}
真实观测均值记为 $\boldsymbol\mu_\ell^\star\triangleq\boldsymbol\mu_\ell(\boldsymbol\eta^\star,\delta_\ell^\star,\boldsymbol\zeta_\ell^\star)$；假设模型族把均值限制在 $\delta_\ell=0$ 流形上，$\boldsymbol\mu_\ell(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}},0,\boldsymbol\zeta_\ell)=\mathbf G_\ell(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}})\boldsymbol\zeta_\ell$（$\mathbf G_\ell$ 在 $\delta=0$ 处求值）。两模型协方差相同，\gls{kl} 散度退化为白化均值失配
%
\begin{equation}
  \label{eq:F5_kl}
  D_{\mathrm{KL}}
  =
  \sum_{\ell}\frac{1}{\sigma_\ell}
  \big\|
    \boldsymbol\mu_\ell^\star-\mathbf G_\ell(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}})\boldsymbol\zeta_\ell
  \big\|_2^2
  +\mathrm{const}.
\end{equation}
%
\gls{mml} 估计器收敛到使 \eqref{eq:F5_kl} 最小的伪真值 $(\boldsymbol\eta^{\mathrm{pt}},\boldsymbol\zeta^{\mathrm{pt}})$。对每颗星按 $\boldsymbol\zeta_\ell$ 闭式消元得 $\boldsymbol\zeta_\ell^{\mathrm{pt}}=(\mathbf G_\ell^\Herm\mathbf G_\ell)^{-1}\mathbf G_\ell^\Herm\boldsymbol\mu_\ell^\star$，代回得\emph{误指定集中准则}
%
\begin{equation}
  \label{eq:F5_pseudotrue}
  \boldsymbol\eta^{\mathrm{pt}}
  =
  \argmin_{\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}}
  \sum_{\ell}\frac{1}{\sigma_\ell}
  \big\|\mathcal P_{\mathbf G_\ell(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}})}^\perp\boldsymbol\mu_\ell^\star\big\|_2^2.
\end{equation}
%
它与正文集中似然 \eqref{eq:sec4_concentrated} 同形，只是以确定的真实均值 $\boldsymbol\mu_\ell^\star$ 取代了随机观测 $\tilde{\mathbf y}_\ell$；$\boldsymbol\eta^{\mathrm{pt}}\neq\boldsymbol\eta^\star$ 之差完全由 $\boldsymbol\delta^\star$ 经 $\boldsymbol\mu_\ell^\star$ 注入。

\paragraph{偏置的一阶表达}
小误差区把真实均值在 $\delta=0$ 处展开
%
\begin{equation}
  \label{eq:F5_mean_expand}
  \boldsymbol\mu_\ell^\star
  =
  \boldsymbol\mu_\ell(\boldsymbol\eta^\star,0,\boldsymbol\zeta_\ell^\star)
  +
  \delta_\ell^\star\,\mathbf j_{\delta,\ell}
  +
  O((\delta_\ell^\star)^2),
\end{equation}
%
其中 $\mathbf j_{\delta,\ell}=\sum_k\zeta_{\ell,k}^\star\,\dfrac{\partial\mathbf g_{\ell,k}}{\partial\delta_\ell}$ 同 \eqref{eq:F2_jdelta}。零阶项在 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}=\boldsymbol\eta^\star$ 处被 \eqref{eq:F5_pseudotrue} 精确拟合（残差为零），故偏置 $\mathbf b\triangleq\boldsymbol\eta^{\mathrm{pt}}-\boldsymbol\eta^\star$ 由 $\delta_\ell^\star\mathbf j_{\delta,\ell}$ 驱动。对 \eqref{eq:F5_pseudotrue} 取一阶最优性条件（法方程）得
%
\begin{equation}
  \label{eq:F5_bias}
  \mathbf b
  =
  (\mathcal I_{\eta\eta}')^{-1}
  \sum_{\ell\neq\ell_{\mathrm{ref}}}
  \mathbf v_{\eta\delta,\ell}'\,\delta_\ell^\star
  +O(\|\boldsymbol\delta^\star\|^2),
\end{equation}
%
其中 $\mathcal I_{\eta\eta}'$ 与 $\mathbf v_{\eta\delta,\ell}'$ 即 \eqref{eq:F2_after_psi} 中的同步基线 \gls{efim} 与 $\boldsymbol\eta$--$\delta$ 交叉信息列。即偏置复用了 \gls{efim} 推导里的同一批分块：它沿 $(\mathcal I_{\eta\eta}')^{-1}\mathbf v_{\eta\delta,\ell}'$ 方向、正比于真值时间戳 $\delta_\ell^\star$。

\paragraph{MCRB 的 sandwich 矩阵}
将均值参数堆叠为 $\boldsymbol\theta\triangleq[\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}^\Tran,\boldsymbol\psi_\zeta^\Tran]^\Tran$、其堆叠均值为 $\boldsymbol\mu(\boldsymbol\theta)$。圆对称复高斯下误指定对数似然的两个 sandwich 矩阵在伪真值 $\boldsymbol\theta^{\mathrm{pt}}$ 处为
%
\begin{align}
  \label{eq:F5_B}
  \mathbf B
  &=
  2\,\Re\big\{
    (\partial_{\boldsymbol\theta}\boldsymbol\mu)^\Herm
    \mathbf R^{-1}
    (\partial_{\boldsymbol\theta}\boldsymbol\mu)
  \big\}\big|_{\boldsymbol\theta^{\mathrm{pt}}}
  =
  \mathcal I(\boldsymbol\theta^{\mathrm{pt}}),\\
  \label{eq:F5_A}
  \mathbf A
  &=
  \mathbf B
  -
  2\,\Re\big\{
    (\partial^2_{\boldsymbol\theta\boldsymbol\theta}\boldsymbol\mu)^\Herm
    \mathbf R^{-1}\,
    \mathbf r^{\mathrm{pt}}
  \big\}\big|_{\boldsymbol\theta^{\mathrm{pt}}},
  \qquad
  \mathbf r^{\mathrm{pt}}
  \triangleq
  \boldsymbol\mu^\star-\boldsymbol\mu(\boldsymbol\theta^{\mathrm{pt}}).
\end{align}
%
$\mathbf B$ 即模型 \gls{fim}（\eqref{eq:A6_fim_general} 的 Slepian--Bangs 形式）在伪真值处求值——伪真值处的法方程使得分的确定性部分为零，故 $\mathbf B$ 仅由随机部分贡献；$\mathbf A$ 在 $\mathbf B$ 上减去``曲率 $\times$ 残差''修正，残差 $\mathbf r^{\mathrm{pt}}$ 是误指定流形拟合不到的那部分 $\boldsymbol\delta^\star$ 扰动；其中二阶模型导数 $\partial^2_{\boldsymbol\theta\boldsymbol\theta}\boldsymbol\mu$ 含导频对时延的二阶导数 $\ddot s$，须按\appref{sec:userPositionCrb} 的带限约定评估、同样不用循环/块周期约定，否则该曲率项会被观测窗边界的导数奇异主导而失去物理意义。任意对伪真值无偏的估计器满足 $\operatorname{Cov}(\widehat{\boldsymbol\theta})\succeq\mathbf A^{-1}\mathbf B\mathbf A^{-1}$，$\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ 的 \gls{mcrb} 取该矩阵对应 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ 的子块；叠加偏置 \eqref{eq:F5_bias} 即得正文绕真值的总误差界 \eqref{eq:sec5_mcrb}。

\paragraph{一致性与稳健性}
当 $\boldsymbol\delta^\star\to\mathbf0$ 时，残差和伪真值偏置趋于零，误指定界退回时间戳已知为零的同步基线。它一般不同于将时间戳作为未知干扰参数时的界，即使后者也在零偏移处求值。小偏移下，方差变化与偏置外积应分别评估，不能仅由偏置是二阶均方误差项就断定它占主导。

当导频为单音且时移仅改变复增益时，时间戳导数经投影为零，假设同步的模型仍可用等效复增益表示真实均值，因此不会由这一时移产生主参数失配偏置。一般包络下，一阶偏置由 \eqref{eq:F5_bias} 给出，量级通常为 $O(\|\boldsymbol\delta^\star\|)$，偏置外积才是二阶量；其大小取决于投影后交叉信息与主参数信息矩阵的条件数。

\subsection{位置模型下的时延--时间戳同轴混淆}
\label{subsec:F6_tauDeltaConfound}

\appref{subsec:F1_fimBlockStruct}--\appref{subsec:F5_mcrb} 把 $\delta_\ell$ 加在多用户 \gls{doa} 基线、主参数取 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$。本小节把同一套 Schur 机器搬到第~\ref{sec:userPositioning} 节含传播时延的位置模型、主参数取 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu\text{-}pos}}$，量化正文第~\ref{subsec:tauDeltaConfound} 小节的混淆结论。

\paragraph{均值导数共线}
群时延位置模型下载波相位吸入 $\zeta_\ell$，$\delta_\ell$ 只经导频包络 $s_k(t-\tau_{\ell,k}(\mathbf p_k)-\delta_\ell)$ 进入，其对均值的导数退化为单一时延模板
%
\begin{equation}
  \label{eq:F6_jdelta}
  \frac{\partial\mathbf g_{\ell,k}}{\partial\delta_\ell}\bigg|_{\delta_\ell=0}
  =\mathbf q_{\ell,k}^{\mathrm{del}}\otimes\mathbf a_\ell(\mathbf p_k),
  \qquad
  \big[\mathbf q_{\ell,k}^{\mathrm{del}}\big]_t=-\dot s_k\big(t-\tau_{\ell,k}\big)e^{j\nu_{\ell,k}t},
\end{equation}
%
在零时间戳处，\eqref{eq:F6_jdelta} 与参考时延导数同形，并与位置导数的时延分量共线。方向模型与位置模型中，恒定相位都可由自由复增益吸收；位置模型的新增混淆来自包络中传播时延与时间戳的相加。

\paragraph{单用户退化}
单用户下，每颗非参考星的时间戳导数可吸收该星位置导数中的包络时移分量。参考星的包络位移由自由参考时延吸收。因此，在同时消去复增益、参考时延和时间戳后，位置有效导数只保留角度与 Doppler 导数经同一干扰参数投影后的分量，可记为
%
\begin{equation}
  \label{eq:F6_singleuser}
  \mathcal I_{\mathrm e}(\mathbf p)\big|_{\tau_{\mathrm{ref}},\boldsymbol\delta\text{ marg.}}
  =\mathcal I_{\mathrm e}^{\,\mathrm{ang+dop,proj}}(\mathbf p),
\end{equation}
%
这里右端仍包含未知时延的投影损失，不等同于已知时延的角度--Doppler 基线。位置的时延导数被消去，并不意味着总位置矩阵必然奇异；剩余角度与 Doppler 信息是否满秩由卫星几何决定。

\paragraph{多用户恢复}
多用户下 $\delta_\ell$ 是逐星参数、被该星 $K$ 个用户共享，其对均值的导数为单一合成方向
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\begin{equation}
  \frac{\partial\boldsymbol\mu_\ell}{\partial\delta_\ell}
  =\sum_{k=1}^{K}\zeta_{\ell,k}\,\mathbf q_{\ell,k}^{\mathrm{del}}\otimes\mathbf a_\ell(\mathbf p_k);
\end{equation}
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若消去复增益后，$K$ 个用户的时延导数在实参数意义下独立，则消去一个共享时间戳可保留 $K-1$ 个相对时延方向。导数相关时，保留的维数可能更少。对相对于参考星的观测时延再作用户间差分，有
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\begin{equation}
  \big[\Delta\tau_{\ell,k}(\mathbf p_k)+\delta_\ell\big]
  -\big[\Delta\tau_{\ell,k'}(\mathbf p_{k'})+\delta_\ell\big]
  =\Delta\tau_{\ell,k}(\mathbf p_k)-\Delta\tau_{\ell,k'}(\mathbf p_{k'})
\end{equation}
%
这样可消去共享时间戳，但不自动得到位置或时间戳的唯一解。还需消去各用户的参考时延，并检查剩余位置 Jacobian 的实秩；角度与 Doppler 的几何信息也参与这一判断。

\paragraph{时延通道的维数与局部秩}
为单独考察包络时延，设全部 $LK$ 条链路均可提供独立的局部时延观测，记其无噪声值为
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\begin{equation}
  \label{eq:F6_delay_design}
  z_{\ell,k}=\tau_{\mathrm{ref},k}
       +\Delta\tau_{\ell,k}(\mathbf p_k)+\delta_\ell,
  \qquad
  \Delta\tau_{\ell_{\mathrm{ref}},k}=0,\quad
  \delta_{\ell_{\mathrm{ref}}}=0.
\end{equation}
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参考时延与星钟偏移的设计矩阵秩为 $K+L-1$：参考星的 $K$ 行先确定各用户参考时延，其余各星再各引入一个独立的公共偏移。消去这些参数后，时延观测至多保留 $(L-1)(K-1)$ 个独立方向。任选一个参考用户 $k_0$，可用双重差分表示这些方向：
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\begin{equation}
  \label{eq:F6_double_difference}
  z_{\ell,k}-z_{\ell_{\mathrm{ref}},k}
    -z_{\ell,k_0}+z_{\ell_{\mathrm{ref}},k_0}
  =\Delta\tau_{\ell,k}(\mathbf p_k)
    -\Delta\tau_{\ell,k_0}(\mathbf p_{k_0}).
\end{equation}
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因此，仅依靠时延联合估计 $K$ 个三维位置，必要的维数条件为 $(L-1)(K-1)\geq 3K$；若每个位置受已知高度约束，右端改为 $2K$。满足计数条件后，还须检查 \eqref{eq:F6_double_difference} 对位置参数的 Jacobian 是否满列秩。差分噪声通常相关，计算信息量时须使用完整协方差。加入角度或 Doppler 后，应检查完整观测模型，不能继续把这一时延通道的计数条件当作必要条件。

\paragraph{完整模型的投影判据}
将所有实值目标参数记为 $\boldsymbol\eta$，其余均值参数记为 $\boldsymbol\psi$。例如，只考察位置时，$\boldsymbol\psi$ 包括参考时延、参考 Doppler、时间戳及复增益的实部和虚部。对白化复均值导数取实部与虚部，构造实矩阵
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\begin{equation}
  \label{eq:F6_real_jacobian}
  \mathbf W_x=\sqrt{2}
  \begin{bmatrix}
    \Re\{\mathbf R^{-1/2}\mathbf J_x\}\\
    \Im\{\mathbf R^{-1/2}\mathbf J_x\}
  \end{bmatrix},
  \qquad x\in\{\eta,\psi\}.
\end{equation}
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其中 $\mathbf R$ 是堆叠噪声协方差，$\mathbf J_x$ 是相应均值 Jacobian。独立未知噪声方差与均值参数信息正交，不改变这里的投影。用 $\dagger$ 表示 Moore--Penrose 逆，有
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\begin{equation}
  \label{eq:F6_rank_test}
  \begin{aligned}
  \mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta)
    &=\mathbf W_\eta^\Tran
      (\mathbf I-\mathbf W_\psi\mathbf W_\psi^\dagger)\mathbf W_\eta,\\
  \mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta)\succ0
    &\ \Longleftrightarrow\
    \operatorname{rank}[\mathbf W_\psi,\mathbf W_\eta]
       -\operatorname{rank}(\mathbf W_\psi)=\dim\boldsymbol\eta .
  \end{aligned}
\end{equation}
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该等价关系来自投影矩阵的对称幂等性：有效信息的零空间正是目标导数被干扰导数张成空间吸收的方向。\eqref{eq:F6_rank_test} 判断正则模型的一阶局部可辨识性；奇异点的高阶可辨识性及相距较远的参数模糊需要另行分析。由此，用户数的作用须结合卫星数、几何与可用观测通道判断，不能给出统一的用户数阈值。

\paragraph{一般情形}
一般 $L$ 和任意时间戳真值可按\appref{subsec:F3_numericalEfim} 评估。先消复增益、再消逐星时间戳时，时间戳信息块仍为对角；若先消去跨星共享的参考时延或其他主参数，则剩余时间戳块可能耦合。计算形式由消元顺序决定，与偏移是否超过导频自相关宽度无关。

\medskip

至此，\appref{sec:timestampErrCrb} 给出了时间戳误差的三类结果：作为干扰参数估计时关于 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ 的 \gls{efim}（见前述各小节），被估计器忽略时的 \gls{mcrb}（\appref{subsec:F5_mcrb}），以及位置模型下 $\delta_\ell$ 与到达时间差通道同轴混淆、单用户退化而多用户共享结构恢复的秩分析（\appref{subsec:F6_tauDeltaConfound}）。多用户情形与一般 $L$ 的 \gls{efim} 由\appref{subsec:F3_numericalEfim} 的数值流程评估，作为后续数据驱动方法与界对比的基础。