\section{时间戳误差与部分相干观测}
\label{sec:timestampError}

前面各节均假设 $L$ 颗卫星之间完全相干——它们以共同的离散时间基记录采样、并共享同一时间原点。实际系统中各星本振与采样时钟独立，星间时钟同步不可能精确到亚采样级别，残余的未知\emph{时间戳误差}使 ``参考时刻 $t=0$'' 在不同卫星上落到不同的物理瞬时。
本节作为多星主线的收尾，沿\emph{同步条件}维度把前面各节默认的``星间完全相干''放宽为``参考星完全可信、其余卫星时间戳带未知误差 $\delta_\ell$'' 的\emph{部分相干}观测。之所以置于位置一节之后：$\delta_\ell$ 不进入空间导向矢量、不影响各星本地 \gls{doa}（窄带假设，见下），而是经相位耦合 $-\nu_{\ell,k}\delta_\ell$ 与导频时移 $s_k(t-\delta_\ell)$ 两条途径恶化 Doppler 与跨星测距，从而主要打在位置估计上——具体地，它与位置的到达时间差通道同轴混淆（第~\ref{subsec:tauDeltaConfound} 小节）。其余维度（单帧、已知导频、无星间频偏）保持最简。
关键现象是：$\delta_\ell$ 与 $\nu_{\ell,k}$ 在似然中以乘积形式耦合，产生未知相位偏移 $-\nu_{\ell,k}\delta_\ell$ 与导频时间偏移 $s_k(t-\delta_\ell)$。当 $|\delta_\ell|$ 很小时可作一阶近似并通过 Schur 补消去；当 $|\delta_\ell|$ 大到一个导频符号宽度时必须显式数值搜索。本节按这一切换刻画模型接口与方法适用边界；具体方法选择留给后续工作。详细 \gls{efim} 推导与数值框架见\appref{sec:timestampErrCrb}。

\subsection{时间戳误差与扰动信号模型}
\label{subsec:perturbedSignalModel}

把\emph{时间戳误差}定义为``某颗卫星实际采样时刻相对其名义采样时刻的偏移''。以参考星 $\ell_{\mathrm{ref}}$ 为基准并令 $\delta_{\ell_{\mathrm{ref}}}\equiv 0$，其余卫星的时间戳误差以采样点数为单位记为
%
\begin{equation}
  \delta_\ell\in\mathbb R,
  \qquad
  \ell\neq\ell_{\mathrm{ref}},
\end{equation}
%
对应的物理时间误差为 $\delta\tau_\ell=\delta_\ell T_{\mathrm{s}}$（秒）。$\delta_\ell$ 可正可负，不要求为整数采样。所有非参考星时间戳误差堆叠为
%
\begin{equation}
  \boldsymbol\delta
  \triangleq
  \big[\delta_\ell\big]_{\ell\neq\ell_{\mathrm{ref}}}
  \in\mathbb R^{L-1}.
\end{equation}

在第~\ref{sec:multiSatMultiUser} 节的多用户基线上引入 $\delta_\ell$，第 $\ell$ 颗卫星接收到的连续时间基带信号被替换为``在偏移 $\delta_\ell$ 后的瞬时上采样''：
%
\begin{equation}
  \label{eq:sec5_signal_model}
  \mathbf y_\ell(t)
  =
  \sum_{k=1}^{K}
  \zeta_{\ell,k}
  \mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi_k)
  s_k(t-\delta_\ell)
  e^{j\nu_{\ell,k}(\boldsymbol\xi_k,\nu_{\mathrm{ref},k})(t-\delta_\ell)}
  +
  \mathbf n_\ell(t).
\end{equation}
%
即采样网格保持 $t=0,1,\ldots,T-1$，但被采样的连续时间标记从 $t$ 变为 $t-\delta_\ell$。
窄带阵列假设下 $\mathbf a_\ell$ 与瞬时时间无关，故 $\delta_\ell$ 不进入空间导向矢量；它只通过\emph{导频时间偏移}与\emph{Doppler 相位偏移}两条途径出现在均值向量中。

\subsection{相位偏移耦合与导频时间偏移}

将 \eqref{eq:sec5_signal_model} 中复指数项展开
%
\begin{equation}
  \label{eq:sec5_phase_decomp}
  e^{j\nu_{\ell,k}(t-\delta_\ell)}
  =
  e^{-j\nu_{\ell,k}\delta_\ell}
  \cdot
  e^{j\nu_{\ell,k}t},
\end{equation}
%
可见 $\delta_\ell$ 与 $\nu_{\ell,k}$ 以乘积形式产生一个与时间无关的相位常数 $-\nu_{\ell,k}\delta_\ell$。
若把该常数吸入复增益，定义\emph{等效复增益}
%
\begin{equation}
  \bar\zeta_{\ell,k}(\boldsymbol\xi_k,\nu_{\mathrm{ref},k},\delta_\ell)
  \triangleq
  \zeta_{\ell,k}e^{-j\nu_{\ell,k}\delta_\ell},
\end{equation}
%
则模型可改写为
%
\begin{equation}
  \label{eq:sec5_absorbed_model}
  \mathbf y_\ell(t)
  =
  \sum_{k=1}^{K}
  \bar\zeta_{\ell,k}
  \mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi_k)
  s_k(t-\delta_\ell)
  e^{j\nu_{\ell,k}t}
  +
  \mathbf n_\ell(t).
\end{equation}
%
这是部分相干模型的核心结构。两点观察：
\begin{enumerate}
  \item \emph{相位耦合}已被 $\bar\zeta_{\ell,k}$ 吸收，但代价是：原本各星独立的 $\{\zeta_{\ell,k}\}$ 与几何参数 $(\boldsymbol\xi_k,\nu_{\mathrm{ref},k})$ \emph{解耦}的良好性质消失。$\bar\zeta_{\ell,k}$ 显式依赖 $\delta_\ell$ 与 $\nu_{\ell,k}$，把 $\delta_\ell$ 的不确定性以 ``$|\nu_{\ell,k}|\cdot\mathrm{Var}(\delta_\ell)$'' 的形式注入主参数；这是部分相干观测对 Doppler 估计精度的主要恶化来源。
  \item \emph{导频时间偏移} $s_k(t-\delta_\ell)$ 不能被吸入复增益。它通过导频的自相关 $R_{s_k}(\delta_\ell)$ 进入似然，且对 $\delta_\ell$ 高度非线性。当 $\delta_\ell$ 远小于一个导频符号宽度时，可作一阶 Taylor 近似 $s_k(t-\delta_\ell)\approx s_k(t)-\delta_\ell\dot s_k(t)$，并把 $\delta_\ell$ 作为光滑干扰参数处理；当 $|\delta_\ell|$ 接近或超过导频符号宽度时，这一近似失效，必须显式数值搜索。
\end{enumerate}

\subsection{适用性边界：小误差 vs.\ 大误差}
\label{subsec:timestampApplicability}

记导频自相关的有效宽度为 $T_{\mathrm{ac}}$（以采样点数计），即 $R_{s_k}(\delta)$ 衰减到 $1/2$ 的特征尺度。本节方法的适用性按 $|\delta_\ell|$ 相对于 $T_{\mathrm{ac}}$ 与 $1/|\nu_{\ell,k}|$ 的量级分两段：

\begin{itemize}
  \item \textbf{小误差区}（$|\delta_\ell|\ll T_{\mathrm{ac}}$ 且 $|\nu_{\ell,k}\delta_\ell|\ll\pi$）：导频时间偏移可一阶 Taylor 展开；相位偏移 $-\nu_{\ell,k}\delta_\ell$ 把均值向量改写为关于 $\delta_\ell$ 的近似线性扰动。$\boldsymbol\delta$ 进入似然的 Fisher 信息块光滑可逆，可在 \gls{efim} 框架内通过 Schur 补\emph{解析}消去。详细推导见\appref{subsec:F2_schurDelta}。
  \item \textbf{大误差区}（$|\delta_\ell|$ 接近或超过 $T_{\mathrm{ac}}$）：导频自相关衰减导致似然对 $\delta_\ell$ 高度非线性，一阶近似失效；同时若 $|\nu_{\ell,k}\delta_\ell|\gtrsim\pi$，相位偏移引入整周模糊。\gls{efim} 不再可用，必须将 $\delta_\ell$ 作为离散+连续混合参数显式数值搜索；细网格上的局部 Fisher 信息可由 \eqref{eq:sec5_absorbed_model} 直接数值评估，见\appref{subsec:F3_numericalEfim}。
\end{itemize}

实际星间场景下，物理量级一般落在小误差区与大误差区之间的过渡带：实测残差的具体数值取决于平台本振稳定度与所采用的星间同步协议，本笔记不展开。当残差换算到采样点后跨越导频自相关半宽 $T_{\mathrm{ac}}$，就需要从小误差解析方案切换到大误差数值方案；该过渡带正是后续数据驱动的干扰参数补偿方法的目标工作点。

\subsection{联合似然与 EFIM 结构概览}

把第~\ref{sec:multiSatMultiUser} 节的主参数与干扰参数集合扩展为
%
\begin{equation}
  \boldsymbol\eta
  =
  \boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}
  \in\mathbb R^{3K},
  \qquad
  \boldsymbol\psi
  =
  \Big[
    \boldsymbol\delta^\Tran,
    \big\{\zeta_{\ell,k}\big\}_{\ell,k},
    \big\{\sigma_\ell\big\}_{\ell=0}^{L-1}
  \Big]^\Tran,
\end{equation}
%
需要强调：本节\emph{不}把 $\delta_\ell$ 升格为主参数——任务目标仍是估计 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$，$\delta_\ell$ 只是因星间时钟不可信而引入的干扰参数。各星条件独立的圆对称复高斯负对数似然
%
\begin{equation}
  \mathcal L(\boldsymbol\eta,\boldsymbol\psi)
  =
  \sum_{\ell=0}^{L-1}
  \left[
    M_\ell T\log\sigma_\ell
    +
    \frac{1}{\sigma_\ell}
    \sum_{t=0}^{T-1}
    \left\|
      \mathbf y_\ell(t)
      -
      \sum_{k=1}^{K}\zeta_{\ell,k}\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi_k)s_k(t-\delta_\ell)e^{j\nu_{\ell,k}(t-\delta_\ell)}
    \right\|_2^2
  \right]
\end{equation}
%
关于 $(\boldsymbol\zeta,\sigma_\ell)$ 的闭式消元与第~\ref{sec:multiSatMultiUser} 节平行，差别仅在 $\mathbf g_{\ell,k}$ 现在依赖 $\delta_\ell$。

记完整实参数向量
%
\begin{equation}
  \boldsymbol\kappa
  =
  \big[
    \boldsymbol\eta^\Tran,\,
    \boldsymbol\delta^\Tran,\,
    \boldsymbol\psi_{\zeta}^\Tran
  \big]^\Tran,
\end{equation}
%
其中 $\boldsymbol\psi_\zeta$ 为各 $\zeta_{\ell,k}$ 的实部/虚部堆叠（噪声方差仅进入协方差、与均值参数解耦，下同\appref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb}）。\gls{fim}按 $(\boldsymbol\eta,\boldsymbol\delta,\boldsymbol\psi_\zeta)$ 分块为
%
\begin{equation}
  \mathcal I(\boldsymbol\kappa)
  =
  \begin{bmatrix}
    \mathcal I_{\eta\eta} & \mathcal I_{\eta\delta} & \mathcal I_{\eta\psi}\\
    \mathcal I_{\delta\eta} & \mathcal I_{\delta\delta} & \mathcal I_{\delta\psi}\\
    \mathcal I_{\psi\eta} & \mathcal I_{\psi\delta} & \mathcal I_{\psi\psi}
  \end{bmatrix}.
\end{equation}
%
小误差区下 $\boldsymbol\delta$ 与 $\boldsymbol\psi_\zeta$ 可依次 Schur 消去，得到关于 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ 的 \gls{efim}
%
\begin{equation}
  \label{eq:sec5_efim}
  \mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}})
  =
  \mathcal I_{\eta\eta}'
  -
  \mathcal I_{\eta\delta}'\,
  (\mathcal I_{\delta\delta}')^{-1}\,
  \mathcal I_{\delta\eta}',
\end{equation}
%
其中 $\mathcal I'_{\cdot\cdot}$ 表示在复增益块消去后剩余的中间 Fisher 块。
\eqref{eq:sec5_efim} 的解析形式只在小误差区可写完整闭式；大误差区下右端各项需逐 $\delta_\ell$ 取值数值评估。详细分块表达、数值评估流程与 $K=1, L=2$ 最简情形的闭式结果见\appref{sec:timestampErrCrb}。

\subsection{时延通道下的时间戳混淆与多用户解}
\label{subsec:tauDeltaConfound}

上面把 $\delta_\ell$ 加在多用户 \gls{doa} 基线（第~\ref{sec:multiSatMultiUser} 节）上时，导频时移 $s_k(t-\delta_\ell)$ 落在一根本身不含距离信号的时间轴上，$\delta_\ell$ 只经相位与 Doppler 间接影响主参数。一旦接上第~\ref{sec:userPositioning} 节的传播时延通道，这根时间轴上就有了携带距离的 $\tau_\ell(\mathbf p)$，$\delta_\ell$ 与它同轴——这才是 $\delta_\ell$ ``主要打在位置上''的主通道。
把 $\delta_\ell$ 叠加到含时延的位置模型，第 $\ell$ 星导频包络为 $s\big(t-\tau_\ell(\mathbf p)-\delta_\ell\big)$，观测到的总时延为
%
\begin{equation}
  \tau_\ell(\mathbf p)+\delta_\ell
  =\tau_{\mathrm{ref}}+\Delta\tau_\ell(\mathbf p)+\delta_\ell.
\end{equation}
%
对参考星差分消去公共的 $\tau_{\mathrm{ref}}$（含未知发射时刻），得观测到达时间差 $\Delta\tau_\ell(\mathbf p)+\delta_\ell$：携带位置的 $\Delta\tau_\ell(\mathbf p)$ 与时间戳 $\delta_\ell$ \emph{同轴相加、不可分}。这正是第~\ref{sec:userPositioning} 节末尾预告的 $\tau$--$\delta$ 同轴矛盾。

在 Fisher 信息层面，群时延模型下（载波相位吸入 $\zeta_\ell$）$\delta_\ell$ 只经包络进入，其对均值向量的导数 $\partial\mathbf g_\ell/\partial\delta_\ell=\mathbf q_\ell^{\mathrm{del}}\otimes\mathbf a_\ell$ 与时延模板同形，与参考时延列 $\partial\mathbf g_\ell/\partial\tau_{\mathrm{ref}}$ 完全相同、与位置列的时延贡献共线。由此分两种情形：
\begin{itemize}
  \item \textbf{单用户退化}：$L-1$ 个自由 $\delta_\ell$ 各自吸收该星的包络位移方向，恰好张成 $\Delta\tau_\ell(\mathbf p)$ 携带距离信息的同一组方向。对 $\boldsymbol\delta$ 作 Schur 边缘化后，时延/\gls{tdoa} 通道对距离的净贡献被抵消，位置退回角度（与差分 Doppler）通道——\gls{efim} 在距离方向退化。
  \item \textbf{多用户恢复}：$\delta_\ell$ 是逐星参数（每颗星一个时间戳）、被该星 $K$ 个用户共享，而各用户的几何与空间签名（即阵列响应 $\mathbf a_\ell(\mathbf p_k)$）互异。单个 $\delta_\ell$ 只能吸收一个合成包络位移方向，$K$ 个用户的 \gls{tdoa} 信息张成至多 $K$ 个方向，故 $K-1$ 个方向在 $\boldsymbol\delta$ 边缘化后存活——时延通道随用户数恢复。等价地，同星不同用户的观测到达时间差相减即消去共享 $\delta_\ell$、超定地将其定出。
\end{itemize}
故跨星定时误差对位置的影响并非``多一个未知参数''式的普遍恶化，而是\emph{结构性}地落在 \gls{tdoa} 通道上：单用户时它吃掉整条测距增益、位置退回纯角度交会；多用户共享结构是 $\delta_\ell$ 可辨识、\gls{tdoa} 通道净增益的必要条件。详细 Fisher 分块、$\boldsymbol\delta$-边缘化的秩损失与多用户恢复见\appref{subsec:F6_tauDeltaConfound}。

\subsection{忽略时间戳误差时的 MCRB}
\label{subsec:mcrbIgnoreDelta}

\eqref{eq:sec5_efim} 的 \gls{efim} 对应``把 $\boldsymbol\delta$ 当未知干扰参数一并估计''的情形，代价是主参数信息被 Schur 补扣减、\gls{crb} 抬高。与之互补的是另一种工程上常见的处理：估计器\emph{假设星间已同步}（令 $\delta_\ell\equiv 0$）、不把 $\boldsymbol\delta$ 纳入模型以省去这部分参数。此时真值含 $\boldsymbol\delta^\star\neq\mathbf 0$、估计器却以 $\delta=0$ 的似然拟合，构成\emph{模型误指定}，其性能由 \gls{mcrb}~\cite{richmondParameterBoundsEstimation2015} 而非 \gls{crb} 刻画。误指定最大似然（\gls{mml}）估计器不再收敛到真值 $\boldsymbol\eta^\star$，而是收敛到使 \gls{kl} 散度最小的\emph{伪真值} $\boldsymbol\eta^{\mathrm{pt}}$，其绕真值的均方误差由两部分组成
%
\begin{equation}
  \label{eq:sec5_mcrb}
  \mathbb E\big[(\widehat{\boldsymbol\eta}-\boldsymbol\eta^\star)(\widehat{\boldsymbol\eta}-\boldsymbol\eta^\star)^\Tran\big]
  \succeq
  \underbrace{\mathbf A^{-1}\mathbf B\,\mathbf A^{-1}}_{\text{绕 }\boldsymbol\eta^{\mathrm{pt}}\text{ 的方差}}
  +
  \underbrace{(\boldsymbol\eta^{\mathrm{pt}}-\boldsymbol\eta^\star)(\boldsymbol\eta^{\mathrm{pt}}-\boldsymbol\eta^\star)^\Tran}_{\text{忽略 }\boldsymbol\delta\text{ 引入的偏置}}.
\end{equation}
%
与 \gls{efim} 路线``估计 $\boldsymbol\delta$ 而损失方差''相对，\gls{mcrb} 路线是``忽略 $\boldsymbol\delta$ 而换来偏置''；两者孰优取决于 $\boldsymbol\delta^\star$ 的量级。sandwich（夹心型，指 $\mathbf A^{-1}\mathbf B\mathbf A^{-1}$ 形式）矩阵 $\mathbf A$、$\mathbf B$ 的 Slepian--Bangs 闭式、伪真值与偏置的一阶表达，以及 $\boldsymbol\delta^\star\to\mathbf 0$ 退回 \gls{crb} 的一致性，见\appref{subsec:F5_mcrb}。

在第~\ref{sec:userPositioning} 节的位置模型上，这一偏置有明确的几何指向：偏置方向由 $\boldsymbol\eta$--$\delta$ 交叉信息决定（一阶表达见\appref{subsec:F5_mcrb}），而群时延模型下 $\delta_\ell$ 的均值导数与时延列共线（第~\ref{subsec:tauDeltaConfound} 小节），故偏置落在 \gls{tdoa} 通道方向上——沿\emph{距离}维、量级正比于时间戳 $\delta_\ell^\star$，而对 $\delta$ 免疫的角度通道不受偏置。于是 \gls{efim} 与 \gls{mcrb} 是同一 $\tau$--$\delta$ 混淆的两面：估计 $\boldsymbol\delta$ 在 \gls{tdoa} 通道上损失\emph{方差}（\gls{efim} 被 Schur 补扣减），忽略 $\boldsymbol\delta$ 在同一通道上换来\emph{偏置}（位置距离维偏移 $\sim\delta^\star$）。

需要强调，上述 \gls{crb}、\gls{efim} 与 \gls{mcrb} 都是局部（小误差）刻画；门限以下——低信噪比，或少用户时``位置--时间戳''方向的模糊——的大误差与模糊地板，由误指定 Barankin 界与 Ziv--Zakai 界给出，后者还显示用户数对可达定位精度构成基本约束，见\appref{sec:thresholdBounds}。

本节完成了部分相干观测下的扰动模型、适用性边界与时延通道混淆的刻画：$\delta_\ell$ 通过相位耦合 $-\nu_{\ell,k}\delta_\ell$ 与导频时间偏移 $s_k(t-\delta_\ell)$ 两条途径污染主参数估计，量级落在小误差区时可借 \gls{efim} 解析消去，落在大误差区时必须数值处理；若估计器索性假设同步而忽略 $\boldsymbol\delta$，相应下界由 \gls{mcrb} 给出。接上第~\ref{sec:userPositioning} 节的传播时延通道后，$\delta_\ell$ 与携带距离的 $\tau_\ell(\mathbf p)$ 同轴：单用户时它吃掉整条到达时间差测距增益、位置退回纯角度交会，多用户共享 $\delta_\ell$ 的结构则是其可辨识与测距增益净存活的必要条件。
至此，多星主线从单阵列 \gls{doa} 递进到含时延、Doppler 与时间戳的多用户协同定位模型；亚波长载波相位干涉与移动用户测速作为更强但要求更苛的通道，可正交叠加于此。