\section{加入 Doppler——单阵列确定信号 DoA--Doppler 估计\texorpdfstring{~\cite{waxSpatioTemporalSpectralAnalysis1984}}{}}
\label{sec:det_doa_doppler_est}

第~\ref{sec:det_doa_est} 节假设信源在观测窗口内时间相位被吸收进未知信号波形 $\mathbf X$。当信源带有 Doppler 时，时间相位变为 $e^{j\nu_k t}$，不能再被任意未知波形吸收，否则 $\nu_k$ 不可辨识、\gls{crb} 奇异。
本节沿一个新维度推进问题——\emph{时间相位结构}——其余维度保持最简：仍是单阵列、单观测块、信源已知导频 $s_k(t)$。引入归一化角 Doppler $\nu_k$ 与未知复增益 $\zeta_k$，并由此得到空时导向向量 $\mathbf b_{\mathrm{st},k}$ 的 Kronecker 结构。
详细 \gls{crb} 推导见\appref{sec:det_doa_doppler_crb}。

\subsection{信号模型}
\label{subsec:single_arr_doa_doppler_est}

本节默认 $\nu_k$ 表示第 $k$ 个信源的\emph{归一化角 Doppler}，单位为 rad/sample。Doppler 向量记为
%
\begin{equation}
  \boldsymbol\nu
  \triangleq
  [\nu_1,\ldots,\nu_K]^\Tran.
\end{equation}

将每个信源的导频 $s_k(t)$ 视为已知，复增益 $\zeta_k\in\mathbb C$ 与归一化 Doppler $\nu_k$ 视为待估。第 $k$ 个信源的导频加权时间模板为
%
\begin{equation}
  \mathbf q_k(\nu_k)
  \triangleq
  \begin{bmatrix}
    s_k(0)e^{j\nu_k\cdot0},
    s_k(1)e^{j\nu_k\cdot1},
    \cdots,
    s_k(T-1)e^{j\nu_k(T-1)}
  \end{bmatrix}^\Tran
  \in\mathbb C^{T\times1}.
\end{equation}
%
所有快拍写成矩阵形式
%
\begin{equation}
  \mathbf Y
  =
  \sum_{k=1}^{K}\zeta_k\mathbf a(\bm\theta_k)\mathbf q_k^\Tran(\nu_k)
  +
  \mathbf N.
\end{equation}

进一步定义第 $k$ 个信源的空时导向向量与整体空时字典
%
\begin{equation}
  \mathbf b_{\mathrm{st},k}(\bm\theta_k,\nu_k)
  \triangleq
  \mathbf q_k(\nu_k)\otimes\mathbf a(\bm\theta_k)
  \in\mathbb C^{MT\times1},
  \qquad
  \mathbf B_{\mathrm{st}}(\bm\Theta,\boldsymbol\nu)
  \triangleq
  \left[
    \mathbf b_{\mathrm{st},1},\ldots,\mathbf b_{\mathrm{st},K}
  \right]
  \in\mathbb C^{MT\times K},
\end{equation}
%
并记复增益向量 $\boldsymbol\zeta=[\zeta_1,\ldots,\zeta_K]^\Tran$。则向量化观测模型为
%
\begin{equation}
  \label{eq:vec_det_doa_doppler_recv_sig}
  \tilde{\mathbf y}
  \triangleq
  \vect(\mathbf Y)
  =
  \mathbf B_{\mathrm{st}}(\bm\Theta,\boldsymbol\nu)\boldsymbol\zeta
  +
  \tilde{\mathbf n},
  \qquad
  \tilde{\mathbf n}\triangleq\vect(\mathbf N)\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma\mathbf I_{MT}).
\end{equation}
%
$\mathbf b_{\mathrm{st},k}$ 的 Kronecker 结构把空间维度的 $\mathbf a(\bm\theta_k)$ 与时间维度的 $\mathbf q_k(\nu_k)$ 解耦在两个因子上，是本节相比于第~\ref{sec:det_doa_est} 节的核心新结构。

\subsection{对数似然}

由 $\tilde{\mathbf n}\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma\mathbf I_{MT})$ 及 $\boldsymbol\zeta$ 的确定性假设，模型~\eqref{eq:vec_det_doa_doppler_recv_sig} 把 $\tilde{\mathbf y}$ 写成确定均值 $\mathbf B_{\mathrm{st}}\boldsymbol\zeta$ 与高斯噪声之和，故 $\tilde{\mathbf y}\sim\mathcal{CN}(\mathbf B_{\mathrm{st}}\boldsymbol\zeta,\sigma\mathbf I_{MT})$，对数似然为
%
\begin{equation}
  \label{eq:singlelog_likelihood}
  \ln\mathcal L(\sigma,\boldsymbol\zeta,\boldsymbol\nu,\bm\Theta)
  =
  \mathrm{Const}
  -MT\ln\sigma
  -\frac{1}{\sigma}
  \left\|\tilde{\mathbf y}-\mathbf B_{\mathrm{st}}\boldsymbol\zeta\right\|_2^2.
\end{equation}
%
对应的 \gls{dml}/\gls{cml} 优化问题为（确定信号叠加模型的精确 \gls{mle} 处理可参见~\cite{breslerExactMaximumLikelihood1986}）
%
\begin{equation}
  \label{eq:det_ml_doa_doppler_opt}
  \minimize_{\boldsymbol\zeta,\boldsymbol\nu,\bm\Theta,\sigma}
  \;\;
  MT\ln\sigma
  +
  \frac{1}{\sigma}\left\|\tilde{\mathbf y}-\mathbf B_{\mathrm{st}}\boldsymbol\zeta\right\|_2^2.
\end{equation}

\subsection{集中似然与联合 DoA--Doppler 准则}

待估主参数为 $(\bm\Theta,\boldsymbol\nu)$，干扰参数为 $(\boldsymbol\zeta,\sigma)$。在 $\mathbf B_{\mathrm{st}}(\bm\Theta,\boldsymbol\nu)$ 列满秩的假设下，沿用与第~\ref{sec:det_doa_est} 节相同的投影模板消元，可得集中似然准则
%
\begin{equation}
  \label{eq:con_det_ml_doa_doppler_opt}
  \big(\widehat{\bm\Theta}_{\mathrm{CDML}},\widehat{\boldsymbol\nu}_{\mathrm{CDML}}\big)
  =
  \argmin_{\bm\Theta,\boldsymbol\nu}
  \tilde{\mathbf y}^\Herm
  \left(\mathbf I_{MT}-\mathcal P_{\mathbf B_{\mathrm{st}}(\bm\Theta,\boldsymbol\nu)}\right)
  \tilde{\mathbf y},
\end{equation}
%
其中 $\mathcal P_{\mathbf B_{\mathrm{st}}}\triangleq\mathbf B_{\mathrm{st}}\left(\mathbf B_{\mathrm{st}}^\Herm\mathbf B_{\mathrm{st}}\right)^{-1}\mathbf B_{\mathrm{st}}^\Herm$ 为空时字典列空间的投影算子。
对 $\boldsymbol\zeta$ 与 $\sigma$ 的闭式消元过程与第~\ref{sec:det_doa_est} 节的单阵列 \gls{doa} 完全平行，详细矩阵代入见\appref{sec:det_doa_doppler_crb}。

若 Doppler 本身并非估计目标、仅作为干扰参数，可先对其做轮廓化（profile）处理：
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\begin{equation}
  \widehat{\bm\Theta}_{\mathrm{CDML}}
  =
  \argmin_{\bm\Theta}
  \min_{\boldsymbol\nu}
  \tilde{\mathbf y}^\Herm
  \left(\mathbf I_{MT}-\mathcal P_{\mathbf B_{\mathrm{st}}}\right)
  \tilde{\mathbf y}.
\end{equation}

由此可见，Doppler 不是简单附加在 \gls{doa} 估计之后的独立标量，而是通过时间模板 $\mathbf q_k(\nu_k)$ 与空间导向矢量 $\mathbf a(\bm\theta_k)$ 共同构成空时子空间。这种耦合既是 \gls{doa}--Doppler 联合估计带来增益的来源，也是单独估计任一参数会造成信息损失的原因。