\section{确定信号 DoA 估计\texorpdfstring{~\cite{stoicaMusicMaximumLikelihood1989}}{}}
\label{sec:det_doa_est}

本节是单阵列基线层的第一个似然推导：在第~\ref{subsec:single_arr_doa_est} 小节的观测模型基础上，将源信号在每个快拍处的取值视为确定性未知量，从而得到条件/确定最大似然问题。该推导的重点不在多星几何，而在建立投影矩阵、集中似然和干扰参数消元的基本模板；对应的 \gls{crb} 推导放在 \ref{sec:det_doa_crb} 中。

\subsection{似然函数求取}

本节沿用式~\eqref{eq:single_arr_doa_model} 的单阵列 DoA 观测模型，并采用全文统一的快拍索引 $t=0,1,\ldots,T-1$。为简化本节公式，记
\begin{equation}
  \sigma \triangleq \sigma_n^2.
\end{equation}
由于噪声 $\mathbf n_t\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma\mathbf I_M)$，且 $\mathbf x_t$ 为确定性未知信号快拍，有
\begin{equation}
  \mathbf y_t\sim\mathcal{CN}\big(\mathbf A(\bm\Theta)\mathbf x_t,\sigma\mathbf I_M\big).
\end{equation}
因此，根据式~\eqref{eq:independent_complex_gaussian_pdf}，所有快拍的似然函数为
\begin{equation}
  L(\sigma,\{\mathbf x_t\}_{t=0}^{T-1},\bm\Theta\mid \{\mathbf y_t\}_{t=0}^{T-1})
  =
  (\pi\sigma)^{-MT}
  \exp\left[
    -\frac{1}{\sigma}
    \sum_{t=0}^{T-1}\left\|\mathbf y_t-\mathbf A(\bm\Theta)\mathbf x_t\right\|_2^2
  \right].
\end{equation}
对应的对数似然函数为
\begin{equation}
  \label{eq:det_ml_log_likelihood}
  \ln \mathcal L
  =
  \mathrm{Const}
  -MT\ln\sigma
  -\frac{1}{\sigma}\sum_{t=0}^{T-1}\left\|\mathbf y_t-\mathbf A(\bm\Theta)\mathbf x_t\right\|_2^2.
\end{equation}
其中待估计参数包括噪声方差 $\sigma$，确定信号快拍 $\{\mathbf x_t\}_{t=0}^{T-1}$ 的实部和虚部，以及多源来向集合 $\bm\Theta$。

\subsection{确定/条件最大似然估计}

\subsubsection{原始问题建模}

\Gls{dml}/\gls{cml} 优化问题可以表述为
\begin{alignat}{2}
  \label{eq:det_ml_doa_opt}
  &\minimize_{\bm\Theta,\{\mathbf x_t\},\sigma} \quad &&
  MT\ln\sigma
  +
  \frac{1}{\sigma}\sum_{t=0}^{T-1}\left\|\mathbf y_t-\mathbf A(\bm\Theta)\mathbf x_t\right\|_2^2
  \nonumber\\
  &\text{subject to} && \bm\Theta\in\varTheta,
\end{alignat}
其中 $\varTheta$ 为 $\bm\Theta$ 的可行域。

\subsubsection{集中似然表达}

我们关心的是信号的来向 $\bm\Theta$，因此将对数似然函数中的其他参量，包括噪声方差 $\sigma$ 与信号快拍 $\{\mathbf x_t\}_{t=0}^{T-1}$，均用 $\bm\Theta$ 和观测 $\{\mathbf y_t\}_{t=0}^{T-1}$ 表示。

对固定的 $\bm\Theta$，令 $\partial\ln\mathcal L/\partial\mathbf x_t=0$，可得
\begin{equation}
  \widehat{\mathbf x}_t(\bm\Theta)
  =
  \left[\mathbf A^\Herm\mathbf A\right]^{-1}\mathbf A^\Herm\mathbf y_t.
\end{equation}
令 $\partial\ln\mathcal L/\partial\sigma=0$，并代入 $\widehat{\mathbf x}_t$，可得
\begin{align}
  \widehat\sigma(\bm\Theta)
  &=
  \frac{1}{MT}\sum_{t=0}^{T-1}
  \left\|\mathbf y_t-\mathbf A\widehat{\mathbf x}_t\right\|_2^2 \nonumber\\
  &=
  \frac{1}{MT}\sum_{t=0}^{T-1}
  \mathbf y_t^\Herm
  \left(\mathbf I_M-\mathcal P_{\mathbf A}\right)
  \mathbf y_t,
\end{align}
其中
\begin{equation}
  \mathcal P_{\mathbf A}
  \triangleq
  \mathbf A(\mathbf A^\Herm\mathbf A)^{-1}\mathbf A^\Herm
\end{equation}
为导向矩阵列空间的投影算子。进一步定义样本协方差矩阵
\begin{equation}
  \widehat{\mathbf R}
  \triangleq
  \frac{1}{T}\sum_{t=0}^{T-1}\mathbf y_t\mathbf y_t^\Herm,
\end{equation}
则
\begin{equation}
  \widehat\sigma(\bm\Theta)
  =
  \frac{1}{M}\tr\left[\left(\mathbf I_M-\mathcal P_{\mathbf A}\right)\widehat{\mathbf R}\right].
\end{equation}
代入式~\eqref{eq:det_ml_log_likelihood} 并忽略与 $\bm\Theta$ 无关的项后，$\bm\Theta$ 的 \gls{cdml} 可写为
\begin{equation}
  \widehat{\bm\Theta}_{\mathrm{CDML}}
  =
  \argmin_{\bm\Theta}
  \tr\left[\left(\mathbf I_M-\mathcal P_{\mathbf A(\bm\Theta)}\right)\widehat{\mathbf R}\right].
\end{equation}
也即 $\bm\Theta$ 的 \gls{cdml} 可以通过最小化
\begin{equation}
  \mathcal J(\bm\Theta)
  \triangleq
  \tr\left[\left(\mathbf I_M-\mathcal P_{\mathbf A(\bm\Theta)}\right)\widehat{\mathbf R}\right]
\end{equation}
得到。

本节得到的形式说明：当信号快拍被视为确定性干扰参数时，DoA 信息通过阵列导向子空间的投影残差体现。下一节的随机信号模型将改变信源统计假设，但仍沿用同一个单阵列几何入口。